제6장 2상태계의 시간 발전 — 암모니아 메이저와 양자 진동¶
지금까지의 이야기:
제 4 장에서는 Feynman의 3가지 법칙——"진폭의 절댓값의 제곱이 확률", "경로별 진폭을 더한다", "연속하는 과정의 진폭을 곱한다"——을 배웠어요. 제 5 장에서는 Stern-Gerlach(슈테른-게를라흐) 실험을 통해, 스핀 1/2 입자의 상태가 2개의 기저 상태의 중첩으로 쓸 수 있다는 것, 그리고 그 계수(확률진폭)가 복소수의 벡터 성분처럼 행동한다는 것을 보았어요. 상태 공간의 "골격"은 갖추어졌지만——아직 시간이 들어가지 않았어요.
이 장의 목표
- 2상태계의 확률진폭이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 미분방정식을 세우고, Hamiltonian(해밀토니안) 행렬의 고유값·고유벡터를 구함으로써 정상 상태와 양자 진동(Rabi 진동)을 유도한다
- 구체적인 예로 암모니아 분자 NH₃의 반전 운동과 암모니아 메이저의 동작 원리를 다루어, "왜 Hamiltonian이 양자역학의 중심에 있는지"를 체감한다
6.1 시간 발전의 기본 방정식 — 진폭은 어떤 규칙으로 시간 변화하는가?¶
🟡 리나: 이전 장까지에서, 2상태계의 상태를
로 쓸 수 있다는 것을 배웠지. \(C_1 = \langle 1|\psi\rangle\), \(C_2 = \langle 2|\psi\rangle\)는 복소수의 확률진폭이고, \(|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1\)을 만족해.
🔵 카이: 네. 그런데, 이것은 "어떤 순간의 스냅샷"이잖아요? 시간이 지나면 \(C_1\)과 \(C_2\)는 어떻게 변하나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 바로 그것이 이 장의 주제야. 고전역학에서는 Newton(뉴턴)의 운동방정식 \(F = ma\)가 물체의 위치의 시간 변화를 결정했지. 양자역학에도, 진폭의 시간 변화를 결정하는 방정식이 있어.
🔵 카이: 양자역학 버전의 "운동방정식"이라는 건가요.
🟡 리나: 그래. 여기서는 천하식으로——즉 "실험 사실과 정합하는 기본 가설"로서——받아들여 줘. 다만, 이 형태에는 이유가 있어. 요청은 3가지야.
첫째, 방정식은 선형이어야 해. 중첩의 원리를 유지하기 위해서야.
둘째, 확률이 보존되어야 해. \(|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1\)이 항상 성립해야 하니까.
셋째, 방정식은 1계여야 해.
🔵 카이: 왜 1계인 건가요? Newton의 운동방정식은 2계였잖아요.
🟡 리나: 좋은 비교야. Newton의 방정식이 2계이기 때문에, 초기조건으로서 위치와 속도 양쪽을 지정해야 했어. 하지만 양자역학에서는, 상태벡터 \(|\psi\rangle\)——즉 진폭 \(C_1(t), C_2(t)\)의 조합——이 계의 모든 정보를 포함하고 있어. 지금의 암모니아 분자로 말하면, \(C_1(t)\)과 \(C_2(t)\)라는 2개의 복소수를 알면, "질소가 위에 있을 확률"도 "아래에 있을 확률"도, 나아가 앞으로 어떻게 변할지도——모든 것이 결정돼.
🔵 카이: 음, "모든 정보를 포함한다"에서 "1계로 충분하다"라는 게, 아직 잘 와닿지 않는데요……
🟡 리나: 이렇게 생각해봐. 고전역학에서는, 공의 위치 \(x\)만 알아도 미래의 운동을 알 수 없잖아——속도 \(v\)도 모르면, 멈춰 있는 건지 움직이고 있는 건지 구별이 안 돼. 그래서 Newton의 방정식은 2계이고, 초기조건에 \(x\)와 \(v\) 양쪽이 필요했어.
하지만 양자역학에서는, 진폭의 조합 \(C_1, C_2\)가 계의 완전한 기술——즉 "위치"와 "속도"에 해당하는 정보가 전부 이 안에 들어 있어. 만약 방정식이 2계라면, \(C_1(0)\), \(C_2(0)\)에 더해서 \(dC_1/dt|_0\), \(dC_2/dt|_0\)도 지정해야 해가 유일하게 결정되지 않아. 그것은 "진폭만으로는 정보가 부족하다"는 것을 의미하고, "진폭이 완전한 기술이다"라는 가설과 모순되어 버려. 그래서 방정식은 1계여야 해.
즉 "진폭이 계의 완전한 기술이다"라는 가설을 받아들이면, 방정식이 1계라는 것은 논리적으로 귀결돼. 그리고 이 가설 자체는, 실험 사실과 정합하는 기본 원리로서 받아들여 줘.
🔵 카이: "진폭만으로 완전하다"는 것은, 지금은 천하식으로 받아들일 수밖에 없군요.
🟡 리나: 그래. 이 가설이 올바른지 아닌지는, 거기에서 도출되는 예측이 실험과 맞는지로 판단되어——바로 이 장에서 암모니아 분자의 진동수를 예측해서 실험과 비교하는 것이 그 검증이야. 자, 이 3가지 요청을 만족하는 가장 일반적인 선형 미분방정식이, 다음 형태가 돼:
왜 우변에 상수항(\(C_1\)이나 \(C_2\)에 비례하지 않는 항)이 없느냐면, 만약 상수항이 있으면 \(C_1 = C_2 = 0\)(아무것도 없는 상태)에서도 진폭이 저절로 생겨버려——이것은 "아무것도 없는 곳에서 확률이 솟아난다"는 것을 의미하고, 물리적으로 불합리하기 때문이야.
🔵 카이: 와, 갑자기 미분방정식이…… \(\hbar\)는 전에 나왔던 환산 Planck 상수죠. 좌변의 \(i\)는 허수단위. 그런데 우변의 \(H_{11}\)이나 \(H_{12}\)는 뭔가요? 첨자의 숫자는 뭘 의미하나요?
🟡 리나: 그것이 Hamiltonian 행렬(해밀토니안 행렬)의 성분이야. 첨자의 의미는, \(H_{ij}\)의 첫 번째 첨자 \(i\)가 "행"(즉 좌변의 어떤 진폭의 식인지), 두 번째 첨자 \(j\)가 "열"(즉 우변의 어떤 진폭에 곱해지는지)을 나타내고 있어. 예를 들어 \(H_{12}\)는 "\(C_1\)의 식(1행)에 나타나는 \(C_2\)의 계수(2열)". 에너지의 차원을 가진 양이고, 일반적으로는 복소수야. 다음 섹션에서 물리적 의미를 자세히 설명할 테니, 지금은 "에너지에 관한 상수"라고만 생각해 둬. 우선 식의 "형태"를 음미해 봐.
⚪ 메이: 좌변은 "\(C_1\)의 시간 변화율"에 \(i\hbar\)를 곱한 것. 우변은 \(C_1\)과 \(C_2\)의 선형결합. 즉, 한쪽 진폭의 변화가, 양쪽 진폭의 값에 의존한다는 것이네.
🟡 리나: 맞아. \(C_1\)과 \(C_2\)가 "서로 영향을 주고받으며" 시간 변화한다——이것이 양자역학의 2상태계의 운동방정식이야.
🔵 카이: 식 (6.2a)와 (6.2b)를 행렬로 쓰면 어떻게 되나요?
🟡 리나: 좋은 센스야. 이렇게 쓸 수 있어:
우변의 \(2 \times 2\) 행렬이 Hamiltonian 행렬 \(H\)야.
✅ 이해도 체크: 식 (6.3)의 좌변에 곱해져 있는 \(i\hbar\)는 상수예요. 만약 \(H_{12} = H_{21} = 0\)이었다면, \(C_1\)과 \(C_2\)는 어떻게 될까요? (힌트: 연립방정식이 "분리"된다.)
답
\(H_{12} = H_{21} = 0\)이면, 식 (6.2a)는 \(i\hbar\,dC_1/dt = H_{11}\,C_1\)이 되어, \(C_2\)에 의존하지 않는다. 마찬가지로 식 (6.2b)는 \(i\hbar\,dC_2/dt = H_{22}\,C_2\). 즉 \(C_1\)과 \(C_2\)가 각각 독립적으로 시간 변화한다. 비대각 성분 \(H_{12}\), \(H_{21}\)이 "2개의 상태를 연결하는" 역할을 하고 있음을 알 수 있다.
6.2 Hamiltonian 행렬의 도입 — 에너지를 나타내는 행렬¶
🔵 카이: Hamiltonian 행렬이 결국 뭘 나타내는 건가요?
🟡 리나: 한마디로 말하면, 계의 에너지에 관한 정보를 모두 담은 행렬이야. 이름의 유래는, 고전역학에서 계의 전체 에너지(운동에너지 + 위치에너지)를 나타내는 함수를 Hamiltonian이라고 불렀던 Hamilton(해밀턴)에서 따온 거야.
🔵 카이: 고전역학의 전체 에너지의 "양자 버전"이라는 건가요.
🟡 리나: 그렇게 생각해도 괜찮아. 다만 양자역학에서는, 에너지가 "하나의 수"가 아니라 "행렬"이 돼. 왜냐하면, 상태가 2개 있으니까, "상태 \(|1\rangle\)의 에너지", "상태 \(|2\rangle\)의 에너지"뿐만 아니라, "상태 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\) 사이의 결합"도 기술해야 하기 때문이야.
⚪ 메이: 그렇구나, 하나의 수로는 부족하고, 상태의 수만큼 "칸"이 필요하니까 행렬이 되는 거네.
🟡 리나: 그래. 각 성분의 의미를 정리하면:
표 6.1: Hamiltonian 행렬의 각 성분의 물리적 의미
| 성분 | 의미 |
|---|---|
| \(H_{11}\) | 상태 \(\|1\rangle\)에 있을 때의 "자기 자신의 에너지" |
| \(H_{22}\) | 상태 \(\|2\rangle\)에 있을 때의 "자기 자신의 에너지" |
| \(H_{12}\) | 상태 \(\|2\rangle\)에서 상태 \(\|1\rangle\)로의 "전이 진폭의 세기" (첨자의 첫 번째가 "도착지", 두 번째가 "출발지") |
| \(H_{21}\) | 상태 \(\|1\rangle\)에서 상태 \(\|2\rangle\)로의 "전이 진폭의 세기" (마찬가지로 2가 도착지, 1이 출발지) |
🔵 카이: 대각 성분이 에너지, 비대각 성분이 상태 간의 "연결"이군요.
🟡 리나: 그래. 그리고 Hamiltonian 행렬에는 하나의 중요한 성질이 있어. 에르미트성 (Hermitian property)이야:
이것은 "각 성분의 복소켤레를 취한 다음, 행과 열을 바꾼 행렬이, 원래 행렬과 같다"는 것. 구체적으로 말하면, \(H_{12}\)의 복소켤레가 \(H_{21}\)과 같다는 거야. 대각 성분 \(H_{11}\), \(H_{22}\)에 대해서는 \(H_{11}^* = H_{11}\), \(H_{22}^* = H_{22}\)이므로, 대각 성분은 실수가 돼.
🔵 카이: 왜 에르미트여야 하나요?
🟡 리나: 확률의 보존이 이유야. \(|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1\)이 항상 성립하려면, Hamiltonian 행렬이 에르미트여야 해. 조금만 살펴보자. \(d(|C_1|^2 + |C_2|^2)/dt = 0\)을 요구하고, 식 (6.2)를 사용해서 좌변을 계산하면, \(H_{12} = H_{21}^*\)라는 조건이 나와——이것이 바로 에르미트성이야.
🔵 카이: 복소켤레를 취하는 부분이 좀 신경 쓰이는데요……
🟡 리나: 계산의 힌트만 말하면, \(|C_1|^2 = C_1^* C_1\)이니까, 미분할 때 곱의 미분법칙으로 \(d|C_1|^2/dt = (dC_1^*/dt)C_1 + C_1^*(dC_1/dt)\)라고 전개해. \(dC_1/dt\)는 식 (6.2a)에서 \(dC_1/dt = (H_{11}C_1 + H_{12}C_2)/(i\hbar)\)로 얻어져. \(dC_1^*/dt\)는 식 (6.2a)의 양변의 복소켤레를 취해서 구해——복소켤레를 취하면 \(i\)가 \(-i\)로 바뀌니까, 좌변은 \(-i\hbar\,dC_1^*/dt\)가 되고, 우변은 \(H_{11}^*\,C_1^* + H_{12}^*\,C_2^*\)가 된다는 것에 주의해. 이것들을 대입해서 정리하면, \(H_{12} = H_{21}^*\)가 나와. 자세한 계산은 연습문제(문제 B-1. 정상 상태의 위상 인자 계산)에서 확인해 봐.
