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부록 C 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Klein-Gordon의 \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\)

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu \phi)(\partial_\nu \phi) - \frac{m^2}{2}\,\phi^2 $$ 로 주어져 있어요. \(\phi\)에 의한 편미분 \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\)를 구하세요.

힌트

\(\phi\)를 포함하는 항은 질량항 \(-\frac{m^2}{2}\phi^2\)뿐이에요. 미분항은 \(\partial_\mu\phi\)에 의존하며, \(\phi\) 자체에는 의존하지 않아요.

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B-2. Klein-Gordon의 \(\partial \mathcal{L}/\partial(\partial\phi)\)

힌트

\(\eta^{\alpha\beta}(\partial_\alpha\phi)(\partial_\beta\phi)\)를 \(\partial_\mu\phi\)로 미분할 때, \(\alpha = \mu\)와 \(\beta = \mu\) 양쪽에서 기여가 있어요. \(\eta^{\alpha\beta}\)의 대칭성을 사용하세요.

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B-3. 줄의 Lagrangian 편미분

$$\mathcal{L} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{\mathcal{T}}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2 $$ 에 대해, \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}\), \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t \psi)}\), \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \psi)}\) 를 각각 구하세요.

힌트

\(\psi\) 자체는 \(\mathcal{L}\)에 명시적으로 나타나지 않아요. 각 미분 항은 각각 독립적으로 다루세요.

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B-4. \(\phi^4\) 이론의 \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\)

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu \phi)(\partial_\nu \phi) - \frac{\lambda}{4!}\,\phi^4 $$ 에 대해 \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\)를 구하세요.

힌트

\(\phi^4\)를 \(\phi\)로 미분하면 \(4\phi^3\)이 돼요. \(4!\)과의 조합에 주의하세요.

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B-5. d'Alembert 연산자의 명시적 전개

힌트

\(\eta^{00} = -1\), \(\eta^{11} = \eta^{22} = \eta^{33} = +1\) 를 대입하여 \(\mu, \nu\) 의 합을 전개해요.

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B-6. 2차원 스칼라장의 Euler–Lagrange 방정식

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_t \phi)^2 - \frac{1}{2}(\partial_x \phi)^2 - V(\phi) $$ 의 장의 Euler–Lagrange 방정식을 구하세요. 여기서 \(V(\phi)\)는 \(\phi\)의 임의 함수로 해요.

힌트

2차원에서는 \(\partial_\mu\)의 합은 \(\mu = t\)와 \(\mu = x\)의 2개 항이에요. \(V(\phi)\)의 미분은 \(V'(\phi) = dV/d\phi\)로 쓸 수 있어요.

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B-7. Minkowski 계량의 \(\sqrt{-g}\)

힌트

대각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이에요.

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B-8. Schwarzschild 계량의 \(\sqrt{-g}\)

$$ds^2 = -!\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2!\theta\, d\varphi^2 $$ 에 대해 \(g = \det(g_{\mu\nu})\)를 계산하고, \(\sqrt{-g}\)를 구하세요.

힌트

대각 계량이므로 \(g = g_{tt}\,g_{rr}\,g_{\theta\theta}\,g_{\varphi\varphi}\)예요. \(g_{tt}\,g_{rr}\)의 곱이 간단해진다는 점에 주목하세요.

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Medium（표준）

M-1. 줄의 파동방정식의 Euler–Lagrange 유도

$$\mathcal{L} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{\mathcal{T}}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2 $$ 에 장의 Euler–Lagrange 방정식을 적용하여, 파동방정식

$$\rho\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \mathcal{T}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $$ 을 유도하세요. 또한, 파동의 전파 속도 \(v\)를 \(\mathcal{T}\)와 \(\rho\)로 나타내세요.

힌트

2차원판 Euler–Lagrange 방정식 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} - \partial_t\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t \psi)}\right) - \partial_x\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \psi)}\right) = 0\) 을 사용해요. 파동방정식을 \(\partial_t^2 \psi = v^2 \partial_x^2 \psi\)의 형태로 다시 쓰세요.

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M-2. \(\phi^4\) 이론의 운동방정식

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu\phi)(\partial_\nu\phi) - \frac{\lambda}{4!}\,\phi^4 $$ 에 대해 장의 Euler–Lagrange 방정식을 적용하여 \(\phi\)의 운동방정식을 유도하세요. 얻어진 방정식이 질량이 0인 Klein–Gordon 방정식 \(\Box\phi = 0\)과 어떻게 다른지, 물리적 의미를 포함하여 설명하세요.

힌트

\(\phi^4\) 항으로부터의 기여가 비선형 자기상호작용 항으로 나타나요. \(\lambda = 0\)의 극한에서 \(\Box\phi = 0\)으로 귀착됨을 확인하세요.

