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Appendix B　물리 상수와 단위계

← A 벡터 해석과 편미분방정식C 텐서와 미분기하 →

지금까지의 줄거리: 본편에서는 광속 \(c\), Planck 상수 \(\hbar\), Newton의 중력 상수 \(G\)가 반복적으로 등장해왔다. 특히 제 12 장 이후에서는 "\(\hbar = c = 1\)"이라고 적어 식을 간결하게 하고 있다. 여기서는 그 약속의 의미와 구체적인 환산 방법을 정리한다.

이 부록의 목표

  • 본편에서 등장하는 물리 상수의 값과, 자연 단위계(\(\hbar = c = 1\)) 및 Planck 단위계(\(\hbar = c = G = 1\))의 사고방식을 이해한다
  • 나아가 끈이론 고유의 스케일(\(\ell_s\), \(\alpha'\))과의 관계를 파악하고, 제 12 장 이후의 수식을 스스로 SI 단위로 되돌릴 수 있게 된다

🟡 리나: 수식에 나오는 상수의 값이나 단위 환산에서 막히면 여기로 돌아와. 특히 자연 단위계는 제 12 장 이후에서 당연한 듯이 사용하니까, 한 번 읽어두면 좋아.

🔵 카이: 솔직히 \(c = 1\)이라고 쓰여 있으면 "어, 광속은 \(3 \times 10^8\) m/s 아니야?"라고 혼란스러워진단 말이야.

⚪ 메이: 나도. 하지만 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 부록 D에서 한 번 다뤘잖아. 그때는 상대론 맥락이었지만.

🟡 리나: 맞아. 기본적인 사고방식은 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 부록 D나 「장의 양자론」편의 「장의 양자론」편 부록 D와 같아. 여기서는 끈이론에서 추가되는 \(\alpha'\)나 \(\ell_s\)까지 포함해서 한 곳에 정리할게.

B.1　기본 물리 상수 일람

표 B.1: 기본 물리 상수 일람

상수 기호 값 (SI) 본편에서의 등장
광속 \(c\) \(2.998 \times 10^8\) m/s 제 2 장, 제 5 장
Planck 상수 \(h\) \(6.626 \times 10^{-34}\) J·s 제 4 장, 제 7 장
환산 Planck 상수 \(\hbar = h/(2\pi)\) \(1.055 \times 10^{-34}\) J·s 제 7 장 이후
Newton의 중력 상수 \(G\) \(6.674 \times 10^{-11}\) m³/(kg·s²) 제 1 장, 제 6 장, 제 12 장
Boltzmann 상수 \(k_B\) \(1.381 \times 10^{-23}\) J/K 제 3 장
기본 전하 \(e\) \(1.602 \times 10^{-19}\) C 제 4 장, 제 7 장
전자 질량 \(m_e\) \(9.109 \times 10^{-31}\) kg 제 7 장, 제 9 장
미세 구조 상수 \(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\) \(\approx 1/137\) 제 8 장

🔵 카이: \(\alpha \approx 1/137\)은 자연 단위계에서 어떻게 쓰는 거야?

🟡 리나: 자연 단위계(\(\hbar = c = 1\))에서, 전자기의 단위 체계를 바꾸면("Lorentz-Heaviside 단위계"나 "Gauss 단위계"라 불리는 체계가 있어서, SI의 \(\alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0 \hbar c)\)에 나오는 \(4\pi\varepsilon_0\)를 전하의 정의에 흡수시켜 버리는 거야. 지금은 이름만 알아두면 충분해——자세한 건 「장의 양자론」편의 「장의 양자론」편 부록 D 참조) \(\alpha\)의 표현식이 \(e^2/(4\pi)\)나 \(e^2\)처럼 바뀌어. 하지만 중요한 건 \(\alpha\) 자체가 무차원량이기 때문에 어떤 단위계에서든 값은 같은 \(\approx 1/137\)이라는 것(\(e\)의 수치가 단위계마다 바뀔 뿐이야). 이건 「장의 양자론」편의 「장의 양자론」편 제 9 장에서 QED의 결합 상수로 자세히 논의하고 있어.

⚪ 메이: 즉, 식의 겉모습은 바뀌어도 \(\alpha\)의 "수치"는 단위계에 의존하지 않는 거구나. 무차원량이니까 당연하다면 당연하지만.

📝 연습문제:

✅ 이해도 체크: 환산 Planck 상수 \(\hbar\)는 \(h\)를 사용해 어떻게 정의될까요?

답

\(\hbar = h/(2\pi)\)로 정의된다.

✅ 이해도 체크: 미세 구조 상수 \(\alpha\)의 대략적인 값은 얼마일까요?

답

\(\alpha \approx 1/137\). 무차원량이므로 단위계에 의존하지 않는다.

B.2　자연 단위계(\(\hbar = c = 1\))

왜 자연 단위계를 사용하는가

🟡 리나: SI 단위계에서는 에너지는 J, 길이는 m, 시간은 s로 각각 독립된 차원을 가져. 하지만 특수상대론과 양자역학을 결합하면, 이것들이 전부 연결돼. \(E = mc^2\)로 질량과 에너지가 연결되고, \(E = \hbar\omega\)로 에너지와 진동수가 연결돼.

⚪ 메이: 즉, 별개라고 생각했던 차원들이 실은 변환 계수로 이어져 있다는 거지.

🟡 리나: 맞아. 좀 더 자세히 살펴보자.

스텝 1: \(c = 1\)로 놓기

특수상대론(「일반상대론」편 「일반상대론」편 제 3 장 참조)에서는 시공간 간격을

\[ ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

라고 쓴다. 여기서 \(c\)는 "시간과 길이의 단위를 변환하는 계수"에 불과해. 만약 길이를 "빛이 일정 시간 동안 진행하는 거리"로 측정하면(예를 들어 1 광초 \(= 3 \times 10^8\) m를 길이의 단위로 하면), \(c\)는 불필요해져.

🔵 카이: 잠깐만. "\(c = 1\)로 놓는다"는 게, 광속이 1 m/s가 된다는 거야? 아니면 단위 자체를 바꾸는 거야?

🟡 리나: 후자야. "광속이 1이 되도록 단위를 다시 정한다"는 거야. 방금 말한 "광초"의 예가 바로 그거——길이의 단위를 "빛이 1초 동안 진행하는 거리"로 하면, 광속은 "1 광초 / 1초 = 1"이 되잖아? 즉 길이와 시간을 같은 "빛의 전파"로 측정함으로써 변환 계수 \(c\)가 불필요해지는 거야. \(c = 1\)로 놓으면:

\[ [c] = \frac{[\text{길이}]}{[\text{시간}]} = 1 \quad \Longrightarrow \quad [\text{길이}] = [\text{시간}] \]

나아가 \(E = mc^2\)로부터:

\[ [\text{에너지}] = [\text{질량}] \cdot [c]^2 = [\text{질량}] \]

즉 질량과 에너지가 같은 차원이 된다.

🔵 카이: 오, 한꺼번에 차원이 줄어드는구나. 길이＝시간이고, 질량＝에너지라니.

스텝 2: \(\hbar = 1\)로 놓기

양자역학(「양자역학」편 「양자역학」편 제 7 장 참조)에서는 \(E = \hbar\omega\)가 기본 관계식이야. \(\hbar = 1\)로 놓으면:

\[ [\hbar] = [\text{에너지}] \cdot [\text{시간}] = 1 \]

이미 \(c = 1\)로 \([\text{에너지}] = [\text{질량}]\)이고 \([\text{길이}] = [\text{시간}]\)이니까:

\[ [\text{에너지}] \cdot [\text{시간}] = 1 \quad \Longrightarrow \quad [\text{시간}] = [\text{에너지}]^{-1} \]

그리고 \([\text{길이}] = [\text{시간}] = [\text{에너지}]^{-1}\)도 얻어져.

⚪ 메이: 정리하면, \(c = 1\)로 "길이＝시간, 질량＝에너지"가 되고, 거기에 \(\hbar = 1\)로 "시간＝에너지의 역수"가 더해지니까……그러면 길이도 시간도 질량도 전부 에너지로 쓸 수 있다는 거야?

