제2장 여행의 설계도 — 텐서와 Einstein 방정식의 전체 그림¶
지난 이야기: 제 1 장에서 Newton의 중력 모델을 「장 이론」의 언어로 다시 쓰고, 두 가지 한계——수성의 근일점 이동과, Poisson 방정식에서 시간 미분이 빠져 있는 구조적 문제——를 보았다. 특수상대론의 「광속을 넘는 신호는 존재하지 않는다」는 원리와 모순되는 이 문제를 해결하려면, Newton 모델의 토대에 있는 「절대 시간」과 「절대 공간」을 재검토해야 한다.
이 장의 목표
- 특수상대론에서 일반상대론에 이르는 긴 여행의 설계도를 먼저 펼쳐 놓는 장
- 개별 수식의 유도는 이후 장에서 한 걸음씩 나아가지만, 그 전에 「어디를 향해 가는지」의 전체 그림을 잡아 두면 도중의 산길에서 길을 잃지 않는다
- 이 장에서는, 좌표계에 의존하지 않는 물리 법칙을 기술하기 위한 도구——텐서——를 도입하고, Einstein의 중력 모델이 입자의 운동 방정식(측지선 방정식)과 장 방정식(Einstein 방정식)의 두 기둥으로 구성됨을 조감한다
- 다음 장부터는, 이 설계도의 첫 번째 조각(0계 텐서 = 시공간 간격 \(ds^2\))부터 구체적으로 구축해 나간다
2.1 스칼라, 벡터, 텐서¶
🟡 리나: 먼저, 상대성이론을 배울 때 가장 중요한 사고방식부터 시작할게. 물리의 모델은 좌표계의 선택에 의존해서는 안 돼. 도쿄를 원점으로 잡든 파리를 원점으로 잡든, 물리 법칙은 같은 형태를 가져야 해——이것이 상대성 원리의 요구야.
🔵 카이: 하지만 좌표의 성분 \((x, y, z)\)는 원점이나 축의 방향에 따라 변하잖아요. 예를 들어, 교실 모서리를 원점으로 하느냐 교탁을 원점으로 하느냐에 따라 같은 책상의 위치가 \((3, 2, 0)\)이 되기도 하고 \((1, -1, 0)\)이 되기도 하고요.
🟡 리나: 맞아. 하지만 2개의 책상 사이의 거리는, 원점을 어디에 두든 좌표축을 어떻게 돌리든 변하지 않지?
🔵 카이: 확실히요. 좌표의 성분은 변하지만, 거리는 변하지 않네요.
🟡 리나: 그럼, 벡터는 어떨까? 고등학교 물리에서도 벡터(화살표)의 성분 \((v_x, v_y, v_z)\)는 좌표축의 방향에 따라 변하지만, 화살표 자체는 같았지?
⚪ 메이: 맞아. 거리도 벡터도, 공통점은 「성분은 좌표계에 따라 변하지만, 양 자체는 변하지 않는다」는 것——좌표의 선택에 의존하지 않는 본질적인 무언가가 있는 거네.
🟡 리나: 바로 그래. 정리하면,
- 거리처럼, 값 자체가 좌표 변환에서 변하지 않는 양 → 스칼라(불변량)
- 화살표처럼, 성분은 변하지만 변하는 방식의 규칙(회전 행렬을 곱하는 등)이 정해져 있는 양 → 벡터
이것들을 일반화한 것이 텐서 (tensor)——좌표 변환에 대해 정해진 규칙으로 성분이 변하는 양의 총칭이야. 「정해진 규칙」의 구체적인 내용은 제 6 장에서 정식으로 배울 테니, 지금은 「성분의 변하는 방식에 법칙이 있는 양」이라고만 생각해 둬.
🔵 카이: 그러니까, 스칼라도 벡터도 텐서의 동료이고, 차이는 「규칙을 적용하는 횟수」라는 거예요?
🟡 리나: 맞아, 바로 그거야. 대략적으로 말하면, 스칼라는 변환해도 값이 변하지 않고, 벡터는 좌표 변환 규칙을 1번 적용해서 성분이 변하고, 2계 텐서는 같은 규칙을 2번(각 첨자에 1번씩) 적용해서 성분이 변해——첨자의 수만큼 규칙을 적용하는 횟수가 늘어나는 거야.
⚪ 메이: 첨자가 늘어날수록 변환이 복잡해지지만, 발상은 같은 거네.
🟡 리나: 예를 들어, 좌표축을 30° 회전시켰을 때, 벡터의 각 성분은 회전 행렬을 1번 곱해서 새로운 성분으로 변해. 2계 텐서는 \(4 \times 4\) 표의 각 성분에 대해, 행과 열 양쪽에 회전 행렬을 곱하는 거야——즉 2번 적용하는 거지. 좌표축을 회전시켰을 때, 각 계수의 텐서가 어떻게 행동하는지 이미지를 그림으로 정리해 둘게(그림 2.1「좌표 변환(회전)에 대한 각 계수 텐서의 행동. 왼쪽」).
그림 2.1: 좌표 변환(회전)에 대한 각 계수 텐서의 행동. 왼쪽 — 0계(스칼라): 2점 사이의 거리는 좌표축을 어떻게 돌려도 값이 변하지 않는다. 가운데 — 1계(벡터): 성분 \((v_x, v_y)\)는 좌표축의 방향에 따라 변하지만, 화살표 자체는 같다. 오른쪽 — 2계 텐서: 성분은 좌표 변환을 「2번」 적용해서 변한다.
텐서로 쓰인 방정식은, 어떤 좌표계에서 성립하면 모든 좌표계에서 같은 형태로 성립해.
✅ 이해도 체크: 텐서로 쓰인 방정식이 물리 법칙의 기술에 적합한 이유는 무엇일까요?
답
텐서로 쓰인 방정식은, 어떤 좌표계에서 성립하면 모든 좌표계에서 같은 형태로 성립하기 때문이에요. 이를 통해 좌표계의 선택에 의존하지 않는 물리 법칙을 표현할 수 있어요.
🔵 카이: 텐서가 구체적으로 어떤 건가요?
🟡 리나: 텐서에는 「계수」(rank)가 있어서, 가지고 있는 첨자의 수로 분류돼.
🔵 카이: 첨자라면, \(U^\mu\)의 \(\mu\) 같은 거요?
🟡 리나: 맞아. 첨자는 「성분을 지정하는 라벨」이야. 예를 들어 3차원 벡터 \(\vec{v}\)는 \((v_x, v_y, v_z)\)의 3개 성분을 가지잖아? 이것을 \(v^i\)(\(i = 1, 2, 3\))라고 쓰면, 첨자 \(i\)가 「어떤 성분인지」를 지정하는 거야. 상대론에서는 공간 3차원에 시간 1차원을 더한 4차원 시공을 생각하니까, 첨자는 \(\mu = 0, 1, 2, 3\)의 4개 값을 취하고, \(0\)이 시간, \(1, 2, 3\)이 공간에 대응해. 첨자가 1개면 4성분, 2개면 \(4 \times 4 = 16\) 성분, 이런 식으로 늘어나지.
표 2.1: 텐서의 계수와 구체적 예
| 계수 | 첨자의 수 | 이름 | 친숙한 예 | 앞으로 등장하는 예 |
|---|---|---|---|---|
| 0계 | 없음 | 스칼라(불변량) | 2점 사이의 거리 | 시공간 간격 \(ds^2\)(제3장~), 고유시간 \(d\tau\) |
| 1계 | 1개 | 벡터 | 힘 \(\vec{F}\), 속도 \(\vec{v}\) | 4원속도 \(U^\mu\), 4원운동량 \(p^\mu\) |
| 2계 | 2개 | 2계 텐서 | (고등학교에서는 등장하지 않지만, \(4 \times 4\) 표 = 행렬 같은 것. 물리의 예: 물체의 각 방향 늘어남·줄어듦을 나타내는 응력 등) | 계량 \(g_{\mu\nu}\)(제6장~), \(T_{\mu\nu}\)(제14장~) |
⚪ 메이: 즉, 스칼라도 벡터도 텐서의 일종인 거네.
✅ 이해도 체크: 텐서의 「계수」(rank)는 무엇으로 결정될까요?
답
가지고 있는 첨자의 수로 결정돼요. 0계(첨자 없음)가 스칼라, 1계(첨자 1개)가 벡터, 2계(첨자 2개)가 2계 텐서예요.
📝 연습문제:
- 물리량의 텐서 계수 판별 → 문제 B-1. 물리량의 텐서 계수 판별
2.2 Newton의 운동 방정식에서 4원벡터로¶
🟡 리나: 친숙한 예를 들자면, Newton의 운동 방정식 \(\vec{F} = m\vec{a}\)는 벡터(1계 텐서)로 쓰인 방정식이야. 좌표축을 어떻게 회전시켜도 같은 형태가 성립해——벡터로 쓰여 있으니까, 불변성이 자동으로 보장되는 거야.
🔵 카이: 고등학교에서도 운동 방정식을 \(x\) 성분, \(y\) 성분으로 나눠서 \(F_x = ma_x\), \(F_y = ma_y\)라고 썼잖아요. 그런데 그때 좌표축의 방향을 바꾸면 \(F_x\)의 값이 변한다는 걸 의식한 적은 없었네요.
🟡 리나: 거기가 포인트야. 고등학교에서는 좌표축을 하나 정하면 그대로 계산을 진행하니까, 「다른 좌표계라면 어떻게 될까」를 생각할 필요가 없었어. 하지만 상대론에서는, 서로 다른 관성계 (inertial frame) 사이에서 물리 법칙이 같은 형태를 취할 것을 요구해.
🔵 카이: 관성계가 뭐예요?
🟡 리나: 가속도 회전도 없는 좌표계를 말해. 직감적으로 말하면, 「아무 힘도 받지 않는 관측자에서 본 시점」이야. 전철로 비유하면, 등속으로 달리는 전철 안과 정차장 플랫폼 위——둘 다 관성계야. 가속 중인 전철이나 급커브를 도는 전철은 관성계가 아니야.
좀 더 물리적으로 바꿔 말하면, 힘이 작용하지 않는 물체가 등속직선운동을 계속하는 좌표계. Newton의 제1법칙——관성의 법칙——이 그대로 성립하는 계이기 때문에 「관성계」라고 부르는 거야. 반대로, 가속하는 전철 안에서는 힘을 받지 않는 물체(예를 들어 좌석 위에 놓인 캔커피)가 저절로 움직이는 것처럼 보여——이것은 관성계가 아니야. 그리고, 어떤 관성계에 대해 등속직선운동하는 다른 좌표계도 관성계가 돼. 관성계는 하나가 아니라 무수히 많아. 그림으로 정리하면 이렇게 되지(그림 2.2「관성계와 비관성계의 차이. 왼쪽·가운데」).
