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부록 C 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 구간 에서 정의된 함수 （상수함수）의 Fourier 계수 （）및 （）를, 식 (C.6)

구간 \([0, L]\) 에서 정의된 함수 \(f(x) = 1\)（상수함수）의 Fourier 계수 \(a_n\)（\(n = 0, 1, 2, \ldots\)）및 \(b_n\)（\(n = 1, 2, 3, \ldots\)）를, 식 (C.6), (C.7) 을 이용하여 모두 구하세요.

힌트

\(\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)\) 를 \(0\) 에서 \(L\) 까지 적분하면, \(n \geq 1\) 일 때 \(\sin\) 의 한 주기분이 돼요. \(n = 0\) 일 때는 피적분함수가 \(1\) 이 되는 것에 주의하세요.

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B-2. 복소 지수함수의 직교성(식 (C.12))을 이용하여, 다음 적분을 계산하라

복소 지수함수의 직교성(식 (C.12))을 이용하여, 다음 적분을 계산하세요.

\[ \int_0^L e^{i \frac{2\pi \cdot 3}{L} x}\, e^{-i \frac{2\pi \cdot 5}{L} x}\, dx \]
힌트

피적분함수를 \(e^{i\frac{2\pi(m-n)}{L}x}\) 의 형태로 정리하세요. \(m = 3\), \(n = 5\) 일 때 \(m \neq n\) 임을 확인하세요.

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B-3. Euler (오일러) 의 공식을 이용하여 다음을 보여라

Euler (오일러) 의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 를 이용하여 다음을 보여라.

\[ \cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right) = \frac{1}{2}\left(e^{i\frac{2\pi n}{L}x} + e^{-i\frac{2\pi n}{L}x}\right) \]

나아가, 실수 함수 \(f(x)\) 의 실수 Fourier 계수 \(a_n, b_n\) 과 복소 Fourier 계수 \(c_n\) 사이의 관계식

\[ c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad (n \geq 1), \qquad c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2} \quad (n \geq 1), \qquad c_0 = \frac{a_0}{2} \]

을 식 (C.5) 와 식 (C.10) 을 비교하여 도출해요.

힌트

식 (C.5) 의 \(\cos\) 과 \(\sin\) 을 식 (C.9) 로 복소 지수함수로 다시 쓰고, \(e^{ik_n x}\) 와 \(e^{-ik_n x}\) 의 계수를 식 (C.10) 의 \(c_n\) 및 \(c_{-n}\) 과 비교하세요.

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B-4. 구간 에서의 Fourier 계수 및 를 모두 구하라

구간 \([0, L]\) 에서 \(f(x) = \sin\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\) 의 Fourier 계수 \(a_n\) 및 \(b_n\) 을 모두 구하세요.

힌트

\(a_n\) 의 계산에서는 식 (C.4)의 직교성을 그대로 사용할 수 있어요. \(b_n\) 의 계산에서는 식 (C.3)을 이용하세요.

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B-5. 가우스(Gauss) 적분 공식

가우스(Gauss) 적분 공식

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \qquad (\alpha > 0) \]

을 이용하여, 함수 \(f(x) = e^{-3x^2}\) 의 푸리에 변환 \(\tilde{f}(k)\) 를 유형 (b)(식 (C.16))로 계산하세요.

힌트

\(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x^2} e^{-ikx}\,dx\) 의 지수 부분을 \(-3\!\left(x + \frac{ik}{6}\right)^2 - \frac{k^2}{12}\) 로 완전제곱식으로 만드세요.

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B-6. 합성곱의 정의(식 (C.21))에 따라, 와 ( 는 상수)의 합성곱 을 계산하여라. 여기서 는 D

합성곱의 정의(식 (C.21))에 따라, \(f(x) = e^{-|x|}\) 와 \(g(x) = \delta(x - a)\)（\(a\) 는 상수）의 합성곱 \((f * g)(x)\) 을 계산하세요. 여기서 \(\delta\) 는 Dirac (디랙) 의 δ 함수이며, \(\int_{-\infty}^{\infty} h(x')\,\delta(x' - a)\,dx' = h(a)\) 를 만족해요.

힌트

\(\delta(x' - a)\) 의 성질(체 거름 성질)을 이용하면, \(x'\) 의 적분을 즉시 수행할 수 있어요.

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B-7. 다음 적분을 δ 함수의 Fourier 적분 표현(식 (C.19))

다음 적분을, δ 함수의 Fourier 적분 표현(식 (C.19))

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k - k')x}\,dx = \delta(k - k') \]

을 이용하여 구하세요.

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \cdot 7 x}\,dx \]
힌트

식 (C.19)에서 \(k = 7\), \(k' = 0\)으로 놓으면 돼요.

