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제 7 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Minkowski 계량에 의한 선소 계산과 시공 분류

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) 에 좌표 차이를 대입해요.

계산:

\[ ds^2 = -(3)^2 + (1)^2 + (2)^2 + (0)^2 = -9 + 1 + 4 + 0 = -4 \]

판정: \(ds^2 = -4 < 0\) 이므로, 이 간격은 시간꼴(timelike)이에요.

검산: 시간 성분 \(dt = 3\) 에 대해 공간 성분의 크기는 \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 < 3\) 이므로, 광속 이하의 이동에 대응하며 시간꼴이라는 판정과 일치해요.

B-2. 2차원 구면의 계량 텐서와 역계량

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\) 에서 각 성분을 읽어내요. 대각 계량이므로 역계량은 각 성분의 역수예요.

계량 텐서의 성분:

\[ g_{\theta\theta} = a^2, \qquad g_{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta, \qquad g_{\theta\varphi} = g_{\varphi\theta} = 0 \]

역계량의 성분:

\[ g^{\theta\theta} = \frac{1}{g_{\theta\theta}} = \frac{1}{a^2}, \qquad g^{\varphi\varphi} = \frac{1}{g_{\varphi\varphi}} = \frac{1}{a^2\sin^2\theta} \]

검산: \(g_{\theta\theta}\,g^{\theta\theta} = a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 1\), \(g_{\varphi\varphi}\,g^{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta \cdot \frac{1}{a^2\sin^2\theta} = 1\). 역행렬 조건 \(g_{\alpha\gamma}\,g^{\gamma\beta} = \delta_\alpha^{\ \beta}\) 을 만족해요. ✓

B-3. 극좌표에서 \(\varphi\) 방향의 고유 길이

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: 평탄 시공간의 극좌표 계량 (6.12)은 \(g_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1, 1, r^2, r^2\sin^2\theta)\)이에요. \(dt = dr = d\theta = 0\)으로 놓고 \(dL\)을 구해요.

계산:

\(r = R\), \(\theta = \pi/4\)로 고정하고, \(\varphi\)만 변화시키면:

\[ dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2 = r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 = R^2\sin^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)d\varphi^2 = R^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 d\varphi^2 = \frac{R^2}{2}\,d\varphi^2 \]
\[ \boxed{dL = \frac{R}{\sqrt{2}}\,d\varphi} \]

검산: \(\theta = \pi/2\)(적도)이면 \(dL = R\,d\varphi\)로 통상적인 원호의 길이가 돼요. \(\theta = \pi/4\)는 적도보다 극에 가까우므로 원둘레가 짧아지고, \(R/\sqrt{2} < R\)은 타당해요. ✓

B-4. Schwarzschild 계량에서 정지 관측자의 고유시간

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: 정지 상태(\(dr = d\theta = d\varphi = 0\))로 놓고 \(d\tau^2 = -ds^2 = -g_{00}\,dt^2\) 를 계산해요.

계산:

\[ d\tau^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 \]

\(r = 10M\) 을 대입하면:

\[ d\tau^2 = \left(1 - \frac{2M}{10M}\right)dt^2 = \left(1 - \frac{1}{5}\right)dt^2 = \frac{4}{5}\,dt^2 \]
\[ \boxed{d\tau = \sqrt{\frac{4}{5}}\,dt = \frac{2}{\sqrt{5}}\,dt = \frac{2\sqrt{5}}{5}\,dt} \]

수치적으로는 \(d\tau \approx 0.894\,dt\)이에요.

검산: \(r = 10M \gg 2M\) 이므로 \(d\tau\)는 \(dt\)보다 약간 작아야 해요. \(0.894 < 1\)로 일치해요. \(r \to \infty\)에서 \(d\tau \to dt\), \(r \to 2M\)에서 \(d\tau \to 0\)이라는 극한도 올바르게 성립해요. ✓

B-5. Schwarzschild 계량의 \(r = 4M\) 에서의 성분

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: 계량 텐서 (6.15)에 \(r = 4M\), \(\theta = \pi/2\)를 대입해요.