📝 연습문제:
- \(d(|C_1|^2 + |C_2|^2)/dt = 0\)과 식 (6.2)로부터 에르미트성 \(H_{12} = H_{21}^*\)를 유도하라. → 문제 B-1. 정상 상태의 위상 인자 계산직관적으로는 "에너지는 실수여야 한다"는 것과 대응해.
⚪ 메이: 즉 "에너지가 실수여야 한다"는 물리적 요청이, 행렬의 수학적 성질(에르미트성)로 표현되어 있는 거네.
🟡 리나: 잘 알아챘어. 고유값 이야기는 바로 뒤에 나올 거야.
왜 \(i\hbar\)가 좌변에 있는가¶
🔵 카이: 한 가지 궁금한 게 있는데요, 식 (6.2)의 좌변의 \(i\hbar\)는 뭘 위해 있는 건가요? 단순히 \(dC_1/dt = (\text{뭔가}) \times C_1 + \cdots\)이면 안 되나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 만약 \(i\)가 없었다면, 즉
였다면, \(H_{11}\)이 실수일 때 \(C_1\)은 실수인 채로 지수함수적으로 증가하거나 감쇠해 버려. 이래서는 확률이 보존되지 않아. \(i\)가 있음으로써, 해가 진동적(위상이 회전하는)이 되고, \(|C_1|^2\)가 일정하게 유지돼.
🔵 카이: 그렇군요. \(i\)는 "증감"이 아니라 "회전"을 만드는 역할이군요.
🟡 리나: 그래. 그리고 \(\hbar\)는 단위를 맞추기 위한 거야. \(C\)는 확률진폭으로 무차원이니까, \(dC/dt\)의 차원은 \([\text{시간}]^{-1}\)이야. \(\hbar\)의 차원은 \([\text{에너지} \times \text{시간}]\)이니까, 좌변 \(i\hbar\,dC/dt\)의 차원은 \([\text{에너지} \times \text{시간}] \times [\text{시간}]^{-1} = [\text{에너지}]\)야. 우변의 \(H_{ij} C_j\)도 \(H_{ij}\)가 에너지의 차원을 가지니까, 앞뒤가 맞아.
🔵 카이: 그렇군요. 그러면 정리하면, \(i\)는 "확률을 보존하기 위해(진동을 만들기 위해)", \(\hbar\)는 "차원을 맞추기 위해", 그리고 우변이 \(C_1\)과 \(C_2\)의 선형결합인 것은 "중첩의 원리를 유지하기 위해"——3가지 요청이 각각 식의 각 파트에 대응하고 있는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 잘 정리했어.
✅ 이해도 체크: Hamiltonian 행렬의 에르미트성 \(H_{ij}^* = H_{ji}\)는, 어떤 물리적 요청에서 나올까요?
답
전체 확률의 보존 \(|C_1|^2 + |C_2|^2 = 1\)이 시간적으로 변하지 않는다는 요청에서 나온다. 에르미트성에 의해, Hamiltonian의 고유값(에너지)이 실수임도 보장된다.
6.3 암모니아 분자의 2상태 모델¶
🟡 리나: 자, 여기부터는 구체적인 예로 들어갈게. 암모니아 분자 NH₃야.
🔵 카이: 암모니아라면, 그 톡 쏘는 냄새의……?
🟡 리나: 맞아. 1개의 질소 원자(N)와 3개의 수소 원자(H)로 이루어진 분자로, 피라미드 모양을 하고 있어. 3개의 수소 원자가 삼각형의 평면을 만들고, 질소 원자가 그 평면에서 약간 튀어나온 위치에 있어(그림 6.1「암모니아 분자의 구조」).
그림 6.1: 암모니아 분자의 구조. 암모니아 분자 NH₃의 구조. 질소 원자(N)는 3개의 수소 원자(H)가 만드는 평면의 위 또는 아래에 위치한다.
🔵 카이: 피라미드 모양……그러면, 질소가 "위"에 있느냐 "아래"에 있느냐로, 2가지 형태가 있는 거네요!
🟡 리나: 맞아. 여기서 대담한 근사를 해. 분자의 회전이나 진동, 병진 운동은 모두 고정되어 있다고 하고, 남아 있는 자유도는 질소 원자가 수소 원자의 평면 어느 쪽에 있는가뿐이야. 이것으로 2상태계가 돼.
- 상태 \(|1\rangle\): 질소가 평면의 "위"에 있는 배치
- 상태 \(|2\rangle\): 질소가 평면의 "아래"에 있는 배치
⚪ 메이: 실제 분자에는 훨씬 많은 자유도가 있지만, 그것들을 "동결"시키고, 질소의 상하만 주목하는 근사네.
🟡 리나: 그래. 이 근사는, 다른 자유도의 에너지 스케일이 질소의 반전 운동의 에너지 스케일보다 훨씬 클 때 정당화돼. 실제로, 전자의 여기 에너지는 수 eV, 분자 진동은 0.1 eV 정도인 데 비해, 질소의 반전 운동에 관련된 에너지는 \(10^{-4}\) eV 정도——자릿수가 다르게 작아.
Hamiltonian의 결정¶
🟡 리나: 그러면, 이 2상태계의 Hamiltonian 행렬을 결정하자. 단서는 대칭성이야.
🔵 카이: 대칭성이요?
🟡 리나: 그림 6.1「암모니아 분자의 구조」를 다시 봐. 암모니아 분자를 상하로 뒤집는 조작을 생각해 봐. 질소가 "위"인 배치는 질소가 "아래"인 배치로 그대로 치환돼. 즉, 상태 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\)은 물리적으로 완전히 동등해.
⚪ 메이: 그렇다면, \(H_{11} = H_{22}\)네. 어느 배치든 "자기 자신의 에너지"는 같다.
🟡 리나: 그래. 이 공통 값을 \(E_0\)라고 쓸게:
✅ 이해도 체크: 암모니아 분자의 Hamiltonian에서 \(H_{11} = H_{22}\)가 되는 것은, 어떤 물리적 이유 때문일까요?
답
암모니아 분자를 상하 반전시키면, 질소가 "위"인 배치와 "아래"인 배치가 치환된다. 이 조작에 대해 분자는 물리적으로 동등하므로, 2개의 배치의 "자기 자신의 에너지"는 같은 값 \(E_0\)이어야 한다.
다음으로 비대각 성분. 질소 원자가 수소 원자의 평면을 "관통"해서 반대쪽으로 이동하는 것——이것은 고전역학에서는, 에너지가 부족하면 불가능하지. 하지만 양자역학에서는, 양자 터널 효과(quantum tunneling)가 일어나. 고전역학에서는 에너지가 장벽의 높이보다 낮으면 절대로 통과할 수 없지만, 양자역학에서는 장벽 너머로 "스며들어 빠져나갈" 확률진폭이 영이 아니야.
🔵 카이: 터널 효과! 제 3 장의 이중 슬릿에서도 "고전적으로는 있을 수 없는 경로" 이야기가 있었죠.
🟡 리나: 좋은 연결이야. 이 "스며들어 빠져나가는" 진폭을 \(-A\)로 쓸게(\(A > 0\)). 마이너스를 붙이는 것은 관습적인 것으로, 나중에 계산이 보기 좋아져. 대칭성에서 \(H_{12} = H_{21}\)이므로:
⚪ 메이: 에르미트성 \(H_{12}^* = H_{21}\)도 만족돼. \(A\)가 실수라면 \((-A)^* = -A = H_{21}\)이니까.
🟡 리나: 정리하면, 암모니아 분자의 Hamiltonian 행렬은:
🔵 카이: 심플하네요. 하지만 \(A\)의 값은 어떻게 결정되나요?
🟡 리나: \(A\)는 질소 원자가 퍼텐셜 장벽을 양자 터널링하는 확률진폭과 관련되어 있어서, 장벽의 높이와 폭으로부터 원리적으로는 계산할 수 있지만, 실제로는 실험에서 측정된 값을 사용해. 암모니아 분자의 경우, \(2A\)에 대응하는 진동수가 약 24,000 MHz(파장으로 약 1.25 cm의 마이크로파)인 것이 알려져 있어.
🔵 카이: 마이크로파 영역이군요.
📝 연습문제:
- \(2A = hf\)에서 \(f = 24{,}000\) MHz일 때, \(A\)를 eV 단위로 구하라. → 문제 B-2. 터널 분열의 에너지 계산
6.4 고유값과 고유벡터 — 정상 상태를 찾기¶
🟡 리나: Hamiltonian 행렬 (6.7)이 결정되었으니, 이제 식 (6.2)를 풀어볼게. 먼저 정상 상태——시간이 지나도 "상태의 성격"이 바뀌지 않는 특별한 상태——를 찾아보자.
🔵 카이: "상태의 성격이 바뀌지 않는다"는 게 무슨 뜻인가요?
🟡 리나: 진폭 \(C_1\)과 \(C_2\)의 비 \(C_1 : C_2\)가 시간적으로 일정한 상태를 말해. 식 (6.2)는 "미분한 것이 원래 함수에 비례하는" 형태를 하고 있으니까, 해로서 지수함수를 시도하는 것이 자연스러워——고등학교에서 배운 \(dy/dx = ky\)의 해가 \(e^{kx}\)였던 것과 같은 발상이야. 구체적으로는:
여기서 \(a_1\), \(a_2\)는 시간에 의존하지 않는 상수, \(E\)는 상수(에너지의 차원을 가짐)야.
⚪ 메이: 양쪽 진폭이 같은 진동수 \(E/\hbar\)로 진동하니까, 비 \(C_1/C_2 = a_1/a_2\)는 시간에 의존하지 않네.
🟡 리나: 그래. 식 (6.8)을 식 (6.2)에 대입해 보자. 좌변은:
우변은:
양변에서 \(e^{-iEt/\hbar}\)를 나누면:
마찬가지로 식 (6.2b)에서:
🔵 카이: 아, 미분방정식이 사라지고, 그냥 연립방정식이 됐어요!
🟡 리나: 그래. 이것을 행렬로 쓰면:
🟡 리나: 이것은 선형대수에서 고유값 문제(eigenvalue problem)라고 불리는 형태야. 행렬 \(H\)에 벡터 \(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)를 곱했더니, 원래 벡터의 스칼라배 \(E\)배가 된다——그런 특별한 벡터와 \(E\)를 찾는 문제야. \(E\)를 고유값(eigenvalue), \(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)를 고유벡터(eigenvector)라고 불러. "고유"(eigen)는 독일어로 "그것에 특유의"라는 뜻——즉 "그 행렬만이 가진 특별한 값과 벡터"라는 의미야.
🔵 카이: 왜 "스칼라배가 되는" 벡터가 특별한 건가요? 보통 연립방정식과 어떻게 다른 건가요?
🟡 리나: 2가지 관점에서 답할게. 먼저, 보통 연립방정식과의 차이. 고등학교에서 풀었던 연립방정식은 "\(2x + 3y = 5\), \(x - y = 1\)"처럼, 우변이 정해진 상수이고, 미지수 \(x, y\)의 값을 한 조 구하는 문제였지. 하지만 고유값 문제는 "우변이 미지수 자신의 스칼라배"——즉 스칼라 \(E\) 자체도 미지이고, \(E\)와 벡터를 동시에 찾는 문제야. 게다가 해는 일반적으로 여러 조 있어——지금의 경우는 2조야.
🔵 카이: 그렇군요, \(E\)도 미지수의 일부…… 그러면 풀어야 할 미지수가 보통보다 많은 거네요.
🟡 리나: 다음으로 기하학적인 이미지. 일반적으로, 행렬을 벡터에 곱하면, 벡터의 방향도 크기도 변해. 하지만 고유벡터만은 특별해서, 행렬을 곱해도 방향이 바뀌지 않아——크기(스칼라배)만 변하는 거야. 예를 들어 \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)——벡터 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)는 행렬을 곱해도 방향이 변하지 않고, 2배가 될 뿐이야. 즉 "행렬의 작용에 대해 안정한 방향"을 찾는 것이 고유값 문제야.
