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제 7 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 평면파를 자유 입자의 Schrödinger (슈뢰딩거) 방정식에 대입

평면파 \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\) 를 자유 입자의 Schrödinger (슈뢰딩거) 방정식

\[i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\]

에 대입하여 분산 관계 \(\omega = \omega(k)\) 를 구하세요.

힌트

좌변에서는 \(\partial\Psi/\partial t = -i\omega\Psi\), 우변에서는 \(\partial^2\Psi/\partial x^2 = -k^2\Psi\) 가 되는 것을 이용해요. 양변을 \(\Psi\) 로 나누면 \(\omega\) 와 \(k\) 의 관계를 얻을 수 있어요.

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B-2. 운동량 연산자를 다음 각 파동함수에 작용시키고, 결과를 구하여라. 고유함수이면 고유값을 답하여라

운동량 연산자 \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) 를 다음 각 파동함수에 작용시키고, 결과를 구하세요. 고유함수이면 고유값을 답하세요.

(a) \(\psi(x) = e^{5ix/\hbar}\)

(b) \(\psi(x) = \cos(kx)\)

(c) \(\psi(x) = (x^2 + 1)e^{ipx/\hbar}\)

힌트

(a)는 지수함수의 미분이에요. (b)는 \(\cos(kx) = \frac{1}{2}(e^{ikx} + e^{-ikx})\) 로 쓰면 보기 쉬워요. (c)는 곱의 미분법을 사용해요. 고유함수란 \(\hat{p}\psi = (\text{상수})\cdot\psi\) 가 되는 것을 말해요.

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B-3. 파동함수 （ 는 상수）를 규격화하라. 즉

파동함수 \(\Psi(x) = A e^{-x^2/(2a^2)}\)（\(a > 0\) 는 상수）를 규격화하세요. 즉,

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x)|^2\,dx = 1\]

을 만족하는 실수의 양의 상수 \(A\) 를 구하세요. 가우스 적분 \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\pi/\alpha}\)（\(\alpha > 0\)）을 사용해도 좋아요.

힌트

\(|\Psi|^2 = A^2 e^{-x^2/a^2}\) 를 적분해요. \(\alpha = 1/a^2\) 로 놓고 가우스 적분 공식을 적용해요.

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B-4. Dirac (디랙) 의 델타 함수의 성질

Dirac (디랙) 의 델타 함수의 성질

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\delta(x - x_0)\,dx = f(x_0)\]

을 이용하여 다음을 계산하세요.

(a) \(\int_{-\infty}^{+\infty} (3x^2 + 2)\,\delta(x - 1)\,dx\)

(b) \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx}\,\delta(x)\,dx\)

(c) \(\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x)\,\delta(x - x')\,dx\)（\(\psi(x)\) 는 임의의 파동함수）

힌트

델타 함수의 "체(sifting)" 성질을 그대로 사용해요. \(\delta(x - x_0)\) 가 피적분함수에 있을 때, \(f(x)\) 의 \(x = x_0\) 에서의 값이 추출돼요.

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B-5. 정상 상태의 파동함수 에 대해 확률 밀도 를 계산하고, 시간에 의존하지 않음을 보여라

정상 상태의 파동함수 \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}\) 에 대해 확률 밀도 \(|\Psi(x,t)|^2\) 를 계산하고, 시간에 의존하지 않음을 보여라.

힌트

\(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\) 를 계산해요. \(e^{-iEt/\hbar}\) 의 복소 켤레가 \(e^{+iEt/\hbar}\) 임을 이용해요.

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B-6. 해밀토니안 연산자

해밀토니안 연산자

\[\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\]

를 파동함수 \(\psi(x) = Be^{-\kappa x}\)（\(x > 0\)、\(\kappa > 0\) 은 상수）에 작용시키세요. 단, \(V(x) = 0\)（\(x > 0\)）으로 해요. \(\psi\) 가 \(\hat{H}\) 의 고유함수임을 보이고, 대응하는 에너지 고유값 \(E\) 를 \(\kappa, \hbar, m\) 으로 나타내세요.

힌트

\(\frac{d^2}{dx^2}e^{-\kappa x} = \kappa^2 e^{-\kappa x}\) 를 계산하고, \(\hat{H}\psi = E\psi\) 의 형태가 됨을 확인해요.

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B-7. 두 에너지 고유상태의 중첩

두 에너지 고유상태의 중첩

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_2(x)\,e^{-iE_2 t/\hbar}\]

에 대해 확률밀도 \(|\Psi(x,t)|^2\) 를 계산하고, 간섭항의 진동 각진동수를 구하세요. 단, \(\psi_1(x)\), \(\psi_2(x)\) 는 실수함수로 가정해요.

