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Appendix C　가우스 적분과 Grassmann 적분

← B 로렌츠 군의 표현과 스피너D 루프 계산의 도구상자 (차원해석・파인만 매개변수・… →

지난 내용 요약:

부록 B 에서는 Lorentz 군의 스피너 표현과 Dirac 방정식을 정리하고, 스핀 1/2 페르미온을 장의 양자론에 어떻게 포함시키는지를 살펴보았다.

이 장의 목표

  • 장의 양자론 계산에서 반복적으로 등장하는 가우스 적분(1변수·다변수)과, Grassmann 수의 대수 및 Berezin 적분을 정리한다
  • 가우스 적분은 보손의 경로적분(제10~11장)의, Grassmann 적분은 페르미온의 경로적분(제 12 장)의, 각각 수학적 기반이 된다
  • 「보손의 \((\det A)^{-1/2}\)」와 「페르미온의 \(\det A\)」의 대비를 파악하면, 경로적분에서 두 종류 입자의 취급 차이가 명확하게 보인다
  • 이 Appendix는 가우스 적분·Grassmann 적분의 기초에 집중한다
  • 차원 해석·Feynman 매개변수·Wick 회전·루프 적분 공식 등 「루프 계산의 도구 상자」는 이어지는 부록 D에 정리되어 있다

C.1　1변수 가우스 적분

🟡 리나: 이 Appendix는 「도구 상자」야. 경로적분 장(제10~12장)이나 루프 계산 장(제13~14장)에서 여러 번 참조하게 될 테니, 우선 모든 출발점——가우스 적분부터 시작하자.

C.1.1　기본 공식

🟡 리나: 장의 양자론 계산은, 결국 따지고 보면 모두 가우스 적분으로 귀착된다고 해도 과언이 아니야. 기본 공식은 이거야.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \qquad \bigl(\mathrm{Re}(a) > 0\bigr) \tag{C.1} \]

🔵 카이: 매개변수 \(a\)는 실수가 아니어도 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. \(a\)는 복소수여도 돼. 다만 \(\mathrm{Re}(a) > 0\)——즉 \(a\)의 실수부가 양수——라는 조건이 붙어. 왜냐하면, \(a = \alpha + i\beta\)로 쓰면

\[ e^{-\frac{a}{2}q^2} = e^{-\frac{\alpha}{2}q^2} \cdot e^{-\frac{i\beta}{2}q^2} \]

이 되어서, 두 번째 인자 \(e^{-i\beta q^2/2}\)는 진동할 뿐 크기는 1 그대로야. 적분이 수렴하려면 첫 번째 인자 \(e^{-\alpha q^2/2}\)가 \(q \to \pm\infty\)에서 0으로 향해야 하니까, \(\alpha > 0\)이 필요한 거야.

⚪ 메이: 즉 \(\mathrm{Re}(a) > 0\)은 「적분이 발산하지 않기 위한」 조건이네.

✅ 이해도 체크: 가우스 적분 \(\int_{-\infty}^{\infty} dq\; e^{-aq^2/2}\)에서 매개변수 \(a\)가 복소수인 경우, 적분이 수렴하기 위해 \(a\)에 부과되는 조건은 무엇일까요? 그 이유도 설명해 보세요.

답

\(\mathrm{Re}(a) > 0\)이 필요하다. \(a = \alpha + i\beta\)로 쓰면, \(e^{-aq^2/2} = e^{-\alpha q^2/2} \cdot e^{-i\beta q^2/2}\)이 되며, 두 번째 인자는 진동할 뿐 크기가 1 그대로다. 적분이 \(q \to \pm\infty\)에서 수렴하려면 첫 번째 인자 \(e^{-\alpha q^2/2}\)가 0으로 향해야 하므로, \(\alpha = \mathrm{Re}(a) > 0\)이어야 한다.

C.1.2　증명——제곱 트릭

🟡 리나: 이 공식의 증명은 아름다우니까 제대로 살펴보자. 적분의 값을 \(I\)라고 놓을게.

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2} \]

직접 구하기는 어려우니까 \(I^2\)을 생각하는 거야.

\[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 \int_{-\infty}^{\infty} dq_2 \; e^{-\frac{a}{2}(q_1^2 + q_2^2)} \]

🔵 카이: 두 개의 독립적인 변수 \(q_1, q_2\)를 사용해서 2차원 적분으로 가져가는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 여기서 2차원 극좌표로 변환해. \(q_1 = r\cos\theta\), \(q_2 = r\sin\theta\)로 놓으면 \(q_1^2 + q_2^2 = r^2\)이지. 넓이 요소는 \(dq_1\,dq_2 = r\,dr\,d\theta\)가 돼. 직관적으로는 반지름 \(r\) 위치에서 각도 \(d\theta\)만큼 돌면 호의 길이가 \(r\,d\theta\)가 되니까, 미소 넓이가 「\(dr\) × \(r\,d\theta\)」= \(r\,dr\,d\theta\)가 된다는 거야. 고등학교에서 배운 부채꼴의 호의 길이 \(r\theta\)를 떠올려봐——미소 각도 \(d\theta\)에 대응하는 호의 길이가 \(r\,d\theta\)이니까, 미소한 「띠」의 넓이는 폭 \(dr\) × 길이 \(r\,d\theta\)가 되는 거지. 원점에 가까운(\(r\)이 작은) 곳에서는 띠가 짧고, 먼(\(r\)이 큰) 곳에서는 길어져——그래서 넓이 요소에 \(r\)이 곱해지는 거야. 일반적으로 변수변환에서 넓이 요소가 어떻게 바뀌는지는 「야코비안」이라는 개념으로 정리할 수 있어——이건 C.2.1에서 다시 설명할게. 지금은 「극좌표에서는 \(r\)이 추가로 곱해진다」는 것만 기억해 둬.

\[ I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\infty} dr \; r \, e^{-\frac{a}{2}r^2} \]

\(\theta\) 적분은 피적분함수에 \(\theta\)가 포함되지 않으니 단순히 \(2\pi\)를 줘.

\[ I^2 = 2\pi \int_0^{\infty} dr \; r \, e^{-\frac{a}{2}r^2} \]

⚪ 메이: 각도에 의존하지 않으니까, \(\theta\) 적분은 즉시 \(2\pi\)를 주고 사라져 주는 거네.

🟡 리나: \(r\) 적분은 \(u = \frac{a}{2}r^2\)으로 치환하면 처리할 수 있어. \(du = ar\,dr\)이니까 \(r\,dr = du/a\). 대입하면

\[ \int_0^{\infty} dr \; r \, e^{-\frac{a}{2}r^2} = \frac{1}{a}\int_0^{\infty} du \; e^{-u} = \frac{1}{a}\left[-e^{-u}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{a} \]

🔵 카이: 오, 치환으로 \(r\) 인자가 딱 흡수되어서 단순한 지수함수만의 적분이 되는군요.

🟡 리나: 그래. 정리하면

\[ I^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{a} = \frac{2\pi}{a} \]
\[ \therefore \quad I = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \]

이것으로 식 (C.1)이 증명되었어.

🔵 카이: \(a\)가 복소수일 때, 제곱근의 부호는 어떻게 되나요?

🟡 리나: 예리하네. 복소수의 제곱근은 「어느 쪽 부호를 취하는가」에 주의가 필요해. \(a = |a|e^{i\theta}\)로 극형식으로 쓸게. 여기서 \(\mathrm{Re}(a) = |a|\cos\theta\)이니까, \(\mathrm{Re}(a) > 0\)은 \(\cos\theta > 0\), 즉 \(-\pi/2 < \theta < \pi/2\)를 의미해. 이때 \(\sqrt{a} = \sqrt{|a|}\,e^{i\theta/2}\)로 정의하면(\(\theta/2\)의 범위가 \(-\pi/4 < \theta/2 < \pi/4\)이니까 \(\mathrm{Re}(\sqrt{a}) = \sqrt{|a|}\cos(\theta/2) > 0\)이 보장돼), \(\sqrt{2\pi/a} = \sqrt{2\pi}/\sqrt{a}\)로서

\[ I = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{2\pi}{|a|}} \; e^{-i\theta/2} \tag{C.2} \]

\(\theta = 0\)(\(a\)가 양의 실수)일 때 \(I\)는 분명히 양의 실수이니까, 이 부호 선택이 올바른 거야. 경로적분(제 10 장)에서 \(a\)가 순허수에 가까운 경우(Wick 회전 전)에 사용하게 될 거야.

🔵 카이: 즉 \(\mathrm{Re}(a) > 0\)인 범위라면, 제곱근의 부호 선택이 한 가지로 결정된다는 거군요.

C.1.3　1차 항을 추가한 확장 공식 (소스 포함 가우스 적분)

🟡 리나: 다음으로, 지수의 어깨에 \(q\)의 1차 항을 추가한 공식을 유도할게. 이건 경로적분에서 소스 \(J\)를 도입할 때 반드시 사용하는 거야.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2 - Jq} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \; e^{\frac{J^2}{2a}} \tag{C.3} \]

(부호 주의: 문헌에 따라서는 \(e^{-aq^2/2 + Jq}\)와 같이 \(+Jq\)로 정의하는 것도 있다. 그 경우는 \(J \to -J\)의 치환으로 식 (C.3)에 귀착된다. 본서에서는 제 11 장 의 생성범함수에서도 같은 부호 규약을 사용한다.)

🔵 카이: 우변에 \(e^{J^2/(2a)}\)가 「덤」으로 붙는군요. 어떻게 유도하나요?

🟡 리나: 핵심 테크닉은 완전제곱식 만들기야. 고등학교에서 2차함수의 꼭짓점을 구할 때 사용한 것과 같아.

지수의 어깨를 변형할게.

\[ -\frac{a}{2}q^2 - Jq = -\frac{a}{2}\left(q + \frac{J}{a}\right)^2 + \frac{J^2}{2a} \tag{C.4} \]

⚪ 메이: 확인해 볼게. 우변을 전개하면

\[ -\frac{a}{2}\left(q^2 + \frac{2J}{a}q + \frac{J^2}{a^2}\right) + \frac{J^2}{2a} = -\frac{a}{2}q^2 - Jq - \frac{J^2}{2a} + \frac{J^2}{2a} = -\frac{a}{2}q^2 - Jq \]

확실히 원래대로 돌아와.

🟡 리나: 그다음은 \(z \equiv q + J/a\)로 변수변환하기만 하면 돼. \(dz = dq\)이고 적분 범위도 \((-\infty, +\infty)\) 그대로 변하지 않으니까,

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2 - Jq} = e^{\frac{J^2}{2a}} \int_{-\infty}^{\infty} dz \; e^{-\frac{a}{2}z^2} = e^{\frac{J^2}{2a}} \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \]

🔵 카이: 오, 깔끔하게 나오네요! \(e^{J^2/(2a)}\)는 \(z\)에 의존하지 않는 상수니까 적분 밖으로 뺄 수 있는 거구나.

🟡 리나: 이 패턴——「완전제곱식 만들기 → 변수변환 → 가우스 적분으로 귀착」——은 경로적분에서 수십 번 사용하니까, 몸에 배도록 해 둬.

