Appendix A　벡터 해석과 편미분방정식¶

← 제25장 양자중력의 현재 위치 B 물리상수와 단위계 →

지금까지의 줄거리: 본편의 제 1 장에서는 중력 퍼텐셜의 기울기와 라플라시안이, 제 2 장에서는 Maxwell 방정식의 발산·회전이 등장했다. 제 13 장 이후에서는 끈의 진동을 다루기 위해 2차원 파동방정식이 중심이 된다.

이 부록의 목표

본편에서 등장하는 벡터 해석과 편미분방정식 도구 중 끈이론에 고유한 부분——2차원 파동방정식·좌우 진행파로의 분해·끈의 경계 조건에 의한 진동 모드——에 집중하여 정리한다
일반적인 도구(편미분·grad·div·rot·라플라시안·Gauss/Stokes 정리·파동방정식의 d'Alembert 해 등)는 「일반상대론」편의 @chapter:gr의/appendix-a에 자기 완결적으로 정리해 놓았으므로, 먼저 그쪽을 참조해 주길 바란다

🟡 리나: 「일반상대론」편의 @chapter:gr의/appendix-a를 읽은 사람은, 이 부록은 가볍게 요점만 확인하는 것으로 충분해요. 끈이론 고유의 부분은 A.3과 A.4뿐이니까, 거기에 집중해서 읽어도 괜찮아요.

🔵 카이: 「일반상대론」편에서 편미분이나 grad/div/rot은 이미 했잖아요. 파동방정식의 일반해도 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 부록 A에 있고요.

🟡 리나: 맞아요. 여기서는 중복을 피하고, 끈이론에서 새로 필요해지는 부분——"끈이라는 1차원 물체가 시간 발전하는 과정"을 기술하는 2차원 파동방정식의 구조——에 집중할 거예요.

A.1　「일반상대론」편 Appendix A의 요점 요약¶

🟡 리나: 이 부록에서 사용하는 도구를 일람표로 정리해 둘게요. 상세한 유도·증명·계산 예시는 모두 「일반상대론」편의 @chapter:gr의/appendix-a에 있으니, 그쪽을 참조해 주세요.

미분 연산자¶

표 A.1: 미분 연산자의 정의와 의미

연산	정의(직교좌표)	의미
편미분	$\partial f / \partial x$: 다른 변수를 고정하고 $x$만으로 미분	다변수 함수의 각 방향 변화율
기울기	$\nabla\varphi = (\partial_x\varphi,\, \partial_y\varphi,\, \partial_z\varphi)$	최대 경사 방향과 변화율
발산	$\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$	샘솟음의 세기
회전	$(\nabla \times \boldsymbol{F})_i = \epsilon_{ijk}\partial_j F_k$	소용돌이의 세기와 방향
라플라시안	$\nabla^2\varphi = \partial_x^2\varphi + \partial_y^2\varphi + \partial_z^2\varphi$	주위 평균으로부터의 어긋남

중요한 항등식¶

$\nabla \times (\nabla\varphi) = 0$ (보존력장은 소용돌이 없음)
$\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0$ (소용돌이에는 샘솟음 없음)
$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F}) - \nabla^2 \boldsymbol{F}$ (Maxwell의 파동방정식 유도에 사용)

적분 정리¶

Gauss 정리: $\displaystyle\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{F}\, dV$
Stokes 정리: $\displaystyle\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S}$

2계 편미분방정식의 분류¶

표 A.2: 2계 편미분방정식의 분류

유형	표준형	해의 성질	대표 예
파동형(쌍곡형)	$\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f$	속도 $v$로 전파	전자기파, 중력파, 끈의 진동
확산형(포물형)	$\partial_t f = D \nabla^2 f$	감쇠	열전도, Schrödinger(허수 계수)
타원형	$\nabla^2 f = \rho$	정적 분포	Newton 중력, 정전기장

1차원 파동방정식의 d'Alembert 일반해¶

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \quad\Longrightarrow\quad u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) \]

$f$는 오른쪽 진행파, $g$는 왼쪽 진행파. $f, g$는 임의의 2회 미분 가능한 함수.

상세한 유도(변수 변환 $\xi = x - ct$, $\eta = x + ct$에 의한)는 「일반상대론」편의 @chapter:gr의/appendix-a, A.7을 참조.

🔵 카이: 여기까지가 전제 조건이죠. 끈이론에서 새로 나오는 건 뭔가요?

🟡 리나: 본질적으로는, 이 1차원 파동방정식을 2차원 세계면 위로 가져오는 것과, 끈의 경계 조건이 진동 모드를 이산화한다는 두 가지예요. 그걸 A.3과 A.4에서 살펴보도록 해요.

A.2　연습문제 맵¶

🟡 리나: 이 부록의 연습문제는, 「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A의 내용을 끈이론 맥락에서 복습·확인하는 것이에요. 익숙한 사람은 건너뛰어도 되고, 자신 없는 사람은 문제를 풀면서 각 토픽을 복습할 수 있어요.

표 A.3: 연습문제와 토픽의 대응

연습문제	토픽	참조
A.1–A.4	편미분(기초 계산, 확산방정식)	「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.0
A.5–A.7	기울기(중력 퍼텐셜, 등고선)	「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.4.2
A.8–A.11	발산(구체적 계산, Coulomb 전기장)	「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.4.3
A.12–A.15	회전(소용돌이 유무, 벡터 퍼텐셜)	「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.4.4
A.16–A.19	라플라시안(Laplace 방정식)	「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.4.5
A.20–A.22	벡터 항등식($\nabla\cdot\nabla\times$, $\nabla\times\nabla$)	「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.5
A.23–A.28	파동방정식·정상파·끈의 진동 모드	본 부록 A.3, A.4

📝 전체 연습문제 → Appendix A 연습문제

A.3　끈이론을 위한 2차원 파동방정식¶

🟡 리나: 여기서부터가 끈이론 고유의 부분이에요. 끈은 1차원 물체(선)이니까, 끈 위의 위치를 지정하는 매개변수 $\sigma$가 필요해요. $\sigma$의 범위는 끈의 종류에 따라 달라져요(닫힌 끈이면 $0$에서 $2\pi$로 한 바퀴, 열린 끈이면 $0$에서 $\pi$로 한쪽 끝에서 다른 끝까지). 왜 이 범위를 선택하냐면, 나중에 진동 모드를 삼각함수로 전개할 때(A.4에서 자세히 다룰 거예요) 계산이 깔끔해지는 관습이에요. 닫힌 끈에서 $2\pi$를 선택하는 것은 "한 바퀴 = $2\pi$"가 $e^{in\sigma}$의 기본 주기와 맞기 때문이고($e^{in(\sigma + 2\pi)} = e^{in\sigma}$가 자동으로 성립), 열린 끈에서 $\pi$를 선택하는 것은 경계 조건과의 궁합이 좋기 때문——구체적인 이유는 A.4에서 확인할게요.

🔵 카이: $\sigma$는 끈의 어느 위치인지를 나타내는 매개변수이고, 범위는 끈의 형태(고리인지 선분인지)로 결정되는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 거기에 시간 $\tau$까지 합하면, 끈의 운동은 $\tau$와 $\sigma$ 두 개의 매개변수로 기술돼요——이 2차원적 퍼짐을 세계면이라고 불러요. 예를 들어 점입자(크기가 0인 점)의 운동을 시공간 그림에 그리면, 각 시각에서의 위치가 하나의 점이니까, 시간이 흐르면서 그 점들이 이어져서 한 줄의 선이 돼요——이걸 세계선이라고 불러요(「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 2 장에서 도입한 개념이에요). 끈은 점이 아니라 1차원의 퍼짐을 가지니까, 각 시각에서의 "모습"이 선분(또는 고리)이고, 시간이 흐르면 그것들이 이어져서 2차원의 면을 그려요——그게 세계면이에요.

