제5장　스핀 1/2과 Stern-Gerlach — Hilbert 공간의 싹틈¶

← 제4장 확률진폭의 규칙 — 파인만의 3법칙 제6장 2상태계의 시간발전 — 암모니아 메이저와 양자… →

지금까지의 이야기:

제 4 장에서는 Feynman (파인만)의 3가지 법칙으로 확률진폭의 규칙을 도입했어요. 양자역학의 확률이 "진폭의 절댓값의 제곱"으로 주어진다는 것, 진폭은 복소수라는 것, 그리고 중간 상태를 거칠 때 진폭을 "곱한 다음 더한다"는 것을 배웠어요. 이번에는 이 규칙을 구체적인 물리계——스핀 1/2 입자의 Stern-Gerlach 실험——에 적용하여, 양자역학의 수학적 구조의 입구를 열어요.

이 장의 목표

Stern-Gerlach 실험을 통해 "스핀"의 이산성을 확인하고, 상태벡터 \(|\pm\rangle\)와 기저의 개념을 도입한다
다른 방향의 측정에서 상태가 바뀌는 것을 진폭의 언어로 기술하고, 2차원 복소 벡터공간(Hilbert 공간의 싹틈)의 구조를 체감한다

5.1　Stern-Gerlach 실험——빔이 2개로 갈라지다¶

🟡 리나: 자, 지난 장에서 확률진폭의 규칙을 손에 넣었지. 오늘은 그 규칙이 실제로 어떻게 쓰이는지를, 역사적으로 유명한 실험으로 살펴볼 거야. 1922년에 Otto Stern (슈테른)과 Walther Gerlach (게를라흐)가 수행한 실험이야.

🔵 카이: 어떤 실험인가요?

🟡 리나: 실험 장치는 단순해. 고온의 노(爐)에서 은 원자 빔을 방출해서, 불균일한 자기장——즉, 장소에 따라 세기가 변하는 자기장——속을 통과시켜. 그리고 자기장을 빠져나온 뒤, 원자가 스크린의 어디에 도달하는지를 관측하는 거야.

⚪ 메이: 불균일한 자기장을 쓰는 이유는?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 자석을 가지고 균일한 자기장에 놓으면, 자석은 회전하지만 이동하지는 않아. 자석을 이동시키려면, 자기장의 세기가 장소에 따라 변하는——즉 기울기가 있는——상태여야 해. 은 원자는 작은 자석처럼 행동하니까, 불균일 자기장 속에서 힘을 받아 휘어지는 거야.

🔵 카이: 그렇군요. 그러면 고전물리학에서는 어떤 결과를 예측하나요?

🟡 리나: 고전물리학에서는, 노에서 나오는 은 원자의 "자석 방향"이 무작위로 모든 방향을 향하고 있을 거라고 봐. 자기장 방향과 같은 방향의 원자는 위로 휘고, 반대 방향의 원자는 아래로 휘고, 중간 각도의 원자는 중간 정도의 힘을 받아. 그러니까——

🔵 카이: 스크린 위에 띠 모양의 연속적인 패턴이 나타나나요?

🟡 리나: 맞아, 고전적 예측은 그래. 그런데 실제 결과는——

🔵 카이: 달랐나요!?

🟡 리나: 빔이 정확히 2개의 점으로 갈라졌어. 위와 아래에 하나씩. 중간에는 아무것도 나타나지 않아. 그림 5.1「Stern-Gerlach 실험의 장치」를 봐——옅은 회색으로 그린 것이 고전적 예측의 연속 띠이고, 실제로 관측된 것은 2개의 짙은 점이야.

그림 5.1: Stern-Gerlach 실험의 장치. 노에서 나온 은 원자 빔이 불균일 자기장을 통과하면, 스크린 위의 2개 점으로 분리된다. 고전물리학에서 예측되는 연속 띠(옅은 회색)가 아니라, 이산적인 2개의 점(\(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\))에 집중된다.

🔵 카이: 에?……연속적이 아니라 2개뿐이요?

🟡 리나: 그래. 이것이 공간 양자화 (spatial quantization)라고 불리는 현상이야. 은 원자가 자기장 방향으로 가지는 "무언가"가, 연속적인 값이 아니라 이산적인——불연속적인——2개의 값만 취할 수 있다는 것을 보여주는 거야.

⚪ 메이: 즉, "모든 각도를 향할 수 있는" 게 아니라, "위 아니면 아래"의 2가지 선택밖에 없다는 거네.

🟡 리나: 정확히 말하면, 자기장 방향(\(z\) 방향이라 하자)의 성분이 2개의 값만 취할 수 있어. 그 값은:

\[S_z = +\frac{\hbar}{2} \quad \text{또는} \quad S_z = -\frac{\hbar}{2} \tag{5.1}\]

여기서 \(\hbar\)(에이치바)는 제 1 장에서 나왔던 환산 Planck (플랑크) 상수——\(\hbar = h/(2\pi) \approx 1.055 \times 10^{-34}\) J·s야.

🔵 카이: \(S_z\)가 뭔가요?

🟡 리나: 이것이 오늘의 메인 테마야. 스핀 각운동량의 \(z\) 성분이야. 다음 섹션에서 자세히 설명할게.

✅ 이해도 체크: Stern-Gerlach 실험에서 빔이 2개로 갈라지는 것을 "공간 양자화"라고 부르는데, 이것은 은 원자의 어떤 성질을 보여주는 것일까요?

답

은 원자가 자기장 방향으로 가지는 스핀 각운동량의 성분 \(S_z\)가 연속적인 값이 아니라 \(+\hbar/2\)와 \(-\hbar/2\)라는 이산적인 2개의 값만 취할 수 있다는 것을 보여준다.

✅ 이해도 체크: Stern-Gerlach 실험에서, 고전물리학의 예측과 실제 결과는 어떻게 달랐을까요?

답

고전물리학에서는 스크린 위에 연속적인 띠 모양 패턴이 예측되었지만, 실제로는 빔이 정확히 2개의 이산적인 점으로 갈라졌다. 이것은 은 원자의 자기적 성질이 연속값이 아니라 이산값만 취할 수 있다는 것을 보여준다.

📝 연습문제:

Stern-Gerlach 실험의 고전적 예측을 정성적으로 그리고, 양자역학적 결과와의 차이를 설명하라 → 문제 A-2. 「어떤 경로를 지나갔는가」와 간섭의 소멸

5.2　스핀이란 무엇인가——고전적 "자전"이 아닌 내재적 성질¶

🔵 카이: 아까 "스핀 각운동량"이라고 했는데, 이건 전자가 자전하고 있다는 뜻인가요? 지구가 자전하는 것처럼요.

🟡 리나: 아주 좋은 질문이야. 답은 "아니오"야. 이름은 "스핀 (spin)"——영어로 "회전"——이지만, 고전적인 자전과는 완전히 다른 것이야.

🔵 카이: 그러면 뭔가요?

🟡 리나: 스핀은 입자가 태어날 때부터 가지고 있는 내재적 각운동량이야. 궤도를 돌면서 생기는 각운동량(궤도 각운동량)과는 달리, 입자가 정지해 있어도 존재해. 고전물리학에는 대응물이 없는, 순수하게 양자역학적인 성질이야.

⚪ 메이: "대응물이 없다"는 것은, 고전적 이미지로 이해하려 해도 불가능하다는 뜻?

🟡 리나: 그래. 전자를 "회전하는 작은 공"이라고 생각하고 싶겠지만, 전자는 점입자로 취급하는 모델이 가장 잘 맞아. 점이 "자전한다"는 것은 의미가 없잖아? 스핀은 실험으로 측정되는 물리량으로서 존재하지만, 고전적인 그림을 그릴 수는 없어.

🔵 카이: 음, 그러면 어떻게 이해하면 되나요?

🟡 리나: 수학적 구조와 실험 결과로 이해하는 거야. 스핀의 성질을 나열해 볼게. 표 5.1「스핀과 고전적 각운동량의 비교」에 고전적 각운동량과의 차이도 정리해 놓을게.

표 5.1: 스핀과 고전적 각운동량의 비교

성질	고전적 각운동량(궤도)	스핀 각운동량
기원	물체의 회전·공전 운동	입자가 내재적으로 가짐(운동에 의존하지 않음)
측정값	연속적인 임의의 값	이산적(\(\pm\hbar/2\)만)
크기의 변경	회전을 빠르게/느리게 하면 변함	입자의 종류로 고정, 변경 불가능
고전적 이미지	회전하는 물체(지구의 자전 등)	대응하는 이미지 없음

🟡 리나: 구체적으로 스핀의 성질을 들자면:

내재적——입자의 종류마다 정해져 있고, 바꿀 수 없다
이산적——측정값은 불연속적인 값만 취할 수 있다
스핀 양자수 \(s\)로 특징지어진다. 전자·양성자·중성자는 \(s = 1/2\)

🟡 리나: 스핀 양자수가 \(s\)인 입자를 자기장 방향으로 측정하면, \(S_z\)가 취할 수 있는 값은 \(-s\hbar\)에서 \(+s\hbar\)까지 \(\hbar\) 간격으로 나열돼——총 \((2s+1)\)개야. \(s = 1/2\)이면 \(-\hbar/2\)와 \(+\hbar/2\)의 \(2 \times 1/2 + 1 = 2\)개——그래서 Stern-Gerlach 실험에서 빔이 2개로 갈라진 거야.

⚪ 메이: 그렇구나. 은 원자의 최외각 전자가 \(s = 1/2\)이니까, \(S_z\)의 값이 \(+\hbar/2\)와 \(-\hbar/2\)의 2개뿐이고, 빔이 2갈래가 되는 거네. ……그런데 은 원자에는 전자가 많은데, 왜 하나만 효과를 내는 거야?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 은 원자는 전자를 47개 가지고 있지만, 안쪽의 46개는 쌍을 이루어 스핀이 상쇄돼. 남은 최외각 1개만이 스핀을 "드러내는" 거야. 그래서 원자 전체로서 스핀 1/2처럼 행동하는 거지. 참고로, 1925년에 Uhlenbeck (울렌벡)과 Goudsmit (하우트스밋)이 이 "전자의 스핀"이라는 개념을 제안했어. Stern-Gerlach 실험의 3년 후야.

🔵 카이: 잠깐만요. 스핀 1인 입자라면 3갈래로 갈라지나요?

🟡 리나: 맞아! \(s = 1\)이면 \(2 \times 1 + 1 = 3\)개의 값을 취해——\(S_z = +\hbar, 0, -\hbar\)——그래서 빔이 3갈래로 갈라져. Feynman의 교과서에서는 스핀 1의 예부터 시작하지만, 여기서는 스핀 1/2을 다룰 거야. 왜냐하면, 전자라는 가장 기본적인 입자가 스핀 1/2이고, 게다가 상태가 2개뿐이라 수학이 가장 간단해지거든.

✅ 이해도 체크: 스핀 양자수 \(s\)인 입자를 자기장 방향으로 측정했을 때, \(S_z\)가 취할 수 있는 값의 개수는 몇 개일까요? \(s = 1/2\)과 \(s = 1\)의 경우를 각각 답해 보세요.