✅ 이해도 체크: 소스 포함 가우스 적분 \(\int dq\; e^{-aq^2/2 - Jq}\)를 유도할 때의 「완전제곱식 만들기」란 구체적으로 어떤 조작일까요? 또한, 변수변환 후에도 적분 범위가 변하지 않는 이유는 무엇일까요?

답

완전제곱식 만들기란, 지수의 어깨 \(-\frac{a}{2}q^2 - Jq\)를 \(-\frac{a}{2}(q + J/a)^2 + J^2/(2a)\)로 고쳐 쓰는 조작이다. \(z = q + J/a\)로 변수변환하면 \(dz = dq\)이고, \(q\)가 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 움직일 때 \(z\)도 같은 범위를 움직이므로 적분 범위는 변하지 않는다. 상수 인자 \(e^{J^2/(2a)}\)를 밖으로 빼면, 나머지는 기본 가우스 적분 \(\sqrt{2\pi/a}\)로 귀착된다.

이해도 체크 C.1

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dq\; e^{-\frac{a}{2}q^2 + bq}\)를 구하시오 (\(\mathrm{Re}(a) > 0\)).

답: 식 (C.3)의 지수의 어깨는 \(-\frac{a}{2}q^2 - Jq\)이고, 이 문제의 지수의 어깨는 \(-\frac{a}{2}q^2 + bq\)이다. 양자를 비교하면 \(-Jq = +bq\)이므로 \(J = -b\)이다. 식 (C.3)에 \(J = -b\)를 대입하면 \(\sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)} = \sqrt{2\pi/a}\;e^{(-b)^2/(2a)} = \sqrt{2\pi/a}\;e^{b^2/(2a)}\)이다. 또는 직접 완전제곱식을 만들어도 같은 결과를 얻는다: \(-\frac{a}{2}q^2 + bq = -\frac{a}{2}(q - b/a)^2 + b^2/(2a)\).

C.1.4　\(q^n\)을 포함하는 가우스 적분

🟡 리나: 하나 더 자주 등장하는 공식을 소개할게. 가우스 적분의 피적분함수에 \(q^n\)이 곱해진 경우야.

\[ I_n(a) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^n \, e^{-\frac{a}{2}q^2} \tag{C.5} \]

결과:

\[ I_n(a) = \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \;\frac{(2m-1)!!}{a^m} & (n = 2m: \text{짝수}) \\[10pt] 0 & (n = 2m+1: \text{홀수}) \end{cases} \tag{C.6} \]

여기서 \((2m-1)!! = (2m-1)(2m-3)\cdots 3 \cdot 1\)은 이중 계승 (double factorial)이라 불리는 기호야. 하나 걸러서 곱해 나가는 거지.

🔵 카이: 이중 계승은 처음 봐요. 구체적으로 어떤 값이 되나요?

🟡 리나: 예를 들어 \(m = 1\)이면 \((2 \cdot 1 - 1)!! = 1!! = 1\), \(m = 2\)이면 \(3!! = 3 \cdot 1 = 3\), \(m = 3\)이면 \(5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15\). 보통의 계승 \(n!\)이 전부 곱하는 것에 비해, 이중 계승은 하나 건너뛰며 곱하는 거야.

참고로 공식 (C.6)이 \(m = 0\)(즉 \(n = 0\))일 때도 올바르게 작동하는지 확인해 보자. \(m = 0\)을 대입하면 \(\sqrt{2\pi/a} \cdot (-1)!!/a^0 = \sqrt{2\pi/a} \cdot (-1)!!\)을 줘. 한편 \(I_0 = \int dq\; e^{-aq^2/2} = \sqrt{2\pi/a}\)는 이미 알고 있어(식 (C.1) 그 자체). 이 둘이 일치하려면 \((-1)!! = 1\)이어야 해. 즉 「공식이 \(m = 0\)에서도 올바르게 작동하도록」 \((-1)!! = 1\)로 정의하는 거야. 이건 \(0! = 1\)과 같은 발상이야. \(0!\)도 「\(n! = n \cdot (n-1)!\)에서 \(n = 1\)을 대입하면 \(1! = 1 \cdot 0!\)이니까 \(0! = 1\)」로 정합성에서 결정되잖아. 직관적으로는 「곱할 수가 하나도 없을 때, 곱의 값은 1」이라는 약속——아무것도 곱하지 않으면 결과는 1 그대로——라고 생각하면 돼. 마찬가지로 \((2m-1)!!\)은 「\(m\)개의 홀수를 곱하는」 조작이니까, \(m = 0\)이면 「0개의 수를 곱하는」= 1이야.

🔵 카이: 홀수일 때 0이 되는 건, 피적분함수가 기함수이기 때문이죠?

🟡 리나: 맞아. \(e^{-aq^2/2}\)는 짝함수, \(q^n\)(\(n\)이 홀수)은 기함수. 곱은 기함수이니까, \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지의 적분에서 양과 음이 상쇄되어 0이 되는 거야.

⚪ 메이: 짝수인 경우는 어떻게 유도하는 거야?

🟡 리나: 점화식을 사용하는 게 가장 편해. 부분적분으로 보일 수 있는 점화식이 이거야.

\[ I_n(a) = \frac{n-1}{a}\,I_{n-2}(a) \tag{C.7} \]

증명: \(I_n(a)\)의 피적분함수를 \(q^{n-1} \cdot q\,e^{-aq^2/2}\)로 분리해. 여기서 \(\frac{d}{dq}e^{-aq^2/2} = -aq\,e^{-aq^2/2}\) (합성함수의 미분)이니까, \(q\,e^{-aq^2/2} = -\frac{1}{a}\frac{d}{dq}e^{-aq^2/2}\)로 쓸 수 있어. 부분적분 \(\int u\,dv = [uv] - \int v\,du\)에서

  • \(u = q^{n-1}\) → \(du = (n-1)q^{n-2}\,dq\)
  • \(v = -\frac{1}{a}e^{-aq^2/2}\) → \(dv = q\,e^{-aq^2/2}\,dq\)

로 놓으면

\[ I_n(a) = \left[-\frac{q^{n-1}}{a}e^{-\frac{a}{2}q^2}\right]_{-\infty}^{\infty} + \frac{n-1}{a}\int_{-\infty}^{\infty} dq\; q^{n-2}\,e^{-\frac{a}{2}q^2} \]

\(\mathrm{Re}(a) > 0\)이므로 경계항은 0. 남은 적분은 \(I_{n-2}(a)\) 그 자체야.

🔵 카이: 아하, \(I_0 = \sqrt{2\pi/a}\)에서 출발해서, \(I_2 = (1/a)\sqrt{2\pi/a}\), \(I_4 = (3/a^2)\sqrt{2\pi/a}\), ... 이렇게 줄줄이 구할 수 있군요. 그런데 \(I_4\)의 계수가 \(3\)인 건 뭔가 의미가 있나요? 4개의 \(q\)를 2개씩 쌍으로 만드는 조합의 수라든가……?

🟡 리나: 바로 그래! 4개의 \(q\)를 2개씩의 쌍으로 나누는 방법은, \((q_1 q_2)(q_3 q_4)\), \((q_1 q_3)(q_2 q_4)\), \((q_1 q_4)(q_2 q_3)\)의 3가지——정확히 \((2m-1)!! = 3!! = 3\)과 일치해. 이건 우연이 아니라, Wick의 정리(제 7 장)와 직결되어 있어.

⚪ 메이: 쌍 짓기의 조합 수가 그대로 이중 계승이 되는 거구나——그래서 Wick의 정리와 직결되는 거네.

🟡 리나: 구체적인 값을 표로 정리해 둘게.

표 C.1: 가우스 적분 \(I_n(a)\)의 구체적인 값

\(n\) \(I_n(a)\)
0 \(\sqrt{2\pi/a}\)
2 \(\sqrt{2\pi/a}\cdot a^{-1}\)
4 \(\sqrt{2\pi/a}\cdot 3a^{-2}\)
6 \(\sqrt{2\pi/a}\cdot 15a^{-3}\)

계수 \(1, 3, 15\)가 각각 \((2m-1)!!\)에 대응한다는 것을 확인해 봐.

✅ 이해도 체크: 가우스 적분 \(I_n(a) = \int dq\; q^n e^{-aq^2/2}\)가 \(n\)이 홀수일 때 0이 되는 이유를 설명해 보세요. 또한 짝수인 경우에 점화식 \(I_n = \frac{n-1}{a} I_{n-2}\)가 성립하는 것은 어떤 방법으로 보일 수 있을까요?

답

\(n\)이 홀수일 때, \(q^n\)은 기함수이고 \(e^{-aq^2/2}\)는 짝함수이므로, 곱은 기함수가 되어 \((-\infty, +\infty)\)의 대칭 구간에서 적분하면 0이 된다. 점화식은 부분적분으로 보일 수 있다. 피적분함수를 \(q^{n-1} \cdot q e^{-aq^2/2}\)로 분리하고, \(q e^{-aq^2/2} = -\frac{1}{a}\frac{d}{dq}e^{-aq^2/2}\)를 이용하여 부분적분하면, 경계항은 0이 되고 \(I_{n-2}\)로 귀착된다.

📝 연습문제:

C.2　다변수 가우스 적분

🟡 리나: 장의 양자론에서는 적분 변수가 1개가 아니라 무한 개야. 그래서 다변수로의 확장이 불가결해.

C.2.1　기본 공식

🟡 리나: \(n\)개의 실변수 \(q_1, q_2, \ldots, q_n\)을 모아서 벡터 \(\mathbf{q}\)로 쓸게. \(A\)를 \(n \times n\)의 실대칭 양정치 행렬로 해. 「대칭」은 \(A_{ij} = A_{ji}\)(전치해도 같다)라는 뜻이야. 「양정치」의 정식 정의는 「임의의 \(\mathbf{q} \neq \mathbf{0}\)에 대해 \(\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} > 0\)이 성립하는 것」인데, 직관적으로는 「1변수일 때 \(aq^2 > 0\)이 되려면 \(a > 0\)이 필요했던 것과 같이, 어느 방향으로 잡아당겨도 2차 형식이 양이 되는」 조건이야.

🔵 카이: 「모든 고유값이 양수」라고도 들은 적이 있는데, 고유값이 뭔가요?

🟡 리나: 고유값이란, \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)인 벡터 \(\mathbf{v}\)가 존재하여 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)를 만족하는 스칼라 \(\lambda\)를 말해——행렬이 특정 방향의 벡터 \(\mathbf{v}\)(이것을 고유벡터라고 부름)를 「늘이거나 줄이기만 하는」 배율이야. 예를 들어 \(2 \times 2\) 대각 행렬 \(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\)이면, \(x\) 방향 벡터는 3배, \(y\) 방향은 5배로 늘어나니까, 고유값은 3과 5야.

🔵 카이: 즉 행렬을 곱해도 방향이 바뀌지 않는 벡터가 있고, 그때의 「늘어나는 비율」이 고유값이란 거군요.

🟡 리나: 맞아. 양정치인 것은 「\(A\)의 모든 고유값이 양수」인 것과 동치야. 왜 동치인가 하면, 실대칭 행렬은 반드시 직교 행렬로 대각화할 수 있어——즉, 어떤 직교 행렬 \(O\)가 존재하여 \(O^T A\,O = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)으로 대각 행렬로 변환할 수 있는 거야(이것은 선형대수에서 스펙트럼 정리라 불리는 결과야. 이름은 기억하지 않아도 되지만, 「실대칭 행렬은 반드시 직교 행렬로 대각화할 수 있다」는 사실을 이 장에서는 도구로 사용할게. 증명은 선형대수 교과서에 맡길게). 대각화하면 뭐가 좋은지는 바로 아래에서 구체적으로 보여줄게.