🔵 카이: 점입자는 시간에 따라 "선"을 그리니까 세계선, 끈은 시간에 따라 "면"을 그리니까 세계면……. $\sigma$는 끈의 어느 위치인지를 나타내는 매개변수이고, $\tau$는 시간에 대응하는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 끈 위의 각 점이 $D$차원 시공간의 어디에 있는지를 나타내는 함수가 $X^\mu(\tau, \sigma)$($\mu = 0, 1, \ldots, D-1$은 시공간의 방향을 달리는 첨자)예요. $D$는 시공간의 차원수로, 우리 일상은 $D = 4$(공간 3 + 시간 1)이지만, 끈이론에서는 정합성으로부터 $D = 26$이나 $D = 10$이 요구돼요——이건 뒤의 장에서 유도할 테니, 지금은 "일반적인 $D$차원에서 논의한다"고만 기억해 두세요. 고전적으로 이 $X^\mu$는 2차원의 파동방정식을 따라요:

\[ \left(\frac{\partial^2}{\partial \tau^2} - \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}\right) X^\mu(\tau, \sigma) = 0 \]

🔵 카이: 시간 방향과 공간 방향의 2계 미분의 차가 0……. 보통 파동방정식이라면 $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$로 속도 $c$가 들어가잖아요. 여기서는 $c$가 없는 건 왜죠?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. A.1의 표에서 파동방정식을 $\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f$로 썼잖아요? 그 $v$가 전파 속도예요. 끈이론에서는 광속 $c = 1$이 되도록 단위를 선택하는 자연단위계를 사용해요(자세한 건 부록 B를 참조). 그러면 $c^2$ 계수가 사라져서, 달랑베르 연산자 $\Box = \partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2$가 $X^\mu$에 작용해서 0이라는 깔끔한 형태가 돼요. 1+1차원(시간 1개 + 공간 1개)의 파동방정식이에요. 포인트는, 보통의 파동방정식과 형식적으로는 같은 구조이지만, 변수가 $(t, x)$에서 세계면의 $(\tau, \sigma)$로 바뀌어 있고, 해 $X^\mu$가 시공간 좌표 자체를 나타낸다는 점이 새로운 부분이에요.

⚪ 메이: 즉, A.1의 표에 있던 일반적인 파동방정식 $\partial_t^2 f = v^2 \nabla^2 f$의 특수한 경우($v = c = 1$, 공간 1차원)가 끈의 방정식이 되어 있는 거네요.

좌우 진행파로의 분해¶

🟡 리나: d'Alembert의 일반해(「일반상대론」편 「일반상대론」편 부록 A.7 참조)를 그대로 적용하면:

\[ X^\mu(\tau, \sigma) = X_R^\mu(\tau - \sigma) + X_L^\mu(\tau + \sigma) \]

$X_R$과 $X_L$은 각각 $\tau - \sigma$와 $\tau + \sigma$에만 의존하는 파예요. $R/L$의 명명은 문헌에 따라 다른데——예를 들어 Polchinski 교과서에서는 $\tau - \sigma$에 의존하는 성분을 right-mover라고 부르지만, 반대 관습을 채택하는 문헌도 있어요. 본서에서는 $X_R(\tau - \sigma)$를 right-mover, $X_L(\tau + \sigma)$를 left-mover로 정의할게요. 이름보다는 "인수가 $\tau - \sigma$인지 $\tau + \sigma$인지"로 구별하는 게 확실해요. 끈이론에서는 이 분해가 양자화의 출발점이 돼요.

✅ 이해도 체크: 끈의 2차원 파동방정식 $(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0$의 일반해는 어떤 형태로 분해될까요? 또한, 왜 파동방정식에 속도 $c$가 나타나지 않을까요?

답

일반해는 오른쪽 진행파 $X_R^\mu(\tau - \sigma)$와 왼쪽 진행파 $X_L^\mu(\tau + \sigma)$의 합으로 분해된다. 속도 $c$가 나타나지 않는 이유는, 끈이론에서 광속 $c = 1$로 놓는 자연단위계를 채택하고 있기 때문이다.

🟡 리나: 여기서 편리한 변수 변환을 도입할게요. 새로운 좌표 $\sigma^+ = \tau + \sigma$, $\sigma^- = \tau - \sigma$를 정의해요. 이걸 세계면의 광원뿔 좌표라고 불러요. 나중에 Lagrangian 밀도를 쓸 때(A.3의 후반) 세계면 좌표를 $\sigma^a$($a = 0, 1$, 즉 $\sigma^0 = \tau$, $\sigma^1 = \sigma$)로 묶어서 쓰는데, $\sigma^\pm$는 그것과는 다른 좌표계예요. 이 좌표로 쓰면, 파동방정식은 $\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}X^\mu = 0$이라는 간단한 형태가 돼요.

🔵 카이: $\sigma^+$와 $\sigma^-$는 $\tau$와 $\sigma$를 더하거나 빼기만 한 거잖아요. 그것만으로 식이 간단해지나요?

🟡 리나: 그래요. 연쇄 법칙을 쓰면

\[ \partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2 = 4\,\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} \]

가 되어서 계수 $4$가 붙어요. $4$가 나오는 이유를 살펴볼게요.

먼저 연쇄 법칙으로부터

\[ \partial_\tau = \frac{\partial\sigma^+}{\partial\tau}\partial_{\sigma^+} + \frac{\partial\sigma^-}{\partial\tau}\partial_{\sigma^-} = \partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-} \]

($\sigma^\pm = \tau \pm \sigma$이니까 $\partial\sigma^\pm/\partial\tau = 1$). 마찬가지로 $\partial_\sigma = \partial_{\sigma^+} - \partial_{\sigma^-}$ ($\partial\sigma^+/\partial\sigma = 1$, $\partial\sigma^-/\partial\sigma = -1$이니까).

"$\partial_\tau$를 제곱한다"는 것은 $\partial_\tau$를 2번 연속 작용시키는 것, 즉 $\partial_\tau^2 = \partial_\tau \circ \partial_\tau$예요. $\partial_\tau = \partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-}$이니까, $\partial_\tau^2 = (\partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-})(\partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-})$를 전개해요. 편미분의 순서는 교환 가능하고($\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} = \partial_{\sigma^-}\partial_{\sigma^+}$, 이것은 Schwarz의 정리라고 불리는 성질로, 충분히 매끄러운 함수에 대해 성립), $\partial_{\sigma^+}$와 $\partial_{\sigma^-}$를 문자 $A$, $B$처럼 취급하여 전개해도 돼요. 교환 가능한 연산자의 곱은 보통 문자의 곱과 같은 규칙으로 전개할 수 있으니까, $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$와 같은 요령으로 $\partial_\tau^2 = (\partial_{\sigma^+} + \partial_{\sigma^-})^2 = \partial_{\sigma^+}^2 + 2\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} + \partial_{\sigma^-}^2$가 돼요. 마찬가지로 $\partial_\sigma = \partial_{\sigma^+} - \partial_{\sigma^-}$를 제곱하면 $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$의 형태로 $\partial_{\sigma^+}^2 - 2\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-} + \partial_{\sigma^-}^2$가 돼요.