⚪ 메이: "행렬의 작용으로 방향이 변하지 않는다 = 시간이 지나도 성격이 변하지 않는다"——수학과 물리가 깔끔하게 대응하고 있네.
🟡 리나: 그리고 물리적 의미. 떠올려 봐. 우리는 "진폭의 비 \(C_1 : C_2\)가 시간적으로 일정"한 상태를 찾고 있었지. 식 (6.8)에서 \(e^{-iEt/\hbar}\)라는 공통 인자를 가정한 것은, 바로 그 때문이야. 고유값 문제의 해를 찾으면, 그것이 정상 상태——즉 에너지가 확정된 상태——에 대응해. 고유값 \(E\)가, 그 정상 상태의 에너지야.
고유값의 계산¶
🟡 리나: 식 (6.10)을 다시 써보자. 먼저 기호를 하나 도입할게. \(\mathbb{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)를 단위행렬(identity matrix)이라고 불러. 대각 성분이 1이고, 그 외가 0인 행렬이야. 시험 삼아 벡터에 곱해보면 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)——원래 벡터가 그대로 돌아오지. 즉 단위행렬은 행렬 세계의 "1"——수의 세계에서 \(1 \times x = x\)인 것처럼, \(\mathbb{1} \times \mathbf{a} = \mathbf{a}\)야.
🔵 카이: 행렬 버전의 "아무것도 하지 않는 조작"이네요.
🟡 리나: 그래. \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)로 묶으면, 우변의 \(E\mathbf{a}\)는 \(E\mathbb{1}\mathbf{a}\)와 같은 것이야. 왜냐하면, \(E\mathbb{1} = \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}\)이니까, 이것을 벡터에 곱하면 \(\begin{pmatrix} E\,a_1 \\ E\,a_2 \end{pmatrix} = E\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)——즉 각 성분에 \(E\)를 곱하는 것과 같은 결과가 되거든. 이것을 좌변으로 이항하면 \((H - E\mathbb{1})\mathbf{a} = 0\). 성분으로 쓰면 \(\begin{pmatrix} E_0 - E & -A \\ -A & E_0 - E \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)라는 것——대각 성분에서 \(E\)가 빼진 것뿐이야. 이것은 "행렬 \((H - E\mathbb{1})\)을 곱하면 영벡터가 되는" 영이 아닌 벡터 \(\mathbf{a}\)를 찾는 문제야.
🔵 카이: \(\mathbf{a} = 0\)이면 당연히 성립하지만, 그건 의미가 없잖아요. 영이 아닌 해가 있기 위한 조건은?
🟡 리나: 결국 하고 싶은 것은 "\((H - E\mathbb{1})\mathbf{a} = 0\)에 \(\mathbf{a} \neq 0\)인 해가 있기 위한 조건"을 찾는 거지. 이것은 성분으로 쓰면 연립방정식 \(ax + by = 0\), \(cx + dy = 0\)(여기서 \(a, b, c, d\)는 \((H - E\mathbb{1})\)의 성분)에서 \(x \neq 0\)인 해를 찾는 것과 같아. 첫 번째 식에서 \(x = -by/a\)(\(a \neq 0\)으로 가정)를 두 번째 식에 대입하면 \((ad - bc)y/a = 0\). \(y \neq 0\)인 해가 존재하려면 \(ad - bc = 0\)이 필요하지.
🔵 카이: \(a = 0\)인 경우는 어떻게 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 경우 분류를 전부 추적하면 길어지지만, 결론만 말하면, \(a = 0\)인 경우에도 "비자명해가 있다 ⟺ \(ad - bc = 0\)"라는 조건은 변하지 않아. 예를 들어 \(a = 0\), \(b \neq 0\)이면 첫 번째 식이 \(by = 0\)이 되어 \(y = 0\)밖에 없어——이때 \(ad - bc = -bc \neq 0\)이니까 "행렬식이 영이 아니다 → 비자명해 없음"과 정합해. 어떤 경우를 조사해도, 결론은 같아——영이 아닌 해의 조건은 항상 \(ad - bc = 0\)이야.
🔵 카이: 그렇군요, 2개의 식이 실질적으로 "같은 것"을 말하고 있다——독립적인 정보가 1개분밖에 없다——는 건가요?
🟡 리나: 맞아! 이 양 \(ad - bc\)를 \(2 \times 2\) 행렬 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)의 행렬식(determinant)이라고 부르고, \(\det\)라는 기호로 나타내:
직관적으로는, 행렬식은 "2개의 방정식이 얼마나 독립적인가"를 재는 양——영이면 2개가 실질 1개분의 정보밖에 가지지 않고, 영이 아니면 2개가 독립이라 해가 유일하게 \(x = y = 0\)뿐이야.
🔵 카이: 행렬식이 영이 아닐 때는 \(x = y = 0\)밖에 없다…… 거꾸로 말하면, 행렬식이 영일 때만 \(x \neq 0\)인 해가 있다는 거군요.
⚪ 메이: 거꾸로 말하면, 행렬식이 영이라는 것은 "2개의 방정식이 실질 1개분의 정보밖에 가지지 않는다"——그래서 미지수의 비만 결정되고, 전체 스케일은 자유롭게 남는다. 그것이 "영이 아닌 해가 있다"는 것이네.
🟡 리나: 맞아. 보충해 두면, 행렬식이 영이 아닐 때, 그 행렬에는 역행렬(inverse matrix)이 존재해. 역행렬이란, 수의 역수 \(a^{-1}\)(\(a \times a^{-1} = 1\))의 행렬 버전으로, \(M M^{-1} = \mathbb{1}\)(단위행렬)을 만족하는 행렬 \(M^{-1}\)이야. 만약 역행렬이 존재하면, \((H - E\mathbb{1})\mathbf{a} = 0\)의 양변에 왼쪽에서 \(M^{-1}\)을 곱하면 \(\mathbf{a} = M^{-1} \cdot 0 = 0\)밖에 안 나와——즉 "행렬식이 영이 아니다 → 해는 \(\mathbf{a} = 0\)뿐"이라는 것. 이것의 대우가 "\(\mathbf{a} \neq 0\)인 해가 있다 → 행렬식이 영"이야. 지금은 "행렬식이 영 ⟺ 영이 아닌 해가 있다"는 결론만 쓸 수 있으면 충분해. 그래서, 영이 아닌 해가 존재하는 조건은 행렬식이 영:
정리하면:
🔵 카이: 아, 이거 \((E_0 - E)^2 - A^2 = 0\)은, \(x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)\) 형태잖아요! 인수분해하면 \((E_0 - E - A)(E_0 - E + A) = 0\)이니까……
🟡 리나: 그래. \(E_0 - E = +A\)이면 \(E = E_0 - A\), \(E_0 - E = -A\)이면 \(E = E_0 + A\). 즉 2개의 고유값이 얻어져:
🔵 카이: 어라, \(E_I\) 쪽이 에너지가 높군요. I이 위이고 II가 아래라니, 좀 헷갈릴 수도 있겠네요.
🟡 리나: 그렇지. Feynman의 교과서에 맞춘 번호 매기기지만, \(E_I > E_{II}\)라는 것은 기억해 둬.
⚪ 메이: 원래는 하나의 값 \(E_0\)이었던 에너지 준위가, 터널 효과의 진폭 \(A\)에 의해 위아래로 \(A\)씩 분裂한 거네. 에너지 차이는 \(E_I - E_{II} = 2A\).
🟡 리나: 이것이 터널 분裂(tunnel splitting)이야. 질소 원자가 평면을 관통할 가능성이 있기 때문에, 에너지 준위가 2개로 갈라지는 거야. 만약 \(A = 0\)(터널 효과 없음)이라면, \(E_I = E_{II} = E_0\)으로 2개의 준위가 겹쳐버려——축퇴(degeneracy)된 상태지. 이 모습은 나중에 그림으로 정리할게.
고유벡터의 계산¶
🟡 리나: 다음으로, 각 고유값에 대응하는 고유벡터를 구해보자.
고유값 \(E_I = E_0 + A\)의 경우:
식 (6.9a)에 \(E = E_0 + A\)를 대입하면:
규격화 조건 \(|a_1|^2 + |a_2|^2 = 1\)에서 \(|a_1| = |a_2| = 1/\sqrt{2}\). \(a_1 = -a_2\)이므로, 예를 들어 \(a_1 = 1/\sqrt{2}\), \(a_2 = -1/\sqrt{2}\)로 선택할 수 있어(전체에 \(e^{i\theta}\)를 곱해도 물리적으로 같은 상태를 나타내니까, 제 5 장에서 배운 것처럼 위상의 선택에는 자유도가 있어——여기서는 가장 간단한 실수 선택을 한 거야). 따라서:
고유값 \(E_{II} = E_0 - A\)의 경우:
식 (6.9a)에 \(E = E_0 - A\)를 대입하면:
규격화 조건에서 \(|a_1| = |a_2| = 1/\sqrt{2}\). 따라서:
🔵 카이: 재밌어요! 낮은 에너지의 상태 \(|II\rangle\)는 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\)의 "덧셈"이고, 높은 에너지의 상태 \(|I\rangle\)는 "뺄셈"이군요.
🟡 리나: 그래. \(|II\rangle\)는 질소 원자가 위에 있을 진폭과 아래에 있을 진폭이 같은 부호——대칭 상태. \(|I\rangle\)는 반대 부호——반대칭 상태. 대칭 상태 쪽이 에너지가 낮아. 이것은 제 9 장 이후에서 우물형 퍼텐셜을 다룰 때도 반복해서 나타나는 패턴이야.
✅ 이해도 체크: 고유상태 \(|I\rangle\)와 \(|II\rangle\) 중에서, 에너지가 낮은 것은 어느 쪽일까요? 또한, 그것은 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\)의 어떤 중첩일까요?
답
에너지가 낮은 것은 \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\)이고, 에너지는 \(E_{II} = E_0 - A\)이다. 이것은 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\)을 같은 부호로 더한 대칭 상태이다. 반대칭 상태 \(|I\rangle\) 쪽이 에너지가 높다.
🟡 리나: 2개의 고유벡터가 직교하는지 확인해 보자. \(\langle I|II\rangle = \frac{1}{2}(\langle 1| - \langle 2|)(|1\rangle + |2\rangle) = \frac{1}{2}(1 + 0 - 0 - 1) = 0\). 직교하고 있네.
⚪ 메이: 실제로 계산으로 확인할 수 있으니 깔끔해. 이것은 우연인 건가, 아니면 일반적으로 성립하는 건가?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 이것은 우연이 아니야. 에르미트 행렬의 다른 고유값에 속하는 고유벡터는 반드시 직교한다——이것은 선형대수의 일반적인 정리야. 물리적으로는, \(|I\rangle\)와 \(|II\rangle\)는 "완전히 구별 가능한 상태"라는 의미야. 그림 6.2「위치 기저와 에너지 기저의 관계」에서, 2가지 기저의 관계를 기하학적으로 봐보자.
그림 6.2: 위치 기저와 에너지 기저의 관계. "위치 기저" \(\{|1\rangle, |2\rangle\}\)와 "에너지 기저" \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\)는 45° 회전한 관계에 있다. \(|II\rangle\)(대칭)는 \(|1\rangle\)과 \(|2\rangle\)의 같은 비율 덧셈, \(|I\rangle\)(반대칭)는 뺄셈.
🟡 리나: 여기까지의 결과를 그림으로 정리해 두자. 암모니아 분자의 퍼텐셜 에너지를 질소의 위치의 함수로 그리면, "위"와 "아래"의 2개의 안정 위치에 대응하는 2개의 골(우물)이, 중앙의 장벽으로 격리된 형태가 돼——이것을 이중 우물 퍼텐셜(double-well potential)이라고 불러(그림 6.3「이중 우물 퍼텐셜과 에너지 분裂」).
그림 6.3: 이중 우물 퍼텐셜과 에너지 분裂. 암모니아 분자의 이중 우물 퍼텐셜. 상태 \(|1\rangle\)(질소가 위)과 \(|2\rangle\)(질소가 아래)의 2개의 우물이 있고, 그 사이의 장벽을 양자 터널 효과로 오간다. 대칭 상태 \(|II\rangle\)의 에너지는 \(E_0 - A\)(낮은 쪽), 반대칭 상태 \(|I\rangle\)의 에너지는 \(E_0 + A\)(높은 쪽)로 분裂한다.