🔵 카이: 「실대칭」이 아닌 행렬이면 대각화할 수 없는 경우도 있나요?

🟡 리나: 일반적으로는 그래. 하지만 물리에서 나오는 2차 형식 \(\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}\)의 \(A\)는 대칭 행렬로 잡을 수 있으니까(비대칭 부분은 \(\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}\)에 기여하지 않아), 이 장에서는 항상 대각화 가능한 상황만 다루는 거야. 대각화한 좌표계에서는 \(\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} = \sum_i \lambda_i z_i^2\)이 돼. 이것이 모든 \(\mathbf{z} \neq \mathbf{0}\)에서 양이 되려면 각 \(\lambda_i > 0\)이 필요충분——1변수의 \(a > 0\)과 같은 논리야.

⚪ 메이: 즉 「대각화해서 각 방향으로 분리하면, 결국은 1변수 조건으로 귀착된다」는 거네.

🟡 리나: 맞아. 그러면,

\[ \int_{-\infty}^{\infty} d^n q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}} \tag{C.8} \]

여기서 \(d^n q = dq_1\,dq_2\cdots dq_n\)이야. \(\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q}\)는 「행벡터 × 행렬 × 열벡터」의 곱으로, 성분으로 쓰면 \(\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} = \sum_{i,j} q_i A_{ij} q_j\)가 돼. 예를 들어 \(n = 2\)이면

\[ \mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} = (q_1, q_2)\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = A_{11}q_1^2 + (A_{12}+A_{21})q_1 q_2 + A_{22}q_2^2 \]

이 되지. \(A\)가 대칭(\(A_{12} = A_{21}\))이면 교차항은 \(2A_{12}q_1 q_2\)야.

🔵 카이: 1변수일 때 \(\sqrt{2\pi/a}\)였던 것이, \(n\)변수가 되면 \(a\)가 행렬 \(A\)로, \(1/\sqrt{a}\)가 \(1/\sqrt{\det A}\)로 바뀌는 거군요.

🟡 리나: 정확히 그래. 직관적으로는, \(A\)가 대각화될 때 각 고유값 \(\lambda_i\)에 대해 독립적으로 가우스 적분을 할 수 있어서,

\[ \prod_{i=1}^n \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_i}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}} \]

이 되는 거야.

⚪ 메이: 대칭 행렬은 직교 행렬로 대각화할 수 있으니까, 각 변수가 독립적인 1변수 가우스 적분으로 분리되는 거네.

🔵 카이: 잠깐만요, 변수변환하면……극좌표 때처럼, 넓이 요소에 여분의 인자가 곱해지지 않나요?

🟡 리나: 좋은 지적이야. 다변수의 변수변환에서는 야코비안이라 불리는 인자가 부피 요소에 곱해져. 일반적으로, 변수 \(\mathbf{q}\)에서 새로운 변수 \(\mathbf{z}\)로 변환할 때, 부피 요소는

\[ d^n q = \left|\det\frac{\partial q_i}{\partial z_j}\right| d^n z \]

로 바뀌어. 이 \(\left|\det\frac{\partial q_i}{\partial z_j}\right|\)가 야코비안이야. 여기서 \(\frac{\partial q_i}{\partial z_j}\)는 편미분——「다른 변수 \(z_k\)(\(k \neq j\))를 고정한 채 \(z_j\)만 조금 바꿨을 때, \(q_i\)가 얼마나 변하는가」의 비율이야. 1변수의 미분 \(dq/dz\)의 다변수 버전이지. 이것들을 행렬 형태로 나열하고 행렬식을 취한 것이 야코비안이야. C.1.2의 극좌표 예에서는, \(q_1 = r\cos\theta\), \(q_2 = r\sin\theta\)이니까

\[ \det\frac{\partial(q_1, q_2)}{\partial(r, \theta)} = \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r \]

이것이 극좌표에서 \(r\)이 추가로 곱해지는 이유야.

🔵 카이: 아, 아까 「직관적으로 띠의 길이가 \(r\)에 비례한다」고 설명해 주신 것과, 야코비안 계산이 제대로 일치하는군요.

🟡 리나: 자, 지금 문제에서는 직교 행렬 \(O\)에 의한 변수변환 \(\mathbf{q} = O\mathbf{z}\)를 생각하고 있어. 이 경우 \(\partial q_i/\partial z_j = O_{ij}\)이니까 야코비안은 \(|\det O|\)야. 직교 행렬이란 \(O^T O = I\)(전치가 역행렬과 같다)를 만족하는 행렬로, 기하학적으로는 「회전과 거울 반사」를 나타내. \(\det(O^T O) = (\det O)^2 = \det I = 1\)이니까 \(\det O = \pm 1\), 즉 \(|\det O| = 1\). 회전이나 거울 반사는 도형의 넓이나 부피를 바꾸지 않잖아? 그래서 야코비안이 1이 되는 거야.

🔵 카이: 아하, 회전해도 넓이는 변하지 않으니까, 여분의 인자가 나오지 않는군요. 그래서 안심하고 대각화할 수 있다는 거구나.

✅ 이해도 체크: 다변수 가우스 적분의 결과 \((2\pi)^{n/2}/(\det A)^{1/2}\)에서, 행렬식 \(\det A\)가 나타나는 물리적·수학적 이유를 설명해 보세요.

답

실대칭 양정치 행렬 \(A\)는 직교변환으로 대각화할 수 있고, 고유값을 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)이라 하면 각 변수에 대해 독립적으로 1변수 가우스 적분 \(\sqrt{2\pi/\lambda_i}\)를 실행할 수 있다. 이들의 곱은 \(\prod_i \sqrt{2\pi/\lambda_i} = (2\pi)^{n/2}/\sqrt{\lambda_1 \cdots \lambda_n} = (2\pi)^{n/2}/\sqrt{\det A}\)가 된다. 직교변환의 야코비안은 1이므로 변수변환에 의한 추가 인자는 생기지 않는다.

C.2.2　소스 포함 다변수 가우스 적분

🟡 리나: 1차 항(소스 \(\mathbf{J}\))을 추가한 경우는 이렇게 돼.

\[ \int d^n q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T \mathbf{q}} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{(\det A)^{1/2}} \; e^{\frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J}} \tag{C.9} \]

🔵 카이: 1변수일 때 \(e^{J^2/(2a)}\)였던 것이, \(e^{\frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J}}\)로 바뀌는군요. \(1/a\)가 역행렬 \(A^{-1}\)이 된 거네. 그런데 다변수의 완전제곱식 만들기가 행렬의 경우에도 같은 식으로 되나요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 돼. 유도도 1변수 때와 같아. 완전제곱식을 만들어서

\[ -\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T\mathbf{q} = -\frac{1}{2}(\mathbf{q} + A^{-1}\mathbf{J})^T A\,(\mathbf{q} + A^{-1}\mathbf{J}) + \frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J} \]

변수변환 \(\mathbf{z} = \mathbf{q} + A^{-1}\mathbf{J}\)에서 야코비안은 1이니까, 식 (C.8)로 귀착돼.

⚪ 메이: 1변수에서 「\(q\)를 \(q + J/a\)로 이동시킨다」였던 것이, 다변수에서는 「\(\mathbf{q}\)를 \(\mathbf{q} + A^{-1}\mathbf{J}\)로 이동시킨다」——구조가 완전히 같네.

🟡 리나: 이 공식이 장의 경로적분(제 11 장)에서 생성범함수 \(Z[J]\)를 계산할 때의 핵심이 돼. \(n \to \infty\)의 극한에서 이산적인 합이 연속적인 적분으로 바뀌고, \(A^{-1}\)이 Feynman 전파함수가 되는 거야.

⚪ 메이: 즉, 1변수에서 \(1/a\)였던 것이 다변수에서 \(A^{-1}\)이 된 것과 같은 구조가, 무한 변수의 장 이론에도 그대로 이어지는 거네.

✅ 이해도 체크: 소스 포함 다변수 가우스 적분의 결과에 나타나는 \(A^{-1}\)은, 장의 양자론의 경로적분에서 무엇에 대응할까요?

답

\(n \to \infty\)의 극한에서 이산적인 변수가 연속적인 장으로 바뀔 때, 역행렬 \(A^{-1}\)은 Feynman 전파함수(프로파게이터)에 대응한다. 소스 포함 공식의 지수 부분 \(\frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1} \mathbf{J}\)가 생성범함수 \(Z[J]\)의 구조를 주며, \(A^{-1}\)의 각 성분이 두 점 사이의 전파를 기술한다.

이해도 체크 C.2

식 (C.9)에서 \(n = 1\), \(A = (a)\), \(\mathbf{J} = (J)\)로 놓으면 식 (C.3)이 재현됨을 확인하시오.

답: \(\det A = a\), \(A^{-1} = 1/a\), \(\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J} = J^2/a\). 대입하면 \(\sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)}\)로, 식 (C.3)과 일치한다.

C.3　Grassmann 수의 대수와 적분

🟡 리나: 여기서부터는 페르미온의 경로적분(제 12 장)에서 필수적인 Grassmann (그라스만) 수 이야기야. 보손의 경로적분에서는 「보통의 수」를 적분 변수로 쓸 수 있었지만, 페르미온에서는 반교환하는 수가 필요해.

C.3.1　왜 Grassmann 수가 필요한가

🔵 카이: 왜 보통의 수로는 안 되나요?

🟡 리나: 페르미온의 장 연산자는 반교환 관계를 만족하잖아.

\[ \hat{\psi}(x)\hat{\psi}(y) = -\hat{\psi}(y)\hat{\psi}(x) \]

경로적분에서는 연산자를 사용하지 않고 「고전적인 장의 값」을 적분 변수로 쓰는 것이 장점이었어. 하지만 적분 변수가 보통의 가환한 수라면, 이 반교환성을 재현할 수 없어. 그래서 반교환하는 새로운 종류의 수——Grassmann 수——를 도입하는 거야.

✅ 이해도 체크: 페르미온의 경로적분에서, 적분 변수로 보통의 실수나 복소수가 아닌 Grassmann 수를 사용해야 하는 이유는 무엇일까요?

답

페르미온의 장 연산자는 반교환 관계 \(\hat{\psi}(x)\hat{\psi}(y) = -\hat{\psi}(y)\hat{\psi}(x)\)를 만족한다. 경로적분에서는 연산자를 「고전적인 장의 값」(적분 변수)으로 바꾸지만, 보통의 가환한 수로는 이 반교환성을 재현할 수 없다. 그래서 교환하면 부호가 바뀌는 Grassmann 수를 적분 변수로 도입할 필요가 있다.

C.3.2　기본적인 반교환성과 \(\eta^2 = 0\)

🟡 리나: 정의는 놀라울 정도로 단순해. 두 Grassmann 수 \(\eta\), \(\zeta\)는

\[ \eta\zeta = -\zeta\eta \tag{C.10} \]

을 만족해. 이것이 반교환성 (anticommutativity)이야.