계산:

\[ 1 - \frac{2M}{r} = 1 - \frac{2M}{4M} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

각 성분:

\[ g_{00} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = -\frac{1}{2} \]
\[ g_{11} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \]
\[ g_{22} = r^2 = (4M)^2 = 16M^2 \]
\[ g_{33} = r^2\sin^2\theta = (4M)^2\sin^2\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 16M^2 \]
\[ \boxed{g_{00} = -\frac{1}{2},\quad g_{11} = 2,\quad g_{22} = 16M^2,\quad g_{33} = 16M^2} \]

검산: \(g_{00} \cdot g^{00} = 1\)이므로 \(g^{00} = -2\)이에요. \(g_{11} \cdot g^{11} = 1\)이므로 \(g^{11} = 1/2\)이에요. \(g_{00} \cdot g_{11} = -1/2 \times 2 = -1\)이며, \(g_{00} = -(1-2M/r)\)과 \(g_{11} = (1-2M/r)^{-1}\)의 관계 \(g_{00} \cdot g_{11} = -1\)을 만족해요. ✓

B-6. de Sitter 형 계량의 성분과 역계량

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풀이 방침: \(ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\) 에서 대각 성분을 읽어내고, 역수를 취해요.

계량 텐서의 0이 아닌 성분:

\[ g_{00} = -1, \qquad g_{11} = e^{2Ht}, \qquad g_{22} = e^{2Ht}, \qquad g_{33} = e^{2Ht} \]

(비대각 성분은 모두 0)

역계량의 0이 아닌 성분:

\[ g^{00} = \frac{1}{g_{00}} = -1, \qquad g^{11} = \frac{1}{g_{11}} = e^{-2Ht}, \qquad g^{22} = e^{-2Ht}, \qquad g^{33} = e^{-2Ht} \]

검산: \(g_{11}\,g^{11} = e^{2Ht} \cdot e^{-2Ht} = 1\). ✓ 또한 \(H = 0\) 일 때 \(g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta}\) 로 돌아가요. ✓

B-7. Schwarzschild 계량에서 \(\varphi\) 방향의 고유 길이

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: \(dt = dr = d\theta = 0\)으로 놓고 \(\varphi\) 방향의 고유 길이를 계산한 뒤, 평탄 시공간의 경우와 비교해요.

Schwarzschild 계량에서의 계산:

\(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\)에서 \(\varphi\) 방향으로 \(d\varphi\)만큼 이동하면:

\[ dL^2 = g_{33}\,d\varphi^2 = r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 = (6M)^2 \cdot 1 \cdot d\varphi^2 = 36M^2\,d\varphi^2 \]
\[ dL = 6M\,d\varphi \]

평탄 시공간의 극좌표에서의 계산:

평탄 시공간 (6.12)에서도 \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)이므로, 같은 \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\)에 대해:

\[ dL_{\text{flat}} = 6M\,d\varphi \]

비교: 양자는 일치해요.

\[ \boxed{dL = dL_{\text{flat}} = 6M\,d\varphi} \]

이것은 Schwarzschild 계량의 \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)이 평탄 시공간과 같은 형태인 것에 기인해요. Schwarzschild 계량에서 평탄 시공간과 다른 것은 \(g_{00}\)과 \(g_{11}\)뿐이며, \(\theta\) 방향·\(\varphi\) 방향의 각도 성분은 변하지 않아요. Schwarzschild 좌표에서의 \(r\)은 "좌표 반지름 \(r\)인 구면의 넓이가 \(4\pi r^2\)이 되도록 정의된 좌표"(넓이 반지름)이며, \(\varphi\) 방향의 호의 길이는 평탄 시공간과 같아져요.