$\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2$를 계산하면, $\partial_{\sigma^+}^2$와 $\partial_{\sigma^-}^2$ 항은 상쇄되고, 교차항만 $2 - (-2) = 4$로 $4\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}$만 남으니까——자세한 계산은 연습문제(문제 B-18. 평면파가 파동방정식을 만족하는 것)에서 확인해 주세요. 어쨌든 우변이 0이니까, $4\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}X^\mu = 0$의 양변을 $4$($\neq 0$)로 나누면 $\partial_{\sigma^+}\partial_{\sigma^-}X^\mu = 0$을 얻을 수 있어요. 이것은 「일반상대론」편의 @chapter:gr의/appendix-a에서 d'Alembert 해를 유도했을 때의 변수 변환 $\xi = x - ct$, $\eta = x + ct$와 완전히 같은 수법이에요($c = 1$이니까 $\sigma^- = \tau - \sigma$가 $\xi$에, $\sigma^+ = \tau + \sigma$가 $\eta$에 대응). 이 식은 "$\sigma^+$로 미분한 다음 $\sigma^-$로 미분하면 0"이라는 의미인데, 이를 만족하는 함수는 $X^\mu = F(\sigma^+) + G(\sigma^-)$——즉 $\sigma^+$에만 의존하는 함수와 $\sigma^-$에만 의존하는 함수의 합——에 한정돼요. $\sigma^+ = \tau + \sigma$이니까 $F(\sigma^+) = X_L^\mu(\tau + \sigma)$(왼쪽 진행파), $\sigma^- = \tau - \sigma$이니까 $G(\sigma^-) = X_R^\mu(\tau - \sigma)$(오른쪽 진행파)에 대응해요. "광원뿔"이라는 이름은, 4차원 시공간에서 빛의 궤적이 원뿔면을 그리는 데서 유래해요. 2차원 세계면 위에서는 빛의 경로가 $\tau = \pm\sigma$의 두 직선($\sigma^+ = \text{const}$ 또는 $\sigma^- = \text{const}$)이고, $\sigma^\pm$는 바로 이 빛의 경로를 따른 좌표가 되어 있어요. 주의할 점은, 여기서 도입한 $\sigma^\pm$는 세계면 위의 광원뿔 좌표이며, 제 5 장에서 도입한 시공간의 광원뿔 좌표 $x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}$와는 별개라는 거예요——이름은 같지만, 전자는 2차원 세계면의 좌표이고 후자는 $D$차원 시공간의 좌표예요. 끈이론에서는 둘 다 등장하니까, 문맥으로 구별해 주세요. 끈이론에서 광원뿔 좌표의 본격적인 활용은 제 13 장·제 14 장에서 다룰게요.

⚪ 메이: 즉, 변수를 $\sigma^\pm$로 바꾸면, "$\sigma^+$로 미분한 다음 $\sigma^-$로 미분하면 0"이라는 조건에서, 오른쪽 진행파와 왼쪽 진행파가 각각 한쪽 변수에만 의존하는 형태로 분리되는 거네요.

🔵 카이: 광원뿔 좌표로 변수 변환하면 식이 간단해지는 건 알겠어요. ……그런데, 애초에 이 파동방정식 자체는 어디서 나오는 건가요? 갑자기 "끈은 파동방정식을 따른다"고 하면 좀……

Polyakov 작용으로부터의 유도(예고)¶

🟡 리나: 좋은 의문이에요. 끈의 2차원 파동방정식이 어디서 오는지, 예고만 해 둘게요. 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 1 장이나 제 1 장에서 배운 최소 작용 원리——작용을 정류시키는 경로가 운동방정식을 준다——를 끈에 적용하는 거예요(끈에 대한 구체적인 적용은 제 13 장에서 자세히 다뤄요). 끈의 경우, 등각 게이지라고 불리는 특별한 좌표 선택(후술) 이후의 Lagrangian 밀도(운동에너지와 퍼텐셜에너지의 차에 해당하는 양을, 세계면의 각 점마다 정의한 것)는

\[ \mathcal{L} = -\frac{T}{2}\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu} \]

로 쓸 수 있어요. 기호가 많으니까, 하나씩 확인해 볼게요.

🔵 카이: 부탁드려요. $\partial_a X^\mu$가 뭔가요?

🟡 리나: $\partial_a X^\mu$는 세계면 좌표 $\sigma^a$($\sigma^0 = \tau$, $\sigma^1 = \sigma$)에 의한 $X^\mu$의 편미분, 즉 $\partial_a X^\mu = \partial X^\mu / \partial \sigma^a$예요. 헷갈리지만, $\sigma^a$는 세계면의 두 좌표를 묶어서 쓰기 위한 기호이고, $a = 1$일 때가 아까의 끈 위 위치 매개변수 $\sigma$와 일치해요. 그리고 같은 첨자가 위와 아래에 나타나면, 그 첨자에 대해 모든 방향의 합을 취하는 약속(Einstein 축약 규칙, 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 2 장에서 도입한 규칙이에요)을 사용하고 있어요. 예를 들어 이 식에서 $\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$라고 쓰면, $a$와 $b$가 각각 $0, 1$의 값을 취하는 모든 조합($4$가지)에 대해 더한다는 뜻이에요. 사실 이 식에는 두 단계의 합이 중첩되어 있어요——먼저 세계면 방향($a, b = 0, 1$)의 합, 다음으로 시공간 방향($\mu, \nu = 0, 1, \ldots, D-1$)의 합.

⚪ 메이: 세계면의 합과 시공간의 합이 따로따로 돌아가고 있는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 순서대로 살펴볼게요.

🔵 카이: 두 단계……. 먼저 바깥쪽 $a, b$의 합부터 보면 되나요?

🟡 리나: 그래요. 먼저 바깥쪽의 합($a, b$의 합)만 써 볼게요. 원래 식 $\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}$를 "$a, b$의 합을 먼저 실행하고, $\mu, \nu$의 합은 나중으로 미룬다"는 순서로 계산하는 거예요. $a, b$의 합을 전개하면 $\eta^{00}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu \eta_{\mu\nu} + \eta^{01}\partial_\tau X^\mu \partial_\sigma X^\nu \eta_{\mu\nu} + \eta^{10}\partial_\sigma X^\mu \partial_\tau X^\nu \eta_{\mu\nu} + \eta^{11}\partial_\sigma X^\mu \partial_\sigma X^\nu \eta_{\mu\nu}$인데, $\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1,1)$은 대각행렬이니까 $\eta^{01} = \eta^{10} = 0$으로 교차항이 사라져서, $\eta^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu} = -(\partial_\tau X^\mu)(\partial_\tau X^\nu)\eta_{\mu\nu} + (\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X^\nu)\eta_{\mu\nu}$가 돼요($\mu, \nu$의 합은 아직 남아 있어요——다음 단계에서 구체적으로 실행할게요).

⚪ 메이: 그렇구나, $a \neq b$인 항이 전부 0이 되니까, $\tau$ 방향과 $\sigma$ 방향의 2개 항만 남는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 다음으로 안쪽의 합($\mu, \nu$의 합)을 취해요——이건 $\eta_{\mu\nu}$를 곱해서 $\mu, \nu = 0, 1, \ldots, D-1$에 대해 더하는 조작으로, 벡터의 내적(스칼라 곱)의 일반화예요. 예를 들어 $D = 2$이면 $\eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu = -(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2$가 돼요. $D = 4$(우리의 시공간)이면 $-(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2 + (\partial_\tau X^2)^2 + (\partial_\tau X^3)^2$로 4개 항이 되는 것뿐이고, 구조는 같아요.

🔵 카이: 아, 차원 $D$가 늘어나도 형태는 같군요. 시간 성분만 마이너스이고, 공간 성분은 전부 플러스.