여기서 곧바로, \(\zeta = \eta\)로 놓으면

\[ \eta\eta = -\eta\eta \]

양변에 \(\eta\eta\)를 더하면 \(2\eta^2 = 0\). 계수는 보통의 실수나 복소수이니까 2로 나눌 수 있어서

\[ \boxed{\eta^2 = 0} \tag{C.11} \]

🔵 카이: \(\eta^2 = 0\)인데 \(\eta \neq 0\)이라니! 보통의 수에서는 생각할 수 없네요.

🟡 리나: 이것이 파울리의 배타원리의 수학적 표현이라고 생각하면 돼. 같은 페르미온 상태를 2번 점유하려 하면 0이 되는 거——바로 배타원리 그 자체잖아?

그리고 \(\eta^2 = 0\)이니까, Grassmann 수의 함수는 테일러 전개가 유한 항에서 끊겨. 1변수라면

\[ f(\eta) = a + b\eta \tag{C.12} \]

이 가장 일반적인 형태야. 2차 이상의 항은 모두 0이지. 예를 들어 \(e^\eta = 1 + \eta + \eta^2/2! + \cdots = 1 + \eta\)(\(\eta^2 = 0\)에서 끊김). 마찬가지로 \(\sin\eta = \eta - \eta^3/3! + \cdots = \eta\), \(\cos\eta = 1 - \eta^2/2! + \cdots = 1\).

⚪ 메이: 테일러 전개가 단 2항으로 끝나니까, 어떤 함수든 \(a + b\eta\) 형태에 수렴하는 거네. 다루기 쉽다.

✅ 이해도 체크: Grassmann 수 \(\eta\)에 대해 \(\eta^2 = 0\)이 성립하는 것은, 물리적으로 어떤 원리에 대응할까요? 또한 이 성질로부터 Grassmann 수의 함수에는 어떤 제약이 생길까요?

답

\(\eta^2 = 0\)은 파울리의 배타원리의 수학적 표현에 대응한다. 같은 페르미온 상태를 2번 점유하려 하면 0이 되는 것을 반영한다. 이 성질에 의해, 1변수 Grassmann 수의 함수는 테일러 전개가 \(f(\eta) = a + b\eta\)의 2항에서 끊기고, 2차 이상의 항은 모두 0이 된다.

C.3.3　Grassmann 수의 미분

🟡 리나: 미분의 정의는 자연스러운 거야.

\[ \frac{\partial}{\partial\eta}\eta = 1, \qquad \frac{\partial}{\partial\eta}(\text{상수}) = 0 \tag{C.13} \]

그래서 \(f(\eta) = a + b\eta\)를 미분하면

\[ \frac{\partial f}{\partial\eta} = b \tag{C.14} \]

🔵 카이: 여기까지는 보통이네요.

🟡 리나: 중요한 것은, 미분 연산자 자체도 Grassmann적(홀수적)으로 행동한다는 점이야. 구체적으로는, Grassmann 미분은 좌미분으로 정의해. \(\frac{\partial}{\partial\zeta}\)는 「곱 안에서 \(\zeta\)를 가장 왼쪽으로 가져온 다음 제거하는」 조작이야. 2변수 \(\eta, \zeta\)가 있을 때, \(\eta\zeta\)를 \(\zeta\)로 미분해 봐.

먼저 \(\zeta\)를 왼쪽 끝으로 가져와: \(\eta\zeta = -\zeta\eta\) (반교환성). 다음으로 왼쪽 끝의 \(\zeta\)를 제거: \(-\eta\). 즉

\[ \frac{\partial}{\partial\zeta}(\eta\zeta) = -\eta \tag{C.15} \]

🔵 카이: 마이너스가 나왔어요! \(\zeta\)를 왼쪽으로 가져올 때 \(\eta\)와 자리를 바꾸니까 부호가 바뀌는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 일반적으로, \(\frac{\partial}{\partial\zeta}\)를 작용시키려면, 미분하고 싶은 변수 \(\zeta\)를 왼쪽 끝까지 이동시켜야 해. 도중에 다른 Grassmann 변수를 1개 뛰어넘을 때마다 부호가 1번 바뀌어.

⚪ 메이: 즉 아까 예에서는 \(\eta\)를 1개 뛰어넘었으니까 부호가 1번 바뀌어서 \(-\eta\)가 된 거네. 변수가 늘어나도 같은 규칙을 반복하면 되고.

C.3.4　Berezin 적분

🟡 리나: 여기가 Grassmann 수의 가장 놀라운 부분이야. 적분을 다음과 같이 정의해.

\[ \int d\eta\; \eta = 1, \qquad \int d\eta\; 1 = 0 \tag{C.16} \]

이것을 Berezin (베레진) 적분이라고 불러.

🔵 카이: 에? 보통의 적분과 완전히 다르잖아요! \(\int dx\; 1 = x + C\)가 아닌 건가요?

🟡 리나: Grassmann 적분은 보통의 Riemann 적분과는 별개의 것이야. 이 정의는 평행이동 불변성으로부터 요청되는 거야. 보통의 정적분 \(\int_{-\infty}^{\infty} dx\; f(x)\)는 \(x \to x + a\)로 바꿔도 값이 변하지 않아(피적분함수가 충분히 빨리 감소하는 경우). Grassmann 적분에도 같은 성질을 요구해 보자.

일반적인 함수는 \(f(\eta) = \alpha + \beta\eta\)이니까, 적분에도 보통의 적분과 같은 선형성을 요청할게. 즉 \(\int d\eta\; f(\eta) = \alpha\int d\eta\; 1 + \beta\int d\eta\; \eta = c_0 \alpha + c_1 \beta\)로 쓸 수 있어. 여기서 \(c_0 = \int d\eta\; 1\), \(c_1 = \int d\eta\; \eta\)이 결정해야 할 상수야.

평행이동 \(\eta \to \eta + \xi\)에서 불변임을 요구해. 여기서 \(\xi\)는 다른 Grassmann 수야. 왜 보통의 수가 아니라 Grassmann 수로 평행이동하냐면, \(\eta\)는 반교환하는 변수이니까, 평행이동 후의 \(\eta + \xi\)도 Grassmann 수로서의 성질을 유지해야 하기 때문이야. 구체적으로 봐보자. 만약 \(\xi\)가 보통의 수 \(c\)라면, \((\eta + c)^2 = \eta^2 + 2c\eta + c^2 = 2c\eta + c^2\)이 되어서, \(c \neq 0\)이면 0이 되지 않아. 즉 \(\eta + c\)는 \(\theta^2 = 0\)이라는 Grassmann 수의 기본 성질을 잃어버려. 반면 \(\xi\)가 Grassmann 수라면 \((\eta + \xi)^2 = \eta^2 + \eta\xi + \xi\eta + \xi^2 = 0 + \eta\xi - \eta\xi + 0 = 0\)이 되어서, 제대로 Grassmann 수인 채로야. 같은 종류의 수로 평행이동하는 것이 자연스러운 거야.

🔵 카이: 아하, 보통의 수로 이동시키면 「제곱이 0」이라는 성질이 깨져 버리니까, Grassmann 수로 이동시키지 않으면 안 되는 거군요.

🟡 리나: \(f(\eta) = \alpha + \beta\eta\)에 \(\eta \to \eta + \xi\)를 대입하면

\[ f(\eta + \xi) = \alpha + \beta(\eta + \xi) = (\alpha + \beta\xi) + \beta\eta \]

여기서 \(\alpha, \beta\)는 보통의 수(Grassmann 수가 아님)이니까 \(\beta\xi\)나 \(\beta\eta\)의 순서는 문제가 되지 않아. 이 식을 보면, \(\eta\)에 관해서는 「\(\eta\)를 포함하지 않는 부분(\(\eta\)에게는 상수) \(= \alpha + \beta\xi\)」와 「\(\eta\)의 1차 계수 \(= \beta\)」로 나뉘어 있어. \(\beta\xi\)는 Grassmann 수이지만 \(\eta\)와는 다른 변수이니까, \(\eta\)로 적분할 때는 상수 취급이야. 선형성을 사용하여 \(\eta\)로 적분하면

\[ \int d\eta\; f(\eta + \xi) = (\alpha + \beta\xi)\underbrace{\int d\eta\;1}_{= c_0} + \beta\underbrace{\int d\eta\;\eta}_{= c_1} = c_0(\alpha + \beta\xi) + c_1\beta \]

이것이 \(\int d\eta\; f(\eta) = c_0\alpha + c_1\beta\)와 같아지려면, \(c_0\beta\xi = 0\)이 임의의 \(\beta, \xi\)에 대해 성립해야 해. 따라서 \(c_0 = 0\), 즉 \(\int d\eta\; 1 = 0\). \(c_1\)은 규격화 약속으로 \(c_1 = 1\)로 정하는 거야.

🔵 카이: 아하, \(\int d\eta\; 1 = 0\)은 「평행이동으로 값이 변하지 않는다」는 요청에서 나오는 거군요.

⚪ 메이: 확인해 볼게. \(f(\eta) = \alpha + \beta\eta\)를 \(\eta \to \eta + \xi\)로 치환하면 \(f(\eta + \xi) = (\alpha + \beta\xi) + \beta\eta\). 이것을 적분하면

\[ \int d\eta\; f(\eta + \xi) = \beta \]

원래 함수를 적분해도 \(\int d\eta\; f(\eta) = \beta\). 확실히 일치해.

🟡 리나: 그리고 놀라운 것은, 식 (C.14)와 비교해 봐.

\[ \frac{\partial f}{\partial\eta} = b, \qquad \int d\eta\; f(\eta) = b \]

Grassmann 수의 세계에서는, 미분과 적분이 같은 조작이야.

🔵 카이: 우와, 정말이네요. 보통의 수에서는 미분과 적분이 역의 조작인데……

🟡 리나: \(\eta\)의 함수는 \(f(\eta) = a + b\eta\)밖에 없으니까, 「\(\eta\)를 제거하고 계수 \(b\)를 꺼내는」 조작은 한 가지뿐이야. 미분도 적분도 그 같은 조작을 하고 있는 거야.

✅ 이해도 체크: Berezin 적분의 정의 \(\int d\eta\; \eta = 1\), \(\int d\eta\; 1 = 0\)에서, \(\int d\eta\; 1 = 0\)이라는 얼핏 기이한 규칙은 어떤 요청으로부터 유도될까요? 또한, Grassmann 수의 미분과 적분의 관계는 어떻게 될까요?

답

\(\int d\eta\; 1 = 0\)은 「평행이동 불변성」의 요청으로부터 유도된다. \(\eta \to \eta + \xi\)로 평행이동해도 적분값이 변하지 않을 것을 요구하면, 상수항의 적분은 0이어야 한다. 또한, Grassmann 수의 세계에서는 미분과 적분이 같은 조작이 된다. \(f(\eta) = a + b\eta\)에 대해 \(\partial f/\partial\eta = b\)이고 \(\int d\eta\; f(\eta) = b\)로, 둘 다 「\(\eta\)의 계수를 꺼내는」 동일한 조작이다.

