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제4장　확률진폭의 규칙 — Feynman의 3가지 법칙

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지금까지의 이야기:

제 3 장에서는 이중 슬릿 실험을 통해 고전물리학의 결정론과 소박한 실재론이 붕괴하는 모습을 보았다. 전자를 하나씩 날려도 간섭무늬가 나타나고, "어느 슬릿을 통과했는지"를 관측하면 간섭무늬가 사라진다. 고전적인 확률의 덧셈으로는 이 현상을 설명할 수 없었다. 그렇다면, 무엇이 확률을 대신하여 양자의 세계를 지배하고 있는 것인가?——그 답이 바로 이 장의 주제다.

이 장의 목표

  • 양자역학의 전체 체계를 지탱하는 3가지 기본 규칙을 배운다
  • "사건이 일어날 확률은 확률진폭이라는 복소수의 절댓값의 제곱이다" "구별할 수 없는 경로의 진폭은 더한다" "연속된 과정의 진폭은 곱한다"
  • 이 3가지 규칙으로 이중 슬릿 실험을 재기술하고, 간섭이 자연스럽게 나타나는 것을 확인한다

4.1　복소수의 미니멀 복습 — 진폭을 다루기 위한 도구

🟡 리나: 이전 장에서, 고전적인 확률의 덧셈으로는 이중 슬릿의 간섭무늬를 설명할 수 없다는 것을 알게 되었지. 오늘은 그 대안이 되는 "확률진폭"이라는 도구를 도입할 건데, 진폭은 복소수야. 그러니 먼저, 복소수의 최소한의 도구만 갖춰 두자.

🔵 카이: 복소수라면, 고등학교 수학에서 나왔던 \(i^2 = -1\) 그거 맞죠? 왜 그게 물리학에 나오는 건가요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 결론부터 말하면, 자연의 규칙이 복소수의 논리로 작동하고 있는 것 같다——는 것이 실험으로부터 밝혀져 있어. 좀 더 정확히 말하면, 양자역학의 모델은 복소수를 사용하지 않으면 실험 결과를 재현할 수 없어. 이유는 나중에 보겠지만, 우선은 도구의 사용법을 확인하자.

복소수의 기본

🟡 리나: 복소수 \(z\)는 실수 \(a\)와 \(b\)를 사용하여

\[z = a + bi \tag{4.1}\]

라고 쓸 수 있어. \(a\)를 실수부(\(\mathrm{Re}(z)\)), \(b\)를 허수부(\(\mathrm{Im}(z)\))라고 불러. \(i\)는 허수단위로, \(i^2 = -1\)을 만족해.

⚪ 메이: 고등학교에서 배운 것과 같네. \(a\)와 \(b\)는 둘 다 그냥 실수이고, \(z\)는 그것을 조합한 "하나의 수"야.

🟡 리나: 맞아. 계산 규칙도 고등학교와 같아. 덧셈은 실수부끼리·허수부끼리 더하고, 곱셈은 보통으로 전개해서 \(i^2 = -1\)을 사용해.

\[ \begin{aligned} (a + bi)(c + di) &= ac + adi + bci + bdi^2 \\ &= (ac - bd) + (ad + bc)i \end{aligned} \tag{4.2} \]

🔵 카이: \(i^2 = -1\)만 기억해 두면, 나머지는 보통 계산이네요.

복소평면과 절댓값

🟡 리나: 복소수는 복소평면(가우스 평면이라고도 불리는)위의 점으로 그릴 수 있어. 가로축이 실수부, 세로축이 허수부야.

원점에서 점 \(z = a + bi\)까지의 거리를 \(z\)의 절댓값이라 부르고, \(|z|\)로 써. 가로로 \(a\), 세로로 \(b\)만큼 간 점이니까, 원점으로부터의 거리는 Pythagoras(피타고라스)의 정리 그 자체로,

\[|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \tag{4.3}\]

⚪ 메이: 실수일 때의 "절댓값 = 수직선 위의 원점으로부터의 거리"를 평면으로 확장한 것이네.

🟡 리나: 맞아. 그리고 절댓값의 제곱은

\[|z|^2 = a^2 + b^2 \tag{4.4}\]

이것은 반드시 0 이상의 실수가 돼. 이 성질이 양자역학에서 "확률"을 끌어낼 때 결정적으로 중요해.

복소켤레

🟡 리나: 하나만 더 도구를 소개할게. \(z = a + bi\)의 허수부의 부호만 반전시킨 것을 복소켤레라 부르고, \(z^*\)로 써.

\[z^* = a - bi \tag{4.5}\]

🔵 카이: 허수부의 플러스마이너스를 뒤집기만 하면 되나요?

🟡 리나: 그래. 복소평면에서 말하면, 실축에 대해 거울반사한 점이야. 이것이 편리한 이유는, \(z\)와 \(z^*\)를 곱하면 절댓값의 제곱이 나오기 때문이야.

\[z \cdot z^* = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2 \tag{4.6}\]

⚪ 메이: 즉 \(|z|^2 = z \cdot z^*\)이네. 이러면 제곱근을 취하지 않아도 절댓값의 제곱을 계산할 수 있어.

🟡 리나: 이 관계는 앞으로 계속 사용하니까, 확실히 기억해 둬.

극형식 — 크기와 각도로 표현하기

🟡 리나: 복소평면 위의 점은, 원점으로부터의 거리 \(r = |z|\)와 실축으로부터의 각도 \(\theta\)(편각이라고 부름)로도 지정할 수 있지. 삼각함수를 사용하면

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \tag{4.7}\]

🔵 카이: 직교좌표 \((a, b)\)와 극좌표 \((r, \theta)\)의 관계네요. \(a = r\cos\theta\), \(b = r\sin\theta\).

🟡 리나: 그래. 이 표기법을 극형식이라고 불러. 극형식으로 쓰면, 곱셈의 의미가 아주 보기 쉬워져. 두 복소수 \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)과 \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)를 곱하면, 삼각함수의 덧셈정리로부터

\[z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \bigl[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\bigr] \tag{4.8}\]

🟡 리나: 결과를 봐. 절댓값은 \(r_1 r_2\)로 곱셈, 편각은 \(\theta_1 + \theta_2\)로 덧셈이 되어 있어. 즉 복소수의 곱셈은 "확대·축소"와 "회전"을 동시에 수행하는 연산이야. 예를 들어 \(i\)를 곱한다는 것은, \(|i| = 1\), \(\arg(i) = \pi/2\)이므로, "크기는 그대로, 90° 회전"을 의미해.

⚪ 메이: 그렇구나, 절댓값은 곱셈, 편각은 덧셈. 깔끔하게 분리되네.

🔵 카이: 그렇구나……. \(i\)를 2번 곱하면 180° 회전으로 \(-1\)이 된다. 그래서 \(i^2 = -1\)인 거구나!

🟡 리나: 좋은 이해야. 여기까지의 내용을 그림 4.1「복소평면에서의 복소수 \(z = a + bi\)의 표시」과 그림 4.2「복소수 곱셈의 기하학적 의미」에 정리해 두었으니, 확인해 봐. 복소수에 대한 자세한 이야기——Euler(오일러)의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)의 유도나 테일러 전개와의 관계——는 부록 A에서 다룰게. 다만, 이 장의 후반에서 \(e^{i\theta}\)를 편리한 약식 표기로 사용하니까, 그때 다시 설명할게.

복소평면에서의 복소수 표시

그림 4.1: 복소평면에서의 복소수 \(z = a + bi\)의 표시. 절댓값 \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\)는 원점으로부터의 거리, 편각 \(\theta\)는 실축으로부터의 각도. 복소켤레 \(z^* = a - bi\)는 실축에 대한 거울반사.

복소수 곱셈의 기하학적 의미

그림 4.2: 복소수 곱셈의 기하학적 의미. \(z_1 z_2\)의 절댓값은 \(|z_1|\cdot|z_2|\)(확대), 편각은 \(\theta_1 + \theta_2\)(회전). \(i\)를 곱하는 것은 "\(90°\) 회전"에 해당한다.

✅ 이해도 체크: 복소수 \(z = 3 + 4i\)의 절댓값 \(|z|\)와, \(z \cdot z^*\)의 값을 각각 구하세요.

답

\(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). \(z \cdot z^* = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2\).

📝 연습문제:

4.2　확률진폭이란 무엇인가 — 제1 규칙

🟡 리나: 자, 도구가 갖춰졌으니, 이제 양자역학의 핵심에 들어가자. 이전 장에서, 이중 슬릿 실험의 결과를 고전적인 확률(실수)의 덧셈으로는 설명할 수 없다는 것을 보았지. 양자역학은 확률 대신에 확률진폭(probability amplitude)이라는 양을 도입해.

🔵 카이: "진폭"이라면, 파동의 진폭 같은 건가요?

🟡 리나: 이름의 유래는 거기에 있지만, 훨씬 더 일반적인 개념이야. 정의를 말할게.

제1 규칙(확률의 법칙)

어떤 사건이 일어날 확률 \(P\)는, 그 사건에 대응하는 확률진폭 \(\phi\)(일반적으로 복소수)의 절댓값의 제곱으로 주어진다.

\[P = |\phi|^2 \tag{4.9}\]

🔵 카이: 엥, 그것뿐인가요? 하지만……왜 복소수인 거예요? 확률은 0에서 1 사이의 실수잖아요. 일부러 복소수를 거치는 의미가 뭔가요?

🟡 리나: 핵심을 찌르는 의문이네. 이유는 2가지야. 첫째, \(|z|^2 = a^2 + b^2 \geq 0\)이니까, 복소수의 절댓값의 제곱은 반드시 0 이상의 실수가 돼. 확률은 0 이상이어야 하니까, 이 조건은 제대로 충족돼.

물론 확률은 1 이하이기도 해야 하는데, 그것은 진폭을 적절히 규격화(normalize)함으로써 보장돼. "규격화"란, 일어날 수 있는 모든 결과의 확률을 합하면 정확히 1이 된다는 조건이야. 예를 들어, 일어날 수 있는 결과가 3가지(\(A\), \(B\), \(C\))이고, 각 진폭이 \(\phi_A\), \(\phi_B\), \(\phi_C\)라면, \(|\phi_A|^2 + |\phi_B|^2 + |\phi_C|^2 = 1\)이 성립하도록 진폭이 정해져 있어야 해. 고전확률에서도 "모든 경우의 확률의 합은 1"이라는 조건이 있잖아. 그것과 같은 발상이야. 구체적인 방법은 제 5 장 이후에서 자세히 다룰게.

참고로, 이 장에서는 간섭 효과를 보는 것이 목적이니까, 규격화를 신경 쓰지 않고 진폭의 값을 그대로 사용할 때가 있어. 그래서 계산 결과가 1을 넘을 수도 있는데, 그것은 규격화 전의 값이니까 문제없어. 예를 들어 나중에 \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 2\) 같은 값이 나오겠지만, 이것은 "확률 그 자체"가 아니라 "확률에 비례하는 양"이라고 생각해 줘. 진짜 확률을 구하려면 전체를 합계로 나눠서 1로 맞추면 돼——예를 들어 합계가 2이면 각 항을 2로 나누면 돼——하지만, 지금은 "간섭항이 있으면 값이 커지는지 작아지는지"라는 상대적인 변화만 중요하니까, 나눗셈은 생략할게. 규격화의 정식 방법은 제 5 장에서 배울 거야.