🟡 리나: 그래요. 즉 "$\tau$ 방향 내적" 항이 $+T/2$의 계수로, "$\sigma$ 방향 내적" 항이 $-T/2$의 계수로 들어가 있어요——공간 성분 $X^i$에만 주목하면, 입자의 Lagrangian이 "운동에너지 $-$ 퍼텐셜에너지"였던 것과 같은 구조예요($X^0$ 성분의 처리에는 구속 조건이 필요하고, 그건 제 13 장에서 논의할게요). 여기서 "첨자를 내리는" 조작을 설명해 둘게요. $\partial_\tau X_\mu \equiv \eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\nu$로 정의해요——$\eta_{\mu\nu}$를 곱하고 $\nu$에 대해 합을 취함으로써, 위 첨자를 아래 첨자로 변환하는 표기법이에요. 예를 들어 $D = 2$이면 $\partial_\tau X_0 = \eta_{00}\partial_\tau X^0 + \eta_{01}\partial_\tau X^1 = (-1)\partial_\tau X^0 + 0 = -\partial_\tau X^0$이고, $\partial_\tau X_1 = \eta_{10}\partial_\tau X^0 + \eta_{11}\partial_\tau X^1 = 0 + (+1)\partial_\tau X^1 = \partial_\tau X^1$——시간 성분만 부호가 반전돼요. 구체적으로는, $D = 4$일 때 $\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu = \eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu = -(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2 + (\partial_\tau X^2)^2 + (\partial_\tau X^3)^2$이고, 아까 $a, b$의 합 전개에서 $D = 2$의 경우에 얻었던 $-(\partial_\tau X^0)^2 + (\partial_\tau X^1)^2$와 같은 부호 구조(시간 성분에 마이너스, 공간 성분에 플러스)가 $D = 4$에서도 그대로 성립하는 게 보이죠——즉 $\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X_\mu$는 $\eta_{\mu\nu}\partial_\tau X^\mu \partial_\tau X^\nu$의 약칭이에요. "위 첨자와 아래 첨자가 같은 문자로 나타나면 합을 취한다"는 축약 규칙의 응용이에요.

⚪ 메이: 첨자를 내리는 조작으로, 위아래가 맞춰진 첨자를 보면 자동으로 합을 취하면 되는 거네요——컴팩트하게 쓸 수 있구나.

🟡 리나: 이 표기법을 써서 두 단계의 합을 정리하면, $\mathcal{L} = -\frac{T}{2}\bigl[-(\partial_\tau X^\mu)(\partial_\tau X_\mu) + (\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X_\mu)\bigr] = \frac{T}{2}(\partial_\tau X^\mu)(\partial_\tau X_\mu) - \frac{T}{2}(\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X_\mu)$예요. 이렇게 두 단계의 합이 중첩되어 있는 거예요.

각 기호의 의미는:

$T$: 끈의 장력
$\eta^{ab}$: 세계면의 2차원 Minkowski 계량으로, 성분을 나열하면 $\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1, 1)$(대각 성분이 $-1, 1$인 $2 \times 2$ 행렬). 첨자 $a, b$는 세계면의 방향 $(\tau, \sigma)$를 달려요. $-1$이 시간 방향($\tau$), $+1$이 공간 방향($\sigma$)에 대응하고, 이것은 특수상대론의 계량 $\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$의 2차원 버전이에요. 첨자가 위 첨자($\eta^{ab}$)인 것은 "역행렬"에 해당하는 성분을 나타내는 표기법으로, Minkowski 계량의 경우에는 위든 아래든 성분의 값이 같아요(즉 $\eta_{ab} = \eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1, 1)$). 일반적인 휘어진 시공간에서는 위와 아래가 다르지만, 지금은 "위 첨자도 아래 첨자도 같은 수치"라고 생각하면 OK
$\eta_{\mu\nu}$: $D$차원 시공간의 Minkowski 계량으로, 성분은 $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, \ldots, +1)$. 시간 방향만 부호가 $-1$인 것은 특수상대론에서 "시간과 공간을 구별하기" 위한 약속이고, $\partial_a X^\mu$와 $\partial_b X^\nu$의 시공간 방향 내적을 취하는 역할을 해요

이 $\mathcal{L}$에서 Euler-Lagrange 방정식(작용을 최소화하는 조건에서 유도되는 운동방정식)을 적용하면, 다음 결과를 얻어요. 직관적으로는, 끈의 각 점에서 "시간 방향의 가속도"와 "공간 방향의 장력에 의한 복원력"이 균형을 이루는 조건을 쓰면 파동방정식이 돼요——마치 기타 줄이 진동할 때, 각 점에서 장력과 관성이 균형을 이루는 것과 같은 원리예요. Lagrangian 밀도에서 Euler-Lagrange 방정식을 거쳐 운동방정식을 유도하는 각 단계는 제 13 장에서 자세히 할 테니, 여기서는 운동방정식의 형태만 받아들여 주세요. 단, 한 가지 주의——이 운동방정식은 세계면의 계량을 등각 게이지로 고정한 후에만 성립해요. "게이지 고정"이란, 물리적으로 동등한 기술 중에서 계산하기 쉬운 특정 형태를 선택하는 조작을 말하며, 여기서는 세계면의 계량을 평탄한 Minkowski 형($\eta^{ab} = \mathrm{diag}(-1,1)$)으로 선택하고 있어요. 왜 그것이 허용되는지, 물리적으로 무엇을 의미하는지는 제 13 장에서 자세히 다룰게요. 등각 게이지에서는 $\eta^{ab}$가 위치에 무관한 상수이니까, Euler-Lagrange 방정식에서 얻어지는 운동방정식은:

\[ \eta^{ab}\partial_a \partial_b X^\mu = 0 \]

$\eta^{ab}$가 상수 대각행렬이므로, 축약 규칙으로 $a, b$에 대해 합을 취하면 $a \neq b$인 항은 사라지고 $\eta^{00}\partial_0\partial_0 X^\mu + \eta^{11}\partial_1\partial_1 X^\mu = (-1)\partial_\tau^2 X^\mu + (+1)\partial_\sigma^2 X^\mu = 0$. 양변에 $-1$을 곱하면 $\partial_\tau^2 X^\mu - \partial_\sigma^2 X^\mu = 0$이니까:

\[ (\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X^\mu = 0 \]

🔵 카이: 아, 그래서 "끈의 진동 = 세계면 위의 파동방정식"이라는 연결이 되는 거군요. ……그런데, Lagrangian 밀도 식에 나오는 $\eta^{ab}$와 $\eta_{\mu\nu}$는 같은 기호인데 첨자 위치가 다르잖아요. 이건 별개의 것인가요?

🟡 리나: 좋은 착안점이에요. $\eta^{ab}$와 $\eta_{\mu\nu}$는 별개의 계량이에요. $\eta^{ab}$는 세계면($\tau, \sigma$의 2차원)의 계량으로 $2 \times 2$ 행렬이고, $\eta_{\mu\nu}$는 시공간($D$차원)의 계량으로 $D \times D$ 행렬이에요. 기호 $\eta$가 같은 이유는, 둘 다 "평탄한 Minkowski 계량"이기 때문이에요. 첨자가 위에 있느냐 아래에 있느냐는, 반변(위)과 공변(아래)의 구별로, 이건 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 5 장에서 다룬 내용이에요. 여기서는 "$\eta^{ab}$는 세계면용, $\eta_{\mu\nu}$는 시공간용, 달리는 첨자의 범위가 다른 별개의 것"이라고 기억해 두면 충분해요.