검산: \(r \to \infty\)에서 Schwarzschild 계량은 평탄에 가까워지므로, 각도 방향이 일치하는 것은 자연스러워요. 또한 \(r\)이 유한해도 \(g_{22}\), \(g_{33}\)은 평탄과 같은 형태이므로, 임의의 \(r\)에서 일치해요. ✓

B-8. Rindler 계량에서의 고유시간

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풀이 방침: \(dx = 0\)(정지)으로 놓고 \(d\tau^2 = -ds^2\)를 계산해요.

계산:

\[ ds^2 = -\alpha^2 x_0^2\,dt^2 + 0 = -\alpha^2 x_0^2\,dt^2 \]
\[ d\tau^2 = -ds^2 = \alpha^2 x_0^2\,dt^2 \]
\[ \boxed{d\tau = \alpha x_0\,dt} \]

(\(x_0 > 0\), \(\alpha > 0\)이므로 \(d\tau > 0\))

검산: \(x_0\)가 클수록 \(d\tau\)가 커요(시간이 빨리 흘러요). Rindler 계량은 등가속도 \(\alpha\)인 관측자가 보는 시공간을 기술하며, \(x_0\)가 큰(가속 방향으로 먼) 곳일수록 중력 퍼텐셜이 높은 위치에 대응하므로, 시간이 빨리 흐르는 것은 물리적으로 올바른 결과예요. Schwarzschild 계량의 \(d\tau = \sqrt{1-2M/r}\,dt\)와 유사한 구조(\(g_{00}\)의 제곱근이 고유시간과 좌표시간의 비를 결정)를 가져요. ✓

Medium（표준）

M-1. 구면의 넓이 계산

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풀이 방침: 평탄 시공간의 극좌표 (6.11)에서 \(t\) 일정, \(r = R\) 일정으로 놓은 유도 계량으로부터 넓이 요소를 구하고, 구면 전체에서 적분해요.

유도 계량의 도출:

\(dt = 0\), \(dr = 0\)으로 놓으면, \(r = R\)인 구면 위의 선소는:

\[ ds^2_{(2)} = R^2\,d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

2차원 부분의 계량 행렬은:

\[ g_{ij} = \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2\sin^2\theta \end{pmatrix} \]

행렬식 계산:

\[ \det(g_{ij}) = R^2 \cdot R^2\sin^2\theta = R^4\sin^2\theta \]

넓이 요소:

\[ dA = \sqrt{\det(g_{ij})}\,d\theta\,d\varphi = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]

구면 전체의 적분:

\[ A = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]

\(\varphi\) 적분:

\[ \int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi \]

\(\theta\) 적분:

\[ \int_0^{\pi} \sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \]

따라서:

\[ \boxed{A = R^2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi R^2} \]

검산: 이것은 반지름 \(R\)인 구의 겉넓이 공식 그 자체이며, 계량으로부터 올바르게 유도되었어요. 차원적으로도 \([R^2]\)로 넓이의 차원을 가져요. ✓

M-2. 적도 위의 원둘레 길이

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풀이 방침: \(r = R\), \(\theta = \pi/2\)로 고정하고, \(\varphi\) 방향의 선소를 적분해요.

계산:

\(t\) 일정, \(r = R\), \(\theta = \pi/2\)일 때, \(dt = dr = d\theta = 0\)이므로 선소는

\[ dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2 = R^2\sin^2(\pi/2)\,d\varphi^2 = R^2\,d\varphi^2 \]

따라서 \(dL = R\,d\varphi\). 원둘레의 길이는

\[ C = \int_0^{2\pi} R\,d\varphi = 2\pi R \]
\[ \boxed{C = 2\pi R} \]

검산: 이것은 평탄 공간의 원둘레 공식 그 자체예요. 평탄 시공간의 극좌표에서는 공간이 휘어있지 않으므로, 유클리드 기하학의 결과와 일치하는 것은 당연해요. Schwarzschild 계량의 경우에는 \(g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta\)로 같은 형태이지만, \(r\)이 "중심으로부터의 거리"가 아니라 "면적 반지름"이기 때문에 해석이 달라요(제 8 장 참조). ✓

M-3. 중력 적색편이 유도 (Schwarzschild 계량으로부터의 완전한 유도)

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풀이 방침: 빛의 진동수는 고유시간의 역수에 비례한다는 것(\(\nu \propto 1/d\tau\))과, 정적 시공간에서는 좌표 시간 간격 \(dt\)가 발신 측과 수신 측에서 공통이라는 점을 이용해요.