답

취할 수 있는 값의 개수는 \(2s+1\)개. \(s = 1/2\)이면 \(2 \times 1/2 + 1 = 2\)개(\(\pm\hbar/2\)), \(s = 1\)이면 \(2 \times 1 + 1 = 3\)개(\(+\hbar, 0, -\hbar\)).

✅ 이해도 체크: 스핀이 고전적인 "자전"과 다른 점을 2가지 들어 보세요.

답

(1) 스핀은 입자가 정지해 있어도 존재하는 내재적 성질이며, 궤도 운동에서 유래하지 않는다. (2) 측정값이 연속이 아니라 이산적(\(\pm\hbar/2\)만)이며, 고전적인 회전체처럼 임의의 각운동량을 취할 수 없다.

5.3　상태벡터와 켓 표기법의 도입¶

🟡 리나: 자, 여기서부터가 본론이야. Stern-Gerlach 실험의 결과를 제 4 장에서 배운 확률진폭의 언어로 기술해 나갈 거야. 그러기 위해 상태벡터라는 개념과 그것을 표기하는 기법을 도입할게.

🔵 카이: 상태벡터요?

🟡 리나: 양자역학에서는 입자의 "상태"를 벡터로 나타내. 고등학교에서 배운 벡터는 화살표——크기와 방향을 가진 양——이었잖아. 양자역학의 상태벡터도 비슷한 "방향"을 가지지만, 살고 있는 공간이 달라. 실수의 2차원이나 3차원이 아니라, 복소수의 공간에 살고 있어. 구체적으로는 성분이 복소수인 벡터를 세로로 나열한 것——예를 들어

\[\begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix}\]

같은 것——으로 표현할 수 있어. 이런 "성분을 세로로 나열한 벡터"를 열벡터 (column vector)라고 불러. 고등학교에서는 성분을 가로로 \((a, b)\)라고 쓰는 경우가 많았지만, 양자역학에서는 세로로 나열하는 표기를 사용해. 반대로 성분을 가로로 나열한 것——\((c_+^*,\; c_-^*)\) 같은 형태——을 행벡터 (row vector)라고 불러. 이 구별이 중요해지는 이유는 「요점 1: 상태는 벡터」에서 알게 될 거야.

🟡 리나: 이 상태벡터를 쓰기 위해, Dirac (디랙)이 고안한 표기법을 사용할 거야. 상태를 나타내는 벡터를

\[|\alpha\rangle\]

라고 쓰고, 켓 (ket)이라고 불러. 세로 막대와 꺾쇠괄호로 감싸는 표기법으로, \(\alpha\) 부분에는 상태를 구별하기 위한 라벨——이름 같은 것——을 넣어.

🔵 카이: 왜 "켓"이라고 하나요?

🟡 리나: 영어의 bracket(괄호)을 bra와 ket으로 나눈 거야. "브라"는 이 장의 바로 뒤 섹션에서 나와. 지금은 켓만 기억해.

🟡 리나: Stern-Gerlach 실험에서 \(S_z = +\hbar/2\)로 측정된 상태를 \(|+\rangle\), \(S_z = -\hbar/2\)로 측정된 상태를 \(|-\rangle\)라고 쓸 거야. 이것이 스핀 1/2 계의 2개의 기본 상태야.

\[|+\rangle \quad : \quad S_z = +\frac{\hbar}{2} \text{ 의 상태(스핀 위 방향)} \tag{5.2}\]

\[|-\rangle \quad : \quad S_z = -\frac{\hbar}{2} \text{ 의 상태(스핀 아래 방향)} \tag{5.3}\]

⚪ 메이: \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)은 Stern-Gerlach 장치에서 위로 휜 빔과 아래로 휜 빔에 대응하는 거네.

🟡 리나: 맞아. 그리고 양자역학의 핵심은——일반적인 상태는, 이 2개의 기본 상태를 복소수 계수를 붙여 더한 형태로 쓸 수 있다는 거야:

\[|\psi\rangle = c_+ |+\rangle + c_- |-\rangle \tag{5.4}\]

이런 합성을 중첩 (superposition)이라고 불러.

🔵 카이: 상태를 "더한다"는 게 무슨 뜻이에요? 왜 그런 것이 허용되나요?

🟡 리나: 그건 실험이 그것을 요구하기 때문이야. 예를 들어, Stern-Gerlach 장치의 자기장을 \(z\) 방향이 아니라 \(x\) 방향으로 향하게 할 수도 있어. 그렇게 하면 "\(x\) 방향으로 스핀 위 방향"이라는 상태——이것을 \(|+\rangle_x\)라고 쓸게——가 선별돼. 이 \(|+\rangle_x\)인 입자를 다시 \(z\) 방향 장치에 통과시키면, 위와 아래가 반반으로 나와.

🔵 카이: 반반이요? \(|+\rangle\)이면 100% 위로 가고, \(|-\rangle\)이면 100% 아래로 가야 하는 거 아닌가요?

🟡 리나: 그래. 즉 \(|+\rangle_x\)는 "\(|+\rangle\)도 \(|-\rangle\)도 아닌 제3의 상태"인 거야. 이 제3의 상태를 2차원의 틀 안에서 표현하려면, \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)을 복소수 계수로 "더하는" 수밖에 없어——마치 평면 위의 비스듬한 화살표를 \(x\) 성분과 \(y\) 성분으로 분해하는 것처럼. (구체적인 형태와 계산은 5.5「다른 방향의 측정——기저의 변환과 확률진폭」에서 할 거야. 지금은 "그런 상태가 있다"고만 생각해.) 왜 "합성"이 수학적으로 허용되는지는, 후속 장에서 양자역학의 기본 방정식(Schrödinger 방정식)이 선형이라는 것으로부터 이해할 수 있어. "선형"이란, 어떤 상태가 방정식의 해라면 그 상수배나 두 해의 합도 역시 해가 된다는 성질——그래서 중첩된 상태도 물리적으로 허용되는 상태가 되는 거야. 하지만 지금은 "실험이 그것을 요구한다"는 사실을 출발점으로 삼아 나아갈게.

⚪ 메이: 즉, 중첩은 "수학적으로 허용된다"는 것만이 아니라 "실험적으로 필요하다"는 것이네.

여기서 \(c_+\)와 \(c_-\)는 복소수 계수야. 제 4 장의 언어로 말하면, \(c_+\)는 "상태 \(|\psi\rangle\)가 \(|+\rangle\)으로 발견될 확률진폭", \(c_-\)는 "상태 \(|\psi\rangle\)가 \(|-\rangle\)으로 발견될 확률진폭"이야.

🔵 카이: 확률진폭! 이전 장에서 나온 거죠. 그러면 \(|c_+|^2\)이 \(S_z = +\hbar/2\)를 얻을 확률이고, \(|c_-|^2\)이 \(S_z = -\hbar/2\)를 얻을 확률인가요?

🟡 리나: 완벽해. 그리고 확률의 합은 1이니까:

\[|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1 \tag{5.5}\]

이것을 규격화 조건 (normalization condition)이라고 불러.

⚪ 메이: 즉, 식 (5.4)는 "스핀의 상태는 \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)의 복소수 가중 합성으로 나타낼 수 있다"는 거네. 그리고 가중치의 절댓값의 제곱이 측정 확률을 준다.

🔵 카이: 중첩이 필요하다는 건 알겠는데, "상태를 더한다"는 게 구체적으로 무엇을 하는 건지 아직 감이 안 와요. 보통 벡터라면 "힘의 합성" 같은 물리적 의미가 확실한데……

🟡 리나: 그 감각은 맞아. 추상적으로 느껴지는 게 당연해. 5.5「다른 방향의 측정——기저의 변환과 확률진폭」에서 \(x\) 방향의 측정을 구체적으로 계산할 때, "중첩이 없으면 실험 결과를 설명할 수 없다"는 것을 실감할 수 있을 거야. 구체적 예를 본 후에 와닿는 유형의 개념이니까, 지금은 앞으로 나아가자.

✅ 이해도 체크: 규격화 조건 \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\)은 물리적으로 무엇을 의미할까요?

답

\(S_z\)를 측정했을 때, \(+\hbar/2\)를 얻을 확률과 \(-\hbar/2\)를 얻을 확률의 합이 1(즉 100%)이라는 것, 다시 말해 측정 결과는 반드시 둘 중 하나가 된다는 것을 의미한다.

✅ 이해도 체크: 상태 \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|-\rangle\)에 대해, \(S_z\)를 측정했을 때 \(+\hbar/2\)를 얻을 확률은 얼마일까요?

답

\(|c_+|^2 = |1/\sqrt{3}|^2 = 1/3\).

📝 연습문제:

상태 \(|\psi\rangle = \frac{1+i}{2}|+\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|-\rangle\)가 규격화되어 있음을 확인하고, \(S_z\)의 각 측정값을 얻을 확률을 구하라 → 문제 B-1. 규격화 조건의 확인

5.4　기저·정규직교성·완전성——2차원의 상태공간¶

🟡 리나: 식 (5.4)를 좀 더 깊이 이해하기 위해, \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)이 어떤 성질을 가지는지 정리할게.

정규직교성¶

🟡 리나: 먼저 2개의 기본 상태 사이의 "겹침"을 생각하고 싶어. 그러기 위해 내적 (inner product)을 도입할게. 켓 \(|\alpha\rangle\)에 대응하는 브라 (bra)를 \(\langle\alpha|\)라고 쓰고, 브라와 켓을 조합한

\[\langle\beta|\alpha\rangle\]

를 내적이라고 불러. 이것은 일반적으로 복소수 값을 취해. 고등학교 벡터의 내적 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)가 "두 벡터의 가까운 정도"를 재는 양이었던 것처럼, \(\langle\beta|\alpha\rangle\)은 "상태 \(|\alpha\rangle\)과 상태 \(|\beta\rangle\)의 가까운 정도"를 재는 양이야. 구체적인 계산 방법(열벡터의 성분을 사용해서 어떻게 계산하는지)은 「요점 1: 상태는 벡터」에서 보여줄 테니, 지금은 "정규직교성"이라는 성질을 사용해서 진행할게.

🔵 카이: 브라켓……bracket의 앞부분이 bra이고 뒷부분이 ket이군요!

🟡 리나: 맞아, Dirac의 말장난이야. 자, \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)은 다음 성질을 만족해:

\[\langle +|+\rangle = 1, \quad \langle -|-\rangle = 1 \tag{5.6}\]

\[\langle +|-\rangle = 0, \quad \langle -|+\rangle = 0 \tag{5.7}\]

🔵 카이: 자기 자신과의 내적이 1이고, 다른 상태와의 내적이 0인 거예요?

🟡 리나: 맞아. 식 (5.6)은 규격화 (normalization)——각 기본 상태의 "길이"가 1이라는 것. 식 (5.7)은 직교성 (orthogonality)——2개의 기본 상태가 "수직"이라는 것. 합쳐서 정규직교 (orthonormal)라고 해.

⚪ 메이: 고등학교 수학에서, \(xy\) 평면의 단위벡터 \(\hat{\mathbf{e}}_x\)와 \(\hat{\mathbf{e}}_y\)가 \(\hat{\mathbf{e}}_x \cdot \hat{\mathbf{e}}_x = 1\), \(\hat{\mathbf{e}}_x \cdot \hat{\mathbf{e}}_y = 0\)을 만족하는 것과 같은 구조네.