🔵 카이: 아하, 규격화는 나중으로 미루고, 지금은 간섭의 증감에 주목하면 되는 거군요. 그런데, 왜 굳이 복소수를 쓰는 거예요?

🟡 리나: 둘째 이유——이쪽이 본질적인데——복소수에는 위상(편각 \(\theta\))이 있어. 두 복소수를 더할 때, 위상의 차이에 따라 강화되기도 하고 약해지기도 해. 이것이 간섭의 정체야. 고전적인 확률은 항상 양의 실수이니까, 확률을 더하면 반드시 커지기만 하고, 약해지는 것은 일어나지 않잖아?

⚪ 메이: 그렇구나. 확률은 항상 양이니까 더하면 반드시 커져. 하지만 진폭은 복소수이니까, 더했을 때 상쇄될 수 있어. 그것이 간섭무늬의 "어두운 부분"을 만드는 거구나.

🟡 리나: 바로 그거야. 여기가 양자역학의 핵심이야. 확률을 직접 더하는 것이 아니라, 진폭을 더한 후 절댓값의 제곱을 취한다. 이 순서의 차이가, 고전과 양자의 결정적인 차이를 만들어내.

🔵 카이: 하지만, 진폭이 복소수라는 것은, 실험에서 직접 측정할 수 없다는 뜻이잖아요? 측정값은 항상 실수인데……

🟡 리나: 날카로운 지적이네. 맞아. 우리가 실험에서 직접 관측할 수 있는 것은 \(|\phi|^2\), 즉 확률뿐이야. 진폭 자체는 직접 측정할 수 없어. 하지만, 진폭을 사용한 모델의 예측이 실험 결과와 놀라울 정도로 정확하게 일치해. "진폭은 직접 보이지 않지만, 진폭을 사용하지 않으면 실험을 설명할 수 없다"——이것이 양자역학의 모델로서의 힘이야.

🔵 카이: 보이지 않지만, 없으면 곤란하다……

🟡 리나: 그래. 물리학의 모델은 "진리"가 아니라 "정량적인 예측과 반증 가능성"에 가치가 있다고 프롤로그에서 이야기했지. 확률진폭이라는 모델은, 현재까지 실험과 모순되지 않는 최선의 가설이야.

표기법 도입 — Dirac의 브라켓

🟡 리나: 확률진폭을 표기하기 위한 편리한 표기법을 하나 도입해 둘게. Dirac(디랙)이 발명한 브라켓 표기법으로, 양자역학에서 널리 사용되고 있어.

🟡 리나: "입자가 상태 \(s\)에서 출발하여, 상태 \(x\)에 도달하는 진폭"을

\[\langle x | s \rangle \tag{4.10}\]

이라고 써. 오른쪽의 \(| s \rangle\)를 켓(ket), 왼쪽의 \(\langle x |\)를 브라(bra)라고 불러. 이 표기법에서는, 켓이 시작 상태, 브라가 끝 상태를 나타낸다고 읽어. 전체의 \(\langle x | s \rangle\)를 브라켓(bracket = bra + ket)이라 부르고, 이것이 "\(s\)에서 \(x\)로의 진폭"을 의미하는 기호야. 브라와 켓에는 더 깊은 수학적 의미가 있는데, 그것은 제 11 장에서 다시 다룰게. 지금은 "진폭을 쓰기 위한 약식 기호"로 사용해 줘.

🔵 카이: 왜 끝 상태가 왼쪽인 거예요? 시간 순서로 하면 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다는 건가요?

🟡 리나: 그래, 오른쪽에서 왼쪽으로 "\(s\)에서 출발하여 \(x\)에 도달한다"고 읽어. 처음에는 조금 익숙해질 필요가 있지만, 이후 장에서 행렬을 사용한 계산이 나올 때, 이 "오른쪽에서 왼쪽" 약속이 자연스럽게 이어져. 다음 제 5 장부터 바로 사용하지만, 표기법에 대해서는 거기서 실제로 계산하면서 익숙해지자.

🟡 리나: 이 표기법을 사용하면, 제1 규칙은

\[P(s \to x) = |\langle x | s \rangle|^2\]

이라고 쓸 수 있어.

⚪ 메이: 진폭의 기호가 그대로 "어디에서 어디로"를 나타내니까, 확률 식도 읽기 쉬워지네.

✅ 이해도 체크: Dirac의 브라켓 표기법 \(\langle x | s \rangle\)에서, 켓 \(|s\rangle\)과 브라 \(\langle x|\)는 각각 무엇을 나타내는가. 또한, 이 기호 전체는 물리적으로 무엇을 의미하는가.

답

켓 \(|s\rangle\)은 시작 상태를, 브라 \(\langle x|\)는 끝 상태를 나타낸다. 기호 전체 \(\langle x | s \rangle\)는 "입자가 상태 \(s\)에서 출발하여 상태 \(x\)에 도달하는 확률진폭"을 의미한다. 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.

✅ 이해도 체크: 확률진폭이 실수가 아닌 복소수인 것이 본질적으로 중요한 이유를 한 문장으로 서술하세요.

답

복소수에는 위상(편각)이 있기 때문에, 두 진폭을 더했을 때 강화나 상쇄(간섭)가 일어날 수 있지만, 양의 실수만으로는 상쇄가 일어나지 않기 때문이다.

4.3　경로의 덧셈 — 제2 규칙

🟡 리나: 다음으로, 제2 규칙으로 넘어갈게. 이것은 제 3 장의 이중 슬릿 실험에서 보았던 "수수께끼"에 직접 답하는 규칙이야.

제2 규칙(진폭의 가법 법칙)

어떤 사건이 여러 개의 구별할 수 없는 경로를 통해 실현될 수 있을 때, 전체 진폭은 각 경로 진폭의 합이다.

🔵 카이: "구별할 수 없는 경로"란요?

🟡 리나: "원리적으로, 입자가 어느 경로를 지나갔는지 알 방법이 없다"는 뜻이야. 이중 슬릿 실험에서 말하면, 어느 슬릿을 통과했는지 관측하지 않은 경우, 슬릿 1을 지나는 경로와 슬릿 2를 지나는 경로는 "구별할 수 없어".

이중 슬릿의 경우, 검출기 위치 \(x\)에서의 진폭은

\[\langle x | s \rangle = \langle x | s \rangle_{\text{슬릿 1 경유}} + \langle x | s \rangle_{\text{슬릿 2 경유}} \tag{4.11}\]

🟡 리나: 여기서 이전 장의 논의를 떠올려 봐. 고전적인 확률이라면 \(P = P_1 + P_2\)로 확률을 직접 더했어. 하지만 양자역학에서는 진폭을 더한 후 확률을 구해. 즉

\[P = |\phi_1 + \phi_2|^2 \neq |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\]

여기서 \(\phi_1 = \langle x | s \rangle_{\text{슬릿 1 경유}}\), \(\phi_2 = \langle x | s \rangle_{\text{슬릿 2 경유}}\)로 약기했어.

⚪ 메이: 좌변이 양자역학의 예측이고, 우변이 고전적 예측이네. 이 둘이 일반적으로는 같지 않다는 거지.

🔵 카이: 그런데, 그 "차이"는 구체적으로 어떤 형태가 되나요? 복소수를 더한 후 절댓값을 취하면, 단순한 뺄셈은 아니잖아요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 실제로 전개해 보자. \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)가 복소수일 때,

\[\begin{aligned} |\phi_1 + \phi_2|^2 &= (\phi_1 + \phi_2)(\phi_1 + \phi_2)^* \\ &= (\phi_1 + \phi_2)(\phi_1^* + \phi_2^*) \\ &= \phi_1\phi_1^* + \phi_1\phi_2^* + \phi_2\phi_1^* + \phi_2\phi_2^* \\ &= |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2 \end{aligned} \tag{4.12}\]

1행에서 2행으로 갈 때 \((\phi_1 + \phi_2)^* = \phi_1^* + \phi_2^*\)를 사용했어——복소켤레는 "각 항의 허수부를 각각 반전시키는" 연산이니까, 합의 복소켤레는 복소켤레의 합이 돼. 3행은 보통의 분배법칙으로 전개한 것뿐이야. 그리고 식 (4.6)의 \(z \cdot z^* = |z|^2\)를 사용하여 \(\phi_1\phi_1^* = |\phi_1|^2\), \(\phi_2\phi_2^* = |\phi_2|^2\)로 쓴 거야.

🔵 카이: 아, 아까 배운 \(z \cdot z^* = |z|^2\)가 벌써 사용되고 있네요!

🟡 리나: 마지막 2개 항 \(\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\)를 간섭항(interference term)이라고 불러. 여기에 간섭의 본체가 담겨 있어.

🔵 카이: 잠깐만요. \(\phi_1 \phi_2^*\)는 복소수잖아요? 확률 \(P\)는 실수여야 하는데, 복소수인 항이 들어가 있어서 괜찮은 건가요? 또 다른 항 \(\phi_1^* \phi_2\)와 무슨 관계가 있는 건가요?

🟡 리나: 좋은 의문이고, 좋은 착안이야. 바로 그대로인데, \(\phi_1 \phi_2^*\)와 \(\phi_1^* \phi_2\)는 서로 복소켤레 관계에 있어. 복소켤레끼리를 더하면 허수부가 상쇄되어 실수가 돼——예를 들어 \((a+bi) + (a-bi) = 2a\)이지? 그래서 간섭항은 반드시 실수이고, \(P\)가 실수여야 한다는 조건도 제대로 충족돼.

🔵 카이: 아, 정말이네. \(w\)와 \(w^*\)를 더하면 허수부가 사라지니까, 어떤 \(\phi_1\), \(\phi_2\)에 대해서도 간섭항은 실수가 되는 거군요.

🟡 리나: 게다가 이 구조는 진폭이 3개 이상이어도 같은 식으로 성립해. \(|\phi_1 + \phi_2 + \cdots|^2\)를 전개하면, 교차항은 모두 \(\phi_j\phi_k^*\)와 \(\phi_j^*\phi_k\)의 쌍으로 나타나니까, 확률이 실수가 되는 것은 진폭의 개수에 관계없이 자동으로 보장돼.

⚪ 메이: 즉 "복소켤레의 쌍으로 나타나니까 실수가 된다"는 구조가, 진폭이 몇 개이든 자동으로 작동하는 거네.

🟡 리나: 그래. 좀 더 보기 쉽게 하기 위해, 각 진폭을 극형식으로 써 보자. 식 (4.7)에서 본 것처럼 \(\phi_1 = |\phi_1|(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\), \(\phi_2 = |\phi_2|(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)야. 여기서 편리한 약식 표기를 하나만 도입할게. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)라고 쓰는 거야. 이것을 Euler(오일러)의 공식이라고 불러.

