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제 1 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 해왕성의 질량 추정

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문제: 천왕성의 궤도 반지름 \(r_U\), 해왕성의 궤도 반지름 \(r_N\), 관측된 가속도의 편차 \(\delta a\)로부터 해왕성의 질량 \(M_N\)을 구하세요.

풀이:

해왕성이 천왕성에 미치는 중력 가속도는 Newton의 만유인력으로부터:

\(\delta a = \frac{GM_N}{(r_N - r_U)^2}\)

여기서 간단히 하기 위해, 천왕성과 해왕성이 같은 쪽에 있으며 거리가 \(|r_N - r_U|\)라고 근사했어요. \(M_N\)에 대해 풀면:

\(\boxed{M_N = \frac{\delta a \cdot (r_N - r_U)^2}{G}}\)

참고: 실제 Le Verrier와 Adams의 계산은 이것보다 훨씬 복잡하며, 궤도의 타원성과 행성의 상대 위치의 시간 변화를 고려하고 있어요. 이 문제는 본질적인 아이디어를 간략화한 것이에요.

B-2. 왜 T-V 이지 T+V 가 아닌가

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(a) \(L = T - V\) 인 경우 (올바른 Lagrangian):

\(L = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy\)

각 편미분:

\(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m\dot{y}, \qquad \frac{\partial L}{\partial y} = -mg\)

Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0\) 에 대입하면:

\(\frac{d}{dt}(m\dot{y}) - (-mg) = 0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot{y} + mg = 0\)

\(\boxed{m\ddot{y} = -mg}\)

이것은 Newton의 운동방정식으로, "중력이 아래쪽(\(-y\) 방향)으로 작용하여 공이 아래쪽으로 가속된다"를 올바르게 나타내요.

(b) \(L' = T + V\) 인 경우 (잘못된 Lagrangian):

\(L' = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy\)

각 편미분:

\(\frac{\partial L'}{\partial \dot{y}} = m\dot{y}, \qquad \frac{\partial L'}{\partial y} = +mg\)

Euler-Lagrange 방정식에 대입하면:

\(\frac{d}{dt}(m\dot{y}) - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad m\ddot{y} - mg = 0\)

\(\boxed{m\ddot{y} = +mg \quad(\text{비물리적})}\)

이것은 "중력이 위쪽으로 작용하여 공이 위쪽으로 가속된다"를 의미하며, 실험과 모순돼요.

물리적 의미: Lagrangian의 형태는 "자연법칙"이 아니라 "가설"이에요. \(L = T - V\)라는 형태는 "이렇게 놓고 Euler-Lagrange 방정식을 적용하면 Newton의 운동방정식이 나온다"는 사후적인 정당화에 의해 지지되고 있을 뿐이에요. 즉 Lagrangian 형식에서도 최종적으로는 실험과의 정합성에 의해 올바른 형태가 선택되고 있어요. 이것은 프롤로그의 "물리 모델은 모두 가설"이라는 입장과 정합해요.

검산: 초속 \(\dot{y}(0) = v_0\)로 위로 던진 경우, (a)에서는 \(y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2\) (최고점을 지나 낙하하는 포물선 운동), (b)에서는 \(y(t) = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2\) (무한히 가속하며 상승하는 비물리적 해)가 되어, (a)만이 실험과 일치해요.

Medium（표준）

M-1. Kepler의 제3법칙 도출

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문제: 만유인력 \(F = GMm/r^2\) 과 원운동의 조건 \(F = mv^2/r\) 을 사용하여 \(T^2 \propto r^3\) 을 유도하세요.

풀이:

원궤도 위의 행성(질량 \(m\))에 대해, 만유인력이 구심력을 제공해요:

\(G\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\)

양변의 \(m\) 을 소거하고, \(v\) 에 대해 풀면:

\(v^2 = \frac{GM}{r}\)

원운동의 주기는 \(T = 2\pi r / v\) 이므로:

\(T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \cdot \frac{1}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\)

양변을 제곱하면:

\(\boxed{T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3}\)

\(G\) 와 \(M\)(태양의 질량)은 상수이므로, \(T^2 \propto r^3\) 이 증명되었어요. 이것이 Kepler의 제3법칙이에요.

포인트: Newton의 모델로부터는 비례상수 \(4\pi^2/(GM)\) 까지 구체적으로 결정돼요. Kepler의 법칙은 "\(T^2 \propto r^3\)"이라는 관계를 경험적으로 발견한 것에 불과하지만, Newton의 모델은 비례상수의 값까지 예측해요. 이것이 "기술"과 "설명"의 차이예요.

M-2. 중력 퍼텐셜의 계산

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문제: \(r \neq 0\) 영역에서 \(\nabla^2 \Phi = 0\)을 구대칭 가정 하에 풀어 \(\Phi = -GM/r\)을 도출하세요.

풀이:

구대칭이므로 \(\Phi = \Phi(r)\)로 놓아요. 구좌표에서의 라플라시안은:

\(\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\)

\(r \neq 0\) 영역에서는 \(\rho = 0\)이므로, \(\nabla^2 \Phi = 0\):

\(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right) = 0\)

\(r^2 \neq 0\)이므로, 괄호 안이 상수예요:

\(r^2 \frac{d\Phi}{dr} = C_1\)

\(\frac{d\Phi}{dr} = \frac{C_1}{r^2}\)

적분하면:

\(\Phi = -\frac{C_1}{r} + C_2\)

경계 조건으로서, \(r \to \infty\)에서 \(\Phi \to 0\) (무한원에서 퍼텐셜이 0)을 부과하면 \(C_2 = 0\)이에요.

다음으로, \(C_1\)을 결정해요. 원점에 질량 \(M\)이 있으므로, 푸아송 방정식을 원점을 포함하는 구에서 체적적분해요 (가우스 정리를 사용):

\(\int \nabla^2 \Phi \, dV = 4\pi G \int \rho \, dV = 4\pi G M\)

좌변에 가우스 정리를 적용하면:

\(\oint \nabla\Phi \cdot d\mathbf{S} = \oint \frac{d\Phi}{dr} \cdot r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \frac{C_1}{r^2} \cdot 4\pi r^2 = 4\pi C_1\)

따라서 \(4\pi C_1 = 4\pi GM\), 즉 \(C_1 = GM\)이에요.

\(\boxed{\Phi = -\frac{GM}{r}}\)

확인: 이 \(\Phi\)로부터 힘을 계산하면 \(F = -m \frac{d\Phi}{dr} = -m \cdot \frac{GM}{r^2}\) (인력 방향으로 마이너스)예요. \(|F| = GMm/r^2\)이 되어 뉴턴의 만유인력과 일치해요.