🔵 카이: 같은 기호 $\eta$이지만 차원이 다른 별개의 것……. 그럼, 만약 세계면이 평탄하지 않고 휘어져 있다면, $\eta^{ab}$ 부분이 더 복잡한 계량으로 바뀌는 거죠?

🟡 리나: 맞아요. 일반적으로는 세계면의 계량을 $h_{ab}(\tau, \sigma)$로 써서, 휘어진 면을 기술해요. 다만 끈이론에서는 "게이지 고정"에 의해 $h_{ab} = \eta_{ab}$로 선택할 수 있어요——그래서 지금은 평탄한 $\eta^{ab}$만으로 충분한 거예요. 이 구조는 제 13 장에서 자세히 다룰게요.

A.4　끈의 경계 조건과 진동 모드¶

🟡 리나: 1차원 파동방정식의 일반해는 임의 함수 $f, g$였지만, 현실의 끈에는 경계 조건이 있어요. 닫힌 끈(양 끝이 연결된 고리)인지 열린 끈(양 끝이 자유)인지에 따라 조건이 달라지고, 그것이 진동 모드의 이산화를 결정해요.

닫힌 끈의 주기 경계 조건¶

닫힌 끈에서는 $\sigma$가 주기 $2\pi$로 한 바퀴 돌아요:

\[ X^\mu(\tau, \sigma + 2\pi) = X^\mu(\tau, \sigma) \]

이 주기성으로부터, $X^\mu$를 $\sigma$에 대해 푸리에 급수 전개할 수 있어요. 푸리에 급수 전개란, 주기 함수를 삼각함수($\sin$과 $\cos$)의 합으로 나타내는 방법이에요. 악기 줄의 소리가 기본 진동과 배음의 중첩으로 나타낼 수 있는 것과 같은 원리로, 임의의 주기 함수는 적절한 진폭을 선택한 $\sin(n\sigma)$과 $\cos(n\sigma)$($n = 1, 2, 3, \ldots$)의 무한합으로 표현할 수 있어요——이것이 Fourier의 정리예요. 증명은 대학 수학에서 다루는 내용이니까, 여기서는 "주기 $2\pi$의 함수는 정수 $n$의 진동 성분으로 분해할 수 있다"는 사실을 도구로 사용할게요.

🔵 카이: 어떤 형태의 파동이든 $\sin$과 $\cos$의 합으로 나타낼 수 있다니, 좀 신기하네요. 하지만 악기의 소리가 배음의 중첩이라고 생각하면 납득이 되는 것 같아요.

🟡 리나: 좋은 이미지예요. 여기서 하나 더 도구를 도입할게요. Euler의 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$를 쓰면, $\cos$과 $\sin$을 하나의 복소지수함수 $e^{i\theta}$로 묶어서 쓸 수 있어요. 증명은 대학 수학에서 다루는 내용이니까 생략하지만($e^x$의 무한급수 전개에 $x = i\theta$를 대입하면 유도할 수 있어요), 여기서는 "$\cos$과 $\sin$을 하나의 지수함수로 패키징하는 공식"이라고 생각해 주세요. 왜 묶느냐면, 지수함수는 미분해도 형태가 변하지 않으니까($d(e^{i n\sigma})/d\sigma = in\, e^{in\sigma}$), 미분이나 합의 계산이 훨씬 편해져요. 이 복소수 표기를 사용해서, 푸리에 급수 전개와 파동방정식 해의 조건을 순서대로 조합해 볼게요. 먼저, 주기 경계 조건으로부터 $\sigma$ 방향의 Fourier 성분은 $e^{in\sigma}$($n$은 정수)의 형태에 한정돼요. 다음으로, 각 성분이 파동방정식 $(\partial_\tau^2 - \partial_\sigma^2)X = 0$을 만족하려면, $e^{in\sigma}$에 적절한 시간 의존성을 곱해야 해요. $e^{-in\tau}e^{in\sigma} = e^{-in(\tau - \sigma)}$를 시도하면, $\partial_\tau^2$에서 $(-in)^2 = -n^2$이, $\partial_\sigma^2$에서 $(in)^2 = -n^2$이 나와서, 그 차가 0이 돼요——확실히 해가 되고 있네요. 마찬가지로 $e^{-in(\tau + \sigma)}$도 해가 돼요——이렇게 오른쪽 진행파($\tau - \sigma$에 의존)와 왼쪽 진행파($\tau + \sigma$에 의존)가 얻어져요.

⚪ 메이: 주기 경계 조건으로 $\sigma$ 방향이 $e^{in\sigma}$에 한정되고, 파동방정식에서 시간 부분의 형태가 결정돼요——두 조건을 조합해서 모드의 형태가 좁혀지는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 다만, 이것만으로는 끈 전체가 공간의 어디에 있는지, 전체적으로 어느 방향으로 움직이는지의 정보가 포함되어 있지 않아요. 진동 성분은 어디까지나 "끈의 모양 변화"를 나타내는 것이고, 끈의 무게중심이 어디에 있고($x^\mu$) 어느 방향으로 어떤 속도로 움직이는지(운동량 $p^\mu$에 비례하는 등속 운동)는 따로 지정해야 해요. 이것들을 더하면:

\[ X^\mu(\tau, \sigma) = x^\mu + 2\alpha' p^\mu \tau + i\sqrt{2\alpha'}\sum_{n \neq 0}\frac{1}{n}\left[\alpha_n^\mu e^{-in(\tau-\sigma)} + \tilde{\alpha}_n^\mu e^{-in(\tau+\sigma)}\right] \]

여기서 합 $\sum_{n \neq 0}$은 $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$의 모든 0이 아닌 정수에 대해 더한다는 뜻이에요. Euler의 공식에 의해 $e^{-in(\tau-\sigma)} = \cos[n(\tau-\sigma)] - i\sin[n(\tau-\sigma)]$이니까, $e^{-in(\tau-\sigma)}$는 진동수 $|n|$으로 진동하는 파를 복소수로 나타낸 것이에요.

🔵 카이: 잠깐만요, 식에 허수 단위 $i$가 들어 있잖아요. 위치 $X^\mu$가 허수가 되거나 하지는 않나요?

🟡 리나: 좋은 의문이에요. $X^\mu$는 시공간 안의 위치를 나타내는 양이니까, 실수여야 해요. $\alpha_n^\mu$ 자체는 일반적으로 복소수이고, 끈의 초기 조건(처음에 어떤 모양으로 어떻게 움직이고 있었는지)에 따라 값이 결정되는 상수예요. 그 "$X^\mu$ 전체가 실수임"을 보장하는 조건이 $\alpha_{-n}^\mu = (\alpha_n^\mu)^*$ 및 $\tilde{\alpha}_{-n}^\mu = (\tilde{\alpha}_n^\mu)^*$(복소 켤레——복소수 $z = a + bi$에 대해 허수부의 부호를 반전시킨 $z^* = a - bi$)이에요. 오른쪽 진행파와 왼쪽 진행파 각각에 같은 조건이 필요해요. 구체적으로 봐 볼게요——예를 들어 오른쪽 진행파의 $n = 1$과 $n = -1$ 항을 더하면, $\frac{i}{1}\alpha_1^\mu e^{-i(\tau-\sigma)} + \frac{i}{-1}\alpha_{-1}^\mu e^{i(\tau-\sigma)} = i\alpha_1^\mu e^{-i(\tau-\sigma)} - i(\alpha_1^\mu)^* e^{i(\tau-\sigma)}$로, $z - z^* = 2i\,\mathrm{Im}(z)$의 형태가 되니까 결과는 실수가 돼요. 왼쪽 진행파의 $\tilde{\alpha}_n$에 대해서도 완전히 같은 구조예요. 일반적인 $n$에서도 같은 구조로 허수 부분이 상쇄돼요. 이 조건의 상세한 내용은 제 13 장에서 확인할게요.

