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제 2 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 광속의 수치 계산

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문제: \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) T·m/A、\(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) F/m 을 사용하여 \(c\) 를 계산하세요.

풀이:

\(\mu_0 \varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7})(8.854 \times 10^{-12})\)

\(= 4 \times 3.1416 \times 8.854 \times 10^{-19}\)

\(= 12.566 \times 8.854 \times 10^{-19}\)

\(= 1.113 \times 10^{-17} \;\text{s}^2/\text{m}^2\)

\(c = \frac{1}{\sqrt{1.113 \times 10^{-17}}} = \frac{1}{1.055 \times 10^{-8.5}}\)

\(\boxed{c \approx 2.998 \times 10^8 \;\text{m/s}}\)

광속의 실측값 \(c = 2.998 \times 10^8\) m/s 와 일치해요.

포인트: \(\mu_0\) 는 자기 실험으로부터, \(\varepsilon_0\) 는 전기 실험으로부터 독립적으로 측정된 상수예요. 이들을 조합하면 광속이 나온다——이것이 Maxwell에게 "빛은 전자기파이다"라는 확신의 근거였어요.

B-2. 퍼텐셜에서 Maxwell 방정식으로

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문제: \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\) 로부터 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) 이 자동으로 성립함을 보여라.

풀이:

벡터 항등식（부록 A.6）에 의해:

\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0\)

이것은 임의의 벡터장 \(\mathbf{A}\) 에 대해 성립하는 항등식이에요.

\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\) 를 대입하면:

\(\boxed{\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0}\)

포인트: Maxwell의 제2식 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)（자기 단극자는 존재하지 않는다）은, 자기장을 벡터 퍼텐셜 \(\mathbf{A}\) 로 표현하는 것만으로 자동으로 만족돼요. 즉, 퍼텐셜에 의한 표현은 Maxwell 방정식의 일부를 「내장하고 있다」고 할 수 있어요. 이것은 단순한 재작성이 아니라, 이론의 구조를 반영하고 있어요.

항등식의 확인（선택）: 성분으로 확인하고 싶은 경우, \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) 로 놓으면:

\(\nabla \times \mathbf{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\)

이것의 발산을 취하면:

\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\)

전개하면 6개의 항이 나타나며, 편미분의 순서 교환（\(\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}\)）에 의해 모두 상쇄되어 영이 돼요.

Medium（표준）

M-1. 전자기파의 속도 도출

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문제: Maxwell 방정식의 제3식과 제4식(진공 중)으로부터, 전기장 \(\mathbf{E}\)에 대한 파동방정식을 유도하고, 파동의 속도가 \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\)임을 보여라.

풀이:

진공 중(\(\rho = 0\), \(\mathbf{j} = 0\))의 Maxwell 방정식:

\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \text{(제3식)}\)

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \qquad \text{(제4식)}\)

제3식의 양변에 \(\nabla \times\)를 작용시켜요:

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})\)

좌변에 벡터 항등식(부록 A.6)을 사용해요:

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)

진공 중에서는 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) (Gauss 법칙, \(\rho = 0\))이므로:

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla^2 \mathbf{E}\)

우변에 제4식을 대입해요:

\(-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)

정리하면:

\(-\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)

\(\boxed{\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}}\)

이것은 파동방정식 \(\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)의 형태를 하고 있어요. 비교하면:

\(\frac{1}{c^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \qquad \therefore \quad \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}}\)

포인트: Maxwell은 전기와 자기의 실험 상수 \(\mu_0\), \(\varepsilon_0\)만으로 광속을 유도했어요. 빛을 연구하고 있었던 것이 아니라, 전자기학 통일의 부산물로서 빛의 정체가 밝혀진 것이에요.