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제 7 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Minkowski 계량에 의한 선소 계산과 시공 분류

Minkowski 계량(민코프스키 계량) \(\eta_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) 을 사용하여, 두 사건의 좌표차 \(dx^\alpha = (dt,\,dx,\,dy,\,dz) = (3,\,1,\,2,\,0)\) 에 대한 선소 \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\) 를 계산하고, 이 간격이 시간적·공간적·빛과 같은(광적) 것 중 어느 것인지 판정하세요.

힌트

\(ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) 를 전개하고, 부호로 판정해요. \(ds^2 < 0\) 이면 시간적이에요.

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B-2. 2차원 구면의 계량 텐서와 역계량

2차원의 계량이 \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\)（\(a\)는 상수）로 주어질 때, 계량 텐서의 성분 \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\varphi\varphi}\), \(g_{\theta\varphi}\)를 각각 읽어내세요. 또한, 역계량의 성분 \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\varphi\varphi}\)를 구하세요.

힌트

대각 계량의 역행렬은 각 대각 성분의 역수예요. \(g^{\theta\theta} = 1/g_{\theta\theta}\).

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B-3. 극좌표에서 \(\varphi\) 방향의 고유 길이

평탄 시공간의 극좌표의 계량 (6.12)에서, \(r = R\), \(\theta = \pi/4\)에 고정한 점에서 \(\varphi\)를 \(d\varphi\)만큼 변화시켰을 때의 고유 길이 \(dL\)을 구하세요.

힌트

\(dt = dr = d\theta = 0\)으로 놓고 \(dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2\)를 계산해요. \(\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)를 이용하세요.

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B-4. Schwarzschild 계량에서 정지 관측자의 고유시간

Schwarzschild (슈바르츠실트) 계량 (6.14)에서, \(r = 10M\) 에 정지해 있는 관측자의 고유시간 \(d\tau\) 를 좌표시간 \(dt\) 로 나타내세요.

힌트

정지 (\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)) 조건에서 \(d\tau = \sqrt{1 - 2M/r}\,dt\) 에 \(r = 10M\) 을 대입해요.

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B-5. Schwarzschild 계량의 \(r = 4M\) 에서의 성분

Schwarzschild 계량 (6.14)의 계량 텐서 성분 (6.15)로부터, \(r = 4M\) 에서의 \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\)（\(\theta = \pi/2\)）의 값을 각각 구하세요.

힌트

\(g_{00} = -(1-2M/r)\) 에 \(r = 4M\) 을 대입해요. \(g_{11}\) 은 그 역수의 부호에 주의하세요.

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B-6. de Sitter 형 계량의 성분과 역계량

계량 \(ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\)（\(H\)는 상수）가 주어졌을 때, 계량 텐서의 독립적인 영이 아닌 성분을 모두 쓰고, 역계량 \(g^{\alpha\beta}\)의 영이 아닌 성분도 모두 구하세요.

힌트

대각 계량이므로 \(g^{\alpha\alpha} = 1/g_{\alpha\alpha}\)예요. \(e^{2Ht}\)의 역수는 \(e^{-2Ht}\)이에요.

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B-7. Schwarzschild 계량에서 \(\varphi\) 방향의 고유 길이

Schwarzschild 계량 (6.14)에서, 어떤 순간에 \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\)의 위치로부터 \(\varphi\) 방향으로 \(d\varphi\)만큼 진행했을 때의 고유 길이 \(dL\)을 구하세요. 나아가, 평탄 시공간의 극좌표 (6.11)에서 같은 \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\), \(d\varphi\)에 대한 고유 길이와 비교하여, 양자가 일치하는지 여부를 서술하세요.

힌트

\(\varphi\) 방향의 계량 성분 \(g_{33}\)은 Schwarzschild에서도 평탄 시공간에서도 \(r^2\sin^2\theta\)인 점에 주목하세요.

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B-8. Rindler 계량에서의 고유시간

2차원 Rindler(린들러) 계량 \(ds^2 = -\alpha^2 x^2\,dt^2 + dx^2\)（\(\alpha\)는 상수, \(x > 0\)）에서, \(x = x_0\)에 정지해 있는 관측자의 고유시간 \(d\tau\)를 좌표시간 \(dt\)로 표현하세요.