🟡 리나: 바로 그래. \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)은 "양자역학판 직교좌표축"이라고 생각해도 돼. 다만 공간은 실수 2차원이 아니라 복소수 2차원——즉 계수에 복소수를 쓸 수 있다——는 차이가 있어.

🟡 리나: 식 (5.6)과 (5.7)을 모아서, Kronecker (크로네커) 델타 \(\delta_{ij}\)를 써서 쓰면:

\[\langle i|j\rangle = \delta_{ij} \quad (i, j = +, -) \tag{5.8}\]

여기서 \(\delta_{ij}\)는 \(i = j\)일 때 1, \(i \neq j\)일 때 0이야.

완전성 관계¶

🟡 리나: 자, 완전성 관계를 쓰기 위해, \(|+\rangle\langle+|\)라는 기호의 의미를 설명할게.

🔵 카이: \(|+\rangle\langle+|\)요? 켓과 브라가 반대로 나란히 있네요………

🟡 리나: 좋은 데 눈치챘네. 아까의 내적 \(\langle\beta|\alpha\rangle\)은 "브라 × 켓" 순서로, 결과는 복소수(그냥 수)였어. 이번의 \(|+\rangle\langle+|\)은 "켓 × 브라" 순서——이것은 수가 아니라, 상태벡터에 "작용시키는" 것——입력으로 상태벡터를 받아서 다른 상태벡터를 돌려주는 "연산"——이 되는 거야. 함수에 수를 넣으면 다른 수가 나오듯이, 이 "연산"에 벡터를 넣으면 다른 벡터가 나온다고 생각하면 돼.

🟡 리나: 구체적으로 계산해 보자. \(|\psi\rangle = c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\)에 대해, 먼저 \(\langle+|\psi\rangle\)를 계산할게. 여기서 내적의 중요한 성질을 사용해——선형성이야. 고등학교 벡터에서 \(\vec{a} \cdot (c_1 \vec{b}_1 + c_2 \vec{b}_2) = c_1 (\vec{a} \cdot \vec{b}_1) + c_2 (\vec{a} \cdot \vec{b}_2)\)처럼 분배법칙으로 전개할 수 있었잖아? 양자역학의 내적도 똑같이 전개할 수 있어. 즉, 브라 \(\langle+|\)를 켓의 합 \(c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\)에 작용시킬 때, 각 항에 분배해서 계산할 수 있어:

식 (5.6)과 (5.7)의 정규직교성을 사용했어. 이것을 바탕으로:

즉, 상태 \(|\psi\rangle\)에서 \(|+\rangle\) 성분만을 꺼내는 연산——사영 (projection)이야. \(|+\rangle\langle+|\)처럼 "켓 × 브라" 형태로 만들어지는 것을 외적 (outer product)이라고 불러.

🔵 카이: 외적이라면, 고등학교에서 배운 "벡터곱"——\(\vec{a} \times \vec{b}\)로 수직인 벡터가 나오는 것——과는 다른 건가요?

🟡 리나: 완전히 다른 거야. 이름이 같아서 헷갈리지만, 여기서의 "외적"은 "켓과 브라를 나란히 놓아 연산자를 만드는 조작"이라는 뜻이야. 벡터곱과는 아무 관계도 없으니 혼동하지 마.

🔵 카이: 그렇군요, 상태벡터를 넣으면 다른 상태벡터가 나오는 "연산"인 거네요.

🟡 리나: 맞아. 이런 "상태벡터에 작용해서 다른 상태벡터를 돌려주는 연산"을 일반적으로 연산자 (operator)라고 불러.

🔵 카이: \(c_+|+\rangle + c_-|-\rangle\)……원래의 \(|\psi\rangle\)로 돌아오네요!

🟡 리나: 맞아! 즉, \(|+\rangle\langle+|\)는 "\(|+\rangle\) 방향으로의 사영", \(|-\rangle\langle-|\)는 "\(|-\rangle\) 방향으로의 사영". 이 2개를 합하면, 어떤 상태든 그대로 돌려주는 연산——항등 연산자 \(\mathbf{1}\)——이 돼:

\[|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1} \tag{5.9}\]

🟡 리나: 맞아. 이것은 "\(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)의 2개로 상태공간의 전부를 다하고 있다"는 것의 수학적 표현이야. 스핀 1/2 계에서는 상태공간이 2차원이야. 이 이상의 기본 상태는 필요 없어.

🔵 카이: 2차원이라면, 평면 같은 건가요?

🟡 리나: "복소 2차원"이니까, 실수로 세면 4개의 자유도가 있어(\(c_+\)와 \(c_-\)가 각각 실수부와 허수부를 가지니까). 하지만 규격화 조건으로 1개 줄고, 게다가 "전체에 같은 위상 \(e^{i\theta}\)(제 4 장에서 나왔던, 절댓값이 항상 1인 복소수. \(\theta\)는 실수 각도 매개변수로, \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)로 쓸 수 있어)를 곱해도 물리적으로 구별할 수 없다"는 자유도로 1개 더 줄어——결과적으로 물리적으로 독립인 매개변수는 2개. 구면 위의 한 점으로 상태를 지정할 수 있어——이것은 이후 장에서 "Bloch (블로흐) 구"로 등장할 거야. 지금은 세밀한 계수는 신경 쓰지 않아도 돼——중요한 것은 "\(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)의 2개로 전부 쓸 수 있다"는 거야.

🔵 카이: "자유도가 4 → 3 → 2로 줄어든다"는 건 알겠는데, "규격화 조건으로 1개 줄어든다"는 게 구체적으로 어떤 뜻이에요?

🟡 리나: \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\)이라는 조건이 있으니까, \(c_+\)와 \(c_-\)의 4개 실수 매개변수 중 1개는 나머지 3개로부터 결정돼——독립인 것은 3개뿐이라는 거야. 예를 들어 \(|c_-|\)는 \(|c_+|\)가 정해지면 \(\sqrt{1 - |c_+|^2}\)로 자동으로 결정되잖아?

🔵 카이: "전체에 위상을 곱해도 구별할 수 없다"는 건 무슨 뜻이에요?

🟡 리나: 확률은 \(|c_+|^2\)이나 \(|c_-|^2\)로 계산하잖아? 만약 \(c_+\)와 \(c_-\) 둘 다에 같은 \(e^{i\theta}\)를 곱해도, \(|e^{i\theta} c_+|^2 = |e^{i\theta}|^2 |c_+|^2 = 1 \cdot |c_+|^2 = |c_+|^2\)이니까 확률이 변하지 않아(\(|e^{i\theta}| = 1\)은 제 4 장에서 확인했지). 즉 전체 위상은 측정 결과에 전혀 영향을 미치지 않아. 그래서 물리적으로 같은 상태로 간주하는 거야. 자세한 것은 이후 장에서 다시 다룰게.

내적의 물리적 의미¶

🟡 리나: 완전성 관계를 사용하면, 식 (5.4)의 계수 \(c_+\), \(c_-\)의 의미가 명확해져. 식 (5.9)를 \(|\psi\rangle\)에 왼쪽에서 작용시키면:

비교하면:

\[c_+ = \langle+|\psi\rangle, \quad c_- = \langle-|\psi\rangle \tag{5.10}\]

⚪ 메이: 즉, 계수 \(c_+\)는 "상태 \(|\psi\rangle\)과 기본 상태 \(|+\rangle\)의 내적" 그 자체네. 이것이 제 4 장에서 배운 확률진폭 \(\langle+|\psi\rangle\)과 일치하는 거야.

✅ 이해도 체크: 외적 \(|+\rangle\langle+|\)를 상태 \(|\psi\rangle\)에 작용시키면 무엇이 얻어질까요? 이 연산을 무엇이라고 부를까요?

답

✅ 이해도 체크: 완전성 관계 \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1}\)의 물리적 의미를 한 문장으로 서술해 보세요.

답

스핀 1/2 계의 임의의 상태는 \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)의 중첩으로 완전히 기술할 수 있으며, 이 2개의 기본 상태로 상태공간이 모두 채워진다는 것을 의미한다.

📝 연습문제:

완전성 관계를 이용하여, 임의의 규격화된 상태 \(|\psi\rangle\)에 대해 \(|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = 1\)을 보이라 → 문제 M-1. 완전성 관계로부터 규격화 조건을 유도하기

5.5　다른 방향의 측정——기저의 변환과 확률진폭¶

🟡 리나: 여기까지는 \(z\) 방향의 Stern-Gerlach 장치만 생각해 왔지. 하지만 장치를 회전시켜서, \(x\) 방향이나 \(y\) 방향으로 자기장을 향하게 할 수도 있어. 이때 무슨 일이 일어나는가——여기가 양자역학의 핵심에 닿는 부분이야.

\(x\) 방향의 고유상태¶

🟡 리나: \(x\) 방향으로 자기장을 향한 Stern-Gerlach 장치에 통과시키면, 역시 빔이 2개로 갈라져. \(S_x = +\hbar/2\)인 상태와 \(S_x = -\hbar/2\)인 상태. 이것들을 \(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)라고 쓸게.

🔵 카이: \(|+\rangle\)과는 다른 건가요?

🟡 리나: 달라. \(|+\rangle\)은 "\(z\) 방향으로 측정해서 위"인 상태. \(|+\rangle_x\)는 "\(x\) 방향으로 측정해서 위"인 상태. 다른 방향의 측정에 대응하는 다른 상태야.

🟡 리나: 여기서 중요한 질문. \(|+\rangle_x\)를 \(z\) 방향의 기저 \(|+\rangle\), \(|-\rangle\)로 쓰면 어떻게 될까? 힌트: \(x\) 방향과 \(z\) 방향은 공간적으로 대등해——어느 쪽이 "특별"하다는 건 없어.

🔵 카이: "대등하다"는 게 구체적으로 어떤 뜻이에요?

🟡 리나: 물리 법칙은 공간의 방향에 의존하지 않아——장치 전체를 90° 회전시켜도 같은 실험 결과가 나와야 한다는 거야. 그래서 "\(x\) 방향으로 스핀 위 방향인 입자를 \(z\) 방향으로 측정하는 것"과 "\(z\) 방향으로 스핀 위 방향인 입자를 \(x\) 방향으로 측정하는 것"은 본질적으로 같은 상황——둘 다 "어떤 방향으로 확정된 입자를, 그것과 90° 직교하는 방향으로 측정하는 것"이라는 뜻이야. 대칭성으로부터, 직교하는 방향으로 측정했을 때 위로 갈 이유도 아래로 갈 이유도 없으니까——

🔵 카이: 위와 아래가 같은 확률——50%씩——이 되는 거네요!

