Appendix A　벡터 해석과 편미분방정식의 기초¶

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지금까지의 줄거리:

본편에서는 일반상대성이론을 이해하기 위해 필요한 수학적 도구를 단계적으로 도입해왔다. 텐서, 공변미분, 곡률텐서 등 휘어진 시공간을 기술하는 언어는 모두 「평탄한 공간에서의 벡터 해석」을 일반화한 것이었다. 이 부록에서는 본편의 토대가 된 3차원 유클리드 공간에서의 벡터 해석 기본 공식을, 증명과 함께 정리한다.

이 장의 목표

본편에서 「기지」로 사용해온 편미분, 벡터곱(외적), 미분연산자(grad, div, rot, 라플라시안), 그리고 적분정리(Gauss의 정리, Stokes의 정리)를 정의부터 증명까지 자기완결적으로 정리한다
본편 및 이후의 양자역학·장의 양자론·끈이론 전편을 통해 사용되는 수학적 도구를 여기 한곳에 집약한다

🟡 리나: 이 부록은 본편에서 여러 번 「3차원의 경우에는 이랬지」라고 인용해온 도구를 한곳에 모은 것이야. 새로운 개념은 거의 나오지 않으니까, 사전처럼 활용해주면 돼. 양자역학·장의 양자론·끈이론의 각 편에서도 편미분이나 grad/div/rot의 기초로 참조하게 될 거야.

🔵 카이: 솔직히, 본편 도중에 「벡터곱의 반대칭성으로부터……」 같은 말이 나올 때 좀 불안했던 부분이 있었거든요. 여기서 확인할 수 있어서 다행이에요.

⚪ 메이: 나는 증명의 세부를 확인하고 싶어. 특히 스칼라 삼중곱과 행렬식의 관계 부분.

🟡 리나: 그럼 순서대로 가자. 먼저 편미분부터——이건 이후 양자역학·장의 양자론에서도 사용하니까, 다시 한번 정리해둘게.

A.0　편미분 — 다변수 함수의 변화율¶

왜 편미분이 필요한가¶

🟡 리나: 고등학교의 미분은 1변수 함수 $f(x)$를 다뤘어. 하지만 물리학에서는 중력 포텐셜 $\Phi(x, y, z)$, 전기장 $\mathbf{E}(x, y, z, t)$, 계량텐서 $g_{\mu\nu}(x)$처럼 여러 변수에 의존하는 함수가 당연하게 등장해.

🔵 카이: 「$x$ 방향으로 얼마나 변하는지」를 알고 싶을 때, 다른 변수는 어떻게 하나요?

🟡 리나: 고정해. 그뿐이야.

편미분의 정의¶

1변수 함수 $f(x)$의 미분을 떠올려보면

\[ \frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

이것은 「$x$를 조금 바꿨을 때, $f$가 얼마나 변하는지」의 비율——함수의 기울기. 다변수 함수 $f(x, y, z)$에 대해서는 「$y$, $z$를 고정하고 $x$로만 미분하는」 것이야.

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x,\, y,\, z) - f(x,\, y,\, z)}{\Delta x} \]

기호가 $d$에서 $\partial$(라운드 디, 또는 「파셜」이라고 읽음)로 바뀌었을 뿐, 하는 일은 보통 미분과 같아. 다른 변수를 상수라고 생각하고 미분하는 것뿐이야.

계산의 구체적 예¶

🟡 리나: 실제로 해보자. $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$일 때.

$\partial f / \partial x$（$y$를 상수 취급）：

\[ \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = y \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2xy, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(3xy^2) = 3y^2 \]

합치면 $\partial f/\partial x = 2xy + 3y^2$.

$\partial f / \partial y$（$x$를 상수 취급）：

\[ \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(3xy^2) = 6xy \]

합치면 $\partial f/\partial y = x^2 + 6xy$.

🔵 카이: 보통 미분과 같은 계산인데, 다른 문자를 상수 취급하기만 하면 되는 거군요.

2계 편미분과 Schwarz의 정리¶

편미분을 한 번 더 편미분한다：

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \]

혼합편미분（서로 다른 변수로 2번 미분）：

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \]

앞의 예로 확인하면, $\partial f/\partial y = x^2 + 6xy$를 $x$로 미분하면 $\partial^2 f/(\partial x \partial y) = 2x + 6y$. 역순으로 $\partial f/\partial x = 2xy + 3y^2$를 $y$로 미분해도 $2x + 6y$.

⚪ 메이: 순서를 바꿔도 같은 결과가 나왔어!

🟡 리나: 통상적인（충분히 매끄러운）함수에서는 미분의 순서를 바꿔도 결과가 같아：

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]

이것을 Schwarz의 정리（대칭성 정리）라고 불러. 본편에서는 항상 이것이 성립한다고 가정해. 이 성질은 본편에서 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi) = 0$이나 Christoffel 기호의 대칭성을 보일 때, 도처에서 사용하게 돼.

🔵 카이: 이게 아무 함수에서나 성립하는 건 아닌 거죠? 「충분히 매끄럽다」는 게 구체적으로 어떤 조건인가요?

🟡 리나: 2계 혼합편미분이 연속이면 성립해——물리학에서 다루는 함수는 보통 이 조건을 만족하니까, 실용적으로는 항상 쓸 수 있다고 생각해도 괜찮아.

✅ 이해도 체크: Schwarz의 정리란 무엇일까요?

답

충분히 매끄러운 함수에서는 혼합편미분의 순서를 바꿔도 결과가 같다: $\partial^2 f/(\partial x \partial y) = \partial^2 f/(\partial y \partial x)$.

다변수의 연쇄법칙（Chain Rule）¶

🟡 리나: 고등학교에서 배운 연쇄법칙 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$를 다변수로 확장할게.

$f(x, y)$에서, $x$와 $y$가 각각 매개변수 $t$의 함수 $x = x(t)$, $y = y(t)$일 때：

\[ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]

유도: $t$가 $\Delta t$만큼 변하면, $x$는 $\Delta x = (dx/dt)\Delta t$만큼, $y$는 $\Delta y = (dy/dt)\Delta t$만큼 변해. $f$의 변화량은, 1변수일 때의 「$\Delta f \approx f'(x)\Delta x$」를 각 변수에 적용하여 합한 것이야：

\[ \Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y \]

왜 단순히 더할 수 있냐면, $\Delta x \cdot \Delta y$ 같은 「두 미소량의 곱」 항은 $\Delta t \to 0$에서 $\Delta x$, $\Delta y$ 단독 항보다 빠르게 0에 가까워지니까 무시할 수 있어. $\Delta t$로 나누고 $\Delta t \to 0$의 극한을 취하면 위의 식이 돼.

🔵 카이: 이거, 전자기파의 위상 $\phi(x, t) = kx - \omega t$의 시간 변화를 추적할 때 쓰는 거죠.

🟡 리나: 맞아. 파동방정식의 d'Alembert 해나, 본편의 측지선 방정식 유도에서도, 연쇄법칙이 본질적으로 작용하고 있어.

전미분¶

연쇄법칙을 「$dt$로 나누기 전」의 형태로 쓰면, 전미분을 얻게 돼：

\[ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \]

「$f$의 미소 변화는 각 방향의 편미분과 각 방향의 미소 변위의 곱의 합」. 이 식이 A.4의 기울기 유도로 이어져.

✅ 이해도 체크: 편미분 $\partial f/\partial x$를 계산할 때, $y$나 $z$를 어떻게 취급할까요?

답

상수라고 생각하고, $x$로만 미분한다.

A.1　벡터곱（외적）¶

정의¶

🟡 리나: 두 벡터로부터 「그것들이 이루는 평행사변형의 넓이와 방향」을 하나의 벡터로 나타내고 싶다——그런 동기로 정의되는 것이 벡터곱（외적）이야. 3차원 벡터 $\boldsymbol{a} = (a_1,\, a_2,\, a_3)$와 $\boldsymbol{b} = (b_1,\, b_2,\, b_3)$의 벡터곱 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$는 다음과 같이 정의돼：

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \]

🔵 카이: 내적은 결과가 스칼라인데, 외적은 결과가 벡터인 거죠.

🟡 리나: 맞아. 그리고 이 연산은 3차원에서만 정의돼. 2차원에서도 4차원에서도 이 그대로의 형태로는 쓸 수 없어. 본편에서 일반적인 차원으로 나아갔을 때, 외적 대신 텐서의 반대칭화를 사용한 것은, 바로 이 제한을 극복하기 위해서였어.

✅ 이해도 체크: 벡터곱（외적）이 정의될 수 있는 것은 몇 차원의 공간일까요? 또한, 본편에서는 이 제한을 어떻게 극복했을까요?

답

벡터곱은 그대로의 형태로는 3차원에서만 정의된다. 본편에서는 일반적인 차원에서도 사용할 수 있도록 텐서의 반대칭화를 이용하여 일반화했다.

🟡 리나: 기억하는 방법으로, 형식적인 행렬식을 사용하는 방법이 있어. 먼저 행렬식（determinant）이란 무엇인지 설명할게. $2 \times 2$의 수의 표（행렬）$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대해, $ad - bc$（대각선의 곱의 차）라는 하나의 수를 대응시키는 연산을 $2 \times 2$ 행렬식이라 부르고, $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$라고 쓰는 거야. $3 \times 3$의 경우는, 먼저 구체적 예로 절차를 본 다음 일반화하자. 표준기저 $\boldsymbol{e}_1 = (1,0,0)$, $\boldsymbol{e}_2 = (0,1,0)$, $\boldsymbol{e}_3 = (0,0,1)$을 사용하면：

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

🔵 카이: 행렬식은 전개 절차가 좀 복잡해 보이는데요.

🟡 리나: 구체적으로 해보자. 제1행의 각 요소에 대해, 부호를 $+, -, +$로 교대로 붙이면서 전개하는 거야（이 부호 패턴은 행렬식의 정의에서 나오는 것으로, 「체커보드 패턴」으로 기억하면 좋아——왼쪽 위가 $+$이고, 옆으로 갈 때마다 부호가 반전돼）. 먼저 $\boldsymbol{e}_1$의 항：$\boldsymbol{e}_1$을 포함하는 제1행과 제1열을 제거하면, 나머지는 $\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} = a_2 b_3 - a_3 b_2$. 부호는 $+$. 다음으로 $\boldsymbol{e}_2$의 항：제1행과 제2열을 제거하면 $\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} = a_1 b_3 - a_3 b_1$. 부호는 $-$. 마지막으로 $\boldsymbol{e}_3$의 항：제1행과 제3열을 제거하면 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$. 부호는 $+$. 합치면：

\[ = \boldsymbol{e}_1(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \boldsymbol{e}_2(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \boldsymbol{e}_3(a_1 b_2 - a_2 b_1) \]

이것은 정의와 일치해. 제1행에 벡터가 들어 있으니 엄밀한 행렬식은 아니지만, 계산 절차로서는 매우 편리해.

⚪ 메이: 즉 「$3 \times 3$ 행렬식의 전개 절차」를 외워버리면, 외적의 성분을 틀리지 않고 쓸 수 있다는 거네.

📝 연습문제:

벡터곱의 성분 계산 → 문제 B-1. 벡터곱의 성분 계산, 직교성 확인 → 문제 B-2. 벡터곱의 직교성

연산 법칙¶

🟡 리나: 벡터곱에는 다음의 법칙이 성립해.

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}) \quad \text{（반교환율）} \]

\[ \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c} \quad \text{（분배법칙）} \]

🔵 카이: 내적은 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$로 교환할 수 있었는데, 외적은 순서를 바꾸면 부호가 바뀌는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 이 「반대칭성」이 본편에서 여러 번 등장한 반대칭텐서의 원형이야. $\operatorname{rot}$（회전）의 각 성분이 「뺄셈」의 형태를 하고 있는 것도, 여기에서 유래한 거야.