C.3.5　Grassmann 가우스 적분

🟡 리나: 페르미온의 경로적분에서 핵심이 되는 공식을 유도할게. 보손의 가우스 적분에서는 \(e^{-aq^2/2}\)처럼 변수의 제곱이 지수에 들어갔었잖아. 하지만 Grassmann 수에서는 \(\eta^2 = 0\)이니까, 같은 변수의 제곱을 사용한 「\(e^{-a\eta^2/2}\)」는 \(e^0 = 1\)이 되어 버려서 의미가 없어. 그래서 2차 형식을 만들려면 다른 Grassmann 변수가 필요해. 페르미온의 경로적분(제 12 장)에서는, Dirac 장 \(\psi\)과 \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\)을 독립적인 적분 변수로 취급해. 그에 대응하여, 여기서도 2개의 독립적인 Grassmann 변수 \(\bar{\eta}, \eta\)를 생각할게.

🔵 카이: \(\bar{\eta}\)는 \(\eta\)의 복소켤레인가요?

🟡 리나: 좋은 질문이지만, 아니야. \(\bar{\eta}\)에 바가 붙어 있는 건 Dirac 장의 \(\bar{\psi}\)에 대응시키기 위한 기호 약속이지, \(\eta\)의 복소켤레는 아니야. \(\bar{\eta}\)와 \(\eta\)는 완전히 독립적인 별개의 Grassmann 변수야. 이름에 바가 붙어 있을 뿐, 수학적으로는 아무 관계도 없는 2개의 변수라고 생각해. 그리고 중요한 것은, 모든 Grassmann 변수는 서로 반교환한다는 것이야. \(\bar{\eta}\)와 \(\eta\) 사이도 \(\bar{\eta}\eta = -\eta\bar{\eta}\)이고, 다변수의 경우에는 \(\bar{\eta}_i\)와 \(\eta_j\), \(\bar{\eta}_i\)와 \(\bar{\eta}_j\), \(\eta_i\)와 \(\eta_j\)의 어떤 조합이든 반교환해.

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta\; e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta} \tag{C.17} \]

을 계산해 볼게. \(\eta^2 = 0\)이니까 지수함수를 전개하면

\[ e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta} = 1 + (-\bar{\eta}\,a\,\eta) = 1 - a\,\bar{\eta}\eta \]

2차 이상의 항은 \(\eta^2 = 0\)이나 \(\bar{\eta}^2 = 0\)으로 0이 돼.

🔵 카이: 테일러 전개가 2항에서 끝나는 건 Grassmann 수이기에 가능한 거네요.

🟡 리나: 이제 Berezin 적분의 정의를 사용하기만 하면 돼. \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\)는 「먼저 \(\eta\)로 적분하고, 다음에 \(\bar{\eta}\)로 적분한다」고 약속할게. 이건 보통의 다중적분과 같은 읽는 방법——피적분함수에 가장 가까운 적분 기호부터 순서대로 실행하는 거야. 즉 \(\int d\bar{\eta}\bigl(\int d\eta\;(\cdots)\bigr)\)라는 중첩 구조지. 이 약속은 이 장 전체를 통해 항상 같아——이후의 다변수나 소스 포함 경우도, 오른쪽 끝의 \(d\eta\)부터 순서대로 실행하는 거야. Grassmann 수에서는 적분의 순서를 바꾸면 부호가 바뀌어. 왜냐하면, C.3.4에서 봤듯이 Berezin 적분은 미분과 같은 조작이었잖아. 미분 연산자 \(\frac{\partial}{\partial\eta}\)는 Grassmann적(홀수적)으로 행동하니까(C.3.3에서 좌미분할 때 부호가 바뀌었던 걸 떠올려), 적분 측도 \(d\bar{\eta}\)나 \(d\eta\)도 마찬가지로 반교환해——즉 \(d\bar{\eta}\,d\eta = -d\eta\,d\bar{\eta}\)——인 거야. 순서를 바꾸면 마이너스가 1개 나와. 이 약속을 지키는 게 중요해.

⚪ 메이: 적분의 순서를 바꾸기만 해도 부호가 바뀌는 거구나——보통의 적분에서는 일어나지 않는 일이, Grassmann의 세계에서는 자연스러운 귀결이네.

🟡 리나: 그럼 계산해 볼게.

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta\;(1 - a\,\bar{\eta}\eta) = \int d\bar{\eta}\,d\eta\;1 - a\int d\bar{\eta}\,d\eta\;\bar{\eta}\eta \]

제1항: 안쪽의 \(\int d\eta\; 1 = 0\) 시점에서 0이 되니까, 바깥쪽의 \(\bar{\eta}\) 적분을 실행할 것도 없이, 이 항 전체가 0.

제2항: C.3.4의 마지막에서 확인했듯이, Grassmann 수에서는 미분과 적분이 같은 조작이었잖아. 즉 Berezin 적분 \(\int d\eta\)는 C.3.3에서 정의한 좌미분과 같은 일을 하고 있어. 즉 \(\int d\eta\)는 「\(\eta\)를 왼쪽 끝으로 가져온 다음 제거하는」 조작이야. \(\bar{\eta}\eta\)에 대해 \(\eta\)로 적분하려면, 먼저 \(\eta\)를 왼쪽 끝으로 이동시킬 필요가 있어. \(\bar{\eta}\eta = -\eta\bar{\eta}\) (반교환성)이니까

\[ \int d\eta\;\bar{\eta}\eta = \int d\eta\;(-\eta\bar{\eta}) = -\int d\eta\;\eta\bar{\eta} \]

여기서 \(\bar{\eta}\)는 \(\eta\)와는 독립적인 Grassmann 변수이니까, \(\eta\)에 관한 적분에서는 「\(\eta\)를 포함하지 않는 인자」로 취급할 수 있어. 다만 주의점이 있어. 보통의 수의 상수라면 \(\int dx\; x \cdot c = c\int dx\; x\)처럼 자유롭게 앞으로 뺄 수 있지만, Grassmann 수의 「상수」 \(\bar{\eta}\)는 다른 Grassmann 변수와 반교환하니까, 위치를 옮기면 부호가 바뀔 수 있어. 지금의 경우 \(\int d\eta\;\eta\bar{\eta}\)에서는, \(\eta\)가 이미 왼쪽 끝에 있어. Berezin 적분의 선형성으로부터, \(\eta\)에 의존하지 않는 인자는 적분 밖으로 뺄 수 있어. \(\bar{\eta}\)는 \(\eta\)와는 별개의 변수이니까, \(\eta\)에 관해서는 「상수」 취급이야. 여기서 Berezin 적분 \(\int d\eta\)는 「왼쪽 끝의 \(\eta\)를 제거하고, 나머지를 그대로 돌려주는」 조작이야. \(\int d\eta\;\eta\bar{\eta}\)에서는, \(\eta\)가 이미 왼쪽 끝에 있으니까, 그것을 제거하면 오른쪽에 \(\bar{\eta}\)만 남아. 즉 \(\int d\eta\;\eta\bar{\eta} = 1 \cdot \bar{\eta} = \bar{\eta}\). \(\bar{\eta}\)는 \(\eta\)의 오른쪽에 있어서 \(\eta\)를 뛰어넘지 않았으니까, 추가적인 부호 변화는 생기지 않아. 따라서

\[ \int d\eta\;\bar{\eta}\eta = -\bar{\eta} \]

다음으로 \(\bar{\eta}\)로 적분하면 \(\int d\bar{\eta}\;(-\bar{\eta}) = -1\).

정리하면 \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\;\bar{\eta}\eta = -1\).

🔵 카이: \(\eta\)를 왼쪽 끝으로 가져올 때 \(\bar{\eta}\)를 1개 뛰어넘으니까 부호가 1번 바뀌는 거——C.3.3의 좌미분 규칙 그대로네요!

🟡 리나: 맞아. Berezin 적분과 좌미분이 같은 조작이라는 걸 떠올리면, 부호로 헤매지 않아.

따라서 제2항은 \(-a \cdot (-1) = a\). 제1항은 0이었으니까, 합치면

\[ \boxed{\int d\bar{\eta}\,d\eta\; e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta} = 0 + a = a} \tag{C.18} \]

🔵 카이: 결과가 심플하게 그냥 \(a\)! 보손의 \(\sqrt{2\pi/a}\)와는 완전히 다른 형태네요.

🟡 리나: 여기서 주목해야 할 것은, 보손의 가우스 적분 (C.1)에서는 \(\sqrt{2\pi/a}\)로 분모에 \(a\)가 왔는데, Grassmann의 경우는 결과가 \(a\) 그 자체——분자에 온다는 점이야. 이것이 본질적인 차이야.

⚪ 메이: 역수가 되어 있네. 보손에서는 \(a\)가 클수록 적분값이 작아지는데, 페르미온에서는 커지는 거야——완전히 반대의 행동.

🟡 리나: 맞아. 다변수로 확장하면

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta}} = \det A \qquad (\det A \neq 0) \tag{C.19} \]

여기서 \(\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} = \sum_{i,j} \bar{\eta}_i A_{ij} \eta_j\)야(\(\bar{\eta}_i\)가 왼쪽, \(\eta_j\)가 오른쪽——Grassmann 수에서는 순서가 중요하니까 명시해 둘게). 적분 측도의 순서는 \(\prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \equiv d\bar{\eta}_1\,d\eta_1\,d\bar{\eta}_2\,d\eta_2\cdots d\bar{\eta}_n\,d\eta_n\)으로 약속할게(\(i = 1\) 쌍이 가장 왼쪽). 실행 순서는 오른쪽 끝부터——즉 \(d\eta_n \to d\bar{\eta}_n \to \cdots \to d\eta_1 \to d\bar{\eta}_1\) 순서야. \(A\)는 \(n \times n\) 행렬로, 실행렬이든 복소행렬이든 상관없어. 사실 \(\det A = 0\)일 때도 양변이 모두 0이라 등식 자체는 성립하지만, 소스 포함 버전 (C.21)에서는 \(A^{-1}\)이 필요하니까 \(\det A \neq 0\)(정칙)을 가정해 둘게. 대칭성이나 양정치성은 불필요——Grassmann 적분은 테일러 전개가 유한 항에서 끝나니까 수렴 걱정이 없어. 보손의 경우는 \((\det A)^{-1/2}\)였는데 반해, 페르미온에서는 \(\det A\)가 분자에 와.

🔵 카이: 보손 때는 「대각화해서 각 고유값으로 독립적으로 적분」으로 설명해 주셨잖아요. Grassmann의 경우는 어떻게 이해하면 되나요?

🟡 리나: 같은 발상이야. 증명 방침을 설명할게. Grassmann 적분은 테일러 전개가 유한 항에서 끝나니까, \(e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta}}\)를 전개해서 「\(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\cdots\bar{\eta}_n\eta_n\)의 계수」만이 적분에서 살아남는 것을 이용하는 거야. 왜냐하면, Berezin 적분의 정의 \(\int d\eta_i\;1 = 0\), \(\int d\eta_i\;\eta_i = 1\)을 떠올려 봐. 만약 전개의 어떤 항에 \(\eta_i\)가 포함되어 있지 않으면, \(\int d\eta_i\)를 실행한 시점에서 0이 돼. 반대로 \(\eta_i\)가 2번 이상 포함되어 있으면 \(\eta_i^2 = 0\)으로 그 항 자체가 0이야. 그래서 각 \(\eta_i\)와 각 \(\bar{\eta}_i\)가 정확히 1번씩 나타나는 항만 살아남아.