도출:

단계 1: 정지 관측자의 고유시간

\(r = r_0\)에 정지해 있는 관측자(\(dr = d\theta = d\varphi = 0\))의 고유시간은 (6.16)으로부터:

\[ d\tau_{\text{em}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}}\,dt \]

\(r = \infty\)에 있는 관측자의 고유시간은(\(r \to \infty\)에서 \(g_{00} \to -1\)):

\[ d\tau_{\text{obs}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{\infty}}\,dt = 1 \cdot dt = dt \]

단계 2: 좌표시 \(dt\)의 공통성

Schwarzschild 계량은 정적(\(g_{\alpha\beta}\)가 \(t\)에 의존하지 않음)이므로, 빛이 \(r_0\)에서 \(\infty\)까지 전파하는 데 걸리는 좌표 시간은 일정해요. 따라서 발신 측에서 좌표 시간 간격 \(dt\) 동안 1주기분의 빛이 방출되면, 수신 측에서도 같은 좌표 시간 간격 \(dt\) 동안 1주기분의 빛이 도착해요.

단계 3: 진동수의 비

진동수는 고유시간의 1주기의 역수에 비례하므로:

\[ \nu_{\text{em}} \propto \frac{1}{d\tau_{\text{em}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2M/r_0}\,dt} \]
\[ \nu_{\text{obs}} \propto \frac{1}{d\tau_{\text{obs}}} = \frac{1}{dt} \]

비를 취하면:

\[ \frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}} = \frac{d\tau_{\text{em}}}{d\tau_{\text{obs}}} = \frac{\sqrt{1 - 2M/r_0}\,dt}{dt} \]
\[ \boxed{\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}}} \]

물리적 해석: \(r_0 > 2M\)일 때 \(\sqrt{1 - 2M/r_0} < 1\)이므로 \(\nu_{\text{obs}} < \nu_{\text{em}}\)이에요. 즉, 중력장 속에서 탈출한 빛은 진동수가 감소해요(파장이 길어져요). 이것이 중력 적색편이예요.

검산:

  • \(r_0 \to \infty\): \(\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{em}} \to 1\) (중력이 약하면 적색편이 없음). ✓
  • \(r_0 \to 2M\): \(\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{em}} \to 0\) (사건의 지평면에서 나오는 빛은 무한히 적색편이됨). ✓
  • 약한 중력장 근사: \(\sqrt{1 - 2M/r_0} \approx 1 - M/r_0 = 1 - GM/(c^2 r_0)\) (\(c = 1\) 단위계). 이것은 Newton적 중력 퍼텐셜 \(\Phi = -GM/r_0\)을 사용하면 \(1 + \Phi/c^2\)에 대응하며, 등가 원리로부터의 예측과 일치해요. ✓

M-4. Schwarzschild 계량에서의 지름 방향 고유 길이

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풀이 방침: \(dt = d\theta = d\varphi = 0\)으로 놓고 지름 방향의 고유 길이를 적분한 뒤, 약한 중력 근사로 전개해요.