✅ 이해도 체크: 암모니아 분자의 터널 분裂 \(2A\)에 대응하는 마이크로파의 진동수는 약 24,000 MHz예요. 만약 터널 효과가 없었다면 (\(A = 0\)), 에너지 준위는 어떻게 될까요?
답
\(A = 0\)이면 \(E_I = E_{II} = E_0\)이 되어, 2개의 에너지 준위가 완전히 겹친다(축퇴한다). 질소 원자가 평면을 관통할 수 없으면, "위"와 "아래"의 배치는 독립적이고 구별이 안 되어, 에너지 차가 생기지 않는다.
📝 연습문제:
- 고유값 \(E_I = E_0 + A\)에 대응하는 고유벡터의 유도를, 식 (6.9b)에서 출발하여 다시 한번 확인하라. → 문제 B-4. 고유벡터의 직교성 확인
6.5 정상 상태의 시간 발전¶
🟡 리나: 고유값과 고유벡터를 알았으니, 정상 상태의 시간 발전을 써내려갈 수 있어. 고유상태 \(|I\rangle\)에 초기 시각 \(t = 0\)에서 있던 계는, 시각 \(t\)에서는:
마찬가지로 고유상태 \(|II\rangle\)이라면:
🔵 카이: \(e^{-iEt/\hbar}\)는, 절댓값이 항상 1이죠? 그러니까 \(|C_1|^2\)이나 \(|C_2|^2\)은 시간이 지나도 변하지 않아요.
🟡 리나: 맞아. 정상 상태에서는, 상태 \(|1\rangle\)이나 \(|2\rangle\)에서 발견될 확률이 시간에 의존하지 않아. 그래서 "정상"이라고 부르는 거야.
✅ 이해도 체크: 정상 상태에서는 진폭에 \(e^{-iEt/\hbar}\)라는 시간 의존성이 있는데, 왜 "정상"이라고 불릴까요?
답
\(e^{-iEt/\hbar}\)는 절댓값이 항상 1인 위상 인자이므로, 확률 \(|C_1|^2\)이나 \(|C_2|^2\)은 시간에 의존하지 않는다. 관측에 걸리는 물리량(확률)이 변하지 않으므로 "정상"이라고 불린다. 변하고 있는 것은 진폭의 위상뿐이다.
⚪ 메이: 예를 들어 상태 \(|II\rangle\)에 있을 때, \(|1\rangle\)에서 발견될 확률은 \(|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2\). \(|2\rangle\)에서 발견될 확률도 \(1/2\). 질소가 위에 있을 확률과 아래에 있을 확률이 항상 반반이고, 그것이 시간적으로 변하지 않아.
🟡 리나: 다만, 진폭의 위상은 계속 회전하고 있어. \(e^{-iE_I t/\hbar}\)와 \(e^{-iE_{II} t/\hbar}\)는 다른 각진동수로 회전하니까, 정상 상태가 아닌 중첩을 만들면——재미있는 일이 일어나.
6.6 양자 진동 — 초기조건에 따른 진폭의 시간 변화¶
🟡 리나: 이제 이 장의 하이라이트야. \(t = 0\)에서 질소가 "위"에 있다——즉 \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\)——라는 초기조건을 생각해보자.
🔵 카이: \(|1\rangle\)은 고유상태가 아니죠? \(|I\rangle\)와 \(|II\rangle\)의 중첩으로 쓸 필요가 있어요.
🟡 리나: 그래. 식 (6.15a)와 (6.15b)를 더해서 \(|1\rangle\)을 구해보자:
따라서:
마찬가지로 \(|II\rangle - |I\rangle\)을 계산하면:
따라서:
🟡 리나: 이것은 기저의 변환이야. \(\{|1\rangle, |2\rangle\}\)와 \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\)는 둘 다 2상태계의 기저이지만, 후자는 Hamiltonian의 고유상태이므로 에너지 기저라고 불러.
⚪ 메이: 같은 상태를, 위치적 기저로 보느냐 에너지 기저로 보느냐——시점을 바꾸고 있을 뿐이네.
🟡 리나: 그래. 그러면, \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\)을 식 (6.17a)로 바꿔 쓰고, 각 고유상태에 시간 발전의 위상 인자를 붙이자. 왜 이것이 허용되느냐면, 식 (6.2)가 선형이기 때문이야. 선형 방정식에서는 "해의 중첩도 역시 해"——그러니까, 고유상태 \(|I\rangle\)의 시간 발전과 \(|II\rangle\)의 시간 발전을 각각 구해서 더하면, 전체의 시간 발전이 되는 거야:
\(|I\rangle\)와 \(|II\rangle\)을 원래 기저로 되돌리면:
\(|1\rangle\)의 계수를 모으면, \(|I\rangle\)에서의 기여가 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\), \(|II\rangle\)에서의 기여도 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)이므로:
마찬가지로 \(|2\rangle\)의 계수를 구해보자. \(C_1\)일 때와 같은 방법으로, 각 고유상태 안의 \(|2\rangle\)의 계수를 모아. \(|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle)\)이니까, \(|I\rangle\) 안의 \(|2\rangle\)의 계수는 \(-1/\sqrt{2}\). 식 (6.18)에서 \(|I\rangle\) 앞에 \(1/\sqrt{2}\)가 곱해져 있으니까, \(|I\rangle\)에서 \(|2\rangle\)로의 기여는 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}\). 마찬가지로 \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\) 안의 \(|2\rangle\)의 계수는 \(+1/\sqrt{2}\)이고, 식 (6.18)에서 \(|II\rangle\) 앞에도 \(1/\sqrt{2}\)가 곱해져 있으니까, \(|II\rangle\)에서의 기여는 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = +\frac{1}{2}\). 따라서(\(|I\rangle\)의 기여, \(|II\rangle\)의 기여 순서로 쓰면):
(마지막 등호는, \(-a + b = b - a\)로 2개 항의 순서를 바꾼 것뿐이야. 이렇게 다시 쓰는 이유는, 바로 뒤에서 \(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\)를 대입할 때, \(e^{-iE_{II} t/\hbar} - e^{-iE_I t/\hbar} = e^{-i(E_0-A)t/\hbar} - e^{-i(E_0+A)t/\hbar}\)가 되어, 공통인자 \(e^{-iE_0 t/\hbar}\)를 묶어내면 \(e^{+iAt/\hbar} - e^{-iAt/\hbar}\) 형태——즉 Euler의 공식으로 \(\sin\)으로 변환할 수 있는 형태——가 나타나기 때문이야.)
🔵 카이: 2개의 복소 지수함수의 합과 차…… 이것은 "맥놀이" 같은 건가요?
🟡 리나: 바로 그래! 공통인자를 묶어내 보자. \(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\)를 식 (6.19a)에 대입하면:
괄호 안은 \(e^{-iAt/\hbar} + e^{+iAt/\hbar}\)라는 형태지. 마찬가지로 \(C_2\) 쪽도 정리하면:
⚪ 메이: \(C_1\)이 "합"의 형태이고 \(C_2\)가 "차"의 형태——여기서 삼각함수가 나올 것 같아.
🟡 리나: 여기서 Euler(오일러)의 공식을 사용할게. 제 4 장에서 소개한 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)로부터, 2가지 편리한 공식을 유도할 수 있어:
\(C_1\) 쪽은 괄호 안이 \(e^{-iAt/\hbar} + e^{+iAt/\hbar} = 2\cos(At/\hbar)\)이니까, \(1/2\)를 곱하면 \(\cos(At/\hbar)\). \(C_2\) 쪽은 괄호 안이 \(-e^{-iAt/\hbar} + e^{+iAt/\hbar}\)야. 이것은 항의 순서를 바꾸면 \(e^{+iAt/\hbar} - e^{-iAt/\hbar}\)——즉 위의 두 번째 공식에서 \(\theta = At/\hbar\)로 한 것 그 자체야. 그래서 \(e^{+iAt/\hbar} - e^{-iAt/\hbar} = 2i\sin(At/\hbar)\)이고, \(1/2\)를 곱하면 \(i\sin(At/\hbar)\).
🔵 카이: 오오, \(\cos\)와 \(i\sin\)으로 깔끔하게 나뉘는군요!
🟡 리나: 맞아. 그리고 \(\cos\)와 \(\sin\)은 \(\pi/2\)만큼 어긋난 함수이니까, 2개의 진폭이 교대로 커지거나 작아지거나 해——이것이 양자 진동의 정체야. 정리하면:
🟡 리나: 그러면 확률을 계산해보자:
🔵 카이: 와아아! \(\cos^2\)와 \(\sin^2\)으로 확률이 왔다 갔다 해요…… 질소 원자가 위와 아래를 주기적으로 왕복한다는 건가요!?
🟡 리나: 맞아. 고전역학에서는 장벽을 넘을 수 없을 질소 원자가, 양자역학에서는 확률적으로 왔다 갔다 해——이것이 양자 진동의 본질이야. 구체적으로 확인해보자. \(t = 0\)에서는 \(\cos^2(0) = 1\)이니까 \(P_1 = 1\)로 질소는 확실히 위에 있어. 시간이 지나면 \(P_1\)이 줄어가.
🔵 카이: \(\cos^2\)가 영이 되는 것은…… \(At/\hbar = \pi/2\)일 때니까, \(t = \pi\hbar/(2A)\)에서 \(P_1 = 0\). 그러면, 질소가 완전히 "아래"로 이동하는 순간이 있다니!? 장벽을 넘을 수 없을 텐데!
⚪ 메이: 그래. 그때 \(P_2 = \sin^2(\pi/2) = 1\)이니까 확률 100%로 아래에 있어. 그리고 또 돌아와——주기적인 진동이야.
🟡 리나: 이것이 양자 진동(quantum oscillation), 혹은 Rabi 진동(라비 진동)이라고 불리는 현상이야. 각진동수를 구해보자. \(P_1(t) = \cos^2(At/\hbar)\)를 반각 공식 \(\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\)로 다시 쓰면 \(P_1(t) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2At/\hbar))\). 이 식을 보면, 확률은 일정값 \(1/2\) 주위를 \(\cos(2At/\hbar)\)로 진동하고 있어. \(\cos\) 안의 내용이 \(2At/\hbar\)이니까, 확률 진동의 각진동수는:
진동의 주기는:
이 주기 \(T\) 동안에, 질소 원자는 "위→아래→위"로 1왕복해. 이 진동의 모습을 그래프로 나타낸 것이 그림 6.4「Rabi 진동에 의한 확률의 시간 변화」이야.
그림 6.4: Rabi 진동에 의한 확률의 시간 변화. 초기상태 \(|\psi(0)\rangle = |1\rangle\)에서의 Rabi 진동. \(P_1(t) = \cos^2(At/\hbar)\)(파랑)와 \(P_2(t) = \sin^2(At/\hbar)\)(빨강). 확률은 완전히 왔다 갔다 하며, \(P_1 + P_2 = 1\)이 항상 성립한다.
⚪ 메이: 확률이 \(\cos^2\)와 \(\sin^2\)으로 진동하니까, \(P_1 + P_2 = \cos^2 + \sin^2 = 1\)은 항상 성립해. 확률의 보존이 확인돼.
🔵 카이: 잠깐만요. 질소 원자가 수소의 평면을 "빠져나가는" 건데, 고전적으로는 에너지가 부족할 텐데요? 그런데도 확률이 \(\sin^2\)으로 증가해가요. ……그런데, 장벽이 높아지면 \(A\)는 작아지나요? 즉, 장벽이 무한히 높은 극한에서는 터널 효과가 없어지고 진동도 멈추나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 맞아. 장벽이 높고 두꺼울수록 \(A\)는 지수함수적으로 작아져. 고전적으로는 질소 원자가 퍼텐셜 장벽에 막혀서 반대쪽으로 갈 수 없어. 하지만 양자역학에서는, 장벽을 "터널링"하는 진폭 \(A\)가 영이 아닌 한, 진동이 일어나. \(A\)가 작으면 진동은 느리지만, 유한한 장벽에서는 결코 영이 되지 않아.