🔵 카이: 각 변수가 정확히 1번씩——많아도 안 되고 적어도 안 되고. 파울리의 배타원리 같네요.

🟡 리나: 바로 그래. (다른 방법으로, 보손 때처럼 대각화하는 것도 있어. 정칙행렬 \(P\)로 \(A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\,P^{-1}\)로 쓰고 변수변환하는 방법이지. Grassmann 변수의 변수변환에서는 야코비안이 보통과 반대로 나와——즉 변환 행렬의 행렬식이 그대로(역수가 아니라) 곱해져. 이 점은 바로 아래에서 1변수 예를 사용해 설명할게. 결과적으로 각 쌍에 대해 식 (C.18)을 독립적으로 적용할 수 있어서 \(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det A\)를 얻어. 하지만 지금은 전개에 의한 방법으로 볼게.)

이제부터 \(n = 2\)의 구체적 예로 두 가지를 확인할게. (1) 전개 중에서 Grassmann 변수를 표준 순서로 재배열하면 행렬식의 부호가 자연스럽게 나타나는 것, (2) Berezin 적분을 실행하면 확실히 \(\det A\)가 나오는 것.

🔵 카이: 전개해서 계수를 뽑는다는 게, 구체적으로는 어떻게 하나요?

🟡 리나: 여기서 행렬식의 「내용」을 상기해 두자. \(2 \times 2\) 행렬이면 \(\det A = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21}\)이잖아. 이 「\(-\)」는 어디서 오냐면, 열의 첨자를 \((1,2) \to (2,1)\)로 바꾸었기 때문이야. 일반적인 \(n \times n\) 행렬에서는, 행렬식은 모든 열의 재배열 방법에 대해, 각 행에서 1개씩 성분을 골라 곱한 것의 합이 돼. 이것을 Leibniz (라이프니츠) 공식이라고 불러.

\[ \det A = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma)\,A_{1\sigma(1)}A_{2\sigma(2)}\cdots A_{n\sigma(n)} \]

여기서 \(\sigma\)는 \(1, 2, \ldots, n\)의 치환——즉 \(n\)개의 숫자를 어떻게 재배열하는지를 지정하는 대응——이고, 총 \(n!\)가지가 있어.

🔵 카이: 치환이란, 요컨대 「\(1, 2, \ldots, n\)을 다른 순서로 재배열하는 것」인가요?

🟡 리나: 맞아. 예를 들어 \(n = 3\)이면 \((1,2,3)\)을 \((2,3,1)\)로 재배열하는 것도 하나의 치환이고, \((2,1,3)\)으로 재배열하는 것도 별개의 치환이야. 전부 합치면 \(3! = 6\)가지. \(\mathrm{sgn}(\sigma)\)는 「이웃한 것끼리의 교환(인접 호환)을 짝수 번으로 실현할 수 있으면 \(+1\), 홀수 번이면 \(-1\)」이라는 부호야. 교환 방식은 여러 가지가 있지만, 짝수 번인지 홀수 번인지는 치환마다 유일하게 결정된다는 것이 증명돼 있어(증명은 선형대수 교과서에 맡길게). \(n = 2\) 예로 확인하면, \(\det A = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21}\)의 제2항의 마이너스는, 열의 첨자 \((2,1)\)이 1번의 교환으로 얻어지니까 \(\mathrm{sgn} = -1\)이라는 것. \(n = 3\)이면 \((1,2,3) \to (2,1,3)\)은 「1과 2를 교환」 1번이니까 \(\mathrm{sgn} = -1\). \((1,2,3) \to (2,3,1)\)은 「먼저 2와 3을 교환해서 \((1,3,2)\), 다음에 1과 3을 교환해서 \((3,1,2)\)」……어라, 이러면 \((2,3,1)\)이 안 되네. 올바르게는 「먼저 1과 2를 교환해서 \((2,1,3)\), 다음에 1과 3을 교환해서 \((2,3,1)\)」——인접 호환 2번으로 실현되니까 \(\mathrm{sgn} = +1\)이야.

🔵 카이: 아하, \(2 \times 2\) 행렬식의 마이너스 부호가, 일반적인 경우에 「치환의 부호」로 확장되는 거군요.

🟡 리나: Grassmann 변수와의 대응을 \(n = 2\)에서 구체적으로 봐보자. \(e^{-(\bar{\eta}_1 A_{11}\eta_1 + \bar{\eta}_1 A_{12}\eta_2 + \bar{\eta}_2 A_{21}\eta_1 + \bar{\eta}_2 A_{22}\eta_2)}\)를 전개해서, \(\bar{\eta}_1, \eta_1, \bar{\eta}_2, \eta_2\)가 모두 1번씩 나타나는 항을 뽑는 거야(그 외는 Berezin 적분에서 0이 되니까). 그런 항은 2개 있어.

첫 번째는 \((-\bar{\eta}_1 A_{11}\eta_1)(-\bar{\eta}_2 A_{22}\eta_2) = A_{11}A_{22}\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

두 번째는 \((-\bar{\eta}_1 A_{12}\eta_2)(-\bar{\eta}_2 A_{21}\eta_1) = A_{12}A_{21}\,\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1\).

🔵 카이: 첫 번째는 이미 표준 순서 \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)로 되어 있는데, 두 번째는 \(\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1\)로 순서가 다르네요. 이걸 재배열하면 부호가 바뀌나요?

🟡 리나: 맞아. 두 번째를 표준 순서 \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)로 재배열해 보자. 출발점은 \(\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1\). 각 단계에서 이웃한 2개의 Grassmann 변수를 교환할 때마다 부호가 1번 바뀌어. 누적 부호를 추적해 볼게.

  1. \(\eta_2\)와 \(\bar{\eta}_2\)를 교환(인접 교환 1번째): \(\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1 \to -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_2\eta_1\) (누적 부호 \(-1\))
  2. \(\eta_2\)와 \(\eta_1\)을 교환(인접 교환 2번째): \(-\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_2\eta_1 \to +\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2\) (누적 부호 \(+1\))
  3. \(\bar{\eta}_2\)와 \(\eta_1\)을 교환(인접 교환 3번째): \(+\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2 \to -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\) (누적 부호 \(-1\))

스텝 3을 확인해 둘게. \(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2\)를 보면, 왼쪽에서 2번째 \(\bar{\eta}_2\)와 3번째 \(\eta_1\)이 이웃해 있잖아. 이 이웃한 2개를 교환하면 부호가 1번 바뀌어서 \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)가 돼——즉 \(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\eta_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\).

합계 3번의 인접 교환으로 부호는 \((-1)^3 = -1\). 즉 원래의 \(\bar{\eta}_1\eta_2\bar{\eta}_2\eta_1 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)야. 따라서 두 번째 항은 \(A_{12}A_{21} \cdot (-\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2) = -A_{12}A_{21}\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)가 돼.

⚪ 메이: 3번의 인접 교환으로 \((-1)^3 = -1\)——Grassmann 변수의 재배열이 자동으로 마이너스 부호를 만들어내는 거네.

🟡 리나: 합치면 \((A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21})\,\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\). 반교환할 때마다 마이너스가 1개 나와서, 그것이 치환의 부호 \(\mathrm{sgn}(\sigma) = -1\)을 자동으로 재현하는 거야. 즉 Grassmann 변수의 반교환성이야말로 행렬식의 부호 구조를 만들어내는 거지. 이제 Berezin 적분으로 \(\int d\bar{\eta}_1 d\eta_1 d\bar{\eta}_2 d\eta_2\;\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = 1\)이 보이면(바로 아래에서 확인할게), 적분값은 \(A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21} = \det A\)가 돼.

⚪ 메이: 그렇구나, Grassmann 변수의 재배열에서 나오는 부호가, 행렬식의 Leibniz 공식의 \(\mathrm{sgn}(\sigma)\)과 딱 대응하는 거네.

🔵 카이: \(\int d\bar{\eta}_1 d\eta_1 d\bar{\eta}_2 d\eta_2\;\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = 1\)을 구체적으로 어떻게 계산하나요? 적분이 4개나 있으면 순서가 헷갈릴 것 같은데……

🟡 리나: 실행 순서를 설명할게. 보통의 다중적분 \(\int dx\int dy\; f(x,y)\)가 「안쪽의 \(\int dy\)를 먼저 실행하는」 것과 같이, 피적분함수에 가장 가까운(오른쪽 끝의) 적분 기호부터 순서대로 실행하는 거야. 즉 피적분함수 \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)에 가장 가까운 적분 기호가 \(d\eta_2\)이니까, 먼저 \(\eta_2\)로 적분하고, 다음에 \(d\bar{\eta}_2\), \(d\eta_1\), \(d\bar{\eta}_1\) 순서로 바깥쪽을 향해 실행하는 거야.

C.3.4에서 확인했듯이, Berezin 적분은 좌미분과 같은 조작이야. 그래서 \(\int d\eta_2\)는 「피적분함수 안에서 \(\eta_2\)를 왼쪽 끝으로 가져온 다음 제거하는」 조작이지. 각 단계에서 부호를 누적적으로 추적해 볼게.

스텝 1: \(\int d\eta_2\;\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2\)를 계산해. \(\eta_2\)를 왼쪽 끝으로 가져오려면 \(\bar{\eta}_1, \eta_1, \bar{\eta}_2\)의 3개를 뛰어넘으니까 \((-1)^3 = -1\)이고, \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 = -\eta_2\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\). \(\int d\eta_2\;\eta_2 = 1\)이니까, 나머지는 \((-1)\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 = -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\).

스텝 2: \(\int d\bar{\eta}_2\;(-\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2)\)를 계산해. 피적분함수는 \(-\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\)야(스텝 1의 결과 앞에 마이너스가 붙어 있어). 먼저 \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\) 안에서 \(\bar{\eta}_2\)를 왼쪽 끝으로 가져올게. C.3.2에서 말했듯이, 모든 Grassmann 변수는 서로 반교환해——\(\bar{\eta}\) 끼리도 \(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2 = -\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\)이야. 바가 붙어 있든 아니든, Grassmann 변수인 것은 마찬가지이니까, 이웃한 2개를 교환할 때마다 반드시 부호가 1번 바뀌어. 1단계씩 인접 교환할게.

  • 교환 1번째: \(\eta_1\)과 \(\bar{\eta}_2\)를 교환 → \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 = -\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1\)
  • 교환 2번째: \(\bar{\eta}_1\)과 \(\bar{\eta}_2\)를 교환 → \(-\bar{\eta}_1\bar{\eta}_2\eta_1 = +\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1\)

합계 2번의 인접 교환으로 \((-1)^2 = +1\). 즉 \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 = +\bar{\eta}_2\bar{\eta}_1\eta_1\). \(\int d\bar{\eta}_2\;\bar{\eta}_2 = 1\)이니까 \(\bar{\eta}_1\eta_1\)이 남아. 피적분함수 앞에 붙어 있던 마이너스와 합치면, 스텝 2의 결과는 \(-\bar{\eta}_1\eta_1\).

🔵 카이: 뛰어넘는 수를 세어서 부호를 추적하는 거——리듬이 잡히기 시작했어요.

🟡 리나: 좋은 조짐이야.

