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부록 B 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 미소 로렌츠 변환의 반대칭성

미소 로렌츠 변환 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) 를 계량 보존 조건

\[ \Lambda^\mu{}_\alpha\,\Lambda^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu} \]

에 대입하고, \(\omega\) 의 1차까지 남겨서 \(\omega_{\mu\nu} + \omega_{\nu\mu} = 0\) (반대칭성)을 유도하세요.

힌트

\(\Lambda^\mu{}_\alpha = \delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha\) 를 대입하여 전개하고, \(\omega\) 의 2차 항 \(\omega^\mu{}_\alpha \omega^\nu{}_\beta \eta^{\alpha\beta}\) 을 버려요. \(\delta^\mu{}_\alpha \eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\beta}\) 등의 항등식을 사용하고, \(\omega^{\mu\nu} = \omega^\mu{}_\alpha \eta^{\alpha\nu}\) 로 지표를 내려서 정리해요.

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B-2. 생성자의 행렬 요소 확인

식 (B.10)의 정의

\[ (M^{[\rho\sigma]})^{\mu}{}_{\nu} = \eta^{\rho\mu}\,\delta^{\sigma}{}_{\nu} - \eta^{\sigma\mu}\,\delta^{\rho}{}_{\nu} \]

를 사용하여, \(M^{[23]}\)（\(yz\) 평면의 회전 생성자）의 \(4 \times 4\) 행렬을 모든 성분을 써 내려가세요. 계량은 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\)을 사용해요.

힌트

\(\rho = 2, \sigma = 3\)으로 놓고, \(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\)의 각 조합에 대해 \((M^{[23]})^\mu{}_\nu = \eta^{2\mu}\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\delta^2{}_\nu\)를 계산해요. \(\eta^{2\mu}\)는 \(\mu = 2\)일 때만 \(+1\)이고, 그 외에는 \(0\)이라는 점에 주의하세요.

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B-3. 부스트 생성자 \(K^2 = M^{[02]}\) 의 행렬 표현

\(K^2 = M^{[02]}\) 의 \(4 \times 4\) 행렬 표현을 식 (B.10)으로부터 계산하고, \(y\) 방향 부스트의 미소 변환

\[ \Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu \]

이 \(t' \approx t - \phi\, y\), \(y' \approx y - \phi\, t\) (\(x, z\) 는 불변)를 주는 것을 확인하세요.

힌트

\((M^{[02]})^\mu{}_\nu = \eta^{0\mu}\delta^2{}_\nu - \eta^{2\mu}\delta^0{}_\nu\) 를 계산해요. \(\eta^{00} = -1\) 에 주의하세요. 얻어진 행렬을 \(x'^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu)\,x^\nu\) 에 대입하여 각 성분을 읽어내세요.

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B-4. 회전 생성자의 교환 관계 직접 계산

\(4 \times 4\) 행렬 표현 (B.11)을 이용하여, \(J^3 = M^{[12]}\)와 \(J^1 = M^{[23]}\) (D2에서 구한 것)의 교환자 \([J^3, J^1]\)를 행렬의 곱으로 직접 계산하고, \([J^3, J^1] = iJ^2\)가 성립하는 것을 확인하세요. 단, \(J^2 = M^{[31]}\)의 행렬도 식 (B.10)으로부터 구하세요.

힌트

\(4 \times 4\) 행렬의 곱 \(J^3 \cdot J^1 - J^1 \cdot J^3\)를 성분별로 계산해요. 0이 아닌 성분이 적으므로, 0이 아닌 열에만 주목하면 효율적이에요. \(M^{[31]}\)은 \(\rho = 3, \sigma = 1\)로 하여 식 (B.10)에서 구해요 (또는 \(\rho = 1, \sigma = 3\)으로 하여 \(M^{[13]} = -M^{[31]}\)의 관계를 사용해요).

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B-5. Levi-Civita 기호를 이용한 회전 생성자의 복원

정의 \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\)를 사용하여, \(J^1\), \(J^2\), \(J^3\)가 각각 \(M^{[23]}\), \(M^{[31]}\), \(M^{[12]}\)와 같음을 확인하세요 (합의 규약에 주의하여 전개할 것).