🔵 카이: "지수함수적으로 작아진다"는 것은, 장벽이 조금만 두꺼워져도 \(A\)가 급감한다는 거군요. ……그러면, 일상적인 스케일에서는 장벽이 자릿수가 다르게 두꺼우니까, 벽을 빠져나갈 확률은 사실상 영이라는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 거시적인 물체에서는 장벽이 원자 스케일에 비해 자릿수가 다르게 두꺼우니까, \(A\)는 천문학적으로 작아져. 하지만 거꾸로 말하면, \(A\)가 유한한 한——즉 장벽이 유한한 높이·두께인 한——양자 진동은 결코 영이 되지 않아. "완전히 멈추는" 것은 장벽이 무한대인 극한뿐이야. 이것이 고전역학과의 본질적인 차이야.
⚪ 메이: 즉, 고전역학에서는 "넘을 수 없는 벽"이 양자역학에서는 "넘기 어려울 뿐인 벽"이 돼——정도의 문제이지, 원리적으로는 영이 되지 않는 거네.
✅ 이해도 체크: Rabi 진동의 각진동수 \(\omega_0\)는 어떻게 표현될까요? 또한, 터널 진폭 \(A\)가 클수록 진동은 빨라질까요 느려질까요?
답
\(\omega_0 = 2A/\hbar\). \(A\)가 클수록 각진동수가 커지므로, 진동은 빨라진다. 터널 효과가 강할(장벽을 빠져나가기 쉬울)수록, 질소 원자의 상하 왕복이 빈번해진다.
✅ 이해도 체크: 초기 상태가 \(|\psi(0)\rangle = |2\rangle\)(질소가 "아래")였다면, \(P_1(t)\)와 \(P_2(t)\)는 어떻게 될까요?
답
식 (6.17b)에서 \(|2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-|I\rangle + |II\rangle)\). 같은 계산을 하면 \(P_1(t) = \sin^2(At/\hbar)\), \(P_2(t) = \cos^2(At/\hbar)\). 즉, 초기조건이 바뀌었을 뿐이고, 진동 패턴은 같다(\(\cos\)와 \(\sin\)이 바뀔 뿐).
📝 연습문제:
- 초기 상태 \(|\psi(0)\rangle = |II\rangle\)(저에너지 고유상태)일 때, \(P_1(t)\)와 \(P_2(t)\)를 계산하고, 시간에 의존하지 않음을 확인하라. → 문제 B-5. 확률의 시간 의존성 계산
6.7 왜 Hamiltonian이 중심에 있는가 — 여기까지의 정리¶
🔵 카이: 여기까지 와서 느끼는 건데, Hamiltonian 행렬은 정말 강력하네요. 행렬 하나를 써내리기만 하면, 에너지 준위도, 정상 상태도, 시간 변화도 전부 나와요.
🟡 리나: 그래. 양자역학에서 "문제를 푼다"는 것은, 궁극적으로 Hamiltonian을 써내리고, 그 고유값과 고유벡터를 구하는 것이야. 절차를 정리하면:
- 기저를 선택한다: 물리적으로 자연스러운 기저(basis) \(\{|1\rangle, |2\rangle, \ldots\}\)를 설정한다
- Hamiltonian 행렬을 결정한다: 대칭성이나 물리적 고찰로부터 \(H_{ij}\)를 결정한다
- 고유값 문제를 푼다: \(H|E_n\rangle = E_n|E_n\rangle\) — 에너지 준위 \(E_n\)과 고유상태 \(|E_n\rangle\)을 얻는다
- 초기조건을 고유상태로 전개한다: \(|\psi(0)\rangle = \sum_n c_n |E_n\rangle\)
- 시간 발전을 쓴다: \(|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n\,e^{-iE_n t/\hbar}|E_n\rangle\)
표 6.2: 양자역학의 문제를 푸는 5단계
| 단계 | 조작 | 암모니아 분자에서의 구체 예 |
|---|---|---|
| 1. 기저를 선택 | 물리적으로 자연스러운 상태를 열거 | \(\|1\rangle\)(N이 위), \(\|2\rangle\)(N이 아래) |
| 2. Hamiltonian 결정 | 대칭성·물리적 고찰을 사용 | \(H = \begin{pmatrix} E_0 & -A \\\\ -A & E_0 \end{pmatrix}\) |
| 3. 고유값 문제를 풀기 | \(\det(H - E\mathbb{1}) = 0\) | \(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\) |
| 4. 초기조건 전개 | \(c_n = \langle E_n\|\psi(0)\rangle\) | \(\|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\|I\rangle + \|II\rangle)\) |
| 5. 시간 발전을 쓰기 | 각 고유상태에 \(e^{-iE_n t/\hbar}\)를 부여 | \(P_1(t) = \cos^2(At/\hbar)\)(Rabi 진동) |
⚪ 메이: 이 레시피는 2상태계에 한정되지 않고, 더 많은 상태가 있는 계에서도 같은 구조야.
🟡 리나: 맞아. 제 7 장 이후에서 파동함수와 Schrödinger(슈뢰딩거) 방정식을 도입하지만, 기본적인 논리 구조는 여기서 본 것과 같아. Hamiltonian의 고유값이 에너지, 고유상태가 정상 상태, 일반적인 상태는 고유상태의 중첩으로 시간 발전한다——이 골격은 양자역학 전체를 관통하고 있어.
🔵 카이: 2상태계에서 연습해 두면, 나중이 편해지겠네요. ……그런데, 상태가 3개 이상이 되면, 고유값을 구하는 게 엄청 어려워지지 않나요? 3차 방정식 같은 게 나올 것 같은데.
🟡 리나: 좋은 걱정이야. 실제로, \(N\)상태계에서는 \(N\)차 방정식을 풀어야 해. 하지만 많은 경우, 대칭성을 사용해서 문제를 작은 블록으로 분해할 수 있어. 그것은 뒤의 장에서 보게 될 거야.
🔵 카이: 대칭성이 또 나오는군요. 암모니아에서도 대칭성으로 \(H_{11} = H_{22}\)가 결정되었고…… 거꾸로 말하면, 대칭성이 없는 계에서는 Hamiltonian을 결정하는 게 훨씬 어려워진다는 건가요.
🟡 리나: 맞아. 대칭성이 적은 계일수록, Hamiltonian의 성분을 결정하는 데 실험 데이터나 다른 이론적 고찰이 필요해져. 하지만 거꾸로 말하면, 대칭성을 찾는 것이 문제를 풀 최대의 무기가 돼——이것은 양자역학에 한정되지 않고 물리학 전체에 통하는 교훈이야.
🔵 카이: "대칭성을 찾는 것이 무기"라…… 확실히, 암모니아에서는 상하 대칭성 하나로 행렬의 절반이 결정된 거잖아요.
✅ 이해도 체크: 양자역학에서 "문제를 푼다"는 기본적인 절차를 5단계로 설명해 보세요.
답
(1) 기저(basis)를 선택한다, (2) Hamiltonian 행렬을 결정한다, (3) 고유값 문제를 풀어 에너지 준위와 고유상태를 얻는다, (4) 초기조건을 고유상태로 전개한다, (5) 각 고유상태에 위상인자 \(e^{-iE_n t/\hbar}\)를 붙여 시간 발전을 쓴다.
6.8 전기장 속의 암모니아 분자 — 대칭성이 깨졌을 때¶
🟡 리나: 여기서부터는 한 걸음 더 나아가서, 암모니아 분자에 외부에서 전기장을 걸었을 경우를 생각해보자.
🔵 카이: 전기장을 걸면 뭐가 달라지나요?
🟡 리나: 암모니아 분자는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) \(\mu\)를 가지고 있어. 전기 쌍극자 모멘트란, 분자 내에서 양전하와 음전하의 중심이 어긋나 있을 때, 그 어긋남의 크기와 방향을 나타내는 양이야. 정량적으로는, 양전하 \(q\)와 음전하 \(-q\)가 거리 \(d\)만큼 떨어져 있을 때, 쌍극자 모멘트의 크기는 \(\mu = qd\)로 정의돼. 차원은 \([\text{전하}] \times [\text{길이}]\)이고, SI 단위는 C·m(쿨롱·미터)야.
🔵 카이: 양과 음이 어긋나 있다…… 구체적으로는 어떤 건가요?
🟡 리나: 질소 원자는 전자를 수소 원자보다 강하게 끌어당겨. 그래서 질소 쪽이 약간 음(−), 수소 쪽이 약간 양(+)으로 대전돼. 쌍극자 모멘트의 방향은, 음전하에서 양전하를 향하는 방향으로 정의돼. "\(-\)에서 \(+\)를 가리키는 화살표"라고 외워 둬. 그림 6.1「암모니아 분자의 구조」를 다시 봐——질소(\(-\))가 위, 수소(\(+\))가 아래에 있는 배치에서는, 화살표는 위(\(-\))에서 아래(\(+\))를 향하니까, 쌍극자는 "아래 방향". 질소가 "아래"에 있는 배치에서는 그 반대로, 쌍극자는 "위 방향"이야.
그리고, 쌍극자가 전기장 속에 놓였을 때의 에너지 이야기를 할게. 양전하는 전기장 방향으로 끌리고, 음전하는 반대 방향으로 끌려. 그래서 쌍극자의 화살표가 전기장과 같은 방향일 때——즉 양전하 쪽이 전기장 방향에 있을 때——가 가장 안정적이고 에너지가 최저야. 반대 방향일 때가 가장 불안정하고 에너지가 최고야. 이것을 "쌍극자가 전기장과 정렬되어 있다"고 표현해.
🔵 카이: 음, 정리시켜 주세요. 질소가 "위"에 있을 때, 음전하(질소 쪽)가 위이고 양전하(수소 쪽)가 아래니까…… 화살표는 위의 \(-\)에서 아래의 \(+\)를 향해요. 즉 쌍극자는 "아래 방향". 질소가 "아래"에 있으면, 음전하가 아래이고 양전하가 위니까, 화살표는 아래에서 위로 "위 방향"이네요.
⚪ 메이: "쌍극자의 화살표는 \(-\)에서 \(+\)를 가리킨다"——이것만 기억해 두면, 질소의 위치가 결정되면 화살표의 방향도 결정되네.
🟡 리나: 맞아. 천천히 확인해 줬네. 포인트는 "화살표의 방향"과 "질소의 위치"가 항상 반대——질소가 위면 화살표는 아래, 질소가 아래면 화살표는 위. 이 대응을 머릿속에 넣어 둬.
⚪ 메이: 질소의 위치가 반전되면, 쌍극자 모멘트의 방향도 반전되는 거네.
🟡 리나: 그래. 외부 전기장 \(\mathcal{E}\)를 "위 방향"으로 건다고 하자. 쌍극자가 전기장 속에 놓이면, 양전하 쪽은 전기장 방향으로 끌리고, 음전하 쪽은 반대 방향으로 끌려. 쌍극자가 전기장과 정렬되어 있을 때는 "안정"하고 에너지가 낮고, 반대 방향일 때는 "불안정"하고 에너지가 높아. 이것을 정량적으로 쓰면, 쌍극자 모멘트와 전기장의 상호작용 에너지는 \(U = -\mu\mathcal{E}\cos\theta\)가 돼(\(\theta\)는 쌍극자와 전기장이 이루는 각). 이 식의 유래를 간단히 설명하면, 양전하 \(+q\)는 전기장 방향으로 \(F = qE\)의 힘을 받고, 음전하 \(-q\)는 반대 방향으로 같은 크기의 힘을 받아. 쌍극자가 전기장과 각도 \(\theta\)를 이룰 때, 전기장 방향의 "유효한 길이"는 \(d\cos\theta\)이므로, 일(에너지)은 \(-qd\mathcal{E}\cos\theta = -\mu\mathcal{E}\cos\theta\)가 돼. 정렬되어 있을 때(\(\theta = 0°\)) 에너지가 가장 낮아서 \(U = -\mu\mathcal{E}\), 반대 방향일 때(\(\theta = 180°\)) 가장 높아서 \(U = +\mu\mathcal{E}\)가 돼.
🔵 카이: 정렬되면 에너지가 내려가고, 반대 방향이면 올라간다…… 자석이 자기장에 정렬되려 하는 것과 비슷하네요.