⚪ 메이: 분배법칙은 성립하지만, 교환법칙은 「반」이 붙어. 결합법칙은 어떻게 되는 거야?

🟡 리나: 일반적으로 $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \neq (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$야. 결합법칙은 성립하지 않아. 이것이 나중에 나올 BAC-CAB 공식의 배경에 있는 거야.

기하학적 성질¶

🟡 리나: 벡터곱의 기하학적 의미를 3가지로 정리할게.

(1) $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$

(2) $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$는 $\boldsymbol{a}$에도 $\boldsymbol{b}$에도 직교한다

(3) $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$는 $\boldsymbol{a}$와 $\boldsymbol{b}$가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다

🔵 카이: (1)은 반교환율에서 나오죠. $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = -(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a})$이니까, $2(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}$.

🟡 리나: 맞아. (2)는 내적을 계산해서 확인하는 게 확실해.

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,a_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\,a_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,a_3 \]

전개하면 $a_1 a_2 b_3 - a_1 a_3 b_2 + a_2 a_3 b_1 - a_1 a_2 b_3 + a_1 a_3 b_2 - a_2 a_3 b_1 = 0$. 각 항이 부호를 바꾸어 쌍을 이루어 소거돼.

⚪ 메이: 그렇구나, $a_1 a_2 b_3$과 $-a_1 a_2 b_3$처럼, 반드시 상쇄하는 상대가 있는 거네.

🟡 리나: $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} = 0$도 마찬가지야. 즉 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$는, $\boldsymbol{a}$와 $\boldsymbol{b}$가 결정하는 평면에 수직한 방향을 향하고 있어. 방향은 「오른손 법칙」으로 결정돼.

🟡 리나: (3)의 증명은 계산이 좀 필요하지만, 중요한 항등식을 얻을 수 있어. $\boldsymbol{a}$와 $\boldsymbol{b}$의 사잇각을 $\theta$라 하면, 평행사변형의 넓이는：

\[ S = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta \]

따라서：

\[ S^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\sin^2\theta = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2(1 - \cos^2\theta) \]

\[ = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta)^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 \]

🔵 카이: 여기서 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$를 내적 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$로 치환한 거군요.

🟡 리나: 한편 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2$를 성분으로 계산하면：

\[ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = (a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 \]

이것을 전개하여, $(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2$과 일치하는 것을 확인하면 완료. 이렇게 얻어지는 항등식：

\[ |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 \]

은 Lagrange（라그랑주）의 항등식이라 불려.

🔵 카이: 내적의 제곱과 외적의 제곱을 더하면 크기의 곱의 제곱이 된다는 거네요. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$의 반영이구나.

🟡 리나: 바로 그래. 아름답지?

✅ 이해도 체크: 벡터곱 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$의 기하학적 의미를 서술하세요.

답

$\boldsymbol{a}$와 $\boldsymbol{b}$가 이루는 평행사변형에 수직한 방향을 향하고, 크기는 그 평행사변형의 넓이 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$와 같은 벡터. 방향은 오른손 법칙으로 결정된다.

A.2　스칼라 삼중곱¶

🟡 리나: 3개의 벡터 $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$로부터 만들어지는 양으로, 다음의 성질을 갖는 것이 있어.

\[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{c} \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \]

이 양을 스칼라 삼중곱（scalar triple product）이라고 불러.

🔵 카이: 3개의 벡터를 순환적으로（$\boldsymbol{a} \to \boldsymbol{b} \to \boldsymbol{c} \to \boldsymbol{a}$）바꿔도 값이 변하지 않는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 증명은 직접 성분을 써내리면 돼.

\[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) + a_2(b_3 c_1 - b_1 c_3) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1) \]

⚪ 메이: 전개하면 6개의 항이 나와: $a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 + a_2 b_3 c_1 - a_2 b_1 c_3 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1$. 어떤 항이든 첨자 $1, 2, 3$이 $a$, $b$, $c$에 하나씩 배분된 형태네.

🔵 카이: 이걸 순환 치환하면 정말로 같아지나요?

🟡 리나: 해봐. $a \to b,\, b \to c,\, c \to a$로 치환하면 $b_1 c_2 a_3 - b_1 c_3 a_2 + \cdots$——재배열하면 같은 6개 항의 모음이 돼. 행렬식으로 쓰면 더 전망이 좋아져：

\[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \]

행렬식에는 「두 행을 교환하면 부호가 반전된다」는 성질이 있어（이것은 $2 \times 2$의 경우에 확인할 수 있어：$\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix} = cb - da = -(ad - bc) = -\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$. $3 \times 3$에서도 여인수 전개로 확인할 수 있지만, 여기서는 결과를 인정하고 사용할게）. 순환 치환 $(1 \to 2 \to 3 \to 1)$은 2번의 행 교환（예를 들어 1↔2 후에 2↔3）으로 실현할 수 있으니, 부호는 $(-1)^2 = +1$배——즉 값이 변하지 않아. 이것이 스칼라 삼중곱의 순환 대칭성의 정체야.

🔵 카이: 기하학적으로는 어떤 의미가 있나요?

🟡 리나: $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$가 이루는 평행육면체의 부호 있는 부피야. $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$는 밑면（$\boldsymbol{b}$와 $\boldsymbol{c}$의 평행사변형）에 수직하고, 크기가 밑면적과 같은 벡터. 그것과 $\boldsymbol{a}$의 내적을 취하면, 밑면적 $\times$ 높이 $=$ 부피가 돼. 그림 A.1「스칼라 삼중곱과 평행육면체의 부피」를 보면 이 구조를 잘 알 수 있어.

그림 A.1: 스칼라 삼중곱과 평행육면체의 부피. 스칼라 삼중곱 $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$는 3개의 벡터가 이루는 평행육면체의 부호 있는 부피와 같다. $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$（주황색）는 밑면에 수직하고, 크기가 밑면적. 그것과 $\boldsymbol{a}$의 내적이 부피를 준다.

⚪ 메이: 부호가 양이면 $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$가 오른손계를 이루고, 음이면 왼손계라는 거네.

✅ 이해도 체크: 스칼라 삼중곱 $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$의 기하학적 의미는 무엇일까요? 또한, 순환 치환에 대해 어떤 성질을 가질까요?

답

3개의 벡터가 이루는 평행육면체의 부호 있는 부피를 나타낸다. 순환 치환 $\boldsymbol{a} \to \boldsymbol{b} \to \boldsymbol{c} \to \boldsymbol{a}$에 대해 값은 변하지 않는다（순환 대칭성）.

📝 연습문제:

스칼라 삼중곱의 행렬식 계산 → 문제 B-3. 스칼라 삼중곱

A.3　벡터곱끼리의 내적（BAC-CAB 공식으로의 포석）¶

🟡 리나: 본편에서 곡률텐서의 기하학적 의미를 논의할 때, 다음 공식을 사용했었지. 4개의 벡터 $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{d}$에 대해：

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \]

🔵 카이: 우변의 형태가 행렬식 같은데요.

🟡 리나: 이것은 $2 \times 2$ 행렬식으로도 쓸 수 있어：

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \begin{vmatrix} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d} \\ \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d} \end{vmatrix} \]

⚪ 메이: 대각선의 곱의 차, $( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})$라는 거네.

🟡 리나: 증명은 스칼라 삼중곱을 사용하면 전망이 좋아. $\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}$를 하나의 벡터 $\boldsymbol{e}$로 간주하면, A.2의 스칼라 삼중곱의 순환 대칭성으로부터：

\[ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{e} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{e}) \]

즉 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \boldsymbol{a} \cdot [\boldsymbol{b} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})]$.

여기서 BAC-CAB 공식（벡터 삼중곱의 공식）을 사용해. 이 공식은 성분 계산으로 직접 증명할 수 있어（증명은 연습문제 문제 M-1. BAC-CAB 공식의 증명에서 확인해줘）：

\[ \boldsymbol{b} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \boldsymbol{c}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - \boldsymbol{d}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \]

이것을 사용하면：

\[ = \boldsymbol{a} \cdot [\boldsymbol{c}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - \boldsymbol{d}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})] \]

\[ = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \]

🔵 카이: BAC-CAB이라는 이름이 붙어있군요. 그런데 지금 식은 $\boldsymbol{b} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})$니까 문자가 다른데……

🟡 리나: 역사적으로 $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$의 형태로 「BAC - CAB」이라고 외우는 거야. 우변의 머리글자를 읽으면 B-A-C 빼기 C-A-B. 문자를 바꿨을 뿐 같은 구조야.

🔵 카이: 그렇군요, 바깥쪽 벡터가 「가운데」에 들어가서 내적을 만드는 패턴이네요. 그런데, 결과가 $\boldsymbol{b}$와 $\boldsymbol{c}$의 선형결합이 되는 건 왜인가요? $\boldsymbol{a}$ 방향의 성분은 안 나오나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$는 $\boldsymbol{b}$와 $\boldsymbol{c}$가 이루는 평면에 수직한 벡터잖아? 그것과 $\boldsymbol{a}$의 외적을 취하면, 결과는 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$에 수직——즉 $\boldsymbol{b}$와 $\boldsymbol{c}$가 이루는 평면 안으로 돌아와. 평면 안의 벡터는, 그 평면을 이루는 $\boldsymbol{b}$와 $\boldsymbol{c}$의 선형결합으로 쓸 수 있어. 그래서 $\boldsymbol{a}$ 방향의 성분은 나오지 않는 거야.

⚪ 메이: 기하학적으로 생각하면 당연한 것이 공식의 형태에 제대로 반영되어 있는 거네.

✅ 이해도 체크: BAC-CAB 공식 $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$에서, 벡터 삼중곱의 결과는 어떤 형태로 표현될까요?

답

외적 안의 2개의 벡터 $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$의 선형결합으로 표현된다. 계수는 바깥쪽 벡터 $\boldsymbol{a}$와의 내적으로 결정된다.

📝 연습문제:

Lagrange의 항등식 수치 확인 → 문제 B-8. Lagrange 항등식의 확인, BAC-CAB 공식의 수치 확인 → 문제 B-9. BAC-CAB 공식의 확인, BAC-CAB 공식의 일반 증명 → 문제 M-1. BAC-CAB 공식의 증명, 벡터곱끼리의 내적 → 문제 M-3. 벡터곱끼리의 내적 공식, Levi-Civita 기호에 의한 통일적 유도 → 문제 A-1. Levi-Civita 기호에 의한 항등식

A.4　미분연산자¶

🟡 리나: 여기서부터는, 벡터장이나 스칼라장에 대한 미분 조작을 정의할게. 본편에서 휘어진 시공간으로 일반화한 공변미분의 「평탄한 공간 버전」이 바로 이거야.

나블라 연산자¶

🟡 리나: 먼저, 모든 미분연산자의 모체가 되는 나블라 연산자 $\nabla$（nabla）를 도입할게. 3차원 직교좌표 $(x, y, z)$에서：

\[ \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\right) \]

이것은 「벡터처럼 행동하는 미분연산자」라고 생각해줘.

🔵 카이: 벡터인데 내용물이 편미분……?

🟡 리나: 맞아, 그래서 「연산자」인 거야. 단독으로는 의미가 없고, 무언가에 작용시켜서 비로소 의미를 가져. 스칼라장에 작용시키면 grad, 벡터장과 내적을 취하면 div, 벡터장과 외적을 취하면 rot이 돼.

기울기（gradient）¶

🟡 리나: 스칼라장 $\varphi(x, y, z)$에 $\nabla$를 작용시키면：

\[ \operatorname{grad}\varphi = \nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\; \frac{\partial\varphi}{\partial y},\; \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right) \]

⚪ 메이: 결과는 벡터장이네. 스칼라를 넣으면 벡터가 나오는 거야.