고유 길이의 식:

어떤 순간(\(dt = 0\))에 \(r\) 방향만 변화시키면:

\[ dL^2 = g_{11}\,dr^2 = \frac{dr^2}{1 - 2M/r} \]
\[ \Delta L = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - 2M/r}} \]

약한 중력 근사:

\(r \gg 2M\)일 때:

\[ \frac{1}{\sqrt{1 - 2M/r}} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r} = 1 + \frac{M}{r} \]

적분 수행:

\[ \Delta L \approx \int_{r_1}^{r_2} \left(1 + \frac{M}{r}\right)dr = \int_{r_1}^{r_2} dr + M\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r} \]
\[ = (r_2 - r_1) + M\left[\ln r\right]_{r_1}^{r_2} \]
\[ = (r_2 - r_1) + M\ln\frac{r_2}{r_1} \]

좌표 차이와의 차:

\[ \boxed{\delta L = \Delta L - (r_2 - r_1) = M\ln\frac{r_2}{r_1}} \]

물리적 해석: 고유 길이 \(\Delta L\)은 좌표 차이 \(r_2 - r_1\)보다 \(M\ln(r_2/r_1)\)만큼 길어요. 이것은 슈바르츠실트 시공간에서 \(r\) 방향의 공간이 "늘어나 있다"는 것을 정량적으로 보여줘요. 질량 \(M\)이 클수록, 또한 \(r_1\)이 작을수록(별에 가까울수록) 이 효과는 커져요.

검산:

  • 차원 분석: \(G = c = 1\) 단위계에서 \(M\)은 길이의 차원을 가져요(\(M \to GM/c^2\)). \(\ln(r_2/r_1)\)은 무차원이므로, \(\delta L = M\ln(r_2/r_1)\)은 길이의 차원을 가져요. ✓
  • \(M \to 0\) 극한: \(\delta L \to 0\)이 되어, 평탄한 시공간에서는 고유 길이와 좌표 차이가 일치해요. ✓
  • \(r_1 = r_2\) 극한: \(\delta L = M\ln 1 = 0\). ✓
  • 부호: \(r_2 > r_1\)이므로 \(\ln(r_2/r_1) > 0\)이고 따라서 \(\delta L > 0\). 고유 길이가 좌표 차이보다 길다는 것과 일치해요. ✓

M-5. 계량 텐서의 독립 성분의 수

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풀이 방침: 대칭행렬의 독립 성분 수 공식을 이용해요.

대각 계량의 경우

대각 계량에서는 \(g_{\alpha\beta} = 0\)（\(\alpha \neq \beta\)）이므로, 0이 아닌 성분은 대각 성분 \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\)의 4개뿐이에요. 이들은 모두 독립이에요.

\[ \boxed{\text{대각 계량의 독립 성분 수} = 4} \]

일반적인 4차원 계량 텐서의 경우

\(4 \times 4\) 행렬 \(g_{\alpha\beta}\)는 일반적으로 \(4 \times 4 = 16\)개의 성분을 가져요. 그러나 대칭성 \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\)에 의해, \(\alpha \neq \beta\)인 성분은 쌍으로 같아요.

독립 성분을 세는 방법:

  • 대각 성분（\(\alpha = \beta\)）：\(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\)의 4개
  • 비대각 성분（\(\alpha < \beta\)）：\((0,1)\), \((0,2)\), \((0,3)\), \((1,2)\), \((1,3)\), \((2,3)\)의 6개

합계: \(4 + 6 = 10\)개.

일반적으로 \(n \times n\) 대칭행렬의 독립 성분 수는:

\[ \frac{n(n+1)}{2} \]

\(n = 4\)인 경우:

\[ \frac{4 \times 5}{2} = 10 \]
\[ \boxed{\text{일반적인 4차원 계량 텐서의 독립 성분 수} = 10} \]

검산: 전체 성분 수 16개에서 대칭성에 의한 구속 조건의 수를 빼도 같은 결과를 얻을 수 있어요. \(\alpha \neq \beta\)인 조합은 \(\binom{4}{2} = 6\)개가 있고, 각 조합에 대해 \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\)라는 1개의 구속이 있어요. 따라서 독립 성분 수는 \(16 - 6 = 10\). ✓

Advanced（발전）

A-1. 일정 곡률 2차원 공간의 기하학

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주어진 계량:

\[ ds^2 = \frac{dr^2 + r^2\,d\varphi^2}{\left(1 + \frac{k}{4}r^2\right)^2} \]

(a) 좌표 반지름 \(r_0\)인 원의 둘레의 고유 길이

풀이 방침: \(r = r_0\)(일정)으로 놓으면 \(dr = 0\)이에요. \(\varphi\)를 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 적분해요.

