프롤로그 연습문제¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 자연단위계에서의 차원 분석
- B-2. 4원벡터의 내적
- B-3. 입자 생성의 문턱값
- B-4. Lorentz 부스트의 행렬 연산
- B-5. 전자-양전자 쌍생성의 운동학
- B-6. 지표 축약 연습
- B-7. 스케일 감각
Medium（표준）
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 자연단위계에서의 차원 분석¶
장의 양자론에서는 자연단위계 \(\hbar = c = 1\)을 빈번하게 사용해요. 이 단위계에서는 모든 물리량의 차원을 「질량의 거듭제곱」 \([\text{mass}]^n\)으로 표현할 수 있어요. 다음 각 물리량의 질량 차원 \(n\)을 구하세요.
（a）에너지 \(E\)
（b）길이 \(\ell\)
（c）시간 \(t\)
（d）운동량 \(p\)
（e）작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\)（단, \(d^4x = dt\,d^3x\)）
힌트
\(\hbar = c = 1\)로 놓으면 \([E] = [\text{mass}]\), \([\hbar] = [E][t] = 1\)로부터 \([t]\)가 결정돼요. \(c = [\ell]/[t] = 1\)로부터 \([\ell]\)도 결정돼요. 작용 \(S\)는 \(\hbar\)의 단위를 가지므로 \([S] = [\hbar] = ?\)이에요.
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B-2. 4원벡터의 내적¶
Minkowski (민코프스키) 계량을 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\)（"mostly minus" 규약）로 놓아요. 4원운동량 \(p^\mu = (E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\) 에 대해 다음을 계산하세요.
（a）\(p_\mu = \eta_{\mu\nu}\,p^\nu\) 의 각 성분을 써 내려가세요.
（b）불변량 \(p^\mu p_\mu\) 를 \(E\) 와 \(|\mathbf{p}|\) 로 나타내세요.
（c）질량껍질 조건 (on-shell condition) \(p^\mu p_\mu = m^2\)（자연단위계）가 통상적인 단위계에서의 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) 에 대응함을 확인하세요.
힌트
\(p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\nu\) 이므로 \(p_0 = +E\), \(p_i = -p^i\) 이에요. 내적은 \(p^\mu p_\mu = E^2 - |\mathbf{p}|^2\) 이에요. 자연단위계에서 \(c = 1\) 을 복원하려면 \(E \to E/c\), \(m \to mc\) 의 차원을 추적하면 돼요.
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B-3. 입자 생성의 문턱값¶
자연단위계 (\(c = 1\))에서, 정지한 표적 입자(질량 \(M\))에 입사 입자(질량 \(m\), 운동 에너지 \(T\))를 충돌시켜 질량 \(m_1 + m_2 + \cdots + m_n\)인 입자를 생성하는 경우를 생각해요.
（a）입사 입자의 전체 에너지를 \(E = m + T\)로 쓸 때, 질량중심계의 불변 질량 \(\sqrt{s}\)를 \(E\), \(m\), \(M\)으로 나타내세요. 단,
이에요.
（b）힉스 입자(질량 \(m_H \approx 125\;\mathrm{GeV}\))를 정지 표적인 양성자(질량 \(m_p \approx 0.938\;\mathrm{GeV}\))에 양성자 빔을 쏘아 생성하는 최소한의 반응 \(p + p \to p + p + H\)를 생각해요. 문턱값 조건 \(\sqrt{s} = 2m_p + m_H\)로부터, 입사 양성자에 필요한 최소 운동 에너지 \(T_{\mathrm{thr}}\)를 구하세요(수치를 GeV 단위로).
힌트
표적이 정지해 있으므로 \(p_2^\mu = (M, \mathbf{0})\)이에요. \(s = (E + M)^2 - |\mathbf{p}_1|^2\)을 전개하고, \(E^2 - |\mathbf{p}_1|^2 = m^2\)을 사용해요. 문턱값에서는 질량중심계에서 모든 입자가 정지한 채로 생성되므로 \(\sqrt{s} = \sum m_{\text{final}}\)이에요.
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B-4. Lorentz 부스트의 행렬 연산¶
\(x\) 방향으로의 Lorentz 부스트 변환 행렬은
로 주어져요. 여기서 \(\beta = v/c\), \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\) 이에요.
（a）\(\beta = 3/5\) 일 때 \(\gamma\) 를 계산하세요.
