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제 3 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 쌍곡선함수의 항등식 유도

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: \(\cosh\varphi\) 와 \(\sinh\varphi\) 의 정의식을 각각 제곱하고, 차를 구해요.

계산:

\[ \cosh^2\varphi = \left(\frac{e^\varphi + e^{-\varphi}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2\varphi} + 2e^0 + e^{-2\varphi}}{4} = \frac{e^{2\varphi} + 2 + e^{-2\varphi}}{4} \]
\[ \sinh^2\varphi = \left(\frac{e^\varphi - e^{-\varphi}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2\varphi} - 2e^0 + e^{-2\varphi}}{4} = \frac{e^{2\varphi} - 2 + e^{-2\varphi}}{4} \]

차를 구하면,

\[ \cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = \frac{(e^{2\varphi} + 2 + e^{-2\varphi}) - (e^{2\varphi} - 2 + e^{-2\varphi})}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

최종 답:

\[ \boxed{\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1} \]

검산: \(\varphi = 0\) 을 대입하면 \(\cosh 0 = 1\), \(\sinh 0 = 0\) 이므로 \(1 - 0 = 1\). ✓

B-2. 래피디티와 Lorentz 인자의 관계

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: \(\tanh\varphi = v/c\) 와 항등식 \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\) 을 연립해요.

계산:

\(\tanh\varphi = \sinh\varphi / \cosh\varphi = v/c\) 로부터,

\[ \sinh\varphi = \frac{v}{c}\cosh\varphi \tag{1} \]

이것을 항등식에 대입하면:

\[ \cosh^2\varphi - \frac{v^2}{c^2}\cosh^2\varphi = 1 \]
\[ \cosh^2\varphi\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1 \]
\[ \cosh^2\varphi = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \]

\(\cosh\varphi > 0\) (정의로부터 자명)이므로,

\[ \boxed{\cosh\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma} \]

식 (1)에 대입하면,

\[ \boxed{\sinh\varphi = \frac{v/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\frac{v}{c}} \]

검산: \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = \gamma^2 - \gamma^2 v^2/c^2 = \gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1\). ✓

B-3. Lorentz 변환 행렬의 축약 계산

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: \(dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{\nu}\,dx^\nu\) 를 \(\nu = 0, 1, 2, 3\) 에 대해 전개해요.

계산:

\[ dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{0}\,dx^0 + \Lambda^{1'}{}_{1}\,dx^1 + \Lambda^{1'}{}_{2}\,dx^2 + \Lambda^{1'}{}_{3}\,dx^3 \]

행렬의 제2행(\(\mu' = 1\) 행)에서 각 성분을 읽으면,

\[ \Lambda^{1'}{}_{0} = -\gamma v, \quad \Lambda^{1'}{}_{1} = \gamma, \quad \Lambda^{1'}{}_{2} = 0, \quad \Lambda^{1'}{}_{3} = 0 \]

\(dx^\mu = (dt,\, dx,\, 0,\, 0)\) 을 대입하면,

\[ dx^{1'} = (-\gamma v)\,dt + \gamma\,dx + 0 + 0 \]
\[ \boxed{dx' = \gamma(dx - v\,dt)} \]

검산: \(S'\)의 원점 \(dx' = 0\) 으로 놓으면 \(dx = v\,dt\), 즉 \(S'\)의 원점은 \(S\) 계에서 속도 \(v\)로 운동해요. ✓

Medium（표준）

M-1. Lorentz 변환의 계수 결정 상세 계산

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: 교차항의 식에서 \(a_2\)를 \(a_1, a_6\)으로 나타내고, \(dx^2\)와 \(dt^2\)의 식을 연립하여 \(a_1, a_6\)을 결정해요.

(a) 교차항의 식에서 \(a_2\)를 나타내기

교차항 \(dt\,dx\)의 계수 식

\[ -2\,c^2\,a_1\,a_2 - 2\,a_6^2\,v = 0 \]

으로부터,

\[ a_2 = -\frac{a_6^2\,v}{c^2\,a_1} \tag{1} \]

(b) \(dx^2\)의 식에 대입

\(dx^2\)의 계수 식

\[ -c^2\,a_2^2 + a_6^2 = 1 \]

에 식 (1)을 대입하면:

\[ -c^2 \cdot \frac{a_6^4\,v^2}{c^4\,a_1^2} + a_6^2 = 1 \]
\[ -\frac{a_6^4\,v^2}{c^2\,a_1^2} + a_6^2 = 1 \]