🟡 리나: 맞아. 그리고 물리적으로는, $\nabla\varphi$는 「$\varphi$가 가장 급격히 증가하는 방향」을 향하고, 그 크기가 「변화율의 최댓값」을 줘. 각 성분 $\partial\varphi/\partial x$ 등이, 그 방향으로의 변화율을 나타내고 있어. 본편에서 중력 포텐셜 $\varphi$로부터 중력장 $\boldsymbol{g} = -\nabla\varphi$를 유도한 것을 기억하지.

발산（divergence）¶

🟡 리나: 벡터장 $\boldsymbol{F} = (F_x,\, F_y,\, F_z)$에 대해, $\nabla$와의 「내적」을 취하면：

\[ \operatorname{div}\boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]

🔵 카이: 결과는 스칼라네요.

🟡 리나: 맞아. 물리적으로는 「그 점에서 벡터장이 얼마나 용솟음치는지」를 나타내. $\operatorname{div}\boldsymbol{F} > 0$이면 용솟음（source）, $< 0$이면 빨아들임（sink）. 본편의 Maxwell 방정식 $\operatorname{div}\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0$은 「전하밀도 $\rho$가 있는 곳에서 전기장이 용솟음친다」는 의미였어.

미소 체적으로부터의 유도¶

🟡 리나: 왜 이 편미분의 합이 「용솟음」을 나타내는지, 물리적 이미지로부터 유도해두자.

점 $(x_0, y_0, z_0)$을 중심으로 하는 미소한 직육면체（변 $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$）를 생각해（각 면으로부터 $\boldsymbol{F}$가 얼마나 유출·유입하는지를 조사하는 이미지——오른면과 왼면, 윗면과 아랫면, 앞면과 뒷면의 3쌍으로 나누어 생각하는 거야）. 벡터장 $\boldsymbol{F}$가 이 상자에서 순수하게 얼마나 유출하는지를 계산하는 거야. 그림 A.2「발산의 미소 체적에 의한 유도」에 $x$ 방향의 예로서 오른면과 왼면을 통하는 $F_x$의 유출입 모습을 그렸으니, 보면서 읽어줘（$y$, $z$ 방향도 같은 요령이야）.

그림 A.2: 발산의 미소 체적에 의한 유도. 점 $(x_0, y_0, z_0)$을 중심으로 하는 미소 직육면체의 각 면을 통하는 벡터장의 유출입. 오른면과 왼면의 $F_x$의 차이가 $x$ 방향의 순수 유출을 준다.

$x$ 방향의 순수 유출: 오른면（$x_0 + \Delta x/2$）에서 나가는 양에서, 왼면（$x_0 - \Delta x/2$）에서 들어오는 양을 빼면：

\[ \left[F_x\!\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right) - F_x\!\left(x_0 - \frac{\Delta x}{2}\right)\right]\Delta y\,\Delta z \]

🔵 카이: 오른면을 통해 나가는 분에서, 왼면을 통해 들어오는 분을 빼는 거군요.

🟡 리나: 맞아. $F_x$를 $x_0$ 주위에서 1차 근사해. 편미분의 정의 $\partial F_x/\partial x = \lim_{h\to 0}[F_x(x_0+h) - F_x(x_0)]/h$를 변형하면, $h$가 충분히 작을 때 $F_x(x_0 + h) \approx F_x(x_0) + (\partial F_x/\partial x)\cdot h$라는 근사를 얻을 수 있어（이 「미분을 사용해서 함수를 근사하는」 수법을 일반적으로 Taylor 전개라고 불러——A.7의 Euler 공식 유도에서, 일반적인 Taylor 전개의 사고방식을 자세히 설명할게）. 이것을 사용하면 $F_x(x_0 \pm \Delta x/2) \approx F_x(x_0) \pm (\partial F_x/\partial x)(\Delta x/2)$. 차를 구하면 $(\partial F_x/\partial x)\Delta x$. 따라서 $x$ 방향의 순수 유출량은 $(\partial F_x/\partial x)\,\Delta V$（$\Delta V = \Delta x \Delta y \Delta z$）.

$y$ 방향·$z$ 방향도 마찬가지. 3방향을 합한 단위 체적당 순수 유출량이 발산이야：

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\text{（폐곡면으로부터의 순수 유출량）}}{\Delta V} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]

여기서 「폐곡면으로부터의 순수 유출량」을 수식으로 쓰면 $\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S}$가 돼. 처음 보는 기호일 테니 설명할게.

🔵 카이: $\oint$는 보통 적분 기호 $\int$와 뭐가 다른 건가요?

🟡 리나: $\oint$는, 닫힌 면（또는 곡선）전체에 걸쳐 더하는 것을 나타내는 적분 기호야（보통의 $\int$에 원이 붙어있어）. 그리고 $d\boldsymbol{S}$는 각 미소면의 면적벡터——면에 수직한 방향을 향하고, 크기가 그 미소면의 면적과 같은 벡터야. 「면에 수직한 방향」을 법선방향이라고 불러——고등학교에서 「접선」이 곡선을 따른 방향이었던 것과 짝으로, 「법선」은 면에서 튀어나오는 방향이야. 방향은 「바깥 방향」——즉 폐곡면（풍선처럼 닫힌 면）의 안쪽에서 바깥쪽으로 향하는 방향——으로 정하는 약속이야. 이렇게 하면 내적 $\boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S}$가 양이면 유출, 음이면 유입을 나타내게 돼.

🔵 카이: 면적분이란 건, 고등학교 적분처럼 「작은 띠를 더하는」 걸 면 위에서 하는 이미지인가요?

🟡 리나: 맞아, 바로 그 이미지야. 고등학교의 정적분은 「곡선 아래의 작은 띠를 더한다」——1차원을 따라 더하는 조작이지. 면적분은 「곡면을 잘게 타일로 나누고, 각 타일에서 『$\boldsymbol{F}$의 법선 성분 $\times$ 타일의 면적』을 계산하고, 전체 타일 분을 더한다」——2차원의 면 위에서 더하는 조작이야.

🔵 카이: 「법선 성분」이란, 면에 수직한 방향의 성분이죠. 그런데 그걸 어떻게 꺼내나요?

🟡 리나: 내적을 사용해. $d\boldsymbol{S}$는 면에 수직한 방향을 향한 면적벡터니까, 내적 $\boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = |\boldsymbol{F}||d\boldsymbol{S}|\cos\alpha$（$\alpha$는 $\boldsymbol{F}$와 $d\boldsymbol{S}$의 사잇각）를 취하면, $|\boldsymbol{F}|\cos\alpha$ = 법선 방향 성분이 자동으로 추출돼. 이것이 면적분이야. 그리고 이 「국소적인 편미분의 합」과 「폐곡면으로부터의 유출량」의 관계를, 유한한 체적으로 확장한 것이 A.6의 Gauss의 정리가 돼.

⚪ 메이: 즉, 리나 선생님이 처음에 보여준 「폐곡면으로부터의 유출량을 체적으로 나눈 극한」이 의미의 정의이고, 거기서 유도된 「편미분의 합」이 실제 계산에 사용하는 공식이라는 거네.

✅ 이해도 체크: 발산 $\nabla \cdot \boldsymbol{F}$는, 미소 체적을 사용하여 어떻게 물리적으로 정의되는가?

답

점을 둘러싼 미소 폐곡면으로부터의 벡터장의 순수 유출량을, 그 미소 체적으로 나눈 극한으로 정의된다. 양이면 용솟음, 음이면 빨아들임을 의미한다.

회전（rotation / curl）¶

🟡 리나: 벡터장 $\boldsymbol{F}$에 대해, $\nabla$와의 「외적」을 취하면：

\[ \operatorname{rot}\boldsymbol{F} = \nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \]

성분으로 쓰면：

\[ \operatorname{rot}\boldsymbol{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \]

🔵 카이: 각 성분이 「뺄셈」으로 되어있네요. 이게 벡터곱의 반대칭성에서 온다는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 물리적으로는 「벡터장이 그 점 주위에서 얼마나 소용돌이치는지」를 나타내. $\operatorname{rot}\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}$는 「전류가 흐르는 곳 주위에서 자기장이 소용돌이친다」는 의미야.

미소 루프로부터의 유도¶

🟡 리나: 발산을 「미소 체적으로부터의 유출」로 유도한 것과 같이, 회전은 「미소 루프를 따른 순환」으로 유도할 수 있어.

$xy$ 평면 내의 미소 직사각형 루프（중심 $(x_0, y_0, z_0)$, 변 $\Delta x$, $\Delta y$）를 반시계 방향으로 한 바퀴 도는 거야. 각 변을 따라 「$\boldsymbol{F}$의 변 방향 성분 $\times$ 변의 길이」를 계산하고, 한 바퀴분을 합계한 것을 순환（circulation）이라 불러——루프를 한 바퀴 「순환」하니까, 이 이름이 붙은 거야. 포인트는, 대변끼리（위 변과 아래 변, 오른 변과 왼 변）의 기여의 차이가 회전의 성분을 준다는 거야. 그림 A.3「회전의 미소 루프에 의한 유도」에 미소 루프의 각 변과 $\boldsymbol{F}$의 성분의 관계를 그렸으니, 보면서 읽어줘.

그림 A.3: 회전의 미소 루프에 의한 유도. $xy$ 평면 내의 미소 직사각형 루프를 반시계 방향으로 한 바퀴 돈다. 각 변을 따른 $\boldsymbol{F}$의 진행 방향 성분을 더한 것（순환）이, 대변끼리의 차이로서 회전의 성분을 준다.

정식으로는 선적분 $\oint \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$로 쓴다. 선적분이란 「곡선을 잘게 구간으로 분할하고, 각 구간에서 $\boldsymbol{F}$의 진행 방향 성분 $\times$ 구간의 길이를 계산하여, 전체 구간분을 더하는」 조작——고등학교의 정적분이 「$x$축을 따라 작은 띠를 더하는」 것과 같은 요령으로, 임의의 곡선을 따라 더하는 것이야. $d\boldsymbol{r}$은 곡선을 따른 미소 변위벡터로, 내적 $\boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$은 「$\boldsymbol{F}$의 진행 방향 성분 $\times$ 미소 거리」를 의미해. 다만 여기서는 미소 루프이므로 각 변별로 계산하면 충분해. 구체적으로：

아래 변（$y = y_0 - \Delta y/2$, 반시계 방향이므로 $+x$ 방향으로 진행）: $+F_x(x_0, y_0 - \Delta y/2)\,\Delta x$
위 변（$y = y_0 + \Delta y/2$, 반시계 방향이므로 $-x$ 방향으로 진행）: $-F_x(x_0, y_0 + \Delta y/2)\,\Delta x$
오른 변（$x = x_0 + \Delta x/2$, 반시계 방향이므로 $+y$ 방향으로 진행）: $+F_y(x_0 + \Delta x/2, y_0)\,\Delta y$
왼 변（$x = x_0 - \Delta x/2$, 반시계 방향이므로 $-y$ 방향으로 진행）: $-F_y(x_0 - \Delta x/2, y_0)\,\Delta y$

부호 결정법: 진행 방향과 좌표축의 양의 방향이 같으면 $+$, 반대이면 $-$. 반시계 방향으로 한 바퀴 돌면, 아래 변은 오른쪽으로（$+x$）, 오른 변은 위쪽으로（$+y$）, 위 변은 왼쪽으로（$-x$）, 왼 변은 아래쪽으로（$-y$） 진행해（그림 A.3「회전의 미소 루프에 의한 유도」의 화살표 방향을 확인해줘）.