（b）4원 운동량 \(p^\mu = (5m,\, 3m,\, 0,\, 0)\) 에 이 부스트를 적용하여 \(p'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, p^\nu\) 를 구하세요.
（c）\(p'^\mu p'_\mu = p^\mu p_\mu\) 가 성립하는 것（Lorentz 불변량의 보존）을 직접 계산으로 확인하세요.
힌트
\(\beta = 3/5\) 이면 \(\beta^2 = 9/25\), \(1 - \beta^2 = 16/25\), \(\gamma = 5/4\) 이에요. 행렬과 벡터의 곱을 성분별로 계산하세요.
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B-5. 전자-양전자 쌍생성의 운동학¶
광자 (\(m_\gamma = 0\))가 정지한 원자핵(질량 \(M \gg m_e\)) 근방에서 전자-양전자 쌍 (\(e^-e^+\))을 생성하는 반응 \(\gamma + N \to N + e^- + e^+\)을 생각해요.
（a）광자의 에너지를 \(E_\gamma\)라 할 때, 이 계의 불변질량 \(\sqrt{s}\)를 \(E_\gamma\)와 \(M\)으로 나타내세요.
（b）쌍생성의 문턱 조건 \(\sqrt{s} = M + 2m_e\)로부터, 필요한 최소 광자 에너지 \(E_\gamma^{\min}\)를 구하세요. \(M \gg m_e\) 근사로 답을 간결하게 하세요.
（c）\(m_e = 0.511\;\mathrm{MeV}\)로 하여, \(E_\gamma^{\min}\)의 수치를 MeV 단위로 구하세요（\(M \to \infty\) 극한）.
힌트
광자의 4원운동량은 \(k^\mu = (E_\gamma, E_\gamma, 0, 0)\)（질량이 0이므로 \(|\mathbf{k}| = E_\gamma\)）. \(s = (k + P_N)^\mu(k + P_N)_\mu\)를 전개해요. \(M \gg m_e\)에서는 \(E_\gamma^{\min} \approx 2m_e + 2m_e^2/M \approx 2m_e\)가 돼요.
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B-6. 지표 축약 연습¶
4차원 Minkowski 시공간에서, 다음의 지표 축약을 수행하세요.
（a）\(\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}\)
（b）\(\partial_\mu x^\mu\)（단, \(x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3)\)）
（c）\(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \phi \equiv \Box\phi\) 를 \((x^0, x^1, x^2, x^3)\) 의 편미분으로 명시적으로 써 내세요（\(\Box\) 는 d'Alembert (달랑베르) 연산자）.
힌트
（a）$\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = $ 시공간의 차원. （b）\(\partial_\mu x^\nu = \delta^\nu_\mu\) 를 사용해요. （c）\(\eta^{00} = +1\), \(\eta^{ii} = -1\).
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B-7. 스케일 감각¶
본문에서는 "장의 양자론은 전자 1개의 자기 모멘트부터 우주 전체의 구조까지, 스케일이 40자릿수 이상 다른 현상을 기술할 수 있다"고 서술되었어요. 아래의 에너지 스케일을 eV 단위로 개산하고, 큰 순서대로 나열하세요.
（a）전자의 정지 에너지 \(m_e c^2\)
（b）Higgs 입자의 정지 에너지 \(m_H c^2 \approx 125\;\mathrm{GeV}\)
（c）CMB (우주 마이크로파 배경복사) 광자의 전형적인 에너지（온도 \(T \approx 2.725\;\mathrm{K}\) 로부터 \(E \sim k_B T\) 로 개산. \(k_B \approx 8.617 \times 10^{-5}\;\mathrm{eV/K}\)）
（d）LHC의 질량중심계 충돌 에너지 \(\sqrt{s} = 13\;\mathrm{TeV}\)
힌트
\(1\;\mathrm{GeV} = 10^9\;\mathrm{eV}\), \(1\;\mathrm{TeV} = 10^{12}\;\mathrm{eV}\), \(m_e c^2 \approx 0.511\;\mathrm{MeV} = 5.11 \times 10^5\;\mathrm{eV}\). CMB는 \(\sim 10^{-4}\;\mathrm{eV}\) 정도의 크기예요.