양변에 \(c^2\,a_1^2\)을 곱하면:

\[ -a_6^4\,v^2 + a_6^2\,c^2\,a_1^2 = c^2\,a_1^2 \tag{2} \]

(c) \(dt^2\)의 식에서 \(a_1^2\)을 나타내기

\(dt^2\)의 계수 식

\[ -c^2\,a_1^2 + a_6^2\,v^2 = -c^2 \]

으로부터,

\[ c^2\,a_1^2 = c^2 + a_6^2\,v^2 \tag{3} \]

(d) \(a_6^2\) 구하기

식 (3)을 식 (2)에 대입하면:

\[ -a_6^4\,v^2 + a_6^2\,(c^2 + a_6^2\,v^2) = c^2 + a_6^2\,v^2 \]

좌변을 전개하면:

\[ -a_6^4\,v^2 + a_6^2\,c^2 + a_6^4\,v^2 = c^2 + a_6^2\,v^2 \]

\(a_6^4\,v^2\)가 상쇄되어,

\[ a_6^2\,c^2 = c^2 + a_6^2\,v^2 \]

\(a_6^2\)에 대해 정리하면:

\[ a_6^2\,(c^2 - v^2) = c^2 \]
\[ a_6^2 = \frac{c^2}{c^2 - v^2} = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \]

(e) 부호 결정 (연속성)

\(v \to 0\)에서 항등 변환 \(a_6 \to +1\)로 돌아가야 하므로, \(a_6\)의 부호는 플러스예요:

\[ a_6 = +\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma \]

(마이너스를 선택하면 공간 반전이 포함된 변환이 되어, \(v = 0\)의 연속 극한에서 항등 변환으로 돌아가지 않아요.)

(f) \(a_1\)과 \(a_2\) 구하기

식 (3)에 \(a_6^2 = \gamma^2\)을 대입하면:

\[ c^2\,a_1^2 = c^2 + \gamma^2\,v^2 = c^2 + \frac{v^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2(1 - v^2/c^2) + v^2}{1 - v^2/c^2} = \frac{c^2}{1 - v^2/c^2} \]

따라서 \(a_1^2 = 1/(1 - v^2/c^2) = \gamma^2\). 연속성으로부터 \(a_1 = +\gamma\).

식 (1)에 \(a_1 = \gamma\), \(a_6 = \gamma\)를 대입하면:

\[ a_2 = -\frac{\gamma^2\,v}{c^2\,\gamma} = -\frac{\gamma\,v}{c^2} = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

최종 답

\[ \boxed{a_1 = a_6 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma, \qquad a_2 = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = -\frac{\gamma\,v}{c^2}} \]

검산: 이것을 본문 3.3절의 변환식

\[ t' = a_1\,t + a_2\,x, \qquad x' = a_6(x - v\,t) \]

에 대입하면,

\[ t' = \gamma\,t - \frac{\gamma\,v}{c^2}\,x = \gamma\!\left(t - \frac{v\,x}{c^2}\right), \qquad x' = \gamma(x - v\,t) \]

이 되어, \(ct' = \gamma(ct - \beta\,x)\), \(x' = \gamma(x - \beta\,c\,t)\) (\(\beta = v/c\))를 얻어요. 본문 3.6절의 boxed 식과 일치해요. ✓

M-2. Lorentz 변환에 의한 계량의 보존 조건

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풀이 방침: 조건 \(\eta_{\mu'\nu'} = \Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\Lambda^{\beta}{}_{\nu'}\eta_{\alpha\beta}\) 에 구체적인 \(\Lambda\) 를 대입하여 검증해요.

첨자의 해석에 대해: 문제의 \(\Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\) 는 프라임 좌표에서 프라임 없는 좌표로의 변환(역변환)의 행렬 성분을 나타내요. \(x\) 방향 부스트의 경우, 역변환은 \(v \to -v\) 로 얻을 수 있으므로,

\[(\Lambda^{-1})^{\alpha}{}_{\mu'} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma v & 0 & 0 \\ \gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

단, \(x\) 방향 부스트의 행렬은 대칭행렬이므로, \(\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}\) 의 "\(\mu'\) 행 \(\nu\) 열"과 \((\Lambda^{-1})^{\alpha}{}_{\mu'}\) 의 "\(\alpha\) 행 \(\mu'\) 열"을 읽을 때, 전치 연산이 결과에 영향을 주지 않아요.