계산:

\(r = r_0\) 위의 선소는:

\[ dL = \frac{r_0}{\left(1 + \frac{k}{4}r_0^2\right)}\,d\varphi \]

둘레의 고유 길이:

\[ C(r_0) = \int_0^{2\pi} \frac{r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2}\,d\varphi = \frac{2\pi r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2} \]
\[ \boxed{C(r_0) = \frac{2\pi r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2}} \]

(b) 지름 방향의 고유 길이와 둘레의 비교

고유 반지름의 적분:

\(\varphi\) 일정으로 놓고 \(r = 0\)부터 \(r = r_0\)까지:

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 + \frac{k}{4}r^2} \]

\(k > 0\)인 경우의 적분:

\(\frac{k}{4} = a^2\)(\(a = \frac{\sqrt{k}}{2}\))으로 놓으면:

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 + a^2 r^2} = \frac{1}{a}\arctan(a r_0) = \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{k}}{2}r_0\right) \]
\[ \boxed{\mathcal{R}(r_0) = \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{k}}{2}r_0\right)} \]

\(C(r_0)\)와 \(2\pi\mathcal{R}(r_0)\)의 비교:

\(u = \frac{\sqrt{k}}{2}r_0 > 0\)으로 놓으면:

\[ C = \frac{2\pi r_0}{1 + u^2}, \qquad 2\pi\mathcal{R} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan u = \frac{2\pi r_0}{u}\arctan u \]

(여기서 \(r_0 = \frac{2u}{\sqrt{k}}\)를 사용했어요.)

비를 취하면:

\[ \frac{C}{2\pi\mathcal{R}} = \frac{\frac{2\pi r_0}{1+u^2}}{\frac{2\pi r_0}{u}\arctan u} = \frac{u}{(1+u^2)\arctan u} \]

\(u > 0\)일 때, \(\arctan u < u\)(역탄젠트 함수의 성질)이지만, 여기서는 분모에 \((1+u^2)\arctan u\)가 있으므로 좀 더 자세히 살펴봐야 해요.

\(f(u) = u - (1+u^2)\arctan u\)의 부호를 조사해요. \(f(0) = 0\)이고,

\[ f'(u) = 1 - 2u\arctan u - (1+u^2)\cdot\frac{1}{1+u^2} = 1 - 2u\arctan u - 1 = -2u\arctan u \]

\(u > 0\)일 때 \(f'(u) = -2u\arctan u < 0\)이므로, \(f(u) < f(0) = 0\)이에요.

즉 \(u < (1+u^2)\arctan u\)이며:

\[ \frac{C}{2\pi\mathcal{R}} = \frac{u}{(1+u^2)\arctan u} < 1 \]
\[ \boxed{k > 0 \text{일 때 } C(r_0) < 2\pi\mathcal{R}(r_0)} \]

기하학적 의미: 유클리드 평면에서는 둘레 \(= 2\pi \times\) 반지름이 성립해요. \(C < 2\pi\mathcal{R}\)라는 것은 "중심에서 측정한 실제 거리(고유 반지름)에 비해 둘레가 짧다"는 것을 의미해요. 이것은 양의 곡률을 가진 공간의 특징이에요.

직관적으로, 구면 위에서 북극에서 위선까지의 대원 거리(고유 반지름)를 측정하면, 그 위선의 둘레는 \(2\pi \times\)(대원 거리)보다 짧아요. 예를 들어 구면 위에서 북극에서 적도까지의 대원 거리는 \(\pi R/2\)이지만, 적도의 둘레는 \(2\pi R\)이며, \(2\pi R < 2\pi \cdot \pi R/2 = \pi^2 R\)이에요.

