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제 4 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 자연단위계로의 변환과 \(c\) 의 복원

아래의 SI 단위 식을 자연단위계（\(c = 1\)）로 다시 쓰세요. 반대로, 자연단위계의 식을 SI 단위계로 되돌리세요.

(a) SI 단위의 식 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) 를 자연단위계로 쓰세요.

(b) 자연단위계의 식 \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\) 를 SI 단위계로 쓰세요.

(c) 자연단위계에서 「에너지 \(E = 5\)」라는 기술이 있어요. 정지질량 \(m\)（kg）이 0이 아니라고 가정하고, 이에 대응하는 SI 단위의 에너지（줄）를 \(m\) 을 사용하여 나타내세요.

(d) 전자의 정지질량 \(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\) kg의 정지에너지를 SI 단위（줄）와 자연단위（kg） 양쪽으로 나타내세요.

힌트

(a)(b) \(c\) 를 포함하는 항과 포함하지 않는 항의 차원을 맞추도록 \(c\) 를 삽입·제거해요. (c) 자연단위계에서의 에너지에 차원상 \(c^2\) 를 곱하면 SI의 에너지가 돼요. (d) 자연단위계에서는 \(E = m\). SI에서는 \(E = mc^2\).

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B-2. 자연단위계에서의 시간과 길이

자연단위계(\(c = 1\))에서 시간과 길이를 같은 단위로 측정해요. 다음 물음에 답하세요.

(a) 1초를 길이의 단위(미터)로 나타내면 몇 미터가 되나요?

(b) 1미터를 시간의 단위(초)로 나타내면 몇 초가 되나요?

(c) 지구에서 태양까지의 거리는 약 \(1.5 \times 10^{11}\) m예요. 이것을 시간의 단위(초)로 나타내면 몇 초가 되나요? 물리적으로 이 수치는 무엇을 의미하나요?

(d) 사람의 걷는 속도를 \(v \approx 1\) m/s로 해요. 이것을 자연단위계(광속을 1로 놓는 단위계)로 나타내면 어느 정도의 수치가 되나요?

힌트

(a) 빛이 1초 동안 진행하는 거리는 약 \(3 \times 10^8\) m예요. 따라서 자연단위계에서는 「1초 = \(3 \times 10^8\) m」이에요. (c) 빛이 지구에서 태양까지 도달하는 시간(약 8분 20초)에 대응해요. (d) \(v/c \approx 1 / (3 \times 10^8) \approx 3.3 \times 10^{-9}\). 일상적인 속도는 광속에 비해 극히 작아요.

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B-3. Minkowski 내적의 계산

4원벡터 \(A^\mu = (5,\, 3,\, 0,\, 0)\) 와 \(B^\mu = (2,\, 1,\, 0,\, 0)\) 에 대해, Minkowski(민코프스키) 내적

\[ \eta_{\mu\nu}\,A^\mu\,B^\nu \]

을 Einstein(아인슈타인)의 축약 규칙을 사용하여 계산하세요 (\(c = 1\) 단위계).

힌트

\(\eta_{\mu\nu}\) 는 대각행렬이므로, \(\mu = \nu\) 인 항만 남아요. \(\eta_{00} = -1\) 에 주의하세요.

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B-4. 공변 벡터의 각 성분

4원벡터 \(A^\mu = (E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\)에 대해, 첨자를 내린 공변 벡터(covariant vector) \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}\,A^\nu\)의 각 성분 \(A_0,\, A_1,\, A_2,\, A_3\)를 \(E,\, p_x,\, p_y,\, p_z\)로 나타내세요.

힌트

\(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\)을 각 성분에 적용하세요.

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B-5. 시공 간격의 16개 항 전개

시공 간격 \(ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu\) 를 \(\mu,\, \nu\) 에 대해 16개 항을 모두 써내고, \(\eta_{\mu\nu}\) 의 비대각 성분이 0이라는 사실로부터 \(ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) 이 얻어짐을 보이세요（\(c = 1\)）.

힌트

\(\eta_{\mu\nu} = 0\)（\(\mu \neq \nu\)）이므로, \(\mu = \nu\) 인 4개 항만 살아남아요.

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B-6. 더미 첨자의 재명명

더미 첨자 (dummy index)의 재명명을 연습해요. 다음 등식이 축약 규칙 하에서 올바른 것을, 합을 명시적으로 전개하여 확인하세요.

\[ \eta_{\mu\nu}\,A^\mu\,B^\nu = \eta_{\alpha\beta}\,A^\alpha\,B^\beta \]
힌트

양변을 각각 \(\sum\)을 사용하여 전개하고, 동일한 16개 항의 합이 됨을 보이세요.

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B-7. 4원속도의 규격화 조건 확인

3차원 속도 \(\mathbf{v} = (v,\, 0,\, 0)\) 를 가지는 입자의 4원속도 (four-velocity)

\[ U^\mu = \gamma(1,\, v,\, 0,\, 0) \]

에 대해, \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1\) 이 성립함을 직접 계산으로 확인하세요 (\(c = 1\)).

힌트

\(\gamma^2(-1 + v^2)\) 를 \(\gamma\) 의 정의를 이용하여 정리하세요.

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B-8. 상대론적 에너지의 저속 극한

상대론적 에너지 \(E = \gamma mc^2\) 의 저속 극한에 대해 다음을 보이세요.

