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제 1 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Planck 상수의 작음을 체감하기

가시광선의 대표적인 진동수를 \(\nu = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\) 로 해요. 광자 1개의 에너지 \(E = h\nu\) 를 SI 단위 (J)로 계산하고, 나아가 전자볼트 (eV)로 환산하세요. 단, \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\), \(1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}\) 로 해요.

힌트

\(E = h\nu\) 에 수치를 대입하고, eV로의 환산은 \(E\;[\mathrm{eV}] = E\;[\mathrm{J}] / (1.602 \times 10^{-19})\) 를 사용해요.

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B-2. 일함수와 문턱 진동수

나트륨 (Na)의 일함수는 \(W = 2.28\;\mathrm{eV}\)예요. 광전효과가 일어나기 위한 문턱 진동수 \(\nu_0\)를 구하세요. 또한, 대응하는 문턱 파장 \(\lambda_0\)를 nm 단위로 구하세요. 단, \(c = 3.00 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\)로 해요.

힌트

문턱 조건은 \(h\nu_0 = W\)예요. 파장과의 관계는 \(c = \lambda_0 \nu_0\)이에요. \(W\)를 J로 환산한 후 대입하세요.

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B-3. 광전효과의 운동 에너지

일함수 \(W = 4.50\;\mathrm{eV}\)인 금속에 파장 \(\lambda = 200\;\mathrm{nm}\)의 자외선을 조사했어요. 방출되는 전자의 최대 운동 에너지 \(K\)를 eV 단위로 구하세요.

힌트

광자의 에너지는 \(E = hc/\lambda\)로 구할 수 있어요. \(hc \simeq 1240\;\mathrm{eV \cdot nm}\)을 사용하면 계산이 편해져요. 그 후 \(K = E - W\)를 적용하세요.

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B-4. Rydberg 공식을 이용한 파장 계산

Rydberg 공식 (1.6)을 이용하여, 수소 원자의 Balmer(발머) 계열（\(n = 2\)）중에서 \(m = 3\)에 대응하는 스펙트럼선의 파장 \(\lambda\)를 nm 단위로 구하세요. \(R_\infty = 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\)로 해요.

힌트
\[\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)\]

에 수치를 대입하여 \(\lambda\)를 구해요.

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B-5. Bohr의 양자 조건과 궤도 반지름

수소 원자의 Bohr 모델에서, 전자의 원운동에 대한 힘의 균형(Coulomb 힘 = 구심력)은

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \]

으로 주어져요. Bohr의 양자 조건 \(m_e v r = n\hbar\) 과 결합하여, \(n\) 번째 궤도 반지름 \(r_n\) 을 \(n\), \(\hbar\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\) 로 나타내세요.

힌트

양자 조건으로부터 \(v = n\hbar/(m_e r)\) 을 얻어서, 힘의 균형 식에 대입하고 \(r\) 에 대해 풀어요.

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B-6. Bohr 반지름의 수치 계산

D5의 결과에서 \(n = 1\)로 놓은 값을 Bohr 반지름 \(a_0\)이라고 불러요. 아래의 상수를 이용하여 \(a_0\)의 값을 유효숫자 3자리로 계산하세요.

  • \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\;\mathrm{kg}\)
  • \(e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}\)
  • \(4\pi\varepsilon_0 = 1.113 \times 10^{-10}\;\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\)
힌트
\[a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\]

에 수치를 대입해요. 답은 \(10^{-10}\;\mathrm{m}\) 정도의 크기(오더)가 되어야 해요.

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B-7. Planck 분포의 극한

Planck의 평균 에너지 공식

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1} \]

에 대해, \(h\nu \ll k_B T\)의 극한에서 \(\langle E \rangle \simeq k_B T\)가 됨을 \(e^x \simeq 1 + x\)（\(x \ll 1\)）의 근사를 이용하여 보이세요.

힌트

\(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\)로 놓으면, 분모는 \(e^x - 1 \simeq x\)가 돼요.

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B-8. Boltzmann 인자의 비교

온도 \(T = 6000\;\mathrm{K}\)（태양 표면의 온도 정도）에서, 다음 2가지 진동수에 대한 Boltzmann 인자 \(e^{-h\nu / k_B T}\)를 각각 계산하세요.

(a) 가시광: \(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)

(b) 자외광: \(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)

결과를 비교하고, 고진동수 모드가 억제되는 양상을 확인하세요.

힌트

먼저 \(k_B T\)를 계산하고（\(k_B = 1.38 \times 10^{-23}\;\mathrm{J/K}\)）, 다음으로 \(h\nu/(k_B T)\)를 구한 뒤 지수함수를 평가하세요.