🔵 카이: 잠깐만요. \(e\)라면 \(2.718\ldots\)인, 그 지수함수의 밑이잖아요? 거기 위에 허수 \(i\theta\)를 올린다니, 어떤 의미인 거예요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 당연한 의문이네. 실수 범위에서는 \(e^x\)가 "\(e\)를 \(x\)번 곱한다"이지만, 지수가 허수가 되면 직접 그렇게 해석할 수 없어. Euler의 공식은, 지수함수를 무한히 계속되는 덧셈(무한급수)으로 다시 쓰면 자연스럽게 나와. 그 유도는 부록 A에서 정성스럽게 할게. 현 단계에서는 다음과 같이 정의해 줘——\(e^{i\theta}\)란 \(\cos\theta + i\sin\theta\)의 것이다, 라고. 즉 "절댓값 1·편각 \(\theta\)인 복소수"에 \(e^{i\theta}\)라는 이름을 붙이는 거야. 약식 표기라기보다, 새로운 기호의 정의라고 생각해 줘. 이 정의의 최대 장점은, 곱셈이 지수의 덧셈이 된다는 것——\(e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}\)——이야. 이것은 식 (4.8)에서 보여준 "두 복소수를 곱하면 편각이 덧셈이 된다"는 성질을, 그대로 지수 표기법으로 표현한 것뿐이야. 그러니까 새로운 법칙이 아니라, 이미 확인한 사실의 재표기야.

구체적으로 확인해 보자. 식 (4.8)에서는 \(r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = r_1 r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)였지. 이것을 \(e^{i\theta}\)로 다시 쓰면 \(r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 \, e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)——완전히 같은 내용이 훨씬 간결하게 써져.

🔵 카이: 아하, 식 (4.8)을 다른 방식으로 쓴 것뿐이군요. 곱셈이 덧셈이 되니까 편리하네요. 일단 약식 표기로 사용할게요.

🟡 리나: 그래. 이 표기법을 사용하면 \(\phi_1 = |\phi_1|e^{i\theta_1}\), \(\phi_2 = |\phi_2|e^{i\theta_2}\)라고 쓸 수 있어. 여기서 복소켤레를 취하면 어떻게 되는지 확인해 두자. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)의 복소켤레는, 허수부의 부호를 반전시키기만 하면 되니까 \(\cos\theta - i\sin\theta\)이지.

🔵 카이: 그건 알겠어요. 그런데 \(\cos\theta - i\sin\theta\)를 \(e\)의 형태로 다시 쓸 수 있나요?

🟡 리나: 좋은 질문. 고등학교에서 배운 삼각함수의 성질을 떠올려 봐——\(\cos(-\theta) = \cos\theta\), \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\). 이것은 단위원의 정의에서 직접 알 수 있어. 단위원 위에서 각도 \(\theta\)인 점은 \((\cos\theta,\, \sin\theta)\), 각도 \(-\theta\)인 점은 실축(\(x\)축)에 대해 대칭인 위치에 있으니까, \(x\) 좌표(\(\cos\))는 같고 \(y\) 좌표(\(\sin\))는 부호가 반대가 돼. 그래서 \(\cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\)로 변형할 수 있어. 여기서 약식 표기의 약속을 떠올려——\(e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha\)였지. \(\alpha = -\theta\)를 대입하면 우변은 바로 \(e^{i(-\theta)} = e^{-i\theta}\)야. 즉 복소켤레를 취하면 지수의 부호가 반전된다는 거야.

⚪ 메이: 그렇구나, \((e^{i\theta})^* = e^{-i\theta}\). 간단하네.

🟡 리나: 그래서 \(\phi_2^* = |\phi_2|e^{-i\theta_2}\)야. 그러면

\[\phi_1 \phi_2^* = |\phi_1|e^{i\theta_1} \cdot |\phi_2|e^{-i\theta_2} = |\phi_1||\phi_2| e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = |\phi_1||\phi_2| e^{i\delta}\]

여기서 \(\delta = \theta_1 - \theta_2\)는 두 진폭의 위상차야. 마찬가지로 \(\phi_1^* \phi_2 = |\phi_1||\phi_2| e^{-i\delta}\). Euler의 공식을 사용하여 전개해 보자. \(e^{i\delta} = \cos\delta + i\sin\delta\), \(e^{-i\delta} = \cos\delta - i\sin\delta\). 이 둘을 더하면, 허수부가 상쇄되어 \(e^{i\delta} + e^{-i\delta} = 2\cos\delta\)가 되니까,

\[\phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2 = 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta \tag{4.13}\]

🔵 카이: 오오! \(\cos\delta\)다! \(\delta\)의 값에 따라 플러스도 마이너스도 되니까, 간섭항이 양도 음도 될 수 있는 거군요!

🟡 리나: 맞아. 정리하면

\[P = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + 2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta \tag{4.14}\]
  • \(\cos\delta = +1\)(위상차 \(\delta = 0\))일 때: \(P = (|\phi_1| + |\phi_2|)^2\) → 보강 간섭(밝은 줄무늬)
  • \(\cos\delta = -1\)(위상차 \(\delta = \pi\))일 때: \(P = (|\phi_1| - |\phi_2|)^2\) → 상쇄 간섭(어두운 줄무늬)
  • \(|\phi_1| = |\phi_2|\)이고 \(\delta = \pi\)이면 \(P = 0\) → 완전한 상쇄

⚪ 메이: 위상차 하나만으로, 확률이 0까지 될 수 있다니. 고전적으로는 절대 일어나지 않는 일이네.

그림 4.3「확률진폭의 덧셈(복소평면 위)」를 봐. 복소평면 위에서 진폭을 화살표(벡터)로 더할 때, 같은 방향(동위상)이면 길이가 더해지고, 반대 방향(역위상)이면 상쇄되는 것이 한눈에 보여.

확률진폭의 덧셈과 간섭

그림 4.3: 확률진폭의 덧셈(복소평면 위). 왼쪽: 동위상(\(\delta = 0\))인 경우, 진폭이 보강되어 \(|\phi_1 + \phi_2|^2 > |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\). 오른쪽: 역위상(\(\delta = \pi\))인 경우, 진폭이 상쇄되어 \(|\phi_1 + \phi_2|^2 < |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\). 위상차가 간섭의 정체.

🔵 카이: 이것이 간섭무늬의 정체구나……! 진폭이 복소수이니까 위상차가 생기고, 더했을 때 강화하거나 약화하거나 해. 확률을 직접 더했다면, 이렇게는 안 돼.

🟡 리나: 그래. 그리고 식 (4.14)의 제3항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)를 봐——이것이 바로 제 3 장에서 "고전적 예측 \(P_1 + P_2\)로부터의 어긋남"으로 관측되었던 간섭항에 대응하고 있어. 제1과 제2 규칙만으로, 그 실험 사실이 수식으로 재현된 거야.

⚪ 메이: 즉, 이전 장에서 실험적으로 보였던 "어긋남"의 정체가, 이 \(\cos\delta\) 항이었던 거네.

일반화: 다수의 경로

🟡 리나: 제2 규칙은 2개의 경로에 국한되지 않아. 구별할 수 없는 경로가 \(N\)개라면,

\[\langle x | s \rangle = \sum_{k=1}^{N} \langle x | s \rangle_{\text{경로 } k} \tag{4.15}\]

예를 들어 벽에 5개의 슬릿이 있으면, 5개의 진폭을 전부 더해. 벽이 여러 장 있고, 각 벽에 슬릿이 여러 개 뚫려 있으면, 가능한 모든 경로의 진폭을 더해야 해.

🔵 카이: 경로가 무한히 많으면 어떻게 하나요?

🟡 리나: 날카로운 질문이네. 실은 Feynman(파인만)은 바로 그 방향으로 나아가서, "가능한 모든 경로의 진폭을 더한다"는 경로적분의 정식화에 도달했어. 그건 나중 이야기이지만, 제2 규칙의 자연스러운 연장선상에 있다는 것은 기억해 둬.

✅ 이해도 체크: 간섭항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)에서, \(\delta = \pi/2\)일 때 간섭항의 값은 얼마인가. 이것은 물리적으로 어떤 상황을 의미하는가.

답

\(\cos(\pi/2) = 0\)이므로 간섭항은 0이 된다. 이때 확률은 \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)가 되어 고전적인 확률의 덧셈과 같은 결과가 된다. 보강도 상쇄도 일어나지 않는 중간적인 상황이다.

✅ 이해도 체크: 2개의 진폭 \(\phi_1 = 1\), \(\phi_2 = e^{i\pi} = -1\)을 더했을 때, 확률 \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)는 얼마인가. 또한, 고전적으로 확률을 더한 경우 \(P_{\text{cl}} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)는 얼마인가.

답

\(\phi_1 + \phi_2 = 1 + (-1) = 0\)이므로 \(P = |0|^2 = 0\)(완전한 상쇄). 한편, \(P_{\text{cl}} = |1|^2 + |-1|^2 = 1 + 1 = 2\). 양자역학에서는 확률이 0이 될 수 있지만, 고전적인 덧셈에서는 결코 0이 되지 않는다. (주: \(P_{\text{cl}} = 2 > 1\)은 규격화 전의 값이므로 문제없다. 이 예에서 중요한 것은 "양자역학에서는 \(P = 0\)이 될 수 있다"는 정성적 차이이다.)

📝 연습문제:

4.4　과정의 곱셈 — 제3 규칙

🟡 리나: 3번째 규칙으로 넘어갈게.

제3 규칙(진폭의 곱법 법칙)

입자가 어떤 경로를 지날 때, 그 경로 전체의 진폭은 경로를 구성하는 각 단계 진폭의 곱이다.

🔵 카이: 덧셈이 아니라 곱셈? 어떤 때 곱하는 건가요?

🟡 리나: "더하는" 것은 병렬적 선택지(어느 경로를 지나는가), "곱하는" 것은 직렬적 단계(하나의 경로 안에서 순서대로 일어나는 것)야. 왜 곱셈이냐면, 고전확률에서도 "A가 일어나고, 게다가 B도 일어나는" 확률은 \(P(A) \times P(B)\)로 곱셈하잖아(독립적인 사건의 경우). 진폭에서도 같은 발상——"제1 단계가 일어나고, 이어서 제2 단계가 일어나는" 하나의 경로의 진폭은, 각 단계의 진폭의 곱이 돼.

예를 들어 "서울에서 부산으로 간다"는 경로가 "서울→대전"과 "대전→부산"의 2단계로 구성되어 있을 때, 경로 전체의 진폭은 각 단계 진폭의 곱이 돼. 이중 슬릿 실험으로 말하면, "슬릿 1을 지나는 경로"의 진폭은,

\[\langle x | s \rangle_{\text{슬릿 1 경유}} = \langle x | 1 \rangle \cdot \langle 1 | s \rangle \tag{4.16}\]

오른쪽부터 읽어서, "\(s\)에서 슬릿 1에 도달하는 진폭 \(\langle 1 | s \rangle\)"과 "슬릿 1에서 \(x\)에 도달하는 진폭 \(\langle x | 1 \rangle\)"의 곱이야.

⚪ 메이: 고전확률의 곱셈과 같은 구조네. 하지만……

🔵 카이: 하지만 진폭은 복소수잖아요? 복소수를 곱한다는 건, 실수의 확률을 곱하는 것과 무슨 차이가 생기나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 결정적인 차이가 있어. 확률의 곱셈은 "양의 실수 × 양의 실수 = 양의 실수"이니까 위상과는 관계없어. 진폭의 곱셈은 "복소수 × 복소수 = 복소수"로, 위상이 더해져. 식 (4.8)에서 본 대로, 편각은 가산되잖아? 이 위상의 축적이, 나중에 진폭을 더할 때의 간섭 패턴을 결정해.