(c) \(k\)의 부호와 기하학의 대응

\(k > 0\)(구면):

(b)에서 보인 것처럼 \(C < 2\pi\mathcal{R}\)이에요. 이것은 구면 기하학의 특징이에요. 구면 위에서는 중심에서 멀어질수록 둘레의 증가율이 \(2\pi\)배보다 느려져요. 삼각형의 내각의 합은 \(\pi\)보다 커요. 공간은 "닫혀" 있으며, 유한한 넓이를 가져요.

\(k = 0\)(평면):

계량은 \(ds^2 = dr^2 + r^2\,d\varphi^2\)가 되며, 이것은 통상적인 유클리드 평면의 극좌표 표현 그 자체예요. \(C = 2\pi r_0 = 2\pi\mathcal{R}\)(\(\mathcal{R} = r_0\))이고, 평탄한 기하학이에요.

\(k < 0\)(쌍곡면):

\(k < 0\)인 경우, \(|k|/4 = b^2\)으로 놓으면:

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 - b^2 r^2} = \frac{1}{b}\mathrm{arctanh}(b r_0) = \frac{2}{\sqrt{|k|}}\mathrm{arctanh}\!\left(\frac{\sqrt{|k|}}{2}r_0\right) \]

(단, \(r_0 < 2/\sqrt{|k|}\)인 범위에서.)

\(\mathrm{arctanh}(v) > v\)(\(0 < v < 1\))이므로, \(\mathcal{R} > r_0\)가 되는 한편,

\[ C = \frac{2\pi r_0}{1 - b^2 r_0^2} > 2\pi r_0 \]

같은 분석을 수행하면 \(C > 2\pi\mathcal{R}\)이 돼요. 이것은 음의 곡률을 가진 공간(쌍곡면, 안장형 면)의 특징으로, 중심에서 멀어질수록 둘레의 증가율이 \(2\pi\)배보다 빨라요. 삼각형의 내각의 합은 \(\pi\)보다 작아요. 공간은 "열려" 있으며, 무한한 넓이를 가져요.

\(k\)의 부호 기하학 둘레와 반지름의 관계 삼각형의 내각의 합
\(k > 0\) 구면 \(C < 2\pi\mathcal{R}\) \(> \pi\)
\(k = 0\) 평면 \(C = 2\pi\mathcal{R}\) \(= \pi\)
\(k < 0\) 쌍곡면 \(C > 2\pi\mathcal{R}\) \(< \pi\)

검산: \(k > 0\)에서 \(r_0 \to 0\)일 때, \(C \to 2\pi r_0\), \(\mathcal{R} \to r_0\)이므로 \(C \to 2\pi\mathcal{R}\)(국소적으로는 평탄하게 보여요). ✓ 또한 이 계량은 우주론에서 FLRW 계량의 공간 부분으로 나타나며, \(k > 0\), \(k = 0\), \(k < 0\)이 각각 닫힌 우주, 평탄한 우주, 열린 우주에 대응하는 것으로 알려져 있어요. ✓

A-2. GPS와 중력 적색편이

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(a) 고유시간의 근사 계산

풀이 방침: Schwarzschild 계량 (6.13)에서 정지 관측자의 고유시간은 \(d\tau = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}\,dt\)이에요. \(\frac{2GM}{c^2 r} \ll 1\)이므로 \(\sqrt{1-\epsilon} \approx 1 - \epsilon/2\)를 사용해요.