그림 2.2: 관성계와 비관성계의 차이. 왼쪽·가운데 — 플랫폼과 등속 전철은 둘 다 관성계: 힘을 받지 않는 물체는 정지 또는 등속직선운동을 계속한다. 오른쪽 — 가속 중인 전철은 비관성계: 힘을 받지 않는 캔커피가 저절로 움직이는 것처럼 보인다(관성의 법칙이 성립하지 않는다).
🔵 카이: 그렇군요. 등속으로 달리는 전철 안도 플랫폼도 관성계이고, 가속 중인 전철은 관성계가 아니네요. 힘을 받지 않는 물체가 등속직선운동을 계속하는지 여부로 판정하는 거군요.
🟡 리나: 바로 그래. 그리고 \(\vec{F} = m\vec{a}\)가 벡터 형식으로 쓰여 있으니까, 좌표축을 어떻게 회전시켜도 방정식의 형태는 변하지 않아——벡터가 자동으로 불변성을 보장해 주는 거야.
⚪ 메이: 아까 텐서 이야기와 연결되네. 벡터는 1계 텐서이니까, 좌표 변환의 규칙에 따라 성분이 변해도 방정식의 형태는 유지되는 거야.
🔵 카이: 회전뿐만 아니라, 원점을 어디에 놓아도 같은 건가요?
🟡 리나: 그렇지. \(\vec{F} = m\vec{a}\)는 위치 자체가 아니라 가속도(위치의 2계 미분)의 식이니까, 원점을 옮겨도 영향을 받지 않아. 즉 공간의 회전에도 평행이동에도 불변이야.
🔵 카이: 좌표축의 눈금을 바꾸는 경우——예를 들어 미터에서 센티미터로——는 어떻게 되나요?
🟡 리나: \(\vec{F} = m\vec{a}\)는 양변의 차원(단위)이 같으니까, 미터를 센티미터로 바꿔도 양변이 같은 배율로 변해서 등식은 그대로 성립해. 그러니까 확대·축소에 대해서도 불변이야.
🔵 카이: 그럼, 가속하는 좌표계에서는 어떻게 되나요?
🟡 리나: 특수상대론 단계에서는, 관성계(등속직선운동하는 좌표계) 사이에서 형태가 변하지 않는 방정식을 세워. 가속하는 좌표계를 다루려면 일반상대론의 틀이 필요해져. 일반상대론에서는, 가속하고 있어도 회전하고 있어도, 임의의 좌표계에서 같은 형태의 방정식을 쓸 수 있어. 이후 장에서 단계적으로 보게 될 거야.
🔵 카이: 임의의 좌표계에서 같은 형태라니, 대단하네요. 그런데 그렇다면, 특수상대론에서 관성계로 한정했던 이유는 뭐였나요? 처음부터 일반상대론으로 쓰면 되지 않았나요?
🟡 리나: 일반상대론은 수학적 도구가 훨씬 복잡해지거든. 먼저 관성계에서만 성립하는 특수상대론을 이해하고, 거기서 한 걸음씩 일반화해 나가는 편이 물리의 본질이 보기 쉬워. 실제로 이 여행도 그 순서로 진행할 거야.
🔍 Dive Deep: 텐서로 쓰면 모든 좌표 변환에 대해 불변 아닌가요?
(이 보충은 약간 앞서 나가는 내용을 포함해요. 어려우면 건너뛰고, 이후 장에서 돌아와도 괜찮아요.)
「텐서로 쓴 방정식은 어떤 좌표 변환에서도 형태가 변하지 않을 텐데, 왜 특수상대론은 관성계로 한정되나?」라고 의문을 가질 수 있어요.
사실 텐서 방정식의 형태는 확실히 어떤 좌표 변환에서도 변하지 않아요. 문제는 형태가 아니라, 방정식에 포함된 물리적 가정 쪽에 있어요.
특수상대론에서는, 시공이 평탄하다고 가정해요. 「시공이 어떻게 측정되는지」를 결정하는 도구——계량 텐서——가 관성계에서는 정해진 형태의 상수 행렬이 돼요(구체적인 내용은 제 4 장에서 도입해요). 이 가정이 성립하는 것은 관성계뿐이에요. 가속하는 좌표계로 옮기면, 계량 텐서의 성분이 장소나 시간에 따라 변해 버려서 「평탄한 시공」으로는 기술할 수 없게 돼요.
일반상대론에서는 처음부터 장소마다 변하는 일반적인 계량 텐서를 사용해서 방정식을 써요. 그래서 임의의 좌표계에서 같은 형태가 성립해요. 이것을 일반 공변성 (general covariance)이라고 불러요. 지금 시점에서는 「일반상대론에서는 관성계 이외에서도 방정식이 같은 형태로 성립한다」고만 머릿속에 넣어 두면 충분해요. 구체적인 계량 텐서의 모습은 제 4 장, 일반적인 좌표 변환은 제 6 장 이후에서 자세히 배워요.
🟡 리나: 아까 설명과 Dive Deep 보충을 합치면, 특수상대론은 관성계 사이에서만, 일반상대론은 임의의 좌표계에서 방정식의 형태가 변하지 않아——수비 범위가 넓어지는 거야. 표로 정리하면 이렇게 돼.
표 2.2: 특수상대론과 일반상대론이 다루는 좌표 변환의 범위
| 특수상대론 | 일반상대론 | |
|---|---|---|
| 불변이 보장되는 변환 | 관성계 간의 변환(Lorentz 변환) | 임의의 좌표 변환 |
| 시공의 가정 | 평탄(가속도·중력 없음) | 휘어져 있어도 됨 |
| 다룰 수 없는 상황 | 가속하는 좌표계, 중력 | 없음(전부 다룰 수 있음) |
| 계량 텐서 | 상수 행렬(장소에 무관) | 장소마다 다름 |
🔵 카이: \(\vec{F} = m\vec{a}\)는 벡터(텐서)로 쓰여 있으니까, 이미 좌표계에 의존하지 않는 형태가 된 거잖아요. 이것으로 충분하지 않나요?
🟡 리나: 「공간의」 회전이나 평행이동에 대해서는 그래. 하지만 특수상대론에서는, 광속에 가까운 속도로 움직이는 관측자에서 보면 시간과 공간이 섞이는 시공이라는 개념으로 생각해——이것은 제 3 장에서 자세히 볼 거야. \(\vec{F} = m\vec{a}\)의 \(\vec{F}\)나 \(\vec{a}\)는 3차원의 공간 벡터이니까, 공간의 회전에는 대응할 수 있지만, 관성계의 전환(시간과 공간이 섞이는 변환)에는 대응할 수 없어. 이 차이를 그림으로 나타내면(그림 2.3「3차원 벡터와 4원벡터의 대응 범위. 왼쪽」),
그림 2.3: 3차원 벡터와 4원벡터의 대응 범위. 왼쪽 — 공간의 좌표 회전에서는 3차원 벡터의 성분이 변할 뿐 방정식의 형태는 유지된다. 오른쪽 — 관성계의 전환(Lorentz 변환)에서는 시간축과 공간축이 섞이기 때문에 3차원 벡터로는 기술할 수 없다. 시간 성분을 더한 4원벡터가 필요하다.
그래서, 시간 성분을 더한 4차원 벡터——4원벡터(1계 텐서)——로 확장할 필요가 있어. Newton의 운동 방정식의 상대론 버전은
🔵 카이: 오, Newton의 식과 정말 비슷하네요. \(\vec{F}\)가 \(f^\mu\)로, \(\vec{a}\)가 \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}\)로 바뀐 것뿐인가요?
🟡 리나: 그래, Newton의 \(\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}\)와 비교해 봐. 힘 \(\vec{F}\)가 4원힘 \(f^\mu\)에, 가속도 \(\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}\)가 \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}\)에 대응해——3차원의 위치 \(\vec{r}\)가 4차원의 좌표 \(x^\mu\)로, 절대 시간 \(t\)가 고유시간 \(\tau\)로 바뀐 것뿐이야. 첨자 \(\mu\)(뮤)는 \(0, 1, 2, 3\)의 4개 값을 취해. \(x^1, x^2, x^3\)이 공간 좌표 \(x, y, z\)에 대응하고, \(x^0\)이 시간에 관한 좌표(구체적인 정의는 제 3 장에서 도입해). 즉, 이 한 줄의 식이 시간과 공간의 4개 방정식을 한꺼번에 나타내고 있어. 그리고 이 식은 관성계를 바꿔도 형태가 변하지 않아.
기호 보충: 분모의 \(\tau\)(타우)는 고유시간 (proper time)——입자 자신과 함께 움직이는 시계가 새기는 시간. Newton 역학에서는 시간이 관측자에 무관하게 같았으므로(절대 시간) \(t\) 하나뿐이었지만, 특수상대론에서는 관측자마다 시간의 흐름이 다르므로, 입자 자신의 시계의 시간 \(\tau\)와 어떤 관성계에서 본 좌표시간 \(t\)를 구별할 필요가 있어. 엄밀한 정의와 \(t\)와의 관계는 제 3 장에서 도입하니까, 지금은 「Newton의 \(t\)를 상대론적으로 다시 쓴 것」이라고 생각해 둬.
✅ 이해도 체크: Newton의 운동 방정식을 4원벡터로 확장해야 하는 이유는 무엇일까요? 3차원 벡터 형식 \(\vec{F} = m\vec{a}\)로는 무엇이 불충분할까요?
답
3차원 벡터는 공간의 회전에 대해서는 불변이지만, 특수상대론에서는 시간과 공간이 섞이는 관성계의 전환(Lorentz 변환)에 대응할 수 없어요. 시간 성분을 더한 4원벡터로 만들어야 관성계를 바꿔도 방정식의 형태가 변하지 않게 돼요.
🔵 카이: \(\mu = 1, 2, 3\)은 Newton의 \(F_x = ma_x\) 같은 것에 대응하는 건 알겠어요. 그런데 \(\mu = 0\)의 시간 성분은 무엇을 나타내나요?
🟡 리나: \(\mu = 0\)의 성분은 에너지에 관한 식이 돼. 4원힘의 시간 성분이 입자의 에너지 변화율——즉 일률——에 대응해. 자세한 건 제 4 장에서 4원벡터를 배울 때 유도하니까, 지금은 「3차원을 4차원으로 확장하면, 운동의 법칙과 에너지의 법칙이 하나의 식으로 합쳐진다」고만 기억해 둬.
⚪ 메이: 즉, \(\mu = 1, 2, 3\)이 공간 방향의 운동 식이고, \(\mu = 0\)이 에너지의 식——한 줄의 식 안에 양쪽이 들어 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 시간과 공간이 일체가 됨으로써, 운동의 법칙과 에너지의 법칙이 하나의 식으로 합쳐져——이것이 특수상대론의 아름다움이야. \(E = mc^2\)도 이 구조에서 자연스럽게 나와.