(a) 근사 공식 \((1 + x)^n \approx 1 + nx\)（\(|x| \ll 1\)）를 이용하여, \(v \ll c\) 일 때

\[ E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 \]

가 성립함을 보이세요. 즉, 저속 극한에서 전체 에너지가 정지 에너지와 Newton(뉴턴)적인 운동 에너지의 합이 돼요.

(b) 질량 \(m = 1\) kg, 속도 \(v = 100\) m/s（신칸센 정도）인 물체에 대해, \(v^2/c^2\) 의 값과 정지 에너지 \(mc^2\) 에 대한 운동 에너지 \(\frac{1}{2}mv^2\) 의 비를 구하세요. 이 비로부터 "Newton의 시대에는 왜 정지 에너지를 알아차릴 수 없었는가"를 설명하세요.

(c) 질량이 0인 입자에 대해, \(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) 에 \(m = 0\) 을 대입하여 \(E = |\vec{p}|c\) 를 얻으세요. 나아가 \(E = \gamma mc^2\) 의 관계와 합쳐서, 질량이 0이면서 유한한 에너지를 가지는 입자는 반드시 광속으로 운동해야 함을 논하세요.

힌트

(a) \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\) 에 \(x = -v^2/c^2\), \(n = -1/2\) 를 대입해요. (b) \(c \approx 3 \times 10^8\) m/s 를 사용하면 \(v^2/c^2 \sim 10^{-13}\) 이에요. (c) \(m = 0\) 이면서 \(E \neq 0\) 을 \(E = \gamma mc^2\) 로 실현하려면 \(\gamma \to \infty\) 가 필요해요.

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Medium（표준）

M-1. 텐서의 축약과 첨자의 분류

2계 텐서 \(T^{\mu\nu}\)와 4원 벡터 \(A_\nu\)의 축약 \(T^{\mu\nu}A_\nu\)는 몇 계의 텐서인가요? 자유 첨자와 더미 첨자를 각각 지적하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 4원속도와 4원가속도

4원속도 \(U^\mu\)와 4원가속도 (four-acceleration) \(a^\mu \equiv dU^\mu/d\tau\)에 대해 다음을 보이세요.

(a) \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1\)의 양변을 고유시간 \(\tau\)로 미분하여 \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,a^\nu = 0\)을 유도하세요. 즉, 4원속도와 4원가속도는 민코프스키 내적의 의미에서 항상 직교해요.

(b) 입자의 순간 정지계（\(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)）에서 (a)의 결과로부터 \(a^0 = 0\)을 보이고, 4원가속도가 순수하게 공간적인 벡터（\(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu > 0\)）임을 설명하세요.

(c) 1차원 운동（\(x\) 방향만）에서 일정한 고유가속도 \(g\)（\(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu = g^2 = \text{const.}\)）를 갖는 입자의 세계선이 쌍곡선

\[ x^2 - t^2 = \frac{1}{g^2} \]

으로 기술됨을 보이세요（초기조건 \(t = 0\)에서 \(x = 1/g\), \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)）.

힌트

(c)에서는 \(U^0 = \cosh(g\tau)\), \(U^1 = \sinh(g\tau)\)로 놓고 \(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu = g^2\)를 확인한 뒤, \(\tau\)로 적분하여 세계선을 구하세요.

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A-2. 일반 방향의 Lorentz 부스트

두 관성계 \(S\)와 \(S'\) 사이의 일반적인 Lorentz 부스트를 생각해요. \(S'\)가 \(S\)에 대해 속도 \(\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)\) (크기 \(v = |\mathbf{v}|\))로 운동하고 있을 때, 변환은

\[ t' = \gamma\!\left(t - \mathbf{v} \cdot \mathbf{x}\right) \]
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{x} + (\gamma - 1)\frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x})}{v^2}\,\mathbf{v} - \gamma\,\mathbf{v}\,t \]

로 주어져요 (\(c = 1\)). 다음을 보이세요.

(a) 이 변환이 시공간 간격 \(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x}\)을 불변으로 유지함을 확인하세요.

(b) \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\)인 경우에, 본 장에서 유도한 표준적인 \(x\) 방향 부스트로 귀결됨을 보이세요.

(c) 서로 다른 방향의 두 부스트 \(\Lambda(\mathbf{v}_1)\)와 \(\Lambda(\mathbf{v}_2)\) (\(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \neq \mathbf{0}\))의 합성 \(\Lambda(\mathbf{v}_2)\Lambda(\mathbf{v}_1)\)이 일반적으로 순수한 부스트가 되지 않고, 부스트 + 공간 회전이 됨을 논의하세요. 이 공간 회전을 Thomas(토마스) 회전 (Wigner rotation)이라고 불러요. \(\mathbf{v}_1\)과 \(\mathbf{v}_2\)가 모두 \(x\)-\(y\) 평면 내에 있는 경우에, 합성 변환이 공간 회전을 포함함을 변환 행렬의 대칭성 논의로부터 보이세요.

힌트

(c) 순수한 부스트의 행렬은 대칭 행렬이지만, 두 대칭 행렬의 곱은 일반적으로 대칭이 아니에요. 비대칭 부분이 회전에 대응해요.

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