🟡 리나: 좋은 유추야. 구체적으로 확인해 보자. 질소가 "위"에 있는 상태 \(|1\rangle\)에서는, 아까 확인한 것처럼 쌍극자는 아래 방향이야. 전기장은 위 방향이니까, 쌍극자와 전기장은 반대 방향(\(\theta = 180°\))으로 \(U = +\mu\mathcal{E}\)(에너지가 높다). 질소가 "아래"에 있는 상태 \(|2\rangle\)에서는 쌍극자가 위 방향이니까 전기장과 같은 방향(\(\theta = 0°\))으로 \(U = -\mu\mathcal{E}\)(에너지가 낮다).
🔵 카이: 즉, \(H_{11} \neq H_{22}\)가 되는 거군요! 대칭성이 깨져요!
🟡 리나: 맞아. 전기장 속의 Hamiltonian은:
여기서, 터널 진폭 \(-A\)는 전기장의 영향을 거의 받지 않는다고 가정하고 있어.
🔵 카이: 전기장을 바꾸면 에너지 준위가 어떻게 움직이는지, 그림으로 보고 싶어요.
🟡 리나: 좋은 제안이야. 그림 6.5「전기장 속의 에너지 준위」를 봐. 만약 \(A = 0\)(터널 효과 없음)이라면, 2개의 에너지 준위는 직선적으로 변화해서 \(\mu\mathcal{E} = 0\)에서 교차해(파선). 하지만 \(A \neq 0\)이면, 교차해야 할 점에서 준위가 "튕겨내듯" 떨어져——이것을 반교차(avoided crossing)라고 불러. 바로 뒤에서 고유값을 계산하겠지만, 결과를 먼저 말하면, 준위 간격은 \(2\sqrt{A^2 + \mu^2\mathcal{E}^2}\)가 돼. \(A \neq 0\)인 한 이것은 결코 영이 되지 않아——즉 2개의 준위는 결코 만나지 않아. 가장 접근하는 점(\(\mathcal{E} = 0\))에서의 간격이 \(2A\)야.
그림 6.5: 전기장 속의 에너지 준위. 가로축은 \(\mu\mathcal{E}/A\), 세로축은 에너지. 파선은 \(A = 0\)(터널 효과 없음)의 경우로, 2개의 직선이 교차한다. 실선은 \(A \neq 0\)의 경우로, 교차가 피해지고(반교차), 최소 간격은 \(2A\).
전기장 속의 고유값¶
🟡 리나: 고유값을 구해보자. 일반적인 2상태 Hamiltonian
의 고유값은:
🔵 카이: 이것은 어디서 나오는 건가요?
🟡 리나: 이전 섹션과 같은 절차야. \(\det(H - E\mathbb{1}) = 0\)을 일반적인 성분으로 쓰면 \((H_{11} - E)(H_{22} - E) - H_{12}H_{21} = 0\)——행렬식의 정의 \(ad - bc\)에서 \(a = H_{11} - E\), \(b = H_{12}\), \(c = H_{21}\), \(d = H_{22} - E\)로 한 것뿐이야. 이것을 전개할게. 에르미트성에서 \(H_{12}H_{21} = H_{12}H_{12}^* = |H_{12}|^2\)을 사용하면:
이것은 \(E\)에 대한 2차 방정식이니까, 고등학교에서 배운 근의 공식 \(E = \frac{(H_{11}+H_{22}) \pm \sqrt{(H_{11}+H_{22})^2 - 4(H_{11}H_{22} - |H_{12}|^2)}}{2}\)을 사용해. 판별식 안을 정리하면 \((H_{11}+H_{22})^2 - 4H_{11}H_{22} + 4|H_{12}|^2 = (H_{11}-H_{22})^2 + 4|H_{12}|^2\)이므로, 식 (6.25)가 나와. 이것은 암모니아 분자에 한정되지 않고, 어떤 2상태 Hamiltonian에도 사용할 수 있는 일반 공식이야.
⚪ 메이: 즉, \(H_{11}\), \(H_{22}\), \(H_{12}\)의 3개만 알면, 고유값이 바로 구해지는 거네.
🟡 리나: 암모니아 분자의 경우, \(H_{11} + H_{22} = 2E_0\), \(H_{11} - H_{22} = 2\mu\mathcal{E}\), \(|H_{12}|^2 = A^2\)을 대입하면:
🔵 카이: \(\mathcal{E} = 0\)일 때는 \(\sqrt{A^2} = A\)이니까, \(E_I = E_0 + A\), \(E_{II} = E_0 - A\)로 되돌아가네요.
🟡 리나: 그래. 전기장이 강해지면 준위 간격 \(E_I - E_{II} = 2\sqrt{A^2 + \mu^2\mathcal{E}^2}\)가 넓어져.
극한의 거동¶
🟡 리나: 2가지 극한을 봐두자.
약전기장 (\(\mu\mathcal{E} \ll A\))의 경우:
여기서 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\)(\(x \ll 1\)일 때)라는 근사를 사용했어. 이것은 \((1+x)^{1/2}\)의 1차 테일러 전개——즉 "\(x\)가 충분히 작을 때, \(x^2\) 이상의 항을 무시하고 1차 항만 남긴다"는 근사야. 실제로 \(x = 0.01\)에서 시험하면 \(\sqrt{1.01} = 1.00499\ldots \approx 1 + 0.005 = 1.005\)로, 잘 맞지?
따라서:
⚪ 메이: 에너지의 변화가 \(\mathcal{E}^2\)에 비례하네. 1승이 아니라 2승이라는 게 흥미로워.
🟡 리나: 그래. 에너지의 변화가 \(\mathcal{E}^2\)에 비례할 때, 그 비례계수를 분극률(polarizability)이라고 불러. 여기서는 \(\mu^2/(2A)\)가 그 역할을 하고 있어. \(A\)가 작을수록 분극률이 크다——즉 전기장에 민감해. 직관적으로는, \(A\)가 작다는 것은 2개의 준위가 가까이 접근해 있다는 것이야. 준위가 가까울수록, 외부의 섭동(전기장)으로 상태가 섞이기 쉽고, 에너지가 크게 움직여. 암모니아 분자는 \(A\)가 매우 작아서(마이크로파의 에너지 스케일) 분극률이 이상하게 커.
🔵 카이: 준위가 가까우면 전기장에 민감하다…… 뭔가, 균형이 불안정한 쪽이 조금만 밀어도 크게 움직이는 것과 비슷하네요.
🟡 리나: 강전기장 (\(\mu\mathcal{E} \gg A\))의 경우:
🔵 카이: 이건 \(A\)가 효과를 잃는다는 건가요?
🟡 리나: 그래. 전기장이 매우 강하면, "위"와 "아래"의 에너지 차이 \(2\mu\mathcal{E}\)가 터널 진폭 \(A\)를 압도해. 질소 원자는 에너지가 낮은 쪽에 "고정"되어 버리고, 반대쪽으로 터널링하는 효과가 거의 보이지 않게 돼.
🔵 카이: 강한 전기장이 터널 효과를 "죽이는" 거군요. 직관적으로도 이해가 가요. 에너지의 경사가 너무 급해서, 빠져나가도 의미가 없다고 할까.
🟡 리나: 2가지 극한을 표로 정리해 둘게.
표 6.3: 전기장의 세기에 따른 거동 비교
| 약전기장 (\(\mu\mathcal{E} \ll A\)) | 강전기장 (\(\mu\mathcal{E} \gg A\)) | |
|---|---|---|
| 에너지의 전기장 의존성 | \(\mathcal{E}^2\)에 비례(2차) | \(\mathcal{E}\)에 비례(1차) |
| 준위 간격 | \(\approx 2A\)(거의 일정) | \(\approx 2\mu\mathcal{E}\)(전기장에 비례) |
| 고유상태의 성격 | 대칭·반대칭(\(\|1\rangle \pm \|2\rangle\)) | 거의 \(\|1\rangle\)과 \(\|2\rangle\)(국소화) |
| 터널 효과의 영향 | 지배적(양자 진동이 일어남) | 억제됨(질소가 한쪽에 고정) |
| 물리적 묘사 | 질소는 상하를 왕복 | 질소는 에너지가 낮은 쪽에 머묾 |
✅ 이해도 체크: 약전기장의 극한 (\(\mu\mathcal{E} \ll A\))에서는, 에너지 준위의 전기장 의존성은 \(\mathcal{E}\)의 몇 승에 비례할까요? 그 비례계수는 뭐라고 불릴까요?
답
약전기장에서는 에너지의 변화가 \(\mathcal{E}^2\)에 비례한다(2차의 효과). 비례계수 \(\mu^2/(2A)\)는 분극률(polarizability)이라고 불린다. \(A\)가 작을수록 분극률이 크고, 전기장에 대해 민감해진다.
✅ 이해도 체크: 전기장 \(\mathcal{E}\)를 점점 강하게 했을 때, 에너지 준위 \(E_I\)와 \(E_{II}\)의 간격은 어떻게 변할까요?
답
\(E_I - E_{II} = 2\sqrt{A^2 + \mu^2\mathcal{E}^2}\). \(\mathcal{E} = 0\)에서는 \(2A\)이고, \(\mathcal{E}\)가 증가함에 따라 단조 증가하며, \(\mathcal{E} \gg A/\mu\)에서는 \(2\mu\mathcal{E}\)에 가까워진다. 준위 간격은 전기장과 함께 넓어지기만 하고, 좁아지지는 않는다.
📝 연습문제:
- 식 (6.25)를 2차 방정식의 근의 공식으로부터 유도하라. → 문제 M-1. 확률 보존으로부터 에르미트성 유도
6.9 암모니아 메이저의 원리 — 진동하는 전기장에 의한 상태 간 전이¶
🟡 리나: 마지막으로, 암모니아 메이저(ammonia maser)의 동작 원리를 살펴보자. MASER는 Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation(유도방출에 의한 마이크로파 증폭)의 약자야.
🔵 카이: 제 1 장에서 Einstein(아인슈타인)의 유도방출(1917) 이야기가 있었잖아요. 그것과 관계가 있나요?
🟡 리나: 바로 그래. Einstein이 예언한 유도방출을, 암모니아 분자의 2준위계에서 실현한 것이 메이저야. 1954년에 Townes(타운스) 등이 처음으로 동작시킨 장치로, 후의 레이저(LASER)의 원형이 되었어.
분자의 분리¶
🟡 리나: 메이저의 동작에는 준비가 필요해. 먼저, 암모니아 분자의 빔을 만들고, 상태 \(|I\rangle\)(고에너지)와 \(|II\rangle\)(저에너지)의 분자를 분리해.
🔵 카이: 어떻게 분리하나요?
🟡 리나: 불균일한 전기장을 사용해. 식 (6.27)을 봐. 약전기장 근사에서:
- 상태 \(|I\rangle\)의 에너지는 \(\mathcal{E}^2\)와 함께 증가한다
- 상태 \(|II\rangle\)의 에너지는 \(\mathcal{E}^2\)와 함께 감소한다
고등학교 물리에서 "물체는 퍼텐셜 에너지가 감소하는 방향으로 힘을 받는다"고 배웠지. 즉 힘은 \(F = -dU/dx\)——에너지가 위치와 함께 증가하는 방향에는, 그것을 되밀어내는 힘이 작용해. 불균일 전기장에서는 장의 세기 \(\mathcal{E}\)가 장소에 따라 다르니까, 분자의 에너지도 장소에 따라 변해. 상태 \(|I\rangle\)의 분자는 에너지가 \(\mathcal{E}^2\)와 함께 증가하니까, 전기장이 강한 곳일수록 에너지가 높아——따라서 전기장이 약한 영역으로 향하는 힘을 받아. 반대로 상태 \(|II\rangle\)의 분자는 에너지가 \(\mathcal{E}^2\)와 함께 감소하니까, 전기장이 강한 곳일수록 에너지가 낮아——따라서 전기장이 강한 영역으로 향하는 힘을 받아. 이렇게 빔이 2개로 나뉘어.
🔵 카이: 아, 이거 제 5 장의 Stern-Gerlach 실험과 비슷하지 않나요? 거기서는 불균일 자기장으로 스핀을 분리했잖아요.
🟡 리나: 좋은 연결이야. 정확히 같은 발상이야. Stern-Gerlach에서는 불균일자기장과 스핀의 자기 모멘트를 사용했지만, 지금은 불균일전기장과 전기 쌍극자 모멘트를 사용하고 있어——물리적인 메커니즘은 같고, "에너지가 장의 세기에 의존한다 → 불균일한 장 안에서 힘을 받는다 → 상태별로 분리된다"라는 논리야. 분리한 후, 상태 \(|I\rangle\)(고에너지)의 분자만을 공동 공진기(cavity resonator)에 보내.