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M-3. 휘어진 시공간의 질량 없는 스칼라장

$$S = \int d^4x\,\sqrt{-g}\left[-\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}(\partial_\mu\phi)(\partial_\nu\phi)\right] $$ 에 대해, 다음 절차에 따라 운동방정식을 유도하세요:

(a) \(\phi \to \phi + \delta\phi\) 의 변분을 취하고, \(\delta S\) 를 계산하세요. \(\sqrt{-g}\) 가 \(\phi\) 에 의존하지 않는다는 점에 주의하세요.

(b) 부분적분을 수행하고, \(\delta S = 0\) 으로부터 \(\phi\) 의 운동방정식을 유도하세요. 평탄한 시공간에서 \(\partial_\mu(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi) \to \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi = \Box\phi\) 가 됨을 확인하세요.

힌트

휘어진 시공간에서의 부분적분에서는 \(\partial_\mu(\sqrt{-g}\,f^\mu)\) 형태의 전미분 항이 나타나요. 운동방정식은 \(\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi) = 0\) 의 형태가 돼요.

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M-4. 에너지-운동량 텐서의 도출

$$T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu\nu}} $$ 를 이용하여, 자유 스칼라장의 라그랑지안 밀도

$$\mathcal{L}m = -\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}(\partial\mu\phi)(\partial_\nu\phi) - \frac{m^2}{2}\,\phi^2 $$ 로부터 \(T_{\mu\nu}\)를 도출하세요. \(S_m = \int d^4x\,\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_m\)을 \(g^{\mu\nu}\)로 변분할 때, \(\dfrac{\delta(\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\)임을 이용해도 좋아요.

힌트

\(g^{\mu\nu}\)의 변분은 2곳에 작용해요: \(\mathcal{L}_m\) 안의 \(g^{\mu\nu}\)에 대한 직접적인 기여와, \(\sqrt{-g}\)를 통한 기여. 각각을 계산하여 더하면 돼요.

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Advanced（발전）

A-1. 전자기장 Lagrangian으로부터의 Maxwell 방정식

4차원 Minkowski 시공간에서 전자기장의 Lagrangian 밀도는

$$\mathcal{L}{\text{EM}} = -\frac{1}{4}\,\eta^{\mu\alpha}\,\eta^{\nu\beta}\,F $$ 로 주어져요. 여기서 }\,F_{\alpha\beta\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)는 전자기장 텐서(Faraday 텐서)이고, \(A_\mu\)는 4원 퍼텐셜(electromagnetic four-potential)이에요.

(a) \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\)을 \(F^{\mu\nu} \equiv \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\)를 이용하여 \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)로 쓸 수 있음을 확인하세요.

(b) 장의 Euler–Lagrange 방정식을 \(A_\nu\)에 대해 적용하여, 진공 중의 Maxwell 방정식(소스 없음)

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 $$ 을 도출하세요.

(c) \(\nu = 0\) 성분과 \(\nu = i\)（\(i = 1,2,3\)）성분이, 각각 Gauss 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\)과 Ampère–Maxwell 법칙 \(\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)（소스 없음）에 대응함을 보이세요.

힌트

(b)에서는 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0\)（\(A_\nu\)가 명시적으로 나타나지 않음）인 것과, \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\)의 계산에서 \(F_{\alpha\beta}\)의 반대칭성을 활용하세요. (c)에서는 \(F^{0i} = -E^i\), \(F^{ij} = -\epsilon^{ijk}B_k\)의 대응을 이용하세요.

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A-2. 우주 상수를 포함한 Einstein 방정식

아인슈타인-힐베르트 작용(Einstein–Hilbert action)에 우주 상수(cosmological constant) \(\Lambda\)를 더한 작용

$$S = \frac{1}{16\pi G}\int d^4x\,\sqrt{-g}\,(R - 2\Lambda) + \int d^4x\,\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_m $$ 을 생각해요.

(a) \(\sqrt{-g}\,\Lambda\) 항을 \(g^{\mu\nu}\)로 변분하세요. \(\dfrac{\delta(\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\)를 사용해도 좋아요.

(b) 위의 전체 작용을 \(g^{\mu\nu}\)로 변분하여 \(\delta S = 0\)으로 놓고, 우주 상수를 포함한 Einstein 방정식

$$G_{\mu\nu} + \Lambda\, g_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu} $$ 이 얻어짐을 보이세요. 단, \(\sqrt{-g}\,R\)의 \(g^{\mu\nu}\) 변분이 \(\sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right) = \sqrt{-g}\,G_{\mu\nu}\)를 준다는 것은 기지(旣知)로서 사용해도 좋아요.

(c) 진공(\(T_{\mu\nu} = 0\))의 경우에, \(\Lambda > 0\)이 시공간에 주는 물리적 효과에 대해 Einstein 방정식의 구조로부터 고찰하세요.

힌트

(a) \(\Lambda\)는 상수이므로 변분은 \(\sqrt{-g}\)에만 작용해요. (b) 각 항의 변분을 모두 더하여 0으로 놓아요. (c) \(\Lambda g_{\mu\nu}\) 항을 우변으로 이항하면, 진공에서도 에너지-운동량 텐서와 같은 기여가 남는다는 점에 주목하세요.

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