힌트

\(J^1 = \frac{1}{2}\varepsilon^{1jk}M^{[jk]}\)에서, \(\varepsilon^{1jk} \neq 0\)이 되는 것은 \((j,k) = (2,3)\)과 \((3,2)\)뿐이에요. \(M^{[jk]}\)는 \(j < k\)로 정의되어 있으므로 \(M^{[32]} = -M^{[23]}\)를 사용하고, \(\varepsilon^{132} = -1\)임에 주의하세요.

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B-6. \(\mathbf{J}_+\)와 \(\mathbf{J}_-\)로부터 \(\mathbf{J}\), \(\mathbf{K}\)의 복원

식 (B.18)의 정의

\[ \mathbf{J}_+ = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2}, \qquad \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} \]

를 역으로 풀어서, \(\mathbf{J}\)와 \(\mathbf{K}\)를 \(\mathbf{J}_+\)와 \(\mathbf{J}_-\)로 표현하세요.

힌트

두 식을 더하거나 빼기만 하면 되는 선형대수예요. \(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-\)와 \(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-\)를 계산하세요.

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B-7. 표현의 차원 계산

다음 각 Lorentz 군의 표현 \((j_+, j_-)\)에 대해, 표현 공간의 차원 \((2j_+ + 1)(2j_- + 1)\)을 계산하세요:

(a) \((1, 0)\)　　(b) \((1, 1)\)　　(c) \((3/2, 0)\)　　(d) \((1/2, 1)\)

힌트

\(\mathrm{SU}(2)\)의 스핀 \(j\) 표현의 차원은 \(2j + 1\)이에요. 각각의 \(j_+\)와 \(j_-\)에 대해 계산하고, 곱을 취하면 돼요.

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B-8. \([K^1, K^2] = -iJ^3\)의 확인

\(4 \times 4\) 행렬 표현을 이용하여 \([K^1, K^2]\) (즉 \([M^{[01]}, M^{[02]}]\))를 직접 계산하고, 결과가 \(-iJ^3 = -iM^{[12]}\)와 같음을 확인하세요.

힌트

\(M^{[01]}\)은 식 (B.12)에서 주어져 있어요. \(M^{[02]}\)는 D3에서 구한 것이에요. 행렬의 곱 \(M^{[01]}M^{[02]} - M^{[02]}M^{[01]}\)을 계산해요. 단, 본문의 생성자 \(M^{[\rho\sigma]}\)는 에르미트가 아니므로 \(i\) 인자의 취급에 주의하세요. 로렌츠 변환이 \(\Lambda = \exp(i\omega_{\rho\sigma}M^{\rho\sigma}/2)\)로 쓰이는 규약과 \(\Lambda = \exp(\omega_{\rho\sigma}\mathcal{J}^{\rho\sigma}/2)\)로 쓰이는 규약의 차이를 의식하세요. 본문에서는 식 (B.14)의 형태 \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\)를 채택하고 있으므로, 교환 관계에 \(i\)가 붙어요.

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Medium（표준）

M-1. \([J^i_+, J^j_-] = 0\) 의 완전한 유도

식 (B.18)의 정의를 사용하여 \([J^i_+, J^j_-]\)를 전개하고, Lorentz 대수의 교환 관계 (B.15)–(B.17)을 대입하여, 모든 항이 상쇄되어 영이 됨을 보이세요. 도중의 각 항을 명시하세요.

힌트

\([J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] + [K^i, K^j])\) 를 계산한다. 제3항 \([K^i, J^j]\)는 \([J^j, K^i]\)의 부호를 반전시켜 (B.16)을 사용한다. \(\varepsilon^{jik} = -\varepsilon^{ijk}\)에 주의할 것.