🟡 리나: 맞아. 결국 모든 물리량이 에너지의 거듭제곱 하나로 표현돼. 그림 B.1「자연 단위계로의 차원 통일 과정」에 전체 흐름을 정리했으니 봐봐.

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flowchart TD
    subgraph SI["SI 단위계"]
        M["질량 kg"]
        L["길이 m"]
        T["시간 s"]
        E["에너지 J"]
    end
    subgraph step1["스텝1: c = 1"]
        LT["길이 = 시간"]
        EM["에너지 = 질량"]
    end
    subgraph step2["스텝2: ℏ = 1"]
        ALL["전부 = E의 거듭제곱"]
    end
    M -->|"E = mc²"| EM
    L -->|"c = 길이/시간"| LT
    T -->|"c = 길이/시간"| LT
    E --> EM
    LT -->|"E = ℏω"| ALL
    EM -->|"E = ℏω"| ALL
    ALL --> R1["질량 → E¹"]
    ALL --> R2["길이 → E⁻¹"]
    ALL --> R3["시간 → E⁻¹"]
    ALL --> R4["속도 → E⁰"]

그림 B.1: 자연 단위계로의 차원 통일 과정

정리: 모든 물리량이 에너지의 거듭제곱

🟡 리나: 결과를 정리하면 이렇게 돼.

표 B.2: 자연 단위계에서의 물리량의 차원

물리량 SI의 차원 자연 단위계의 차원 이유
에너지 kg·m²/s² \([\text{E}]^1\) 기준
질량 kg \([\text{E}]^1\) \(E = mc^2\), \(c = 1\)
운동량 kg·m/s \([\text{E}]^1\) \(E = pc\), \(c = 1\)
길이 m \([\text{E}]^{-1}\) \(\hbar c / E\), \(\hbar = c = 1\)
시간 s \([\text{E}]^{-1}\) \(\hbar / E\), \(\hbar = 1\)
속도 m/s \([\text{E}]^0\) (무차원) \(v/c\), \(c = 1\)
각운동량 kg·m²/s \([\text{E}]^0\) (무차원) \(L/\hbar\), \(\hbar = 1\)
힘 kg·m/s² \([\text{E}]^2\) \(F = E/\ell\), \([\ell] = [\text{E}]^{-1}\)

🔵 카이: 그러면 Newton의 중력 상수 \(G\)는 자연 단위계에서 어떤 차원이 되는 거야?

🟡 리나: 좋은 질문이야. \(G\)의 SI 차원은 \(\text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)야. 자연 단위계로 번역하면:

\[ [G] = [\text{길이}]^3 \cdot [\text{질량}]^{-1} \cdot [\text{시간}]^{-2} \]
\[ = [\text{E}]^{-3} \cdot [\text{E}]^{-1} \cdot [\text{E}]^{2} = [\text{E}]^{-2} \]

⚪ 메이: \(-3 - 1 + 2 = -2\)……확실히 \([\text{E}]^{-2}\)네. 표의 "힘 = \([\text{E}]^2\)"이나 "길이 = \([\text{E}]^{-1}\)"을 그대로 대입하기만 하면 나오는구나.

🟡 리나: 그래. 즉 \(G\)는 에너지의 \(-2\) 제곱의 차원을 가져. 구체적으로는:

\[ G = \frac{1}{M_P^2} \quad (\text{자연 단위계}) \]

여기서 \(M_P\)는 Planck 질량(다음 절에서 유도해).

📝 연습문제:

✅ 이해도 체크: 자연 단위계에서 Newton의 중력 상수 \(G\)의 차원은 \([\text{E}]\)의 몇 제곱일까요?

답

\([\text{E}]^{-2}\) (에너지의 \(-2\) 제곱). 이는 \(G = 1/M_P^2\)로 쓸 수 있는 것에 대응한다.

✅ 이해도 체크: 자연 단위계에서는 모든 물리량을 무엇의 거듭제곱으로 표현할 수 있을까요?

답

에너지의 거듭제곱(\([\text{E}]^n\))으로 표현할 수 있다.

✅ 이해도 체크: 자연 단위계에서 길이의 차원은 \([\text{E}]\)의 몇 제곱일까요?

답

\([\text{E}]^{-1}\) (에너지의 \(-1\) 제곱).

B.3　Planck 단위계

Planck 단위의 의미

🟡 리나: 자연 단위계에서는 \(\hbar = c = 1\)이지만 \(G\)는 아직 차원을 가지고 있어(\([G] = [\text{E}]^{-2}\)). 만약 \(G = 1\)도 추가하면, 모든 물리량이 순수한 수가 돼. 이것이 Planck 단위계야.

⚪ 메이: 그런데 그건 무엇을 기준으로 한 거야?

🟡 리나: "양자역학(\(\hbar\)), 상대론(\(c\)), 중력(\(G\))의 3가지가 모두 동시에 중요해지는 스케일"을 기준으로 하고 있어. 일상의 스케일에서는 이 3가지 중 1개나 2개만 중요해.

  • 행성의 운동: \(G\)와 \(c\)는 중요하지만 \(\hbar\)는 무시할 수 있다
  • 원자물리: \(\hbar\)와 \(c\)는 중요하지만 \(G\)는 무시할 수 있다
  • 일상 역학: 3개 모두 무시할 수 있다

3가지가 동시에 중요해지는 것은 블랙홀의 중심이나 빅뱅의 순간——즉 양자중력이 필요한 장면(제 12 장)이야.

🔵 카이: 그렇구나, Planck 단위계는 "전부가 동시에 작용하는 스케일"에 맞춘 단위인 거구나. 그래서 양자중력 교과서에서 쓰이는 거네.

Planck 길이의 유도

🟡 리나: 그러면 차원 해석으로 Planck 길이를 유도해 보자. \(\hbar\), \(c\), \(G\)만을 사용해서 "길이"의 차원을 가진 양을 만들고 싶어.

\[ \ell_P = \hbar^\alpha \, c^\beta \, G^\gamma \]

로 놓고, 각 물리량의 SI 차원을 대입해.

\[ [\hbar] = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \]
\[ [c] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \]
\[ [G] = \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} \]

우변의 차원은:

\[ [\ell_P] = \text{kg}^{\alpha-\gamma} \cdot \text{m}^{2\alpha+\beta+3\gamma} \cdot \text{s}^{-\alpha-\beta-2\gamma} \]

이것이 \([\text{m}]^1 = \text{kg}^0 \cdot \text{m}^1 \cdot \text{s}^0\)과 같으므로, 연립방정식을 세워:

\[ \begin{cases} \alpha - \gamma = 0 & (\text{kg의 지수}) \\ 2\alpha + \beta + 3\gamma = 1 & (\text{m의 지수}) \\ -\alpha - \beta - 2\gamma = 0 & (\text{s의 지수}) \end{cases} \]

🔵 카이: 3원 연립방정식이네. 고등학교에서 배운 거잖아.

🟡 리나: 맞아, 풀이 방법은 간단해. 제1식으로부터 \(\alpha = \gamma\). 제3식에 대입하면:

$$ -\alpha - \beta - 2\alpha = 0 \quad \Longrightarrow \quad \beta = -3\alpha $$ 제2식에 \(\beta = -3\alpha\)와 \(\gamma = \alpha\)를 대입하면:

\[ 2\alpha + (-3\alpha) + 3\alpha = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 1 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{1}{2} \]

따라서 \(\alpha = \gamma = 1/2\), \(\beta = -3/2\).

\[ \boxed{\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}} \]

⚪ 메이: 깔끔한 식이네. 3개의 기본 상수를 조합하는 것만으로 길이가 유일하게 결정되는 게 흥미로워.

🟡 리나: 수치를 대입하면:

\[ \ell_P = \sqrt{\frac{(1.055 \times 10^{-34})(6.674 \times 10^{-11})}{(2.998 \times 10^8)^3}} \]

✅ 이해도 체크: Planck 길이의 유도에 사용하는 3개의 기본 상수는 무엇일까요?

답

\(\hbar\) (환산 Planck 상수), \(c\) (광속), \(G\) (Newton의 중력 상수)의 3가지. 이들의 조합으로 길이의 차원을 가진 양을 만든다.