🔵 카이: 그렇구나. 곱셈으로 위상이 쌓이고, 덧셈할 때 그 위상차로 간섭이 일어나는 거군요. 곱셈과 덧셈이 세트로 작동하는 거네요.

✅ 이해도 체크: 고전확률의 곱셈과 양자역학의 진폭의 곱셈의 결정적 차이는 무엇인가.

답

고전확률의 곱셈은 양의 실수끼리의 곱이므로 위상의 개념이 없지만, 양자역학의 진폭의 곱셈은 복소수끼리의 곱이므로 위상(편각)이 가산된다. 이 위상의 축적이, 나중에 진폭을 더할 때의 간섭 패턴을 결정한다.

3가지 규칙의 요약

🟡 리나: 여기서 3가지 규칙을 정리해 둘게.

표 4.1: 양자역학의 3가지 기본 규칙

규칙 내용 수식
제1 규칙 확률 = 진폭의 절댓값의 제곱 $P =
제2 규칙 구별할 수 없는 경로 → 진폭을 더한다 \(\phi = \phi_1 + \phi_2 + \cdots\)
제3 규칙 연속된 과정 → 진폭을 곱한다 \(\phi = \phi_A \cdot \phi_B \cdot \cdots\)

🔵 카이: 겨우 3개? 이것으로 양자역학 전부를?

🟡 리나: "전부"라고 하긴 좀 그렇지만, 놀라울 정도로 많은 현상이 이 3가지 규칙에서 도출돼. 그림 4.4「3가지 규칙의 구조. 왼쪽: 제2 규칙」을 봐. 제2 규칙(덧셈)은 병렬적 선택지에, 제3 규칙(곱셈)은 직렬적 단계에 대응하고 있어.

3가지 규칙의 구조도

그림 4.4: 3가지 규칙의 구조. 왼쪽: 제2 규칙——시작 상태 \(s\)에서 끝 상태 \(x\)에 이르는 구별할 수 없는 병렬 경로의 진폭을 더한다(\(\phi = \phi_1 + \phi_2\)). 오른쪽: 제3 규칙——하나의 경로를 구성하는 연속된 직렬 단계의 진폭을 곱한다(\(\phi = \phi_A \cdot \phi_B \cdot \phi_C\)).

🟡 리나: Feynman은 이 3가지 규칙을 양자역학의 출발점으로 제시했어. 물론, 구체적인 문제를 풀려면 "각 단계의 진폭이 어떤 값을 갖는지"를 별도로 알아야 해. 하지만 규칙의 구조는 이 3가지로 완결돼. 고전역학으로 말하면, Newton의 운동방정식 \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\)가 "구조"를 주고, 구체적인 힘 \(\mathbf{F}\)의 형태는 문제마다 다르잖아? 그것과 비슷한 관계야.

⚪ 메이: 즉, 3가지 규칙이 "어떻게 계산하는가"의 틀을 정하고, 구체적인 진폭의 값은 계별로 별도 주어진다는 거네.

✅ 이해도 체크: 제2 규칙(덧셈)과 제3 규칙(곱셈)은 각각 어떤 상황에서 사용하는가.

답

제2 규칙(덧셈): 입자가 같은 시작 상태에서 같은 끝 상태에 이르는 여러 구별할 수 없는 경로가 있는 경우, 각 경로의 진폭을 더한다. 제3 규칙(곱셈): 하나의 경로가 여러 연속된 단계로 구성된 경우, 각 단계의 진폭을 곱한다.

📝 연습문제:

4.5　이중 슬릿을 진폭으로 재기술 — 3가지 규칙의 통합

🟡 리나: 자, 3가지 규칙을 전부 사용하여, 제 3 장의 이중 슬릿 실험을 진폭으로 정량적으로 기술해 보자. 이것이 오늘의 클라이맥스야.

설정 확인

🟡 리나: 실험 배치를 확인할게(제 3 장의 그림을 떠올려 봐).

  • 전자원 \(s\)
  • 벽에 슬릿 1과 슬릿 2가 있다
  • 벽 너머의 위치 \(x\)에 검출기

어느 슬릿을 통과했는지는 관측하지 않는다.

🟡 리나: 그림 4.5「이중 슬릿 실험에서의 진폭 구조」에 실험 배치와 각 진폭의 라벨을 정리해 두었어. 이 그림을 보면서, 3가지 규칙을 순서대로 적용해 나갈게.

이중 슬릿의 진폭 구조

그림 4.5: 이중 슬릿 실험에서의 진폭 구조. 전자원 \(s\)에서 슬릿 1, 2를 경유하여 검출기 \(x\)에 이르는 2개의 경로. 제3 규칙에 의해 각 경로의 진폭은 단계별 곱(예: \(\phi_1 = \langle x|1\rangle\langle 1|s\rangle\)), 제2 규칙에 의해 전체 진폭은 \(\phi_1 + \phi_2\), 제1 규칙에 의해 확률은 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\).

단계 1: 제3 규칙으로 각 경로의 진폭을 쓴다

🟡 리나: 먼저, 각 경로의 진폭을 제3 규칙(곱셈)으로 써 보자.

슬릿 1을 경유하는 경로의 진폭:

\[\phi_1 = \langle x | 1 \rangle \cdot \langle 1 | s \rangle \tag{4.17}\]

슬릿 2를 경유하는 경로의 진폭:

\[\phi_2 = \langle x | 2 \rangle \cdot \langle 2 | s \rangle \tag{4.18}\]

🔵 카이: 오른쪽부터 읽어서, "\(s\)에서 슬릿으로" × "슬릿에서 \(x\)로"이네요.

단계 2: 제2 규칙으로 전체 진폭을 구한다

🟡 리나: 어느 슬릿을 통과했는지 관측하지 않으니까, 2개의 경로는 구별할 수 없어. 제2 규칙(덧셈)으로

\[\langle x | s \rangle = \phi_1 + \phi_2 = \langle x | 1 \rangle \langle 1 | s \rangle + \langle x | 2 \rangle \langle 2 | s \rangle \tag{4.19}\]

단계 3: 제1 규칙으로 확률을 구한다

🟡 리나: 마지막으로, 제1 규칙(확률 = |진폭|²)으로

\[P(x) = |\phi_1 + \phi_2|^2 = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1\phi_2^* + \phi_1^*\phi_2 \tag{4.20}\]

이것은 식 (4.12)와 같은 형태지. 마지막 2개 항은 식 (4.13)으로부터 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)와 같아(\(\delta\)는 \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)의 위상차이고, 구체적으로 무엇에 의해 결정되는지는 바로 뒤에서 볼게). 참고로, 임의의 복소수 \(w\)에 대해 \(w + w^* = 2\,\mathrm{Re}(w)\)(실수부의 2배)가 성립하니까, 간섭항을 \(2\,\mathrm{Re}(\phi_1 \phi_2^*)\)로 쓸 수도 있어.

⚪ 메이: 3가지 규칙을 순서대로 적용했을 뿐인데, 아까 유도한 간섭항이 그대로 나왔네.

위상차의 물리적 기원

🔵 카이: 그런데, \(\delta\)는 구체적으로 어떻게 결정되나요?

🟡 리나: 좋은 질문. 제 2 장에서 배운 de Broglie의 관계식을 떠올려 봐. 운동량 \(p\)인 입자에는 파장 \(\lambda = h/p\)가 대응한다고 했지.

🔵 카이: 파장은 기억해요. 그런데 "위상이 진행한다"는 것이 구체적으로 어떤 뜻이에요?

🟡 리나: 좋은 질문. 먼저 "위상"을 직관적으로 설명할게. 파동을 \(\cos\theta\)로 나타낼 때, \(\theta\)의 값이 위상이야. \(\theta = 0\)이 마루, \(\theta = \pi\)가 골, \(\theta = 2\pi\)에서 다시 마루로 돌아와. 즉 위상은 "파동의 주기 중 어느 단계에 있는가"를 나타내는 각도야. 복소수로 말하면, \(e^{i\theta}\)의 편각 \(\theta\)가 바로 이 위상에 대응해.

🔵 카이: 아하, 위상이 \(0 \to \pi \to 2\pi\)로 변하면서, 마루→골→마루로 한 바퀴 도는 거군요.

🟡 리나: 그래. 좀 더 구체적으로 쓰면, 고등학교에서 배운 파동의 식을 떠올려 봐——파장 \(\lambda\)인 파동이 전파하는 방향을 따라, 출발점에서의 거리를 \(r\)이라 하면, 파동의 값은 \(\cos\bigl(\frac{2\pi}{\lambda}r\bigr)\)로 표현되지. \(\frac{2\pi}{\lambda}r\) 부분이 위상이야. \(r = 0\)에서 위상 \(0\)(마루), \(r = \lambda/2\)에서 위상 \(\pi\)(골), \(r = \lambda\)에서 위상 \(2\pi\)(다시 마루). 즉 파장 \(\lambda\)는 "파동이 한 주기분(마루→골→마루) 반복하는 거리"이고, 거리 \(\lambda\)만큼 진행하면 위상은 정확히 \(2\pi\)(한 바퀴분) 진행해.

🔵 카이: 아하, 파장 1개분으로 \(2\pi\) 진행하는 거군요. 그러면 파장 3개분이면 \(6\pi\)?

🟡 리나: 맞아. 이것을 일반화할게. 입자가 거리 \(r\)만큼 이동할 때, 그 안에 파동이 \(r/\lambda\) 주기분 들어가 있어. 따라서 위상은 \(2\pi \times (r/\lambda) = 2\pi r/\lambda\)만큼 진행해. \(r = 3\lambda\)이면 \(6\pi\)——마루→골→마루를 3번 반복한 만큼이지. 여기서는 \(\cos\)로 위상의 감각을 잡았지만, 양자역학의 진폭은 복소수이니까, 실제로는 \(e^{i\theta}\)의 편각 \(\theta\)로서 위상을 다뤄. 즉, 입자가 거리 \(r\)을 이동하면, 진폭의 편각(= 위상)이 \(2\pi r/\lambda\)만큼 회전해——아까 배운 극형식으로 말하면, 진폭에 절댓값 1·편각 \(2\pi r/\lambda\)인 복소수가 곱해진다는 거야. "입자가 거리 \(r\)을 이동하면 위상이 \(2\pi r/\lambda\) 진행한다"는 결론은 어느 쪽 표기법이든 같아.

⚪ 메이: 즉, \(\cos\)로 직관을 잡은 내용이, 그대로 \(e^{i\theta}\)의 편각 이야기로 읽어 바꿔지는 거네.

🔵 카이: 위상이 진행한다는 것은 알겠는데, 그것이 진폭에 어떤 영향을 주는 거예요?

🟡 리나: 아까 배운 극형식을 떠올려. 진폭은 \(|\phi|e^{i\theta}\)로 쓸 수 있고, \(\theta\)가 위상이었지. 입자가 거리 \(r\)을 이동하면 위상이 \(2\pi r/\lambda\)만큼 증가하니까, 진폭의 편각도 그만큼 회전해. 식으로 쓰면, 출발점에서의 진폭 \(|\phi|e^{i\theta_0}\)에 위상인자 \(e^{i \cdot 2\pi r/\lambda}\)가 곱해져서

\[|\phi|e^{i\theta_0} \times e^{i \cdot 2\pi r/\lambda} = |\phi|e^{i(\theta_0 + 2\pi r/\lambda)}\]

가 돼. 식 (4.8)의 "곱셈하면 편각이 덧셈이 된다"는 성질 그 자체지. 절댓값(크기)은 변하지 않고, 위상(방향)만 변해.