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M-2. \((1/2, 0)\) 표현에서의 부스트 생성자의 구체적 형태

왼손 Weyl(바일) 스피너 표현 \((j_+, j_-) = (1/2, 0)\)에서는 \(\mathbf{J}_+\)가 스핀 \(1/2\)의 표현(\(\boldsymbol{\sigma}/2\), \(\boldsymbol{\sigma}\)는 Pauli(파울리) 행렬)으로 표현되고, \(\mathbf{J}_- = 0\)이 돼요.

(a) \(\mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-\)와 \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\)를 이용하여, 이 표현에서의 회전 생성자 \(\mathbf{J}\)와 부스트 생성자 \(\mathbf{K}\)를 Pauli 행렬로 표현하세요.

(b) \(z\) 방향으로 래피디티 \(\phi\)의 부스트를 수행하는 \(2 \times 2\) 행렬 \(\Lambda_L = \exp(i\phi K^3)\)을 계산하고, 결과를 쌍곡선 함수로 표현하세요.

(c) 얻어진 \(\Lambda_L\)이 유니터리가 아님을 확인하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

힌트

(a) \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\)에 \(\mathbf{J}_+ = \boldsymbol{\sigma}/2\), \(\mathbf{J}_- = 0\)을 대입해요. (b) \(e^{i\phi K^3} = e^{i\phi \cdot (-i\sigma^3/2)} = e^{\phi\sigma^3/2}\)를 \(\sigma^3\)의 대각성을 이용하여 계산해요. (c) 에르미트 행렬의 지수함수는 유니터리가 되지 않아요. 부스트가 비콤팩트 변환이라는 것과 관련지어 설명해요.

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M-3. \((1/2, 1/2)\) 표현과 4원벡터의 대응

\((1/2, 1/2)\) 표현은 \(2 \times 2\) 에르미트 행렬의 공간과 동일시할 수 있어요. 임의의 4원벡터 \(V^\mu\)에 대해

\[ \tilde{V} = V^\mu \sigma_\mu = \begin{pmatrix} V^0 + V^3 & V^1 - iV^2 \\ V^1 + iV^2 & V^0 - V^3 \end{pmatrix} \]

로 정의해요 (\(\sigma_\mu = (\mathbf{1}, \boldsymbol{\sigma})\)).

(a) \(\det \tilde{V} = -(V^\mu V_\mu)\) (민코프스키 노름의 부호 반전)를 보이세요.

(b) 로렌츠 변환이 \(\tilde{V} \to M\,\tilde{V}\,M^\dagger\) (\(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\))의 형태로 실현되는 것을 설명하고, \(\det \tilde{V}\)가 불변임을 확인하세요.

힌트

(a) \(2 \times 2\) 행렬의 행렬식을 직접 계산해요. (b) \(\det(M\tilde{V}M^\dagger) = |\det M|^2 \det \tilde{V}\)를 사용하고, \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\)의 조건 \(\det M = 1\)을 이용해요.

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M-4. 스핀 \(1/3\)이 금지되는 이유의 정량적 증명

\(\mathrm{SU}(2)\)의 기약표현에서 \(J^2 = j(j+1)\mathbf{1}\)이고 \(J_3\)의 고유값이 \(m = -j, -j+1, \ldots, j-1, j\)임을, 사다리 연산자 \(J_\pm = J_1 \pm iJ_2\)의 성질

\[ J_\pm |j, m\rangle = \sqrt{j(j+1) - m(m \pm 1)}\,|j, m \pm 1\rangle \]

과 \(J_+ |j, j\rangle = 0\), \(J_- |j, -j\rangle = 0\)의 조건으로부터 유도하세요. 특히 \(2j\)가 음이 아닌 정수여야 함을 보이세요.

힌트

\(J_+|j,j\rangle = 0\)으로부터 \(j(j+1) - j(j+1) = 0\)을 확인하세요. \(J_-\)를 \(n\)번 작용시킨 상태의 노름이 음이 아니어야 한다는 조건으로부터 \(j - n \geq -j\), 즉 \(n \leq 2j\)가 필요해요. \(n\)은 음이 아닌 정수이므로 \(2j\)도 음이 아닌 정수여야 해요.