🟡 리나: 맞아! 확률이 \(1/2\)이라는 것은, \(|c_+|^2 = |c_-|^2 = 1/2\)이니까, 계수의 절댓값은 둘 다 \(1/\sqrt{2}\)야. 계수에는 \(e^{i\theta}/\sqrt{2}\)처럼 위상(각도)의 자유도가 있지만, 5.4「기저·정규직교성·완전성——2차원의 상태공간」에서 설명했듯이 "전체에 같은 위상을 곱해도 물리적으로 구별할 수 없으니까", 첫 번째 성분을 실수의 양의 값으로 선택하는 것이 허용돼. 여기서는 가장 간단하게 둘 다 실수의 양의 값으로 선택할게:

\[|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle \tag{5.11}\]

그러면 \(|-\rangle_x\)는 어떻게 될까. \(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)는 서로 다른 측정 결과에 대응하니까, 서로 직교해야 해.

🔵 카이: 직교 조건——즉 \(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)의 내적이 0——을 만족하도록 부호를 정하는 거네요. 만약 \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이면 \(|+\rangle_x\)와 같아지니까……

🟡 리나: 맞아. \(|-\rangle_x\)도 \(z\) 방향으로 측정하면 50%-50%가 되어야 하니까(\(x\)와 \(z\)의 대등성은 \(|-\rangle_x\)에도 적용되니까), \(|c_+|^2 = |c_-|^2 = 1/2\)로 계수의 절댓값은 둘 다 \(1/\sqrt{2}\)야. 실수로 쓰면 \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{b}{\sqrt{2}}|-\rangle\)(\(b\)는 \(\pm 1\))로 놓을 수 있어. 직교 조건을 써서 \(b\)를 결정해 봐. 방법은 아까 \(\langle+|\psi\rangle\)를 계산한 것과 같아——내적의 선형성을 사용해서 전개하고, 식 (5.6), (5.7)의 정규직교성으로 각 항을 평가하는 거야.

🔵 카이: 음, \({}_x\langle+|-\rangle_x\)를 계산하면 되는 거죠. \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이니까……브라로 만들 때 계수는 어떻게 되나요?

🟡 리나: 일반적으로는 켓의 계수의 복소켤레를 취해——이것은 「요점 1: 상태는 벡터」에서 자세히 설명할게. 하지만 이번에는 계수가 \(1/\sqrt{2}\)라는 실수니까, 복소켤레를 취해도 값이 변하지 않아. 그래서 그대로 \({}_{x}\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\)라고 쓸 수 있어.

🔵 카이: 그렇군요. 그러면 이것을 \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{b}{\sqrt{2}}|-\rangle\)에 작용시키면……\(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}\langle+|-\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}\langle-|-\rangle\). 정규직교성으로 \(\langle+|+\rangle = \langle-|-\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = \langle-|+\rangle = 0\)이니까, \(\frac{1}{2} + \frac{b}{2} = 0\)……\(b = -1\)이네요!

🟡 리나: 완벽해. 즉:

\[|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle \tag{5.12}\]

🔵 카이: 그렇군요, 부호가 다른 것은 직교 조건에서 필연적으로 결정되는 거네요.

🔵 카이: 식으로 쓰면 단순하지만, 다시 생각해 보면 신기하네요. \(x\) 방향으로 "확실히 위 방향"인데, \(z\) 방향으로 측정하면 완전히 반반이 되다니.

🟡 리나: 맞아. 계수가 \(1/\sqrt{2}\)이니까, \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\). 즉, \(x\) 방향으로 스핀이 위 방향인 입자를 \(z\) 방향으로 측정하면, \(+\hbar/2\)와 \(-\hbar/2\)가 동일한 확률——50%씩——으로 나와.

🔵 카이: 계수가 둘 다 \(1/\sqrt{2}\)이니까 완전히 반반……즉 \(x\) 방향이 확정되어 있는데, \(z\) 방향은 아무것도 모르는 상태라는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 이것이 양자역학의 본질적인 특징이야. \(S_x\)와 \(S_z\)는 동시에 확정값을 가질 수 없어. 한쪽을 확정시키면 다른 쪽은 완전히 불확정이 되는 거야.

✅ 이해도 체크: \(|+\rangle_x\)(\(x\) 방향 스핀 위 방향)인 입자에 대해 \(S_z\)를 측정하면, 결과는 어떻게 될까요? 그 이유를 상태의 중첩 관점에서 설명해 보세요.

답

\(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이므로, \(S_z = +\hbar/2\)와 \(S_z = -\hbar/2\)가 각각 확률 \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\)로 얻어진다. \(x\) 방향의 스핀이 확정되어 있을 때, \(z\) 방향의 정보는 완전히 불확정이 된다.

\(y\) 방향의 고유상태¶

🟡 리나: \(y\) 방향의 경우는 어떻게 될까. \(x\) 방향과 같은 논리로 생각해 보자. \(y\)와 \(z\)도 공간적으로 대등하니까, \(|+\rangle_y\)를 \(z\) 방향으로 측정하면 50%-50%——즉 계수의 절댓값은 둘 다 \(1/\sqrt{2}\)야. 그리고 \(|+\rangle_y\)와 \(|-\rangle_y\)는 직교해야 해.

🔵 카이: \(x\) 방향 때와 같은 조건이네요. 그런데 \(x\) 방향에서는 \(+1/\sqrt{2}\)와 \(-1/\sqrt{2}\)로 해결됐는데, \(y\) 방향은 뭐가 다른 건가요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 사실 \(|+\rangle_y\)는 \(|+\rangle_x\)와도 \(|-\rangle_x\)와도 다른 상태여야 해. 왜냐하면, \(y\) 방향과 \(x\) 방향도 공간적으로 직교하는 방향——\(z\)와 \(x\)가 직교하는 것과 같은 관계——이니까, 아까 "\(z\)와 \(x\)가 직교 → 50%-50%"라고 논증한 것과 완전히 같은 이유로, \(y\) 방향으로 확정된 입자를 \(x\) 방향으로 측정해도 50%-50%가 되어야 해. 만약 \(|+\rangle_y\)가 \(|+\rangle_x\)와 같은 상태라면, \(x\) 방향으로 측정했을 때 100%로 \(+\hbar/2\)가 나와서 50%-50%가 되지 않잖아? 마찬가지로, 만약 \(|+\rangle_y\)가 \(|-\rangle_x\)와 같은 상태라면, \(x\) 방향으로 측정했을 때 100%로 \(-\hbar/2\)가 나와——역시 50%-50%가 되지 않아. 그래서 \(|+\rangle_y\)는 \(|+\rangle_x\)와도 \(|-\rangle_x\)와도 다른 상태여야 하는 거야. 그런데 계수의 절댓값이 \(1/\sqrt{2}\)이고 실수만 쓰는 정규직교 쌍을 찾아보자. 각 계수는 \(\pm 1/\sqrt{2}\) 중 하나이니까, 후보는 \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\), \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\), \((-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\), \((-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)의 4개야.

🔵 카이: 4개나 있으면, \(x\) 방향과 다른 조합을 만들 수 있을 것 같은데……

🟡 리나: 그런데 그렇게 안 돼. 기억해——아까 5.4「기저·정규직교성·완전성——2차원의 상태공간」에서 "전체에 같은 위상 \(e^{i\theta}\)를 곱해도 확률이 변하지 않으니까 물리적으로 같은 상태"라고 했잖아. Euler 공식에서 \(\theta = \pi\)로 하면 \(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1\)이니까, \(-1\)을 곱하는 것은 "위상 \(\pi\)인 \(e^{i\theta}\)를 곱하는 것"과 같아——즉 \(-1\)도 위상의 일종이야. 그래서 상태 전체에 \(-1\)을 곱해도 물리적으로 구별할 수 없어.

🔵 카이: 잠깐만요. \(-1\)이 "위상"이라는 게 직관적으로 잘 안 와닿는데요……\(-1\)은 그냥 보통 실수잖아요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 포인트는 "절댓값이 1인 복소수는 모두 위상인자라고 부른다"는 거야. \(e^{i\theta}\) 형태의 복소수는 항상 \(|e^{i\theta}| = 1\)을 만족해——이것은 제 4 장에서 확인했지. 역으로, 절댓값이 1인 복소수는 반드시 \(e^{i\theta}\) 형태로 쓸 수 있어. \(-1\)은 \(|-1| = 1\)을 만족하니까, \(-1 = e^{i\pi}\)로 쓸 수 있는 엄연한 위상인자야. 확률은 \(|c|^2\)로 계산하니까, \(|(-1) \times c|^2 = |-1|^2 |c|^2 = 1 \times |c|^2 = |c|^2\)——전혀 변하지 않아.

🔵 카이: 아, 그렇군요. 즉 \((-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)는 \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\)의 전체에 \(-1\)을 곱한 것뿐이니까, 확률적으로는 완전히 같은 상태라는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 확인해 봐——\(|-1/\sqrt{2}|^2 = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\)이니까, \(z\) 방향으로 측정해도 \(x\) 방향으로 측정해도 확률이 완전히 같아져. 두 상태를 구별하는 실험이 원리적으로 존재하지 않아——그래서 물리적으로 "같은 상태"로 간주하는 거야. 마찬가지로 \((-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\)는 \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)의 전체에 \(-1\)을 곱한 것——확인해 봐, \((-1) \times (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}) = (-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\)이잖아? 확률은 \(|-1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\), \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\)로 완전히 같아. 아까와 같은 이유로 물리적으로 같은 상태야.

즉, 전체 위상의 자유도를 사용하면, 4개의 후보 중 첫 번째 성분을 양으로 선택할 수 있어——예를 들어 \((-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)에는 전체에 \(-1\)을 곱해서 \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\)로, \((-1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\)에는 전체에 \(-1\)을 곱해서 \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)로 만들 수 있어. 그러면 물리적으로 구별 가능한 상태는 \((+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})\)과 \((+1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)의 2개뿐——이것은 바로 \(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)야. 즉 실수 범위에서는 \(x\) 방향의 기저밖에 만들 수 없어.

⚪ 메이: 실수만으로는 새로운 방향을 나타낼 수 없다——그래서 복소수가 본질적으로 필요해지는 거네.

🟡 리나: 맞아. 그래서 \(y\) 방향을 나타내는 데는 복소수가 본질적인 역할을 해:

\[|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle \tag{5.13}\]

\[|-\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle \tag{5.14}\]

🔵 카이: \(i\)가 나왔어요! 허수단위죠. 그렇군요, \(|i/\sqrt{2}|^2 = 1/2\)이니까 확률 조건은 만족하고, \(x\) 방향 상태와는 위상이 다르니까 구별할 수 있는 거군요.

🟡 리나: 맞아. \(x\) 방향에서는 계수가 실수였는데, \(y\) 방향에서는 허수 \(i\)가 나타나. 이것은 우연이 아니야. 3차원 공간의 3개 독립 방향을 2차원 복소 공간으로 나타내려면, 실수만으로는 부족하고 복소수가 필요해. 양자역학의 세계가 "복소 확률진폭으로 되어 있다"는 것의 구체적인 발현이야.

⚪ 메이: 즉, \(x\) 방향이든 \(y\) 방향이든 \(z\) 방향으로 측정하면 50%-50%——확률만으로는 \(|+\rangle_x\)와 \(|+\rangle_y\)를 구별할 수 없는 거네. 구별하려면 확률이 아니라 진폭의 위상을 봐야 한다는 거야?