실제로 계량 보존 조건은 행렬 형식으로 \((\Lambda^{-1})^T \eta\, \Lambda^{-1} = \eta\) 로 쓸 수 있지만, 이는 \(\Lambda^T \eta\, \Lambda = \eta\) 와 동치예요(양변에 \(\Lambda^T\) 를 왼쪽에서, \(\Lambda\) 를 오른쪽에서 곱하면 돼요). 아래에서는 문제의 힌트에 따라 \(\Lambda^{\alpha}{}_{0'} = (\gamma, -\gamma v, 0, 0)\) (순변환 행렬의 제 0 열)을 사용하여 계산해요. \(x\) 방향 부스트에서는 행렬이 대칭이므로, 순변환의 열을 읽는 것과 역변환의 행을 읽는 것은 같은 결과를 줘요.

\((\mu', \nu') = (0, 0)\) 의 검증

\[ \eta_{0'0'} = \Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\beta}{}_{0'}\eta_{\alpha\beta} = \sum_{\alpha}\sum_{\beta}\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\beta}{}_{0'}\eta_{\alpha\beta} \]

\(\eta_{\alpha\beta}\) 가 대각이므로 \(\alpha = \beta\) 인 항만 남아요:

\[ = (\Lambda^{0}{}_{0'})^2 \eta_{00} + (\Lambda^{1}{}_{0'})^2 \eta_{11} + (\Lambda^{2}{}_{0'})^2 \eta_{22} + (\Lambda^{3}{}_{0'})^2 \eta_{33} \]
\[ = \gamma^2 \cdot (-1) + (-\gamma v)^2 \cdot (+1) + 0 + 0 \]
\[ = -\gamma^2 + \gamma^2 v^2 = \gamma^2(v^2 - 1) = \frac{v^2 - 1}{1 - v^2} = -1 \]

이는 \(\eta_{0'0'} = -1\) 과 일치해요. ✓

\((\mu', \nu') = (0, 1)\) 의 검증

\[ \eta_{0'1'} = \Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\beta}{}_{1'}\eta_{\alpha\beta} = \sum_{\alpha}\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\Lambda^{\alpha}{}_{1'}\eta_{\alpha\alpha} \]
\[ = \Lambda^{0}{}_{0'}\Lambda^{0}{}_{1'}\eta_{00} + \Lambda^{1}{}_{0'}\Lambda^{1}{}_{1'}\eta_{11} \]
\[ = (\gamma)(-\gamma v)(-1) + (-\gamma v)(\gamma)(+1) \]
\[ = \gamma^2 v - \gamma^2 v = 0 \]

이는 \(\eta_{0'1'} = 0\) 과 일치해요. ✓

최종 답: 두 성분 모두 민코프스키 계량의 보존 조건을 만족함이 확인되었어요.

검산: 행렬 형식으로 \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\) 를 확인할 수도 있어요. \(\det\Lambda = \gamma^2 - \gamma^2 v^2 = \gamma^2(1-v^2) = 1\) 이므로, \(\Lambda\) 는 proper 로런츠 변환이에요. ✓

M-3. 동시성의 상대성의 정량적 귀결

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풀이 방침: Lorentz 변환의 시간 성분에 \(\Delta t = 0\), \(\Delta x = L\)을 대입해요.

계산

Lorentz 변환의 시간 성분은 (\(c\)를 명시하여 쓰면),

\[ \Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right) \]

\(S\) 계에서 동시(\(\Delta t = 0\))에 거리 \(\Delta x = L\)만큼 떨어진 두 사건에 대해,

\[ \Delta t' = \gamma\left(0 - \frac{v}{c^2} \cdot L\right) = -\frac{\gamma v L}{c^2} \]
\[ \boxed{\Delta t' = -\frac{\gamma v L}{c^2}} \]

동시성의 상대성의 귀결

이 결과는 다음을 보여주고 있어요:

  1. 동시성은 절대적이지 않다: \(S\) 계에서 동시(\(\Delta t = 0\))였던 두 사건이 \(S'\) 계에서는 일반적으로 동시가 아니에요(\(\Delta t' \neq 0\)). \(\Delta t' = 0\)이 되는 것은 \(v = 0\)(두 계가 동일)이거나 \(L = 0\)(같은 장소의 사건)인 경우뿐이에요.