각 기호의 의미를 정리해 둘게요: - $x^\mu$: 끈의 무게중심 초기 위치 - $\alpha'$: Regge slope 매개변수(끈의 장력 $T$와 $\alpha' = 1/(2\pi T)$의 관계에 있는 상수. 끈의 "부드러움"을 나타내요. $T$ 자체가 아닌 $\alpha'$를 쓰는 이유는, 모드 전개나 질량 공식이 $\alpha'$로 쓰면 간결해지기 때문——역사적으로는 Regge 궤적의 기울기로서 도입된 양이에요) - $p^\mu$: 끈의 무게중심 운동량($2\alpha' p^\mu \tau$는 무게중심의 등속 운동을 나타내요. 왜 계수가 $2\alpha'$인지는, Polyakov 작용에서 운동량을 정의하면 자연스럽게 나와요——유도는 제 13 장에서 할 테니, 지금은 "$\alpha'$를 포함하는 관습적 규격화"로 받아들여 주세요. 참고로 본서에서는 닫힌 끈·열린 끈 모두 무게중심 항을 $2\alpha' p^\mu \tau$로 쓰는 관습을 채택해요) - $\alpha_n^\mu$: 오른쪽 진행파($\tau - \sigma$에 의존하는 부분)의 $n$번째 모드 전개 계수 - $\tilde{\alpha}_n^\mu$: 왼쪽 진행파($\tau + \sigma$에 의존하는 부분)의 $n$번째 모드 전개 계수 - 계수의 $i$(허수 단위), $1/n$, $\sqrt{2\alpha'}$, 그리고 무게중심 항의 $2\alpha'$는 모두 관습적 규격화예요. $1/n$은 "$n$이 클수록(높은 진동수의) 모드일수록 진폭이 작아지도록" 가중치를 주는 것——이건 뒤의 장(제 13 장)에서 양자화할 때 교환 관계가 $[\alpha_m, \alpha_n] \propto m\delta_{m+n}$이라는 깔끔한 형태가 되기 위한 선택이에요. $i$, $\sqrt{2\alpha'}$, $2\alpha'$도 같은 이유로 선택된 거예요. 지금은 "나중에 양자화했을 때 편리하도록 계수를 약속한 것"이라고 생각해 두면 OK

좌우가 독립인(분해 가능한) 것이 닫힌 끈의 특징이에요.

⚪ 메이: 정리하면, 닫힌 끈의 모드 전개는 "무게중심의 위치 $x^\mu$ + 무게중심의 등속 운동 $2\alpha' p^\mu \tau$ + 오른쪽 진행파의 진동($\alpha_n$의 합) + 왼쪽 진행파의 진동($\tilde{\alpha}_n$의 합)"이라는 4개 부분으로 이루어져 있는 거네요. 주기 경계 조건이 푸리에 급수 전개를 가능하게 하고, 진동수가 정수 $n$으로 이산화돼요.

🔵 카이: 한 가지 확인할 게 있는데요, $\alpha_n^\mu$와 $\tilde{\alpha}_n^\mu$는 $n$이 같아도 전혀 다른 값을 취할 수 있는 거죠? 닫힌 끈에서는 좌우가 독립이라고 했으니까……. 그런데, 왜 닫힌 끈에서는 좌우가 독립으로 있을 수 있는 건가요?

🟡 리나: 닫힌 끈은 고리니까 "끝"이 없잖아요? 끝이 없으면 파가 반사되는 장소가 없어요——그래서 오른쪽으로 진행하는 파와 왼쪽으로 진행하는 파는 서로 간섭하지 않고, $\alpha_n^\mu$와 $\tilde{\alpha}_n^\mu$는 완전히 독립적인 계수가 돼요. 열린 끈과 대비하면, 열린 끈은 끝에서 반사가 일어나니까 좌우가 결합돼 버려요——그 차이가 A.4의 후반에서 효과를 발휘해요.

🔵 카이: 끝이 없으니까 반사가 일어나지 않고——그래서 좌우가 섞이지 않고 독립으로 있을 수 있는 거군요.

✅ 이해도 체크: 닫힌 끈의 주기 경계 조건이란 무엇일까요? 또한, 그 조건에 의해 모드 전개에 어떤 구조가 생길까요?

답

닫힌 끈에서는 $\sigma$가 주기 $2\pi$로 한 바퀴 돌기 때문에, $X^\mu(\tau, \sigma + 2\pi) = X^\mu(\tau, \sigma)$라는 주기 경계 조건이 부과된다. 이 조건에 의해 $X^\mu$는 푸리에 급수 전개할 수 있고, 오른쪽 진행파의 모드 계수 $\alpha_n^\mu$와 왼쪽 진행파의 모드 계수 $\tilde{\alpha}_n^\mu$가 독립적으로 존재하는 구조가 된다.

열린 끈의 경계 조건¶

열린 끈에서는 양 끝 $\sigma = 0, \pi$에서 조건을 부과해요. 대표적인 것은 2종류:

Neumann 경계 조건: $\partial_\sigma X^\mu|_{\sigma=0, \pi} = 0$ (끝이 자유롭게 움직일 수 있음)
Dirichlet 경계 조건: $X^\mu|_{\sigma=0, \pi} = $ 상수 (끝이 시공간의 특정 위치에 고정되어, 시간이 지나도 움직일 수 없음. 이 "고정 대상"이 되는 물체를 D-브레인이라고 불러요——자세한 건 제 14 장에서 다룰게요)

Neumann 경계 조건 하에서는, 왼쪽 진행파와 오른쪽 진행파가 끝에서 "반사"되어 결합하고, 모드 전개는

\[ X^\mu(\tau, \sigma) = x^\mu + 2\alpha' p^\mu \tau + i\sqrt{2\alpha'}\sum_{n \neq 0}\frac{1}{n}\alpha_n^\mu e^{-in\tau}\cos(n\sigma) \]

닫힌 끈과 마찬가지로 $\sum_{n \neq 0}$은 $n = \pm 1, \pm 2, \ldots$의 전부에 대해 합을 취해요. "$\cos(-n\sigma) = \cos(n\sigma)$이니까 양의 $n$만으로 쓸 수 있는 거 아닌가?"라고 생각할 수도 있지만, 시간 부분의 $e^{-in\tau}$는 $n$의 부호에 따라 달라지니까($e^{-i\tau}$와 $e^{+i\tau}$는 별개), 양과 음의 $n$은 독립적인 항이에요. 사실 양의 $n$만 사용해서 $\cos(n\tau)$와 $\sin(n\tau)$로 다시 쓸 수도 있지만, 복소지수함수 $e^{-in\tau}$의 형태를 유지하는 쪽이 뒤의 장(제 13 장)에서 양자화할 때 교환 관계가 깔끔해지니까, 일부러 양음 모두의 $n$을 사용하는 표기법을 채택하고 있어요.

🔵 카이: 그렇구나, $\sigma$ 방향은 $\cos$이니까 양음에서 같지만, $\tau$ 방향의 $e^{-in\tau}$는 $n$의 부호에 따라 다른 파가 되니까, 둘 다 필요한 거군요.