🔵 카이: 오오, 크기는 변하지 않고 화살표의 방향만 돈다. 바로 "회전"이네요.

🟡 리나: 이것을 de Broglie의 관계 \(\lambda = h/p\)로 다시 써 보자.

\[\frac{2\pi r}{\lambda} = \frac{2\pi r}{h/p} = \frac{2\pi p}{h} \cdot r\]

🟡 리나: 이 식을 정리해 보자. \(\frac{2\pi p}{h} \cdot r\)이라는 형태를 보면, \(\frac{2\pi}{h}\)라는 조합이 공통인자로서 \(p\)나 \(r\)에 곱해져 있지. 실은 위상을 각도(라디안)로 나타내는 장면에서는 \(2\pi\)와 \(h\)가 항상 세트로 나와. 제 1 장에서 Bohr의 양자조건을 쓸 때 \(\hbar = h/(2\pi)\)라는 기호를 도입한 것을 기억해? 그때는 각운동량의 양자화에 사용했지만, 여기서도 같은 기호가 자연스럽게 나타나는 거야. 다시 확인하면

\[\hbar \equiv \frac{h}{2\pi} \approx 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J{\cdot}s}\]

로 "에이치바"라고 읽어.

🔵 카이: 아하, 각운동량의 양자화에 나왔던 \(\hbar\)가 위상 계산에도 나오는 거군요. 그런데 이것으로 식이 어떻게 변하나요?

🟡 리나: 이 정의를 변형해 보자. \(\hbar = h/(2\pi)\)의 양변에 \(2\pi\)를 곱하면 \(2\pi\hbar = h\), 즉 \(h = 2\pi\hbar\)이지. 그러니까 \(2\pi p/h\)의 \(h\)를 \(2\pi\hbar\)로 치환하면

\[\frac{2\pi p}{h} = \frac{2\pi p}{2\pi\hbar} = \frac{p}{\hbar}\]

\(2\pi\)가 약분되어 깔끔해지지? 이것을 사용하면, 아까의 위상 식이

\[\frac{2\pi p}{h} \cdot r = \frac{p}{\hbar} \cdot r = \frac{pr}{\hbar}\]

로 깔끔하게 써져. 즉 위상은 "운동량 × 거리"를 \(\hbar\)로 나눈 형태——\(pr/\hbar\)——가 되는 거야.

⚪ 메이: 위상이 \(pr/\hbar\)——운동량과 거리의 곱을 \(\hbar\)로 나눈 것뿐이네. 간단한 형태로 정리되는구나.

🟡 리나: 그래서, 자유입자가 거리 \(r\)만큼 이동할 때, 위상은 \(pr/\hbar\)만큼 진행해. 아까 배운 Euler의 표기법을 사용하면, "위상이 \(\theta\)만큼 진행한다"는 것은 "진폭에 \(e^{i\theta}\)를 곱한다"에 대응한다고 했지. 따라서, 진폭에는

\[e^{ipr/\hbar} \tag{4.21}\]

라는 위상인자가 붙어. \(\hbar\)는 "\(h\)를 \(2\pi\)로 나눈 것뿐"이지만, 위상을 각도(라디안)로 나타낼 때 \(2\pi\)가 흡수되어 식이 깔끔해지니까, 양자역학에서는 \(h\)보다 \(\hbar\)를 사용하는 경우가 많아.

🔵 카이: 아까 도입한 \(e^{i\theta}\) 표기법이 여기서 사용되는 거군요. 즉 거리 \(r\)을 이동하면, 진폭의 크기는 변하지 않고 위상만 \(pr/\hbar\)만큼 회전한다는 건가요?

🟡 리나: 맞아. \(e^{ipr/\hbar}\)는 절댓값 1이고 편각이 \(pr/\hbar\)인 복소수이니까, 진폭에 곱해도 크기는 바꾸지 않고 위상만 돌려. "거리 \(r\)을 이동하면 위상이 \(pr/\hbar\)만큼 돈다"——이것이 자유입자의 진폭의 기본적인 거동이야. 그림 4.6「자유입자의 위상 축적」을 봐.

위상 축적과 경로차

그림 4.6: 자유입자의 위상 축적. 왼쪽: 입자가 거리 \(r\)을 이동할 때, 진폭의 위상이 \(pr/\hbar\)만큼 회전한다(화살표의 방향이 위상을 나타냄). 1파장 \(\lambda = h/p\) 진행하면 위상은 \(2\pi\) 회전. 오른쪽: 이중 슬릿에서 2개 경로의 길이가 다르면 위상차 \(\delta = p\Delta r/\hbar\)가 생기고, 이것이 간섭 패턴을 결정한다.

🟡 리나: 슬릿 1에서 검출기 \(x\)까지의 거리를 \(r_1\), 슬릿 2에서 \(x\)까지의 거리를 \(r_2\)라 하자. 여기서 이야기를 간단히 하기 위해, 전자원이 2개 슬릿의 중앙 정면에 있는 대칭 배치를 생각하자. 제3 규칙으로 각 경로의 진폭을 곱했을 때, 식 (4.8)에서 본 것처럼 위상은 덧셈이 되니까, 경로 \(k\)의 전체 위상은 "원→슬릿 \(k\)의 위상" + "슬릿 \(k\) → \(x\)의 위상"이야. 식으로 쓰면, 원에서 슬릿 \(k\)까지의 거리를 \(d_k\), 슬릿 \(k\)에서 검출기까지의 거리를 \(r_k\)라 하면, 경로 \(k\)의 전체 위상은 \(pd_k/\hbar + pr_k/\hbar\)가 돼. 두 경로의 위상차는

\[\delta = \frac{p(d_1 + r_1)}{\hbar} - \frac{p(d_2 + r_2)}{\hbar} = \frac{p(d_1 - d_2)}{\hbar} + \frac{p(r_1 - r_2)}{\hbar}\]

대칭 배치에서는 \(d_1 = d_2\)이니까 제1항이 사라지고, 위상차는 슬릿에서 검출기까지의 부분만으로 결정돼.

🔵 카이: 만약 전자원이 중앙에서 벗어나 있으면, 결론이 달라지나요?

🟡 리나: 결론은 달라지지 않아. 비대칭 배치이면 "원→슬릿 1"과 "원→슬릿 2"의 거리가 다르니까, 그만큼의 위상차가 추가로 더해져. 하지만 그것은 검출기 위치 \(x\)에 의존하지 않는 상수이니까, 간섭무늬 패턴 전체가 옆으로 밀릴 뿐이고, 무늬의 간격이나 "간섭이 일어난다"는 사실은 같아. 지금은 간섭의 메커니즘을 보고 싶으니까, 추가 상수를 생략할 수 있는 대칭 배치로 논의할게.

경로차를 \(\Delta r = r_1 - r_2\)로 쓸게. 아까 배운 것처럼, 자유입자가 거리 \(r\)을 이동하면 위상이 \(pr/\hbar\)만큼 진행한다고 했지. 그러니까 슬릿 \(k\)에서 검출기 \(x\)까지의 위상은 \(\theta_k = pr_k/\hbar\). 위상차 \(\delta = \theta_1 - \theta_2\)는

\[\delta = \frac{p}{\hbar}(r_1 - r_2) = \frac{p}{\hbar}\Delta r \tag{4.22}\]

⚪ 메이: 경로차 \(\Delta r = r_1 - r_2\)에 비례하여 위상차가 생기는 거네.

🟡 리나: 그래. 그리고 검출기의 위치 \(x\)를 움직이면 \(\Delta r\)이 변하니까, \(\cos\delta\)가 진동하여 명암의 패턴이 생겨——이것이 간섭무늬야.

🔵 카이: 검출기 위치를 옆으로 밀기만 해도 \(\cos\)가 진동하는 거……그것이 명암 패턴이 되는 거군요!

🟡 리나: 이 식을 좀 더 변형해 보자. 먼저 \(\hbar = h/(2\pi)\)의 정의로부터 \(p/\hbar = 2\pi p/h\)로 다시 쓸 수 있어. 다음으로 제 2 장에서 배운 de Broglie의 관계식 \(\lambda = h/p\)를 떠올려. 이것을 \(p\)에 대해 풀면 \(p = h/\lambda\)야. 이것을 대입하면

\[\delta = \frac{p}{\hbar}\Delta r = \frac{2\pi p}{h}\Delta r = \frac{2\pi}{h} \cdot \frac{h}{\lambda} \cdot \Delta r = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta r \tag{4.23}\]

중간 단계에서는 \(p\)를 \(h/\lambda\)로 치환했어. \(h\)가 약분되어, 최종적으로 파장 \(\lambda\)와 경로차 \(\Delta r\)만으로 위상차가 표현됐어.

이렇게 위상차가 파장 \(\lambda\)와 경로차 \(\Delta r\)만으로 표현됐어.

\(\Delta r\)이 파장 \(\lambda\)의 정수배(\(\Delta r = \lambda, 2\lambda, 3\lambda, \ldots\))일 때 \(\cos\delta = 1\)로 보강 간섭, 반정수배(\(\Delta r = \lambda/2, 3\lambda/2, 5\lambda/2, \ldots\))일 때 \(\cos\delta = -1\)로 상쇄 간섭. 이것은 제 3 장에서 실험적으로 본 간섭무늬 패턴과 완전히 일치해.

🔵 카이: 대단하다……. 3가지 규칙과 de Broglie의 관계식만으로, 이중 슬릿의 간섭무늬가 정량적으로 나오는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 그리고 이 유도의 어디에도 "전자는 파동이다"라고는 말하지 않았어. 말한 것은 "확률진폭은 복소수이고, 구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한다"는 규칙뿐이야. 간섭은 복소수 덧셈의 귀결로서 자연스럽게 나타나는 거야.

✅ 이해도 체크: 이중 슬릿 실험의 간섭을 설명하는 데 "전자는 파동이다"라는 가정이 필요한가. 3가지 규칙의 틀에서 간섭은 어떻게 설명되는가.

답

"전자는 파동이다"라는 가정은 필요 없다. 3가지 규칙의 틀에서, 간섭은 "확률진폭이 복소수이며, 구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한다"는 규칙의 수학적 귀결로서 자연스럽게 나타난다. 위상차에 의한 보강·상쇄가 간섭무늬를 만든다.

✅ 이해도 체크: 이중 슬릿 실험에서, 2개 경로차 \(\Delta r\)이 정확히 de Broglie 파장 \(\lambda\)와 같을 때, 위상차 \(\delta\)와 간섭의 종류(보강/상쇄)를 답하세요.

답

\(\delta = 2\pi\Delta r / \lambda = 2\pi\). \(\cos(2\pi) = 1\)이므로 보강 간섭(밝은 줄무늬).

📝 연습문제:

4.6　보다 복잡한 경우로의 확장

🟡 리나: 3가지 규칙의 위력을 실감하기 위해, 좀 더 복잡한 경우를 생각해 보자. 벽이 2장 있고, 1번째에는 슬릿 1과 슬릿 2, 2번째에는 슬릿 \(a\), \(b\), \(c\) 3개가 뚫려 있는 경우야.