⚪ 메이: 발산 때는 「면을 통하는 유출입」을 봤는데, 회전은 「변을 따른 성분」을 보는 거네.

🟡 리나: 맞아. 그럼 오른 변과 왼 변（$y$ 방향에 평행한 변）의 기여를 정리하자. 1차 근사（발산의 유도와 같은 Taylor 전개）를 사용하면, 오른 변과 왼 변의 차는 $[F_y(x_0 + \Delta x/2) - F_y(x_0 - \Delta x/2)]\,\Delta y \approx (\partial F_y/\partial x)\Delta x\,\Delta y$. 마찬가지로 위 변과 아래 변（$x$ 방향에 평행한 변）의 기여를 정리하면, 아래 변에서 위 변을 뺀 차는 $-[F_x(x_0, y_0 + \Delta y/2) - F_x(x_0, y_0 - \Delta y/2)]\,\Delta x \approx -(\partial F_x/\partial y)\Delta y\,\Delta x$. 전체로：

\[ \Gamma_z = \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\Delta A \qquad (\Delta A = \Delta x \Delta y) \]

단위면적당 순환이 회전의 $z$ 성분：

\[ (\nabla \times \boldsymbol{F})_z = \lim_{\Delta A \to 0}\frac{\Gamma_z}{\Delta A} = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \]

⚪ 메이: $yz$ 평면과 $zx$ 평면의 루프에서도 같은 것을 하면, $x$ 성분과 $y$ 성분이 나오겠네.

🟡 리나: 맞아. 그리고 이 「미소 루프의 순환」과 「회전의 면적분」의 관계를 유한한 곡면으로 확장한 것이, A.6의 Stokes의 정리야.

🔵 카이: 발산이 「미소 체적으로부터의 순수 유출」, 회전이 「미소 루프를 따른 순환」——기하학적으로 확실히 구분이 되네요. 그런데, 발산은 체적으로 나누고, 회전은 면적으로 나누는——차원이 다른데, 둘 다 「$\nabla$의 동료」인 거네요.

🟡 리나: 좋은 착안점이야. $\nabla$라는 하나의 연산자가, 스칼라장에 작용하느냐（grad）, 벡터장과 내적을 취하느냐（div）, 외적을 취하느냐（rot）로 전혀 다른 물리량을 만들어내. 입출력의 타입도 전부 달라——grad는 「스칼라 → 벡터」, div는 「벡터 → 스칼라」, rot은 「벡터 → 벡터」. 사실 제 24 장에서 도입한 미분형식과 외미분 $d$를 사용하면, grad·div·rot은 모두 「$d$를 작용시킨다」는 하나의 조작으로 통일돼. 하지만 지금은 $\nabla$의 3가지 얼굴을 구분해서 쓸 수 있으면 충분해.

⚪ 메이: 그렇구나, 입출력의 타입이 전부 다르니까, 잘못 조합하면 애초에 의미를 이루지 못하는 거네.

🔵 카이: 그럼, 라플라시안 $\nabla^2$은 「grad를 취한 다음 div를 취한다」이니까, $\nabla$의 얼굴을 2번 쓰는 거네요. 다른 조합——예를 들어 「div를 취한 다음 grad」나 「rot을 취한 다음 rot」도 있나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 「div를 취한 다음 grad」는 $\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F})$로, 다음 A.5에서 나오는 「rot의 rot」 공식에 등장해. 「rot을 취한 다음 rot」도 바로 A.5에서 다뤄. 순서대로 보자.

✅ 이해도 체크: 회전 $\nabla \times \boldsymbol{F}$의 $z$ 성분은, 미소 루프를 사용하여 어떻게 물리적으로 정의되는가?

답

$xy$ 평면 내의 미소 루프를 따른 벡터장의 순환（선적분）을, 그 루프가 둘러싼 미소면적으로 나눈 극한으로 정의된다. 이것은 「그 점 주위에서 벡터장이 얼마나 소용돌이치는지」를 나타낸다.

라플라시안（Laplacian）¶

🟡 리나: $\nabla$를 2번 작용시키는 조작도 중요해. 스칼라장 $\varphi$에 대해：

\[ \nabla^2\varphi = \nabla \cdot (\nabla\varphi) = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} \]

교과서에 따라서는 $\nabla^2$ 대신 $\Delta$로 쓰는 경우도 있지만, 이 책에서는 미소변화량 $\Delta x$와의 혼동을 피하기 위해, 라플라시안에는 $\nabla^2$를 사용할게.

⚪ 메이: grad를 취한 다음 div를 취하는, 2단계 조작이네.

🟡 리나: Newton의 중력장 방정식 $\nabla^2\varphi = 4\pi G\rho$는 「질량밀도 $\rho$가 포텐셜 $\varphi$의 휘어진 정도를 결정한다」는 의미야. 본편에서 Einstein 방정식이 Newton의 방정식을 일반화한 것이라고 설명했을 때, 이 대응이 열쇠였어.

✅ 이해도 체크: 나블라 연산자 $\nabla$를 스칼라장에 작용시키면 무엇이 얻어질까요? 벡터장과 내적을 취하면 무엇이 얻어질까요?

답

스칼라장에 작용시키면 기울기（gradient）——최급 상승 방향과 변화율을 나타내는 벡터장. 벡터장과 내적을 취하면 발산（divergence）——용솟음의 세기를 나타내는 스칼라장.

📝 연습문제:

기울기의 계산 → 문제 B-4. 스칼라장의 기울기, 발산의 계산 → 문제 B-5. 벡터장의 발산, 회전의 계산 → 문제 B-6. 벡터장의 회전, 라플라시안의 계산 → 문제 B-7. 스칼라장의 라플라시안

A.5　미분연산자의 중요한 항등식¶

🟡 리나: 다음의 2가지 항등식은 본편에서 여러 번 사용했어.

항등식 1：기울기의 회전은 영¶

\[ \operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi) = \nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0} \]

🔵 카이: 직관적으로는 이해가 되는 것 같기도 한데……기울기는 「비탈을 오르는 방향」이잖아요. 비탈을 오르는 방향을 따라 가도, 한 바퀴 돌아서 원래 자리로 돌아오는 일은 없다——그래서 소용돌이가 없다는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 물리적으로도 확인할 수 있어. 성분으로 쓰면, 예를 들어 $x$ 성분은 $\frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2\varphi}{\partial z\partial y}$. $\varphi$가 충분히 매끄러우면 편미분의 순서를 교환할 수 있으니까, 이것은 $0$이 돼. 즉, 보존력장 $\boldsymbol{F} = -\nabla\varphi$처럼 「포텐셜에서 유도되는 장」에는 소용돌이가 없어.

⚪ 메이: 그렇구나, A.0의 Schwarz의 정리로 혼합편미분이 상쇄하니까, 각 성분이 0이 되는 거네.

🔵 카이: 반대로, $\operatorname{rot}\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$이면 반드시 포텐셜이 존재하나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 구멍이 없는 영역——예를 들어 공의 내부처럼, 고무줄을 어디에 놓아도 한 점으로 쪼그라들 수 있는 영역——에서는 그렇게 말할 수 있어（수학에서는 이런 영역을 「단순연결」이라 불러）. 반대로 도넛의 표면처럼 구멍이 있는 영역에서는, 구멍을 관통하도록 감긴 고무줄은 끊지 않으면 한 점으로 줄일 수 없어——그런 루프를 따라서 $\operatorname{rot}\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$이어도 순환이 0이 되지 않는 반례를 만들 수 있어. 지금은 이 직관만 가지고 있으면 충분해. A.6에서 Stokes의 정리를 배운 후에, 「$\operatorname{rot}\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$이면 임의의 폐곡선에서 순환이 0」이 어떻게 유도되는지, 생각해봐.

🔵 카이: 그렇군요, 구멍이 없으면 괜찮다는 거네요. A.6의 Stokes의 정리를 배우면, 좀 더 확실히 알 수 있겠다.

항등식 2：회전의 발산은 영¶

\[ \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0 \]

🟡 리나: 이것도 항등식 1과 완전히 같은 논법——Schwarz의 정리——으로부터 따라나와. $\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F})$를 전개하면, 예를 들어 $\partial_x(\partial_y F_z - \partial_z F_y) + \cdots$처럼, 각 항이 혼합편미분의 차의 형태가 되어 전부 상쇄돼. 자세한 확인은 연습문제로 돌릴게. 물리적으로는, $\operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0$（자기 단극자는 존재하지 않는다）은, $\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}$로 쓸 수 있다는 것의 귀결이기도 해.

🔵 카이: 항등식 1이 「포텐셜이 있으면 소용돌이 없음」이고, 항등식 2가 「소용돌이에서 태어난 장에는 용솟음 없음」——서로 짝을 이루고 있네요.

항등식 3：회전의 회전¶

\[ \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F}) - \nabla^2 \boldsymbol{F} \]

🟡 리나: 이 항등식은 Maxwell 방정식에서 전자기파의 파동방정식을 유도할 때 결정적이야. $x$ 성분으로 확인해보자.

$\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{B}$로 놓고 성분을 써내리면, $B_x = \partial_y F_z - \partial_z F_y$, $B_y = \partial_z F_x - \partial_x F_z$, $B_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x$.

$\nabla \times \boldsymbol{B}$의 $x$ 성분은 $\partial_y B_z - \partial_z B_y$. 대입하면：

\[ [\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F})]_x = \partial_y(\partial_x F_y - \partial_y F_x) - \partial_z(\partial_z F_x - \partial_x F_z) \]

\[ = \partial_y \partial_x F_y - \partial_y^2 F_x - \partial_z^2 F_x + \partial_z \partial_x F_z \]

⚪ 메이: Schwarz의 정리로 미분 순서를 바꿔서 정리하는 거네.

🟡 리나: 맞아. Schwarz의 정리로 $\partial_y\partial_x = \partial_x\partial_y$, $\partial_z\partial_x = \partial_x\partial_z$를 사용하면：

\[ = \partial_x\partial_y F_y - \partial_y^2 F_x - \partial_z^2 F_x + \partial_x\partial_z F_z \]

여기서 $\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$를 만들고 싶으니까, $\partial_x^2 F_x$를 더하고 빼면（$+\partial_x^2 F_x - \partial_x^2 F_x = 0$이니까 값은 변하지 않아）：

\[ = \partial_x(\partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z) - (\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2)F_x \]

\[ = \partial_x(\nabla \cdot \boldsymbol{F}) - \nabla^2 F_x = [\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F})]_x - (\nabla^2 \boldsymbol{F})_x \]

$y$, $z$ 성분도 마찬가지이므로, 벡터로서 항등식이 성립해.

🔵 카이: 그러면, 만약 $\nabla \cdot \boldsymbol{F} = 0$인 경우에는 $\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F})$가 사라져서 $\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) = -\nabla^2 \boldsymbol{F}$가 되니까, 라플라시안만 남는 거네요. 본편에서 전자기파의 파동방정식이 나왔던 건, 전하가 없는 영역에서 $\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0$이었기 때문인가요?

🟡 리나: 맞아.

🔵 카이: 그럼 반대로, 전하가 있는 영역에서는 단순한 파동방정식이 되지 않는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 전하가 있는 영역에서는 $\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0 \neq 0$이니까, $\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{E})$ 항이 남아서 순수한 파동방정식이 되지 않아. 우변에 전하분포의 기울기가 「원천」으로 나타나게 돼.

⚪ 메이: 즉, $\nabla \cdot \boldsymbol{F} = 0$일 때만 라플라시안만 남아서 파동방정식이 된다——발산이 0인지 아닌지에 따라 방정식의 형태가 바뀌는 거네.

🔵 카이: 그럼 중력파도 「진공 중」이니까 파동방정식이 된 건가요? 물질이 있는 영역에서는 어떻게 되나요.