시간에 의존하는 전기장과 전이¶
🟡 리나: 공동 공진기 내부에는, 진동수 \(\omega\)로 진동하는 전기장 \(\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \cos\omega t\)가 존재해. 이때 Hamiltonian은 시간에 의존하니까, 지금까지의 "고유값을 구하면 끝"이라는 접근법으로는 풀 수 없어.
🔵 카이: 시간에 의존하는 Hamiltonian…… 그건 어려울 것 같네요.
🟡 리나: 일반적으로는 어렵지만, 전기장이 약한 경우(\(\mu\mathcal{E}_0 \ll A\))에는 근사적으로 풀 수 있어. 핵심은, "전기장이 없을 때의 빠른 진동"과 "전기장에 의한 느린 변화"를 분리하는 거야.
🔵 카이: 분리한다는 건, 구체적으로 어떻게 하는 건가요?
🟡 리나: 전기장이 없을 때, 고유상태의 진폭은 \(C_I(t) = (\text{상수}) \times e^{-iE_I t/\hbar}\)처럼 고속으로 위상 회전만 할 뿐이었지. 이 "알고 있는 빠른 회전"을 미리 제거하고, 나머지의 "전기장 때문에 새로 생기는 변화"만 추적하려는 발상이야. 구체적으로는:
라고 쓰는 거야. 전기장이 없으면 \(\gamma_I\), \(\gamma_{II}\)는 상수로 변하지 않아. 전기장이 있으면, \(\gamma_I\), \(\gamma_{II}\)가 천천히 변해. 이렇게 하면, \(\gamma\)의 운동방정식에는 "빠른 진동" 부분이 사라지고, 전기장의 효과만 남아——그래서 전망이 좋아지는 거야.
⚪ 메이: 그렇구나, "알고 있는 회전을 차감하고 나머지만 본다"——배경을 제거하는 감각이네.
🟡 리나: 운동방정식을 \(\gamma_I\), \(\gamma_{II}\)에 대해 다시 쓰는 과정을 보여줄게. 좀 길지만, 한 걸음씩 따라와.
먼저 식 (6.29)의 \(C_I(t) = \gamma_I(t)\,e^{-iE_I t/\hbar}\)를 시간 미분하면, 곱의 미분법칙에서:
이것을 식 (6.2)의 좌변 \(i\hbar\,dC_I/dt\)에 넣으면:
한편, 우변은 전기장 속의 Hamiltonian \(H = H_0 + V(t)\)를 사용해서 쓰여 있어. 여기서 \(H_0\)은 전기장 없는 Hamiltonian(고유값 \(E_I\), \(E_{II}\)를 가짐), \(V(t)\)는 전기장에 의한 섭동이야. 에너지 기저 \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\)로 쓰면, \(H_0\)의 기여는 대각적이어서 \(E_I\,\gamma_I\,e^{-iE_I t/\hbar}\)를 만들어(이것은 정상적인 회전에 대응하는 부분). 좌변에도 같은 항이 있으니까, 양변에서 이 항이 상쇄되어 사라지고, 남는 것은 \(V(t)\)에 의한 비대각적인 항뿐이야.
🔵 카이: 잠깐만요. "\(V(t)\)가 비대각적"이라는데, 위치 기저 \(\{|1\rangle, |2\rangle\}\)에서는 \(V\)가 대각적이었잖아요? 에너지 기저로 바꾸면 비대각이 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 바로 거기가 포인트야. 위치 기저에서는 \(\langle 1|V|1\rangle = +\mu\mathcal{E}_0\cos\omega t\), \(\langle 2|V|2\rangle = -\mu\mathcal{E}_0\cos\omega t\)이고, \(\langle 1|V|2\rangle = \langle 2|V|1\rangle = 0\)——즉 대각적이야. 하지만 에너지 기저 \(\{|I\rangle, |II\rangle\}\)에서의 비대각 성분 \(\langle I|V|II\rangle\)를 계산해보면, \(|I\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle)\), \(|II\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)\)를 대입해서:
⚪ 메이: 그렇구나. 위치 기저에서 대각적이었던 섭동이, 에너지 기저에서는 비대각 성분을 만들어——\(|I\rangle\)와 \(|II\rangle\)를 연결하는 항이 되는 거구나. 기저의 선택에 따라 행렬의 "대각·비대각"이 뒤바뀌는 게 재미있어.
🟡 리나: 맞아. 기저를 바꾼다는 것은, 좌표축을 회전시키는 것과 같아——행렬의 겉모습은 바뀌지만, 물리적 내용은 같아. 자세한 전체 유도는 연습문제에서 확인해 봐.
자, 정리하면, 우변에 나타나는 \(\gamma_{II}\)에는 원래 \(C_{II} = \gamma_{II}\,e^{-iE_{II} t/\hbar}\) 형태로 \(e^{-iE_{II} t/\hbar}\)가 붙어 있었는데, 좌변에서 나오는 \(e^{+iE_I t/\hbar}\)와 곱해져서 \(e^{-i(E_{II} - E_I)t/\hbar} = e^{i\omega_0 t}\)라는 인자가 돼(\(\omega_0 = (E_I - E_{II})/\hbar = 2A/\hbar\)). 나아가 \(\cos\omega t = \frac{1}{2}(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t})\)로 다시 쓰면, \(\gamma_{II}\)에 곱해지는 인자로서 \(e^{i(\omega_0 + \omega)t}\)와 \(e^{i(\omega_0 - \omega)t}\)의 2종류가 나타나. 즉:
🔵 카이: 2종류의 진동 인자가 나오는군요. \(\omega_0 + \omega\)와 \(\omega_0 - \omega\)……
🟡 리나: 전자(\(\omega_0 + \omega\)로 진동하는 항)는 \(\omega_0 + \omega\)라는 매우 높은 진동수로 양과 음이 격렬하게 교대해. 한편, \(\gamma\)는 얼마나 빨리 변할까? 식의 우변 전체가 \(\gamma\)를 변화시키는 "구동력"인데, 그 크기는 계수 \(\mu\mathcal{E}_0/(2\hbar)\)로 결정돼. 고등학교에서 배운 \(dy/dt = ky\)의 해 \(y = y_0 e^{kt}\)를 떠올려——\(y\)가 크게 변하는 데 걸리는 시간은 \(1/k\) 정도지. 지금의 연립방정식은 \(d\gamma_I/dt \sim (\mu\mathcal{E}_0/\hbar)\,\gamma_{II}\)라는 형태를 하고 있으니까, 우변의 계수 \(\mu\mathcal{E}_0/\hbar\)가 "변화의 빠르기"를 결정하고 있어. 엄밀하게는 연립방정식이니까 단순한 지수함수는 아니지만, 변화의 시간 스케일의 오더는 계수의 역수——즉 \(\hbar/(\mu\mathcal{E}_0)\) 정도——로 추정할 수 있어.
🔵 카이: 즉, \(\gamma\)는 천천히 변한다는 건가요? 그런데, 왜 "빠르게 진동하는 항"이 사라지나요? 빠르게 진동해도, 영이 되지는 않잖아요……?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 이렇게 생각해 봐. \(\gamma\)가 거의 변하지 않는 짧은 시간 동안에, 고속 진동하는 항 \(e^{i(\omega_0+\omega)t}\)는 수십 번이나 양과 음을 오가. \(\gamma\)를 변화시키는 "힘"이 양이 되었다 음이 되었다를 고속으로 반복하니까, 양의 방향으로 밀린 만큼과 음의 방향으로 밀린 만큼이 거의 완전히 상쇄돼. 그네를 초고속으로 아무렇게나 밀었다 당겼다 해도, 그네는 거의 움직이지 않지? 그것과 같아. 한편, \(e^{i(\omega_0-\omega)t}\)의 항은 \(\omega \approx \omega_0\)일 때 진동이 거의 없고, 계속 같은 방향으로 "밀어주니까" 효과가 축적돼.
⚪ 메이: 그네 비유는 이해하기 쉬워. 고속으로 양음이 바뀌는 힘은 실질적으로 영, 느린 힘만 효과를 발휘한다——라는 거네.
🟡 리나: 그래. \(\mu\mathcal{E}_0 \ll A\)라는 조건을 떠올려. 분모가 작을수록 분수는 커지니까, \(\mu\mathcal{E}_0 \ll A\)라면 \(\hbar/(\mu\mathcal{E}_0) \gg \hbar/A\)——즉 \(\gamma\)의 변화의 시간 스케일 \(\hbar/(\mu\mathcal{E}_0)\)는, 고속 진동의 시간 스케일 \(\hbar/A\)(\(\omega_0 + \omega\)의 역수의 오더)보다 훨씬 길어. 구체적인 숫자로 감각을 잡으면, 암모니아의 경우 \(\omega_0 = 2A/\hbar \sim 2\pi \times 24{,}000\) MHz이니까, \(\omega_0 + \omega \sim 2\omega_0\)으로 하면 고속 진동의 1주기는 \(10^{-11}\)초 정도. 한편, 약한 전기장에서 \(\mu\mathcal{E}_0\)가 \(A\)의 100분의 1이라면, \(\gamma\)가 크게 변하는 데 \(10^{-9}\)초 정도 걸려——100배나 느려. 그러면 고속 진동하는 항은, \(\gamma\)가 거의 변하지 않는 동안에 여러 번 양음을 반복해서 상쇄되어, 실질적으로 영이 돼——이것을 회전파 근사(rotating wave approximation)라고 불러. 이름의 유래는, \(e^{i\omega t}\)가 복소 평면 위에서 "회전하는 파"를 나타내는 것에서 온 거야. 고속으로 회전하는 성분을 버리고, 천천히 회전하는 성분만 남긴다——그래서 "회전파 근사"야. 후자만 남기면, 결과적으로 \(\gamma_I\)의 방정식은 대략 이렇게 돼:
(회전파 근사 하에서의 개략식. 완전한 유도는 문제 M-2. Rabi (라비) 진동의 유도에서 확인해 봐.)식 (6.30b)의 지수 부호가 (6.30a)와 반대인 이유를 보충할게. \(\gamma_{II}\)의 방정식에서는 \(e^{-iE_{II} t/\hbar}\)를 제거할 때 \(e^{+iE_{II} t/\hbar}\)가 곱해지고, \(\gamma_I\)에 붙어 있던 \(e^{-iE_I t/\hbar}\)와 합쳐져서 \(e^{-i(E_I - E_{II})t/\hbar} = e^{-i\omega_0 t}\)가 나타나——즉 \(\gamma_I\)의 식과 정확히 부호가 반전돼. 2개의 식이 짝을 이루고 있어서, \(\gamma_I\)와 \(\gamma_{II}\)가 서로 결합되어 있음을 알 수 있지.
🔵 카이: 식 (6.30)의 형태, 처음에 나왔던 식 (6.2)와 비슷하네요. \(\gamma_I\)와 \(\gamma_{II}\)가 서로 영향을 주고받고 있어요.
🟡 리나: 핵심은 이 인자 \(e^{\pm i(\omega_0 - \omega)t}\)에 있어. 여기서 \(\omega_0 = (E_I - E_{II})/\hbar = 2A/\hbar\)는, 식 (6.22)에서 구한 Rabi 진동의 각진동수와 같은 양이야. 공명 조건 \(\omega \approx \omega_0\)일 때, \(e^{\pm i(\omega_0 - \omega)t} \approx 1\)에 머물러서 효과가 축적되고, 전이가 가장 효율적으로 일어나.
🔵 카이: 공명……? 왜 진동수가 맞으면 전이가 일어나기 쉬운 건가요?
🟡 리나: 그네를 상상해 봐. 흔들림의 주기에 맞춰서 밀면, 매번 "후원"이 축적되어 점점 크게 흔들리지? 하지만 타이밍이 어긋나면, 어떨 때는 후원, 어떨 때는 방해를 해서, 효과가 상쇄돼.
🔵 카이: 수학적으로는 왜 그렇게 되나요?