🔵 카이: \(E = mc^2\)가 자연스럽게 나온다고요! 그건 어떻게……?
🟡 리나: 4원운동량이라는 벡터의 「길이」를 계산하면 나와. 구체적인 유도는 제 4 장에서 할 테니까 기대해 둬.
🔵 카이: 벡터의 「길이」……3차원이면 \(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)인데, 4차원이면 시간 성분도 들어가니까 뭔가 다르겠죠. 기대하고 있을게요. ……그런데 궁금한 건, 이 4원벡터의 식 \(f^\mu = m\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}\)은 「힘이 주어지면 움직임을 알 수 있다」는 구조잖아요. 중력을 \(f^\mu\)에 넣으려고 하면, 결국 Newton의 중력을 4차원으로 다시 쓰는 것에 그치지 않나요? 그걸로 제 1 장의 문제가 해결되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 중력을 다루려면 한 단계 더 비약이 필요해. 다음 섹션에서 보도록 하자.
✅ 이해도 체크: Newton의 운동 방정식 \(\vec{F} = m\vec{a}\)를 특수상대론으로 확장할 때, 3차원 벡터를 4원벡터로 만들어야 해요. 추가되는 \(\mu = 0\) 성분은 물리적으로 무엇에 대응할까요?
답
에너지에 관한 식(일률)에 대응해요. 시간과 공간이 일체가 됨으로써, 운동의 법칙과 에너지의 법칙이 하나의 식으로 합쳐져요.
📝 연습문제:
- 공간만의 3차원 벡터로는 부족한 이유 → 문제 B-2. Newton 운동방정식의 한계
2.3 중력은 힘이 아니라 시공의 휘어짐¶
🔵 카이: 그럼, 이걸로 해결 아닌가요? Newton의 운동 방정식을 4원벡터로 다시 쓰면, 상대론과 모순되지 않는 중력 방정식이 되는 거 아니에요?
🟡 리나: 좋은 질문이지만, 사실 그것만으로는 부족해. 이 방정식은 「힘 \(f^\mu\)가 주어졌을 때, 입자가 어떻게 움직이는가」를 결정하는 방정식이야. 문제는, 좌변의 힘에 중력을 어떻게 넣을 것인가야.
🔵 카이: Newton의 중력 \(F = -GMm/r^2\)를 그대로 \(f^\mu\)에 넣으면 안 되나요? 형태를 4원벡터로 다시 쓰기만 하면 되잖아요.
🟡 리나: 그게 자연스러운 발상이지. 하지만 제 1 장에서 봤듯이, Newton의 중력은 「순간적으로 전달되는 원격 작용」이었어. 형태를 4원벡터로 다시 써도, 전파 메커니즘 자체는 변하지 않아——중력을 「힘」으로 다루는 한, 「그 힘이 어떻게 전달되는가」라는 문제가 따라다녀. 여기가 Einstein의 혁명적 통찰이야.
⚪ 메이: 즉, 힘의 형태를 상대론적으로 다시 쓰는 것만으로는 구조적 문제가 사라지지 않는 거네.
🟡 리나: 바로 그래. 거기서 Einstein의 답은, 중력을 힘이 아니라 시공의 휘어짐으로 기술하는 것이야. 시공의 휘어짐은 장 방정식(Einstein 방정식)으로 결정되고, 그 방정식은 특수상대론과 정합해——즉, 시공의 휘어짐의 변화는 광속 \(c\) 이하로 전파돼. 이것이 중력파야. 「순간적으로 전달된다」는 문제는, 중력을 장 방정식으로 기술함으로써 자연스럽게 해소되는 거야.
그리고 휘어진 시공에서는 입자가 힘을 받지 않고 측지선(휘어진 시공 안에서의 「곧바른 경로」)을 따라갈 뿐이야. 중력은 힘이 아니라 시공의 기하학에 흡수돼.
보충: 「측지선」을 「최단 경로」라고 설명하는 교과서도 있지만, 정확히는 정류 경로——경로를 조금만 바꿔도 어떤 양의 변화가 영이 되는 경로——이다. 제 1 장에서 배운 최소작용의 원리를 떠올려 봐: 작용 \(S\)의 변분 \(\delta S = 0\)을 만족하는 경로가 실현되는 경로였다. 측지선도 같은 구조로, 「고유시간의 변분이 영이 되는 경로」. 고등학교 수학에서 \(y = f(x)\)의 극대·극소를 배웠을 텐데, 그것은 「미분이 영이 되는 점——즉 \(x\)를 조금 옮겨도 \(y\)의 변화가 영이 되는 점」이었다. 여기서는 같은 발상을 「경로」에 적용한다: 「경로를 조금만 바꿔도 고유시간의 변화량이 (1차 정밀도로) 영이 되는 경로」가 측지선. 제 1 장에서 배운 최소작용의 원리와 같은 구조야. 공간만의 기하학에서는 측지선이 최단 경로가 되지만, 시공의 기하학에서는 사정이 달라서, 질량이 있는 입자의 측지선은 고유시간을 극대로 하는 경로가 된다. 직관적으로는, 「돌아갈수록 고유시간이 짧아진다」고 할 수 있어서, 곧장 나아가는 측지선이 극대가 된다. 「돌아가면 시간이 짧아진다」는 것은 일상 감각에 반하지만, 이것은 특수상대론의 「시간 지연」과 같은 현상——움직이는 시계는 느리게 간다, 즉 여분으로 돌아다닐수록(돌아갈수록) 입자 자신의 시계가 새기는 시간(고유시간)은 짧아진다——제 3 장에서 자세히 배운다.
🔵 카이: 힘이 없는데 입자가 휘어서 움직인다고요?
🟡 리나: 그걸 이해하기 위해, 시공도라는 관점을 소개할게. 가로축에 공간 \((x, y)\), 세로축에 시간을 잡은 그림이야. 시공도 위에서 물체가 그리는 궤적을 세계선 (world line)이라고 불러——멈춰 있어도 움직이고 있어도, 시간은 흐르니까, 모든 물체는 그림의 위쪽 방향(미래 방향)으로 궤적을 뻗어 나가는 거야.
🔵 카이: 세로축이 \(ct\)로 되어 있는데, 왜 \(t\)가 아니라 \(ct\)인 건가요?
🟡 리나: 공간의 축은 미터인데 시간의 축이 초이면 차원이 달라서 같은 그림에 그릴 수 없어. 그래서 시간 \(t\)에 광속 \(c\)를 곱한 \(ct\)를 써. \(c \times t\)는 「빛이 \(t\)초 동안 나아간 거리」이니까, 단위는 미터——공간과 같은 차원이 되는 거야. 그림을 봐(그림 2.4「평탄한 시공과 휘어진 시공의 측지선. 세로축은 시간 \(ct\), 가로 2축 \((x, y)\)가 공간. 왼쪽 — 평탄한 시공에서는, 힘을 받지 않는 입자가 시공 안에서 직선적인 세계선을 그린다. 이것은 등속직선운동에 대응한다. 오른쪽 — 천체 주위의 휘어진 시공에서는, 힘을 받지 않아도 세계선이 휘어진다. 이것이 측지선」).
그림 2.4: 평탄한 시공과 휘어진 시공의 측지선. 세로축은 시간 \(ct\), 가로 2축 \((x, y)\)가 공간. 왼쪽 — 평탄한 시공에서는, 힘을 받지 않는 입자가 시공 안에서 직선적인 세계선을 그린다. 이것은 등속직선운동에 대응한다. 오른쪽 — 천체 주위의 휘어진 시공에서는, 힘을 받지 않아도 세계선이 휘어진다. 이것이 측지선——휘어진 시공 안에서의 「곧바름」. 노란 점선은 빛의 세계선(광원뿔의 단면, 45°의 직선)이고, 질량이 있는 입자의 세계선은 이것보다 세워져 있다(광속을 넘지 않는다).
🟡 리나: 중요한 포인트는, 모든 물체는 시간 방향(\(ct\)축의 위쪽 방향)으로 어쩔 수 없이 나아간다는 거야. 멈춰 있어도, 움직이고 있어도, 시간은 흘러——시공도에서는 그것이 물체의 궤적이 \(ct\) 방향으로 뻗어 나가는 것에 대응해.
⚪ 메이: 정지해 있는 물체의 세계선은 \(ct\)축을 따라 똑바로 위로 올라가는 거네. 등속직선운동하는 물체는 공간 방향으로도 일정한 비율로 어긋나니까, 비스듬한 직선이 되는 거고.
🟡 리나: 바로 그래. 그림의 왼쪽이 바로 그거야. 파란 직선이 등속직선운동하는 입자의 세계선——시간이 지남에 따라 공간 위치가 일정한 비율로 어긋나니까, 비스듬한 직선이 돼. 힘이 작용하지 않으니까 세계선이 휘지 않아.
🔵 카이: 오른쪽은 어떻게 읽는 건가요?
🟡 리나: 오른쪽은 시공이 휘어져 있는 경우야. 입자는 힘을 받지 않아도, \(ct\) 방향으로 나아가는 사이에 공간 방향으로 어긋나가——세계선이 휘어져. 휘어져 있는 것은 입자의 궤도가 아니라 시공 그 자체야. 입자는 휘어진 시공 안에서 곧바로(측지선을 따라) 나아가고 있을 뿐이야. 지구 표면을 「곧바로」 걸어도, 지구가 둥글기 때문에 궤적은 곡선이 되는 것과 같은 발상이야.
그리고, 그림의 노란 점선을 눈치챘어? 저건 빛이 나아가는 궤적——빛의 세계선이야. 공간축과 \(ct\)축의 단위가 같으니까, 빛은 45°의 직선을 그려. 질량이 있는 입자는 빛보다 느리니까, 세계선은 45°보다 세워진(\(ct\)축에 가까운) 방향으로 나아가. 이 45° 선이 만드는 원뿔을 광원뿔 (light cone)이라고 불러. 자세한 건 제 3 장에서 배울게.
🔵 카이: 휘어진 시공 안을 「곧바로」 나아간다는 걸, 수식으로는 어떻게 쓰나요?
🟡 리나: Newton의 운동 방정식에서 힘이 영 \(\vec{F} = 0\)일 때, \(\vec{a} = 0\)——즉 등속직선운동이 되지. 이것은 「평탄한 공간에서의 곧바름」이야. 4차원으로 확장하면 \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = 0\)——가속도 영. 하지만 시공이 휘어져 있으면 「곧바름」의 의미 자체가 변해. 휘어진 시공에서는 좌표상의 가속도가 영이어도 정말로 곧바르다고는 할 수 없고, 반대로 좌표상으로는 가속하고 있는 것처럼 보여도 시공 안에서는 곧바를 수도 있어.
🔵 카이: 좌표상으로는 가속하고 있는데 실제로는 곧바르다……? 뭔가 역설 같네요.