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B-8. Parseval의 등식(식 (C.18))을 이용하여 다음을 확인하시오. 일 때

Parseval의 등식(식 (C.18))을 이용하여 다음을 확인하세요. \(f(x) = e^{-|x|}\) 일 때,

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(k)|^2\,dk \]

가 성립함을, 좌변을 직접 계산하고, 우변을 \(\tilde{f}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{1}{1+k^2}\) (방식 (b))를 이용하여 계산하여, 양쪽이 일치함을 보이세요.

힌트

좌변: \(|f(x)|^2 = e^{-2|x|}\) 의 적분은 \(\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx\) 의 2배. 우변: \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{(1+k^2)^2}\) 는 \(\frac{\pi}{2}\) 임을 이용하세요(부분분수 분해, 또는 \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{(1+k^2)^2} = \frac{\pi}{2}\) 를 공식으로 사용해도 좋습니다).

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Medium（표준）

M-1. 구간 에서 정의된 함수 의 Fourier 계수 및 를 구하고, Fourier 급수（식 (C.5

구간 \([0, L]\) 에서 정의된 함수 \(f(x) = x\) 의 Fourier 계수 \(a_n\) 및 \(b_n\) 을 구하고, Fourier 급수(식 (C.5))를 써 내려가세요. 나아가, \(x = L/2\) 를 대입하여 얻어지는 급수의 값이 \(f(L/2) = L/2\) 와 일치하는 것을 확인하세요.

힌트

\(a_n\)：\(\int_0^L x\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx\) 는 부분적분으로 계산해요. \(a_0\) 는 평균값의 2배가 돼요. \(b_n\)：\(\int_0^L x\sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx\) 도 부분적분으로 계산해요. \(x = L/2\) 에서 \(\sin\) 과 \(\cos\) 의 값을 확인하세요.

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M-2. Gauss 함수의 Fourier 변환과 Parseval의 등식

가우스 함수 \(f(x) = e^{-ax^2}\)（\(a > 0\)）의 푸리에 변환을 유형 (b)로 구하고, 결과가 다시 가우스 함수가 됨을 보이세요. 나아가 Parseval의 등식（식 (C.18)）을 이용하여

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2ax^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2a}\,e^{-k^2/(2a)}\,dk \]

이 성립함을 확인하세요.

힌트

지수 부분을 \(-a\!\left(x + \frac{ik}{2a}\right)^2 - \frac{k^2}{4a}\) 로 완전제곱식으로 변환한다. 가우스 적분 공식 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha t^2}\,dt = \sqrt{\pi/\alpha}\) 를 이용하세요.

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M-3. 합성곱 정리(식 (C.22))를 이용하여 다음 문제를 풀어라

합성곱 정리(식 (C.22))를 이용하여 다음 문제를 풀어요.

\(f(x) = e^{-x^2}\), \(g(x) = e^{-x^2}\) 일 때, 합성곱 \((f * g)(x)\) 를 직접 계산하는 것이 아니라, 푸리에 변환 공간에서 곱을 계산한 후 역변환하여 구하세요.

힌트

\(\tilde{f}(k) = \tilde{g}(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}\) (D5에서 \(a = 1\) 인 경우)를 이용해요. 식 (C.22)로부터 \(\widetilde{(f*g)}(k) = \sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k)\,\tilde{g}(k)\) 를 계산하고, 역 푸리에 변환하세요.

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M-4. δ 함수의 Fourier 적분 표현

δ 함수의 Fourier 적분 표현

\[ \delta(x - x') = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x - x')}\,dk \]

을 출발점으로 하여, 다음을 유도하세요.

(a) \(\delta(x)\)가 짝함수임을 보이세요: \(\delta(-x) = \delta(x)\)

(b) 스케일링 법칙: \(\delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|}\,\delta(x)\)（\(\alpha \neq 0\)）

(c) \(x\,\delta(x) = 0\)

힌트

(a) Fourier 적분 표현에서 \(x \to -x\)로 치환하고, 적분 변수를 \(k \to -k\)로 바꾸세요. (b) \(\delta(\alpha x)\)의 Fourier 표현에서 \(k \to k/\alpha\)로 변수 변환하세요. (c) 임의의 시험 함수 \(\phi(x)\)에 대해 \(\int x\,\delta(x)\,\phi(x)\,dx\)를 계산하세요.

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M-5. Fourier 변환에서의 미분 성질

Fourier 변환에서의 미분 성질을 유도하세요. 방식 (b)에서, \(f(x)\)의 Fourier 변환이 \(\tilde{f}(k)\)일 때,

(a) \(f'(x) \equiv \frac{df}{dx}\)의 Fourier 변환이 \(ik\,\tilde{f}(k)\)임을 보이세요.