🟡 리나: 좋은 착안점이야. 본편 ch19에서 다뤘듯이, 진공 중에서는 선형화된 Einstein 방정식이 파동방정식이 되어 중력파가 전파돼. 물질이 있는 영역에서는 우변에 「원천」이 남아서, 파의 생성이 일어나——사중극 공식이 바로 그 「원천이 있는 방정식」에서 유도된 것이었어.

⚪ 메이: 그렇구나, 진공인지 아닌지에 따라 방정식의 형태가 바뀌어서, 전파와 생성이 나뉘는 거네.

🟡 리나: 맞아. 자, 여기까지 미분연산자의 중요한 항등식이 갖춰졌어. 다음은 적분정리로 나아가자.

📝 연습문제:

rot(grad φ) = 0의 확인 → 문제 B-10. rot(grad) = 0 의 확인, div(rot F) = 0의 증명 → 문제 M-2. div(rot) = 0 의 증명, 곱의 발산 공식 → 문제 M-4. 곱의 발산 공식

A.6　적분정리¶

🟡 리나: 마지막으로, 미분과 적분을 잇는 2가지 대정리를 서술할게. 증명은 생략하지만, 물리적 의미를 파악해두는 것이 중요해.

Gauss의 정리（발산정리）¶

\[ \oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \operatorname{div}\boldsymbol{F}\; dV \]

여기서 $V$는 폐곡면 $S$로 둘러싸인 영역, $d\boldsymbol{S}$는 바깥 방향 법선방향의 면적요소. 우변의 $\int_V \cdots dV$는 체적적분——영역 $V$를 미소한 정육면체로 분할하고, 각 정육면체에서 $\operatorname{div}\boldsymbol{F}$의 값 $\times$ 미소 체적 $dV$를 계산하여, 모든 정육면체분을 더하는 조작이야. 면적분이 「면을 잘게 타일로 나누어 더한다」였던 것에 비해, 체적적분은 「입체를 잘게 블록으로 나누어 더한다」——차원이 하나 올라갔을 뿐 같은 발상이야.

🔵 카이: 좌변은 「면을 통해 나가는 유량의 합계」, 우변은 「안에 있는 용솟음의 합계」. 그것이 같다고 말하는 거군요.

🟡 리나: 바로 그래. 본편에서 Einstein 방정식의 물리적 의미를 논의할 때, 「국소적인 곡률（div에 해당）과 대역적인 측지선의 어긋남（면적분에 해당）의 관계」로서 Gauss의 정리의 유추를 사용했었지.

⚪ 메이: A.4에서 「미소 체적의 순수 유출량을 체적으로 나누는」 것이 발산이었으니, 그것을 유한한 체적으로 합산한 것이 이 정리——국소와 대역을 잇는 다리인 거네.

✅ 이해도 체크: Gauss의 정리（발산정리）는, 어떤 2가지 양이 같다는 것을 말하고 있을까요?

답

폐곡면 $S$를 통하는 벡터장의 순수 유출량（면적분 $\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S}$）과, 그 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내의 발산의 체적적분（$\int_V \operatorname{div}\boldsymbol{F}\, dV$）이 같다.

Stokes（스토크스）의 정리¶

\[ \oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} \]

여기서 $C$는 곡면 $S$의 경계가 되는 폐곡선, $d\boldsymbol{r}$은 곡선을 따른 미소 변위벡터（A.4에서 도입한 선적분의 기호와 같아）.

⚪ 메이: 좌변은 「폐곡선을 따른 순환」, 우변은 「그 곡선으로 둘러싸인 면을 관통하는 소용돌이의 합계」.

🟡 리나: 본편에서 평행이동의 경로 의존성（홀로노미）을 논의했을 때, 「폐곡선을 따라 벡터를 운반했을 때의 어긋남」이 「둘러싸인 면의 곡률의 면적분」과 같다는 이야기를 했었지? 그것은 Stokes의 정리의 휘어진 공간 버전이었어.

🔵 카이: 아, 그래서 본편에서 「Stokes의 정리의 일반화」라고 했던 거군요. 여기로 돌아오는 거네요.

✅ 이해도 체크: Stokes의 정리는, 어떤 2가지 양이 같다는 것을 말하고 있을까요?

답

폐곡선 $C$를 따른 벡터장의 순환（선적분 $\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$）과, 그 폐곡선을 경계로 하는 곡면 $S$ 위에서의 회전의 면적분（$\int_S (\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S}$）이 같다.

📝 연습문제:

Gauss의 정리의 응용（쿨롱 전기장） → 문제 M-5. Gauss의 정리와 쿨롱 전기장, Stokes의 정리와 보존장·곡률의 관계 → 문제 A-2. Stokes 정리의 응용

A.7　파동방정식 — 2계 편미분방정식의 분류와 d'Alembert의 해¶

🟡 리나: 여기서부터는, 본편에서 반복해서 등장하는 2계 편미분방정식을 분류해둘게. ch01에서 Poisson 방정식과 전자기의 파동방정식을 비교하고, ch19에서는 Einstein 방정식의 선형화로부터 중력파의 파동방정식을 유도했어. 이후 끈이론 편에서도 끈의 진동이 파동방정식에 따르게 돼. 이것들을 함께 정리해둠으로써, 해의 거동을 전망 좋게 이해할 수 있어.

왜 분류가 필요한가¶

물리학에서 등장하는 편미분방정식은, 겉보기에는 비슷해도 해의 성질이 완전히 다르다. 파동방정식의 해는 진동하고, 확산방정식의 해는 감쇠하고, Poisson 방정식의 해는 정적이야. 방정식의 타입을 식별함으로써, 해의 거동을 예측할 수 있어.

3가지 타입¶

표 A.1: 2계 편미분방정식의 3가지 타입과 물리적 의미

타입	표준형（1차원）	물리적 의미	등장하는 장
파동방정식（쌍곡형）	$\partial_t^2 f = v^2 \partial_x^2 f$	파의 전파. 정보가 유한한 속도 $v$로 전달된다	제 1 장（전자기파）, 제 19 장（중력파）, 끈이론 편（끈의 진동, 이후 편에서 다룸）
확산방정식（포물형）	$\partial_t f = D \partial_x^2 f$	열의 확산, 입자의 확산. 비가역 과정	고전적 예: 열전도방정식
Poisson/Laplace 방정식（타원형）	$\nabla^2 f = \rho$	정적인 장의 분포. 시간에 의존하지 않음	ch01（중력 포텐셜）, 정전기장

식별법¶

시간의 2계 미분이 있음 → 파동방정식（진동하는 해）
시간의 1계 미분이 있음 → 확산방정식（감쇠하는 해）
시간 미분이 없음 → Poisson/Laplace 방정식（정적인 해）

⚪ 메이: 방정식의 「얼굴」을 보는 것만으로도, 해의 거동을 예측할 수 있는 거네.

1차원 파동방정식의 일반해（d'Alembert의 해）¶

🟡 리나: 끈이론의 ch13에서 끈의 진동을 다룰 때, 파동방정식의 일반해를 사용하게 돼. 여기서 변수변환에 의한 유도를 살펴보자. 출발점：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

스텝 1: 변수변환 $\xi = x - ct$, $\eta = x + ct$로 놓는다. 역으로 $x = (\xi + \eta)/2$, $t = (\eta - \xi)/(2c)$.

🔵 카이: 왜 이 변수변환을 생각해내는 건가요?

🟡 리나: 파동방정식은 「오른쪽으로 진행하는 파」와 「왼쪽으로 진행하는 파」를 포함할 거야. $x - ct$는 오른쪽 진행파의 위상, $x + ct$는 왼쪽 진행파의 위상이니까, 이 둘을 새로운 좌표로 삼으면 방정식이 간단해질 거라고 기대할 수 있어.

스텝 2: 연쇄법칙으로 편미분을 변환

A.0의 연쇄법칙을 사용해. $\xi = x - ct$, $\eta = x + ct$이니까 $\partial\xi/\partial x = 1$, $\partial\eta/\partial x = 1$, $\partial\xi/\partial t = -c$, $\partial\eta/\partial t = c$. 따라서：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \]

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = -c\frac{\partial u}{\partial \xi} + c\frac{\partial u}{\partial \eta} = c\left(-\frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) \]

⚪ 메이: A.0의 연쇄법칙이 여기서 바로 사용되는 거네.

스텝 3: 2계 미분을 계산

🟡 리나: 스텝 2의 $\partial/\partial x = \partial/\partial\xi + \partial/\partial\eta$를 한 번 더 작용시키면：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right)^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \]

마찬가지로 $\partial/\partial t = c(-\partial/\partial\xi + \partial/\partial\eta)$를 한 번 더 작용시키면：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\left(-\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right)^2 u = c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}\right) \]

스텝 4: 파동방정식에 대입 파동방정식 $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$의 좌변과 우변을 새 변수로 다시 쓰면：

좌변: $\partial_t^2 u = c^2(\partial_{\xi}^2 u - 2\partial_{\xi}\partial_{\eta} u + \partial_{\eta}^2 u)$
우변: $c^2 \partial_x^2 u = c^2(\partial_{\xi}^2 u + 2\partial_{\xi}\partial_{\eta} u + \partial_{\eta}^2 u)$

파동방정식 $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$에 대입하면, $c^2$가 양변에 공통인수로 걸려있어. $c^2 \neq 0$으로 양변을 나누면：

\[ \partial_{\xi}^2 u - 2\partial_{\xi}\partial_{\eta}u + \partial_{\eta}^2 u = \partial_{\xi}^2 u + 2\partial_{\xi}\partial_{\eta}u + \partial_{\eta}^2 u \]

양변에서 $\partial_{\xi}^2 u + \partial_{\eta}^2 u$를 빼면, 남는 것은 혼합미분 항뿐：$-2\partial_{\xi}\partial_{\eta}u = +2\partial_{\xi}\partial_{\eta}u$. 이항하면 $-4\partial_{\xi}\partial_{\eta}u = 0$. 즉

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \]

🔵 카이: 오, 그렇게 복잡했던 파동방정식이 변수변환만 하면 이렇게 간단해지다니!

⚪ 메이: $\partial_\xi^2$와 $\partial_\eta^2$ 항이 전부 사라지고, 혼합미분만 남았어.

스텝 5: 일반해

🟡 리나: $\partial^2 u/(\partial\xi\partial\eta) = 0$을 $\eta$에 대해 적분해. 1변수의 경우, $df/dx = 0$을 적분하면 $f = C$（상수）가 되지. 편미분의 경우는 「$\eta$ 이외의 변수（즉 $\xi$）는 상수 취급」이니까, $\partial(\partial u/\partial\xi)/\partial\eta = 0$을 $\eta$로 적분하면, $\partial u/\partial\xi$는 $\eta$에 의존하지 않아——즉 $\partial u/\partial\xi = h(\xi)$（$\xi$만의 임의함수）.

🔵 카이: 잠깐만요. 1변수라면 「미분이 0 → 상수」잖아요. 왜 편미분에서는 「상수」가 아니라 「$\xi$의 함수」가 되는 건가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. $\eta$로 적분할 때 $\xi$는 상수 취급이니까, 「$\eta$에 의존하지 않는 양」이면 뭐든 괜찮아. 1변수의 유추로 생각해봐：$df/dx = 0$의 해는 $f = C$（상수）——$x$에 의존하지 않는 양이지. 같은 논리로, $\partial(\cdots)/\partial\eta = 0$의 해는 「$\eta$에 의존하지 않는 양」= $\xi$의 임의함수. 즉 1변수에서의 「적분상수 $C$」가, 편미분에서는 「다른 변수의 임의함수」로 격상되는 거야.