힌트

\(dx = 0\)으로 놓고 \(d\tau^2 = -ds^2 = \alpha^2 x_0^2\,dt^2\)를 사용해요.

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Medium（표준）

M-1. 구면의 넓이 계산

평탄 시공간의 극좌표 (6.11)에서, \(t\)를 고정하고, \(r = R\) (일정)인 구면 위의 넓이를 계량으로부터 계산하세요. 구체적으로, \(\theta\)와 \(\varphi\)의 미소 변화에 대한 넓이소 \(dA = \sqrt{\det(g_{ij})}\,d\theta\,d\varphi\) (\(i, j = \theta, \varphi\))를 구하고, 구면 전체에서 적분하여 \(4\pi R^2\)가 얻어짐을 보이세요.

힌트

\(r = R\) 위의 유도 계량은 \(ds^2_{(2)} = R^2\,d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\)예요. 2차원 부분의 행렬식을 계산하고, \(\theta: 0 \to \pi\), \(\varphi: 0 \to 2\pi\)로 적분해요.

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M-2. 적도 위의 원둘레 길이

평탄 시공간의 극좌표 (6.11)에서, \(t\)를 고정하고, \(r = R\) (일정), \(\theta = \pi/2\) (적도면) 위의 원둘레 길이를 계산하세요.

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M-3. 중력 적색편이 유도 (Schwarzschild 계량으로부터의 완전한 유도)

Schwarzschild 계량 (6.14)에서, \(r = r_0 > 2M\)에 정지해 있는 관측자가 발한 빛(진동수 \(\nu_\text{em}\))을 \(r = \infty\)의 관측자가 수신한다. 수신 진동수 \(\nu_\text{obs}\)를 \(\nu_\text{em}\)과 \(r_0\)로 나타내고, 중력 적색편이 (gravitational redshift) 공식

\[ \frac{\nu_\text{obs}}{\nu_\text{em}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}} \]

을 유도하세요. 여기서, 빛의 진동수는 고유시간의 역수에 비례한다(\(\nu \propto 1/d\tau\))는 것을 이용하세요.

힌트

정지 관측자의 고유시간은 \(d\tau = \sqrt{-g_{00}}\,dt\)이에요. 좌표시간 \(dt\)는 시공간의 정적 성질로부터 발신 측과 수신 측에서 공통이에요. \(r = \infty\)에서는 \(g_{00} = -1\)이에요.

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M-4. Schwarzschild 계량에서의 지름 방향 고유 길이

Schwarzschild 계량 (6.14)에서, \(r = r_1\)부터 \(r = r_2\)（\(r_2 > r_1 \gg 2M\)）까지 지름 방향으로 측정한 고유 길이를

\[ \Delta L = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - 2M/r}} \]

와 같이 쓰고, \((1 - 2M/r)^{-1/2} \approx 1 + M/r\) 근사를 사용하여 적분을 수행하세요. \(\Delta L\)과 좌표 차이 \(r_2 - r_1\)의 차 \(\delta L = \Delta L - (r_2 - r_1)\)를 구하고, \(M\), \(r_1\), \(r_2\)로 나타내세요.

힌트

\(\int_{r_1}^{r_2} \frac{M}{r}\,dr = M\ln(r_2/r_1)\)을 사용하세요.

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M-5. 계량 텐서의 독립 성분의 수

일반적인 대각 계량

\[ ds^2 = g_{00}\,dt^2 + g_{11}\,dr^2 + g_{22}\,d\theta^2 + g_{33}\,d\varphi^2 \]

에서, \(g_{\alpha\beta}\)가 대칭 텐서이면서 대각 행렬임을 이용하여 독립 성분의 수가 4개임을 확인하세요. 다음으로, 일반적인 (비대각 성분도 갖는) 4차원 계량 텐서의 독립 성분이 \(\frac{4 \times 5}{2} = 10\)개임을 대칭성 \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\)로부터 보이세요.