스텝 3: \(\int d\eta_1\;(-\bar{\eta}_1\eta_1)\)을 계산해. 피적분함수는 \(-\bar{\eta}_1\eta_1\)이야. \(\bar{\eta}_1\eta_1\) 안에서 \(\eta_1\)을 왼쪽 끝으로 가져오면, \(\bar{\eta}_1\)을 1개 뛰어넘으니까 \(\bar{\eta}_1\eta_1 = -\eta_1\bar{\eta}_1\). 따라서 \(-\bar{\eta}_1\eta_1 = -(-\eta_1\bar{\eta}_1) = +\eta_1\bar{\eta}_1\). \(\int d\eta_1\;\eta_1\bar{\eta}_1 = \bar{\eta}_1\) (\(\bar{\eta}_1\)은 \(\eta_1\)과는 별개의 변수이니까 상수 취급).

스텝 4: \(\int d\bar{\eta}_1\;\bar{\eta}_1 = 1\).

확실히 전체적으로 \(1\)이네. 즉, 각 단계에서 「왼쪽 끝으로 가져오기 → 뛰어넘은 수만큼 부호 변화 → 제거」를 반복하면 되는 거야. 정리하면:

  1. \(\int d\eta_2\): \(\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\eta_2 \to -\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2\)
  2. \(\int d\bar{\eta}_2\): \(-\bar{\eta}_1\eta_1\bar{\eta}_2 \to -\bar{\eta}_1\eta_1\)
  3. \(\int d\eta_1\): \(-\bar{\eta}_1\eta_1 \to \bar{\eta}_1\)
  4. \(\int d\bar{\eta}_1\): \(\bar{\eta}_1 \to 1\)

⚪ 메이: 패턴이 보였어. 변수가 늘어나도 같은 기계적 조작의 반복으로 처리할 수 있는 거네.

🟡 리나: Grassmann 변수의 반교환성이야말로 치환의 부호를 자동으로 만들어내니까, 전개의 결과가 \(\det A\)와 일치하는 거야. 자세한 증명은 연습문제로 돌리지만, 결과만 말하면: 각 쌍 \(\bar{\eta}_i, \eta_i\)에 대해 식 (C.18)을 독립적으로 사용할 수 있는 건 \(A\)가 대각 행렬인 경우로, 그때 \(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det A\)가 돼. 일반적인 정칙 행렬의 경우는 변수변환으로 대각화하는데——다만 Grassmann 변수의 변수변환에서는 야코비안의 나오는 방식이 보통의 적분과 반대이니까 주의가 필요해. 이 점은 바로 아래에서 설명할게. 보손 때는 \(A\)가 실대칭 양정치가 아니면 적분이 수렴하지 않았지만, Grassmann 적분은 테일러 전개가 유한 항에서 끝나니까 수렴 걱정이 없어. 사실 \(\det A = 0\)일 때도 식 (C.19)의 양변은 모두 0이라 등식 자체는 성립해. 하지만 소스 포함 버전 (C.21)에서는 \(A^{-1}\)이 필요하니까, \(\det A \neq 0\)(정칙)을 가정해 둘게.

🔵 카이: 보통의 적분에서는 변수변환하면 야코비안의 절대값으로 나누잖아요? Grassmann에서는 그렇게 안 되나요?

🟡 리나: 좋은 데 눈치챘네. 보통의 적분에서는 \(dx = |\partial x/\partial y|\,dy\)이니까, 변환 행렬의 행렬식의 역수가 나와. Grassmann에서는 어떻게 되는지, 간단한 예로 확인해 보자. \(\eta' = c\eta\) (\(c\)는 보통의 수로 \(c \neq 0\))로 변수변환할 때, \(\eta = \eta'/c\)야.

보통의 적분이라면 \(d\eta = d\eta'/c\)를 사용해서 \(\int d\eta\;\eta = \int (d\eta'/c)\;(\eta'/c) = (1/c^2)\int d\eta'\;\eta'\)이 돼.

하지만 Berezin 적분에서는 정의로부터 \(\int d\eta\;\eta = 1\)이고, 변수 \(\eta'\)에 대해서도 \(\int d\eta'\;\eta' = 1\)이야. 여기서 앞뒤가 맞는지 확인해 보자. \(\eta = \eta'/c\)를 대입하면 \(\int d\eta\;\eta = \int d\eta\;(\eta'/c) = (1/c)\int d\eta\;\eta'\). 이 값이 1이 되려면 \(\int d\eta\;\eta' = c\)이어야 해. 한편 \(\int d\eta'\;\eta' = 1\)이니까, \(\int d\eta = c\int d\eta'\)라는 관계가 필요하지. 즉 Grassmann에서는 \(d\eta = c\,d\eta'\)가 되어서, 통상적인 \(d\eta = d\eta'/c\)와 반대야.

🔵 카이: 에, 반대! 보통의 적분과 Grassmann 적분에서 변수변환 규칙이 정반대라니……

🟡 리나: 일반적으로 변환 행렬의 행렬식이 그대로(역수가 아니라) 곱해져. 이것이 「Berezin 적분은 미분과 같은 조작」이라는 것의 귀결——미분의 연쇄 법칙 \(\partial/\partial\eta' = (\partial\eta/\partial\eta')\,\partial/\partial\eta = (1/c)\,\partial/\partial\eta\)과 같은 변환 법칙을 따르는 거야.

🔵 카이: 그러면, 정칙 행렬로 변수변환했을 때, 그 야코비안의 영향은?

🟡 리나: 다변수의 경우에도 같은 원리가 작동해. 결론만 말하면, \(\boldsymbol{\eta}' = P\boldsymbol{\eta}\)와 \(\bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}}\,(P^T)^{-1}\)라는 변환을 조합하면, \(\bar{\boldsymbol{\eta}}'^T\boldsymbol{\eta}' = \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\eta}\)가 보존돼. 그리고 Grassmann의 야코비안 규칙(변환 행렬의 행렬식이 그대로, 역수가 아니라 곱해지는 것)을 \(\boldsymbol{\eta}\)와 \(\bar{\boldsymbol{\eta}}\) 각각에 적용해. \(\boldsymbol{\eta}' = P\boldsymbol{\eta}\)의 변환 행렬은 \(P\)이니까 \(\prod_i d\eta'_i\)에는 \(\det P\)가 곱해져. 한편 \(\bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}}(P^T)^{-1}\)의 변환 행렬은 \((P^T)^{-1}\)이니까, 그 행렬식 \(\det(P^T)^{-1} = (\det P)^{-1}\)이 그대로 곱해져. 합치면 \(\det P \cdot (\det P)^{-1} = 1\)로 추가 인자는 1이 돼. 그래서 안심하고 변수변환할 수 있어. 자세한 계산은 연습문제에서 확인해 봐.

⚪ 메이: Grassmann의 야코비안이 통상과 반대인데, \(\eta\)와 \(\bar{\eta}\) 양쪽에 변환을 걸면 결국 상쇄되어 1이 된다——잘 되어 있네.

🔵 카이: 보손과 페르미온에서 행렬식이 분모에 오는지 분자에 오는지가 역전되는 거……이게 뭔가 물리적 의미가 있나요?

🟡 리나: 바로 그래! 훌륭한 직감이야. 직관적으로 말하면, 보손의 \(\log Z \propto -\tfrac{1}{2}\log\det A\)와 페르미온의 \(\log Z \propto +\log\det A\)에서 로그의 부호가 역전되니까, 루프 1개당 기여에 상대적인 마이너스 부호가 생겨. 제 13 장 에서 Feynman 다이어그램의 페르미온 루프에 마이너스 부호가 붙는 이유를 자세히 논의하겠지만, 그 근원이 이 식 (C.19)에 있는 거야.

🔵 카이: 적분의 정의가 다를 뿐인데, 루프 계산에 부호 차이가 나타나다니……수학적 구조가 물리적 결과를 결정하는 거군요. 그러면, 구체적으로 어떤 계산을 하면 「루프 1개당 마이너스 1개」가 나오나요?

🟡 리나: 그건 제 13 장 에서 Feynman 규칙을 유도할 때 자세히 할 거야. 지금은 「\(\det A\)가 분자에 온다는 것」이 부호의 근원이라는 대응 관계만 파악해 둬.

🔵 카이: 알겠습니다, 제13장을 기대하고 있을게요. ……아, 근데 그러면 다른 의문이 생기는데요. 부호가 반대라는 건, 만약 보손과 페르미온에서 같은 행렬 \(A\)가 나온다면, 합치면 상쇄되기도 하나요? 단순한 의문인데요.

🟡 리나: 예리한 착안점이네. 실제로, 만약 보손과 페르미온이 같은 질량·같은 자유도를 가지고 있다면, 부호가 반대이니까 양자 보정이 극적으로 상쇄돼. 이것은 바로 초대칭 (supersymmetry)이라 불리는 아이디어의 출발점이야. 이 책의 범위를 넘어가니까 깊이 들어가지는 않겠지만, 「보손과 페르미온의 대칭성이 있으면 발산 문제가 완화된다」는 발상은, 바로 지금의 \(\det A\)의 부호 차이에서 오는 거야.

🔵 카이: 단 하나의 적분 공식의 부호 차이가, 그렇게 큰 이야기로 이어지다니……

⚪ 메이: 즉, 보손의 \(-\frac{1}{2}\log\det A\)와 페르미온의 \(+\log\det A\)가 같은 \(A\)로 상쇄된다——그런 대칭성이 존재하면, 발산 문제가 극적으로 완화되는 거야. 적분 공식의 부호 하나가, 이론의 자외선 구조를 근본적으로 바꿀 수 있는 거네.

✅ 이해도 체크: 보손의 다변수 가우스 적분의 결과는 \((\det A)^{-1/2}\)인 반면, 페르미온(Grassmann)의 경우는 \(\det A\)가 된다. 이 「행렬식이 분모에 오는가 분자에 오는가」의 차이는, 장의 양자론의 어떤 현상과 관련이 있을까요?

답

이 차이는, Feynman 다이어그램에서 페르미온 루프에 추가적인 마이너스 부호가 붙는 것의 근원이 된다. 보손에서는 \(\log Z \propto -\frac{1}{2}\log\det A = -\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\log A\)인 반면, 페르미온에서는 \(\log Z \propto +\log\det A = +\mathrm{Tr}\log A\)가 되어 부호가 역전된다. 이것이 1루프 계산에서 페르미온 루프에 상대적인 마이너스 부호를 만들어낸다.

이해도 체크 C.3

\(\displaystyle\int d\bar{\eta}\,d\eta\; (\bar{\eta}\eta)\,e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta}\)를 계산하시오.

