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제 6 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 정상 상태의 위상 인자 계산

2상태계의 해밀토니안이

\[H = \begin{pmatrix} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{pmatrix}\]

로 주어지고, 고유 상태 \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\)의 에너지가 \(E_{II} = E_0 - A\)라고 해요. 시각 \(t\)에서의 정상 상태의 진폭 \(C_1(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{II}t/\hbar}\)에 대해, \(t = \pi\hbar/(E_0 - A)\)일 때 \(C_1(t)\)의 값을 구하세요.

힌트

\(e^{-i\pi} = -1\)을 이용하세요. 지수 부분에 \(t\)의 값을 대입하여 정리해요.

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B-2. 터널 분열의 에너지 계산

암모니아 분자의 반전 진동수가 \(f = 24{,}000\;\text{MHz}\) 이며, 에너지 차이 \(2A = hf\) 가 성립해요. \(A\) 를 eV 단위로 구하세요. 단, \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\text{J·s}\), \(1\;\text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\text{J}\) 로 해요.

힌트

\(A = hf/2\) 를 계산하고, J에서 eV로 변환해요. \(f = 2.4 \times 10^{10}\;\text{Hz}\) 임에 주의하세요.

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B-3. 고유값 방정식의 행렬식 전개

일반적인 2상태 해밀토니안

\[H = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta^* & \gamma \end{pmatrix}\]

(\(\alpha, \gamma\)는 실수, \(\beta\)는 복소수)에 대해, 고유값 방정식 \(\det(H - E\,I) = 0\)을 전개하여 \(E\)에 관한 이차방정식을 유도하세요.

힌트

\(\det\begin{pmatrix} \alpha - E & \beta \\ \beta^* & \gamma - E \end{pmatrix} = (\alpha - E)(\gamma - E) - \beta\beta^*\)를 계산해요. \(\beta\beta^* = |\beta|^2\)임에 주의하세요.

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B-4. 고유벡터의 직교성 확인

본문의 고유벡터

\[|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle), \quad |II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\]

에 대해 \(\langle I|I\rangle\), \(\langle II|II\rangle\), \(\langle I|II\rangle\)를 각각 계산하고, 이들이 정규직교계를 이루는 것을 확인하세요. 단, \(\langle 1|1\rangle = \langle 2|2\rangle = 1\), \(\langle 1|2\rangle = \langle 2|1\rangle = 0\)으로 해요.

힌트

각 브라·켓을 전개하여 기저의 직교정규성을 이용해 계산해요. 예를 들어 \(\langle I|I\rangle = \frac{1}{2}(\langle 1| - \langle 2|)(|1\rangle - |2\rangle)\)이에요.

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B-5. 확률의 시간 의존성 계산

\(t = 0\) 에서 \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\) 일 때, 본문의 식 (6.18)을 이용하여 시각 \(t\) 에서의 \(C_2(t) = \langle 2|\psi(t)\rangle\) 를 계산하고, 상태 \(|2\rangle\) 에 있을 확률 \(P_2(t) = |C_2(t)|^2\) 를 구하세요. 결과를 \(A\), \(\hbar\), \(E_0\) 를 사용하여 나타내세요.

힌트

\(\langle 2|I\rangle = -1/\sqrt{2}\), \(\langle 2|II\rangle = 1/\sqrt{2}\) 를 이용해요. 두 위상 인자의 차이가 진동을 만들어요. \(|e^{i\theta_1} - e^{i\theta_2}|^2 = 2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2)\) 공식이 도움이 돼요.

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B-6. \(i\hbar\,dC/dt = EC\) 의 풀이

미분방정식 \(i\hbar\,\dfrac{dC}{dt} = E\,C\) （\(E\) 는 실수 상수）를 풀고, \(C(0) = C_0\) 조건에서 \(C(t)\) 를 구하세요. 또한 \(|C(t)|^2\) 이 시간에 의존하지 않음을 보이세요.

힌트

변수분리법을 사용해요. \(dC/C = -iE/({\hbar})\,dt\) 를 적분하세요.

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B-7. 기저 변환의 역변환

식 (6.17a) \(|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|I\rangle + |II\rangle)\) 와 식 (6.17b) \(|2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-|I\rangle + |II\rangle)\) 를 이용하여, 반대로 \(|I\rangle\) 와 \(|II\rangle\) 를 \(|1\rangle\) 과 \(|2\rangle\) 로 나타내고, 식 (6.15a), (6.15b)가 재현되는 것을 확인하세요.

힌트

식 (6.17a)와 (6.17b)를 연립방정식으로서 \(|I\rangle\), \(|II\rangle\) 에 대해 푸세요. 또는 (6.17a) \(-\) (6.17b) 와 (6.17a) \(+\) (6.17b) 를 계산하세요.

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B-8. 에르미트성의 확인

행렬

\[M = \begin{pmatrix} 3 & 2 - i \\ 2 + i & 5 \end{pmatrix}\]

이 에르미트 행렬임을 확인하세요. 즉, \(M_{ij}^* = M_{ji}\) 가 모든 \(i, j\) 에 대해 성립함을 보이세요.