분자를 계산하면:

\[ 1.055 \times 10^{-34} \times 6.674 \times 10^{-11} = 7.04 \times 10^{-45} \]

분모를 계산하면:

\[ (2.998 \times 10^8)^3 = 2.694 \times 10^{25} \]

나눗셈 후 제곱근을 취하면:

\[ \ell_P = \sqrt{\frac{7.04 \times 10^{-45}}{2.694 \times 10^{25}}} = \sqrt{2.613 \times 10^{-70}} \approx 1.616 \times 10^{-35} \;\text{m} \]

🔵 카이: \(10^{-35}\) m이라니……원자핵(\(10^{-15}\) m)보다 20자릿수나 더 작다니! 얼마나 작은지 상상도 안 가는데.

🟡 리나: 그림 B.2「일상 스케일에서 Planck 스케일까지의 길이 계층」를 봐봐. 일상 스케일에서 Planck 스케일까지의 거리가 얼마나 엄청난지 알 수 있을 거야.

일상 스케일에서 Planck 스케일까지의 길이 계층

그림 B.2: 일상 스케일에서 Planck 스케일까지의 길이 계층. 원자핵·양성자(\(\sim 10^{-15}\) m)에서 Planck 길이(\(\sim 10^{-35}\) m)까지의 위치 관계를 로그 스케일로 나타냄

🟡 리나: 그래서 이 스케일의 물리를 직접 실험으로 확인하는 것은 현재 기술로는 거의 불가능해. 이것이 끈이론의 검증이 어려운 근본적인 이유 중 하나야.

Planck 시간의 유도

Planck 시간은 "빛이 Planck 길이를 진행하는 데 걸리는 시간"으로 자연스럽게 정의된다:

\[ t_P = \frac{\ell_P}{c} = \frac{1}{c}\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \]

수치를 계산하면:

\[ t_P = \frac{1.616 \times 10^{-35}}{2.998 \times 10^8} \approx 5.39 \times 10^{-44} \;\text{s} \]

🔵 카이: \(10^{-44}\)초라니, 얼마나 작은 거야? 뭔가 비교할 게 있어?

🟡 리나: 우주의 나이가 약 138억 년, 초로 환산하면 \(1.38 \times 10^{10} \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 4.4 \times 10^{17}\) s야. Planck 시간은 그것보다 60자릿수 이상 작아.

⚪ 메이: 길이에서도 시간에서도, Planck 스케일은 일상에서 상상도 안 될 만큼 작구나.

Planck 질량의 유도

🟡 리나: 같은 차원 해석을 "질량"에 대해 수행할게. 다시 \(M_P = \hbar^\alpha c^\beta G^\gamma\)로 놓고 \([\text{kg}]^1\)을 만들어(\(\alpha, \beta, \gamma\)는 Planck 길이 때와는 다른 값이 돼). 우변의 차원은 Planck 길이 때와 같은 형태로:

\[ [M_P] = \text{kg}^{\alpha-\gamma} \cdot \text{m}^{2\alpha+\beta+3\gamma} \cdot \text{s}^{-\alpha-\beta-2\gamma} \]

이번에는 목표가 \(\text{kg}^1 \cdot \text{m}^0 \cdot \text{s}^0\)이니까, kg의 지수만 1이고 m과 s의 지수는 0이 돼야 해.

\[ \begin{cases} \alpha - \gamma = 1 & (\text{kg의 지수}) \\ 2\alpha + \beta + 3\gamma = 0 & (\text{m의 지수}) \\ -\alpha - \beta - 2\gamma = 0 & (\text{s의 지수}) \end{cases} \]

제1식으로부터 \(\alpha = \gamma + 1\). 제3식에 대입:

\[ -(\gamma+1) - \beta - 2\gamma = 0 \]
\[ -\gamma - 1 - \beta - 2\gamma = 0 \quad \Longrightarrow \quad -3\gamma - 1 - \beta = 0 \quad \Longrightarrow \quad \beta = -3\gamma - 1 \]

제2식에 \(\alpha = \gamma + 1\)과 \(\beta = -3\gamma - 1\)을 대입:

\[ 2(\gamma+1) + (-3\gamma-1) + 3\gamma = 2\gamma + 2 - 3\gamma - 1 + 3\gamma = 2\gamma + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \gamma = -\frac{1}{2} \]

따라서 \(\alpha = 1/2\), \(\beta = 1/2\), \(\gamma = -1/2\).

\[ \boxed{M_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}} \]

🔵 카이: 아까 Planck 길이와는 \(G\)가 분자가 아니라 분모에 오는구나.

🟡 리나: 맞아, 질량은 중력이 약할수록(\(G\)가 작을수록) 커지는 거야. 수치를 대입하면:

\[ M_P = \sqrt{\frac{(1.055 \times 10^{-34})(2.998 \times 10^8)}{6.674 \times 10^{-11}}} \]
\[ = \sqrt{\frac{3.163 \times 10^{-26}}{6.674 \times 10^{-11}}} = \sqrt{4.740 \times 10^{-16}} \approx 2.18 \times 10^{-8} \;\text{kg} \]

🔵 카이: 어라, Planck 길이나 Planck 시간은 엄청나게 작았는데, Planck 질량은 \(10^{-8}\) kg ≈ 0.02 mg라니, 눈에 보이는 스케일에 가깝지 않아? 모래알 정도 무게잖아. 왜 길이와 시간은 초미시적인데 질량만 "보통"인 거야?

🟡 리나: 날카로워. Planck 질량은 "소립자로서는 거대한" 거야. 직관적으로 말하면, Planck 길이라는 극도로 작은 영역에 모든 에너지를 집어넣었을 때의 질량이니까, 역으로 커지는 거야. 에너지로 환산하면:

\[ E_P = M_P c^2 \approx 2.18 \times 10^{-8} \times (2.998 \times 10^8)^2 \approx 1.96 \times 10^9 \;\text{J} \]

GeV로 환산하면(\(1\;\text{GeV} = 1.602 \times 10^{-10}\;\text{J}\)):

\[ E_P = \frac{1.96 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \approx 1.22 \times 10^{19} \;\text{GeV} \]

⚪ 메이: \(10^{19}\) GeV……. LHC가 \(10^4\) GeV이니까, 15자릿수나 부족하구나.

🟡 리나: 맞아. LHC의 충돌 에너지가 \(\sim 10^4\) GeV이니까, Planck 에너지는 그것의 \(10^{15}\)배야. 도저히 도달할 수 없는 스케일이지.

📝 연습문제:

✅ 이해도 체크: Planck 질량은 소립자의 스케일과 비교하면 큰가요 작은가요? 또 Planck 에너지는 대략 몇 GeV인가요?

답

Planck 질량은 소립자로서는 거대하다(약 \(2.18 \times 10^{-8}\) kg). Planck 에너지는 약 \(1.22 \times 10^{19}\) GeV로, LHC의 충돌 에너지(\(\sim 10^4\) GeV)의 \(10^{15}\)배에 해당한다.

Planck 단위 일람

표 B.3: Planck 단위의 정의와 수치

양 정의 값
Planck 길이 \(\ell_P = \sqrt{\hbar G / c^3}\) \(1.616 \times 10^{-35}\) m
Planck 시간 \(t_P = \ell_P / c = \sqrt{\hbar G / c^5}\) \(5.39 \times 10^{-44}\) s
Planck 질량 \(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\) \(2.18 \times 10^{-8}\) kg
Planck 에너지 \(E_P = M_P c^2\) \(1.22 \times 10^{19}\) GeV
Planck 온도 \(T_P = E_P / k_B\) \(1.42 \times 10^{32}\) K

⚪ 메이: Planck 단위계(\(\hbar = c = G = 1\))에서는 이것들이 전부 "1"이 되는 거구나.

🟡 리나: 맞아. Planck 단위계에서 "길이 = 10"이라고 말하면, 그것은 \(10 \ell_P \approx 1.6 \times 10^{-34}\) m이라는 의미야.

✅ 이해도 체크: Planck 단위가 중요해지는 것은 어떤 3가지 물리가 동시에 중요해지는 스케일에서일까요?

답

양자역학(\(\hbar\)), 상대론(\(c\)), 중력(\(G\))의 3가지가 동시에 중요해지는 스케일.