⚪ 메이: 그렇구나, 「$\eta$에 대해서 보면 상수」이지만 「$\xi$에 대해서는 자유」이니까, $\xi$의 함수가 되는 거네.

🟡 리나: 맞아. 더 나아가 $\partial u/\partial\xi = h(\xi)$를 $\xi$에 대해 적분하자. $\eta$를 상수로 간주하면, 이 식은 1변수 미분방정식 $dF/dx = h(x)$와 같은 형태이니까, 보통의 부정적분과 같은 요령으로 적분할 수 있어.

1변수의 유추로 생각해봐. $dF/dx = h(x)$를 적분하면 $F(x) = \int h(x)\,dx + C$（$C$는 적분상수）이지. 지금의 경우, $\partial u/\partial\xi = h(\xi)$를 $\xi$로 적분하면 $u = f(\xi) + (\text{「적분상수」에 해당하는 것})$. 여기서 $f(\xi)$는 $h(\xi)$의 부정적분——$f$는 $\xi$만의 함수로, $df/d\xi = h(\xi)$를 만족해. $h$는 「$\xi$만의 임의함수」였으니까, $f$도 역시 「$\xi$만의 임의함수」가 돼（$f$를 $\xi$로 미분한 것이 $h$이니까, $f$는 매끄러운 함수야）. 구체적 예를 들면, $h(\xi) = \xi^2$이면 $f(\xi) = \xi^3/3$, $h(\xi) = \sin\xi$이면 $f(\xi) = -\cos\xi$, …와 같이 $h$가 바뀌면 $f$도 바뀌지만, 어느 쪽이든 「$\xi$만의 함수」라는 점은 변하지 않아.

그럼 「적분상수」는 어떻게 될까? 1변수라면 $C$는 「$x$에 의존하지 않는 상수」였어. 편미분의 경우는 「$\xi$에 의존하지 않는」 것만 만족하면 되니까, $C$가 $\eta$의 임의함수 $g(\eta)$로 격상돼.

결국 $u = f(\xi) + g(\eta)$이고, $f$도 $g$도 임의함수. 원래 변수로 되돌리면：

\[ \boxed{u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)} \]

🔵 카이: 이 $f$와 $g$는 구체적으로 어떤 함수인 건가요? 삼각함수가 아니어도 되나요?

🟡 리나: $f(x - ct)$는 오른쪽으로 속도 $c$로 진행하는 파, $g(x + ct)$는 왼쪽으로 진행하는 파를 나타내고 있어. 그리고 $f$, $g$는 정현파이든 펄스이든, 미분 가능한 임의의 함수가 해가 돼. 구체적으로 어떤 형태가 되는지는 초기조건（$t = 0$에서의 파의 형태와 속도）으로 결정돼. 이것이 끈이론의 ch13에서 끈의 진동을 왼쪽 진행파와 오른쪽 진행파로 분해할 때의 기초야.

⚪ 메이: 즉, 초기조건만 결정되면 $f$와 $g$는 유일하게 결정된다는 거네.

🔵 카이: 「초기조건으로 결정된다」고 해도, 구체적으로 어떤 형태가 되는지 이미지가 잘 안 떠올라요……. 고등학교 물리에서는 파를 $\sin$이나 $\cos$으로 썼었는데, 그건 이 일반해의 특수한 경우라는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 예를 들어 $f(s) = e^{-s^2}$（가우스 형 펄스）를 선택하면, $u = e^{-(x-ct)^2}$은 산 형태의 파가 오른쪽으로 속도 $c$로 진행하는 해가 돼. $\sin$이나 $\cos$은 무한히 이어지는 정현파이지만, 펄스처럼 국소화된 파도 해가 되는 거야. 고등학교에서 $\sin$만 사용했던 건, 주기적인 파를 다루는 상황이 많았기 때문이고, 파동방정식 자체는 더 일반적인 해를 허용해.

평면파 해와 분산 관계¶

🟡 리나: 좋은 질문이야. 그럼, d'Alembert의 일반해 중에서 가장 기본적인 「정현파」의 경우를 생각해보자.

먼저 정현파의 쓰는 법을 정리하고, 그것을 효율적으로 다루기 위한 도구（Taylor 전개와 Euler 공식）를 도입한 뒤, 마지막으로 파동방정식에 대입하여 분산 관계를 유도하는——3단계로 진행할게. 양자역학 이후에서도 필수적인 도구이니까, 여기서 확실히 유도해두자.

파장 $\lambda$（파 하나분의 공간적 길이）, 진동수 $\nu$（1초당 진동 횟수. 고등학교에서는 $f$로 쓰는 경우가 많지만, 물리학에서는 $\nu$（그리스 문자 뉴）도 많이 써）의 정현파를 생각하자. $\cos\theta$는 $\theta$가 $2\pi$ 증가할 때마다 1주기분 진동하지. 그래서 「$x$가 $\lambda$ 나아가면 1주기」로 하려면, $\cos$의 인수를 $\theta = 2\pi x/\lambda$로 하면 돼——$x$가 $\lambda$ 증가하면 인수가 $2\pi$ 증가하여, 딱 1주기분이 되지. 마찬가지로 「$t$가 $1/\nu$ 지나면 1주기」로 하려면 $2\pi\nu\, t$를 빼면 돼. 이렇게 정현파는 $\cos(2\pi x/\lambda - 2\pi\nu\, t)$로 쓸 수 있어.

🔵 카이: $2\pi/\lambda$나 $2\pi\nu$ 같은 조합이 계속 나오는데요. 약칭은 없나요?

🟡 리나: 있어. 파수 $k = 2\pi/\lambda$와 각진동수 $\omega = 2\pi\nu$를 정의해두면 편리해. 여기서 위상이란 $\cos$의 인수를 말해——즉 $\cos(kx - \omega t)$ 안의 $kx - \omega t$의 값이야. 위상이 $2\pi$ 바뀌면 $\cos$이 한 바퀴 돌아 원래로 돌아와. $k$는 「1 m 나아갈 때마다 위상이 얼마나 증가하는지」를 나타내는 양——파장 $\lambda$가 짧을수록 $k$는 커져. 예를 들어 $\lambda = 2$ m이면 $k = 2\pi/2 = \pi$ rad/m으로, 1 m 나아가면 위상이 $\pi$（= 반주기분）만큼 어긋나. $\omega$는 「1초당 위상이 얼마나 증가하는지」——진동수 $\nu$가 클수록 $\omega$도 커. 둘 다 $2\pi$가 붙는 건, 파 1주기분의 위상 변화가 $2\pi$ 라디안（= 360°= $\cos$이 한 바퀴 돌아 원래로 돌아오는 분）이기 때문이야.

⚪ 메이: 이것으로 정현파는 $\cos(kx - \omega t)$로 쓸 수 있네.

🟡 리나: 맞아. 그리고 이것을 $\cos[k(x - (\omega/k)t)]$로 다시 쓰면, d'Alembert의 $f(x - ct)$의 형태를 하고 있어——$\omega/k$가 파의 속도에 대응하는 거야. 자, 이 정현파 $\cos(kx - \omega t)$를 더 다루기 쉬운 형태로 바꾸고 싶어. 그러기 위해, 먼저 지수함수와 삼각함수의 관계를 유도할게.

Taylor 전개¶

🟡 리나: 여기서 Taylor 전개라는 도구를 도입할게. 이것은 「함수를 어떤 점에서의 값, 1계 미분값, 2계 미분값, …을 사용하여 다항식의 무한합으로 나타내는 방법」이야. A.4의 발산 유도에서 「$f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)h$」라는 1차 근사를 사용했지. 그것은 「$x_0$ 주위에서 함수를 직선으로 근사하는」 조작이었어. 더 정밀도를 높이려면, 2차 항 $f''(x_0)h^2/2!$를 추가하여 포물선으로 근사해. 왜 $2!$로 나누냐면, $h^2$를 $h$로 2번 미분하면 $2! = 2$가 나오니까, 그것을 상쇄하여 「$x_0$에서의 2계 미분값」이 그대로 계수가 되도록 하기 위해서야. 일반적으로 $n$차 항은 $f^{(n)}(x_0)h^n/n!$——여기서 $f^{(n)}(x_0)$는 「$f$를 $n$번 미분하여 $x = x_0$을 대입한 값」을 나타내는 표기야（$f^{(1)} = f'$, $f^{(2)} = f''$, $f^{(3)} = f'''$, …의 일반화）. $h^n$을 $h$로 $n$번 미분하면 $n!$이 나오니까, $n!$로 나눠두면 계수가 $f^{(n)}(x_0)$가 돼. 3차, 4차……와 항을 늘려가면, 근사는 점점 정확해져. 그 극한이 Taylor 전개인 거야. 이번에는 $x_0 = 0$인 경우를 사용할게——$x_0 = 0$ 주위의 Taylor 전개를 특히 Maclaurin 전개라고도 부르지만, 하는 일은 같아.

🔵 카이: 그렇군요, 1차 근사가 직선, 2차 근사가 포물선이고, 항을 더 늘릴수록 원래 함수에 가까워지는 거네요.

🟡 리나: 맞아. 먼저 기호 설명을 할게——$n!$（「$n$의 계승」이라고 읽음）은 $1$부터 $n$까지의 정수를 전부 곱한 것：$n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$. 예를 들어 $2! = 1 \times 2 = 2$, $3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$, $4! = 24$. 또한 $0! = 1$로 약속해（$n = 0$ 항이 $f(0)$이 되도록 맞추기 위해서）. 이 기호를 사용하면, 일반 공식은：

\[ f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n \]

여기서 「$\cdots$」는 같은 패턴의 항이 무한히 계속됨을 나타내고 있어. 우변의 $\sum_{n=0}^{\infty}$는 「$n = 0, 1, 2, 3, \ldots$와 모든 음이 아닌 정수에 대해 더한다」는 의미의 기호야（$\sum$는 그리스 문자 대문자 시그마로, 「합계」를 나타내. 고등학교 수열에서 $\sum_{k=1}^{N} a_k$를 사용한 적이 있을 수 있는데, 상한이 $\infty$인 경우는 「항을 끝없이 더해나간 극한값」을 의미해）. $n$번째 항은 $f^{(n)}(0)\,x^n / n!$이야.

이 일반 공식을 사용하여 $e^x$（네이피어 수 $e \approx 2.718$의 $x$제곱）의 Taylor 전개를 구해보자. $e^x$의 가장 중요한 성질은 「미분해도 자기 자신」——즉 $f(x) = e^x$이면 $f'(x) = e^x$, $f''(x) = e^x$, … 와 같이 몇 번 미분해도 $e^x$ 그대로라는 것（사실 이 성질이야말로 $e$라는 특별한 수를 정의하는 이유야——「미분해도 변하지 않는 지수함수의 밑」으로서 $e$가 결정되는 거야）. 그래서 $x = 0$에서의 값은 모두 $f(0) = f'(0) = f''(0) = \cdots = e^0 = 1$. 일반 공식에 대입하면：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

⚪ 메이: 모든 미분값이 1이니까, 각 항의 계수가 $1/n!$이 될 뿐——놀라울 정도로 심플한 급수네.

🟡 리나: 이 전개가 임의의 $x$에서 원래 함수와 일치하는 이유에 대한 엄밀한 논의는 양자역학 편의 부록에 맡기지만, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$에 대해서는 모든 실수 $x$에서 급수가 수렴하여 원래 함수와 일치한다는 것이 알려져 있어. 지금은 그 결과를 인정하고 사용할게.

🔵 카이: 무한히 더해나가면 정말로 딱 $e^x$이 되나요? 도중에 멈추면 근사일 뿐이잖아요.