🟡 리나: 바로 그래. 확률만 보면 같아. 하지만 진폭의 위상이 다르다——\(1/\sqrt{2}\)와 \(i/\sqrt{2}\)는 절댓값은 같지만 위상이 \(90°\) 어긋나 있어. 이 위상의 차이가, 간섭 실험을 하면 드러나는 거야.

🔵 카이: 그렇군요……확률만으로는 구별할 수 없지만, 진폭——즉 위상까지 포함한 정보——에서는 구별할 수 있다는 거네요.

🟡 리나: 맞아. 그래서 양자역학은 "확률"이 아니라 "확률진폭"을 기본으로 놓는 거야.

✅ 이해도 체크: \(y\) 방향 고유상태의 계수에 허수 \(i\)가 나타나는 것은 확률 계산에 영향을 줄까요? 또한 \(x\) 방향 고유상태와의 차이는 어디에서 나타날까요?

답

확률 계산에는 영향을 주지 않는다(\(|i/\sqrt{2}|^2 = 1/2\)로 \(x\) 방향과 같다). 하지만 진폭의 위상이 \(90°\) 다르기 때문에, 간섭 실험 등 위상이 관련되는 상황에서는 \(x\) 방향과 \(y\) 방향 고유상태의 차이가 나타난다.

기저 변환의 행렬 표현¶

🟡 리나: 식 (5.11)–(5.12)를 행렬 형태로 정리해 보자. 이 행렬은 "\(x\) 기저로 쓰인 상태를 \(z\) 기저로 변환하는" 역할을 해. 각 성분은 "행에 대응하는 \(z\) 기저의 브라"와 "열에 대응하는 \(x\) 기저의 켓"의 내적이야. 구체적으로 해 볼게. 제1행·제1열의 성분은 \(\langle+|+\rangle_x\)——\(z\) 기저의 브라 \(\langle+|\)와 \(x\) 기저의 켓 \(|+\rangle_x\)의 내적. 식 (5.11)에서 \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이므로, \(\langle+|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\). 마찬가지로 제2행·제1열은 \(\langle-|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\). 이런 요령으로 전체 성분을 나열하면:

\[\begin{pmatrix} \langle+|+\rangle_x & \langle+|-\rangle_x \\ \langle-|+\rangle_x & \langle-|-\rangle_x \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \tag{5.15}\]

🔵 카이: 각 성분이 진폭으로 되어 있네요. \((1,1)\)의 \(1/\sqrt{2}\)는 구체적으로 무엇을 의미하나요?

🟡 리나: \(\langle+|+\rangle_x = 1/\sqrt{2}\)는 "\(x\) 방향 스핀 위 방향인 입자를 \(z\) 방향으로 측정해서 위 방향을 얻을 진폭"이야. 이 행렬 전체가 기저 변환 행렬——어떤 기저에서 다른 기저로의 "번역 사전"——역할을 하는 거야.

🔵 카이: 이건, 벡터의 성분을 다른 좌표축으로 다시 쓸 때의 변환을 행렬로 만든 것이라는 뜻인가요?

🟡 리나: 맞아. 다만 보통의 실수 행렬과 달리, 성분이 복소수가 될 수 있어. 복소수 성분을 가진 이런 종류의 행렬은 유니터리 행렬 (unitary matrix)이라는 특별한 성질을 갖고 있어서, 확률의 합이 1로 보존되는 것을 보증하는 행렬이야. 자세한 것은 제 11 장에서 다루겠지만, 지금은 "기저의 변환은 행렬로 쓸 수 있다"는 것만 기억해 둬.

🔵 카이: "유니터리"가 뭔가요? 보통의 회전행렬과 어떻게 다른 건가요?

🟡 리나: 회전행렬은 "실수 성분으로 길이를 보존하는 행렬"이었잖아. 유니터리 행렬은 그 복소수 버전——"복소수 성분으로 벡터의 길이(= 확률의 합)를 보존하는 행렬"이야. 이름만 기억해 두면 충분해. 내용은 제 11 장에서 꼼꼼히 할 거야.

✅ 이해도 체크: 상태 \(|+\rangle\)(\(z\) 방향 스핀 위 방향)인 입자를 \(x\) 방향의 Stern-Gerlach 장치에 통과시켰을 때, \(S_x = +\hbar/2\)를 얻을 확률은 얼마일까요?

답

\(|\langle+|+\rangle_x|^2\)를 구하고 싶지만, 이것은 \(|{}_x\langle+|+\rangle|^2\)과 같다. 식 (5.11)의 역——\(|+\rangle\)을 \(x\) 기저로 전개하면, \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x\)가 된다(식 (5.11), (5.12)를 역으로 풀면). 따라서 \({}_x\langle+|+\rangle = 1/\sqrt{2}\), 확률은 \(1/2\).

📝 연습문제:

식 (5.13)이 규격화되어 있음(\({}_y\langle+|+\rangle_y = 1\))과, \(|+\rangle_y\)와 \(|-\rangle_y\)가 직교함(\({}_y\langle+|-\rangle_y = 0\))을 확인하라 → 문제 B-3. 외적(사영 연산자)의 작용

5.6　연속 Stern-Gerlach 실험——양자역학의 핵심¶

🟡 리나: 자, 여기까지의 도구를 사용해서, 양자역학의 가장 놀라운 특징을 살펴볼 거야. 연속 Stern-Gerlach 실험이야.

실험 1: 같은 방향을 2번 측정¶

🟡 리나: 먼저 가장 단순한 경우. \(z\) 방향 장치에서 \(|+\rangle\)을 선별하고, 바로 같은 \(z\) 방향 장치에 통과시켜.

🔵 카이: 당연히 전부 위로 가겠죠? 한 번 "위"라고 확인했으니까요.

🟡 리나: 맞아. 확률진폭은 \(\langle+|+\rangle = 1\). 확률 100%로 다시 \(+\hbar/2\)가 얻어져. 이것은 고전적 직관과도 일치하지.

실험 2: \(z\) → \(x\) → \(z\) 의 3단 측정¶

🟡 리나: 다음이 핵심이야. 3개의 장치를 나란히 놓는 거야:

제1 장치 (\(z\) 방향): \(|+\rangle\)만 통과시킴
제2 장치 (\(x\) 방향): \(|+\rangle_x\)만 통과시킴
제3 장치 (\(z\) 방향): \(|+\rangle\)을 통과시키는지 관측

🔵 카이: 음, 먼저 \(z\) 방향으로 위 방향을 확인하고, 다음에 \(x\) 방향으로 위 방향을 확인하고, 마지막에 다시 \(z\) 방향으로 측정하면……처음과 마지막이 같은 측정이니까, 전부 통과하는 거 아닌가요?

🟡 리나: 고전적으로는 그렇게 기대하겠지. 하지만 양자역학의 답은——절반밖에 통과하지 못해.

🔵 카이: 에!? 처음에 "\(z\) 위 방향"이라고 확인했는데요!?

🟡 리나: 계산해 보자. 포인트는, 제2 장치가 \(|-\rangle_x\)를 차단하고 있다——즉 "\(|+\rangle_x\)를 통과했다"는 것이 확정되는 측정을 하고 있다는 거야.

제 4 장에서 배운 규칙을 떠올려 봐. "도중에 어떤 경로를 지나갔는지 확정시키지 않은(구별할 수 없는)" 경우에는 진폭을 더해. 하지만 이번처럼 도중에 측정해서 경로가 확정된——즉 \(|-\rangle_x\)를 차단해서 "\(|+\rangle_x\)를 통과했다"고 알게 된——경우는 어떻게 될까. 차단에 의해 경로가 1개로 좁혀지니까, 제 4 장의 제3 규칙(연속된 과정의 진폭은 곱한다)을 그대로 적용할 수 있어. 전체 진폭은 각 단계 진폭의 곱이야:

\[{}_x\langle+|+\rangle \times \langle+|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]

확률은 그 절댓값의 제곱 \(|1/2|^2 = 1/4\). 여기서 "각 단계의 통과 확률 \(1/2\)를 곱한 \(1/2 \times 1/2 = 1/4\)"와도 일치하지. 사실 이것은 우연이 아니야——경로가 1개뿐일 때는, \(|A \times B|^2 = |A|^2 \times |B|^2\)라는 절댓값의 성질로부터, "진폭을 곱한 뒤 제곱하는 것"과 "확률을 곱하는 것"이 항상 같은 결과가 돼. 하지만 경로가 2개 이상 있어서 진폭을 더하는 경우는 이야기가 달라——\(|A + B|^2 \neq |A|^2 + |B|^2\)이니까, 간섭항이 나타나서 결과가 변하는 거야. 실험 3에서 "차단하지 않는" 경우——즉 2개의 경로가 공존하여 간섭하는 경우——와 비교하면, 이 차이가 더 확실해질 거야.

🔵 카이: 왜 도중에 측정하면 "확률을 곱하는" 것으로 바뀌나요? 제3 규칙은 "진폭을 곱한다"였잖아요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 포인트는 "차단하면 경로가 1개가 된다"는 거야. 이중슬릿을 떠올려 봐——한쪽 슬릿을 막으면 간섭무늬가 사라지잖아? 간섭에는 "2개 경로의 진폭을 더하는" 것이 필요한데, 한쪽을 차단하면 더할 상대가 없어. 그래서 간섭은 일어나지 않아.

🔵 카이: 그렇군요. 그런데 "간섭이 일어나지 않는다"는 것과 "확률을 곱한다"는 것은 어떻게 연결되나요?

🟡 리나: 이렇게 생각해. 제2 장치를 통과한 시점에서, 입자의 상태는 \(|+\rangle_x\)로 확정돼——원래 \(|+\rangle\)이었다는 "기억"은 사라진 거야. 그래서 제3 장치에 들어가는 입자에게는 제1 장치의 일은 무관해——새로운 실험이 시작된 것과 같아. 각 단계가 독립적인 사건이 되니까, 확률을 곱하는 것이 올바른 규칙이야.

🔵 카이: "기억이 사라진다"……즉, 제2 장치를 통과한 후에는 "처음에 \(z\) 위 방향이었다"는 정보가 완전히 잃어지고, \(|+\rangle_x\)라는 상태에서 다시 시작하게 되는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 식으로 확인하면 알기 쉬워——\(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이니까, \(z\) 방향의 정보는 "위와 아래가 반반"으로 리셋돼 있어. 원래 \(|+\rangle\)이었다는 흔적은 이 식 어디에도 남아 있지 않잖아? 이것이 "기억이 사라진다"의 수학적 의미야. 구체적으로 계산하면:

제1 단계: 상태 \(|+\rangle\)이 제2 장치를 \(|+\rangle_x\)로 통과하는 진폭은 \({}_x\langle+|+\rangle = 1/\sqrt{2}\), 확률은 \(1/2\)
제2 단계: 상태 \(|+\rangle_x\)가 제3 장치를 \(|+\rangle\)으로 통과하는 진폭은 \(\langle+|+\rangle_x = 1/\sqrt{2}\), 확률은 \(1/2\)

한마디로 정리하면: 도중에 상태가 확정되면, 그 이전의 위상 정보가 사라져. 위상이 사라지면 간섭은 일어나지 않아. 간섭이 일어나지 않으면, 확률을 독립적으로 곱하는 것이 올바른 규칙이야.