🟡 리나: 예를 들어, 자유낙하하는 사과는 지상의 좌표계에서는 가속도 \(g\)로 떨어지는 것처럼 보이지만, Einstein의 관점에서는 힘을 받지 않고 있어——휘어진 시공 안을 곧바로 나아가고 있을 뿐이야. 거꾸로 말하면, 땅에 서 있는 우리 쪽이 땅으로부터의 힘(수직항력)을 받아서 가속하고 있어——즉 「휘어진 시공 안에서의 곧바른 경로」(측지선)에서 벗어나 있는 쪽이야.
그래서, 휘어진 시공에서 「정말로 곧바로 나아가고 있는가」를 판정하려면, 좌표의 가속도 \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}\)만으로는 부족해——좌표계 자체의 휘어짐이나 뒤틀림을 보정하는 항이 필요해져. 그 보정항은 입자의 속도(어떤 방향으로 얼마나 빨리 나아가고 있는가)에 의존해.
지구 표면에서 생각해 봐. 적도 위를 동쪽으로 걸으면 위선을 따라 나아가니까, 지도 위에서는 직선으로 보이지만 실제로는 휘어져 있어. 한편, 같은 장소에서 북쪽으로 걸으면 경선을 따라 나아가——이쪽은 휘어지는 방식이 달라. 즉 「어느 방향으로 나아가느냐」에 따라 보정하는 방식이 변해. 더 나아가, 북동쪽으로 비스듬히 걷는 경우에는 북쪽 방향 성분과 동쪽 방향 성분 모두가 작용해——보정은 「북쪽 방향으로 얼마나 나아가고 있는가」와 「동쪽 방향으로 얼마나 나아가고 있는가」의 조합으로 결정되는 거야.
⚪ 메이: 즉, 보정의 크기는 「나아가는 방향」과 「나아가는 속력」 양쪽에 따라 변하는 거네.
🟡 리나: 바로 그래. 4차원 시공에서도 마찬가지로, \(\alpha\) 방향의 속도와 \(\beta\) 방향의 속도의 모든 조합(\(\alpha, \beta\)가 각각 \(0, 1, 2, 3\)을 달린다)이 보정에 기여해. 왜 「곱」의 형태인지를 직관적으로 말하면, 북동쪽으로 비스듬히 걷는 경우의 보정은 「북쪽 방향으로 얼마나 나아가고 있는가」와 「동쪽 방향으로 얼마나 나아가고 있는가」에 동시에 비례해——한쪽이 영이면 비스듬한 방향의 보정도 사라지니까, 덧셈이 아니라 곱셈의 형태가 되는 거야. 예를 들어, 북쪽 방향의 속도가 \(v_N\), 동쪽 방향의 속도가 \(v_E\)일 때, 비스듬한 방향 고유의 보정은 \(v_N \times v_E\)에 비례해. 정북으로 걸으면(\(v_E = 0\)) 비스듬한 보정은 영, 정동으로 걸어도(\(v_N = 0\)) 영——둘 다 동시에 영이 아닐 때만 작용하는 거야. 물론, 정북으로 걸을 때에도 북쪽 방향 자체의 보정(\(v_N \times v_N\)에 비례하는 항)은 있어——\(\alpha\)와 \(\beta\)가 같은 방향인 경우도 포함해서, 모든 조합을 더하는 거야.
🔵 카이: 아하, 같은 방향끼리의 곱도, 다른 방향끼리의 곱도, 전부 포함되는 거군요. 4차원이면 조합이 많겠는데……
🟡 리나: 맞아, \(\alpha\)와 \(\beta\)가 각각 \(0, 1, 2, 3\)을 달리니까 \(4 \times 4 = 16\)개 항의 합이 돼. 수식으로 쓰면 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}\)라는 형태(\(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)는 「장소마다의 보정 강도」를 나타내는 계수——내용은 바로 뒤에서 설명할게). \(\Sigma\)(시그마) 기호를 써서 명시적으로 쓰면 \(\sum_{\alpha=0}^{3}\sum_{\beta=0}^{3}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}\)라는 의미야. 상대론에서는 이 \(\Sigma\)를 생략하고, 「같은 첨자가 위와 아래에 나타나면 합을 취한다」는 약속으로 쓰는데——이 생략 표기법(Einstein의 축약 규칙)은 조금 뒤에 정식으로 설명할게.
🔵 카이: 에, 땅에 서 있는 사람이 가속하고 있다고요? 움직이지 않는데요?
🟡 리나: 일상 감각으로는 이상하지. 하지만 떠올려 봐——가속도계(스마트폰 안에도 있어)를 들고 자유낙하하면, 가속도계는 영을 표시해. 왜냐하면, 가속도계 안의 스프링이나 센서도 같이 떨어지고 있으니까 스프링이 줄어들지 않거든 = 힘을 검출하지 않아. 반대로, 땅에 서 있을 때 가속도계는 위쪽으로 \(g\)를 표시해——땅이 센서를 밀어 올리고 있으니까. 즉 「정말로 힘을 받지 않고 있는(가속도 영인)」 것은 낙하 중인 사과 쪽이고, 땅에 서 있는 사람은 수직항력으로 항상 밀어 올려지고 있는 거야——이것이 Einstein의 관점이야. 여기서 말하는 「가속」은 측지선(휘어진 시공에서의 곧바른 경로)에서 벗어나 있다는 의미——땅에 서 있는 사람은 수직항력에 의해 자유낙하의 경로에서 계속 벗어나고 있는 거야. 자세한 건 등가원리를 배우는 제 5 장에서 파고들 거야. 지금 여기서 중요한 건, 지상의 좌표계에서 「사과가 가속하고 있다」고 보이는 것은, 좌표계 자체가(땅에 밀려서) 가속하고 있기 때문이라는 거야. 그 보정을 담당하는 것이 \(\Gamma\) 항이야. 결과적으로, 휘어진 시공에서의 「곧바름」——측지선 방정식——은 이렇게 돼.
🔵 카이: 이 식의 각 항은 무엇을 나타내나요?
🟡 리나: 제1항 \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}\)은 입자의 가속도——Newton의 \(\vec{a}\)에 해당하는 것. 제2항의 \(\frac{dx^\alpha}{d\tau}\)은 입자의 속도(4원속도)——Newton의 \(\vec{v}\)에 해당하는 것——으로, Newton 역학에서는 위치를 시간 \(t\)로 미분해서 속도 \(\frac{dx}{dt}\)를 얻었지만, 상대론에서는 입자 자신의 시계 \(\tau\)로 미분하는 거야. \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}\) 전체는, 시공의 기하학——휘어짐과 좌표계의 선택 방식 양쪽——이 입자의 운동에 주는 효과를 나타내.
🔵 카이: \(\alpha\)와 \(\beta\)가 둘 다 \(0, 1, 2, 3\)을 달린다는 건, 속도의 성분끼리의 모든 조합이 들어가 있다는 건가요?
🟡 리나: 맞아. \(\alpha\) 방향의 속도 × \(\beta\) 방향의 속도의 모든 조합이 더해져 있어——왜 「더한다」고 읽는지의 규칙은 바로 뒤에서 설명할게. 물리적 의미로는, 입자가 어떤 방향으로 얼마나 빨리 움직이고 있느냐에 따라 기하학적 효과를 받는 방식이 달라지는 거야. 아까 말한 지구 표면의 예와 같아서, 시공 안에서 어떤 방향으로 얼마나 빨리 나아가고 있느냐에 따라 궤도의 휘어지는 방식이 변해.
🔵 카이: \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)는 정체가 뭔가요?
🟡 리나: \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)(감마, 접속 계수)는 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)와 그 미분——즉 \(g_{\mu\nu}\)가 좌표 \(x\)나 \(y\)를 따라 어떻게 변하는지의 변화율——로부터 결정되는 양이야. 계량 텐서란, 시공의 각 점에서 「거리의 재는 방법」을 결정하는 2계 텐서——이전 섹션의 표에서 본 「\(4 \times 4\) 표」의 형태를 가진 양이야.
⚪ 메이: 지도의 축척이 장소에 따라 다른 것과 비슷한 이미지인가?
🟡 리나: 바로 그래. 비유하자면, 지도의 축척이 장소에 따라 다른 것과 같아——평탄한 시공에서는 어디서나 같은 축척이지만, 휘어진 시공에서는 장소마다 「1미터」의 의미가 달라져. 그 「장소마다의 축척표」가 계량 텐서야. \(\Gamma\)는 「축척이 장소에 따라 어떻게 변하는가」——즉 축척표의 변화율——을 나타내는 양이라고 생각하면 돼. 이 장의 마지막에 나오는 시공간 간격 \(ds^2\)의 식이 계량 텐서의 가장 간단한 모습——이후 장에서 자세히 도입할게. 「접속」이라는 이름은, 휘어진 시공의 서로 다른 점에서 벡터를 비교하는(연결하는) 도구, 라는 의미에서 온 거야.
⚪ 메이: 「연결한다」는 게 무슨 뜻이야?
🟡 리나: 예를 들어 지구 표면에서, 북극에 있는 사람과 적도에 있는 사람이 각각 「북쪽 방향」의 화살표를 가지고 있을 때, 그 2개의 화살표를 비교하려 하면 구면이 휘어져 있어서 단순하게는 비교할 수 없어——그 「연결하는 방법의 규칙」을 주는 것이 접속 계수야. 자세한 건 제 8 장에서 배울 거야. 그리고 \(\Gamma\)는 그리스 문자 감마로, 알파벳 대문자 \(T\)와 모양이 비슷하지만, 이후에 나오는 에너지 운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}\)와는 완전히 별개이니 주의해.
측지선 방정식의 각 항의 의미를 정리해 둘게(그림 2.5「측지선 방정식의 각 항의 역할」).
그림 2.5: 측지선 방정식의 각 항의 역할. 제1항은 입자의 가속도(Newton의 \(\vec{a}\)에 해당), 제2항은 시공의 기하학이 입자의 운동에 주는 효과(중력이 여기에 흡수됨), 우변이 영인 것은 중력 이외의 힘이 없음을 나타냄.
그리고 제2항에서 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 위와 아래 양쪽에 나타나고 있지? 구체적으로 보면, \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)에서는 \(\alpha\)가 아래에, \(\frac{dx^\alpha}{d\tau}\)에서는 \(\alpha\)가 위에 있어.
🔵 카이: 잠깐만요. \(x^\alpha\)라는 건, \(x\)의 \(\alpha\) 거듭제곱이 아닌 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 고등학교에서 \(x^2\)은 「\(x\)의 제곱」이지만, 상대론에서는 좌표의 성분 라벨을 오른쪽 어깨에 쓰는 관습이야. 그래서 \(x^2\)은 「좌표의 제2성분(\(y\) 방향)」이라는 의미야. 거듭제곱과 헷갈리지만, 문맥으로 구별해——상대론 식에서 첨자가 \(\mu, \nu, \alpha, \beta\) 같은 그리스 문자라면, 틀림없이 성분 라벨이야. 숫자인 경우에도, 텐서 식 안에서는 성분 라벨로 읽어.
