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부록 B 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. \(\mathbb{C}^2\) 벡터의 노름 계산

벡터 \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 2i \\ 1 - i \end{pmatrix}\) 의 노름 \(\||\psi\rangle\|\) 을 구하세요.

힌트

노름은 \(\||\psi\rangle\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}\) 이고, \(\langle\psi|\psi\rangle = \sum_k |z_k|^2\) 이에요. 각 성분의 절댓값의 제곱을 계산해서 더해봐요. \(|2i|^2 = 4\), \(|1-i|^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 2\) 이에요.

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B-2. \(\mathbb{C}^2\) 의 내적 계산

다음 두 벡터의 내적 \(\langle\phi|\psi\rangle\) 을 계산하세요.

\[|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 1 + i \\ 2 \end{pmatrix}, \quad |\phi\rangle = \begin{pmatrix} 3 \\ i \end{pmatrix}\]
힌트

\(\langle\phi|\psi\rangle = \sum_k \phi_k^* \psi_k\) 입니다. 첫 번째 인수(브라 쪽)의 성분에 복소 켤레가 붙는다는 점에 주의하세요. \(\langle\phi| = (3^*,\; i^*) = (3,\; -i)\) 입니다.

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B-3. 2차원 벡터의 규격화

벡터 \(|v\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}\) 를 규격화하세요. 즉, \(\langle u|u\rangle = 1\) 을 만족하는 벡터 \(|u\rangle = \frac{|v\rangle}{\||v\rangle\|}\) 를 구하세요.

힌트

먼저 \(\langle v|v\rangle = |1|^2 + |1|^2 + |i|^2\) 를 계산하여 노름을 구하고, 각 성분을 그 노름으로 나눠요.

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B-4. 직교 판정

다음 2개의 벡터가 직교하는지 판정하세요.

\[|a\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad |b\rangle = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}\]
힌트

내적 \(\langle a|b\rangle\) 을 계산하여 0이 되는지 조사해요. \(\langle a| = (1^*,\; i^*) = (1,\; -i)\) 예요.

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B-5. 행렬 요소의 계산

정규직교기저 \(|e_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|e_2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 에 대해, 연산자 \(\hat{A}\) 가

\[\hat{A}|e_1\rangle = \begin{pmatrix} 2 \\ i \end{pmatrix}, \quad \hat{A}|e_2\rangle = \begin{pmatrix} -i \\ 3 \end{pmatrix}\]

와 같이 작용할 때, \(\hat{A}\) 의 행렬 표현 \((A_{jk}) = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\) 을 구하세요.

힌트

\(A_{jk} = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\) 이므로, \(A_{11} = \langle e_1|\hat{A}|e_1\rangle\) 은 \(\hat{A}|e_1\rangle\) 의 제1성분, \(A_{21} = \langle e_2|\hat{A}|e_1\rangle\) 은 \(\hat{A}|e_1\rangle\) 의 제2성분이에요.

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B-6. 에르미트 켤레의 계산

행렬

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 - i \\ 3i & 4 + 2i \end{pmatrix}\]

의 에르미트 켤레 (Hermitian conjugate) \(A^\dagger\) 를 구하세요.

힌트

에르미트 켤레는 "전치하고 각 성분의 복소 켤레를 취하는" 연산이에요. \((A^\dagger)_{jk} = A_{kj}^*\) 를 사용해요.

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B-7. 교환자의 계산

다음 \(2 \times 2\) 행렬 \(A\), \(B\)의 교환자 \([A, B] = AB - BA\)를 계산하세요.

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
힌트

먼저 행렬의 곱 \(AB\)와 \(BA\)를 각각 계산하고, 차를 구해요. \(2 \times 2\) 행렬의 곱의 공식 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}\)을 사용해요.

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B-8. 선형독립 판정

\(\mathbb{C}^2\) 의 다음 두 벡터가 선형독립인지 판정하세요.

\[|v_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad |v_2\rangle = \begin{pmatrix} i \\ -1 \end{pmatrix}\]
힌트

\(c_1|v_1\rangle + c_2|v_2\rangle = \mathbf{0}\) 을 세우고, \(c_1 = c_2 = 0\) 만이 유일한 해인지 조사해요. 또는, 한쪽이 다른 쪽의 상수배가 되는지 확인해 봅시다. \(|v_2\rangle = \alpha |v_1\rangle\) 이 되는 \(\alpha\) 가 존재할까요?

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B-9. 전개 계수의 계산

정규직교기저 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) 에 대해, 벡터 \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 3 \\ i \end{pmatrix}\) 의 전개 계수 \(c_+ = \langle +|\psi\rangle\) 와 \(c_- = \langle -|\psi\rangle\) 를 구하세요.

힌트

정규직교기저에서는 전개 계수가 \(c_k = \langle e_k|\psi\rangle\) 로 구해져요 (식 (B.19)). \(\langle +| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\; 1)\) 임에 주의하세요 (이 기저는 실수 성분이므로 복소켤레는 불필요해요).