⚪ 메이: 즉, 차단하지 않는 경우에는 "\(|+\rangle_x\)를 지나는 진폭"과 "\(|-\rangle_x\)를 지나는 진폭" 2개가 공존하며 간섭이 일어나. 하지만 한쪽을 차단하면 경로가 1개가 되고, 간섭할 상대가 없어지는 거네. 실험 3에서 "차단하지 않는" 경우와 비교하면 이 차이가 확실히 보일 것 같아.

그러면 구체적으로 계산해 볼게. 제1 장치를 통과한 후의 상태는 \(|+\rangle\).

단계 1: 제2 장치(\(x\) 방향)를 \(|+\rangle_x\)로 통과하는 확률. 진폭은:

\[{}_x\langle+|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \tag{5.16}\]

(계산 확인: 식 (5.11)에서 \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이므로, 대응하는 브라는 \({}_x\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\)(계수가 실수이므로 복소켤레를 취해도 변하지 않음). 이것을 \(|+\rangle\)에 작용시키면 \({}_x\langle+|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 1/\sqrt{2}\). 참고로, 일반적으로는 \(\langle\alpha|\beta\rangle = \langle\beta|\alpha\rangle^*\)(내적의 순서를 바꾸면 복소켤레가 됨)가 성립하지만, 이번에는 계수가 모두 실수이므로 \(\langle+|+\rangle_x = {}_x\langle+|+\rangle = 1/\sqrt{2}\)로 순서에 무관하게 같은 값이 돼.)

따라서 통과 확률은 \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\). 통과한 입자의 상태는 \(|+\rangle_x\)로 확정돼.

단계 2: 제3 장치(\(z\) 방향)를 \(|+\rangle\)으로 통과하는 확률. 상태 \(|+\rangle_x\)에서 \(|+\rangle\)이 발견될 진폭은:

\[\langle+|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \tag{5.17}\]

따라서 통과 확률은 \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\).

전체 통과 확률: 제2 장치를 통과한 시점에서 상태가 \(|+\rangle_x\)로 리셋되니까, 단계 1과 단계 2는 서로 독립인 확률적 사건이야. 독립 사건의 확률은 곱으로 구해:

\[\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \tag{5.18}\]

즉, 처음에 \(z\) 위 방향으로 확인한 입자의 4분의 1만이, 마지막에 \(z\) 위 방향으로 나와.

🔵 카이: 나머지 \(3/4\)는 어디로 간 건가요?

🟡 리나: 제2 장치에서 전체의 절반이 \(|-\rangle_x\)로 차단되고(\(1/2\)이 사라짐), 남은 \(1/2\) 중 다시 절반이 제3 장치에서 \(|-\rangle\)로 아래로 휘어(전체의 \(1/4\)이 사라짐). 합계 \(1/2 + 1/4 = 3/4\)가 도중에 제거되는 거야.

⚪ 메이: 즉, 도중에 \(x\) 방향의 측정을 끼워 넣음으로써, 처음에 확정되어 있던 \(z\) 방향의 정보가 파괴된 거네.

🟡 리나: 바로 그래. 이것이 양자역학에서의 측정의 본질이야. Feynman의 말을 빌리면:

일단 다른 방향으로 측정되면, 입자는 이전 상태를 "기억하지 못한다"

🔵 카이: 그런데 왜요? 측정이란 건, 그냥 "보는 것"뿐이 아닌 건가요?

🔵 카이: ……즉, "\(x\) 방향으로 선별한다"는 행위 자체가, \(z\) 방향의 상태를 \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)의 반반으로 되돌려 버리는 거네요. 그래서 마지막 \(z\) 측정에서 절반밖에 통과하지 못하는 거군요. "본다"는 것이 상태를 다시 쓰는 거네요. ……그런데, 만약 "살살 본다"——즉 상태를 부수지 않고 정보만 얻는 방법이 있거나 하지 않나요?

🟡 리나: 예리한 의문이야. 하지만 양자역학에서는 스핀의 방향을 알기 위해 반드시 장치와 상호작용시켜야 하고, 그 상호작용이 상태를 바꿔 버려. "부수지 않고 측정한다"는 것의 한계는, 불확정성 관계로서 제 8 장에서 정량적으로 논의할 거야.

🔵 카이: 알겠어요. 지금은 "측정은 상태를 바꾼다"는 것을 받아들이고 앞으로 나아갈게요.

✅ 이해도 체크: 연속 Stern-Gerlach 실험에서, 도중의 \(x\) 방향 측정이 \(z\) 방향의 정보를 "파괴하는" 이유는 무엇일까요?

답

\(x\) 방향에서 \(|+\rangle_x\)를 선별하면, 상태가 \(|+\rangle_x\)로 재준비된다. \(|+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이므로, \(z\) 방향의 스핀은 \(+\hbar/2\)와 \(-\hbar/2\)가 동일 확률인 중첩이 되어, 처음에 확정되어 있던 \(z\) 방향의 정보가 완전히 리셋된다.

실험 3: \(x\) 방향의 모든 빔을 통과시키는 경우¶

🟡 리나: 비교를 위해, 제2 장치에서 아무것도 차단하지 않는 경우를 생각해 보자. \(x\) 방향 장치를 통과시키되, \(|+\rangle_x\)도 \(|-\rangle_x\)도 둘 다 통과시켜.

🔵 카이: 아무것도 차단하지 않으면, 장치가 없는 것과 같은 거 아닌가요?

🟡 리나: 맞아! 직관적으로는 그래. 하지만 중요한 것은, "진폭을 합산한다"는 계산으로 정말 그렇게 되는지 확인하는 것——실험 2와의 차이가 수식의 어디에서 나타나는지를 확인하고 싶으니까. 제 4 장의 진폭 규칙으로 말하면, \(|+\rangle\)을 \(x\) 기저로 전개하면:

\[|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x \tag{5.19}\]

(식 (5.11)과 (5.12)를 더하면 \(|+\rangle_x + |-\rangle_x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\right) = \frac{2}{\sqrt{2}}|+\rangle = \sqrt{2}|+\rangle\). 양변을 \(\sqrt{2}\)로 나누면 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_x + |-\rangle_x)\)가 얻어져.)

그리고 사실 완전성 관계는 \(z\) 기저뿐만 아니라, 어떤 정규직교 기저에서든 성립해. 이유는 같아——\(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)도 정규직교이고, 이 2개로 2차원 공간의 전부를 장(張)하고 있으니까, 임의의 상태를 이 2개에 사영해서 더하면 원래로 돌아와. 여기서 \({}_x\langle+|\)는 \(|+\rangle_x\)에 대응하는 브라, \({}_x\langle-|\)는 \(|-\rangle_x\)에 대응하는 브라야(\(z\) 기저 때의 \(\langle+|\)가 \(|+\rangle\)의 브라였던 것과 같은 관계). \(x\) 기저에서의 완전성 관계를 식으로 쓰면:

\[|+\rangle_x {}_x\langle+| + |-\rangle_x {}_x\langle-| = \mathbf{1} \tag{5.20}\]

이것은 "\(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\) 2개로도 상태공간을 모두 다한다"는 것의 표현이야. 모든 빔을 통과시킨다는 것은, 항등 연산자 \(\mathbf{1}\)을 작용시키는 것——즉 아무것도 하지 않는 것——과 동치야. 이 경우, 제3 장치에서는 100% 통과해.

⚪ 메이: 그렇구나. 차단하니까 상태가 바뀌는 것이고, 전부 통과시키면 상태는 변하지 않아——식 (5.20)이 그것을 보증하는 거네.

🔵 카이: "전부 통과시킨다"와 "아무것도 하지 않는다"가 같다……그런데 그걸 진폭 계산으로 확인하면 어떻게 되나요? 실험 2에서는 \(1/4\)이었는데, 정말로 \(1\)로 돌아오는지 궁금해요.

🟡 리나: 좋은 질문이야. 구체적으로 해 보자. 제2 장치에서 양쪽 다 통과시킨 후, 제3 장치에서 \(|+\rangle\)이 얻어지는 전체 진폭을 계산할게. 제 4 장의 제2 규칙을 떠올려——"구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한다". 이번에 입자는 제2 장치에서 \(|+\rangle_x\)를 지나는 경로와 \(|-\rangle_x\)를 지나는 경로의 2개가 있지만, 어느 쪽도 차단되지 않았으니 구별할 수 없어. 그래서 2개 경로의 진폭을 합산하는 거야.

수학적으로는, "아무것도 차단하지 않는다"는 것은 항등 연산자 \(\mathbf{1}\)을 끼우는 것과 같아. 거기에 식 (5.20)의 완전성 관계를 대입하면, 정확히 "2개 경로의 진폭을 더하는" 형태가 자동으로 나와:

\[\langle+|\mathbf{1}|+\rangle = \langle+|\left(|+\rangle_x{}_{x}\langle+| + |-\rangle_x{}_{x}\langle-|\right)|+\rangle = \langle+|+\rangle_x \cdot {}_x\langle+|+\rangle + \langle+|-\rangle_x \cdot {}_x\langle-|+\rangle\]

각 인자를 식 (5.11), (5.12)에서 읽어낼게. \(\langle+|+\rangle_x\)는 "상태 \(|+\rangle_x\)에 있는 입자를 \(z\) 방향으로 측정해서 \(|+\rangle\)을 얻을 진폭"이니까 \(1/\sqrt{2}\). \({}_x\langle+|+\rangle\)은 "상태 \(|+\rangle\)에 있는 입자를 \(x\) 방향으로 측정해서 \(|+\rangle_x\)를 얻을 진폭"으로 마찬가지로 \(1/\sqrt{2}\).

🔵 카이: 나머지 2개도 같은 식으로요?

🟡 리나: 맞아. \(\langle+|-\rangle_x\)를 계산할게. 식 (5.12)에서 \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이므로:

\[\langle+|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

다음으로 \({}_x\langle-|+\rangle\)——"\(|+\rangle\)이 \(|-\rangle_x\)로 발견될 진폭"——을 구할게. 일반적으로 \(\langle\alpha|\beta\rangle = \langle\beta|\alpha\rangle^*\)(내적의 순서를 바꾸면 복소켤레가 됨)가 성립하니까, \(\langle+|-\rangle_x\)를 알면 \({}_x\langle-|+\rangle = \langle+|-\rangle_x^*\)로 구할 수 있어. 이번에는 \(\langle+|-\rangle_x = 1/\sqrt{2}\)가 실수이니까, \({}_x\langle-|+\rangle = (1/\sqrt{2})^* = 1/\sqrt{2}\)로 바로 알 수 있어. 혹시 모르니 직접 계산으로도 확인해 둘게. 식 (5.12)에서 \(|-\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\)이므로, 대응하는 브라는 \({}_x\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|\)(계수가 실수이므로 복소켤레 불필요). 이것을 \(|+\rangle\)에 작용시키면:

\[{}_x\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+|+\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\langle-|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

확실히 \(\langle+|-\rangle_x^* = 1/\sqrt{2}\)와 일치하지. (다른 방법: 식 (5.19)에서 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle_x + \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle_x\)로 전개하고, \(x\) 기저의 정규직교성을 사용해도 같은 결과가 얻어져.)