✅ 이해도 체크: Planck 길이 \(\ell_P\)의 정의식을 써 보세요.

답

\(\ell_P = \sqrt{\hbar G / c^3}\).

B.4　끈이론의 단위와 스케일

Regge 기울기 \(\alpha'\)와 끈의 길이 \(\ell_s\)

🟡 리나: 끈이론에는 Planck 스케일과는 별도로 또 하나의 고유 스케일이 있어. 그것이 끈의 길이 \(\ell_s\)야.

제 13 장에서 자세히 논의하겠지만, 끈이론의 기본 매개변수는 Regge 기울기(레게 기울기) \(\alpha'\)(알파 프라임)라고 불리는 양이야. 이것은 역사적으로 하드론(양성자나 중성자, 파이 중간자 등, 쿼크로 이루어진 복합 입자의 총칭)의 Regge 궤적에서 유래했어. Regge 궤적이란 1960년대에 가속기 실험에서 발견된 경험 법칙으로, 하드론의 각운동량 \(J\)과 질량의 제곱 \(M^2\) 사이에 깔끔한 선형 관계가 관찰된 거야:

\[ J = \alpha' M^2 + \text{const.} \]

직관적으로는, 회전하는 끈이 빨리 돌수록(＝각운동량이 클수록) 에너지가 증가하고, \(E = Mc^2\)를 통해 질량도 증가해——그 비례 계수가 \(\alpha'\)인 거야.

🔵 카이: 잠깐, 왜 \(M\)의 1제곱이 아니라 2제곱이야? 직관적으로는 "무거울수록 돌리기 어렵다"니까 \(J \propto M\)일 것 같은데.

🟡 리나: 좋은 의문이야. 대략적으로 말하면, 끈의 길이 자체가 에너지(＝질량)에 비례해. 긴 끈일수록 무거워. 그리고 각운동량은 "질량 × 속도 × 팔의 길이"이니까, 팔의 길이(끈의 길이)도 질량에 비례하는 만큼 \(J \propto M \times M = M^2\)이 되는 거야. 엄밀한 유도는 제 13 장에서 할 테니, 지금은 이 이미지만 가지고 있어. 지금은 "\(\alpha'\)라는 기호의 유래와 차원"을 파악해두면 충분해.

🔵 카이: 그렇구나, 끈이 무거울수록 길고, 길수록 회전의 팔도 기니까 제곱이 되는 거구나. ……그러면 차원 이야기로 돌아가면, 아까 표에서 각운동량은 자연 단위계에서 무차원(\([\text{E}]^0\))이었잖아. \(M^2\)는 \([\text{E}]^2\)이니까……\(J = \alpha' M^2\)이 성립하려면 \(\alpha'\)의 차원이 \([\text{E}]^{-2}\)이어야 앞뒤가 맞지 않아?

🟡 리나: 정답. 자연 단위계에서 \([\alpha'] = [\text{E}]^{-2} = [\text{길이}]^2\)야. 그래서 \(\alpha'\)의 제곱근이 길이의 차원을 가져. 이것을 끈의 길이로 정의해:

\[ \boxed{\ell_s = \sqrt{\alpha'}} \]

끈의 길이 \(\ell_s\)는 "끈의 전형적인 크기"를 나타내.

끈의 장력 \(T\)

🟡 리나: 끈은 "장력을 가진 1차원 물체"이니까, 장력 \(T\)가 기본적인 물리량이 돼. 장력의 차원을 생각해 봐.

🔵 카이: 음, 장력은 힘과 같은 차원이잖아. 힘은……\([\text{E}]^2\)이었나?

⚪ 메이: 응, 아까 표에 그렇게 나와 있었어.

🔵 카이: ……잠깐만. 애초에 왜 힘이 \([\text{E}]^2\)인 거야? 에너지의 제곱이라니 직관적이지 않은데.

🟡 리나: 좋은 의문이야. 일의 정의를 떠올려 봐. \(W = F \times d\)(힘 × 거리 = 에너지)이니까, 거꾸로 \(F = W/d = E/\ell\)이야. 자연 단위계에서는 \([\ell] = [\text{E}]^{-1}\)이니까, \([F] = [\text{E}]/[\text{E}]^{-1} = [\text{E}]^2\)이 돼. 즉 "에너지의 제곱"이라는 건 "에너지를 길이로 나눈 것"을 자연 단위계로 다시 쓴 것뿐이야. SI로 생각하면 힘은 N = J/m이고, 확실히 "에너지÷길이"잖아? 그러니 장력도 확실히 \([\text{E}]^2\)의 차원을 가져.

🔵 카이: 아아, J/m을 자연 단위계로 번역한 것뿐이구나. 그러면 이해가 돼.

🟡 리나: 다만, 끈이론에서의 "장력"은 일상적인 "당기는 힘"과는 약간 다른 직관적 의미를 가지고 있어.

🔵 카이: 응? 장력은 "당기는 힘"이잖아. 다른 의미라니?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 끈의 정지 에너지는 길이에 비례해——길이 \(L\)인 끈은 \(E = T \times L\)의 에너지를 가져. 그래서 \(T = E/L\), 즉 "끈을 단위 길이만큼 늘리는 데 필요한 에너지"가 장력이야. 일상의 "당기는 힘"과 같은 차원(\([\text{E}]/[\text{길이}] = [\text{E}]^2\))이지만, 끈이론에서는 "단위 길이당 에너지"라는 관점이 더 본질적이야.

⚪ 메이: 즉 끈에게 있어서 장력은 "존재하는 것만으로 가지는 선밀도적 에너지"인 거구나.

🟡 리나: 자, 끈의 운동을 기술하려면 "작용"이라는 양을 사용해. 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 1 장에서 배운 최소 작용의 원리 기억나? 그때와 같은 발상이야. 끈의 작용은 남부-고토 작용(영어로는 Nambu-Goto action)이라고 불려——남부 요이치로와 고토 데쓰오라는 일본인 물리학자의 이름에서 유래해(제 13 장 참조). 그 형태는

\[ S = -T \int d(\text{세계면의 넓이}) \]

라는 형태를 하고 있어.

🔵 카이: 잠깐. "세계면"이 뭐야? 그리고 작용은 「일반상대론」편에서 했지만, 끈에서는 어떻게 달라져?

🟡 리나: 순서대로 설명할게. 먼저 세계면——점입자가 시공간을 움직이면 궤적은 "선"(세계선)이 되잖아. 끈은 1차원이니까, 시공간을 움직이면 궤적은 "면"이 돼——이것이 세계면이야.

다음으로 작용 \(S\). 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 1 장에서 배웠듯이, "실제로 실현되는 운동은 작용이 정류하는 경로"라는 원리가 있었잖아. 점입자에서는 작용이 세계선의 길이에 비례했어. 끈에서는 그것이 "세계면의 넓이"로 일반화되는 거야. 비누막을 떠올리면 돼——철사 틀(경계 조건)을 고정하면, 비누막은 넓이가 최소가 되는 모양으로 안정되잖아? 끈의 세계면도 마찬가지야. 넓이를 최소화하는 면이 끈의 실제 운동에 대응해.

🔵 카이: 그렇구나, 점입자의 "선의 길이"가 끈에서는 "면의 넓이"가 되는 거구나. 그러면 작용의 차원은?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 작용의 차원은 끈에서도 점입자에서도 같아. 점입자의 경우를 떠올리면, 작용은 \(S = \int L \, dt\)이고, \(L\)은 라그랑지안(「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 1 장에서 도입한, 운동 에너지와 위치 에너지의 차)이야. 그래서 SI에서의 차원은 \([\text{에너지}] \times [\text{시간}]\)이고, \(\hbar\)와 같은 차원이 돼. 끈의 경우는 적분이 2차원(면적분)이 되지만, 작용 전체의 차원은 변하지 않아——장력 \(T\)의 차원이 면적분의 차원을 흡수해 주니까.

🔵 카이: \(\hbar\)와 같은 차원이라는 건 우연이야?

