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제 6 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Einstein 방정식의 우변과 좌변

Einstein 방정식 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) 에 대해서.

(a) 좌변(Einstein 텐서 \(G_{\mu\nu}\))과 우변(에너지-운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}\))의 물리적 의미를 각각 한 문장으로 서술하세요.

(b) 진공 \(T_{\mu\nu} = 0\) 일 때, Einstein 방정식이 \(R_{\mu\nu} = 0\) 으로 귀착됨을 보이세요(양변의 트레이스를 취하는 것이 포인트).

(c) Schwarzschild 계량은 \(R_{\mu\nu} = 0\) 의 해예요. 이것은 물리적으로 무엇을 의미하나요?

힌트

(b) 양변에 \(g^{\mu\nu}\) 를 축약하면 \(R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T\)（\(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\)）가 돼요. \(T_{\mu\nu} = 0\) 이면 \(R = 0\) 이고, 원래 식에 대입하면 \(R_{\mu\nu} = 0\) 이 돼요. (c) 별의 외부(진공)에서의 시공간 구조를 나타내요. 별 자체의 에너지-운동량은 \(r < R_{\text{별}}\) 에만 존재해요.

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Medium（표준）

M-1. 편리한 작용과 구속 조건

질량 \(m\) 인 입자의 "편리한 작용"

\[ S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}(x)\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

으로부터, 구속 조건 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) 하에서 측지선 방정식

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

이 얻어짐을 보이세요.

(a) Euler-Lagrange 방정식을 \(x^\sigma\) 에 대해 써 내리고, \(g_{\mu\nu}\) 의 대칭성과 더미 첨자의 재명명을 사용하여 정리하세요.

(b) 양변에 역계량 \(g^{\sigma\mu}\) 를 곱하여 \(\ddot{x}^\mu\) 를 풀어내고, Christoffel 기호 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) 의 정의식을 얻으세요.

(c) 구속 조건 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) 는 시간 발전 과정에서 자동으로 보존된다는 것을 (\(\tau\) 를 고유시간으로 선택하면 성립한다는 것을) 논하세요.

힌트

(b) Christoffel 기호의 정의는 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha\lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\). 본문의 유도와 「일반상대론」편 제 8 장 을 참조하세요. (c) Euler-Lagrange 방정식으로부터 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) 가 \(\tau\) 에 대한 보존량이 됨을 보일 수 있어요.

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M-2. 편리한 작용에서 끈의 작용으로

입자의 편리한 작용 \(S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) 는 끈이론에서의 Polyakov 작용

\[ S_{\text{P}} = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}\,\partial_a X^\mu\,\partial_b X^\nu\,g_{\mu\nu}(X) \]

으로 자연스럽게 일반화돼요. 아래의 대응 관계를 정리하세요.

(a) 입자의 "세계선"(1차원)과 끈의 "세계면"(2차원)의 차이를 기술하는 기호를 대응시키세요(\(\tau \leftrightarrow \sigma^a\), \(\dot{x}^\mu \leftrightarrow \partial_a X^\mu\) 등).

(b) 입자의 구속 조건 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) 에 대응하는 끈이론에서의 "구속 조건"이 무엇이 되는지, \(h_{ab}\) 의 운동방정식(변분)으로부터 논의하세요.

(c) 입자의 작용과 끈의 작용에서 공통되는 구조(계량 \(g_{\mu\nu}(X)\) 의 역할, 매개변수화 불변성, 제곱근이 사라지는 것의 이점)를 3가지 들어보세요.

힌트

(a) 입자: \(\tau\) 는 1개의 매개변수, 세계선은 \(x^\mu(\tau)\). 끈: \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\) 는 2개의 매개변수, 세계면은 \(X^\mu(\tau, \sigma)\). (b) \(h_{ab}\) 를 변분하면 에너지-운동량 텐서 \(T_{ab} = 0\) 이 나와요. 이것이 구속 조건(Virasoro 구속의 고전적 버전)이에요. 자세한 내용은 제 13 장에서 다뤄요.

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M-3. 약한 중력장에서의 시계 지연

약한 중력장 \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\) 의 시공간에서 정지해 있는 시계가 새기는 고유시 \(d\tau\) 와 좌표시 \(dt\) 의 관계는

\[ d\tau = dt\sqrt{-g_{00}} = dt\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \]

이에요.

(a) \(|\Phi|/c^2 \ll 1\) 근사에서 \(d\tau/dt \approx 1 + \Phi/c^2\) 임을 보이세요.

(b) GPS 위성(지표로부터 고도 \(h \approx 20000\) km, 지구의 중력 퍼텐셜 \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\))과 지표 시계의 고유시 비를 계산하고, 하루당 어긋남(마이크로초 단위)을 추정하세요(\(M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\) kg, \(R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m).

(c) 하루에 1 마이크로초의 시각 어긋남이 위치 측정에 미치는 영향을 \(c \cdot 10^{-6}\) s 단위로 추정하세요. GPS의 위치 정밀도에 보정이 필요한 이유를 설명하세요.

힌트

(a) \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) 를 사용해요. (b) 지표의 \(\Phi\) 와 위성의 \(\Phi\) 의 차이를 계산해요. \(\Phi_{\text{위성}} - \Phi_{\text{지표}} > 0\) (위성 쪽이 중력 퍼텐셜이 높다, 즉 절댓값이 작다). (c) 빛이 1 마이크로초 동안 진행하는 거리는 약 300 m예요. 즉 보정 없이는 하루에 수백 m가 어긋나고, 며칠이면 수 km가 돼요.

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Advanced（발전）

A-1. 특이점과 양자중력의 필요성

Schwarzschild 계량에서 \(r \to 0\)을 생각해요.

(a) 곡률 불변량 \(K = R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6)\)을 이용하여, \(K\)가 Planck 스케일 \(1/\ell_P^4\)과 같은 정도가 되는 \(r\)을 추정하세요 (\(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3} \approx 1.6 \times 10^{-35}\) m, \(M\)은 태양 질량).

(b) (a)에서 구한 \(r\)의 값으로부터, 태양 질량 블랙홀의 경우 Planck 스케일에 도달하는 영역의 크기를 평가하고, "양자중력이 필요해지는 영역"이 Schwarzschild 반지름 \(r_s \approx 3\) km보다 훨씬 내부에 있음을 확인하세요.

(c) 특이점의 존재가 일반상대론의 반증 가능성과 어떻게 관련되는지 짧게 논하세요 ("모델은 가설"이라는 입장을 바탕으로).

힌트

(a) \(48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\)을 \(r\)에 대해 풀어요. (b) 태양 질량 블랙홀에서는 양자중력이 필요한 영역이 \(r \ll r_s\)예요. (c) 일반상대론은 스스로의 파탄을 예언해요——이것이 "모델은 잠정적"이라는 증거예요.

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