힌트

\(M_{12} = 2 - i\) 의 복소켤레를 취하고, \(M_{21} = 2 + i\) 와 비교해요. 대각 성분이 실수임도 확인해요.

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Medium（표준）

M-1. 확률 보존으로부터 에르미트성 유도

2상태계의 시간 발전 방정식

\[i\hbar\frac{dC_1}{dt} = H_{11}C_1 + H_{12}C_2, \quad i\hbar\frac{dC_2}{dt} = H_{21}C_1 + H_{22}C_2\]

에서 전체 확률 \(P = |C_1|^2 + |C_2|^2\)의 시간 미분 \(dP/dt\)를 계산하세요. \(dP/dt = 0\)이 임의의 \(C_1, C_2\)에 대해 성립하기 위한 조건으로서, \(H_{11}, H_{22}\)가 실수인 것과 \(H_{12}^* = H_{21}\)인 것을 유도하세요.

힌트

\(\frac{d}{dt}|C_1|^2 = C_1^*\frac{dC_1}{dt} + C_1\frac{dC_1^*}{dt}\)를 사용하여, \(dC_1/dt\)와 \(dC_1^*/dt\)를 식에서 대입해요. \(C_2\)에 대해서도 마찬가지로 수행하고, \(dP/dt = 0\)의 조건을 \(C_1, C_2\)의 임의성으로부터 읽어내세요.

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M-2. Rabi (라비) 진동의 유도

\(t = 0\) 에서 \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\) (질소가 "위")이라고 해요. 해밀토니안 (6.7) 하에서, 시각 \(t\) 에서의 확률

\[P_1(t) = |\langle 1|\psi(t)\rangle|^2, \quad P_2(t) = |\langle 2|\psi(t)\rangle|^2\]

을 각각 유도하고, 다음 결과를 보이세요:

\[P_1(t) = \cos^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right), \quad P_2(t) = \sin^2\!\left(\frac{At}{\hbar}\right)\]

또한, \(P_1(t) + P_2(t) = 1\) 이 항상 성립함을 확인하고, 계가 상태 \(|1\rangle\) 과 \(|2\rangle\) 사이를 완전히 왕복하는 주기 \(T\) 를 \(A\) 와 \(\hbar\) 로 표현하세요.

힌트

식 (6.18)로부터 \(C_1(t) = \langle 1|\psi(t)\rangle\) 를 계산해요. \(\langle 1|I\rangle = 1/\sqrt{2}\), \(\langle 1|II\rangle = 1/\sqrt{2}\) 를 이용하고, 공통 인자 \(e^{-iE_0 t/\hbar}\) 를 묶어내면 나머지는 \(\cos(At/\hbar)\) 의 형태가 돼요.

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M-3. 전기장 속 암모니아 분자의 에너지 준위

균일한 정전기장 \(\mathcal{E}\)를 걸면, 질소 원자의 위치에 따라 전기 쌍극자 모멘트 \(\pm \mu\mathcal{E}\)의 에너지가 더해져요. Hamiltonian이

\[H = \begin{pmatrix} E_0 + \mu\mathcal{E} & -A \\ -A & E_0 - \mu\mathcal{E} \end{pmatrix}\]

으로 바뀔 때, 고유값 \(E_{\pm}\)를 구하고, 다음과 같은 형태로 나타내세요:

\[E_{\pm} = E_0 \pm \sqrt{A^2 + (\mu\mathcal{E})^2}\]

나아가, \(\mu\mathcal{E} \ll A\)의 극한과 \(\mu\mathcal{E} \gg A\)의 극한에서 각각 에너지 준위가 어떻게 행동하는지 논의하세요.

힌트

고유값 방정식 \(\det(H - EI) = 0\)을 전개해요. \((E_0 + \mu\mathcal{E} - E)(E_0 - \mu\mathcal{E} - E) - A^2 = 0\)을 \(E\)에 대해 풀어요. 극한에서는 \(\sqrt{A^2 + x^2}\)를 \(x \ll A\) 또는 \(x \gg A\)에서 테일러(Taylor) 전개해요.

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M-4. Hamiltonian의 대각화와 행렬 표시의 변환

유니터리 행렬

\[U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]

을 이용하여 암모니아 분자의 Hamiltonian (6.7)을 대각화하세요. 즉 \(U^\dagger H\, U\)를 계산하고, 결과가

\[U^\dagger H\, U = \begin{pmatrix} E_0 + A & 0 \\ 0 & E_0 - A \end{pmatrix}\]

가 됨을 보이세요. 또한 \(U\)의 열벡터와 고유벡터 \(|I\rangle\), \(|II\rangle\)의 관계를 서술하세요.