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Medium（표준）¶
M-1. 불확정성 원리와 입자수 변화¶
양자역학에서 배운 에너지와 시간의 불확정성 관계
와 특수상대론의 질량-에너지 등가 \(E = mc^2\)를 결합하여 아래를 논하세요.
(a) 질량 \(m\)인 입자를 공간적으로 \(\Delta x\) 이하의 영역에 국소화시키려 할 때, 운동량의 불확정성 \(\Delta p \gtrsim \hbar / \Delta x\)로부터 입자의 운동에너지가 \(mc^2\)를 초과하는 조건을 유도하세요. 이 임계적인 길이 스케일 \(\Delta x_c\)를 \(m\), \(\hbar\), \(c\)로 표현하세요(콤프턴 파장(Compton wavelength) \(\lambda_C\)와의 관계를 명시할 것).
(b) \(\Delta x < \lambda_C\) 영역에서는 에너지의 불확정성이 \(mc^2\)를 초과하기 때문에, \(E = mc^2\)에 의해 새로운 입자-반입자 쌍이 생성될 수 있음을 논의하세요. 이것이 "입자수가 고정된 1입자 양자역학"의 파탄을 의미하는 이유를 설명하세요.
(c) 전자의 콤프턴 파장 \(\lambda_C = \hbar/(m_e c)\)를 수치로 구하고(fm 단위), 이것이 원자핵의 크기(\(\sim\) 수 fm)와 같은 정도임을 확인하세요. 원자물리(\(\sim 0.1\;\mathrm{nm}\) 스케일)에서는 입자수의 변화를 무시할 수 있지만, 원자핵·입자물리에서는 무시할 수 없음을 논하세요.
힌트
(a) \(\Delta p \sim \hbar/\Delta x\)로부터 운동에너지 \(\sim (\Delta p)^2/(2m)\)가 \(mc^2\)를 초과하는 조건, 또는 상대론적으로 \(c\Delta p \sim mc^2\)로 하는 편이 더 직접적이에요. (b) 가상적인 쌍생성의 에너지가 불확정성의 범위 안에 들어감을 논의하세요. (c) \(\hbar c \approx 197\;\mathrm{MeV \cdot fm}\), \(m_e c^2 \approx 0.511\;\mathrm{MeV}\).
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M-2. 현의 진동과 "입자"¶
무한히 긴 현（선밀도 \(\mu\), 장력 \(T\)）의 횡진동 \(\phi(x, t)\)은 파동방정식
을 따라요.
（a）\(v = \sqrt{T/\mu}\)로 놓고, 이 방정식을 \(\Box\phi = 0\)（1+1 차원의 d'Alembert 방정식）의 형태로 다시 쓰세요.
（b）길이 \(L\)인 현（양 끝 고정）의 일반해를 푸리에(Fourier) 급수로 쓰고, 각 모드 \(n\)의 진동수 \(\omega_n\)을 구하세요.
（c）양자역학에서 배운 조화진동자의 양자화를 떠올리면, 각 모드 \(n\)의 에너지는
가 돼요. \(N_n\)을 "모드 \(n\)에 존재하는 입자의 수"로 해석하면, 이것은 바로 장의 양자론의 원형이에요. 이 유사성을 이용하여, "장의 진동 모드가 입자이다"라는 본문 속 리나의 설명을 현의 진동의 언어로 다시 서술하세요.
힌트
（a）\(\partial_t^2 \phi - v^2 \partial_x^2 \phi = 0\)。（b）\(\phi(x,t) = \sum_n q_n(t)\sin(n\pi x/L)\)로 놓으면 \(\omega_n = n\pi v/L\)。（c）"현 전체"가 장에 대응하고, "각 진동 모드의 에너지 양자"가 입자에 대응해요.
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M-3. 반증 가능성과 정밀 일치¶
본문에서 리나는 "장의 양자론은 진리가 아니라 모델이다"라고 말하며, Newton의 중력 모델이 수성의 근일점 이동에 의해 수정을 요구받은 예를 들었어요.
（a）전자의 비정상 자기 모멘트 \(a_e = (g-2)/2\)의 QED 이론값은 현재, \(\alpha\)（미세구조 상수 (fine-structure constant)）의 거듭제곱 전개로서
의 형태로 계산되고 있어요. 최저차 항 \(\alpha/(2\pi)\)의 수치를, \(\alpha \approx 1/137.036\)을 사용하여 유효숫자 4자리로 구하세요.