🟡 리나: 좋은 의문이야. 도중에 멈추면 확실히 근사——항을 늘릴수록 정밀도가 올라가. 하지만 $e^x$, $\cos x$, $\sin x$에 대해서는, 항을 무한히 더한 극한이 원래 함수와 완전히 일치한다는 것이 수학적으로 증명되어 있어. 직관적으로는, $e^x$를 $x = 0$ 주위에서 1차 근사하면 $1 + x$, 2차 근사하면 $1 + x + x^2/2$——$x$가 작을수록 적은 항으로 좋은 근사가 되고, $x$가 크더라도 항을 충분히 늘리면 따라잡게 돼. 엄밀한 증명은 나중으로 미루지만, 지금은 「이 함수들에서는 무한급수가 수렴한다」는 사실을 인정하고 앞으로 나아가자.

이 급수에 $x = i\theta$를 형식적으로 대입해보자. 여기서 $i$는 허수단위——$i^2 = -1$을 만족하는 수야（고등학교 수학에서 배웠지）. 「실수 공식에 허수를 넣어도 되나?」라고 생각할 수도 있지만, Taylor 전개는 각 항의 덧셈과 곱셈만으로 이루어져 있으니까, $x$가 복소수여도 각 항을 계산해서 더하는 것은 문제없이 할 수 있어（수렴에 대한 엄밀한 논의는 양자역학 편의 부록에 맡길게）：

\[ e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots \]

🔵 카이: $i$를 여러 번 거듭제곱하면 어떻게 되나요?

🟡 리나: 고등학교 수학에서 $i^2 = -1$은 배웠지. 거기서 순서대로 계산하면 $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$, $i^4 = i^3 \cdot i = (-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1$, $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$, … 와 같이 4개 주기로 $i, -1, -i, 1$을 반복해. 즉 $i$의 짝수 거듭제곱은 실수（$\pm 1$）, 홀수 거듭제곱은 순허수（$\pm i$）가 돼. 이것을 사용하여 각 항을 구체적으로 써내려보자：

$n=0$: $(i\theta)^0/0! = 1$（실수）
$n=1$: $(i\theta)^1/1! = i\theta$（순허수）
$n=2$: $(i\theta)^2/2! = i^2\theta^2/2! = -\theta^2/2!$（실수）
$n=3$: $(i\theta)^3/3! = i^3\theta^3/3! = -i\theta^3/3!$（순허수）
$n=4$: $(i\theta)^4/4! = i^4\theta^4/4! = +\theta^4/4!$（실수）
$n=5$: $(i\theta)^5/5! = i^5\theta^5/5! = +i\theta^5/5!$（순허수）

패턴이 보이지——짝수차 항은 실수, 홀수차 항은 $i$가 곱해진 순허수. 그래서 $e^{i\theta}$의 전개를 실수부（$i$를 포함하지 않는 항）와 허수부（$i$가 곱해진 항）로 나눌 수 있어：

\[ = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta \text{의 Taylor 전개}} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta \text{의 Taylor 전개}} \]

🔵 카이: 아, $i$의 거듭제곱이 주기적이니까, 짝수 거듭제곱 항과 홀수 거듭제곱 항이 자연스럽게 분리되는 거네요!

⚪ 메이: 짝수 거듭제곱 항이 실수부에, 홀수 거듭제곱 항이 허수부에 모이는 형태야.

🟡 리나: 맞아. $\cos\theta$와 $\sin\theta$도 같은 Taylor 전개 방법으로 급수로 전개할 수 있어. Taylor 전개의 일반 공식 $f(\theta) = f(0) + f'(0)\theta + f''(0)\theta^2/2! + f'''(0)\theta^3/3! + \cdots$에 대입해보자. $\cos\theta$의 경우：$\cos 0 = 1$, $(\cos\theta)' = -\sin\theta$이므로 $\theta=0$에서 $0$, $(\cos\theta)'' = -\cos\theta$이므로 $\theta=0$에서 $-1$, $(\cos\theta)''' = \sin\theta$이므로 $\theta=0$에서 $0$, $(\cos\theta)^{(4)} = \cos\theta$이므로 $\theta=0$에서 $1$, …과 같이 4개 주기로 $1, 0, -1, 0$을 반복해. 대입하면 $\cos\theta = 1 + 0 \cdot \theta + (-1)\theta^2/2! + 0 \cdot \theta^3/3! + 1 \cdot \theta^4/4! + \cdots$.

🔵 카이: 아, $\cos\theta$의 미분값이 $1, 0, -1, 0, \ldots$를 반복하는 것과, $e^{i\theta}$의 전개에서 짝수차 항만 뽑으면 $1, -1/2!, +1/4!, \ldots$가 되는 것이 대응하고 있네요! 그래서 $e^{i\theta}$의 실수부가 $\cos\theta$가 되는 거구나.

🟡 리나: 바로 그 말이야. 짝수차 항만 보면, $e^{i\theta}$의 실수부 계수는 $1, -1/2!, +1/4!, \ldots$로, $\cos\theta$의 전개와 완전히 일치해. 홀수차도 마찬가지로 $\sin\theta$와 일치하는 거야.

⚪ 메이: 그렇구나, $i$의 거듭제곱의 주기성이 실수부와 허수부로의 분리를 자동으로 해주는 거네.

🟡 리나: 그래. $\sin\theta$도 마찬가지로 확인해두자：$\sin 0 = 0$, $(\sin\theta)' = \cos\theta$이므로 $\theta=0$에서 $1$, $(\sin\theta)'' = -\sin\theta$이므로 $\theta=0$에서 $0$, $(\sin\theta)''' = -\cos\theta$이므로 $\theta=0$에서 $-1$, …. 대입하면 $\sin\theta = 0 + 1 \cdot \theta + 0 \cdot \theta^2/2! + (-1)\theta^3/3! + \cdots$. 정리하면：

\[ \cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots, \qquad \sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \]

이것이 바로 위의 실수부·허수부와 일치해. 이렇게 Euler의 공식

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

이 얻어져.

⚪ 메이: 즉, $e^{i\theta}$의 Taylor 전개를 실수부와 허수부로 나누면, 각각이 $\cos\theta$와 $\sin\theta$의 Taylor 전개와 항별로 일치했다——그래서 같다, 는 논법이네.

🔵 카이: 대단해요……지수함수와 삼각함수가 허수를 통해 연결된다니, 전혀 다른 함수처럼 보이는데. $\theta = \pi$를 넣으면 $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$이 되는 건가요?

🟡 리나: 맞아. $e^{i\pi} + 1 = 0$——이것은 Euler의 등식이라 불리는 유명한 식이야. 자, 이 공식을 사용하면, 정현파 $A\cos(kx - \omega t)$는 $$ u = Ae^{i(kx - \omega t)} $$

의 실수부로 나타낼 수 있어. $A$는 진폭（실수의 양의 상수）이야. 확인해두면, Euler의 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$에서 $\theta = kx - \omega t$로 놓으면 $Ae^{i(kx-\omega t)} = A\cos(kx - \omega t) + iA\sin(kx - \omega t)$이니까, 실수부는 확실히 $A\cos(kx - \omega t)$이야. 여기서 복소수의 기하학적인 보는 법을 소개해둘게. 복소수 $a + bi$를, 가로축에 실수부 $a$, 세로축에 허수부 $b$를 잡은 평면（복소평면이라 부름） 위의 점 $(a, b)$로 그릴 수 있어. 그러면 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$는, 실수부가 $\cos\theta$, 허수부가 $\sin\theta$이니까, 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$에 대응해——이것은 원점으로부터 거리 1（$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$이니까）, 가로축으로부터의 각도가 $\theta$인 위치에 있는 점이야. 즉 $e^{i\theta}$는 「단위원 위를 각도 $\theta$만큼 회전한 점」을 나타내고 있어. 이후 파동방정식의 계산에서는 이 복소 표기를 사용할게.

🔵 카이: 왜 굳이 복소수를 사용하나요? $\cos$ 그대로는 안 되나요?

🟡 리나: 2가지 이유가 있어. 먼저 실용적 면——$e^{i\theta}$를 미분하면 $ie^{i\theta}$가 나올 뿐이라, $\cos$과 $\sin$ 사이를 왔다 갔다 하지 않아도 돼. 다음으로 정당성——파동방정식은 선형（해를 상수배하거나 더해도 해가 된다）이야. 「선형」이란 좀 더 구체적으로 말하면, 방정식의 각 항이 $u$나 그 편미분의 1차식으로만 이루어져 있고, $u^2$이나 $u \cdot \partial_t u$ 같은 비선형 항이 없다는 거야. 이때, $u = u_1 + iu_2$（$u_1$, $u_2$는 실수값 함수）를 방정식에 대입하면, 각 항의 편미분은 실수부와 허수부로 분리할 수 있어——예를 들어 $\partial_t^2(u_1 + iu_2) = \partial_t^2 u_1 + i\partial_t^2 u_2$처럼. 그러면 방정식 전체가 「（$u_1$에 대한 방정식）$+ i \times$（$u_2$에 대한 방정식）$= 0$」의 형태가 돼. 여기서, 복소수 $a + bi = 0$이 성립하려면 $a = 0$이고 $b = 0$이어야 해（실수와 허수는 「독립된 방향」이니까, 한쪽만으로는 상쇄할 수 없어）. 그래서 $u_1$과 $u_2$는 각각 독립적으로 방정식을 만족해. 따라서 「복소수로 계산하고 마지막에 실수부를 취한다」는 절차가 정당화돼. 양자역학에서는 파동함수 자체가 복소수값이니까, 이 표기는 필수가 되지.

🔵 카이: 선형이니까 실수부와 허수부를 분리할 수 있다——계산 도구로서 복소수를 사용하고, 마지막에 실수부를 취하면 물리적 답이 나온다, 는 거네요. 그런데, 만약 방정식이 비선형이라면——예를 들어 $u^2$ 같은 항이 있으면, 이 방법은 쓸 수 없나요?

🟡 리나: 맞아, 쓸 수 없어. 비선형의 경우에는 $(u_1 + iu_2)^2 = u_1^2 - u_2^2 + 2iu_1 u_2$처럼 실수부와 허수부가 섞여버려서, 분리할 수 없게 돼. 다행히 파동방정식은 선형이니까 안심하고 사용할 수 있어.

⚪ 메이: 선형성이 「복소수를 도구로 사용할 수 있다」는 것의 보증이 되고 있어——여기는 중요한 포인트네.

🟡 리나: 그럼 실제로 이것을 파동방정식 $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$에 대입해보자. 아까 확인한 「$e^x$는 미분해도 형태가 변하지 않는다」 성질을 사용할 거야. $e^{ax}$를 $x$로 미분하면 연쇄법칙에서 $ae^{ax}$가 돼——$a$가 복소수여도 마찬가지야. 즉 $e^{i\theta}$를 $\theta$로 미분하면 $i\,e^{i\theta}$——미분할 때마다 $i$가 하나 앞에 나올 뿐, 함수의 형태는 변하지 않아.

구체적으로 $u = Ae^{i(kx - \omega t)}$를 $t$로 편미분하면, $x$는 상수 취급이니까 $e^{ikx}$ 부분은 그대로 남고, $e^{-i\omega t}$의 미분에서 $-i\omega$가 앞에 나와. 즉 $\partial u/\partial t = -i\omega\, u$. 한 번 더 $t$로 미분하면 $(-i\omega)^2 u = -\omega^2 u$가 곱해지니까, 좌변은 $-\omega^2 u$. 마찬가지로 $x$로 2번 미분하면 $(ik)^2 = -k^2$가 곱해지니까, 우변은 $-c^2 k^2 u$.

🔵 카이: 아, 미분할 때마다 $-i\omega$나 $ik$가 앞에 나올 뿐이고, $e$의 형태는 그대로 남는 거군요. 그래서 미분 계산이 그냥 곱셈으로 바뀌는 거구나——편리하다.