힌트

\(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\) 를 전개해요. 교차항(크로스텀)에 \(e^{\pm i(E_2 - E_1)t/\hbar}\) 이 나타나요. \(\psi_1, \psi_2\) 가 실수이면 \(\psi_n^* = \psi_n\) 을 사용할 수 있어요.

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B-8. 운동량 연산자 에 대해 를 구체적으로 써라. 또한 파동함수 에 를 작용시켜 결과를 구하라

운동량 연산자 \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) 에 대해 \(\hat{p}^2\) 을 구체적으로 써 보세요. 또한 파동함수 \(\psi(x) = A\sin(3\pi x/L)\) 에 \(\hat{p}^2\) 을 작용시켜 결과를 구하세요.

힌트

\(\hat{p}^2 = \hat{p}\cdot\hat{p} = \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\). \(\sin\) 함수의 2계 미분을 계산해요.

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Medium（표준）

M-1. 변수분리법을 이용한 시간에 무관한 Schrödinger 방정식의 유도

변수분리법을 이용한 시간에 무관한 Schrödinger 방정식의 유도

파동함수를 \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,T(t)\)로 가정하고, 일반적인 Schrödinger 방정식 (7.13)

\[i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\Psi\]

에 대입하세요. 양변을 \(\psi(x)\,T(t)\)로 나누어 "\(x\)만의 함수 \(=\) \(t\)만의 함수"의 형태로 만듦으로써, 양변이 상수(이를 \(E\)로 놓음)와 같다는 것을 보이세요. 얻어지는 2개의 상미분방정식을 써 내리고, \(T(t)\)에 대한 방정식을 풀어 \(T(t) = e^{-iEt/\hbar}\)를 유도하세요.

힌트

대입 후, 좌변은 \(i\hbar\psi(x)\frac{dT}{dt}\), 우변은 \(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi\right]T(t)\)가 돼요. 양변을 \(\psi T\)로 나누면, 좌변은 \(t\)만의 함수, 우변은 \(x\)만의 함수가 돼요. 독립변수가 다른 함수가 서로 같으려면, 양쪽 모두 상수여야 해요(변수분리의 논법).

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M-2. 확률 보존(연속 방정식)의 유도

확률 보존(연속 방정식)의 유도

확률 밀도 \(\rho(x,t) = |\Psi(x,t)|^2\) 와 확률 흐름 밀도(probability current density)

\[j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\]

에 대해, Schrödinger 방정식 (7.13)을 이용하여 연속 방정식

\[\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\]

을 유도하세요. 나아가, \(\Psi\) 가 \(x \to \pm\infty\) 에서 충분히 빠르게 0에 가까워질 때, 전체 확률 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\rho\,dx\) 이 시간에 의존하지 않음을 보이세요.

힌트

본문의 식 (7.23)~(7.27)의 유도를 참고하세요. \(\frac{\partial\rho}{\partial t}\) 를 계산하고, \(V\) 항이 상쇄됨을 확인한 뒤, 나머지가 \(-\frac{\partial j}{\partial x}\) 로 쓸 수 있음을 확인하세요. 전체 확률의 시간 미분은 \(j\) 의 경계값 \(j(+\infty) - j(-\infty)\) 과 같으며, 파동함수가 무한원에서 0이면 이것은 0이 돼요.

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M-3. 확률 흐름 밀도의 계산

확률 흐름 밀도의 계산

파동함수 \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\)（\(A, k, \omega\) 는 실수 상수）에 대해：

(a) 확률 밀도 \(\rho = |\Psi|^2\) 를 구하세요.

(b) 확률 흐름 밀도 \(j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\) 를 계산하세요.

(c) 구한 \(j\) 를 입자의 속도 \(v = p/m = \hbar k/m\) 와 확률 밀도 \(\rho\) 를 이용하여 \(j = \rho v\) 의 형태로 쓸 수 있음을 확인하세요.

(d) 연속 방정식 \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\) 이 만족됨을 검증하세요.

힌트

\(\Psi^* = Ae^{-i(kx-\omega t)}\)（\(A\) 가 실수인 경우）. \(\frac{\partial\Psi}{\partial x} = ik\Psi\)、\(\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} = -ik\Psi^*\) 를 사용하세요.