（b）이 값은 \(a_e \approx 0.00116\)과 비교돼요. 최저차만으로도 실험값의 대부분을 설명할 수 있음을 확인한 후, "더 높은 차수의 항을 계산하여 실험과 비교하는" 것이 과학적 방법론에서 왜 중요한지를 반증 가능성 (falsifiability)의 관점에서 200자 정도로 논하세요.
（c）만약 장래에 \(a_e\)의 이론값과 실험값이 소수점 이하 15번째 자리에서 어긋났다고 가정해요. 이것은 장의 양자론（QED）이 "틀렸다"는 것을 의미하나요? 본문의 과학철학적 입장에 기반하여 논하세요.
힌트
（a）\(\alpha/(2\pi) = 1/(2\pi \times 137.036)\)。（b）고차 항은 새로운 물리（미지의 입자 등）의 효과에 감도를 가져요. 일치하면 모델의 신뢰도가 올라가고, 불일치하면 모델의 수정（또는 새로운 물리의 발견）이 필요해져요.（c）"모델의 적용 범위의 한계가 발견되었다"고 해석해야 하며, 모델이 전면적으로 "틀린" 것이 되는 것은 아니에요. Newton 역학이 일상 스케일에서 여전히 유효한 것과 마찬가지예요.
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M-4. Planck 스케일의 차원 분석¶
중력 상수 \(G\), Planck(플랑크) 상수 \(\hbar\), 광속 \(c\)로 구성되는 Planck 질량 \(M_P\), Planck 길이 \(\ell_P\), Planck 시간 \(t_P\)를 차원 분석으로 도출하세요.
（a）\(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\) 임을 \([G]\), \([\hbar]\), \([c]\)의 차원 분석으로부터 유도하세요.
（b）\(\ell_P\)와 \(t_P\)를 \(G\), \(\hbar\), \(c\)로 나타내세요.
（c）\(G \approx 6.674 \times 10^{-11}\;\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\), \(\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\), \(c \approx 3.0 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\)를 이용하여 \(M_P\), \(\ell_P\), \(t_P\)의 수치를 SI 단위로 구하세요.
（d）\(M_P c^2\)를 GeV 단위로 변환하고, LHC의 질량중심계 에너지 \(13\;\mathrm{TeV}\)와 비교하세요. 본문에서 "장의 양자론에 중력을 포함시키려 하면 파탄이 생긴다"고 서술된 것과 이 스케일의 거대함의 관계를 100자 정도로 서술하세요.
힌트
\([G] = \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\), \([\hbar] = \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}\), \([c] = \mathrm{m\,s^{-1}}\). \(M_P = G^a \hbar^b c^d\)로 놓고 \([M_P] = \mathrm{kg}\)으로부터 \(a, b, d\)를 결정해요. \(1\;\mathrm{GeV} \approx 1.602 \times 10^{-10}\;\mathrm{J}\).
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Advanced（발전）¶
A-1. 동종 입자의 구별 불가능성（장의 양자론에서는 귀결）¶
본문에서 리나는 "모든 전자가 완전히 동일한 것은 같은 장의 같은 종류의 진동이기 때문"이라고 말했어요. 양자역학에서는 동종 입자의 구별 불가능성이 공리로서 부과되었지만, 장의 양자론에서는 그것이 정리로서 도출돼요. 아래의 논의를 통해 이 세계관의 전환을 직접 체험해 보세요.
(a) 양자역학(@chapter:16〜17장에서 배운 내용)을 떠올리며, 2개의 동종 보손의 파동함수가 교환에 대해 대칭이어야 한다는 것이 양자역학의 틀 안에서 어떻게 정당화되었는지 간결하게 서술하세요(공리로서 부과되었음을 지적할 것).
(b) 장의 양자론에서는 스칼라장 \(\hat{\phi}(x)\)의 Fourier 전개에 나타나는 생성 연산자 \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}}\)를 이용하여 2입자 상태를
로 정의해요. 보손장의 교환 관계 \([\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}] = 0\)으로부터 \(|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle\)이 자동적으로 성립함을 보이세요.
(c) 마찬가지로, Dirac 장의 페르미온 생성 연산자 \(\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p},s}\)의 반교환 관계 \(\{\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}, \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\} = 0\)으로부터, 2페르미온 상태가 교환에 대해 반대칭임을, 그리고 \(\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_2\), \(s_1 = s_2\)일 때 상태가 영이 됨(Pauli의 배타 원리)을 보이세요.