(b) 이 결과를 이용하여, 미분방정식 \(f'(x) + \beta f(x) = 0\)（\(\beta > 0\)）을 Fourier 변환 공간에서 풀고, \(f(x) = Ce^{-\beta x}\)（\(x > 0\)）를 재현하세요.

힌트

(a) \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\,e^{-ikx}\,dx\)를 부분적분하고, \(f(x)\)가 \(x \to \pm\infty\)에서 0이 되는 것을 이용하세요. (b) Fourier 변환 후의 방정식은 \((ik + \beta)\tilde{f}(k) = 0\)이 아니라, 우변이 초기 조건에 의존하는 대수방정식이 된다는 점에 주의하세요. 또는 \(f(x) = C e^{-\beta x}\theta(x)\)（\(\theta\)는 Heaviside(헤비사이드) 계단 함수）로 놓고 직접 Fourier 변환을 계산하는 방법도 가능해요.

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Advanced（발전）

A-1. 불확정성 관계의 Fourier 해석적 증명

불확정성 관계의 Fourier 해석적 증명

함수 \(f(x)\)와 그 Fourier 변환 \(\tilde{f}(k)\) (유형 (b))가 모두 규격화되어 있다고 해요 (\(\int |f(x)|^2\,dx = 1\)). 위치의 "폭"과 파수의 "폭"을 각각

\[ (\Delta x)^2 \equiv \int_{-\infty}^{\infty} x^2\,|f(x)|^2\,dx, \qquad (\Delta k)^2 \equiv \int_{-\infty}^{\infty} k^2\,|\tilde{f}(k)|^2\,dk \]

으로 정의해요 (간단히 하기 위해 \(\langle x \rangle = 0\), \(\langle k \rangle = 0\)으로 가정해요).

(a) Cauchy–Schwarz (코시-슈바르츠) 부등식

\[ \left|\int_{-\infty}^{\infty} u(x)^*\,v(x)\,dx\right|^2 \leq \int_{-\infty}^{\infty}|u(x)|^2\,dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty}|v(x)|^2\,dx \]

에서 \(u(x) = x\,f(x)\), \(v(x) = f'(x)\)로 놓고, \(\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}\)를 유도하세요.

(b) 등호가 성립하는 조건을 구하고, 그것이 Gauss 함수 \(f(x) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{1/4} e^{-x^2/(4\sigma^2)}\)임을 보이세요.

(c) \(p = \hbar k\)로 놓으면, 양자역학의 불확정성 관계 \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)가 얻어짐을 확인하세요.

힌트

(a) \(\int x\,f(x)^*\,f'(x)\,dx\)를 부분적분하여 \(\int |f(x)|^2\,dx = 1\)을 이용해요. 또한, D5의 S5(a)의 결과 (\(f'\)의 Fourier 변환은 \(ik\tilde{f}\))와 Parseval의 등식을 이용하여 \(\int |f'(x)|^2\,dx = \int k^2|\tilde{f}(k)|^2\,dk = (\Delta k)^2\)를 보이세요. (b) Cauchy–Schwarz의 등호 조건은 \(v(x) = \lambda\,u(x)\) (\(\lambda\)는 상수)예요. 이것은 \(f' = \lambda\,x\,f\)라는 미분방정식이 돼요. (c) \(\Delta p = \hbar\,\Delta k\)를 대입하기만 하면 돼요.

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A-2. Fourier 급수에서 Parseval의 등식으로：\(\zeta(2) = \pi^2/6\) 의 유도

Fourier 급수에서 Parseval의 등식으로：\(\zeta(2) = \pi^2/6\) 의 유도

(a) 구간 \([0, L]\) 에서 \(f(x) = x\) 의 Fourier 급수(S1의 결과)를 이용하여, Fourier 급수 버전의 Parseval의 등식

\[ \frac{1}{L}\int_0^L |f(x)|^2\,dx = \frac{|a_0|^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right) \]

을 유도하세요. (힌트: 식 (C.5)의 \(|f(x)|^2\) 를 적분하고, 직교성을 이용하세요.)

(b) (a)의 결과에 \(f(x) = x\) 의 Fourier 계수를 대입하여,

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

를 증명하세요. 이것은 Riemann (리만) 제타 함수 \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) 에서 \(\zeta(2)\) 의 값이에요 (Basel (바젤) 문제).

힌트

(a) \(\frac{1}{L}\int_0^L |f(x)|^2\,dx\) 의 좌변에 식 (C.5)를 2번 대입하고, 직교성 (C.2)–(C.4)를 사용하여 교차항을 소거하세요. (b) \(f(x) = x\) 일 때 \(\frac{1}{L}\int_0^L x^2\,dx = \frac{L^2}{3}\) 이며, S1에서 구한 \(a_n, b_n\) 을 대입하고 \(L\) 을 소거하면 \(\sum 1/n^2\) 의 값이 결정돼요.

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