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제 3 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 쌍곡선함수의 항등식 유도

쌍곡선함수의 항등식 \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\) 을, 정의식

\[ \cosh\varphi = \frac{e^\varphi + e^{-\varphi}}{2}, \qquad \sinh\varphi = \frac{e^\varphi - e^{-\varphi}}{2} \]

으로부터 직접 유도하세요.

힌트

각각을 제곱한 후 차를 구하고, 지수함수의 곱을 정리하세요.

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B-2. 래피디티와 Lorentz 인자의 관계

래피디티 (rapidity) \(\varphi\)와 속도 \(v\)의 관계 \(\tanh\varphi = v/c\)를 이용하여, \(\cosh\varphi = \gamma\), \(\sinh\varphi = \gamma v/c\)를 유도하세요. 단, \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}\)이에요.

힌트

\(\tanh\varphi = \sinh\varphi / \cosh\varphi\)와 \(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi = 1\)을 연립하세요.

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B-3. Lorentz 변환 행렬의 축약 계산

\(x\) 방향으로 속도 \(v\)로 움직이는 관성계로의 Lorentz(로렌츠) 변환 행렬(\(c = 1\) 단위계)

\[ \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v & 0 & 0 \\ -\gamma v & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

을 이용하여, \(dx^\mu = (dt,\, dx,\, 0,\, 0)\)에 대한 \(dx^{1'} = \Lambda^{1'}{}_{\nu}\,dx^\nu\)를 축약 규칙에 따라 계산하고, \(dx' = \gamma(dx - v\,dt)\)를 확인하세요.

힌트

\(\nu = 0, 1, 2, 3\)의 각 항을 전개하고, \(\Lambda^{1'}{}_{0} = -\gamma v\), \(\Lambda^{1'}{}_{1} = \gamma\)를 대입하세요.

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Medium（표준）

M-1. Lorentz 변환의 계수 결정 상세 계산

본문 3.5절에서, Lorentz 변환의 계수를 결정하는 연립방정식

\[ \begin{aligned} -c^2\,a_1^2 + a_6^2\,v^2 &= -c^2 \quad &\text{（}dt^2\text{ 의 계수）} \\ -c^2\,a_2^2 + a_6^2 &= 1 \quad &\text{（}dx^2\text{ 의 계수）} \\ -2\,c^2\,a_1\,a_2 - 2\,a_6^2\,v &= 0 \quad &\text{（교차항 }dt\,dx\text{ 의 계수）} \end{aligned} \]

을 얻었어요. 이것을 풀어서

\[ a_1 = a_6 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad a_2 = -\frac{v/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \]

를 도출하세요. 또한, \(v \to 0\) 에서 항등 변환（\(a_1 = a_6 = 1\), \(a_2 = 0\)）으로 돌아가야 한다는 연속성 조건으로부터 \(a_6\) 의 부호가 \(+\) 로 결정됨을 보이세요.

힌트

(a) 교차항의 식으로부터 \(a_2 = -a_6^2\,v / (c^2\,a_1)\) 을 얻어요. (b) 이것을 \(dx^2\) 의 식에 대입하여 \(a_1^2\) 과 \(a_6^2\) 의 관계식을 얻어요. (c) \(dt^2\) 의 식과 연립하여 \(a_6^2 = 1/(1 - v^2/c^2)\) 을 얻어요. (d) \(v \to 0\) 에서 \(a_6 \to +1\) 이 되는 부호를 선택해요.

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M-2. Lorentz 변환에 의한 계량의 보존 조건

Lorentz 변환의 행렬 \(\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}\)가 Minkowski 계량을 보존하는 조건

\[ \eta_{\mu'\nu'} = \Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\,\Lambda^{\beta}{}_{\nu'}\,\eta_{\alpha\beta} \]

을, \(x\) 방향 부스트의 구체적인 \(\Lambda\)를 대입하여 \((\mu', \nu') = (0, 0)\)과 \((\mu', \nu') = (0, 1)\)의 성분에 대해 검증하세요.

주: 문제의 \(\Lambda^{\alpha}{}_{\mu'}\)는 "프라임 붙은 첨자(\(S'\)계의 성분)에서 프라임 없는 첨자(\(S\)계의 성분)로의 변환 행렬"을 나타내요. 즉 순변환 \(x^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_{\nu}x^\nu\)의 역행렬에 해당해요. 다만 \(x\) 방향 부스트의 행렬은 대칭행렬이므로, 본 문제의 계산에서는 "순변환 행렬의 제0열 \((\gamma, -\gamma v, 0, 0)\)을 \(\Lambda^{\alpha}{}_{0'}\)로 읽는다"는 대응으로 결과를 얻을 수 있어요.

힌트

\((\mu', \nu') = (0, 0)\)에서는 \(\alpha,\, \beta\)에 대해 합을 취하면 \(-\gamma^2 + \gamma^2 v^2\)가 나타나요.

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M-3. 동시성의 상대성의 정량적 귀결

Lorentz 변환의 식으로부터, \(S\) 계에서 동시각(\(\Delta t = 0\))에 거리 \(\Delta x = L\) 만큼 떨어진 두 사건에 대해, \(S'\) 계에서의 시간차 \(\Delta t'\)를 구하세요. 이것이 "동시성의 상대성"의 어떠한 귀결을 나타내고 있는지, 말로 설명하세요.

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M-4. 고유시간과 좌표시간의 관계

고유시간 (proper time) \(d\tau^2 = -ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\)（\(c = 1\)）을 이용하여, 좌표시간 \(t\)와 고유시간 \(\tau\)의 관계

\[ \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{\gamma} \]

를 도출하세요. 나아가, 이 결과로부터 "움직이는 시계는 느리게 간다"는 것을 설명하세요.

힌트

\(d\tau^2\)에서 \(dt^2\)를 묶어내고, \(dx^i/dt = v^i\)를 대입하세요.

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M-5. 속도의 합성 법칙 유도

Lorentz 변환을 2회 연속으로 적용하는 문제예요. \(S\) 계에 대해 \(x\) 방향으로 속도 \(v_1\)으로 움직이는 \(S'\) 계, \(S'\) 계에 대해 마찬가지로 \(x\) 방향으로 속도 \(v_2\)로 움직이는 \(S''\) 계를 생각해요. 래피디티의 가법성 \(\varphi_{12} = \varphi_1 + \varphi_2\)를 이용하여, 상대론적 속도의 합성 법칙

\[ v_{12} = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2} \]

을 유도하세요 (\(c = 1\)).

힌트

\(\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)\)의 덧셈 공식을 사용하고, \(\tanh\varphi = v\)를 대입하세요.

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M-6. 동시성의 상대성 (구체적 예)

\(S\) 계에서 동시각 \(t = 0\) 에 \(x_A = 0\), \(x_B = L\) 에서 일어난 두 사건 \(A\), \(B\) 를 생각해요. \(x\) 방향으로 속도 \(v\) 로 움직이는 \(S'\) 계에서, (a) 두 사건의 시간차 \(\Delta t' = t'_B - t'_A\) 를 구하고, (b) 어느 사건이 먼저 일어나는지를 \(v\) 의 부호에 따라 경우를 나누어 답하세요.

힌트

로렌츠 변환의 \(t'\) 식에 \(t_A = t_B = 0\) 을 대입하세요.

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