(d) 이상을 바탕으로, "동종 입자의 구별 불가능성과 스핀-통계 관계는 장의 양자론에서는 공리가 아니라 귀결이다"라는 주장을, 양자역학과 장의 양자론의 세계관 차이에 언급하면서 300자 정도로 논하세요.
힌트
(b) \(\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2} = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1} + [\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}]\). 교환 관계가 영이므로 좌변과 우변의 제1항이 같아요. (c) 반교환 관계 \(\{A, B\} = AB + BA = 0\)으로부터 \(AB = -BA\). \(A = B\)일 때 \(A^2 = -A^2\)이므로 \(A^2 = 0\). (d) 양자역학에서는 "대칭화 공리"로서 선험적으로 부과했던 것이, 장의 양자화 구조(교환 관계 vs 반교환 관계)로부터 자연스럽게 도출됨을 강조하세요.
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A-2. 중력 결합상수의 차원 분석과 재규격화 불가능성¶
본문에서 "장의 양자론에 중력을 포함시키려 하면 계산이 무한대로 발산하여 제어할 수 없게 된다"고 언급했어요. 이 문제의 핵심은 중력의 결합상수가 음의 질량 차원을 갖는다는 점에 있어요. 아래의 논의를 통해 차원 분석만으로도 재규격화 불가능성의 "냄새"를 맡아보세요.
(a) QED의 결합상수(전하 \(e\))는 자연단위계에서 무차원이에요. 이를 확인하기 위해 QED의 상호작용 라그랑지안 밀도
의 각 인자의 질량 차원을 구하고, \([e] = [\text{mass}]^0\)임을 보이세요. 단, 4차원 시공간에서 \([\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4\), 페르미온 장 \([\psi] = [\text{mass}]^{3/2}\), 게이지 장 \([A_\mu] = [\text{mass}]^1\)로 해요.
(b) 일반상대론의 Einstein-Hilbert 작용(일반상대론 제 6 장 참조)은
이에요. 자연단위계에서 \([S] = [\text{mass}]^0\), \([d^4x] = [\text{mass}]^{-4}\), 리치 스칼라 \([R] = [\text{mass}]^2\)로 하여 \([G]\)의 질량 차원을 구하세요. 나아가 중력 결합상수 \(\kappa = \sqrt{32\pi G}\)의 질량 차원을 구하세요.
(c) 장의 양자론의 일반적인 결과로서, 결합상수 \(g\)의 질량 차원이 \([g] = [\text{mass}]^\delta\)일 때: - \(\delta > 0\): 초재규격화 가능 (super-renormalizable) - \(\delta = 0\): 재규격화 가능 (renormalizable) - \(\delta < 0\): 재규격화 불가능 (non-renormalizable)
으로 분류해요(자세한 내용은 제 16 장에서 배워요). QED와 중력을 각각 이 분류에 대응시키세요.
(d) 재규격화 불가능한 이론에서는 루프 차수가 올라갈 때마다 새로운 종류의 발산이 나타나 유한 개의 매개변수로는 흡수할 수 없어요. 이 사실과, 끈이론이 "점입자"를 "유한한 크기를 가진 끈"으로 대체함으로써 발산을 완화한다는 본문 속 리나의 설명을 결합하여, "왜 중력의 양자화에는 장의 양자론을 넘어서는 틀이 필요한가"를 300자 정도로 논하세요.
힌트
(a) \([\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\, A_\mu] = [3/2 + 3/2 + 1] = [\text{mass}]^4\)이므로 \(\mathcal{L}_{\mathrm{int}}\)의 차원이 맞으려면 \([e] = 0\). (b) \([G^{-1}] \cdot [\text{mass}]^{-4} \cdot [\text{mass}]^2 = [\text{mass}]^0\)에서 \([G^{-1}] = [\text{mass}]^2\), 즉 \([G] = [\text{mass}]^{-2}\). (c) \([\kappa] = [G]^{1/2} = [\text{mass}]^{-1}\). (d) \(\delta < 0\)은 고에너지에서 결합이 강해짐을 의미하며, 섭동 전개의 각 차수에서 새로운 유형의 발산이 출현해요. 유한 개의 상쇄항(counterterm)으로는 제어 불가능해요.
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