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Advanced（발전）

A-1. Lorentz 군의 피복군 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)과 스피너의 \(2\pi\) 회전

\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)는 Lorentz 군 \(SO^+(1,3)\)의 보편 피복군이며, 2대 1 준동형 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\)이 존재해요.

(a) S2에서 구한 왼손 Weyl 스피너의 회전 행렬 \(U(\theta) = \exp(i\theta J^3)\)（\(J^3 = \sigma^3/2\)）에 대해, \(\theta = 2\pi\)일 때 스피너의 부호가 반전된다는 것（\(U(2\pi) = -\mathbf{1}\)）을 보이세요.

(b) 한편, 4원 벡터 표현（S3의 \((1/2, 1/2)\) 표현）에서는 \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\)이므로, \(M = -\mathbf{1}\)일 때 \(\tilde{V}\)가 불변임을 확인하고, 2대 1 대응 \(\pm M \to \Lambda\)를 구체적으로 설명하세요.

(c) 이 결과가 "스핀 \(1/2\) 입자는 \(360°\) 회전에서 위상 \(-1\)을 얻는다"는 물리적 사실과 어떻게 대응하는지, 양자역학（제 N장의 각운동량 논의）과의 관련도 포함하여 논하세요.

힌트

(a) \(e^{i\cdot 2\pi \cdot \sigma^3/2} = e^{i\pi\sigma^3}\)을 계산해요. \(\sigma^3\)의 고유값은 \(\pm 1\)이므로 \(e^{i\pi\sigma^3} = \cos\pi\,\mathbf{1} + i\sin\pi\,\sigma^3\)……이 아니라, 대각행렬로서 직접 \(e^{i\pi} = -1\)을 사용해요. (b) \((-\mathbf{1})\tilde{V}(-\mathbf{1})^\dagger = \tilde{V}\)를 확인해요. (c) 사영 표현과 보편 피복군의 관계를 논의해요.

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A-2. \((1, 0) \oplus (0, 1)\) 표현과 전자기장 텐서

전자기장 텐서 \(F^{\mu\nu}\)는 반대칭 2계 텐서이며, 6개의 독립 성분을 가져요.

(a) \(F^{\mu\nu}\)의 자기쌍대 부분 \(F^+_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(F_{\mu\nu} + \frac{i}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma})\)과 반자기쌍대 부분 \(F^-_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(F_{\mu\nu} - \frac{i}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma})\)이 각각 Lorentz 군의 \((1, 0)\) 표현과 \((0, 1)\) 표현에 속한다는 것을, \(\mathbf{E} \pm i\mathbf{B}\)의 변환 성질을 조사하여 보이세요.

(b) \(F^{\mu\nu}\) 전체가 \((1, 0) \oplus (0, 1)\) 표현을 이룬다는 것을 차원 세기로 확인하고, 이 분해가 실 Lorentz 변환 하에서 \(F^+\)와 \(F^-\)가 서로의 복소 켤레라는 조건과 어떻게 정합하는지 설명하세요.

(c) 이 결과를 이용하여, Maxwell(맥스웰) 방정식의 진공에서의 대칭성(전자기 쌍대성 (electromagnetic duality))을 Lorentz 표현론의 언어로 해석하세요.

힌트

(a) 전기장과 자기장의 조합 \(\mathbf{F}_\pm = \mathbf{E} \pm i\mathbf{B}\)가 부스트 하에서 어떻게 변환되는지 계산해요. \(\mathbf{J}_+\)가 \(\mathbf{F}_+\)에만 작용하고 \(\mathbf{J}_-\)가 \(\mathbf{F}_-\)에만 작용한다는 것을 보이세요. (b) \((1,0)\)은 3차원, \((0,1)\)도 3차원으로 합계 6차원이에요. 실수 조건 \((F^+)^* = F^-\)가 실수 6성분을 줘요. (c) \(\mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+\) 변환이 source-free Maxwell 방정식을 보존한다는 것과, \((1,0)\) 표현 공간 위의 위상 회전이 쌍대 회전에 대응한다는 것을 연결하세요.

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