🔵 카이: 익숙해질 때까지 혼란스러울 것 같지만, 알겠어요. 그리고, 첨자가 위에 있는 것과 아래에 있는 것은 뭐가 다른 건가요?
🟡 리나: 지금 단계에서는 「위에 있는 첨자와 아래에 있는 첨자는, 좌표 변환에 대한 변하는 방식의 규칙이 다르다」고만 생각해 둬. 위첨자를 반변 (contravariant), 아래첨자를 공변 (covariant)이라고 부르는데, 그 정확한 의미는 제 6 장에서 배울 거야. 지금 여기서 중요한 건, 같은 첨자가 위와 아래에 1번씩 나타나면, 그 첨자에 대해 합을 취한다는 규칙——이것을 Einstein의 축약 규칙 (summation convention)이라고 불러. \(\alpha = 0, 1, 2, 3\) 모두에 대해 더한다는 의미야. \(\beta\)도 마찬가지——\(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)의 아래첨자 \(\beta\)와, \(\frac{dx^\beta}{d\tau}\)의 위첨자 \(\beta\)가 쌍을 이루고 있으니까, \(\beta = 0, 1, 2, 3\)에 대해서도 더해. 즉 \(4 \times 4 = 16\)개 항의 합이 돼 있어. 합 기호 \(\sum\)을 생략하는 표기법으로, 앞으로 쭉 사용할 거야.
간단한 예를 들면, \(A^\alpha B_\alpha\)라고 쓰면 \(A^0 B_0 + A^1 B_1 + A^2 B_2 + A^3 B_3\)이라는 의미야. 고등학교에서 배운 벡터의 내적 \(\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\)의 4차원 버전이라고 생각하면 돼. 그림으로 정리해 둘게(그림 2.6「Einstein의 축약 규칙의 이미지」).
그림 2.6: Einstein의 축약 규칙의 이미지. 같은 첨자가 위와 아래에 1번씩 나타나면, 그 첨자에 대해 \(0\)부터 \(3\)까지 합을 취한다. \(\sum\) 기호를 생략하는 표기법으로, 상대론의 모든 식에서 사용된다. {: #fig-gr-ch2-summation-convention } 🟡 리나: 그리고 우변이 영——즉 힘이 없다는 뜻이야. Newton의 \(\vec{F} = m\vec{a}\)와 비교해 봐. 중력이라는 「힘」이 우변에서 사라지고, 대신 \(\Gamma\) 항이 좌변——가속도 쪽——에 들어가 있어. 아까 말한 「중력은 힘이 아니라 시공의 휘어짐」이 수식에서도 확실히 보이지?
⚪ 메이: 그렇구나. Newton에서는 우변에 중력이 「힘」으로 들어 있었는데, Einstein에서는 좌변의 \(\Gamma\)에 흡수되어 우변이 영이 돼——구조가 완전히 바뀐 거네.
🔵 카이: 세계선과 측지선은 어떻게 다른 건가요?
🟡 리나: 세계선은 모든 물체가 시공도 위에 그리는 궤적의 총칭이야. 중력 이외의 힘을 받고 있든 받지 않든, 모든 물체의 궤적이 세계선이야. 측지선은 그중에서, 중력 이외의 힘을 받지 않는 물체의 세계선——즉 세계선의 특별한 경우야.
🔵 카이: 「중력 이외의」라니, 중력은 힘이 아닌 건가요?
🟡 리나: 거기가 Newton과 Einstein의 결정적인 차이야(그림 2.7「Newton과 Einstein의 중력관 비교. 왼쪽」).
그림 2.7: Newton과 Einstein의 중력관 비교. 왼쪽 — Newton의 관점: 평탄한 공간 안에서, 사과는 중력이라는 「힘」에 끌려서 떨어진다. 오른쪽 — Einstein의 관점: 지구의 질량이 시공을 휘게 하고, 사과는 힘을 받지 않고 휘어진 시공 안에서 측지선을 따라 「곧바로」 나아가고 있을 뿐이다.
- Newton의 관점: 사과는 「중력이라는 힘」에 끌려서 떨어지고 있다
- Einstein의 관점: 사과는 아무 힘도 받지 않고 있다. 휘어진 시공 안을 곧바로(측지선을 따라) 나아가고 있을 뿐이다
Einstein의 틀에서는 중력은 힘이 아니라 시공의 휘어짐에 흡수돼 있어. 그래서 「중력만 작용하고 있다」가 아니라, 「중력 이외의 힘이 작용하지 않는다 = 아무 힘도 작용하지 않는다」——이것이 측지선의 의미야. 우변이 영인 식만을 「측지선 방정식」이라고 부르는 것도, 측지선이 기하학 용어로 「휘어진 공간에서의 극치 경로」를 의미하기 때문이야. 세계선과 측지선의 구별을 시공도로 그려 둘게(그림 2.8「세계선과 측지선의 차이. 왼쪽」).
그림 2.8: 세계선과 측지선의 차이. 왼쪽 — 측지선: 중력 이외의 힘을 받지 않는 물체(자유낙하하는 사과)의 세계선. 운동 방정식의 우변 = 0. 오른쪽 — 일반적인 세계선(비측지선): 로켓 분사 등 중력 이외의 힘을 받고 있는 물체의 궤적. 우변 ≠ 0.
✅ 이해도 체크: 세계선과 측지선의 차이는 무엇일까요?
답
세계선은 모든 물체가 시공도 위에 그리는 궤적의 총칭으로, 힘을 받고 있든 아니든 모든 물체의 궤적을 세계선이라 불러요. 측지선은 그중에서 중력 이외의 힘을 받지 않는 물체의 세계선——즉 세계선의 특별한 경우예요.
🔵 카이: 그럼 반대로, 전자기력으로 가속되고 있는 하전입자는 측지선이 아니라는 거군요?
🟡 리나: 바로 그래. 전자기력은 중력과 달리 시공의 휘어짐에 흡수되지 않으니까, 힘으로 남아 있어.
🔵 카이: 그 경우의 운동 방정식은 어떻게 되나요?
🟡 리나: 측지선 방정식의 우변에 「중력 이외의 힘」을 더하면 돼. 다만, 측지선 방정식은 그대로면 「가속도 = 0」의 형태——우변에 힘을 더하려면 「질량 × 가속도 = 힘」의 형태로 맞추고 싶어. 그래서 좌변에 질량 \(m\)을 곱하고, 우변에 힘을 쓰는 거야. 예를 들어 전하 \(q\)인 입자가 전자기장 안을 움직이는 경우의 전자기력(Lorentz 힘의 4원 버전)을 더하면
여기서 \(\frac{dx^\nu}{d\tau}\)은 입자의 4원속도(아까 나온 속도의 4차원 버전)야. 이 식의 우변 세부 사항은 지금은 따라가지 않아도 돼——중요한 건 구조뿐이야. \(F^{\mu}{}_{\nu}\)는 2계 텐서로, 위첨자 \(\mu\)와 아래첨자 \(\nu\)를 하나씩 가지고 있어. 첨자가 떨어져서 쓰여 있는 건 「첫 번째가 위, 두 번째가 아래」라는 순서를 명확히 하기 위해서인데, 지금은 깊이 들어가지 않아도 괜찮아. 그리고 \(\nu\)는 \(F^{\mu}{}_{\nu}\)의 아래와 \(\frac{dx^\nu}{d\tau}\)의 위에 1번씩 나타나고 있으니까 축약(합을 취함). 한편, \(\mu\)는 좌변에서도 우변에서도 위첨자로만 나타나고 있어——「위와 아래에 1번씩」이라는 쌍이 되어 있지 않으니까, 합은 취하지 않아. 이런 첨자를 자유첨자 (free index)라고 불러.
🔵 카이: 좀 정리해 볼게요. 축약첨자 \(\nu\)는 합을 취해서 사라져요. 자유첨자 \(\mu\)는 남아 있고, \(\mu = 0\)을 선택하면 시간 방향의 식, \(\mu = 1\)이면 \(x\) 방향……즉, 이 한 줄이 실은 4개의 방정식을 동시에 나타내고 있는 거네요?
🟡 리나: 바로 그래. 한 줄로 4개분——첨자 표기법의 편리함은 거기에 있어. 정리하면, 첨자에는 2종류가 있어:
- 축약첨자(더미첨자): 같은 첨자가 위와 아래에 1번씩 → 그 첨자에 대해 \(0\)부터 \(3\)까지 합을 취한다(첨자가 사라짐)
- 자유첨자: 각 항 안에서 위아래의 쌍이 되어 있지 않은 첨자. 등식의 양변에 같은 위치(위면 위)로 나타나며, 합은 취하지 않는다. 「\(\mu = 0, 1, 2, 3\) 중 어느 것을 선택해도 등식이 성립한다」는 의미로, 4개의 방정식을 한 줄로 쓰고 있는 것
예를 들어 \(\mu = 1\)을 선택하면 \(x\) 방향의 식, \(\mu = 2\)를 선택하면 \(y\) 방향의 식, 이런 식이야. 우변의 \(F^{\mu}{}_{\nu}\)는 전자기장 텐서——고등학교에서 배운 Lorentz 힘 \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\)를 4차원으로 확장한 것이야. \(F^{\mu}{}_{\nu}\)는 2계 텐서로, 위첨자(반변)와 아래첨자(공변)를 하나씩 가지고 있어——첨자의 위아래 의미는 제 6 장에서 정식으로 배우니까, 지금은 신경 쓰지 않아도 돼. 구체적인 내용은 「장의 양자론」편에서 다룰 거야. 참고로, 좌변의 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)도 첨자를 가지고 있지만, 사실 텐서가 아니야——좌표 변환에 대한 변하는 방식의 규칙이 텐서와는 달라. 이 구별은 제 8 장에서 배우니까, 지금은 신경 쓰지 않아도 돼.
기호 보충(선취): \(F^{\mu}{}_{\nu}\)의 첨자 위아래의 의미는 제 6 장에서 정식으로 도입하므로, 지금은 읽고 넘어가도 괜찮다.
좌변이 「휘어진 시공에서의 가속도 × 질량」——중력은 \(\Gamma\) 항에 흡수돼 있어. 우변이 전자기력. 우변에 힘이 있는 식은 「측지선 방정식」이 아니라 단순히 「운동 방정식」이라고 불러. 힘으로 경로가 구부러졌으면, 더 이상 측지선이 아니니까.