🔵 카이: 경로가 한꺼번에 늘어나네요. \(s \to 1 \to a \to x\), \(s \to 1 \to b \to x\), ……전부 몇 가지?

⚪ 메이: 1번째가 2가지, 2번째가 3가지니까, \(2 \times 3 = 6\)가지네.

🟡 리나: 그림 4.7「2장 벽·복수 슬릿의 경우」에 전체 경로를 도시했어. 색이 다른 6개의 선이 가능한 모든 경로를 나타내고 있어.

2장 벽의 경우의 전체 경로

그림 4.7: 2장 벽·복수 슬릿의 경우. 벽 1에 2개, 벽 2에 3개의 슬릿이 있을 때, \(s\)에서 \(x\)에 이르는 경로는 \(2 \times 3 = 6\)개. 각 경로의 진폭은 3단계의 곱(제3 규칙), 전체 경로의 진폭을 더한다(제2 규칙).

🟡 리나: 각 경로의 진폭을 제3 규칙(곱셈)으로 쓰고, 전체 경로를 제2 규칙(덧셈)으로 더해.

\[\langle x | s \rangle = \sum_{i=1,2}\,\sum_{j=a,b,c} \langle x | j \rangle \langle j | i \rangle \langle i | s \rangle \tag{4.24}\]

🔵 카이: 3개 진폭의 곱이 6개 있고, 그것을 전부 더하는 거네요. 구조는 아까와 같아요.

🟡 리나: 그래. 벽이 몇 장이든, 슬릿이 몇 개이든, 규칙은 같아. "각 단계를 곱하고, 전체 경로를 더한다". 그리고 마지막에 절댓값의 제곱을 취해서 확률을 얻어.

⚪ 메이: 벽의 수나 슬릿의 수가 늘어나도, 3가지 규칙의 적용 방법은 변하지 않는 거네.

🟡 리나: 여기서 하나 중요한 것을 보충해 둘게. 식 (4.24)를 잘 보면, 1번째 슬릿의 정보는 \(\langle j | i \rangle\)와 \(\langle i | s \rangle\)에만 들어가 있어. 2번째 슬릿 이후의 진폭 \(\langle x | j \rangle\)는, 입자가 1번째의 어느 슬릿을 통과했는지에 의존하지 않아.

🔵 카이: 즉, 1번째를 통과한 후의 "상태"가 결정되면, 그 이전의 세부사항은 잊어도 된다는 건가요?

🟡 리나: 바로 그거야. Feynman은 이렇게 말했어——"미래의 모든 것을 예측하는 데 필요한 것은, 각 슬릿에서의 진폭뿐이다". 입자가 슬릿에 도달하기 전에 어디서 왔는지의 세부사항은, 진폭 안에 모두 접혀 들어가 있어. 이것은 양자역학의 "상태"라는 개념의 싹이고, 제 5 장 이후에서 본격적으로 다룰 거야.

✅ 이해도 체크: 식 (4.24)의 구조에서, 2번째 슬릿에서 검출기로의 진폭 \(\langle x | j \rangle\)는, 입자가 1번째의 어느 슬릿을 통과했는지에 의존하는가. 이것은 어떤 물리적 의미를 갖는가.

답

의존하지 않는다. 2번째 슬릿 \(j\)에서 검출기 \(x\)로의 진폭은, 입자가 1번째의 어느 슬릿을 통과하여 \(j\)에 도달했는지와는 관계없다. 이것은 "어떤 지점에서의 진폭만 알면, 그 이전의 경로의 세부사항을 몰라도 미래를 예측할 수 있다"는 것을 의미하며, 양자역학에서의 "상태" 개념의 싹이다.

✅ 이해도 체크: 벽이 3장 있고, 각 벽에 슬릿이 \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\)개 뚫려 있는 경우, 전체 경로의 수는 얼마인가. 또한, 각 경로의 진폭은 몇 개의 인자의 곱이 되는가.

답

전체 경로의 수는 \(n_1 \times n_2 \times n_3\). 각 경로의 진폭은 4개 인자의 곱(원 → 벽 1, 벽 1 → 벽 2, 벽 2 → 벽 3, 벽 3 → 검출기).

📝 연습문제:

4.7　"구별할 수 있다"와 "구별할 수 없다"의 경계

🟡 리나: 자, 여기까지 3가지 규칙과 그 사용법을 보았어. 마지막으로, 양자역학에서 가장 미묘하고 가장 중요한 포인트를 논의할게. 그것은 "구별할 수 있다"와 "구별할 수 없다"의 경계야.

🔵 카이: 제 3 장에서, "어느 슬릿을 통과했는지 관측하면 간섭무늬가 사라진다"는 이야기가 있었잖아요. 그것과 관련이 있나요?

🟡 리나: 바로 그거야. 3가지 규칙에는 사실 암묵적인 전제가 있어.

진폭을 더하는 것은, 끝 상태가 구별할 수 없는 경우뿐이다.

끝 상태가 원리적으로 구별할 수 있는 경우는, 확률을 더한다.

관측에 의한 간섭의 소멸

🟡 리나: 구체적으로 보자. 이중 슬릿의 각 슬릿 바로 뒤에 광원을 놓아서, 전자가 어느 쪽을 통과했는지 검출하는 실험을 생각해 봐. 구조는 이래——벽 바로 뒷면에서, 2개 슬릿의 정확히 중간 위치에 광원을 1개 놓아. 그리고 슬릿 1 바로 옆에 광자검출기 \(D_1\), 슬릿 2 바로 옆에 광자검출기 \(D_2\)를 배치해. 즉, 왼쪽부터 순서대로 "\(D_1\) — 슬릿 1 — 광원 — 슬릿 2 — \(D_2\)"로 나란히 있는 이미지야. 광원에서 나온 광자가 전자에 부딪히면 산란되는데, 전자가 슬릿 1 근처에 있으면 광자는 슬릿 1 방향으로 튕겨져서 \(D_1\)에 들어가고, 슬릿 2 근처에 있으면 \(D_2\)에 들어가——즉, 어느 검출기가 빛났는지로 전자의 위치를 알 수 있어. 이것은 제 3 장에서 논의한 "경로 정보의 취득"을 구체적인 장치로 실현한 것이야.

🔵 카이: 아하, 광자를 쏘아서 "어느 쪽에 있는지"를 조사하는 거군요. 그런데 그러면 간섭이 사라지는데……

🟡 리나: 이때, "전자가 \(x\)에 도달하고, 동시에 광자가 \(D_1\)에서 검출된다"는 진폭과, "전자가 \(x\)에 도달하고, 동시에 광자가 \(D_2\)에서 검출된다"는 진폭은, 서로 다른 끝 상태에 대응해.

⚪ 메이: "전자가 \(x\)에 있다"뿐만 아니라, "광자가 어디에 있는가"도 끝 상태의 일부라는 거네.

🟡 리나: 그래. 광자가 \(D_1\)에 있는 끝 상태와 \(D_2\)에 있는 끝 상태는 원리적으로 구별할 수 있어. 그러니까 진폭을 더해서는 안 돼. 확률을 더하는 거야.

🟡 리나: 광자가 \(D_1\)에서 검출되는 경우를 생각해 보자. 여기서 제3 규칙의 적용 범위를 조금 넓혀야 해.

제3 규칙은 "하나의 경로를 구성하는 각 단계의 진폭을 곱한다"고 말했지. 아까는 하나의 입자가 "\(s\) → 슬릿 → \(x\)"로 이동하는 각 단계를 곱했지만, 사실 이 규칙은 더 넓어. 하나의 시나리오를 구성하는 모든 사건——설령 여러 입자가 관여하더라도——의 진폭을 곱하는 거야.

🔵 카이: 여러 입자가 관여하는 경우에도 곱셈? 왜 그렇게 되는 거예요?

🟡 리나: 생각하는 방식은 이래——고전확률에서도 "주사위에서 1이 나오고, 동시에 동전에서 앞면이 나오는" 확률은 각 확률의 곱 \(1/6 \times 1/2\)이었잖아. 독립적인 사건이 "동시에 일어나는" 확률은 곱셈이야. 양자역학에서도 제3 규칙은 바로 이 구조의 진폭 버전이야. "전자가 슬릿 1을 통과하여 \(x\)에 도달한다"와 "광자가 슬릿 1 근처에서 산란되어 \(D_1\)에 간다"가 동시에 일어나는 것——이것은 하나의 시나리오를 구성하는 여러 단계이니까, 제3 규칙(연속된 과정의 진폭은 곱한다)을 그대로 적용하여, 각 부분의 진폭의 곱이 돼. 다만 복소수이니까 위상도 곱해진다——거기만 고전과의 차이야.

🔵 카이: 즉, "전자가 이렇게 움직인다"와 "광자가 이렇게 움직인다"가 하나의 세트가 되어 있고, 세트 전체의 진폭은 각 부분의 곱이라는 거죠? 확률의 곱셈과 같은 구조인데, 복소수이니까 위상도 곱해진다.

🟡 리나: 맞아. 광원에서 나온 광자도 양자이니까, 그 거동도 진폭으로 기술돼. 전자가 슬릿 1을 통과했을 때, 광원에서 나온 광자가 슬릿 1 근처에서 산란되어 검출기 \(D_1\)에 도달하는 진폭을 \(a\)라 하자. 전자가 슬릿 1을 통과하여 \(x\)에 도달하는 진폭은 \(\phi_1\). 이 시나리오 전체의 진폭은 제3 규칙에 의해 \(a \cdot \phi_1 = a\phi_1\)이 돼.

⚪ 메이: 그렇구나, 아까 리나 선생님이 말했던 "고전확률의 곱셈과 같은 구조이되, 다만 복소수이니까 위상도 곱해진다"는 것이, 여기서도 같은 식으로 사용되고 있네.

🔵 카이: 잠깐만요. 광자가 전자에 맞으면, 전자의 운동도 바뀌지 않나요? \(\phi_1\)을 그대로 써도 되는 건가요?

🟡 리나: 좋은 지적이야. 엄밀하게는 광자와의 상호작용으로 전자의 운동량이 약간 변해. 하지만 지금은 논의의 본질——"구별할 수 있으면 간섭이 사라진다"——을 보고 싶으니까, 광자의 영향이 작은(전자의 진폭 \(\phi_1\)이 거의 변하지 않는) 경우를 생각하고 있어. 광자의 에너지가 전자의 운동에너지에 비해 충분히 작으면, 이 근사는 좋아. 참고로 제 2 장에서 배운 것처럼 광자의 에너지는 \(E = hf\)이니까, 파장이 긴 빛일수록 에너지가 작고, 전자에 대한 영향도 작아. 이 점은 뒤의 논의에도 이어져.

🟡 리나: 마찬가지로, 전자가 슬릿 2를 통과했는데 광자가 \(D_1\)에 산란되는 진폭을 \(b\)라 하자. 기호가 많아졌으니, 여기서 정리해 두자.

전자의 경로 광자가 \(D_1\)에 가는 진폭 광자가 \(D_2\)에 가는 진폭
슬릿 1 \(a\)(가까운 쪽) \(b'\)(먼 쪽)
슬릿 2 \(b\)(먼 쪽) \(a'\)(가까운 쪽)

\(a\)와 \(a'\)는 "전자가 통과한 슬릿에 가까운 쪽 검출기에 광자가 가는" 진폭, \(b\)와 \(b'\)는 "먼 쪽 검출기에 가는" 진폭이야. 배치가 대칭이면 \(a = a'\), \(b = b'\)가 돼.