🟡 리나: 아까 유도한 식 (6.30)을 봐. 우변의 인자 \(e^{i(\omega_0 - \omega)t}\)가 열쇠야. 그네 비유로 돌아가면, 이 인자는 "미는 타이밍과 흔들림의 타이밍의 어긋남"을 나타내고 있어. \(\omega = \omega_0\)이면 \(e^{i \cdot 0 \cdot t} = 1\)이라서, 매번 같은 타이밍으로 밀고 있어——그래서 효과가 한 방향으로 축적돼. 하지만 \(\omega \neq \omega_0\)이면 \(e^{i(\omega_0 - \omega)t}\)가 복소 평면 위에서 빙빙 돌아서, 어떤 시간에는 양의 기여(후원), 다른 시간에는 음의 기여(방해)를 주어, 장시간에 걸쳐 상쇄돼 버려. 그래서 외부 전기장의 진동수가 \(\omega_0 = 2A/\hbar\)에 딱 맞을 때만, 전이 확률이 효율적으로 축적돼. 공명 조건이 충족되면, 분자는 \(|I\rangle\)에서 \(|II\rangle\)로 전이하고, 에너지 차 \(E_I - E_{II} = 2A\)를 마이크로파 광자로 방출해.
🔵 카이: 에너지 차가 그대로 광자의 에너지가 되는 거군요. \(E = h\nu\) 관계로.
🟡 리나: 이것이 Einstein(아인슈타인)이 1917년에 예언한 유도방출(stimulated emission)이야. 외부 전기장(이미 공동 내에 있는 마이크로파)이 분자에게 "광자를 내라"고 촉진해. 나온 광자는 외부 전기장과 같은 진동수·같은 위상을 가지니까, 마이크로파가 증폭돼.
⚪ 메이: 같은 진동수·같은 위상으로 맞춰지니까, 코히런트(위상이 맞춰진) 마이크로파 광원이 되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 메이저의 동작을 정리하면:
- 분자의 준비: 불균일 전기장으로 고에너지 상태 \(|I\rangle\)의 분자를 선별
- 공동 공진기에 도입: 공명 진동수 \(\omega_0 = 2A/\hbar\)의 마이크로파가 존재하는 공동에 분자를 보냄
- 유도방출: 분자가 \(|I\rangle \to |II\rangle\)로 전이하고, 마이크로파 광자를 방출
- 증폭: 방출된 광자가 공동 내의 마이크로파를 강화
🟡 리나: 그림 6.6「암모니아 메이저의 동작 원리」에 이 4단계를 모식적으로 그렸어.
그림 6.6: 암모니아 메이저의 동작 원리. ① NH₃ 분자원에서 혼합 빔을 방출 → ② 불균일 전기장으로 고에너지 상태 \(|I\rangle\)를 선별 → ③ 공명 진동수 \(\omega_0 = 2A/\hbar\)의 공동 공진기에 도입하여 유도방출을 일으킴 → ④ 증폭된 코히런트 마이크로파(약 24 GHz)가 출력된다.
🔵 카이: 대단해요! 양자역학의 2상태계 이론이, 그대로 실제 장치의 동작 원리가 되고 있군요. ……그런데 한 가지 의문이 있어요. 왜 고에너지 상태 \(|I\rangle\)의 분자만 골라야 하나요? 저에너지의 \(|II\rangle\)는 안 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. \(|II\rangle\)의 분자는, 광자를 흡수해서 \(|I\rangle\)로 올라가 버려——즉 마이크로파를 약화시켜 버려. 증폭하려면, 광자를 방출하는 쪽의 분자가 많아야 해. 그래서 고에너지 상태를 선별해서 보낼 필요가 있는 거야. 이것을 반전분포(population inversion)라고 불러.
🔵 카이: 방출하는 분자가 많아야 한다는 건 이해했어요. 그런데, 보통으로 분자를 모으면, 고에너지 분자와 저에너지 분자는 반반 정도가 되지 않나요? 굳이 분리하지 않아도, 방출과 흡수가 같은 정도여서 상쇄해서 영이 되는 것뿐 아닌가요?
🟡 리나: 좋은 착안이야. 사실, 보통 상태(열평형)에서는 저에너지 상태 \(|II\rangle\)에 있는 분자 쪽이 많아. 온도가 유한할 때, 분자는 에너지가 낮은 상태에 더 많이 모여——이것은 통계역학의 기본적인 결과로, 볼츠만 분포라고 불려. 그래서 아무것도 하지 않으면, 광자를 흡수하는 분자(\(|II\rangle \to |I\rangle\)) 쪽이 방출하는 분자(\(|I\rangle \to |II\rangle\))보다 많아서, 마이크로파는 약해져 버려. 증폭하려면, 고에너지 상태를 인위적으로 다수파로 만들어야 해——반전분포를 만들어야 하는 거야. 이것이 메이저의 핵심이야.
🔵 카이: 그렇군요…… 자연 상태에서는 저에너지 쪽이 다수파이니까, 일부러 불균일 전기장으로 고에너지 분자를 골라내야 하는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 그리고 이 원리를 빛의 영역으로 확장한 것이 LASER(레이저)야. 제 21 장에서 Einstein의 A·B 계수와 유도방출을 정량적으로 다룰 때, 이 이야기로 돌아올 거야.
✅ 이해도 체크: 암모니아 메이저에서 공명 조건이 중요한 이유를 설명해 보세요.
답
외부 전기장의 진동수 \(\omega\)가 2개의 에너지 준위 차이에 대응하는 진동수 \(\omega_0 = 2A/\hbar\)에 일치할 때, \(|I\rangle \to |II\rangle\)의 전이가 가장 효율적으로 일어난다. 진동수가 어긋나면 전이 확률이 급격히 떨어져, 마이크로파의 증폭이 일어나지 않는다.
📝 연습문제:
- 암모니아 분자의 공명 진동수 \(f_0 = \omega_0/(2\pi) = 24{,}000\) MHz에 대응하는 광자의 파장을 구하라. 이것은 전자기파의 어떤 영역에 속하는가? → 문제 M-3. 전기장 속 암모니아 분자의 에너지 준위
6.10 2상태계의 일반 공식 — 정리¶
🟡 리나: 이 장에서 얻은 결과를, 일반적인 2상태 Hamiltonian
에 대해 정리해 두자. \(H\)가 시간에 의존하지 않는 경우, 에너지 고유값을 \(E_+\), \(E_-\)로 쓸게.
🔵 카이: 어라, 아까까지 \(E_I\), \(E_{II}\)라고 쓰고 있었는데, 여기서는 \(E_+\), \(E_-\)로 바뀌었네요. 왜 기호를 바꾸나요?
🟡 리나: 좋은 지적이야. 암모니아 분자에 한정되지 않는 일반적인 공식으로 정리하니까, 기호를 바꾼 거야. \(E_I\), \(E_{II}\)는 암모니아 분자 전용 라벨이고, \(E_+\), \(E_-\)는 "어떤 2상태계에서도 사용할 수 있는" 일반적인 기호야. 대응은 단순해서, \(+\)가 높은 쪽, \(-\)가 낮은 쪽:
암모니아 분자의 경우는 \(E_+ = E_0 + A\), \(E_- = E_0 - A\)야. 이하, 일반적인 2상태계에서는 \(E_\pm\)를 사용할게.
에너지 고유값(식 (6.25)의 재기재, \(E_\pm\) 기호로 통일):
정상 상태의 시간 발전:
일반적인 상태의 시간 발전:
여기서 \(c_{\pm} = \langle E_{\pm}|\psi(0)\rangle\)는 초기조건으로 결정돼.
⚪ 메이: 이 레시피는, 암모니아 분자에 한정되지 않고, 모든 2상태계에 적용할 수 있는 일반적인 틀이야.
🟡 리나: 그래. 2상태계는 양자역학에서 가장 기본적인 계이지만, 놀라울 정도로 많은 물리 현상이 이 틀로 이해돼. 예를 들어 스핀 1/2 입자의 자기장 속 거동도 그래. 제 17 장에서는 스핀 1/2 입자를 Pauli(파울리) 행렬로 기술하지만, 수학적으로는 여기서 본 2상태계의 Hamiltonian 그 자체야.
🔵 카이: 오늘의 내용을 한마디로 정리하면…… "Hamiltonian 행렬을 써내리고 고유값 문제를 풀면, 에너지 준위도 시간 발전도 전부 알 수 있다"는 거네요. 하지만, Hamiltonian을 올바르게 써내리는 것 자체가 가장 어려울 것 같기도 해요. 암모니아는 대칭성으로 \(H_{11} = H_{22}\)가 결정되었고, 터널 효과로 \(H_{12} = -A\)라고 놓을 수 있었어요. 하지만, 만약 대칭성이 없거나, 상태가 3개 이상이라면, 뭘 단서로 Hamiltonian을 결정하나요?
🟡 리나: 좋은 착안이야. 실제로, Hamiltonian을 구성하는 것 자체가 물리학의 중심적인 문제야. 대칭성, 실험 데이터, 고전역학과의 대응——다양한 단서를 사용해서 Hamiltonian을 결정해 나가. 그 구체적인 예는 앞으로 많이 보게 될 거야.
✅ 이해도 체크: 2상태계에서 \(H_{11} = H_{22}\)(대칭인 경우)와 \(H_{11} \neq H_{22}\)(비대칭인 경우)에서, 에너지 분裂 \(E_+ - E_-\)는 어떻게 변할까요?
답
대칭인 경우: \(E_+ - E_- = 2|H_{12}|\). 비대칭인 경우: \(E_+ - E_- = 2\sqrt{[(H_{11} - H_{22})/2]^2 + |H_{12}|^2}\). 비대칭성 \(H_{11} \neq H_{22}\)는 에너지 분裂을 크게 하는 방향으로 작용한다. 대칭인 경우가 최소의 분裂을 준다.
📝 연습문제:
- 수소 분자 이온 H₂⁺를 2상태계로 모델화하고, 결합 상태(저에너지)와 반결합 상태(고에너지)의 에너지를 \(E_0\)와 \(A\)로 나타내라. → 문제 M-4. Hamiltonian의 대각화와 행렬 표시의 변환
다음 장 예고¶
🟡 리나: 이 장에서는, 2상태계라는 가장 단순한 무대에서 "Hamiltonian → 고유값 문제 → 시간 발전"의 흐름을 체험했어. 하지만, 자연계에는 2개는커녕 무한 개의 상태를 가진 계가 많이 있어.
🔵 카이: 무한 개!? 행렬이 무한히 커진다는 건가요?
🟡 리나: 그래. 예를 들어, 1차원 직선 위를 움직이는 입자는, 원리적으로는 어떤 위치에도 있을 수 있으니까, 기저 상태의 수가 연속 무한 개야. 이때, 진폭 \(C_i\)는 더 이상 "번호 \(i\)의 함수"가 아니라, "위치 \(x\)의 함수"——즉 파동함수 \(\psi(x, t)\)가 돼.
⚪ 메이: 행렬이 무한히 커지면, 더 이상 보통의 행렬 계산으로는 다룰 수 없겠지……?
🟡 리나: 그래. 사실, Hamiltonian "행렬"은 연속의 경우에는 미분 연산자가 돼. 다음 제 7 장에서는, 이 장의 행렬 형식을 연속적인 경우로 확장해서, Schrödinger 방정식을 도입할 거야. 2상태계에서 길렀던 직관——"Hamiltonian이 에너지를 결정하고, 고유상태가 정상 상태이며, 일반적인 상태는 고유상태의 중첩"——이 그대로 사용할 수 있다는 것을 확인할 거야.
🔵 카이: 기대돼요!
참고문헌¶
- R. P. Feynman (파인만), R. B. Leighton, M. Sands 저, 砂川重信 역,『ファインマン物理学 V — 量子力学』(岩波書店). 제8장 "해밀토니안 행렬", 제9장 "암모니아 메이저". 이 장의 2상태계 정식화와 Hamiltonian 행렬의 도입은 Feynman의 교육적 접근법을 따르고 있다.
- J. J. Sakurai (사쿠라이), J. Napolitano 저,『Modern Quantum Mechanics』제3판 (Cambridge University Press). 제2장 "Quantum Dynamics"에서 시간 발전 연산자와 Schrödinger 방정식을 공리적으로 도입하고 있으며, 이 장의 천하식 접근법의 수학적 기초를 제공한다.
- 清水明 저,『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』(サイエンス社). 2상태계를 이용한 양자역학의 기본 구조 해설이 정성스럽다.
- 広江克彦 저,『趣味で量子力学』. 2상태계와 Rabi 진동의 평이한 해설.
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