🔵 카이: 그렇군요. 우변에 힘이 없으면 양변을 \(m\)으로 나눌 수 있고, 원래의 측지선 방정식으로 돌아가네요……아, 잠깐만요. \(m\)으로 나눌 수 있다는 건, 측지선 방정식에는 질량 \(m\)이 나타나지 않는다는 거잖아요——질량이 달라도 같은 궤도를 그린다는 건가요? 갈릴레오가 피사의 사탑에서 (전설에 의하면) 했던 실험과 같은 걸 말하는 건가요?
🟡 리나: 바로 그래. 갈릴레오의 「무거운 것도 가벼운 것도 같은 방식으로 떨어진다」가, Einstein의 틀에서는 「모든 물체는 질량에 무관하게 같은 측지선을 따라 나아간다」로 자연스럽게 포함돼 있어. 이것은 관성 질량과 중력 질량이 같다는 것(등가원리)의 수학적 표현이 되고 있어. 제 5 장에서 자세히 볼 거야.
✅ 이해도 체크: 측지선 방정식에 입자의 질량 \(m\)이 나타나지 않는 것은, 물리적으로 어떤 원리와 결부되어 있을까요?
답
관성 질량과 중력 질량이 같다는 것(등가원리)과 결부돼 있어요. 질량이 방정식에 나타나지 않기 때문에, 모든 물체는 질량에 무관하게 같은 측지선을 따라 나아가요.
🔵 카이: 그런데, 좌변의 시공이 어떻게 휘어지는지는 누가 결정하나요?
🟡 리나: 그것을 결정하는 것이 Einstein 방정식——이 여행의 최종 목표야.
좌변의 \(G_{\mu\nu}\)(Einstein 텐서)는 시공의 휘어진 정도, 우변의 \(T_{\mu\nu}\)(에너지 운동량 텐서)는 물질과 에너지의 분포야. 즉, 물질과 에너지가 어떻게 분포하고 있느냐에 따라 시공의 휘어진 정도가 결정돼——이것이 카이의 질문에 대한 답이야. 그리고 양변이 같은 종류의 텐서(2계)이니까, 어떤 좌표계에서도 이 형태가 성립해.
🔵 카이: 물질이 시공의 형태를 결정하고, 시공의 형태가 물체의 움직임을 결정하고——서로 영향을 주고받는 거네요. ……그런데 몇 가지 의문이 있어요. 먼저, 좌변의 \(G_{\mu\nu}\)와 우변의 \(G\)(만유인력 상수)는 관계가 있나요?
🟡 리나: 완전히 별개야. \(G_{\mu\nu}\)는 첨자가 붙은 텐서(시공의 휘어짐을 나타내는 양), \(G\)는 첨자 없는 단순한 상수(Newton의 만유인력 상수 \(\approx 6.67 \times 10^{-11}\)). 우연히 같은 알파벳을 사용하고 있을 뿐, 물리적으로는 무관해. 문맥과 첨자 유무로 구별해 줘.
🔵 카이: 다음으로, \(\frac{8\pi G}{c^4}\)의 「\(8\pi\)」는 뭔가요? 왜 \(8\)이나 원주율 \(\pi\)가 나오는 건가요? 그리고 \(c^4\)으로 나누는 것도 신경 쓰여요.
🟡 리나: 저 계수는 Einstein이 자유롭게 선택한 숫자가 아니라, Newton의 Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)와 정합하도록 결정되는 거야. 약한 중력·느린 속도의 극한에서 Einstein 방정식이 Poisson 방정식에 귀착하는 조건으로부터, \(8\pi G/c^4\)이어야만 해. \(4\pi\)의 유래는 제 1 장에서 본 대로, 구를 둘러싸는 전체 입체각 \(4\pi\) 스테라디안에서 오는 거야. \(8\pi\)(\(4\pi\)의 2배)가 되는 이유는, Einstein 텐서 \(G_{\mu\nu}\)의 정의에 포함된 인자에서 오는 건데, 지금 단계에서는 유도할 수 없으니까, 제 14 장에서 실제로 계산해서 확인할 거야.
🔵 카이: Newton의 극한에서 일치하도록 결정되는 거군요. 그럼 \(c^4\)는요?
🟡 리나: \(c^4\)가 분모에 있는 건 차원을 맞추기 위해서야. \(T_{\mu\nu}\)는 「단위 부피당 에너지나 운동량」을 나타내는 양으로, 에너지 밀도——즉 J/m³(줄 매 세제곱미터)——의 차원을 가져. 한편, \(G_{\mu\nu}\)는 계량 텐서의 2계 미분으로 만들어지는 양으로, 1/m²(길이의 역제곱)의 차원을 가져. 직관적으로는, 고등학교에서 \(y = f(x)\)를 미분할 때, \(x\)의 단위가 미터이고 \(y\)가 무차원이면, \(\frac{d^2 y}{dx^2}\)의 단위는 \(1/\text{m}^2\)이 되지. 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)는 (이후 장에서 보듯이) 무차원량이고, 좌표 \(x^\mu\)는 길이의 차원을 가져. 그래서 \(g_{\mu\nu}\)를 좌표로 2번 미분하면 1/m²의 차원이 돼——\(G_{\mu\nu}\)는 거기서 만들어지니까 같은 차원을 가지는 거야(엄밀한 확인은 제 14 장에서 해). 좌변이 1/m²이고 우변이 J/m³이면 차원이 안 맞으니까, 사이에 상수를 끼워서 차원을 맞출 필요가 있어——그 역할을 하는 것이 \(G/c^4\)야. 구체적인 차원 확인은 제 14 장에서 하니까, 지금은 「Newton의 극한과 정합하는 유일한 값」이라고만 기억해 둬.
🔵 카이: 그리고, 아까 측지선 방정식에도 \(\Gamma\)라는 「시공의 휘어짐」이 나왔잖아요. \(\Gamma\)와 \(G_{\mu\nu}\)는 어떻게 다른 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 물리적 인과관계로 말하면, 이런 순서가 돼. 플로차트(그림 2.9「일반상대론의 기본 구조와 제량의 관계」)를 보면서 들어 줘.
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flowchart LR
T["물질·에너지<br/>T_μν"] -->|"Einstein 방정식"| g["계량 텐서<br/>g_μν"]
g -->|"1계 미분"| Γ["접속 계수<br/>Γ^μ_αβ"]
g -->|"2계 미분"| R["Riemann 텐서<br/>R^μ_ναβ"]
Γ -->|"측지선 방정식"| orbit["입자의 궤도"]
R -->|"축약"| Ric["Ricci 텐서<br/>R_μν"]
Ric -->|"추가 축약"| G["Einstein 텐서<br/>G_μν"]그림 2.9: 일반상대론의 기본 구조와 제량의 관계
먼저, 물질과 에너지의 분포 \(T_{\mu\nu}\)가 주어져. 예를 들어 「반지름 \(R\), 질량 \(M\)의 균일한 구형 별이 있다」든지 「우주 전체에 밀도 \(\rho\)의 가스가 균일하게 퍼져 있다」 같은 설정을, 수학적으로 \(T_{\mu\nu}\)의 형태로 적어 내리는 거야. Newton의 Poisson 방정식에서 우변의 질량 밀도 \(\rho\)를 지정하는 것과 같은 발상이야.
다음으로 Einstein 방정식 \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)을 풀어서, 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)가 결정돼——즉 시공의 형태가 결정돼. 플로차트에서 \(T_{\mu\nu}\)에서 \(g_{\mu\nu}\)로 화살표가 뻗어 있는 건 이 의미야.
🔵 카이: 잠깐만요. 방정식의 좌변은 \(G_{\mu\nu}\)인데, 왜 \(g_{\mu\nu}\)가 구해지는 건가요?
🟡 리나: \(G_{\mu\nu}\)(Einstein 텐서)는 \(g_{\mu\nu}\)와 그 미분으로 만들어지는 양이거든. 그래서 Einstein 방정식은 실질적으로 \(g_{\mu\nu}\)에 대한 미분방정식이야. Newton의 Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)가 \(\Phi\)에 대한 미분방정식인 것과 같은 구조야.
\(g_{\mu\nu}\)가 결정되면, 그것을 미분해서 접속 계수 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)가 결정돼. 마지막으로 측지선 방정식으로 입자의 궤도가 결정돼.
여기서, \(G_{\mu\nu}\)도 \(\Gamma\)도 둘 다 \(g_{\mu\nu}\)로부터 만들어지지만, 미분의 횟수가 달라.
- \(g_{\mu\nu}\)의 1계 미분 → \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)(접속 계수) → 측지선 방정식으로 입자의 궤도를 결정
- \(g_{\mu\nu}\)의 2계 미분 → Riemann 텐서 \(R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}\)(시공의 휘어짐을 완전히 기술하는 양, 첨자 4개의 4계 텐서) → 축약 → Ricci 텐서 \(R_{\mu\nu}\)(2계 텐서) → 추가 축약 → Ricci 스칼라 \(R\)(0계 텐서) → \(R_{\mu\nu}\)와 \(R\)을 조합해서 \(G_{\mu\nu}\)(Einstein 텐서) → Einstein 방정식으로 물질과의 관계를 결정
🔵 카이: 플로차트에서 \(g\)에서 \(R\)로 직접 화살표가 나와 있는데, \(\Gamma\)를 경유하는 화살표도 있잖아요. 실제 계산은 어느 쪽 길을 지나가나요?
🟡 리나: 실제 계산은 반드시 \(g \to \Gamma \to R\)의 순서로 진행해——먼저 \(g\)를 1번 미분해서 \(\Gamma\)를 만들고, 다음으로 \(\Gamma\)를 더 미분해서 \(\Gamma\) 끼리의 곱과 조합함으로써 \(R\)을 얻어. \(g\)에서 \(R\)로의 화살표는 「최종적으로 \(R\)은 \(g\)의 2계 미분으로 결정된다」는 의존 관계를 나타낸 것뿐이지, \(\Gamma\)를 건너뛸 수 있다는 의미는 아니야. 헷갈리면 \(g \to \Gamma \to R\)이라는 한 길만 기억해 두면 충분해. ……자, 플로차트에 「축약」이라는 말이 나왔지.
🔵 카이: 맞아요, 「축약」이 뭔가요?
🟡 리나: 아까 배운 Einstein의 축약 규칙을 떠올려 봐. \(A^\alpha B_\alpha = A^0 B_0 + A^1 B_1 + A^2 B_2 + A^3 B_3\)——위아래로 맞춰진 첨자 \(\alpha\)에 대해 합을 취하면, \(\alpha\)가 사라지고 스칼라(첨자 없음)가 남았지.
🔵 카이: 네, 두 벡터의 내적 같은 거요.