🟡 리나: 그래요. 다만 $X^\mu$가 실수이려면, 양의 $n$ 항과 음의 $n$ 항이 쌍을 이루어 허수 부분을 상쇄해야 해요——그 조건이 $\alpha_{-n}^\mu = (\alpha_n^\mu)^*$예요. 구체적으로 $n = 1$과 $n = -1$ 항을 나열해 볼게요. $n = 1$ 항은 $\frac{i}{1}\alpha_1^\mu e^{-i\tau}\cos\sigma$이고, $n = -1$ 항은 $\frac{i}{-1}\alpha_{-1}^\mu e^{i\tau}\cos\sigma = -i(\alpha_1^\mu)^* e^{i\tau}\cos\sigma$($\alpha_{-1} = \alpha_1^*$를 사용). 이 둘을 더하면 $i\alpha_1^\mu e^{-i\tau}\cos\sigma - i(\alpha_1^\mu)^* e^{i\tau}\cos\sigma$로, $z - z^* = 2i\,\mathrm{Im}(z)$의 형태가 되니까 결과는 실수가 돼요. 일반적인 $n$에서도 같은 구조로 허수 부분이 상쇄돼요(닫힌 끈의 모드 전개에서 확인한 것과 완전히 같은 논법이에요).

⚪ 메이: 양음의 $n$이 쌍을 이루어 허수 부분을 상쇄하니까, 전체적으로 $X^\mu$는 실수로 유지되는 거네요. 닫힌 끈 때와 같은 구조다.

🟡 리나: 왜 $\cos(n\sigma)$가 나타나냐면, $\cos(n\sigma)$를 $\sigma$로 미분하면 $-n\sin(n\sigma)$이고, $\sigma = 0$에서는 $\sin(0) = 0$, $\sigma = \pi$에서는 $\sin(n\pi) = 0$($n$이 정수이니까)이 되므로, Neumann 조건 $\partial_\sigma X^\mu = 0$이 자동으로 만족되기 때문이에요. 역으로 말하면, $\sin(n\pi) = 0$을 만족하려면 $n$이 정수여야 해요——이것이 진동수 이산화의 이유 중 하나예요. 참고로 $n = 0$ 성분은 진동이 아니라 무게중심의 운동($x^\mu + 2\alpha' p^\mu \tau$ 부분)에 대응하니까, 진동 모드의 합에서는 $n \neq 0$만 취해요. $\alpha'$는 닫힌 끈 부분에서 설명한 Regge slope 매개변수($\alpha' = 1/(2\pi T)$)예요. 닫힌 끈에서도 열린 끈에서도 같은 상수이며, 같은 방식으로 식에 나타나요.

🔵 카이: 닫힌 끈에서는 $\alpha_n$과 $\tilde{\alpha}_n$이 따로 있었는데, 열린 끈에서는 $\alpha_n$만 있네요. 왜 한 세트로 줄어드는 건가요? 또, 시간 부분이 $e^{-in(\tau - \sigma)}$가 아니라 $e^{-in\tau}$로 되어 있는 것도 신경 쓰여요.

🟡 리나: 열린 끈에서는 끝에서 파가 반사되니까, 오른쪽으로 진행하는 파와 왼쪽으로 진행하는 파가 독립적이지 못해요. 반사에 의해 서로 결합되니까, 독립적인 모드 계수가 한 세트로 통합되는 거예요. 시간 부분에 대해서는, 실은 $e^{-in(\tau-\sigma)} + e^{-in(\tau+\sigma)} = e^{-in\tau}(e^{in\sigma} + e^{-in\sigma}) = 2e^{-in\tau}\cos(n\sigma)$이니까, 오른쪽 진행파와 왼쪽 진행파를 더한 결과가 $e^{-in\tau}\cos(n\sigma)$의 형태가 되는 거예요. 계수의 $2$는 규격화에 흡수돼요.

⚪ 메이: 즉, 닫힌 끈에서는 좌우가 독립적으로 진동할 수 있지만, 열린 끈에서는 끝에서의 반사가 좌우를 결합시켜서, 결과적으로 모드 계수가 $\alpha_n$ 한 세트로 정리되는 거네요.

✅ 이해도 체크: 열린 끈의 Neumann 경계 조건과 Dirichlet 경계 조건은 각각 끈의 끝에 어떤 물리적 제약을 부과할까요?

답

Neumann 경계 조건 $\partial_\sigma X^\mu|_{\sigma=0,\pi} = 0$은 끈의 끝이 자유롭게 움직일 수 있음을 의미한다. Dirichlet 경계 조건 $X^\mu|_{\sigma=0,\pi} = $ 상수는 끈의 끝이 특정 위치(D-브레인 위)에 고정됨을 의미한다. Neumann 조건의 경우, 좌우 진행파가 끝에서 반사되어 결합하고, 모드 계수가 한 세트($\alpha_n$만)로 통합된다. Dirichlet 조건에서도 끝에서의 반사가 일어나므로 마찬가지로 모드 계수는 한 세트로 통합된다(구체적인 모드 전개의 형태는 제 14 장에서 다룬다).

끈의 진동 모드 이산화¶

🟡 리나: 닫힌 끈이든 열린 끈이든, 경계 조건(주기성이나 끝에서의 조건)을 부과함으로써, 진동수 $\omega_n = n$(자연단위계)이 $n = 1, 2, 3, \ldots$이라는 정수값으로 이산화돼요. 이것이 끈의 "양자 상태"를 만들어요.

참고로, 양 끝 고정 열린 끈(Dirichlet-Dirichlet 경계 조건)의 경우는, 악기의 줄과 같은 상황이 돼요. 여기서는 이야기를 알기 쉽게 하기 위해, $D$차원의 $X^\mu$ 중 특정 1방향(예를 들어 $\mu = 1$ 성분)만 꺼내서, 그 $n$번째 진동 모드를 $f_n(\sigma, \tau)$로 쓸게요. 끝이 움직일 수 없으니까 $\sigma = 0$과 $\sigma = \pi$에서 $f_n = 0$이어야 해요. $\sin(n\sigma)$는 $\sigma = 0$에서 0이고, $\sigma = \pi$에서도 0($n$이 정수일 때)이니까, 각 진동 모드는 $f_n(\sigma, \tau) = A_n\sin(n\sigma)\cos(n\tau) + B_n\sin(n\sigma)\sin(n\tau)$이라는 형태가 돼요($A_n$, $B_n$은 초기 조건으로 결정되는 상수). 예를 들어 초기 속도가 0인 채로 줄을 튕긴 경우에는 $B_n = 0$이 되어 $f_n = A_n\sin(n\sigma)\cos(n\tau)$만 남아요. 실제로 이것이 파동방정식을 만족하는지는 연습문제 A.28에서 확인해 주세요. Neumann 조건에서는 $\cos(n\sigma)$, Dirichlet 조건에서는 $\sin(n\sigma)$로, 경계 조건에 따라 공간 부분의 함수 형태가 달라지지만, 어느 쪽이든 $n$이 정수로 이산화되는 점은 같아요.

✅ 이해도 체크: 끈의 진동 모드가 이산화되는(진동수가 정수값 $n = 1, 2, 3, \ldots$에 한정되는) 이유는 무엇일까요?

답

경계 조건(닫힌 끈의 주기성, 또는 열린 끈의 끝에서의 조건)을 만족하는 해만이 물리적으로 허용되기 때문에, 연속적인 진동수 중에서 정수값인 것만 살아남는다. 이것은 악기의 줄에서 기본 진동과 배음만이 허용되는 것과 같은 원리이다.