🟡 리나: 우연이 아니야. 양자역학에서 작용 \(S\)는 항상 \(\hbar\)와 비교되는 양이거든. 예를 들어 불확정성 원리 \(\Delta x \cdot \Delta p \gtrsim \hbar\)의 우변은 "위치×운동량"의 차원——이건 바로 "에너지×시간"과 같은 차원으로, 작용의 차원 그 자체야. 그래서 \(S/\hbar\)는 무차원이 돼. 이 비가 큰지 작은지에 따라 양자 효과의 중요성이 결정돼(\(S \gg \hbar\)이면 고전적, \(S \sim \hbar\)이면 양자 효과가 중요). 지금은 "작용의 차원 = \(\hbar\)의 차원 = 에너지 × 시간"이라고만 기억해두면 충분해.

🔵 카이: 그렇지, \(S/\hbar\)가 무차원이어야 물리적으로 의미 있는 비교를 할 수 있으니까.

🟡 리나: 맞아. 그래서 자연 단위계(\(\hbar = 1\))에서는 \(S\)도 무차원이 돼. 즉 \([S] = [\text{E}]^0\).

⚪ 메이: 즉, \(S\)는 원래 \(\hbar\)와 같은 차원이었으니까, \(\hbar = 1\)로 한 시점에서 무차원이 되는 거구나.

🟡 리나: 여기서 장력의 차원을 구할게. 세계면은 시공간 속의 2차원면——끈(공간 1차원)이 시간 방향으로 진행한 궤적이니까, 한 방향이 "끈을 따른 공간 방향", 다른 한 방향이 "시간 방향"이 돼. 종이 위에 가로축을 끈의 위치, 세로축을 시간으로 그리면, 끈이 시간과 함께 계속 존재하는 모습이 띠 모양의 면이 되잖아? 그것이 세계면이야.

🔵 카이: "시간 방향의 길이"라……아, B.2에서 \(c = 1\)로 했으니까 시간과 길이는 같은 차원이었지. 근데 세계면의 "넓이"는 보통의 넓이(세로×가로)와는 달리 "공간 방향×시간 방향"이잖아? 그래도 같은 \([\text{E}]^{-2}\)가 되는 거야?

🟡 리나: 맞아, 좋은 확인이야. SI로 생각하면 세계면의 넓이는 "길이 × 시간"= m·s이고, 보통의 넓이 m²와는 확실히 차원이 달라. 하지만 자연 단위계에서는 시간도 길이도 같은 \([\text{E}]^{-1}\)이니까, 세계면의 넓이도 \([\text{E}]^{-1} \times [\text{E}]^{-1} = [\text{E}]^{-2}\)이 돼. 자연 단위계에서는 그 구별이 사라지는 거야. 따라서:

\[ [T] = \frac{[S]}{[\text{넓이}]} = \frac{[\text{E}]^0}{[\text{E}]^{-2}} = [\text{E}]^2 \]

⚪ 메이: 아까 힘의 차원이 \([\text{E}]^2\)라고 확인한 것과 일치하네.

🟡 리나: \(T\)와 \(\alpha'\)의 관계를 봐 두자. Nambu-Goto 작용의 계수는 \(T = 1/(2\pi\alpha')\)로 정해져(\(2\pi\)는 닫힌 끈의 매개변수의 주기를 \(2\pi\)로 취하는 규격화에서 온 거야——자세한 건 제 13 장에서 설명해):

\[ \boxed{T = \frac{1}{2\pi\alpha'}} \]

차원을 확인하면: \([\alpha'] = [\text{E}]^{-2}\)이니까 \([1/\alpha'] = [\text{E}]^2 = [T]\). ✓

\(\ell_s\)로 다시 쓰면:

\[ T = \frac{1}{2\pi \ell_s^2} \]

🔵 카이: 끈의 장력이 클수록 \(\ell_s\)가 작아지니까, 끈이 짧아진다는 거구나. ……근데 잠깐, 고무줄은 장력이 크면 늘어나잖아? 반대 아니야?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 고무줄은 "늘리면 장력이 증가"하지만, 끈이론의 기본 끈은 반대로 "장력이 고정되어 있고, 그 장력이 끈의 전형적인 크기를 결정"하는 거야. 장력이 클수록 끈을 늘리는 비용이 높으니까, 양자적 요동으로 퍼질 수 있는 범위가 작아져——그래서 \(\ell_s\)가 작아지는 거야.

🔵 카이: 아아, 고무줄은 "힘을 가해서 늘리는" 이야기지만, 끈이론에서는 "장력이 먼저 정해져 있고 그것이 끈의 크기를 제한하는" 순서가 반대인 거구나.

Planck 스케일과의 관계

🟡 리나: 끈의 길이 \(\ell_s\)와 Planck 길이 \(\ell_P\)는 일반적으로 다른 값이야. 양자의 관계는 끈의 결합 상수 \(g_s\)(제 14 장에서 도입)를 통해 연결돼.

끈이론은 10차원 시공간에서 정식화돼(제 13 장 참조). 차원이 늘어나면 중력 상수의 차원도 바뀌어.

🔵 카이: 왜 차원이 늘어나면 중력 상수의 차원이 바뀌는 거야?

🟡 리나: 직관적으로 말하면, 차원이 늘어나면 중력이 "묽어지는" 방향으로 퍼지니까, 같은 세기의 중력을 만들려면 더 큰 상수가 필요해지는 거야. 여기부터 좀 고급 이야기가 되지만, 제 13 장 이후에서 \(G_{10}\)의 차원이 필요하니까 미리 유도해 둘게. 이해가 안 되면 결과(\([G_D] = [\text{E}]^{2-D}\))만 기억하고 넘어가도 괜찮아.

⚪ 메이: 알겠어. 결과만 먼저 보여주면 중간에 길을 잃어도 안심이 되네.

🟡 리나: 좀 더 정확하게 살펴보자. Newton의 만유인력 법칙 \(F = GMm/r^2\)는 "어떤 영역에 얼마나 질량이 있는가"와 "그 주위의 중력장이 어떻게 거동하는가"를 결합시키는 형태로 다시 쓸 수 있어. 그것이 Poisson 방정식이라 불리는 것으로, 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)(질량 \(m\)인 물체가 그 장소에서 가지는 위치 에너지를 \(m\)으로 나눈 것)를 사용해 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho\)라고 쓸 수 있어(「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 1 장에서 유도 완료). 여기서부터의 목표는 "\(D\)차원의 중력 상수 \(G_D\)의 차원을 구하는 것"이야. 결론은 \([G_D] = [\text{E}]^{2-D}\)이고, \(D=4\)를 대입하면 B.2의 \([G] = [\text{E}]^{-2}\)가 재현돼. 중간의 유도가 어려우면 이 결론만 기억하고 넘어가도 돼.

유도의 방침은 간단해——Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi \sim G_D \rho\)의 각 항의 차원을 세서 \(G_D\)를 구하는 것뿐이야. \(D\)차원으로 일반화할 때도, 이 식의 구조——"퍼텐셜의 공간 미분 = 중력 상수 × 질량 밀도"——는 변하지 않아. 변하는 건 공간의 차원 수뿐이야. 차원 해석에만 집중할게.

🔵 카이: \(\nabla^2\)가 뭐야? 그리고 \(\Phi\)는 아까 "위치 에너지를 질량으로 나눈 것"이라고 했는데, 좀 더 이미지가 와닿는 설명 없어?

🟡 리나: 순서대로 갈게. 먼저 \(\Phi\)(중력 퍼텐셜)——고등학교에서 배운 \(mgh\)를 떠올려 봐. 높이 \(h\)에 있는 질량 \(m\)인 물체는 위치 에너지 \(mgh\)를 가지잖아? 이것을 \(m\)으로 나눈 \(gh\)가 그 장소의 "중력 퍼텐셜"이야. 일반적인 중력장에서는 \(gh\) 대신 \(\Phi\)를 사용하는 거야.

다음으로 \(\nabla^2\)(라플라시안)——이건 각 공간 방향의 2계 미분의 합이야. 3차원이면 \(\nabla^2 = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2\). 직관적으로는 "그 점이 주위와 비교해 얼마나 오목한가(또는 볼록한가)"를 측정하는 양이야. 우변의 \(\rho\)는 질량 밀도니까, Poisson 방정식은 "질량이 있는 곳에서 중력 퍼텐셜이 솟아난다"는 관계식인 거야.

🔵 카이: OK, \(\Phi\)는 "단위 질량당 위치 에너지"이고, \(\nabla^2\)는 "주위와의 차이"를 측정하는 거구나.