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M-4. 연산자의 교환 관계 계산

연산자의 교환 관계 \([\hat{x}, \hat{p}]\) 의 계산

위치 표현에서 \(\hat{x} = x\)（곱셈）, \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) 이에요. 교환자 (commutator)

\[[\hat{x}, \hat{p}] \equiv \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x}\]

를 임의의 테스트 함수 \(f(x)\) 에 작용시켜 계산하고,

\[[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\]

를 보이세요.

힌트

\(\hat{x}\hat{p}f(x) = x\left(-i\hbar\frac{df}{dx}\right)\) 와 \(\hat{p}\hat{x}f(x) = -i\hbar\frac{d}{dx}(xf)\) 를 각각 계산하고, 차이를 구해요. 곱의 미분법칙 \(\frac{d}{dx}(xf) = f + x\frac{df}{dx}\) 를 사용해요.

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Advanced（발전）

A-1. 가우스 파속의 시간 발전과 파속의 퍼짐

가우스 파속의 시간 발전과 파속의 퍼짐

자유 입자(\(V = 0\))의 초기 파동함수가

\[\Psi(x, 0) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma_0^2}\right)^{1/4}\exp\left(-\frac{x^2}{4\sigma_0^2}\right)\]

로 주어져요(\(\sigma_0 > 0\)은 초기 위치의 퍼짐을 특징짓는 매개변수).

(a) 이 파동함수를 푸리에(Fourier) 변환하여 운동량 공간의 진폭 \(\phi(k)\)를 구하세요:

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x,0)\,e^{-ikx}\,dx\]

(b) 자유 입자의 분산 관계 \(\omega = \hbar k^2/(2m)\)를 이용하여, 시각 \(t\)에서의 파동함수

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k)\,e^{i(kx - \omega t)}\,dk\]

를 계산하고, \(|\Psi(x,t)|^2\)가 가우스 분포를 유지함을 보이세요.

(c) 확률 밀도의 폭(표준편차) \(\sigma(t)\)를 구하고,

\[\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}\]

가 됨을 보이세요. 파속이 시간에 따라 퍼지는 것의 물리적 의미를 불확정성 원리의 관점에서 논의하세요.

힌트

(a) 가우스 함수의 푸리에 변환은 가우스 함수가 돼요. \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2 + bx}dx = \sqrt{\pi/a}\,e^{b^2/(4a)}\) (\(\text{Re}(a) > 0\))를 사용하세요. (b) 다시 가우스 적분을 수행해요. \(k\)의 적분에서 지수부를 완전제곱식으로 만드세요. 복소수 매개변수에 주의하세요. (c) \(|\Psi(x,t)|^2\)의 가우스 분포의 분산을 읽어내세요. 초기 운동량의 불확정성 \(\Delta p \sim \hbar/(2\sigma_0)\)가 위치의 퍼짐을 만드는 것과 대응시키세요.

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A-2. Ehrenfest (에렌페스트) 의 정리

Ehrenfest (에렌페스트) 의 정리

일반적인 퍼텐셜 \(V(x)\) 속의 입자에 대해, 위치와 운동량의 기댓값

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^* x\,\Psi\,dx, \quad \langle p \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx\]

의 시간 미분을 Schrödinger 방정식을 이용하여 계산하고, 다음의 Ehrenfest 정리를 유도하세요:

\[\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \frac{\langle p\rangle}{m} \tag{i}\]
\[\frac{d\langle p\rangle}{dt} = -\left\langle\frac{dV}{dx}\right\rangle \tag{ii}\]

나아가, 이 결과들이 뉴턴의 운동방정식 \(F = ma\) 의 양자역학적 대응물임을 논의하세요. 특히, \(V(x)\) 가 \(x\) 의 2차 이하의 다항식인 경우에, 기댓값이 고전적 궤도와 완전히 일치하는 이유를 설명하세요.

힌트

(i) \(\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \int \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* x \Psi)\,dx\) 를 계산해요. Schrödinger 방정식으로 \(\partial\Psi/\partial t\) 와 \(\partial\Psi^*/\partial t\) 를 대입하고, 부분적분을 수행해요. (ii) 마찬가지로 \(\frac{d\langle p\rangle}{dt}\) 를 계산해요. \(\hat{p}\) 와 \(V(x)\) 의 교환관계 \([\hat{p}, V(x)] = -i\hbar\frac{dV}{dx}\) 가 핵심이에요. \(V\) 가 2차 이하이면 \(\langle dV/dx \rangle = \frac{dV}{dx}\big|_{x=\langle x\rangle}\) 가 성립함을 확인하세요.

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