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제 2 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 물리량의 텐서 계수 판별

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풀이:

양 계수
(a) 온도 \(T\) 0계 (스칼라)
(b) 힘 \(\vec{F}\) 1계 (벡터)
(c) 질량 \(m\) 0계 (스칼라)
(d) 속도 \(\vec{v}\) 1계 (벡터)
(e) 시공간 간격 \(ds^2\) 0계 (스칼라)
(f) 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\) 2계
(g) 에너지-운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}\) 2계
(h) 4원 속도 \(U^\mu\) 1계

포인트: 계수는 첨자의 수로 결정돼요. 첨자가 0개이면 불변량(좌표 변환에서 값이 변하지 않음), 1개이면 화살표와 같은 양, 2개이면 행렬과 같은 양이에요.

B-2. Newton 운동방정식의 한계

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해답:

Newton의 \(\vec{F} = m\vec{a}\)에 부족한 점:

  1. 공간만의 3차원 벡터라는 것. 특수상대론에서는 시간과 공간이 뒤섞이므로(Lorentz 변환), 시간 성분을 포함하는 4차원의 "4원벡터"로 다시 써야만 관성계 사이의 변환에서 형태가 보존돼요.

  2. 중력을 "힘"으로 취급하고 있다는 것. Newton의 중력 \(F = -GMm/r^2\)은 순간적으로 전달되는 원격작용인데, 이를 4원벡터화해도 "중력의 순간 전파" 문제는 남아요. Einstein의 틀에서는 중력을 "힘"이 아니라 "시공간의 휘어짐"으로 기술함으로써 이 문제를 근본적으로 해소해요.

B-3. Newton과 Einstein의 두 기둥의 대응

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해답:

Newton Einstein
입자의 운동 \(\vec{F} = m\vec{a}\) (운동 방정식) \(\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau} = 0\) (측지선 방정식)
장 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) (Poisson 방정식) \(G_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) (Einstein 방정식)

역할:

  • 입자의 운동: 주어진 시공간(Newton의 경우 퍼텐셜 \(\Phi\), Einstein의 경우 계량 \(g_{\mu\nu}\) 및 거기서 결정되는 \(\Gamma\)) 속에서 입자가 어떻게 운동하는지를 결정해요.
  • 장 방정식: 물질(질량 밀도 \(\rho\) 또는 에너지-운동량 \(T_{\mu\nu}\))이 어떻게 시공간(\(\Phi\) 또는 \(g_{\mu\nu}\))을 만드는지를 결정해요.

Medium（표준）

M-1. 측지선 방정식의 이해

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해답:

(a) 우변이 0인 의미

우변이 0 = 입자에 힘이 작용하지 않는다는 것을 의미해요. Newton의 \(\vec{F} = m\vec{a}\)의 우변에 해당하는 "힘"이 Einstein의 측지선 방정식에는 없어요.

Einstein의 틀에서는, 중력은 힘이 아니라 시공간의 기하학에 흡수되어 있어요. 좌변 제2항의 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)(접속 계수)가 시공간의 휘어짐 효과를 담당하기 때문에, 중력에 의한 "힘"은 식에서 사라져요. 따라서 "측지선"은 "중력 이외의 힘이 작용하지 않는 입자의 세계선" = "아무런 힘도 작용하지 않는 입자의 세계선"을 의미해요.

(b) 접속 계수의 결정

접속 계수 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)는, 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)의 1계 미분으로부터 결정돼요. 구체적으로는

\[ \Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \left( \partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta} \right) \]

자세한 내용은 제 6 장 이후에서 배워요.

(c) 전자기장 속의 하전 입자

전자기장 속에서는, 입자가 전자기력을 받으므로, 우변에 그 힘이 들어가요:

\[ m\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = qF^{\mu}{}_{\nu}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

우변에 힘이 있는 식은 "측지선 방정식"이 아니라 단순히 "운동 방정식"이라고 불러요. 힘에 의해 경로가 휘어진 입자는, 더 이상 측지선을 따르지 않아요.

M-2. Einstein 방정식의 계수

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해답:

(a) \(G_{\mu\nu}\) 와 \(G\) 의 차이

  • \(G_{\mu\nu}\) 는 아인슈타인 텐서라고 불리는 2계 텐서(첨자 2개)예요. 시공간의 휘어진 정도를 나타내는 양으로, 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\) 의 2계 미분으로부터 만들어져요.
  • \(G\) 는 뉴턴의 만유인력 상수(첨자 없는 스칼라 상수)예요. \(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\).

같은 기호 \(G\) 를 사용하는 것은 역사적인 우연이에요. 첨자의 유무로 구별해요.

(b) 계수 \(8\pi G/c^4\) 의 결정

이 계수는 아인슈타인이 자유롭게 선택한 숫자가 아니라, 뉴턴의 푸아송 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) 과 정합하도록 결정돼요. 약한 중력·느린 속도의 극한에서 아인슈타인 방정식이 푸아송 방정식으로 귀착되는 조건으로부터, \(8\pi G/c^4\) 이어야 해요. \(4\pi\) 는 구의 표면적에서 유래하는 인자이고, \(8\pi\) 는 텐서 구조에서 나타나는 2배의 인자예요. 자세한 내용은 제 13 장에서 다뤄요.

(c) 약한 중력 극한

약한 중력·느린 속도의 극한에서 아인슈타인 방정식은 뉴턴의 푸아송 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) 으로 귀착돼요. 이때, 계량의 시간 성분 \(g_{00}\) 이 중력 퍼텐셜 \(\Phi\) 와 \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\) 의 관계로 연결돼요.

Advanced（발전）

A-1. 계량 텐서에서 파생되는 양

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해답:

계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)로부터의 미분 횟수와 물리적 의미:

양 계량의 미분 물리적 의미
접속 계수 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) 1계 미분 측지선 방정식을 통해 입자의 궤도를 결정함
Einstein 텐서 \(G_{\mu\nu}\) 2계 미분 시공간의 휘어짐 자체를 나타냄 (Riemann 텐서로부터 만들어짐)

흐름:

g_{μν} (계량)
  ├─ 1계 미분 → Γ^μ_{αβ} (접속) → 측지선 방정식 → 입자의 궤도
  └─ 2계 미분 → R^μ_{ναβ} (Riemann) → R_{μν} (Ricci) → G_{μν} (Einstein) → 시공간의 휘어짐

\(\Gamma\)는 「이 시공간 안에서 입자가 어떻게 움직이는가」를 구하기 위한 양이에요. \(G_{\mu\nu}\)는 「이 시공간이 얼마나 휘어져 있는가」를 진단하는 양이에요 (블랙홀 내부의 특이점 판정 등). 둘 다 출발점은 계량 \(g_{\mu\nu}\)이며, 이 계량이야말로 Einstein 방정식에서 결정되는 주역이에요.