답: \(e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta} = 1 - a\bar{\eta}\eta\)이므로, \(\bar{\eta}\eta \cdot (1 - a\bar{\eta}\eta) = \bar{\eta}\eta - a(\bar{\eta}\eta)(\bar{\eta}\eta)\). 여기서 \((\bar{\eta}\eta)^2 = \bar{\eta}\eta\bar{\eta}\eta\)를 계산한다. 먼저 가운데의 \(\eta\bar{\eta}\)를 반교환성으로 바꾸면 \(\eta\bar{\eta} = -\bar{\eta}\eta\)이므로, \(\bar{\eta}(\eta\bar{\eta})\eta = \bar{\eta}(-\bar{\eta}\eta)\eta = -\bar{\eta}\bar{\eta}\eta\eta = -\bar{\eta}^2\eta^2 = 0\)(\(\bar{\eta}^2 = 0\)을 사용)이므로, \(\bar{\eta}\eta \cdot (1 - a\bar{\eta}\eta) = \bar{\eta}\eta\). \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\;\bar{\eta}\eta\)를 계산한다. \(\bar{\eta}\eta = -\eta\bar{\eta}\)이므로 \(\int d\eta\;(-\eta\bar{\eta}) = -\bar{\eta}\), 다음에 \(\int d\bar{\eta}\;(-\bar{\eta}) = -1\). 따라서 \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\;\bar{\eta}\eta = -1\)이고, 답은 \(-1\). 또는, 식 (C.18)의 결과 \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\; e^{-\bar{\eta}a\eta} = a\)의 양변을 \(a\)로 미분하면 \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\;(-\bar{\eta}\eta)e^{-\bar{\eta}a\eta} = 1\)이 되어, \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\;\bar{\eta}\eta\,e^{-\bar{\eta}a\eta} = -1\)을 얻는다.

C.3.6　소스 포함 Grassmann 가우스 적분

🟡 리나: 보손의 소스 포함 공식 (C.3)에 대응하는 페르미온 버전도 유도할게. 새로 Grassmann 소스 \(\bar{\xi}, \xi\)를 도입해. 이것들도 Grassmann 수이니까, \(\bar{\eta}, \eta\)를 포함한 모든 Grassmann 변수와 반교환해(\(\bar{\xi}\eta = -\eta\bar{\xi}\) 등). 계산하고 싶은 건

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta\; e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta + \bar{\xi}\eta + \bar{\eta}\xi} \]

야. 보손 때와 마찬가지로 완전제곱식 만들기로 공략할게. 지수의 어깨를 변형하면

\[ -\bar{\eta}\,a\,\eta + \bar{\xi}\eta + \bar{\eta}\xi = -a\left(\bar{\eta} - \bar{\xi}a^{-1}\right)\left(\eta - a^{-1}\xi\right) + \bar{\xi}\,a^{-1}\,\xi \]

🔵 카이: Grassmann 수에서도 완전제곱식 만들기가 되는군요!

🟡 리나: 확인해 봐. 포인트는 \(a^{-1}\)이 보통의 수이니까 Grassmann 변수와 자유롭게 교환할 수 있다는 것——순서를 신경 써야 하는 건 Grassmann 변수끼리뿐이야.

🔵 카이: 음, \(-a(\bar{\eta} - \bar{\xi}a^{-1})(\eta - a^{-1}\xi)\)를 전개하는 거죠. 4개의 항이 나오는데……마지막 항은 \(-a \cdot (-\bar{\xi}a^{-1})\cdot(-a^{-1}\xi)\)인데, 마이너스가 2개 있으니까 양이 되고……어라, \(\bar{\xi}\)와 \(\xi\)의 순서는 괜찮나요?

🟡 리나: \(a^{-1}\)은 보통의 수이니까 Grassmann 변수를 그냥 통과할 수 있어. 그래서 \(\bar{\xi}a^{-1} \cdot a^{-1}\xi = a^{-2}\bar{\xi}\xi\)이고, 거기에 \(-a\)를 곱하면 \(-a^{-1}\bar{\xi}\xi\)야. 전부 합치면 \(-a\bar{\eta}\eta + \bar{\eta}\xi + \bar{\xi}\eta - a^{-1}\bar{\xi}\xi\)가 돼.

⚪ 메이: \(a^{-1}\)은 보통의 수이니까 Grassmann 변수와 자유롭게 교환할 수 있어서, 각 항의 부호도 그대로 추적할 수 있는 거네.

🔵 카이: 4개의 항을 하나씩 확인해 볼게요. \(-a(\bar{\eta} - \bar{\xi}a^{-1})(\eta - a^{-1}\xi)\)를 전개하면……제1항은 \(-a \cdot \bar{\eta} \cdot \eta = -a\bar{\eta}\eta\). 제2항은 \(-a \cdot \bar{\eta} \cdot (-a^{-1}\xi) = +\bar{\eta}\xi\). 제3항은 \(-a \cdot (-\bar{\xi}a^{-1}) \cdot \eta = +\bar{\xi}\eta\). 제4항은 \(-a \cdot (-\bar{\xi}a^{-1}) \cdot (-a^{-1}\xi) = -a \cdot a^{-2}\bar{\xi}\xi = -a^{-1}\bar{\xi}\xi\). 마지막 \(-a^{-1}\bar{\xi}\xi\) 부분에서, \(\bar{\xi}a^{-1} \cdot a^{-1}\xi\)의 Grassmann 수 순서는 괜찮은 건가요?

🟡 리나: \(a^{-1}\)은 보통의 수(Grassmann 수가 아님)이니까 Grassmann 변수와 자유롭게 교환할 수 있어. 그래서 \(\bar{\xi}a^{-1} \cdot a^{-1}\xi = a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \bar{\xi}\xi = a^{-2}\bar{\xi}\xi\)야. 거기에 \(-a\)를 곱하면 \(-a^{-1}\bar{\xi}\xi\). Grassmann 변수끼리의 순서는 \(\bar{\xi}\xi\) 그대로 유지되니까 문제없어.

🔵 카이: 아하, 보통의 수는 Grassmann 변수를 그냥 통과하니까 순서 걱정이 없군요. 근데 반대로, Grassmann 변수끼리의 순서를 틀리면 부호가 뒤집히니까, 소스 항의 \(\bar{\xi}\eta + \bar{\eta}\xi\)의 순서도 중요하다는 거죠?

🟡 리나: 맞아. 카이가 전개해 준 결과에, 완전제곱식 우변에 있던 \(+\bar{\xi}\,a^{-1}\,\xi\)를 더하는 거야. 여기서 \(a^{-1}\)은 보통의 수이니까 Grassmann 변수 \(\bar{\xi}, \xi\)와 자유롭게 교환할 수 있어서 \(\bar{\xi}\,a^{-1}\,\xi = a^{-1}\bar{\xi}\xi\)로 쓸 수 있어. 이것을 전개의 마지막 항 \(-a^{-1}\bar{\xi}\xi\)와 합치면 \(+a^{-1}\bar{\xi}\xi - a^{-1}\bar{\xi}\xi = 0\)으로 상쇄되고, 남는 건 \(-a\bar{\eta}\eta + \bar{\eta}\xi + \bar{\xi}\eta\). 소스 항의 순서가 \(\bar{\xi}\eta + \bar{\eta}\xi\)로 원래 식과 일치해.

⚪ 메이: 즉 전개해서 합치면 원래로 돌아간다——완전제곱식이 올바르다는 것이 확인된 거네.

🟡 리나: 맞아. \(\bar{\eta}' = \bar{\eta} - \bar{\xi}a^{-1}\), \(\eta' = \eta - a^{-1}\xi\)로 변수변환하면, Berezin 적분의 평행이동 불변성으로부터 적분값은 변하지 않아. 상수 인자 \(e^{\bar{\xi}\,a^{-1}\,\xi}\)를 밖으로 빼고, 나머지는 식 (C.18)로 귀착되니까

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta\; e^{-\bar{\eta}\,a\,\eta + \bar{\xi}\eta + \bar{\eta}\xi} = a\; e^{\bar{\xi}\,a^{-1}\,\xi} \tag{C.20} \]

🔵 카이: 보손과 같은 「완전제곱식 만들기 → 변수변환 → 기본 공식으로 귀착」의 3단계로, Grassmann에서도 깔끔하게 나오네요.

🟡 리나: 다변수 버전은

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi}} = (\det A)\; e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \tag{C.21} \]

🟡 리나: 보손 버전 (C.9)과 나란히 비교해 보자.

표 C.2: 보손과 페르미온의 가우스 적분 비교

보손 페르미온
앞 인자 \((\det A)^{-1/2}\) \(\det A\)
소스 인자 \(e^{\frac{1}{2}\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J}}\) \(e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}}\)

⚪ 메이: 보손에서는 \(\det A\)가 \(-1/2\) 거듭제곱으로 분모에, 페르미온에서는 \(+1\) 거듭제곱으로 분자에 온다——아까 리나 선생님이 말했던 「행렬식이 분모인가 분자인가」의 차이가, 여기서도 같은 구조로 나타나는 거네.

📝 연습문제:

정리: 가우스 적분·Grassmann 적분의 핵심 공식

🟡 리나: 이 Appendix의 주요 공식을 일람표로 정리해 둘게. 보손과 페르미온의 대비가 한눈에 보일 거야.

표 C.3: 부록C 주요 공식 일람

번호 공식 조건·용도
(C.1) \(\int dq\;e^{-aq^2/2} = \sqrt{2\pi/a}\) 보손의 출발점
(C.3) \(\int dq\;e^{-aq^2/2 - Jq} = \sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)}\) 소스 포함·완전제곱식
(C.6) \(I_n(a)\): 짝수 \(n=2m\)에서 \(\sqrt{2\pi/a}\cdot(2m-1)!!/a^m\), 홀수에서 0 Wick의 정리와 직결
(C.8) \(\int d^nq\;e^{-\mathbf{q}^T A\mathbf{q}/2} = (2\pi)^{n/2}/\sqrt{\det A}\) 다변수·\(A\) 실대칭 양정치
(C.9) 소스 포함 다변수: \(\times\,e^{\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J}/2}\) 생성범함수 \(Z[J]\)
(C.18) \(\int d\bar{\eta}\,d\eta\;e^{-\bar{\eta}a\eta} = a\) Grassmann
(C.19) 다변수 Grassmann: \(= \det A\) \(A\) 정칙(\(\det A \neq 0\))·보손과 반대!
(C.21) 소스 포함 Grassmann 페르미온의 \(Z[\bar{\xi},\xi]\)

🔵 카이: 보손은 \((\det A)^{-1/2}\), 페르미온은 \(\det A\). 이 한 가지만으로, 왜 1루프에서 페르미온 루프에 마이너스 부호가 붙는지, 이해의 열쇠를 얻을 수 있네요.

⚪ 메이: 가우스 적분(보손)과 Grassmann 가우스 적분(페르미온)의 대비가, 장의 양자론의 골격을 만들고 있는 거네.

다음 장 예고

Appendix D: 루프 계산의 도구 상자 — 차원 해석·Feynman 매개변수·Wick 회전 — 여기까지로 「보손과 페르미온의 적분의 기초」가 갖춰졌다. 다음 부록 D 에서는 구체적인 루프 적분을 실행하기 위한 실용 기법——자연단위계와 질량 차원, Feynman 매개변수로 분모를 통합하는 기법, Wick 회전으로 Minkowski에서 Euclid 공간으로 옮기는 절차, 그리고 차원 정칙화에 필요한 운동량 적분 공식——을 한꺼번에 정리한다. 제13~14장의 재규격화 계산에서 「손이 움직이는」 수준까지 기법을 연마하자.

연습문제

📝 연습문제:

참고문헌

  • 사카모토 마사토 『장의 양자론 II — 파인만 그래프와 재규격화를 중심으로』 제6장 「가우스 적분과 프레넬 적분」
  • Lancaster & Blundell "Quantum Field Theory for the Gifted Amateur" 제28장 「Grassmann numbers」
  • Peskin & Schroeder "An Introduction to Quantum Field Theory" Appendix A (규약과 공식집)
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