🟡 리나: 정리하면, 파동방정식 $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$에 대입한 결과는 $-\omega^2 u = -c^2 k^2 u$.

🔵 카이: $u \neq 0$으로 나누면 $\omega^2 = c^2 k^2$네요. 이건 $\omega$와 $k$에 여러 조합이 있을 수 있다는 건가요?

🟡 리나: 맞아. $\omega^2 = c^2 k^2$의 제곱근을 취하면 $|\omega| = c|k|$이야（$c > 0$이니까）. 여기서 물리의 관습으로 $\omega > 0$（진동수는 양）을 취해. 그러면 $\omega = c|k|$가 되고, 파의 진행 방향은 $k$의 부호가 담당하게 돼.

🔵 카이: 잠깐만요. 아까 $k = 2\pi/\lambda$라고 정의했잖아요. $\lambda$는 양이니까 $k$도 양이어야 하는 거 아닌가요……?

🟡 리나: 좋은 지적이야. $k = 2\pi/\lambda$는 파수의 크기의 정의야. 하지만 파의 진행 방향도 포함해서 나타내고 싶을 때, $k$에 부호를 붙여——$k > 0$이면 $+x$ 방향으로 진행하는 파, $k < 0$이면 $-x$ 방향으로 진행하는 파. 크기는 $|k| = 2\pi/\lambda$로 변하지 않아. 즉 $k$는 「1 m당 위상 변화」에 진행 방향의 정보를 실은 양인 거야.

$k > 0$일 때 $\omega = ck$이니까, $e^{i(kx - \omega t)} = e^{ik(x - ct)}$——위상 $k(x - ct)$가 일정한 점을 추적하면, $t$가 증가함에 따라 $x$도 증가해야 해. 즉 파의 산은 $+x$ 방향（오른쪽）으로 속도 $c$로 움직여. 반대로 $k < 0$이면 $\omega = c(-k) = -ck$이니까 $e^{i(kx - \omega t)} = e^{ik(x + ct)}$——위상 $k(x + ct)$가 일정한 점을 추적하면, $k < 0$이므로 $x + ct$가 감소하는 방향, 즉 $x$가 감소하는 방향（왼쪽）으로 진행하는 파가 돼.

⚪ 메이: d'Alembert의 일반해의 $f(x - ct)$와 $g(x + ct)$가, $k$의 부호에 대응하고 있는 거네.

🟡 리나: 정리하면, $\omega > 0$의 관습 하에서 $\omega = c|k|$가 성립하고, $k$의 부호가 진행 방향을 결정해. 이처럼 $\omega$와 $k$의 관계를 나타내는 식을 분산 관계라고 불러.

🔵 카이: 어, $k > 0$일 때 $\omega = c|k| = ck$이니까 $e^{i(kx - \omega t)} = e^{ik(x - ct)}$로 쓸 수 있잖아요. 이건 d'Alembert의 $f(x - ct)$ 형태 아닌가요?

🟡 리나: 좋은 발견이야. 마찬가지로 $k < 0$이면 $e^{ik(x + ct)}$가 되어 왼쪽 진행파 $g(x + ct)$에 대응해. d'Alembert의 일반해의 $f$와 $g$를 정현파로 구체화한 것이, 이 평면파 해인 거야.

⚪ 메이: 즉, 일반해 안의 「임의함수」를 정현파로 한정한 것이 평면파 해라는 거네.

🟡 리나: 맞아. 여기서 파의 산이 이동하는 속도（와 방향）를 위상속도라 부르고, $v_p = \omega/k$로 정의해. 왜 이것이 「파의 산의 속도」가 되는지 확인해두자. 파의 산은 위상 $kx - \omega t = \text{const}$의 위치에 있어. 이 조건을 $t$로 미분하면 $k(dx/dt) - \omega = 0$, 즉 $dx/dt = \omega/k$——이것이 산의 이동속도야. $k > 0$이면 $\omega = ck$이니까 $v_p = \omega/k = ck/k = c$（오른쪽으로 진행）. $k < 0$이면 $\omega = c|k| = c(-k) = -ck$이니까 $v_p = \omega/k = -ck/k = -c$（왼쪽으로 진행）. 어느 쪽이든 속도의 크기는 $|v_p| = c$로 같아. 고등학교에서 배운 $v = \lambda\nu$와의 대응도 확인해두면, $\lambda = 2\pi/|k|$, $\nu = \omega/(2\pi)$이니까 $\lambda\nu = \omega/|k| = c$로 일치해. 즉 이 파동방정식에서는, 위상속도의 크기가 어떤 파수 $k$에서도 같은 값 $c$가 돼——파의 형태가 무너지지 않고 전달되는 거야. 이런 경우를 「분산이 없다」고 말해.

⚪ 메이: 즉, $\omega = c|k|$에서 어떤 $k$든 위상속도의 크기 $|\omega/k| = c$가 같으니까, 모든 파가 같은 속도로 나아간다——그래서 파의 형태가 무너지지 않는다는 거네.

🔵 카이: 반대로 「분산이 있는」 경우는 어떻게 되나요? 애초에 「분산」이란 뭐가 흩어지는 건가요?

🟡 리나: 파수마다 속도가 다르면, 처음에는 함께 겹쳐 있던 파의 성분이 뿔뿔이 흩어져 나가——그래서 「분산」이라 부르는 거야. 예를 들어 수면파에서는 $\omega \propto \sqrt{k}$와 같은 관계가 돼. 위상속도는 $v_p = \omega/k \propto \sqrt{k}/k = 1/\sqrt{k}$이니까, 파수가 큰（파장이 짧은）파일수록 느리게 나아가. 그러면 처음에는 깨끗한 형태였던 파가 시간이 지남에 따라 무너져가. 진공 중의 빛이나 중력파는 $\omega = c|k|$로 분산이 없으니까, 파형을 유지한 채 전달돼.

🔵 카이: 그렇군요, 프리즘으로 백색광이 무지갯빛으로 나뉘는 것도, 유리 안에서 파장마다 속도가 다르다——즉 분산이 있기 때문이군요. 그럼 중력파도 진공 중에서는 분산이 없으니까, 파형이 그대로 유지되어 지구에 도달하는——그래서 LIGO에서 파형을 읽을 수 있는 거네요.

🟡 리나: 맞아. 만약 중력파에 분산이 있었다면, 먼 천체로부터 오는 동안 파형이 무너져버려서, 매치드 필터링을 사용할 수 없었을 거야. 분산이 없는 것은 중력파 천문학의 전제조건인 거야.

본편에서의 연결¶

🟡 리나: 이 파동방정식의 분류가 본편의 어디에서 작용했는지, 되돌아보자.

제 1 장（Poisson vs 파동）: Newton 중력은 시간 미분을 포함하지 않는 Poisson 방정식（타원형）——순시 전파. 전자기는 파동방정식（쌍곡형）으로 광속 $c$로 전달된다. 제 1 장에서는 이 차이를 특수상대론의 「정보는 광속을 넘지 못한다」는 요청과 대비시키고, 일반상대론의 동기로 삼았다. 여기서의 분류（타원형 = 순시 전파 vs 쌍곡형 = 유한 속도 전파）가 그 논의의 수학적 배경이 되고 있다.
제 19 장（중력파）: 선형화된 Einstein 방정식 $\Box \bar{h}_{\mu\nu} = -(16\pi G/c^4)T_{\mu\nu}$이 파동방정식의 형태를 취한다. 시공간 곡률의 미소한 요동이 광속으로 전파된다——중력파의 이론적 예언.
끈이론 편（이후 편에서 다룸）: 끈의 진동이 2차원의 파동방정식에 따르고, 그 일반해를 왼쪽 진행파·오른쪽 진행파로 분해하여 양자화한다.

🔵 카이: 전부 「파동방정식의 형태인지 아닌지」로 판정할 수 있군요. 이 분류를 알고 있으면, 새로운 방정식을 만났을 때 해의 성질을 바로 예측할 수 있겠어요.

✅ 이해도 체크: 편미분방정식에 시간의 2계 미분이 포함된 경우, 그것은 어떤 타입으로 분류될까요?

답

파동방정식（쌍곡형）으로 분류되며, 해는 진동한다（파로서 전파된다）.

✅ 이해도 체크: 1차원 파동방정식의 일반해 $u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)$에서, $c$는 무엇을 나타낼까요?

답

파의 전파 속도. $f(x - ct)$는 오른쪽으로 진행하는 파, $g(x + ct)$는 왼쪽으로 진행하는 파.

A.8　정리 표¶

🟡 리나: 마지막으로, 이 부록의 내용을 일람으로 정리해둘게.

표 A.2: 부록A의 연산·개념 정리 일람

연산·개념	기호	입력 → 출력	물리적 의미
편미분	$\partial f/\partial x$	다변수 함수 → 다변수 함수	다른 변수 고정에서의 변화율
기울기	$\nabla\varphi$	스칼라 → 벡터	최급 상승 방향과 변화율
발산	$\nabla \cdot \boldsymbol{F}$	벡터 → 스칼라	용솟음의 세기
회전	$\nabla \times \boldsymbol{F}$	벡터 → 벡터	소용돌이의 세기와 방향
라플라시안	$\nabla^2\varphi$	스칼라 → 스칼라	기울기의 발산（포텐셜의 휘어진 정도）
파동방정식	$\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f$	스칼라/벡터장이 만족하는 방정식	속도 $v$에서의 파의 전파

다음 장 예고¶

다음 부록 B에서는, 텐서곱과 Einstein의 축약 표기법을 도입한다. 벡터의 「첨자를 늘리는」 조작인 텐서곱을 이해하고, 일반상대성이론의 계산에서 불가결한 축약 표기법을 자유자재로 다룰 수 있도록 한다.

연습문제¶

📝 연습문제:

벡터곱의 성분 계산 → 문제 B-1. 벡터곱의 성분 계산

직교성 확인 → 문제 B-2. 벡터곱의 직교성

스칼라 삼중곱의 행렬식 계산 → 문제 B-3. 스칼라 삼중곱

Lagrange의 항등식 수치 확인 → 문제 B-8. Lagrange 항등식의 확인

BAC-CAB 공식의 수치 확인 → 문제 B-9. BAC-CAB 공식의 확인

BAC-CAB 공식의 일반 증명 → 문제 M-1. BAC-CAB 공식의 증명

벡터곱끼리의 내적 → 문제 M-3. 벡터곱끼리의 내적 공식

Levi-Civita 기호에 의한 통일적 유도 → 문제 A-1. Levi-Civita 기호에 의한 항등식

기울기의 계산 → 문제 B-4. 스칼라장의 기울기

발산의 계산 → 문제 B-5. 벡터장의 발산

회전의 계산 → 문제 B-6. 벡터장의 회전

라플라시안의 계산 → 문제 B-7. 스칼라장의 라플라시안

rot(grad φ) = 0의 확인 → 문제 B-10. rot(grad) = 0 의 확인

div(rot F) = 0의 증명 → 문제 M-2. div(rot) = 0 의 증명

곱의 발산 공식 → 문제 M-4. 곱의 발산 공식

Gauss의 정리의 응용（쿨롱 전기장） → 문제 M-5. Gauss의 정리와 쿨롱 전기장

Stokes의 정리와 보존장·곡률의 관계 → 문제 A-2. Stokes 정리의 응용

참고문헌¶

石井俊全『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』ベレ出版, 第 1 章「数学の準備」
太田浩一『電磁気学の基礎 I』東京大学出版会（Maxwell 방정식과 벡터 해석의 관계에 대해）
H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That, W. W. Norton（직관적 이해를 위한 입문서）