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B-10. 완전성 관계의 확인

D9의 기저 \(|+\rangle\), \(|-\rangle\)를 이용하여, \(|+\rangle\langle +| + |-\rangle\langle -|\)를 \(2 \times 2\) 행렬로 계산하고, 단위행렬 \(\hat{1}\)이 되는 것을 확인하세요.

힌트

\(|+\rangle\langle +|\)는 켓 \(|+\rangle\)(열벡터)과 브라 \(\langle +|\)(행벡터)의 곱으로, \(2\times 2\) 행렬이 돼요. \(|+\rangle\langle +| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}(1,\;1) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\) 이에요. 마찬가지로 \(|-\rangle\langle -|\)를 계산하여 더해 봅시다.

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Medium（표준）

M-1. 그람-슈미트 직교화법

\(\mathbb{C}^2\)에서 다음의 두 선형독립인 벡터가 주어져 있어요.

\[|v_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad |v_2\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

그람-슈미트 직교화법(식 (B.22)–(B.24))을 적용하여 정규직교기저 \(\{|e_1\rangle, |e_2\rangle\}\)를 구성하세요. 또한, 얻어진 \(|e_1\rangle\)과 \(|e_2\rangle\)가 실제로 정규직교임을(\(\langle e_1|e_2\rangle = 0\), \(\langle e_1|e_1\rangle = \langle e_2|e_2\rangle = 1\)) 확인하세요.

힌트

Step 1: \(|e_1\rangle = |v_1\rangle / \||v_1\rangle\|\)를 계산해요. \(\||v_1\rangle\| = \sqrt{|1|^2 + |i|^2} = \sqrt{2}\)예요.

Step 2: \(|w_2\rangle = |v_2\rangle - \langle e_1|v_2\rangle |e_1\rangle\)를 계산하고, 규격화해요. \(\langle e_1|v_2\rangle\)를 주의 깊게 계산하세요(첫 번째 인수의 성분에 복소켤레가 붙어요).

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M-2. 에르미트 행렬의 고유값이 실수임을 증명

\(\hat{A}\) 를 에르미트(Hermite) 행렬(\(\hat{A}^\dagger = \hat{A}\))이라 해요. \(\hat{A}\) 의 고유값 방정식

\[\hat{A}|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle \quad (|\lambda\rangle \neq \mathbf{0})\]

에서, 고유값 \(\lambda\) 가 반드시 실수임을 증명하세요.

힌트

고유값 방정식의 양변에 왼쪽에서 \(\langle\lambda|\) 를 곱하면 \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle = \lambda\langle\lambda|\lambda\rangle\) 을 얻어요. 다음으로, \(\hat{A}^\dagger = \hat{A}\) 와 내적의 에르미트성 \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle = \langle\hat{A}^\dagger\lambda|\lambda\rangle = \langle\hat{A}\lambda|\lambda\rangle\) 을 사용하여, \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle\) 이 실수임을 보여주세요.

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M-3. 에르미트 행렬의 서로 다른 고유값에 속하는 고유벡터는 직교한다

에르미트 행렬 \(\hat{A}\) 의 2개의 고유값 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) 에 속하는 고유벡터를 각각 \(|\lambda_1\rangle\), \(|\lambda_2\rangle\) 라 하자. \(\langle\lambda_1|\lambda_2\rangle = 0\) 임을 증명하세요.

힌트

\(\hat{A}|\lambda_2\rangle = \lambda_2|\lambda_2\rangle\) 의 양변에 왼쪽에서 \(\langle\lambda_1|\) 을 곱한 식과, \(\hat{A}|\lambda_1\rangle = \lambda_1|\lambda_1\rangle\) 의 에르미트 켤레를 취하여 오른쪽에서 \(|\lambda_2\rangle\) 를 곱한 식을 비교해요. \(\lambda_1, \lambda_2\) 가 실수라는 것(S2의 결과)을 사용해요.

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M-4. 교환자 항등식의 유도

임의의 선형 연산자 \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\)에 대해, 다음 항등식(Jacobi (야코비) 항등식)을 증명하세요.

\[[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] + [\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] + [\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]] = 0\]
힌트

교환자의 정의 \([\hat{X}, \hat{Y}] = \hat{X}\hat{Y} - \hat{Y}\hat{X}\)를 사용하여, 좌변의 각 항을 전개해요. \([\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] = \hat{A}\hat{B}\hat{C} - \hat{A}\hat{C}\hat{B} - \hat{B}\hat{C}\hat{A} + \hat{C}\hat{B}\hat{A}\)와 같이 4개의 항씩 나오므로, 전체 12개의 항을 모두 써서 상쇄됨을 확인해 보세요.

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M-5. Schwarz 부등식의 증명

내적 공간의 임의의 벡터 \(|\psi\rangle\), \(|\phi\rangle\)에 대해, Schwarz (슈바르츠) 부등식

\[|\langle\phi|\psi\rangle|^2 \leq \langle\phi|\phi\rangle \cdot \langle\psi|\psi\rangle\]

을 증명하세요. 또한, 등호가 성립하는 조건을 서술하세요.