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Medium（표준）

M-1. Bohr 모델에 의한 수소 원자의 에너지 준위 도출

수소 원자의 Bohr 모델에서, 다음 절차에 따라 에너지 준위 \(E_n\)을 도출하세요.

(a) 전자의 원운동에 대한 힘의 균형(Coulomb 힘 = 구심력)과 Bohr의 양자 조건 \(L = n\hbar\)를 연립하여, \(n\)번째 궤도의 반지름 \(r_n\)과 속도 \(v_n\)을 구하세요.

(b) 전자의 전체 에너지(운동 에너지 + Coulomb 퍼텐셜 에너지)를 \(r_n\)으로 표현하고,

\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{*} \]

을 도출하세요.

(c) 진동수 조건 \(h\nu = E_m - E_n\)과 \(c = \lambda\nu\)를 이용하여 Rydberg 공식 (1.6)을 재현하고, Rydberg 상수 \(R_\infty\)를 기본 상수로 표현하세요.

힌트

(a) D5와 같은 절차로 \(r_n\)을 구하고, 양자 조건에 대입하여 \(v_n\)을 얻어요. (b) 운동 에너지는 \(\frac{1}{2}m_e v_n^2\), 퍼텐셜 에너지는 \(-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r_n)\)이에요. 힘의 균형으로부터 \(\frac{1}{2}m_e v_n^2 = e^2/(8\pi\varepsilon_0 r_n)\)을 사용하면 간결하게 쓸 수 있어요. (c) \(1/\lambda = \nu/c\)로 정리해요.

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M-2. 광전효과 실험 데이터로부터 Planck 상수 결정

광전효과 실험에서 어떤 금속에 다양한 진동수 \(\nu\)의 빛을 조사하여 방출되는 전자의 최대 운동에너지 \(K\)를 측정했어요. 다음과 같은 데이터가 얻어졌다고 해요.

\(\nu\;[10^{14}\;\mathrm{Hz}]\) \(K\;[\mathrm{eV}]\)
6.0 0.21
7.5 0.83
9.0 1.45
10.5 2.07

(a) \(K\)를 \(\nu\)의 함수로 그래프의 개형을 그리고, 직선 관계 \(K = h\nu - W\)가 성립함을 확인하세요.

(b) 데이터로부터 Planck 상수 \(h\)의 값을 eV·s 단위로 구하세요.

(c) 이 금속의 일함수 \(W\)를 eV 단위로 구하세요.

(d) 구한 \(h\)의 값을 SI 단위 (J·s)로 환산하고, 문헌값 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)와 비교하세요.

힌트

(b) 직선의 기울기가 \(h\)에 대응해요. 2개의 점을 선택하여 \(\Delta K / \Delta \nu\)를 계산하면 돼요. (c) 직선의 \(\nu\) 절편(\(K = 0\)이 되는 \(\nu_0\))으로부터 \(W = h\nu_0\)를 구하거나, 직선의 \(K\) 절편에서 직접 읽으면 돼요.

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M-3. 고전적 원자 붕괴 시간의 크기 어림

고전 전자기학에서, 가속도 \(a\)로 운동하는 전하 \(e\)가 단위 시간당 방출하는 에너지(Larmor 공식)는

\[ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]

로 주어져요. 수소 원자의 전자가 Bohr 반지름 \(a_0 \simeq 5.3 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\)의 원궤도 위에 있다고 가정하고, 다음을 구하세요.

(a) 전자의 구심 가속도 \(a\)를 힘의 평형으로부터 \(a_0\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\)로 나타내고, 수치를 계산하세요.

(b) Larmor 공식을 이용하여 복사 전력 \(P\)를 계산하세요.

(c) 전자의 전체 에너지 \(E_1 = -13.6\;\mathrm{eV}\)를 이용하여, \(|E_1|/P\)의 크기로부터 고전적 붕괴 시간 \(\tau\)를 어림하고, 식 (1.5)의 \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\)와 일치하는지 확인하세요.

힌트

(a) Coulomb 힘 \(F = e^2/(4\pi\varepsilon_0 a_0^2)\)과 \(F = m_e a\)로부터 \(a\)를 구해요. (c) 에너지를 J로 환산한 후 \(P\)로 나누세요. 엄밀한 붕괴 시간 계산은 아니지만, 크기(오더)가 맞으면 돼요.

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M-4. Planck 분포의 고진동수 극한과 Wien의 법칙

Planck의 흑체복사 스펙트럼 복사휘도(단위 진동수당)는

\[ B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

로 주어져요.

(a) \(h\nu \gg k_B T\) 의 극한에서 \(B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T}\) 가 됨을 보이세요 (Wien(빈)의 복사법칙).