Schwarzschild 반지름의 정의:

\[ r_s = \frac{2GM_\oplus}{c^2} \approx 8.87 \times 10^{-3}\;\mathrm{m} \]

지구 표면의 관측자（\(r = R_\oplus\)）:

\[ \Delta\tau_\oplus = \sqrt{1 - \frac{r_s}{R_\oplus}}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\oplus}\right)\Delta t \]

GPS 위성 궤도의 관측자（\(r = R_\text{GPS}\)）:

\[ \Delta\tau_\text{GPS} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{R_\text{GPS}}}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\text{GPS}}\right)\Delta t \]
\[ \boxed{\Delta\tau_\oplus \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\oplus}\right)\Delta t, \qquad \Delta\tau_\text{GPS} \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\text{GPS}}\right)\Delta t} \]

(b) 고유시간 차이의 수치적 추정

계산:

\[ \Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx \frac{r_s}{2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}}\right)\Delta t \]

각 수치를 대입하면:

\[ \frac{r_s}{2} = \frac{8.87 \times 10^{-3}}{2} = 4.435 \times 10^{-3}\;\mathrm{m} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} = \frac{1}{6.37 \times 10^6} = 1.570 \times 10^{-7}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{1}{R_\text{GPS}} = \frac{1}{2.66 \times 10^7} = 3.759 \times 10^{-8}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}} = 1.570 \times 10^{-7} - 3.759 \times 10^{-8} = 1.194 \times 10^{-7}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{r_s}{2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}}\right) = 4.435 \times 10^{-3} \times 1.194 \times 10^{-7} = 5.295 \times 10^{-10} \]

\(\Delta t = 1\) 일 \(= 86400\;\mathrm{s}\)에 대해:

\[ \Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx 5.295 \times 10^{-10} \times 86400\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx 4.57 \times 10^{-5}\;\mathrm{s} \approx 45.7\;\mu\mathrm{s/일}} \]

물리적 해석: GPS 위성은 지구 표면보다 중력 퍼텐셜이 높은 위치에 있기 때문에, 위성의 시계는 지상의 시계보다 하루에 약 \(45.7\;\mu\mathrm{s}\) 빠르게 진행해요.

(c) GPS 측위 오차의 추정

계산:

시간 차이를 보정하지 않을 경우, 광속으로 전파되는 신호의 거리 오차는:

\[ \delta x \approx c \times (\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus) = 3 \times 10^8\;\mathrm{m/s} \times 4.57 \times 10^{-5}\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\delta x \approx 1.37 \times 10^4\;\mathrm{m} \approx 13.7\;\mathrm{km/일}} \]

실용적 논의:

GPS의 민간용 측위 정밀도는 수 미터 정도인 데 반해, 중력 적색편이를 보정하지 않으면 하루에 약 14 km의 오차가 축적돼요. 이는 실용적으로 전혀 무시할 수 없는 거대한 오차이며, 일반상대론적 시간 보정이 GPS의 정상적인 작동에 필수불가결하다는 것을 보여줘요.

참고로 실제 GPS에서는 여기서 구한 중력 적색편이 효과(위성의 시계가 빠르게 진행: \(+45.7\;\mu\mathrm{s/일}\))에 더해, 특수상대론적 시간 지연(위성의 궤도 운동에 의한 효과로 위성의 시계가 느리게 진행: 약 \(-7.2\;\mu\mathrm{s/일}\))도 보정할 필요가 있어요. 양자를 합한 순 효과는 약 \(+38.5\;\mu\mathrm{s/일}\)이며, 중력 적색편이가 지배적이에요.

검산:

  • 차원 분석: \([c] \times [t] = \mathrm{m/s} \times \mathrm{s} = \mathrm{m}\). ✓
  • 자릿수 추정: \(r_s/R_\oplus \sim 10^{-3}/10^{7} \sim 10^{-10}\). 1일 \(\sim 10^5\;\mathrm{s}\)이므로 시간 차이 \(\sim 10^{-10} \times 10^5 = 10^{-5}\;\mathrm{s}\). 거리 오차 \(\sim 3 \times 10^8 \times 10^{-5} = 3 \times 10^3\;\mathrm{m}\). 자릿수로서 \(\sim 10\;\mathrm{km}\)와 정합. ✓
  • 문헌 값과의 비교: 중력 적색편이에 의한 효과는 약 \(45\;\mu\mathrm{s/일}\), 거리 오차는 약 \(10\;\mathrm{km/일}\)이라는 것은 표준 교과서의 값과 일치해요. ✓