🔵 카이: 전부 \(1/\sqrt{2}\)네요. 그러면 대입하면……

따라서:

\[\langle+|\mathbf{1}|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \tag{5.21}\]

🔵 카이: 오, 제대로 1이 됐어요! 2개 경로의 진폭을 더하면 1로 돌아오는군요. 근데 잠깐요——아까 실험 2에서는 확률을 곱해서 \(1/2 \times 1/2 = 1/4\)로 했잖아요. 여기서는 진폭을 곱한 다음 더하고 있네요. 이 차이는 "도중에 측정했느냐 아니냐"인 건가요?

🟡 리나: 맞아! 실험 2에서는 제2 장치가 \(|-\rangle_x\)를 차단했어——즉 "어느 쪽을 통과했는지"가 확정됐어. 그래서 각 단계에서 확률을 구해서 곱했어. 하지만 이번에는 양쪽 다 통과시키니까 "어느 쪽을 통과했는지 모르는" 상태——그래서 진폭을 합산하는 거야. 이 2가지 실험의 차이는 뒤에서 그림으로 정리해서 비교할게.

🟡 리나: 하지만 한쪽을 차단하면——실험 2에서 보았듯이——간섭이 사라지고 확률은 \(1/4\)로 떨어져.

🔵 카이: 이거 이중슬릿 실험과 같은 구조네요! 한쪽 슬릿을 닫으면 간섭무늬가 사라지잖아요. 그런데 이중슬릿에서는 "공간적으로 떨어진 2개의 경로"였는데, 여기서는 "스핀의 내부 상태"라는 눈에 보이지 않는 것이 간섭하고 있어요——간섭이라는 게 공간적 경로에 한정되지 않나요?

🟡 리나: 바로 그래. 이것이 제 4 장에서 배운 Feynman 법칙의 보편성이야——"구별할 수 없는 경로의 진폭을 더한다 → 간섭" "구별했다 → 확률을 곱한다 → 간섭 없음". 간섭이 일어나는지 여부를 결정하는 것은, 경로가 공간적으로 나뉘어 있느냐가 아니라, 구별 가능한가 아닌가——이 한 가지로 귀결되는 거야.

⚪ 메이: 즉, Stern-Gerlach의 연속 실험은 "스핀 세계에서의 이중슬릿 실험"이네. 게다가 완전성 관계 \(|+\rangle_x{}_{x}\langle+| + |-\rangle_x{}_{x}\langle-| = \mathbf{1}\)이 "전부 통과시킨다 = 아무것도 하지 않는다"를 수학적으로 보증하니까, 간섭이 완전히 복원되는 이유도 명확해.

🔵 카이: 실험 1과 2와 3의 장치 차이를 한눈에 비교할 수 있는 그림이 있나요?

🟡 리나: 그림 5.2「연속 Stern-Gerlach 실험의 비교. 3가지 실험 설정의 비교. (a) 노에서 나온 비선별 빔(스핀 방향이 무작위)을 SG\(_z\)에 통과시키면 2개의 점으로 분리. (b) SG\(_z\)로 \(|+\rangle\)을 꺼내서 다시 SG\(_z\)를 통과시키면 100% 통과(실험 1). (c) 사이에 SG\(_x\)를 끼워서 \(|+\rangle_x\)만 선별하면, 마지막 SG\(_z\)에서 다시 50:50이 된다」을 봐. (a)는 첫 번째 섹션에서 본 기본 Stern-Gerlach 실험——노에서 나온 빔(스핀 방향이 무작위인 비선별 상태)이 2개로 분리되는 모습. (b)가 실험 1——SG\(_z\)로 \(|+\rangle\)을 선별하고 다시 SG\(_z\)에 통과시키면 100% 통과. (c)가 실험 2——사이에 SG\(_x\)를 끼워서 \(|+\rangle_x\)만 선별하면, 마지막 SG\(_z\)에서 다시 50:50으로 돌아와. \(x\) 방향의 측정이 \(z\) 방향의 정보를 지우고 있는 것이 한눈에 보이지. 실험 3(차단 없음)과의 비교는 바로 뒤에 다른 그림으로 보여줄게.

그림 5.2: 연속 Stern-Gerlach 실험의 비교. 3가지 실험 설정의 비교. (a) 노에서 나온 비선별 빔(스핀 방향이 무작위)을 SG\(_z\)에 통과시키면 2개의 점으로 분리. (b) SG\(_z\)로 \(|+\rangle\)을 꺼내서 다시 SG\(_z\)를 통과시키면 100% 통과(실험 1). (c) 사이에 SG\(_x\)를 끼워서 \(|+\rangle_x\)만 선별하면, 마지막 SG\(_z\)에서 다시 50:50이 된다——\(x\) 방향의 측정이 \(z\) 방향의 정보를 지우고 있다(실험 2). {: #fig-qm-ch5-sequential-stern-gerlach } 🔵 카이: 실험 2와 실험 3의 차이를 한눈에 비교할 수 있는 그림도 있나요?

🟡 리나: 그림 5.3「간섭과 차단의 비교」을 봐. 왼쪽이 실험 2——한쪽을 차단한 경우로, 각 단계의 확률을 곱해서 전체 \(1/4\). 오른쪽이 실험 3——차단 없는 경우로, 2개 경로의 진폭을 합산하면 간섭하여 통과 확률이 \(1\)로 돌아와.

그림 5.3: 간섭과 차단의 비교. 왼쪽: 실험 2(한쪽 차단)에서는 각 단계에서 확률을 곱하여, 전체 통과 확률은 \(1/4\). 오른쪽: 실험 3(차단 없음)에서는 2개 경로의 진폭을 합산하여, 간섭에 의해 통과 확률은 \(1\)(100%)이 된다.

⚪ 메이: 이 그림을 보면, 왼쪽과 오른쪽에서 "진폭을 더하느냐" "확률을 곱하느냐"의 차이가 한눈에 보이네. 결과가 \(1/4\)과 \(1\)로 이렇게 다른 것은, 도중에 측정했느냐 아니냐만의 차이인 거네.

🟡 리나: 맞아. 이 그림이 보여주듯이, "도중에 측정했느냐 아니냐"가 결과를 극적으로 바꿔. 이중슬릿에서는 "슬릿 A를 지나는 경로"와 "슬릿 B를 지나는 경로"의 진폭이 간섭했어. 여기서는 "\(|+\rangle_x\)를 지나는 경로"와 "\(|-\rangle_x\)를 지나는 경로"의 진폭이 간섭하여 결과를 결정해. 한쪽을 차단하면 간섭이 사라지고, 결과가 변해——구조는 완전히 같아. 그리고 식 (5.20)의 완전성 관계가 "전부 통과시킨다 = 아무것도 하지 않는다"를 수학적으로 보증하니까, 간섭이 완전히 복원되는 이유도 명확하지.

⚪ 메이: 즉, 이중슬릿에서의 "슬릿 A / B"가, 여기서는 "\(|+\rangle_x\) / \(|-\rangle_x\)"에 대응할 뿐이고, 구조는 같다는 거네.

✅ 이해도 체크: 제2 장치(\(x\) 방향)에서 아무것도 차단하지 않고 모든 빔을 통과시킨 경우, 완전성 관계의 관점에서 이 조작은 무엇과 같을까요?

답

\(|+\rangle_x{}_{x}\langle+| + |-\rangle_x{}_{x}\langle-| = \mathbf{1}\)(항등 연산자)이므로, 모든 빔을 통과시키는 것은 "아무것도 하지 않는 것"과 동치이다. 따라서 상태는 변하지 않고, 최종적으로 \(|+\rangle\)이 100% 확률로 얻어진다.

✅ 이해도 체크: \(z\) → \(x\) → \(z\)의 연속 실험에서, 제2 장치(\(x\) 방향)에서 \(|+\rangle_x\)만 통과시킨 경우와, 아무것도 차단하지 않은 경우에, 최종적으로 \(|+\rangle\)이 얻어질 확률은 각각 얼마일까요?

답

\(|+\rangle_x\)만 통과시킨 경우: 제2 장치 통과 확률 \(1/2\), 제3 장치 통과 확률 \(1/2\), 전체로 \(1/4\). 아무것도 차단하지 않은 경우: 진폭이 간섭하여 합계 1이 되므로, 확률 \(1\)(100% 통과).

📝 연습문제:

\(z\) → \(y\) → \(z\)의 연속 실험에서, 제2 장치(\(y\) 방향)에서 \(|+\rangle_y\)만 통과시킨 경우, 최종적으로 \(|+\rangle\)이 얻어질 확률을 구하라 → 문제 B-6. 확률진폭으로부터 확률 구하기

5.7　상태공간의 구조——Hilbert 공간의 싹틈¶

🟡 리나: 여기까지의 논의를 되돌아보면서, 양자역학의 수학적 구조가 어떤 것인지 정리해 보자.

🔵 카이: 부탁드려요. 여러 가지가 나와서 좀 혼란스러워요.

🟡 리나: 괜찮아. 요점은 4가지야.

요점 1: 상태는 벡터¶

🟡 리나: 스핀 1/2 입자의 상태는, 2개의 복소수 \((c_+, c_-)\)의 조합으로 지정돼. 이것은 2차원 복소 벡터공간의 원소——즉 벡터——야.

\[|\psi\rangle = c_+|+\rangle + c_-|-\rangle \quad \doteq \quad \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} \tag{5.22}\]

우변은 열벡터 표시. \(|+\rangle\)을 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|-\rangle\)을 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)와 대응시킨 거야.

🔵 카이: 왜 \(=\)가 아니라 \(\doteq\)를 쓰나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. \(|\psi\rangle\)은 추상적인 상태벡터로, 기저의 선택에 의존하지 않는 "본체"야. 한편, 열벡터 \(\begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix}\)은 \(z\) 기저를 선택했을 때의 "성분 표시"——만약 \(x\) 기저를 선택하면 성분의 숫자값은 바뀌어. 그래서 "기저를 선택한 상태에서의 표시"라는 뜻을 담아 \(\doteq\)를 쓰는 거야. 지도의 투영법을 바꾸면 같은 지형이라도 모양이 달라지는 것과 비슷해. 이후에도 이 기호를 사용할 거야.

🔵 카이: 브라 \(\langle\psi|\)는 열벡터와 어떻게 대응되나요?

🟡 리나: 브라는 행벡터로, 성분의 복소켤레를 취한 거야. 복소켤레라는 것은, 제 4 장에서 나왔듯이, 복소수 \(z = a + bi\)에 대해 허수부의 부호를 반전시킨 \(z^* = a - bi\)를 말해:

\[\langle\psi| \doteq (c_+^*,\; c_-^*)\]

🟡 리나: 왜 복소켤레를 취하느냐 하면, 그렇게 하지 않으면 "자기 자신과의 내적"이 양의 실수가 되지 않기 때문이야. 시험 삼아 \(\langle\psi|\psi\rangle\)를 계산하면 \(c_+^* c_+ + c_-^* c_- = |c_+|^2 + |c_-|^2\)——여기서 \(c^* c = |c|^2\)는 프롤로그에서 확인한 관계지. 이것은 확률의 합이니까, 반드시 양의 실수여야 해. 만약 복소켤레를 취하지 않고 \(c_+ \cdot c_+ + c_- \cdot c_-\)로 하면, \(c_+\)가 복소수일 때 음수나 허수가 될 수 있잖아?