힌트

\(U^\dagger = U^T\) (\(U\)가 실행렬이므로)를 계산한 다음, \(U^\dagger H\)를 구하고, 다시 오른쪽에서 \(U\)를 곱해요. \(U\)의 제1열이 \(|I\rangle\)의 성분, 제2열이 \(|II\rangle\)의 성분에 대응함을 확인하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 시간 의존 섭동으로서의 진동 전기장과 전이 확률

암모니아 분자에 각진동수 \(\omega\) 의 진동 전기장 \(\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \cos\omega t\) 을 인가해요. 에너지 기저 \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\) 로 기술했을 때, 해밀토니안은

\[H = \begin{pmatrix} E_I & \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t \\ \mu\mathcal{E}_0\cos\omega t & E_{II} \end{pmatrix}\]

로 쓸 수 있어요 (\(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\)).

초기 상태가 \(|\psi(0)\rangle = |II\rangle\) (낮은 에너지 상태)일 때, 다음 절차에 따라 상태 \(|I\rangle\) 로의 전이 확률을 구하세요.

(a) \(C_I(t) = b_I(t)\,e^{-iE_I t/\hbar}\), \(C_{II}(t) = b_{II}(t)\,e^{-iE_{II}t/\hbar}\) 로 놓고, \(b_I(t)\), \(b_{II}(t)\) 에 관한 미분방정식을 유도하세요.

(b) 회전파 근사 (rotating wave approximation, RWA): \(\omega \approx (E_I - E_{II})/\hbar = 2A/\hbar\) 의 공명 조건 부근에서, 고속 진동항을 무시하여 방정식을 간략화하세요.

(c) 공명 조건 \(\omega = 2A/\hbar\) 하에서 \(b_I(t)\) 를 풀고, 전이 확률 \(P_{II \to I}(t) = |b_I(t)|^2\) 이

\[P_{II \to I}(t) = \sin^2\!\left(\frac{\mu\mathcal{E}_0\,t}{2\hbar}\right)\]

가 됨을 보이세요. 이것이 암모니아 메이저에서 유도 방출의 기초가 됨을 설명하세요.

힌트

(a) 식 (6.3)에 대입하여 위상 인자를 소거하면, \(b_I\), \(b_{II}\) 의 방정식에 \(e^{\pm i(E_I - E_{II})t/\hbar}\) 와 \(\cos\omega t\) 의 곱이 나타나요. \(\cos\omega t = (e^{i\omega t} + e^{-i\omega t})/2\) 를 사용하세요. (b) 공명 부근에서는 \(e^{i(\omega - \omega_0)t}\) 는 천천히 변화하고, \(e^{i(\omega + \omega_0)t}\) 는 고속 진동하므로 후자를 무시해요 (\(\omega_0 = 2A/\hbar\)). (c) 공명 조건에서 방정식이 상수 계수가 되므로, D6과 같은 방법으로 풀 수 있어요.

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A-2. 3 상태계로의 확장：일반화된 양자 진동

2 상태계를 확장하여, 3개의 등가한 상태 \(|1\rangle\), \(|2\rangle\), \(|3\rangle\)이 서로 같은 터널링 진폭 \(-A\)로 결합된 계를 생각해요. Hamiltonian은

\[H = \begin{pmatrix} E_0 & -A & -A \\ -A & E_0 & -A \\ -A & -A & E_0 \end{pmatrix}\]

으로 주어져요.

(a) 이 Hamiltonian의 고유값을 모두 구하세요. (힌트: 행렬을 \(E_0\,I + (-A)(J - I)\)의 형태로 다시 쓰세요. 여기서 \(J\)는 모든 성분이 1인 \(3\times 3\) 행렬, \(I\)는 단위행렬이에요.)

(b) 각 고유값에 대응하는 고유벡터를 구하고, 규격화하세요. 축퇴가 있는 경우 그 차수를 기술하세요.

(c) \(t = 0\)에서 계가 상태 \(|1\rangle\)에 있을 때, 시각 \(t\)에서 상태 \(|1\rangle\)에서 발견될 확률 \(P_1(t)\)를 구하세요. 2 상태계의 Rabi 진동과 비교하여, 진동의 특징(진동수, 진폭의 완전성)이 어떻게 달라지는지 논의하세요.

힌트

(a) \(J\)의 고유값은 \(3\) (고유벡터 \((1,1,1)^T/\sqrt{3}\))과 \(0\) (2중 축퇴, \((1,1,1)^T\)에 직교하는 임의의 벡터)이에요. \(H = (E_0 + A)I - A\,J\)로 다시 쓰면, \(H\)의 고유값은 \(J\)의 고유값으로부터 직접 얻을 수 있어요. (b) 축퇴된 고유공간의 기저는, 예를 들어 \((1,-1,0)^T/\sqrt{2}\)와 \((1,1,-2)^T/\sqrt{6}\)을 취할 수 있어요. (c) \(|1\rangle\)을 에너지 고유상태로 전개하고, 각 고유상태에 시간 발전 인자를 붙인 후 \(|\langle 1|\psi(t)\rangle|^2\)를 계산하세요.

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