  2. 시간차의 크기는 거리에 비례한다: \(|\Delta t'| = \gamma v L / c^2\)이며, 두 사건의 공간적 거리 \(L\)이 클수록 \(S'\) 계에서의 시간차도 커져요.

  3. 시간 순서는 \(v\)의 부호에 의존한다: \(v > 0\)일 때 \(\Delta t' < 0\) (\(x\) 좌표가 큰 쪽의 사건이 먼저 일어남), \(v < 0\)일 때 \(\Delta t' > 0\) (\(x\) 좌표가 작은 쪽의 사건이 먼저 일어남). 공간적으로 떨어진 동시 사건의 시간 순서는 관측자의 운동 상태에 따라 역전될 수 있어요.

  4. 인과율과의 정합성: \(\Delta t = 0\), \(\Delta x = L \neq 0\)인 두 사건의 시공간 간격은 \(\Delta s^2 = -c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 = L^2 > 0\) (공간적)이에요. 공간적으로 떨어진 사건 사이에는 인과 관계가 없으므로, 시간 순서가 관측자에 의존하더라도 인과율은 깨지지 않아요.

검산

차원 확인: \([\gamma v L / c^2] = (\text{m/s})(\text{m})/(\text{m/s})^2 = \text{s}\). 시간의 차원으로 올바르네요. ✓

\(v \ll c\)의 극한: \(\gamma \approx 1\)에서 \(\Delta t' \approx -vL/c^2\). 일상적인 스케일(\(v \sim 10\;\text{m/s}\), \(L \sim 1\;\text{m}\))에서는 \(|\Delta t'| \sim 10^{-16}\;\text{s}\)로 극히 작아서, 동시성의 어긋남은 검출 불가능해요. ✓

M-4. 고유시간과 좌표시간의 관계

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풀이 방침: \(d\tau^2 = -ds^2\) 를 \(dt^2\) 으로 묶어내고, 3차원 속도를 대입해요.

계산:

고유시간의 정의 (\(c = 1\)):

\[ d\tau^2 = -ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \]

\(dt^2\) 으로 묶어내면:

\[ d\tau^2 = dt^2\left(1 - \frac{dx^2}{dt^2} - \frac{dy^2}{dt^2} - \frac{dz^2}{dt^2}\right) \]

3차원 속도 \(v^i = dx^i/dt\) 를 사용하면, \(v^2 = (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2\) 이므로,

\[ d\tau^2 = dt^2(1 - v^2) \]
\[ \frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - v^2} = \frac{1}{\gamma} \]

최종 답:

\[ \boxed{\frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{\gamma}} \]

물리적 의미: \(\gamma \geq 1\) (등호는 \(v = 0\) 일 때만)이므로, \(d\tau \leq dt\) 예요. 즉, 입자와 함께 움직이는 시계(고유시간 \(\tau\) 를 새기는)는 좌표시간 \(t\) 보다 항상 느리게 가요. 이것이 시간 지연 (time dilation)이에요.

유한한 시간 간격에서는,

\[ \Delta\tau = \int \frac{dt}{\gamma} < \Delta t \]

"움직이는 시계는 느리게 간다"——정지해 있는 관측자의 좌표시간 \(\Delta t\) 에 비해, 움직이는 입자의 고유시간 \(\Delta\tau\) 는 짧아요.

검산: \(v = 0\) 일 때 \(\gamma = 1\) 이므로 \(d\tau = dt\) (정지해 있는 시계는 좌표시간과 동일). ✓
차원 분석: \(c\) 를 복원하면 \(d\tau/dt = \sqrt{1 - v^2/c^2}\), \(v \ll c\) 에서 \(d\tau \approx dt\). ✓

M-5. 속도의 합성 법칙 유도

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풀이 방침: 래피디티의 가법성과 \(\tanh\)의 덧셈 공식을 이용해요.