🟡 리나: 맞아. \(D\)차원으로 일반화하면, 수치 계수를 생략하고 \(\nabla^2 \Phi \sim G_D \rho\)라고 쓸 수 있어(\(\sim\)는 "차원적으로 같다"는 의미로, \(4\pi\) 같은 수치 계수는 무시하는 거야). 여기서 중요한 건 차원뿐이야. \(\nabla^2\)의 각 항은 \([\text{길이}]^{-2}\)의 차원을 가져——항의 수가 3개(3차원)이든 9개(9차원)이든, 각 항의 차원은 같으니까 합의 차원은 변하지 않아. 즉 \([\nabla^2] = [\text{길이}]^{-2} = [\text{E}]^2\)야.

⚪ 메이: 응, 차원은 각 항으로 결정되니까, 항 수가 늘어나도 \([\text{길이}]^{-2}\) 그대로인 거구나.

🟡 리나: 맞아. 다음으로 질량 밀도 \(\rho\)에 대해. 밀도란 "질량÷부피"이잖아. 우리 우주(\(D=4\))에서는 공간이 3차원이니까, 부피는 m³이고 밀도는 kg/m³야. 이것을 자연 단위계로 쓰면 \([\rho] = [\text{E}]^1 / [\text{E}]^{-3} = [\text{E}]^4\)이네.

일반적인 \(D\)차원 시공간은 "시간 1차원＋공간 \(D-1\)차원"으로 구성되니까, 공간의 부피는 \(D-1\)차원분이 돼. 밀도란 "어느 순간에, 공간의 어떤 영역에 얼마나 질량이 들어 있는가"이니까, 나누는 건 공간 방향의 부피뿐이고 시간 방향은 포함하지 않아. 10차원 시공간이면 공간은 9차원이고, 부피는 m⁹ 같은 차원을 가지는 이미지야. 부피의 차원이 \([\text{길이}]^{D-1} = [\text{E}]^{-(D-1)}\)이니까, 질량 밀도는 "질량÷부피"로:

\[ [\rho] = \frac{[\text{질량}]}{[\text{부피}]} = \frac{[\text{E}]^1}{[\text{E}]^{-(D-1)}} = [\text{E}]^{1+(D-1)} = [\text{E}]^D \]

가 돼. \(D=4\)를 대입하면 \([\rho] = [\text{E}]^4\)로, 방금 확인한 결과와 일치해.

🔵 카이: 퍼텐셜 \(\Phi\)의 차원은?

🟡 리나: 아까 "위치 에너지를 질량으로 나눈 것"이라고 했잖아. 즉 \([\Phi] = [\text{에너지}]/[\text{질량}]\)이야. SI 단위계에서 구체적으로 확인하면 \([\Phi] = \text{J}/\text{kg} = \text{m}^2/\text{s}^2\)이네. 예를 들어 지표 부근이면 \(\Phi = gh\)이고, \(g \approx 9.8\;\text{m/s}^2\), \(h\)가 m이니까 확실히 m²/s²가 되지.

🔵 카이: 응, 그건 알겠어. 그러면 자연 단위계에서는?

🟡 리나: 자연 단위계에서는 에너지도 질량도 같은 \([\text{E}]^1\)이니까, \([\Phi] = [\text{E}]^1 / [\text{E}]^1 = [\text{E}]^0\)(무차원)이 돼.

🔵 카이: 어, 퍼텐셜이 무차원이라니 이상하지 않아? 고등학교에서는 "퍼텐셜 에너지"라고 했는데……

🟡 리나: 주의해——"퍼텐셜 에너지"와 "중력 퍼텐셜"은 다른 거야. 퍼텐셜 에너지는 \(m\Phi\)이고, 질량을 곱한 거야. \(\Phi\) 자체는 "단위 질량당 에너지"이니까, 자연 단위계에서는 \([\text{E}]^1 / [\text{E}]^1 = [\text{E}]^0\)(무차원)이 되는 거야. 참고로 이 구별은 「일반상대론」편의 「일반상대론」편 제 1 장에서도 나왔었지.

⚪ 메이: 즉 \(\Phi\)에 질량 \(m\)을 곱해야 비로소 에너지의 차원이 되는 거구나. \(\Phi\) 단독으로는 "에너지÷질량"이니까 무차원.

🟡 리나: 맞아. 따라서 \([\nabla^2 \Phi] = [\text{E}]^2 \cdot [\text{E}]^0 = [\text{E}]^2\)이고, \([G_D] = [\nabla^2 \Phi] / [\rho] = [\text{E}]^2 / [\text{E}]^D = [\text{E}]^{2-D}\)가 돼(자세한 유도는 제 13 장에서 수행해). 예를 들어 우리의 4차원(\(D=4\))에서는 \([G_4] = [\text{E}]^{2-4} = [\text{E}]^{-2}\)로, B.2의 결과와 일치해.

⚪ 메이: 그렇구나, 일반적인 \(D\)에 대한 공식에서 \(D=4\)를 대입하면 B.2의 결과가 재현되는 거네. 정합성이 맞으니 안심이 돼.

🔵 카이: 그러면 10차원에서는 \([G_{10}] = [\text{E}]^{2-10} = [\text{E}]^{-8}\)이구나. 차원이 늘어날수록 \(G\)의 차원이 계속 내려가는구나. ……그러면 10차원의 \(G_{10}\)과 4차원의 \(G\)는 완전히 다른 건가? 둘은 어떻게 관계되는 거야?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 여분의 차원을 콤팩트화(작게 말아넣기)하면, \(G_{10}\)에서 4차원의 \(G\)가 유도돼. 구체적으로는 여분 차원의 부피 \(V_6\)을 사용해 \(G_4 \sim G_{10} / V_6\)이라는 관계가 돼(자세한 건 제 14 장에서). 우선 10차원에서의 끈 매개변수와의 관계를 봐 둘게. 유도는 제 14 장에 맡기지만, 결과만 먼저 보여주면:

\[ G_{10} \sim g_s^2 \, \ell_s^8 \]

이라는 형태가 돼. 여기서 \(g_s\)는 끈의 결합 상수라 불리는 무차원 매개변수로, 끈끼리 분열·결합하는 상호작용의 세기를 나타내(정식 정의와 물리적 의미는 제 14 장에서 도입해). 정확한 수치 계수는 이론의 종류에 따라 달라. 왜 \(g_s\)의 제곱이 되는지도 제 14 장에서 설명할게. \(\ell_s^8\)은 차원을 맞추기 위해 필요한 인자야.

🔵 카이: 차원을 확인해 보면……좌변은 \([G_{10}] = [\text{E}]^{-8}\), 우변은 \([g_s^2] \cdot [\ell_s^8] = [\text{E}]^0 \cdot [\text{E}]^{-8} = [\text{E}]^{-8}\). OK, 맞아!

🟡 리나: 맞아. 이 식에서 \(\ell_s\)와 \(\ell_P\)의 관계를 알 수 있어. 4차원에서는 \([G_4] = [\text{E}]^{-2}\)이니까, \(G_4^{1/2}\)가 길이의 차원 \([\text{E}]^{-1}\)을 가져——이것이 Planck 길이 \(\ell_P \sim \sqrt{G_4}\)의 유래였지. 같은 발상으로, 10차원에서는 \([G_{10}] = [\text{E}]^{-8}\)이니까, \(G_{10}^{1/8}\)이 길이의 차원 \([\text{E}]^{-1}\)을 가져. 이것이 10차원의 Planck 길이 \(\ell_P^{(10)} \sim G_{10}^{1/8}\)의 정의야(제 18 장에서 나온 11차원의 \(\ell_P^{(11)} \sim g_s^{1/3} \ell_s\)와는 차원이 다르니 구별해줘). \(G_{10} \sim g_s^2 \ell_s^8\)을 대입하면 \(\ell_P^{(10)} \sim g_s^{1/4} \ell_s\)가 얻어져. 즉:

  • \(g_s \ll 1\)(약한 결합)이면 \(g_s^{1/4} \ll 1\)이니까 \(\ell_P^{(10)} \ll \ell_s\): 끈의 스케일은 Planck 스케일보다 크다
  • \(g_s \sim 1\)(강한 결합)이면 \(\ell_s \sim \ell_P^{(10)}\): 양자가 비슷한 정도가 된다

⚪ 메이: \(g_s\)의 값 하나로 끈 스케일과 Planck 스케일의 대소 관계가 결정되는 거구나.