(b) \(B(\nu, T)\) 가 최대가 되는 진동수 \(\nu_{\max}\) 가 온도 \(T\) 에 비례한다는 것(Wien의 변위법칙 \(\nu_{\max} \propto T\))을, \(\partial B / \partial \nu = 0\) 을 \(x = h\nu/(k_B T)\) 로 변환하여 보이세요. (초월방정식을 풀 필요는 없으며, \(x\) 가 상수가 됨을 보이면 충분해요.)

힌트

(a) \(h\nu \gg k_B T\) 일 때 \(e^{h\nu/k_B T} \gg 1\) 이므로 분모에서 \(-1\) 을 무시할 수 있어요. (b) \(x = h\nu/(k_B T)\) 로 치환하면, \(\partial B / \partial \nu = 0\) 은 \(x\) 만의 초월방정식이 돼요. \(x\) 가 \(T\) 에 의존하지 않는 상수라는 것으로부터 \(\nu_{\max} = (\text{상수}) \times k_B T / h\) 가 따라와요.

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Advanced（발전）

A-1. 고전적 등분배 법칙에 의한 Rayleigh–Jeans 법칙의 유도와 자외선 파탄

한 변의 길이가 \(L\)인 정육면체 공동 내에 존재하는 전자기장의 정재파 모드 수를 생각해요.

(a) 파수 \(k\)에서 \(k + dk\) 범위에 있는 모드의 수(편광의 2자유도를 포함)가

\[ g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk \]

임을 보이세요. 단, \(V = L^3\)은 공동의 부피예요. (경계 조건으로서, 각 방향에 \(k_x = n_x \pi / L\), \(k_y = n_y \pi / L\), \(k_z = n_z \pi / L\)（\(n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots\)）를 사용하세요.)

(b) \(k = 2\pi\nu/c\)의 관계를 이용하여, 진동수 \(\nu\)에서 \(\nu + d\nu\) 범위의 모드 수를

\[ g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu \]

로 변환하세요.

(c) 고전적 등분배 법칙에 의해 각 모드에 평균 에너지 \(k_B T\)를 배정하면, 단위 부피당 스펙트럼 에너지 밀도 \(u(\nu, T)\)가

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \]

(Rayleigh–Jeans (레일리-진스) 법칙)가 됨을 보이세요.

(d) \(u(\nu, T)\)를 \(\nu = 0\)에서 \(\infty\)까지 적분하면 발산함을 보이고, 이것이 자외선 파탄임을 설명하세요.

(e) 등분배 법칙 대신 Planck의 평균 에너지 \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\)를 사용하면, 전체 에너지 밀도가 유한하게 수렴함을 정성적으로 설명하세요.

힌트

(a) \(k\) 공간의 제1상한（\(n_x, n_y, n_z > 0\)）에서, 반지름 \(k\)인 구각의 부피 \(4\pi k^2 dk\)의 \(1/8\)을 취하고, 격자점의 밀도 \((\pi/L)^{-3}\)를 곱한 뒤, 편광으로 2배 해요. (d) \(\int_0^\infty \nu^2 d\nu\)는 발산해요. (e) 고진동수에서 \(\langle E \rangle\)가 지수적으로 감소하므로, \(\nu^2 \cdot \langle E \rangle\)의 적분은 수렴해요.

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A-2. Bohr 모델의 일반화：수소 유사 이온과 대응 원리

수소 유사 이온（원자번호 \(Z\), 전자 1개）에 Bohr 모델을 적용해요.

(a) 원자핵의 전하가 \(Ze\)임을 고려하여, \(n\) 번째 궤도 반지름 \(r_n\)과 에너지 준위 \(E_n\)을 \(Z\)를 포함하는 형태로 유도하세요.

(b) \(\mathrm{He^+}\)（\(Z = 2\)）의 바닥 상태（\(n = 1\)）의 에너지와 궤도 반지름을 계산하고, 수소 원자와 비교하세요.

(c) Bohr의 대응 원리 (correspondence principle)：양자수 \(n\)이 충분히 클 때, 인접 준위 간의 전이에서 방출되는 빛의 진동수 \(\nu_{n \to n-1}\)가 \(n\) 번째 궤도를 도는 전자의 고전적 회전 주파수 \(f_n\)과 일치함을 보이세요. 즉, \(n \gg 1\)의 극한에서

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq f_n \]

이 됨을 확인하세요.

힌트

(a) 쿨롱 힘이 \(Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\)로 바뀔 뿐이에요. S1과 동일한 절차로 \(Z\)를 포함하여 계산해요. (c) \(\nu_{n \to n-1} = (E_n - E_{n-1})/h\)를 계산하고, \(n \gg 1\)에서 \((1/(n-1)^2 - 1/n^2) \simeq 2/n^3\)을 사용해요. 고전적 회전 주파수는 \(f_n = v_n/(2\pi r_n)\)으로 구할 수 있어요.

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