힌트

임의의 복소수 \(t\)에 대해 \(|w\rangle = |\psi\rangle - t|\phi\rangle\)로 놓고, \(\langle w|w\rangle \geq 0\)을 이용해요. \(t = \langle\phi|\psi\rangle / \langle\phi|\phi\rangle\)로 선택하면 부등식이 유도돼요(\(|\phi\rangle = \mathbf{0}\)인 경우는 자명해요).

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Advanced（발전）

A-1. 유니타리 행렬에 의한 기저 변환과 행렬 표현의 변환 법칙

\(N\) 차원 내적 공간에서, 2개의 정규직교기저 \(\{|e_k\rangle\}_{k=1}^N\) 와 \(\{|f_k\rangle\}_{k=1}^N\) 가 주어져 있어요. 기저 변환 행렬 \(U\)를 \(U_{jk} = \langle e_j|f_k\rangle\)로 정의해요.

(a) \(U\)가 유니타리 행렬(\(U^\dagger U = UU^\dagger = \hat{1}\))임을, 완전성 관계를 이용하여 증명하세요.

(b) 연산자 \(\hat{A}\)의 기저 \(\{|e_k\rangle\}\)에서의 행렬 표현을 \(A^{(e)}\), 기저 \(\{|f_k\rangle\}\)에서의 행렬 표현을 \(A^{(f)}\)라 할 때,

\[A^{(e)} = U\, A^{(f)}\, U^\dagger\]

가 성립함을 보이세요.

(c) 이 결과를 이용하여, "연산자의 대각합 \(\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_k A_{kk}\)는 기저의 선택에 의존하지 않는다"는 것을 증명하세요.

힌트

(a) \((U^\dagger U)_{jk} = \sum_l U_{lj}^* U_{lk} = \sum_l \langle f_j|e_l\rangle\langle e_l|f_k\rangle\)를 계산하고, \(\{|e_l\rangle\}\)에 관한 완전성 관계를 삽입해요.

(b) \(A^{(e)}_{jk} = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\)에 \(\hat{1} = \sum_l |f_l\rangle\langle f_l|\)을 \(\hat{A}\)의 좌우에 삽입해요.

(c) 대각합의 순환성 \(\mathrm{Tr}(XYZ) = \mathrm{Tr}(ZXY)\)를 사용하거나, 직접 \(\sum_k (UAU^\dagger)_{kk}\)를 계산해요.

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A-2. 텐서곱 공간과 Bell 기저의 구성

2개의 \(\mathbb{C}^2\) 공간의 텐서곱 \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\)를 생각해요. 각 공간의 표준 기저를 \(\{|0\rangle, |1\rangle\}\)로 하고, 텐서곱 공간의 표준 기저를 \(\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}\) (여기서 \(|jk\rangle \equiv |j\rangle \otimes |k\rangle\))로 해요.

(a) 다음 4개의 벡터(Bell(벨) 기저)가 \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\)의 정규직교기저를 이루는 것을 보이세요.

\[|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\]
\[|\Phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle)\]
\[|\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle + |10\rangle)\]
\[|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)\]

(b) \(|\Phi^+\rangle\)가 "분리 불가능(얽힘, entangled)"임을 보이세요. 즉, \(|\Phi^+\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle\)로 쓸 수 있는 \(|a\rangle \in \mathbb{C}^2\), \(|b\rangle \in \mathbb{C}^2\)가 존재하지 않음을 귀류법으로 증명하세요.

(c) 표준 기저로 쓰인 임의의 상태 \(|\psi\rangle = \alpha|00\rangle + \beta|01\rangle + \gamma|10\rangle + \delta|11\rangle\) (\(|\alpha|^2 + |\beta|^2 + |\gamma|^2 + |\delta|^2 = 1\))를 Bell 기저로 전개하세요. 즉, 전개 계수를 \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)로 나타내세요.

힌트

(a) 텐서곱 공간의 내적은 \(\langle jk|lm\rangle = \delta_{jl}\delta_{km}\)이에요. 6가지 내적 조합 \(\langle\Phi^+|\Phi^-\rangle\), \(\langle\Phi^+|\Psi^+\rangle\), ... 를 모두 계산하여 0이 되는 것과, 각 벡터의 노름이 1인 것을 확인해요. 4차원 공간에서 4개의 정규직교 벡터가 있으면 기저가 돼요.

(b) \(|a\rangle = a_0|0\rangle + a_1|1\rangle\), \(|b\rangle = b_0|0\rangle + b_1|1\rangle\)로 놓고 \(|a\rangle\otimes|b\rangle\)를 전개하여 \(|\Phi^+\rangle\)의 계수와 비교해요. \(a_0 b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(a_0 b_1 = 0\), \(a_1 b_0 = 0\), \(a_1 b_1 = 1/\sqrt{2}\)로부터 모순을 이끌어내요.

(c) 완전성 관계 \(\hat{1} = |\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| + |\Phi^-\rangle\langle\Phi^-| + |\Psi^+\rangle\langle\Psi^+| + |\Psi^-\rangle\langle\Psi^-|\)를 사용하여 각 전개 계수를 내적으로 구해요.

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