🔵 카이: 아하, \(a\)가 "올바른 검출기에 가는" 진폭이고, \(b\)가 "잘못된 검출기에 가는" 진폭이군요.

🟡 리나: 그래. 이 기호를 사용하여, 끝 상태별로 진폭을 조립하자.

🟡 리나: 먼저 끝 상태 "전자가 \(x\)에 있고, 광자가 \(D_1\)에 있다"를 생각해 보자. 이 끝 상태에 이르는 경로는 2개야. 하나는 슬릿 1 경유로, 전자가 슬릿 1을 통과하여 \(x\)에 도달하는 진폭 \(\phi_1\)과, 광자가 슬릿 1 근처에서 산란되어 \(D_1\)에 도달하는 진폭 \(a\)를 제3 규칙으로 곱하여 \(a\phi_1\). 다른 하나는 슬릿 2 경유로, 마찬가지로 \(\phi_2\)와 \(b\)를 곱하여 \(b\phi_2\). 어느 경로든 같은 끝 상태(전자는 \(x\), 광자는 \(D_1\))에 이르니까, 제2 규칙으로 진폭을 더하여

\[\Phi_1 = a\phi_1 + b\phi_2 \tag{4.25}\]

🔵 카이: 여기서도 "같은 끝 상태에 이르는 경로는 진폭을 더한다"가 그대로 쓰이는 거군요.

🟡 리나: 다음으로 끝 상태 "전자가 \(x\)에 있고, 광자가 \(D_2\)에 있다"를 생각해 보자. 같은 논리로, 슬릿 1 경유라면 광자가 \(D_2\)에 가는 진폭은 \(b'\)(먼 쪽), 슬릿 2 경유라면 \(a'\)(가까운 쪽)이니까

\[\Phi_2 = b'\phi_1 + a'\phi_2 \tag{4.26}\]

🟡 리나: 맞아. 대칭 배치라면 \(a = a'\), \(b = b'\)야. 그리고 빛의 파장이 슬릿 간격보다 충분히 짧으면, 광자는 전자가 어느 슬릿에 있는지를 "구별할 수 있으니까" 가까운 쪽 검출기에 거의 확실하게 가——즉 \(b \approx 0\), \(b' \approx 0\)이 돼.

⚪ 메이: 파장이 짧을수록 "구별하는 힘"이 강하니까, \(b\)가 0에 가까워지는 거네.

🟡 리나: 자, 전자가 \(x\)에 도달하는 확률을 구하자. "광자가 \(D_1\)에 있다"는 끝 상태와 "광자가 \(D_2\)에 있다"는 끝 상태는 원리적으로 구별할 수 있지——검출기를 보면 알 수 있으니까. 구별할 수 있는 끝 상태끼리는 진폭이 아니라 확률을 더해. 따라서

\[P(x) = |\Phi_1|^2 + |\Phi_2|^2 = |a\phi_1 + b\phi_2|^2 + |b'\phi_1 + a'\phi_2|^2 \tag{4.27}\]

🔵 카이: 어라, 이건 식 (4.20)의 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)와는 완전히 다른 형태네요.

🟡 리나: 그래. 만약 빛의 파장이 충분히 짧아서, 어느 슬릿을 통과했는지가 완전히 판별 가능한 경우(\(b = 0\), \(b' = 0\)에 가까운 경우), 식 (4.27)의 각 항은 \(|a\phi_1 + 0|^2 = |a\phi_1|^2\)와 \(|0 + a'\phi_2|^2 = |a'\phi_2|^2\)가 돼. 여기서, 두 복소수의 곱의 절댓값에 대해 확인해 두자. 식 (4.8)에서 \(z_1 z_2\)의 절댓값은 \(r_1 r_2 = |z_1|\cdot|z_2|\)였지. 즉 \(|z_1 z_2| = |z_1|\cdot|z_2|\)——곱의 절댓값은 절댓값의 곱이 돼. 따라서 \(|a\phi_1| = |a|\cdot|\phi_1|\)이고, 그 제곱은 \(|a\phi_1|^2 = |a|^2|\phi_1|^2\)가 돼. 따라서

\[P(x) \approx |a|^2|\phi_1|^2 + |a'|^2|\phi_2|^2 \tag{4.28}\]

각 항이 \(\phi_1\)만, 혹은 \(\phi_2\)만을 포함하고 있고, \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)가 섞인 항(즉 \(\phi_1\phi_2^*\) 같은 간섭항)이 존재하지 않아. 그래서 간섭항이 사라져. 여기서 \(|a|^2\)와 \(|a'|^2\)는 광자의 산란확률로, 일반적으로는 1이 아니지만, 검출기 위치 \(x\)에는 의존하지 않는 상수야. 대칭 배치라면 \(a = a'\)이니까 \(P(x) \approx |a|^2(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2)\)가 돼. 전체에 걸리는 \(|a|^2\)는 \(x\)에 의존하지 않는 상수이니까, \(x\)를 변화시켰을 때의 확률의 형태는 \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)에 비례해——즉 간섭무늬가 없는, 두 개의 산이 겹쳐진 패턴이 되는 거야.

🔵 카이: 오오, 깔끔하게 간섭항이 사라졌어! \(\phi_1\)과 \(\phi_2\)가 섞이지 않으니까, \(\cos\delta\) 항이 어디에도 없네요.

⚪ 메이: "구별할 수 있다"는 것의 수학적 귀결이, 이렇게 명확하게 보이는 거네.

🔵 카이: 그러면 반대로, 광원의 파장이 아주 길면 어떻게 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문. 빛의 파장이 슬릿 간격보다 충분히 길면, 광자는 어느 슬릿 근처에서 산란되었는지 "구별이 안 돼". 직관적으로 말하면 이런 거야——파동으로 2개의 점을 구별하려고 할 때, 구별할 수 있는 정밀도는 파장 정도가 한계야. 예를 들어, 연못에 돌을 던졌을 때의 파문으로 수면의 작은 요철을 검출하려 해도, 파장이 요철 간격보다 크면, 하나의 마루가 양쪽 요철을 동시에 덮어버려서 차이를 "알아챌 수 없겠"지? 빛도 마찬가지로, 슬릿 간격이 파장 \(\lambda\)보다 충분히 작으면, 광자에게는 2개의 슬릿이 "거의 같은 장소"로 보여 버려. 식으로 말하면, \(a\)(전자가 슬릿 1에 있을 때 광자가 \(D_1\)에 가는 진폭)와 \(b\)(전자가 슬릿 2에 있을 때 광자가 \(D_1\)에 가는 진폭)의 값이 거의 같아지는 거야.

🔵 카이: 아하, 파문의 파장이 요철보다 크면, 요철의 존재를 "알아챌 수 없다"는 거군요. 파장 1 m의 빛으로 1 mm 간격의 슬릿을 구별하려 해도 무리겠네요.

🟡 리나: 그래. "흐릿한 눈"으로 작은 글씨를 읽으려는 것과 같아서, 어느 슬릿 근처에서 산란되었는지 판별할 수 없어. 이것을 식으로 말하면, 광자의 파장이 너무 길어서 2개의 슬릿을 "구별할 수 없다"는 것은, 전자가 슬릿 1에 있든 슬릿 2에 있든, 광자가 \(D_1\)에 갈 확률이 거의 같아진다는 것——즉 \(a \approx b\), \(a' \approx b'\)가 돼. 그러면 식 (4.25)는 \(\Phi_1 = a\phi_1 + b\phi_2 \approx a(\phi_1 + \phi_2)\)가 되어, \(|\Phi_1|^2 \approx |a|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\)——간섭항이 되살아나는 거야. 식 (4.27)이 식 (4.20)에 가까워져. 광자에 의한 "어느 쪽을 통과했는지"의 정보가 모호해지면, 간섭이 되살아나.

⚪ 메이: 그렇구나, \(a \approx b\)이면 인수분해가 되어 \(|\phi_1 + \phi_2|^2\)의 형태로 돌아가니까, 아까 간섭이 있는 경우와 같은 구조가 되는 거네.

🟡 리나: 맞아. 이것이 제 3 장에서 본 "관측하면 간섭이 사라진다"는 현상의 수학적 설명이야.

🟡 리나: 고전확률과 양자역학의 계산 규칙을 나란히 비교하면, 구조의 유사성과 결정적 차이가 보여.

표 4.2: 고전확률과 양자역학의 진폭 규칙 비교

연산 고전확률 양자역학(진폭)
더하는 대상 확률(양의 실수) 진폭(복소수)
곱하는 대상 확률(양의 실수) 진폭(복소수)
병렬 선택지 \(P = P_1 + P_2\) \(\phi = \phi_1 + \phi_2\)
직렬 단계 \(P = P_A \times P_B\) \(\phi = \phi_A \cdot \phi_B\)
관측량 확률 그 자체 \(P = \lvert\phi\rvert^2\)
간섭 없음(항상 양) 있음(위상으로 상쇄 가능)

규칙의 핵심

🟡 리나: 여기서 본질을 정리해 둘게.

양자역학의 규칙:

  • 끝 상태가 원리적으로 구별할 수 없는 과정 → 진폭을 더한다(간섭이 일어남)
  • 끝 상태가 원리적으로 구별할 수 있는 과정 → 확률을 더한다(간섭은 일어나지 않음)

🔵 카이: "원리적으로"라는 것이 중요하죠. 실제로 관측했는지 여부가 아니라, 원리적으로 구별 가능한지 여부.

🟡 리나: 매우 중요한 지적이야. 설령 광자검출기 \(D_1\), \(D_2\)의 데이터를 보지 않았더라도, 광자가 어느 쪽 검출기에 들어간 이상, 원리적으로는 구별할 수 있어. 그래서 간섭은 사라져.

⚪ 메이: 즉 "몰랐다"가 아니라 "알 수 있다"인지 여부가 문제인 거네.

🟡 리나: 그래. 이것은 양자역학의 가장 깊은 부분 중 하나로, "정보"와 "물리"의 관계에 관한 이야기야. 제 23 장의 EPR 역설이나 제 25 장의 측정 문제에서 다시 깊이 파고들게 될 거야.

✅ 이해도 체크: "원리적으로 구별할 수 있다"와 "실제로 관측했다"의 차이는, 간섭의 유무에 어떻게 영향하는가.

답

간섭의 유무를 결정하는 것은 "실제로 관측했는지 여부"가 아니라 "원리적으로 구별할 수 있는지 여부"이다. 설령 검출기의 데이터를 보지 않았더라도, 경로를 구별하는 정보가 환경 어딘가에 기록되어 있으면(원리적으로 구별 가능하면), 간섭은 사라진다.

✅ 이해도 체크: 이중 슬릿 실험에서, 각 슬릿 뒤에 광원을 놓았지만, 광자검출기의 데이터를 전혀 보지 않았다. 간섭무늬는 나타날까?

답

나타나지 않는다. 광자가 어느 검출기에 들어갔는지의 데이터를 보았는지 여부는 관계없으며, 광자가 산란된 시점에서 "어느 슬릿을 통과했는지"가 원리적으로 구별 가능해지기 때문에, 진폭이 아니라 확률을 더한다. 간섭항은 사라진다.

