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부록 B 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 전자의 Compton 파장의 SI 계산

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\(\lambda_C = \frac{\hbar}{m_e c}\)

\(= \frac{1.055 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 2.998 \times 10^8}\)

\(= \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2.731 \times 10^{-22}}\)

\(= 3.86 \times 10^{-13} \;\text{m} \approx 0.386 \;\text{pm}\)

이것은 원자의 크기(\(\sim 10^{-10}\) m)보다 훨씬 작고, 원자핵의 크기(\(\sim 10^{-15}\) m)보다 커요. Compton 파장은 「양자역학적 효과가 중요해지는 스케일」을 나타내요.

B-2. Planck 질량을 GeV로

→ 문제로 돌아가기

\(m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} = 2.176 \times 10^{-8} \;\text{kg}\)

GeV로 환산:

\(m_P c^2 = 2.176 \times 10^{-8} \times (2.998 \times 10^8)^2 = 1.956 \times 10^9 \;\text{J}\)

\(= \frac{1.956 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \;\text{GeV} = 1.221 \times 10^{19} \;\text{GeV}\)

양성자 질량 \(m_p \approx 0.938\) GeV와의 비:

\(\frac{m_P}{m_p} = \frac{1.221 \times 10^{19}}{0.938} \approx 1.3 \times 10^{19}\)

플랑크 질량은 양성자 질량의 약 \(10^{19}\)배예요.

Medium（표준）

M-1. 자연단위계에서의 \(G\) 의 차원

→ 문제로 돌아가기

SI 단위계에서 \(G\)의 차원:

\([G] = \frac{[\text{길이}]^3}{[\text{질량}][\text{시간}]^2} = \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)

자연단위계(\(\hbar = c = 1\))에서는: - \(c = 1\)로부터 \([\text{길이}] = [\text{시간}]\) - \(\hbar = 1\)로부터 \([\text{에너지}] \cdot [\text{시간}] = 1\), 즉 \([\text{시간}] = [\text{에너지}]^{-1}\) - \(E = mc^2\)로부터 \([\text{질량}] = [\text{에너지}]\)

따라서 \([\text{길이}] = [\text{시간}] = [\text{에너지}]^{-1}\), \([\text{질량}] = [\text{에너지}]\).

\([G] = \frac{[\text{E}]^{-3}}{[\text{E}][\text{E}]^{-2}} = \frac{[\text{E}]^{-3}}{[\text{E}]^{-1}} = [\text{E}]^{-2}\)

확실히 \([G] = [\text{에너지}]^{-2}\)이에요.

M-2. 자연단위계에서의 미세구조상수

→ 문제로 돌아가기

SI 단위계에서의 정의:

\(\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}\)

자연 단위계에서는 \(\hbar = c = 1\)로 놓고, 나아가 Gauss 단위계의 관례에 따라 \(4\pi\varepsilon_0 = 1\)로 놓으면:

\(\alpha = \frac{e^2}{4\pi}\)

\(\alpha \approx 1/137\)은 무차원량이므로, 어떤 단위계에서도 값은 동일해요. 자연 단위계에서는 \(e^2 = 4\pi\alpha \approx 4\pi/137 \approx 0.0917\)이에요.