🟡 리나: 맞아. 저건 두 벡터(1계 텐서) 사이에서 첨자를 맞춘 예였는데, 같은 발상을 하나의 텐서 안에서도 할 수 있어——텐서가 가진 첨자의 한 쌍(위에 1개, 아래에 1개)을 맞춰서 합을 취하는 조작을 축약이라고 불러. 예를 들어 2계 텐서 \(M^\mu{}_\nu\)(\(M\)은 뭐든 괜찮아——일반적인 2계 텐서의 예로 쓰고 있는 거야)에서 \(\mu\)와 \(\nu\)를 맞춰서 합을 취하면 \(M^0{}_0 + M^1{}_1 + M^2{}_2 + M^3{}_3\)——첨자가 전부 사라지고 스칼라가 남아.
🔵 카이: 아, \(4 \times 4\) 표에서 대각선 위의 성분만 골라서 더하는 느낌인가요?
🟡 리나: 바로 그래. 이것을 \(4 \times 4\) 표로 보면, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로의 대각선 위 성분만 골라서 더하는 조작에 대응해. 구체적으로 쓰면, \(M^\mu{}_\nu\)를 표로 만들 때
| \(\nu=0\) | \(\nu=1\) | \(\nu=2\) | \(\nu=3\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\mu=0\) | \(M^0{}_0\) | \(M^0{}_1\) | \(M^0{}_2\) | \(M^0{}_3\) |
| \(\mu=1\) | \(M^1{}_0\) | \(M^1{}_1\) | \(M^1{}_2\) | \(M^1{}_3\) |
| \(\mu=2\) | \(M^2{}_0\) | \(M^2{}_1\) | \(M^2{}_2\) | \(M^2{}_3\) |
| \(\mu=3\) | \(M^3{}_0\) | \(M^3{}_1\) | \(M^3{}_2\) | \(M^3{}_3\) |
굵은 글씨의 대각 성분만 더하기: \(M^0{}_0 + M^1{}_1 + M^2{}_2 + M^3{}_3\) (행렬을 아는 사람은 「대각합(trace)」과 같다고 생각하면 돼). 다만, 이건 2계 텐서 하나 안에서 위아래 첨자를 맞추는 경우의 이야기——가장 단순한 축약의 예야. 더 일반적으로는, 아까의 \(A^\alpha B_\alpha\)처럼 두 텐서 사이에서 첨자를 맞춰서 합을 취하는 경우도 있지만, 기본 발상은 같아——「위와 아래로 맞춰진 첨자에 대해 합을 취하고, 그 첨자를 없앤다」. 1번의 축약으로 첨자가 1쌍(2개) 사라지니까, 계수가 2만큼 내려가.
⚪ 메이: 축약할 때마다 계수가 2만큼 내려가——정보를 압축해서 요약해 나가는 조작인 거네.
🔵 카이: 그렇군요, 축약으로 계수가 내려가는 건 알겠어요. 그런데 이후에 Riemann 텐서니 Ricci 텐서니 이름이 한꺼번에 나와서 혼란스러울 것 같은데……전부 지금 외워야 하나요?
🟡 리나: 지금은 이름과 「계수가 내려가는 흐름」만 잡으면 충분해. 구체적인 내용은 이후 장에서 하나씩 배울 테니까. 흐름만 말하면, Riemann 텐서(첨자 4개, 4계)를 1번 축약하면 첨자가 2개 사라져서 Ricci 텐서(첨자 2개, 2계)가 돼. 그리고 Ricci 텐서를 1번 더 축약하면 Ricci 스칼라(첨자 없음, 0계)가 돼. Einstein 텐서 \(G_{\mu\nu}\)는 Ricci 텐서와 Ricci 스칼라를 조합해서 만드는 양——플로차트에서는 「추가 축약」이라고 간략화했지만, 정확히는 축약뿐 아니라 조합 조작도 들어가. 자세한 건 제 14 장에서 유도할 거야. 그림으로 나타내면 이런 흐름이야(그림 2.10「텐서의 축약에 의한 계수 하강」).
그림 2.10: 텐서의 축약에 의한 계수 하강. 4계의 Riemann 텐서(256성분)를 1번 축약하면 2계의 Ricci 텐서(16성분)로, 1번 더 축약하면 0계의 Ricci 스칼라(1성분)가 된다. 축약할 때마다 첨자가 2개 사라지고, 정보가 압축된다.
자세한 계산은 이후 장에서 하니까, 지금은 「정보를 압축하는 조작」이라고만 생각해 둬.
즉 \(G_{\mu\nu}\)는 \(\Gamma\)의 미분이나 곱으로 만들어지는 양이야.
🔵 카이: 위쪽 루트(\(\Gamma\) → 궤도)만으로 입자의 운동은 구할 수 있잖아요. 아래쪽 루트(Riemann → \(G_{\mu\nu}\))는 뭘 위해 쓰는 건가요?
🟡 리나: 두 가지 용도가 있어. 첫 번째는, 애초에 \(g_{\mu\nu}\)를 구하는 것 자체에 사용해. 플로차트의 가장 왼쪽을 봐——물질의 분포 \(T_{\mu\nu}\)에서 \(g_{\mu\nu}\)를 결정하는 것이 Einstein 방정식이고, 그 좌변이 \(G_{\mu\nu}\)잖아? 즉 아래쪽 루트는 「물질이 어떻게 분포하고 있는가로부터 시공의 형태를 결정하는」 도구야. 두 번째는, 결정된 시공이 「얼마나 휘어져 있는가」를 진단하는 용도. 예를 들어, 블랙홀이 있는 장소에서 계량의 성분이 이상한 값이 됐을 때, 「정말로 시공이 부서진 건지, 아니면 좌표의 선택이 나쁜 것뿐인지」를 판정하려면 Riemann 텐서로 만든 불변량을 조사할 필요가 있어. 이건 제 16 장에서 자세히 할 거야. 입자의 궤도를 구하는 것만이라면 위쪽 루트로 충분해.
⚪ 메이: 즉, 위쪽 루트는 「시공 안에서 입자가 어떻게 움직이는가」를 결정하는 것이고, 아래쪽 루트는 「시공의 형태 자체를 결정하는」 것과 「휘어진 정도를 조사하는」 것을 위한 거네——하지만 어느 쪽이든 출발점은 같은 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)인 거야.
🔵 카이: 플로차트로 보니까, 전부 \(g_{\mu\nu}\)에서 시작하는 게 잘 보여요. 계량 텐서가 정말 주역이군요. ……그런데, 물질 \(T_{\mu\nu}\)가 시공을 휘게 하고, 휘어진 시공이 물질의 움직임을 결정한다면, 서로 영향을 주고받아서 빙빙 도는 거 아닌가요? 어떻게 푸나요?
✅ 이해도 체크: 측지선 방정식의 우변이 영인 것은, 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
입자에 (중력 이외의) 힘이 작용하지 않음을 의미해요. 중력은 힘이 아니라 시공의 휘어짐으로서 좌변의 \(\Gamma\) 항에 흡수돼 있기 때문에, 우변에 나타나지 않아요.
✅ 이해도 체크: Einstein 방정식 \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)에서, 좌변과 우변은 각각 무엇을 나타낼까요?
답
좌변 \(G_{\mu\nu}\)(Einstein 텐서)는 시공의 휘어진 정도, 우변 \(T_{\mu\nu}\)(에너지 운동량 텐서)는 물질과 에너지의 분포를 나타내요. 「물질이 어떻게 분포하고 있느냐가 시공의 휘어짐을 결정한다」는 관계예요.
📝 연습문제:
- Newton과 Einstein의 두 기둥의 대응 → 문제 B-3. Newton과 Einstein의 두 기둥의 대응, 측지선 방정식의 이해 → 문제 M-1. 측지선 방정식의 이해, Einstein 방정식의 계수 → 문제 M-2. Einstein 방정식의 계수, 계량 텐서에서 파생되는 양 → 문제 A-1. 계량 텐서에서 파생되는 양
🟡 리나: Newton의 틀과 Einstein의 틀을 나란히 비교해 보자.
표 2.3: Newton 역학과 일반상대론의 대응
| Newton | Einstein(일반상대론) | |
|---|---|---|
| 입자의 운동 | \(\vec{F} = m\vec{a}\)(운동 방정식) | \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0\)(측지선 방정식. 중력 이외의 힘이 있을 경우 우변에 추가) |
| 장 방정식 | \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)(Poisson 방정식) | \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)(Einstein 방정식) |
| 중력의 정체 | 힘 \(F = -GMm/r^2\) | 시공의 휘어짐 |
| 주역 | 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)(스칼라) | 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)(2계 텐서) |
⚪ 메이: 깔끔하게 일대일로 대응하네. 스칼라가 2계 텐서로, 밀도가 에너지 운동량 텐서로——계수가 올라갈 뿐 구조는 같다는 게 이해하기 쉬워.
🟡 리나: Newton에게도 「장 방정식」은 있었어——중력 퍼텐셜 \(\Phi\)를 결정하는 Poisson 방정식이지.
Einstein 방정식
은 그 일반화로, 스칼라 \(\Phi\)가 2계 텐서 \(g_{\mu\nu}\)로, 밀도 \(\rho\)가 에너지 운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}\)로 치환돼. 실제로 약한 중력·느린 속도의 극한에서는 Einstein 방정식으로부터 Poisson 방정식이 유도돼.
🔵 카이: Newton의 이론이 Einstein 이론의 근사가 되어 있는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 그래서 Einstein의 틀에서는, 1계 텐서(벡터)만으로는 부족하고, 2계 텐서까지 필요해져.
✅ 이해도 체크: Newton의 중력 이론에서 Einstein의 일반상대론으로 이행할 때, 주역이 되는 물리량은 스칼라 \(\Phi\)에서 무엇으로 바뀔까요? 또한, 그 텐서의 계수는 얼마일까요?
답
중력 퍼텐셜 \(\Phi\)(0계 텐서 = 스칼라)에서 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)(2계 텐서)로 바뀌어요. 마찬가지로 장 방정식의 우변도 밀도 \(\rho\)(스칼라)에서 에너지 운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}\)(2계 텐서)로 확장돼요.
2.4 이후의 여행 — 0계 텐서부터 시작하기¶
🔵 카이: Einstein 방정식으로 시공의 형태가 결정되고, 그 안을 입자가 측지선을 따라 나아간다——웅장한 틀이네요. 하지만 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)도 Riemann 텐서도 아직 내용을 전혀 모르잖아요. 어디서부터 손대면 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 텐서의 계수를 0부터 순서대로 올려 가는 여정을 그림으로 확인해 두자(그림 2.11「이후 여행의 로드맵」).
그림 2.11: 이후 여행의 로드맵. 0계 텐서(시공간 간격 \(ds^2\)) → 1계 텐서(4원벡터) → 2계 텐서(계량 \(g_{\mu\nu}\)) → Einstein 방정식으로, 텐서의 계수를 한 걸음씩 올리면서 구축해 나간다.