🔵 카이: 진동 모드가 이산화되는 건 알겠어요. 그런데, 왜 "진동 방식이 다르다 = 다른 입자"가 되는 건가요? 악기 줄의 배음이 다른 소리로 들리는 것과는 본질적으로 뭐가 다른 거죠……

🟡 리나: 좋은 의문이에요. 고전적인 끈의 진동 모드를 양자화하면, 각 모드의 들뜸 수가 입자의 질량이나 스핀을 결정해요——중력자나 게이지 보손 같은 입자가 끈의 서로 다른 진동 상태로서 나타나요. 악기의 배음과의 차이는, 끈이론에서는 진동의 에너지가 $E = mc^2$을 통해 질량에 직결된다는 점이에요. 자세한 양자화는 제 13 장·제 14 장에서 전개할게요.

🔵 카이: 진동의 에너지가 질량이 되니까, 진동 패턴이 다르면 질량이 다른 입자로 보인다……. 그런데, $n = 1$의 기본 진동과 $n = 2$의 배음으로 질량이 결정된다면, 끈의 진동 모드는 무한히 있으니까 입자의 종류도 무한해지지 않나요? 실제로 관측되는 입자는 유한한데.

🟡 리나: 날카로운 지적이에요. 사실 $n$이 큰 모드일수록 질량이 커져서, Planck 질량 정도의 초중량 입자가 돼요. 현재의 가속기로 관측할 수 있는 건 가장 가벼운 몇 개 모드뿐——그래서 유한하게 보이는 거예요. 자세한 건 제 14 장에서 질량 스펙트럼을 계산할 때 확인해 봐요.

🔵 카이: 즉, 이론상으로는 무한히 있지만, 너무 무거워서 관측에 걸리지 않으니까 "안 보이는" 것뿐이군요. ……그런데 반대로 말하면, 미래에 더 높은 에너지의 가속기가 만들어지면, 무거운 모드의 입자가 발견될 가능성이 있다는 거죠? 그게 끈이론의 실험적 검증이 될 수 있나요?

⚪ 메이: 정리하면, $n$이 큰 모드일수록 질량이 무거워져서, 현재 기술로는 관측할 수 없는 영역에 들어가 버려요——그래서 "입자의 종류는 무한하지만, 보이는 건 가벼운 몇 개뿐"이라는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 그리고 Planck 에너지는 현재 가속기의 $10^{15}$배 이상이니까, 직접적인 검증은 현재로서는 어려워요. 그래서 간접적인 증거——예를 들어 저에너지에서의 예측과의 정합성——가 중요해지는 거예요. 이것도 뒤의 장에서 논의할게요.

🔵 카이: $10^{15}$배……. 그러면, 설령 끈이론이 맞더라도 "끈의 무거운 모드를 직접 찾아서 확인한다"는 정통 검증은 당분간 불가능한 거잖아요. 그게 과학으로서 괜찮은 건가요? 반증 불가능한 이론은 과학이 아니라고 들은 적이 있는데요.

🟡 리나: 매우 본질적인 물음이에요. 끈이론의 실험적 검증 문제——반증 가능성과의 관계도 포함해서——는 제 22 장에서 정면으로 논의할 테니, 기대해 주세요.

🔵 카이: ……여기까지의 이야기에서 신경 쓰이는 건데요, 닫힌 끈과 열린 끈에서 진동 모드의 구조가 다르다면(좌우 독립 vs 한 세트로 결합) 거기서 태어나는 입자의 종류도 달라지나요?

🟡 리나: 맞아요, 바로 그래요. 닫힌 끈에서는 중력자(스핀 2)가, 열린 끈에서는 게이지 보손(스핀 1)이 나타나요——모드 구조의 차이가 입자의 스핀 차이에 직결돼요. 자세한 건 제 14 장에서 양자화한 후에 확인해 봐요.

🔵 카이: 모드 구조의 차이가 스핀의 차이에 직결된다……. 닫힌 끈은 좌우 독립이니까 모드의 조합이 많아서 스핀 2를 만들 수 있지만, 열린 끈은 한 세트이니까 스핀 1까지밖에 안 된다, 그런 이미지인가요?

🟡 리나: 직관적으로는 그 이미지가 맞아요. 닫힌 끈에서는 좌우 모드를 "곱해서" 스핀 2 상태를 구성할 수 있어요——정확한 논의는 제 14 장에 맡기지만, 방향성은 맞아요.

🔵 카이: 좌우를 곱해서 스핀 2를 만드는 구조는 제 14 장에서 기대하고 있을게요. ……한 가지 더 확인인데요, Dirichlet 조건의 열린 끈이면 모드 전개는 어떻게 바뀌나요? $\cos$이 $\sin$이 되는 건 알겠는데, 무게중심의 운동 $2\alpha' p^\mu \tau$ 부분은 어떻게 되는 건지.

🟡 리나: 좋은 질문이에요. Dirichlet 조건이 부과된 방향에서는 끝의 위치가 고정되니까, 그 방향으로는 끈 전체가 움직일 수 없어요——즉 그 방향의 운동량은 0이 돼요. 무게중심은 그 방향으로는 움직이지 않고, 진동 부분만 $\sin(n\sigma)$으로 전개돼요. 반면, Neumann 조건이 부과된 방향에서는 보통대로 무게중심이 움직일 수 있어요. 실제 D-브레인에서는 방향마다 조건이 다르니까, 자세한 형태는 제 14 장에서 D-브레인을 다룰 때 써 볼게요.

🔵 카이: 그렇구나, 방향에 따라 Neumann이거나 Dirichlet이거나 하니까, 어떤 방향으로는 움직일 수 있지만 다른 방향으로는 움직일 수 없다——그것이 D-브레인의 "차원"을 결정하는 거군요.

⚪ 메이: 이 부록의 포인트를 정리하면——끈의 2차원 파동방정식은 d'Alembert 해로 좌우 진행파로 분해할 수 있고, 닫힌 끈에서는 주기 경계 조건으로부터 좌우 독립적인 모드 $\alpha_n$, $\tilde{\alpha}_n$이 나타나요. 열린 끈에서는 끝에서의 반사가 좌우를 결합시켜 모드 계수가 한 세트가 되고, Neumann 조건이면 $\cos(n\sigma)$, Dirichlet 조건이면 $\sin(n\sigma)$으로 전개돼요. 어느 경우든 경계 조건이 진동수를 정수로 이산화하고, 그것이 입자의 질량이나 스핀을 결정하는 기원이 되는 거네요.

📝 연습문제:

파동방정식 확인, 정상파로의 분해, 끈의 진동 모드의 경계 조건 → 문제 B-18. 평면파가 파동방정식을 만족하는 것, 문제 B-19. 복소 지수파가 파동방정식을 만족하는 것, 문제 M-5. d'Alembert 해 $g(x - vt)$, 문제 B-20. 편미분방정식의 분류, 문제 M-6. 정재파의 분해, 문제 M-7. 현의 진동 모드의 경계 조건

다음 장 예고¶

부록 B에서는, 광속 $c$, Planck 상수 $\hbar$, 만유인력 상수 $G$ 등 본편에 등장하는 물리 상수의 값을 일람하고, SI 단위계와 자연단위계의 대응을 정리한다. "$c = 1$로 놓는다"는 것은 어떤 의미인지——단위계의 선택이 물리의 전망을 어떻게 바꾸는지를 확인하자.

참고문헌¶

「일반상대론」편의 Appendix A「벡터 해석」 — 편미분·grad·div·rot·라플라시안·벡터 항등식·적분 정리·파동방정식의 d'Alembert 해의 자기 완결적 해설(전 4편 공통 허브)
David Tong, Lectures on String Theory, Ch.2–3 — 끈의 파동방정식, 모드 전개, 광원뿔 양자화
Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.6–8 — 상대론적 끈, Neumann/Dirichlet 경계 조건, 양자화