🟡 리나: 이 관계를 그림 B.3「끈이론에서의 스케일 계층과 결합 상수의 관계」에 그림으로 나타냈어.

끈이론에서의 스케일 계층과 결합 상수의 관계

그림 B.3: 끈이론에서의 스케일 계층과 결합 상수의 관계. 끈의 결합 상수 \(g_s\)의 크기에 따라 끈의 길이 \(\ell_s\)와 Planck 길이 \(\ell_P\)의 관계가 바뀐다

🔵 카이: 오, 그러면 끈의 길이는 Planck 길이와는 별개인 거구나. 왜 끈이론에는 독자적인 스케일이 필요한 거야?

🟡 리나: 좋은 의문이야. Planck 스케일은 "양자중력이 중요해지는 스케일"을 알려주지만, 끈이 어느 정도의 크기인지는 별개의 문제야. \(\alpha'\)(즉 \(\ell_s\))와 \(g_s\)가 끈이론의 2개의 자유 매개변수로, Planck 스케일과는 독립적으로 존재해. 이들의 값은 이론만으로는 결정되지 않고, 원리적으로는 실험으로 정해야 할 것들이야——하지만 그 스케일이 너무 작아서 직접 측정할 수 없는 것이 현실이야.

✅ 이해도 체크: 끈이론의 2개의 자유 매개변수는 무엇일까요? 그것들은 이론에서 유일하게 결정될까요?

답

\(\alpha'\)(또는 \(\ell_s\))와 끈의 결합 상수 \(g_s\)의 2개. 이들의 값은 이론만으로는 결정되지 않고, 원리적으로는 실험으로 정해야 한다.

끈이론 매개변수 일람

표 B.4: 끈이론 매개변수 일람

양 정의 자연 단위계의 차원 Planck 단위와의 관계
Regge 기울기 \(\alpha'\) \([\text{E}]^{-2}\) \(\alpha' = \ell_s^2\)
끈의 길이 \(\ell_s = \sqrt{\alpha'}\) \([\text{E}]^{-1}\) \(\ell_s \geq \ell_P\) (보통)
끈의 장력 \(T = 1/(2\pi\alpha')\) \([\text{E}]^2\) \(T = 1/(2\pi\ell_s^2)\)
끈의 결합 상수 \(g_s\) (정의는 제 14 장) 무차원 제 14 장에서 도입

✅ 이해도 체크: 끈의 길이 \(\ell_s\)와 Regge 기울기 \(\alpha'\)의 관계는?

답

\(\ell_s = \sqrt{\alpha'}\).

✅ 이해도 체크: 끈의 장력 \(T\)를 \(\alpha'\)로 표현해 봅시다.

답

\(T = 1/(2\pi\alpha')\).

B.5　환산의 실천 예

기본 도구: \(\hbar c\)의 값

🟡 리나: 자연 단위계에서 SI로 되돌릴 때의 가장 중요한 도구는 \(\hbar c\)의 값이야.

\[ \hbar c = (1.055 \times 10^{-34}\;\text{J·s}) \times (2.998 \times 10^8\;\text{m/s}) \]
\[ = 3.162 \times 10^{-26}\;\text{J·m} \]

MeV·fm으로 환산하면(\(1\;\text{MeV} = 1.602 \times 10^{-13}\;\text{J}\), \(1\;\text{fm} = 10^{-15}\;\text{m}\)):

\[ \hbar c = \frac{3.162 \times 10^{-26}}{1.602 \times 10^{-13} \times 10^{-15}} = \frac{3.162 \times 10^{-26}}{1.602 \times 10^{-28}} \approx 197.3\;\text{MeV·fm} \]
\[ \boxed{\hbar c \approx 197.3\;\text{MeV·fm} = 0.1973\;\text{GeV·fm}} \]

🔵 카이: 197.3 MeV·fm이구나. 이 숫자만 기억해 두면 되는 거지.

🟡 리나: 이 값을 기억해 두면 대부분의 환산이 가능해.

✅ 이해도 체크: 자연 단위계에서 SI 단위계로의 환산에서 가장 중요한 상수의 조합은 무엇이고, 그 값은 얼마일까요?

답

\(\hbar c \approx 197.3\) MeV·fm (\(= 0.1973\) GeV·fm). 이 값을 사용하면 에너지와 길이 사이의 환산을 바로 할 수 있다.

예제 1: 1 GeV는 몇 m\(^{-1}\)인가

자연 단위계에서는 \([\text{E}] = [\text{길이}]^{-1}\)이니까, 어떤 에너지 \(E\)에 대해 \(\lambda = 1/E\)라는 양을 만들면 이것은 길이의 차원을 가진다. 물리적으로는 에너지 \(E\)인 입자에 수반되는 전형적인 길이 스케일(예를 들어 Compton 파장)에 대응한다. SI로 되돌리려면, \(\lambda\)가 길이(m)이고 \(E\)가 에너지(J)가 되도록 차원을 맞추면 된다. \([\hbar c] = [\text{에너지}] \times [\text{길이}]\)이니까, \(\hbar c / E\)는 길이의 차원을 가진다:

\[ \lambda = \frac{1}{E} \quad \xrightarrow{\text{SI로 복원}} \quad \lambda = \frac{\hbar c}{E} \]

\(E = 1\;\text{GeV}\)일 때:

\[ \lambda = \frac{0.1973\;\text{GeV·fm}}{1\;\text{GeV}} = 0.1973\;\text{fm} \]

반대로 말하면:

\[ 1\;\text{GeV} = \frac{1}{0.1973\;\text{fm}} = 5.068\;\text{fm}^{-1} = 5.068 \times 10^{15}\;\text{m}^{-1} \]

⚪ 메이: "\(\hbar c\)로 나눈다"만으로 길이와 에너지를 왔다 갔다 할 수 있구나. 간단해.

예제 2: 전자의 Compton 파장

전자 질량은 자연 단위계에서 \(m_e = 0.511\;\text{MeV}\). Compton 파장 \(\bar{\lambda}_C = 1/m_e\)(자연 단위계)를 SI로 되돌리면:

\[ \bar{\lambda}_C = \frac{\hbar}{m_e c} = \frac{\hbar c}{m_e c^2} = \frac{197.3\;\text{MeV·fm}}{0.511\;\text{MeV}} = 386\;\text{fm} = 3.86 \times 10^{-13}\;\text{m} \]

📝 연습문제:

예제 3: 자연 단위계에서 \(G\)의 값

자연 단위계에서 \([G] = [\text{E}]^{-2}\)이니까, \(G\)를 GeV\(^{-2}\)로 표현할 수 있다.

Planck 질량의 정의 \(M_P = \sqrt{\hbar c / G}\)를 변형하면 \(G = \hbar c / M_P^2\). 자연 단위계(\(\hbar = c = 1\))에서는:

\[ G = \frac{\hbar c}{M_P^2} = \frac{1}{M_P^2} \quad (\text{자연 단위계}) \]

좀 더 자세히. \(G = 1/M_P^2\)(자연 단위계)를 사용하면, \(M_P\)를 GeV로 표현하기만 하면 된다. B.3에서 구한 Planck 질량은 SI에서 \(M_P = 2.18 \times 10^{-8}\) kg이었는데, 이것을 에너지로 환산하면 \(M_P c^2 = 1.22 \times 10^{19}\) GeV. 자연 단위계(\(c = 1\))에서는 질량과 에너지가 같은 차원이니까, \(M_P = 1.22 \times 10^{19}\) GeV라고 그대로 쓸 수 있다. 따라서:

\[ G = \frac{1}{M_P^2} = \frac{1}{(1.22 \times 10^{19}\;\text{GeV})^2} \approx 6.71 \times 10^{-39}\;\text{GeV}^{-2} \]

🔵 카이: 우와, \(10^{-39}\)이라니……엄청나게 작구나. 중력이 얼마나 약한 힘인지 잘 알겠어.