계산:

\(S \to S'\) 부스트의 래피디티를 \(\varphi_1\), \(S' \to S''\) 부스트의 래피디티를 \(\varphi_2\)라 해요. Lorentz 부스트의 행렬은 쌍곡선함수로 쓰이므로, 두 번의 부스트 합성은

\[ \Lambda(\varphi_2)\Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_1 + \varphi_2) \]

즉, 합성의 래피디티는

\[ \varphi_{12} = \varphi_1 + \varphi_2 \]

합성 속도 \(v_{12}\)는 \(\tanh\varphi_{12} = v_{12}\)（\(c = 1\)）로 주어져요. \(\tanh\)의 덧셈 공식을 사용하면,

\[ v_{12} = \tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = \frac{\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2}{1 + \tanh\varphi_1\,\tanh\varphi_2} \]

\(\tanh\varphi_1 = v_1\), \(\tanh\varphi_2 = v_2\)를 대입하면,

\[ \boxed{v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2}} \]

검산:

  • \(v_1, v_2 \ll 1\)일 때 \(v_{12} \approx v_1 + v_2\)（갈릴레이 속도 합성으로 귀착）. ✓
  • \(v_1 = 1\)（광속）일 때 \(v_{12} = (1 + v_2)/(1 + v_2) = 1\)（광속은 광속 그대로）. ✓
  • \(v_1 = v_2 = 0.9\)일 때 \(v_{12} = 1.8/1.81 \approx 0.9945 < 1\)（광속을 초과하지 않음）. ✓

보충：래피디티의 가법성 증명

\(x\) 방향 부스트의 행렬을 래피디티로 쓰면,

\[ \Lambda(\varphi) = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi \\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \]

（\(t\)-\(x\) 부분만 표시, \(c = 1\)）. 두 행렬의 곱을 계산하면,

\[ \Lambda(\varphi_2)\Lambda(\varphi_1) = \begin{pmatrix} \cosh\varphi_2\cosh\varphi_1 + \sinh\varphi_2\sinh\varphi_1 & -(\cosh\varphi_2\sinh\varphi_1 + \sinh\varphi_2\cosh\varphi_1) \\ -(\sinh\varphi_2\cosh\varphi_1 + \cosh\varphi_2\sinh\varphi_1) & \sinh\varphi_2\sinh\varphi_1 + \cosh\varphi_2\cosh\varphi_1 \end{pmatrix} \]

쌍곡선함수의 덧셈 공식 \(\cosh(\varphi_1+\varphi_2) = \cosh\varphi_1\cosh\varphi_2 + \sinh\varphi_1\sinh\varphi_2\), \(\sinh(\varphi_1+\varphi_2) = \sinh\varphi_1\cosh\varphi_2 + \cosh\varphi_1\sinh\varphi_2\)에 의해,

\[ = \Lambda(\varphi_1 + \varphi_2) \quad \checkmark \]

M-6. 동시성의 상대성 (구체적 예)

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풀이 방침: \(S\) 계의 사건 \(A = (0, 0)\), \(B = (0, L)\)에 Lorentz 변환을 적용해요.

계산:

(a) 시간차 계산

Lorentz 변환의 시간 성분(\(c = 1\)):

\[ t' = \gamma(t - vx) \]

사건 \(A\): \(t_A = 0\), \(x_A = 0\)

\[ t'_A = \gamma(0 - v \cdot 0) = 0 \]

사건 \(B\): \(t_B = 0\), \(x_B = L\)

\[ t'_B = \gamma(0 - vL) = -\gamma vL \]

시간차:

\[ \boxed{\Delta t' = t'_B - t'_A = -\gamma vL} \]

(b) 어느 쪽이 먼저 일어나는가

  • \(v > 0\)(\(S'\)가 \(+x\) 방향으로 운동)일 때: \(\Delta t' = -\gamma vL < 0\), 즉 \(t'_B < t'_A\). 사건 \(B\)가 먼저 일어나요.

  • \(v < 0\)(\(S'\)가 \(-x\) 방향으로 운동)일 때: \(\Delta t' = -\gamma vL > 0\), 즉 \(t'_B > t'_A\). 사건 \(A\)가 먼저 일어나요.

  • \(v = 0\)일 때: \(\Delta t' = 0\). 동시인 채로 유지돼요.

최종 답: \(S\) 계에서 동시였던 두 사건은 \(S'\) 계에서는 일반적으로 동시가 아니에요. 먼저 일어나는 사건은 \(v\)의 부호에 의존해요.

검산: 두 사건의 시공간 간격은 \(\Delta s^2 = -0 + L^2 = L^2 > 0\)(공간적)이에요. 공간적으로 떨어진 사건의 시간 순서는 관성계에 의존한다는 일반적 결론과 일치해요. ✓
\(c\)를 복원하면 \(\Delta t' = -\gamma vL/c^2\)이에요. \(v \ll c\)에서 \(\Delta t' \approx -vL/c^2 \approx 0\)이므로, 일상적 스케일에서는 동시성의 어긋남을 무시할 수 있어요. ✓