🔵 카이: 그렇군요, 확률이 양의 실수가 되려면 복소켤레가 필요한 거네요.

🟡 리나: 맞아. 일반적으로 내적은 \(\langle\phi|\psi\rangle = \phi_1^* \psi_1 + \phi_2^* \psi_2\)——왼쪽 성분의 복소켤레와 오른쪽 성분을 곱해서 더해. 행렬의 언어로 말하면, 행벡터 \((\phi_1^*,\; \phi_2^*)\)와 열벡터 \(\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}\)의 곱이야.

🔵 카이: 잠깐 확인할게요. 예를 들어 \(|\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ i/\sqrt{2} \end{pmatrix}\)이면, \(\langle\psi| \doteq (1/\sqrt{2},\; -i/\sqrt{2})\)가 되나요? \(i\)의 복소켤레가 \(-i\)니까.

🟡 리나: 완벽해. 그리고 \(\langle\psi|\psi\rangle = (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (-i/\sqrt{2})(i/\sqrt{2}) = 1/2 + 1/2 = 1\)이 돼. 제2항의 계산을 확인하면, \((-i) \times i = -(i \times i) = -i^2 = -(-1) = 1\)이니까, \((−i/\sqrt{2})(i/\sqrt{2}) = 1 \times (1/2) = 1/2\)이야.

⚪ 메이: 깔끔하게 1이 되는 게 기분 좋네. 복소켤레를 취하는 이유를 실감할 수 있었어.

요점 2: 내적이 확률진폭을 준다¶

요점 3: 기저의 선택은 한 가지가 아니다¶

🟡 리나: \(\{|+\rangle, |-\rangle\}\)는 \(z\) 방향의 기저. \(\{|+\rangle_x, |-\rangle_x\}\)는 \(x\) 방향의 기저. 어느 쪽이든 정규직교이고 완전해——즉 어느 쪽이든 "올바른 기저"야. 물리는 기저의 선택에 의존하지 않아.

요점 4: 측정은 기저의 선택에 대응¶

🟡 리나: \(S_z\)를 측정한다는 것은, \(z\) 기저에 사영하는 것. \(S_x\)를 측정한다는 것은, \(x\) 기저에 사영하는 것. 측정은 상태를 기저벡터 중 하나로 "수렴"시켜.

⚪ 메이: 즉, 정리하면——상태는 벡터이고, 내적이 확률진폭을 주고, 측정은 기저로의 사영에 대응해. 이 4가지 요점은 전부 연결되어 있는 거네.

🟡 리나: 맞아. 그리고 이 구조 전체——"내적이 정의된 복소 벡터공간"——을, 수학에서는 Hilbert (힐베르트) 공간이라고 불러. 이번의 스핀 1/2 계는 2차원 Hilbert 공간이야. 제 7 장 이후에서 파동함수를 다룰 때는 무한차원의 Hilbert 공간이 등장하지만, 구조는 본질적으로 같아.

🔵 카이: 2차원이 무한차원으로……?

🟡 리나: 맞아. 하지만 안심해. 이번에 2차원에서 배운 "정규직교 기저" "완전성 관계" "내적 = 진폭" "사영 = 측정"이라는 규칙은, 차원이 늘어나도 그대로 사용할 수 있어. 그래서 가장 간단한 2차원 계에서 구조를 확실히 익혀 두는 것이 중요한 거야.

✅ 이해도 체크: 양자역학의 수학적 구조에서의 4가지 요점(상태·내적·기저·측정)을 간결하게 서술해 보세요.

답

(1) 상태는 벡터(복소 벡터공간의 원소)로 표현된다. (2) 내적 \(\langle\phi|\psi\rangle\)이 확률진폭을 준다. (3) 기저의 선택은 한 가지가 아니며, 측정 방향마다 다른 정규직교 기저가 있다. (4) 측정은 상태를 선택한 기저에 사영하는 조작에 대응한다.

행렬 표시의 정리¶

🟡 리나: 마지막으로, \(z\) 기저에서의 열벡터 표시를 정리해 둘게:

\[|+\rangle \doteq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |-\rangle \doteq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{5.23}\]

\[|+\rangle_x \doteq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad |-\rangle_x \doteq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \tag{5.24}\]

\[|+\rangle_y \doteq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad |-\rangle_y \doteq \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \tag{5.25}\]

🔵 카이: \(y\) 방향만 허수 \(i\)가 들어 있는 게 재미있네요.

🟡 리나: 맞아. 3차원 공간의 3방향을 나타내는 데, 2차원 복소 공간에서는 "실수 계수"와 "허수 계수" 양쪽이 필요해져. 복소수가 양자역학에 불가결한 이유의 일단을 여기서 볼 수 있지. 그림 5.4「스핀 1/2의 각 기저벡터」에, \(z\) 기저를 좌표축으로 했을 때 각 기저벡터가 어떻게 "향하고 있는지"를 그렸으니 봐봐. \(x\) 기저는 실수 평면 내에서 45° 회전한 방향을 향하지만, \(y\) 기저는 허수 성분을 가지니까 실수 평면만으로는 완전히 표현할 수 없어——그림에서는 편의상 그렸지만, 진짜 "방향"은 복소평면까지 포함해야 비로소 이해할 수 있어.

그림 5.4: 스핀 1/2의 각 기저벡터. \(z\) 기저 \(\{|+\rangle, |-\rangle\}\)를 좌표축으로 했을 때, \(x\) 기저는 45° 회전한 방향을 향한다. \(y\) 기저는 허수 성분을 가지므로 실수 평면만으로는 완전히 표현할 수 없다.

✅ 이해도 체크: 스핀 1/2 계의 상태공간이 "2차원 Hilbert 공간"이라는 것은 어떤 의미일까요?

답

임의의 스핀 상태가 2개의 정규직교 기저벡터(예를 들어 \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\))의 복소수 계수의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 내적이 정의되어 있는 복소 벡터공간이라는 것.

📝 연습문제:

식 (5.24)의 \(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)가 정규직교임을 열벡터의 내적(\(\langle a|b\rangle = a_1^* b_1 + a_2^* b_2\))으로 확인하라 → 문제 B-2. 내적의 계산

정리와 전망¶

🟡 리나: 오늘의 내용을 되돌아보자. 표 5.2「@chapter」에 주요 개념을 정리했어.

표 5.2: 제 5 장의 주요 개념 정리

개념	내용
Stern-Gerlach 실험	은 원자 빔이 2개로 분리 → 스핀의 이산성
스핀	입자의 내재적 각운동량. 고전적 "자전"이 아님
상태벡터 \(\vert\psi\rangle\)	양자 상태를 나타내는 복소 벡터공간의 원소
기저 \(\vert+\rangle, \vert-\rangle\)	정규직교인 기본 상태의 조합. 측정 방향마다 다름
내적 \(\langle\phi\vert\psi\rangle\)	확률진폭. \(\vert\langle\phi\vert\psi\rangle\vert^2\)이 확률
완전성 관계	\(\vert+\rangle\langle+\vert + \vert-\rangle\langle-\vert = \mathbf{1}\)
측정	상태를 기저에 사영하는 조작. 다른 방향의 정보를 파괴한다

🔵 카이: 가장 놀랐던 건, \(z\) 방향을 확인한 후에 \(x\) 방향을 측정하면, \(z\) 방향의 정보가 사라진다는 거예요. 그런데 반대로, \(z\)와 \(x\)를 동시에 측정하는 방법은 없나요? 예를 들어 장치를 비스듬히 45°로 기울이면, \(z\)와 \(x\)의 "중간" 정보를 얻을 수 있거나 하지 않나요?

🟡 리나: 좋은 발상이야. 하지만 장치를 45°로 기울이면, 그것은 "45° 방향의 스핀 성분"을 측정하는 것이 돼——\(z\)와 \(x\)를 "동시에" 측정하는 것은 아니야. 결과는 역시 \(\pm\hbar/2\)의 2값이고, 그 방향의 스핀이 확정되는 대신 \(z\) 방향이나 \(x\) 방향의 정보는 불확정이 돼.

⚪ 메이: 즉, 어떤 방향으로 장치를 향해도 "그 방향의 성분"밖에 측정할 수 없고, 다른 방향의 정보는 잃어버리는 거네.

🔵 카이: 그런데, 왜 "동시에 확정시키는" 것이 불가능한 건가요? 뭔가 깊은 이유가 있는 거 아닌가……

🟡 리나: 그 의문은 핵심을 찌르고 있어. "다른 방향의 스핀 성분은 동시에 확정될 수 없다"——이 성질은 수학적으로 교환관계에서 유래해. \(S_x\)와 \(S_z\)를 나타내는 행렬은 "곱하는 순서를 바꾸면 결과가 달라져"——이 비가환성이 불확정성의 근원이야. 제 8 장에서 불확정성 관계로서 정량적으로 정식화할 거야.

🔵 카이: "곱하는 순서로 결과가 달라진다"……행렬의 곱셈은 순서가 중요하다는 건 고등학교에서도 배웠는데, 그게 물리적인 불확정성에 연결되는 거군요. 그러면 반대로, "곱하는 순서를 바꿔도 결과가 변하지 않는" 물리량의 쌍이 있다면, 그것들은 동시에 확정할 수 있다는 건가요?

🟡 리나: 바로 그래. 그것이 제 8 장의 핵심 테마 중 하나야. 기대해 줘.

다음 장 예고¶

🟡 리나: 이번에는 "어떤 순간의 상태"를 기술하는 도구를 손에 넣었어. 하지만 물리학에서 정말 알고 싶은 것은, 상태가 시간에 따라 어떻게 변하는가이지.

🔵 카이: 그렇네요. 상태벡터의 계수 \(c_+\)와 \(c_-\)가 시간에 따라 변해 간다는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 다음 제 6 장에서는, 2상태계의 시간 발전을 다룰 거야. 구체적으로는, 암모니아 분자 (NH₃)의 질소 원자가 "위"와 "아래" 2개의 위치를 양자역학적으로 오가는——양자 진동——을 볼 거야. 그리고 이 진동을 이용한 장치가 메이저 (maser)——레이저의 조상——야.

⚪ 메이: 이번의 "상태의 기술"에 "시간 발전의 규칙"이 더해지면, 예측을 할 수 있게 되는 거네.

🟡 리나: 맞아. 제 4 장의 확률진폭 규칙, 제 5 장의 상태벡터와 기저, 그리고 제 6 장의 시간 발전——이 3가지가 갖춰져야 비로소 양자역학이 "예측하는 모델"로서 기능하기 시작하는 거야.

참고문헌¶

J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2021 — Ch.1: Stern-Gerlach 실험에서 시작하여 상태벡터·연산자·측정을 도입하는 구성. 이 장의 주요 참조.
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III, Basic Books — Ch.5–6: "Spin One" / "Spin One-Half" — 스핀 1 계에서의 Stern-Gerlach 실험의 상세한 논의와, 스핀 1/2의 회전행렬 유도.
D. J. Griffiths, D. F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2018 — Ch.4.4: 스핀의 도입과 파울리 행렬.