🟡 리나: SI의 값 \(G = 6.674 \times 10^{-11}\;\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)에서 직접 변환할 수도 있어. \(\hbar c = 0.1973\) GeV·fm을 사용해 m, kg, s를 전부 GeV의 거듭제곱으로 치환해 나가면 돼(다소 번거로우므로 위의 방법이 실용적이야).

예제 4: 1 GeV\(^{-1}\)는 몇 초인가

자연 단위계에서 시간은 \([\text{E}]^{-1}\). SI로 되돌리려면:

\[ t = \frac{\hbar}{E} \]

\(E = 1\;\text{GeV} = 1.602 \times 10^{-10}\;\text{J}\)일 때:

\[ \frac{1}{1\;\text{GeV}} \to t = \frac{\hbar}{1\;\text{GeV}} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{1.602 \times 10^{-10}} = 6.58 \times 10^{-25}\;\text{s} \]

편리한 환산표

표 B.5: 편리한 단위 환산표

환산 값
\(\hbar c\) \(197.3\) MeV·fm \(= 0.1973\) GeV·fm
\(1\) fm \(10^{-15}\) m
\(1\) GeV \(1.602 \times 10^{-10}\) J
\(1\) GeV \(5.068 \times 10^{15}\) m\(^{-1}\) (길이의 역수)
\(1\) GeV\(^{-1}\) \(0.1973\) fm (길이)
\(1\) GeV\(^{-1}\) \(6.58 \times 10^{-25}\) s (시간)
\(1\) GeV\(^{-2}\) \(0.389\) mb (단면적, \(1\;\text{mb} = 10^{-31}\;\text{m}^2\))
\((\hbar c)^2\) \(0.3894\) GeV²·mb

🔵 카이: \(\hbar c = 197.3\) MeV·fm만 기억해 두면 전부 구할 수 있다는 건 알겠어. 근데 반대로, "이 항이 \([\text{E}]\)의 몇 제곱인가"를 틀리면 전부 어긋나잖아? 그것만 좀 무서운데.

🟡 리나: 좋은 지적이야. 먼저 절차를 정리할게. 본편에서 "\(c = \hbar = 1\)"이라고 쓰여 있는 식을 SI로 되돌리고 싶으면, 차원 해석으로 \(\hbar\)와 \(c\)의 적절한 거듭제곱을 복원하면 돼. 절차를 그림 B.4「자연 단위계에서 SI 단위로의 복원 절차」에 정리했어:

  1. 자연 단위계의 식에서, 각 항의 \([\text{E}]\)의 거듭제곱을 확인한다
  2. SI로 되돌리고 싶은 양의 차원(m, kg, s)을 정한다
  3. \(\hbar\)(\([\text{E}] \cdot [\text{시간}]\))와 \(c\)(\([\text{길이}]/[\text{시간}]\))를 적절히 곱해서 차원을 맞춘다
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flowchart TD
    A["자연 단위계의 식"] --> B["Step 1: 각 항의 [E]ⁿ을 확인"]
    B --> C["Step 2: 원하는 SI 차원을 정한다\n(m? kg? s?)"]
    C --> D["Step 3: ℏ와 c의 거듭제곱을 복원\nℏ = [E]·[시간]\nc = [길이]/[시간]"]
    D --> E["SI 단위의 식"]
    D -.->|"편리한 상수"| F["ℏc = 197.3 MeV·fm"]
    F -.-> E

그림 B.4: 자연 단위계에서 SI 단위로의 복원 절차

⚪ 메이: 즉, 자연 단위계의 식을 보면 "각 항의 \([\text{E}]\)의 거듭제곱을 센다 → 원하는 SI 차원에 맞도록 \(\hbar\)와 \(c\)를 곱한다"의 2단계인 거구나. \(\hbar c \approx 197\) MeV·fm이 만능 환산 계수라는 거지.

🔵 카이: 구체적 예가 4개나 있으니 안심이 돼. 근데 말이야, \([\text{E}]\)의 거듭제곱을 틀리면 전부 어긋나잖아? 뭔가 확인하는 방법은 없어?

🟡 리나: 식의 양변에서 \([\text{E}]\)의 거듭제곱이 일치하는지 확인하는 거야. SI에서의 차원 해석과 같은 발상이지. 예를 들어 \(E = mc^2\)를 자연 단위계로 쓰면 \(E = m\)인데, 좌변은 \([\text{E}]^1\), 우변의 질량도 \([\text{E}]^1\)——제대로 맞아. 만약 "어라, 안 맞네"라고 생각되면, \(\hbar\)나 \(c\)의 복원을 틀린 증거야. 제 12 장 이후에서 막히면 여기로 돌아와줘.

🔵 카이: 그렇구나, SI에서 "양변의 단위가 맞는지 확인하는 것"과 같은 걸 \([\text{E}]\)의 거듭제곱으로 하면 되는 거구나. 시험삼아 아까의 \(G = 1/M_P^2\)로 확인해 보면……좌변 \([G] = [\text{E}]^{-2}\), 우변 \([1/M_P^2] = [\text{E}]^{-2}\). OK, 맞아!

⚪ 메이: 응, 차원 확인은 자연 단위계에서도 SI에서도 기본은 같구나.

🔵 카이: 근데 솔직히, 본편의 식이 더 복잡해졌을 때 즉답할 수 있을지는 불안하다. 예를 들어 끈의 작용에 \(\alpha'\)와 \(g_s\)가 둘 다 들어 있는 식이면, \([\text{E}]\)의 거듭제곱을 세는 것만으로도 한참 걸릴 것 같은데……

🟡 리나: 좋은 걱정이야. 하지만 요령은 같아——"먼저 식의 각 항의 \([\text{E}]\)의 거듭제곱을 적어 놓기". \(\alpha'\)면 \([\text{E}]^{-2}\), \(g_s\)면 \([\text{E}]^0\)(무차원)이라고 알고 있으니까, 그걸 대입하면 돼. 구체적으로 해보면, 예를 들어 \(g_s^2 \alpha'^4\)면 \([\text{E}]^0 \cdot [\text{E}]^{-8} = [\text{E}]^{-8}\)——이렇게 기계적으로 셀 수 있어.

🔵 카이: OK, 방법 자체는 간단하네. 나머지는 본편에서 실제로 나왔을 때 익숙해지는 수밖에 없구나. ……다만, 끈의 작용 같은 데서 \(\alpha'\)와 \(g_s\)가 동시에 나왔을 때 SI로 되돌릴 필요가 있는지 없는지 판단이 어려울 것 같은데.

🟡 리나: 좋은 지적이야. 사실 끈이론 계산에서는 SI로 되돌릴 필요가 거의 없어. 자연 단위계 그대로 "\(\ell_s\)의 몇 배인가", "\(M_P\)의 몇 분의 1인가"로 논의하는 경우가 많아. SI로 되돌리는 건 실험값과 비교할 때뿐이야.

🔵 카이: 그런 거구나. 그러면 본편에서는 자연 단위계 그대로 읽어 나가고, 실험값과 비교하고 싶어지면 여기로 돌아오면 되는 거네.

⚪ 메이: 응, 이 부록으로 돌아오면 표도 환산 예도 있으니까, 그때 참조하면 돼.

다음 장 예고

부록 C에서는 첨자의 올리고 내리기와 공변 미분 같은 텐서와 미분기하의 기초를 정리한다. 휜 시공간을 기술하는 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)나 Christoffel 기호는 일반상대성이론(제 6 장)에서 끈이 전파되는 배경 시공간(제 12 장 이후)까지 반복해서 등장하는 도구다. 좌표에 의존하지 않는 기하학적 기술의 힘을 체감하자.

연습 문제

📝 연습문제:

참고 문헌

  • Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.2: "Special Relativity and Extra Dimensions" — 자연 단위계, Lorentz 변환
  • Elias Kiritsis, String Theory in a Nutshell, Ch.1 — Planck 스케일의 논의
  • Michael Peskin & Daniel Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, 서장 — 자연 단위계의 도입과 환산
  • 「일반상대론」편 Appendix D (기하학 단위계에서 SI 단위계로의 변환 절차)
  • 「장의 양자론」편 Appendix D (단위계와 물리 상수 — 「장의 양자론」편에서의 관례)
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