📝 연습문제:

4.8　이 장의 전체상 — 3가지 규칙의 의미

🟡 리나: 이 장에서 배운 것을 돌아보자.

🔵 카이: 오늘 이야기를 돌아보면……간섭을 설명하는 데 위상이 필요하고, 그래서 복소수가 나온다는 것은 알겠어요. 하지만, 위상을 나타내는 것만이라면 실수의 \(\cos\theta\)로도 될 것 같은데요. "왜 자연의 규칙이, 하필이면 복소수라는 수학적 구조에 딱 맞게 따르는 건지"——거기가 아직 찝찝해요.

🟡 리나: 그것은 매우 깊은 질문이야. 힌트를 하나만 말하면, \(\cos\theta\)만으로는 "덧셈과 곱셈 양쪽이 닫힌 체계"가 되지 않아. 예를 들어 \(\cos\theta_1 \times \cos\theta_2\)는 곱을 합으로 바꾸는 공식으로 \(\cos\)과 \(\cos\)의 합으로 분해되지만, 결과가 "하나의 \(\cos\)"로는 안 돼——즉 "곱하면 하나의 위상의 \(\cos\)로 돌아온다"는 간결한 구조가 없어. 복소수라면 \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)로, 곱셈의 결과가 다시 하나의 위상을 가진 복소수로 깔끔하게 돌아와. 이 "닫힌 구조"가, 제3 규칙(진폭을 곱한다)을 자연스럽게 구현하는 데 불가결한 거야. 실은 "실수의 진폭만으로 양자역학을 만들 수 없을까" "사원수는 어떤가"라는 연구가 실제로 있고, 실험적으로 배제되어 가고 있어. 하지만 "왜 복소수인가"의 최종적 답은 지금도 연구되는 주제야. 현 단계에서는 "복소수를 사용한 모델이 실험과 맞는다"는 사실을 받아들이고 나아가자.

🔵 카이: 아하……"곱했을 때 닫힌다" 위해서는 복소수가 필요하고, \(\cos\)만으로는 제3 규칙이 잘 돌아가지 않는다는 거군요. 완전히 납득된 건 아니지만, "실험과 맞는다"를 출발점으로 앞으로 나아갈게요.

🟡 리나: 그래. 그리고 오늘 규칙의 전체상을 정리하면——구별할 수 없는 경로의 진폭은 더하고, 연속된 과정의 진폭은 곱한다. 벽이 몇 장이든 슬릿이 몇 개이든, 이 2가지 규칙의 조합으로 진폭이 조립되는 거야.

⚪ 메이: 구조가 간단하니까, 아무리 복잡한 배치라도 같은 절차로 진폭을 써 내려갈 수 있네.

🔵 카이: 그리고, 진폭이 복소수이니까 위상차가 생기고, 더했을 때 간섭이 일어나. 이것이 이중 슬릿의 간섭무늬의 정체였어요. 하지만 하나 신경 쓰이는 건, "구별할 수 없다"는 것이 누구에게? 우주 어딘가에 정보가 남아 있으면 아웃이잖아요. 그 "정보가 남는다"의 경계는 어디까지 엄밀하게 정할 수 있는 건가요?

🟡 리나: 매우 깊은 질문이야. 실은 "정보가 어디에 얼마나 남는가"를 정량적으로 다루는 틀이 있고, 그것이 제 25 장의 측정 문제에서 정면으로 다루는 주제야. 지금은 "원리적으로 구별 가능한지 여부"라는 규칙을 사용하는 것에 집중하자.

🔵 카이: 잠깐만요. 아까 광원 이야기에서, 파장이 길면 "구별할 수 없다"에 가까워진다고 했잖아요. 그렇다면, "완전히 구별할 수 있다"와 "완전히 구별할 수 없다" 사이에 그라데이션이 있는 건가요? 반만 구별할 수 있는 경우는, 간섭도 반만 남는 건가요?

🟡 리나: 바로 그대로야. 식 (4.27)에서 \(b\)가 0과 \(a\) 사이의 값을 취할 때, 간섭항은 완전히 사라지지는 않지만 약해져. "얼마나 구별할 수 있는가"에 따라 간섭의 강도가 연속적으로 변하는 거야. 오늘의 식 (4.27)이 바로 그 중간 상태를 기술하고 있어——\(b = 0\)이면 간섭 제로, \(b = a\)이면 간섭 최대, 그 사이는 연속적으로 변해. 정량적 논의는 제 25 장에서 더 깊게 할게.

⚪ 메이: 즉 "구별할 수 있는 정도"가 연속적으로 변하면, 간섭의 강도도 연속적으로 변하는 거구나. 흑백이 아니라 그라데이션이네.

🔵 카이: 완전히 흑백이 아니라 그라데이션이 있다는 것은 의외였어요. 하지만 식 (4.27)이 중간 상태까지 포함하여 기술해 주고 있다면, 일단 지금은 "원리적으로 구별 가능한지 여부"를 판정 기준으로 삼아 나아가면 되겠네요. ……근데, "원리적으로 구별할 수 있다"의 판정은, 실제 문제에서 헤매지 않나요?

🟡 리나: 실제로는 "끝 상태에 물리적 차이가 있는가"를 보면 돼. 광자가 어느 검출기에 들어갔는지, 입자의 내부 상태가 변했는지——그런 물리적 흔적이 남는지 여부가 판정 기준이야. 다음 장 이후에서 구체적 예를 많이 다루니까, 거기서 감각을 잡을 수 있을 거야.

🔵 카이: "물리적 흔적이 남는지 여부"인가. 구체적 예를 보지 않으면 아직 완전히 감이 오진 않지만, 판정 기준으로서는 심플하네요. ……근데, "흔적이 남는다"는 것이, 예를 들어 공기분자에 부딪혀 산란된 것도 포함하나요? 그렇다면, 일상 세계에서는 항상 간섭이 사라지고 있다는 뜻 아닌가요?

🟡 리나: 바로 그대로야. 일상적 스케일에서는 환경과의 상호작용으로 경로 정보가 새어나가니까, 양자적 간섭은 거의 관측되지 않아. 공기분자나 광자가 저절로 "관측자" 역할을 하여 경로 정보를 기록해 버리는 거야. 이것이 "왜 일상 세계는 고전적으로 보이는가"라는 질문으로 이어져. 제 25 장에서 결어긋남(디코히어런스)으로 자세히 다룰게.

🔵 카이: 그러면 반대로, 간섭을 보고 싶을 때는 환경과의 상호작용을 철저히 차단해야 하는데……완전한 차단이 가능한 건가요? 진공으로 해도 중력은 차폐할 수 없잖아요.

🟡 리나: 완전한 차단은 불가능하지만, 실용적으로는 "간섭을 파괴하는 주요 원인"을 특정하여 억제하면 충분해. 중력에 대해서는, 현재 실험에서 다루는 입자 스케일에서는 중력에 의한 디코히어런스는 무시할 수 있을 정도로 작아——간섭을 파괴하는 주범은 열적 광자나 잔류 기체 분자와의 충돌이야. 그러니까 진공으로 하고 극저온으로 냉각하면, 간섭을 충분히 오래 유지할 수 있어. 양자컴퓨터는 바로 그렇게 환경으로부터의 "참견하는 관측"을 극력 줄이고 있는 거야. 완전한 차단이 불가능한 것의 귀결은 제 25 장에서 다룰게.

🔵 카이: 아하, 중력이 아니라 열적 광자나 기체 분자가 주범이군요. 그렇다면 진공 + 극저온으로 대처할 수 있어요. 하지만 "완전히는 무리"라는 것은, 어떤 양자계도 언젠가는 간섭을 잃는다는 거……?

🟡 리나: 맞아. 현실의 양자계는 반드시 환경과 조금씩 상호작용하니까, 시간이 지나면 간섭은 서서히 사라져 가. 양자컴퓨터 연구자들이 "결맞음 시간(코히어런스 시간)"——간섭이 유지되는 시간——을 필사적으로 늘리려 하는 것이 바로 이 때문이야. 이것이 디코히어런스의 본질이고, 제 25 장의 핵심 주제가 돼. 현 단계에서는 "환경과의 상호작용이 경로 정보를 누출시키면 간섭이 사라진다"——이것이 오늘 배운 규칙의 직접적 귀결이라는 것을 잡아두면 충분해.

⚪ 메이: 정리하면, 끝 상태가 구별 가능한지 여부로 "진폭을 더하는가" "확률을 더하는가"가 결정돼. 그리고 "구별할 수 있는 정도"가 연속적으로 변하면, 간섭의 강도도 연속적으로 변해——식 (4.27)의 \(b\)가 그 정도를 나타내는 파라미터가 되는 거네. 관측에 의해 구별 가능해지면 간섭이 사라지고.

🟡 리나: 완벽한 정리야. 여기서 하나 강조해 두고 싶은 것은, 오늘의 규칙이 매우 일반적이라는 것이야. 이중 슬릿뿐만 아니라, 원자 속의 전자, 광자의 산란, 소립자의 반응——양자역학이 다루는 모든 현상이 이 3가지 규칙의 틀로 기술돼.

🔵 카이: 하지만, 구체적인 문제를 풀려면, 각 단계의 진폭 값을 알아야 하잖아요? \(\langle x | 1 \rangle\)이라든가 \(\langle 1 | s \rangle\)이라든가.

🟡 리나: 맞아. 오늘은 "규칙의 구조"를 배웠어. 다음 장에서는, 구체적인 물리계——스핀 1/2 입자와 Stern-Gerlach(슈테른-게를라흐) 실험——을 소재로 하여, 진폭의 값이 어떻게 결정되는지를 볼 거야. 거기서, 오늘의 규칙이 구체적으로 어떻게 작동하는지를 체험할 수 있을 거야.

다음 장 예고

🟡 리나: 오늘은 확률진폭의 3가지 규칙이라는 "게임의 규칙"을 배웠어. 하지만, 규칙만 알아도, 말을 움직이는 방법을 모르면 게임을 할 수 없잖아.

다음 제 5 장에서는, 스핀 1/2라는 가장 단순한 양자계를 다뤄. Stern-Gerlach 실험에서 은 원자의 빔이 "위"와 "아래" 2개로 딱 나뉘는——그 놀라운 실험 결과를, 오늘의 3가지 규칙으로 정량적으로 기술할 거야.

거기서 자연스럽게 나타나는 것이, 양자역학의 수학적 무대인 Hilbert(힐베르트) 공간의 싹이야. "상태"를 2개의 복소수 조합으로 나타내고, 그것들을 더하거나 곱하거나——오늘의 3가지 규칙이, 구체적인 수치를 가진 계산으로서 움직이기 시작할 거야.

참고문헌

  • R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Ch. 3: "Probability Amplitudes" (1965). 확률진폭의 3가지 규칙의 원전. 본 장의 논의의 골격은 이 장에 기반한다.
  • J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Ch. 1 (2021). Stern-Gerlach 실험에서 출발하여 진폭과 상태의 개념을 도입하는 교육적 접근. Ch.5 이후에서 본격적으로 참조한다.
  • P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Ch. 1 (1958). 브라켓 표기법의 원전. "중첩의 원리"의 가장 간결한 정식화.
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