🟡 리나: 그래서 이 여행의 첫 번째 조각은, 텐서 중 가장 간단한 0계 텐서(스칼라)——즉 불변량에서 시작해. 2.1「스칼라, 벡터, 텐서」에서 봤듯이, 3차원 공간에서의 불변량의 대표 예는 2점 사이의 거리였어. 이것을 4차원 시공으로 확장했을 때, 불변량은 어떤 형태가 될까? 결론만 먼저 보여 주면,
이 \(ds^2\)이 「어느 관성계에서 계산해도 같은 값이 되는 불변량」인 것——즉 0계 텐서인 것——은, 다음 제 3 장에서 광속 불변의 원리로부터 증명할 거야. 지금은 형태만 봐 둬.
🔵 카이: 공간 부분 \(dx^2 + dy^2 + dz^2\)은 피타고라스 정리 같은데, 시간 항 \(-(cdt)^2\)에 마이너스가 붙어 있어서 신기하네요.
🟡 리나: 여기서 \((cdt)^2 = (c \times dt)^2 = c^2 \cdot dt^2\)(「\(c\) 곱하기 \(dt\)」 전체의 제곱)이고, \(dx^2\)은 \((dx)^2\)(\(dx\)의 제곱)의 의미야——\(d(x^2)\)이 아니니까 주의해. \(dy^2\), \(dz^2\), \((cdt)^2\)도 같은 읽는 방식이야. 참고로, 여기서의 \(x, y, z\)는 공간 좌표 그 자체(\(x\) 방향의 위치, \(y\) 방향의 위치, \(z\) 방향의 위치)이지, 아까 나온 성분 라벨 \(x^1, x^2, x^3\)의 「오른쪽 어깨 숫자」와는 다른 의미야——헷갈리지만, \(ds^2\) 식에서는 전통적으로 이렇게 쓰는 거야. \(dt\), \(dx\), \(dy\), \(dz\)는 각각 시간과 공간의 미소 변화량이야. 고등학교에서는 2점 사이의 거리의 제곱을 \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\)를 사용해서 피타고라스 정리 \(\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\)으로 썼지. \(\Delta x\)는 「\(x\)의 변화량」이었어. 이 \(\Delta x\)를 한없이 작게 한 극한을 \(dx\)라고 쓰는 거야——고등학교에서 \(\frac{dy}{dx}\)라고 쓸 때의 \(dx\)와 같은 기호로, 「무한히 작은 변화량」을 의미해. \(dy\), \(dz\), \(dt\)도 마찬가지야. \(ds^2\)은 「아주 가까운 두 시공의 점 사이의 간격의 제곱」을 나타내. 3차원 공간에서 2점 사이의 거리의 제곱이 \(dx^2 + dy^2 + dz^2\)(피타고라스 정리의 미소 버전)이었던 것을, 시간 방향으로도 확장한 식이라고 생각하면 돼. \(dt\)에 광속 \(c\)가 곱해져 있는 건, 아까 시공도에서 본 것과 같은 이유——시간을 길이의 차원으로 맞추기 위해서야(\(c \times dt\)는 「빛이 \(dt\) 동안 나아간 거리」).
🔵 카이: 공간 항은 전부 플러스인데, 시간 항에 마이너스가 붙어 있네요. 왜 시간만 마이너스인 건가요? 그리고 이러면 \(ds^2\)이 음수가 되는 경우도 있잖아요? 거리의 제곱이 음수라니, 이상하지 않나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. \(ds^2\)은 보통 의미의 「거리의 제곱」이 아니야——시간과 공간을 합친 「시공의 간격」이니까, 양수도 음수도 영도 될 수 있어. 왜 마이너스가 필요한지의 완전한 답은 다음 제 3 장에서 광속 불변의 원리로부터 유도하겠지만, 직감만 먼저 말하면, 빛은 시간 \(dt\) 동안 거리 \(c \times dt\)만큼 나아가니까, \(dx = c\,dt\)가 되어 \(-(cdt)^2 + dx^2 = 0\)이 돼.
⚪ 메이: 빛의 경우에 \(ds^2 = 0\)이 되는 건, 마이너스 항과 플러스 항이 딱 상쇄되기 때문이네.
🟡 리나: 맞아. 빛보다 느린 입자는 같은 좌표시간 \(dt\) 동안 빛보다 짧은 거리밖에 나아갈 수 없어. 즉, 입자가 나아간 거리의 제곱 \(dx^2+dy^2+dz^2\)은 빛이 나아간 거리의 제곱 \((cdt)^2\)보다 작아——\(dx^2+dy^2+dz^2 < (cdt)^2\)이 돼(어느 방향으로 움직이든, 3방향의 합계가 빛의 거리를 넘을 수 없어). 식에 대입하면 \(ds^2 = -(cdt)^2 + (dx^2+dy^2+dz^2)\)에서, \((cdt)^2 > dx^2+dy^2+dz^2\)이니까 마이너스 항이 이겨서, 전체적으로 \(ds^2 < 0\)이 되는 거야.
🔵 카이: 아하, 빛이면 \(ds^2 = 0\)이고, 빛보다 느리면 \(ds^2 < 0\)이 되는 건 알겠어요. 하지만, 왜 시간에 마이너스를 붙여야만 하는지의 근본적인 이유는 다음 장에서 알 수 있는 거군요. 그런데, \(ds^2\)이 음수가 된다니, 「제곱인데 음수」라는 게 정말 찝찝한데요……
🟡 리나: 그 찝찝함은 올바른 감각이야. 사실 \(ds^2\)이라는 기호는 「무언가의 제곱」이 아니라, \(ds^2\) 전체가 하나의 양의 이름이라고 생각하는 편이 좋아. 보통 거리의 제곱은 반드시 양수이지만, 시공의 「간격」은 시간과 공간이 섞인 양이니까 양수도 음수도 영도 될 수 있어——그래서 「거리」가 아니라 「간격」이라고 부르는 거야.
부호 규약 주의: 교과서에 따라서는 \(ds^2 = +(cdt)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\)으로, 시간에 플러스·공간에 마이너스를 붙이는 유파도 있다. 본서에서는 \(ds^2 = -(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\)(시간에 마이너스, 공간에 플러스)을 채택한다. 어느 유파든 물리적 결론은 같지만, \(ds^2\)의 부호의 의미가 반대가 되므로, 다른 교과서를 참조할 때는 주의.
⚪ 메이: 즉, \(ds^2\)의 부호로 「빛보다 빠른지 느린지」를 알 수 있는 거네.
🟡 리나: 바로 그래. 참고로, 아까 나온 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)와의 관계를 살짝 선취하면, 이 식의 각 항의 계수(시간 방향이 \(-1\), 공간 방향이 \(+1, +1, +1\))가 바로 \(g_{\mu\nu}\)의 성분에 대응하고 있어——자세한 건 제 6 장에서 정식으로 도입할게. 공간의 거리와 시공의 간격의 차이를 그림으로 나타내 볼게(그림 2.12「Euclid 기하와 Minkowski 기하의 비교. 왼쪽」).
그림 2.12: Euclid 기하와 Minkowski 기하의 비교. 왼쪽 — 보통의 공간에서는 거리의 제곱은 \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)으로 항상 양수. 오른쪽 — 시공의 간격은 \(ds^2 = -(c\Delta t)^2 + \Delta x^2\)으로 시간 항에 마이너스가 붙기 때문에, 양수도 음수도 영도 될 수 있다. \(ds^2 < 0\)(시간적)은 질량이 있는 입자가 도달 가능, \(ds^2 = 0\)(빛과 같은)은 빛이 지나가는 경로, \(ds^2 > 0\)(공간적)은 도달 불가능한 관계를 의미한다.
🟡 리나: 그림에 있듯이, \(ds^2 < 0\)은 질량이 있는 입자가 도달할 수 있는 관계(시간적), \(ds^2 = 0\)은 빛이 지나가는 경로(빛과 같은), \(ds^2 > 0\)은 빛으로도 도달할 수 없는 관계(공간적)에 대응해. 왜 마이너스가 필요한지, 각각의 경우가 물리적으로 무엇을 의미하는지——그것을 광속 불변의 원리로부터 한 걸음씩 유도하는 것이 다음 제 3 장의 핵심이야. 지금은 「\(ds^2\)이 음수여도 물리적으로 의미가 있다——오히려 질량이 있는 입자에게는 \(ds^2 < 0\)이 보통이다」라고만 기억해 둬.
⚪ 메이: \(ds^2\)의 부호로 「질량이 있는 입자가 도달할 수 있는지, 빛만 지나갈 수 있는지, 어느 쪽도 도달할 수 없는지」를 알 수 있는 거네. 다음 장에서 이 0계 텐서부터 출발하는 게 기대돼.
🟡 리나: 이 장에서 등장한 기호가 많으니까, 마지막으로 정리해 둘게.
표 2.4: 이 장에서 등장한 주요 기호 일람
| 기호 | 읽는 법 | 의미 | 자세히 배우는 장 |
|---|---|---|---|
| \(\mu, \nu, \alpha, \beta\) | 뮤, 뉴, 알파, 베타 | 시공의 첨자(0, 1, 2, 3) | 제4장 |
| \(\tau\) | 타우 | 고유시간(입자의 시계가 새기는 시간) | 제3장 |
| \(ds^2\) | 디에스 제곱 | 시공간 간격(0계 텐서) | 제3장 |
| \(g_{\mu\nu}\) | 지 뮤 뉴 | 계량 텐서(시공의 형태를 결정하는 2계 텐서) | 제6장 |
| \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) | 감마 | 접속 계수(계량의 1계 미분으로 결정) | 제8장 |
| \(R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}\) | 리만 텐서 | Riemann 텐서(시공의 휘어짐의 완전한 정보) | 제9장 |
| \(R_{\mu\nu}\) | 리치 텐서 | Ricci 텐서(Riemann의 축약) | 제10장 |
| \(G_{\mu\nu}\) | 아인슈타인 텐서 | Einstein 텐서(Einstein 방정식의 좌변) | 제14장 |
| \(T_{\mu\nu}\) | 티 뮤 뉴 | 에너지 운동량 텐서(물질의 분포) | 제14장 |
다음 장 예고¶
제 3 장 title에서는, 이 설계도의 첫 번째 조각을 구체적으로 구축한다. Einstein의 두 공리——상대성 원리와 광속 불변——에서 출발하여, 가장 기본적인 0계 텐서(불변량)——시공간 간격 \(ds^2\)——을 유도하고, 거기서 Lorentz 변환, 시간 지연, Minkowski 계량까지를 단숨에 구축한다.
참고문헌¶
- Schutz, B. F. A First Course in General Relativity, 3rd ed., Chapter 1. Cambridge University Press, 2022.
- Lancaster, T. and Blundell, S. J. General Relativity for the Gifted Amateur, Chapter 1. Oxford University Press, 2014.
- Carroll, S. M. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Chapter 1. Addison-Wesley, 2004.
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