힌트

\(n \times n\) 대칭 행렬의 독립 성분 수는 \(n(n+1)/2\)이에요. 대각 행렬에서는 비대각 성분이 모두 0이 되어요.

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Advanced（발전）

A-1. 일정 곡률 2차원 공간의 기하학

다음 2차원 계량을 생각해요:

\[ ds^2 = \frac{dr^2 + r^2\,d\varphi^2}{\left(1 + \frac{k}{4}r^2\right)^2} \]

여기서 \(k\)는 상수, \(r \geq 0\), \(0 \leq \varphi < 2\pi\)로 해요.

(a) 원점을 중심으로 하는 좌표 반지름 \(r = r_0\)인 "원"의 둘레의 고유 길이 \(C(r_0)\)를 계산하세요.

(b) 원점에서 좌표 반지름 \(r_0\)까지의 지름 방향 고유 길이("반지름") \(\mathcal{R}(r_0)\)를 적분 형태로 쓰고, \(k > 0\)인 경우에 \(C(r_0)\)와 \(2\pi \mathcal{R}(r_0)\)를 비교하세요. \(C < 2\pi\mathcal{R}\)이 되는지 \(C > 2\pi\mathcal{R}\)이 되는지를 판정하고, 그 기하학적 의미를 서술하세요.

(c) 이 계량은 일정 곡률 공간을 나타내는 것으로 알려져 있어요. \(k > 0\), \(k = 0\), \(k < 0\)이 각각 구면·평면·쌍곡면에 대응하는 것을 (b)의 결과와 직관적인 논의로 설명하세요.

힌트

(a) \(r = r_0\) 위에서 \(dr = 0\)으로 놓고 \(dL = \frac{r_0}{1+kr_0^2/4}\,d\varphi\)를 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 적분해요. (b) \(\mathcal{R} = \int_0^{r_0}\frac{dr}{1+kr^2/4}\)는 \(k > 0\)일 때 역탄젠트 함수로 나타낼 수 있어요. 구면에서는 "둘레 < \(2\pi\) × 반지름"이에요.

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A-2. GPS와 중력 적색편이

Schwarzschild 계량 (6.13)（\(c\)와 \(G\)를 명시한 형태）을 사용하여, 지구 표면（\(r = R_\oplus\)）에 정지한 시계와 GPS 위성 궤도（\(r = R_\text{GPS}\)）에 정지한 시계의 고유시를 비교해요.

(a) 먼 곳의 좌표시 \(\Delta t = 1\) 일에 대해, 각각의 시계가 새기는 고유시 \(\Delta\tau_\oplus\), \(\Delta\tau_\text{GPS}\)를 \(2GM_\oplus/(c^2 r) \ll 1\)의 근사 하에서 구하세요.

(b) 고유시의 차이 \(\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus\)를 수치적으로 추정하세요. 다음의 수치를 사용하세요：

\[ \frac{2GM_\oplus}{c^2} \approx 8.87 \times 10^{-3}\;\mathrm{m},\quad R_\oplus \approx 6.37 \times 10^6\;\mathrm{m},\quad R_\text{GPS} \approx 2.66 \times 10^7\;\mathrm{m} \]

(c) 이 고유시 차이를 보정하지 않을 경우, 1일당 GPS 측위 오차가 어느 정도가 되는지 광속 \(c \approx 3 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\)를 사용하여 추정하세요. 이 결과가 실용적으로 무시할 수 없음을 논하세요.

힌트

(a) \(\sqrt{1-\epsilon} \approx 1 - \epsilon/2\)를 사용해요. (b) \(\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx \frac{1}{2}\left(\frac{r_s}{R_\oplus} - \frac{r_s}{R_\text{GPS}}\right)\Delta t\)에서 \(r_s = 2GM_\oplus/c^2\). (c) 거리 오차 \(\sim c \times (\text{시간 차이})\). 참고로, 실제 GPS에서는 여기서 구한 중력 적색편이 효과에 더하여 특수상대론적 시간 지연（위성의 운동에 의한 효과）도 보정할 필요가 있어요.

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