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제 3 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Lagrangian 밀도로부터의 Euler-Lagrange 방정식 (Klein-Gordon 장)

실수 스칼라장 \(\phi(x)\)의 Lagrangian 밀도가

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

로 주어져 있어요. Euler-Lagrange 방정식 (3.7)을 이용하여, 아래의 각 단계를 명시적으로 계산하세요.

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\)를 구하세요.

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\)를 구하세요.

(c) (a), (b)의 결과를 Euler-Lagrange 방정식에 대입하여 Klein-Gordon 방정식을 유도하세요.

힌트

(b)에서는 \(\mathcal{L}\)을 \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\)로 다시 쓰고, \(\partial_\mu\phi\)에 의한 편미분을 취해요. Kronecker 델타 \(\delta^\mu_\alpha\)가 나타나며, 계량 텐서가 첨자를 올리는 역할을 해요.

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B-2. 운동항의 첨자 전개

라그랑지안 밀도의 운동항 \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) 를, 민코프스키 계량 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) 을 사용하여 시간 성분과 공간 성분으로 명시적으로 전개하고,

\[ \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 \]

를 보이세요. 여기서 \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\), \(\nabla\phi = (\partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\) 이에요.

힌트

\(\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\) 를 사용하여 \(\partial^0\phi = \partial_0\phi\), \(\partial^i\phi = -\partial_i\phi\) (\(i=1,2,3\)) 를 확인한 다음, \(\mu\) 에 대해 합을 취하세요.

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B-3. 질량항을 포함하지 않는 장의 분산 관계

라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) 로부터 얻어지는 운동방정식에 평면파 해

\[ \phi(x) = A\,e^{-ik_\mu x^\mu} = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \]

를 대입하여 분산 관계 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2\) 를 유도하세요. 여기서 \(k^\mu = (E, \mathbf{p})\) 예요.

힌트

\(\partial_0\phi = -iE\,\phi\)、\(\partial_i\phi = ip_i\,\phi\) 를 이용하여 \(\partial_\mu\partial^\mu\phi\) 를 계산해요.

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B-4. 상호작용 항을 포함한 Lagrangian

실수 스칼라장의 Lagrangian 밀도가

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 \]

으로 주어질 때（\(\lambda\)는 결합 상수）, Euler-Lagrange 방정식을 유도하여

\[ (\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0 \]

을 보여라.

힌트

\(\phi^4\) 항은 \(\partial_\mu\phi\)를 포함하지 않으므로, \(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\)에는 기여하지 않아요. \(\dfrac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right) = \frac{\lambda}{3!}\phi^3\)을 사용해요.

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B-5. 달랑베르시안의 성분 표시

달랑베르시안(d'Alembertian) \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu\) 를 시간 미분과 공간 미분으로 명시적으로 써 보세요. 나아가 Klein-Gordon 방정식 \((\Box + m^2)\phi = 0\) 을 \((t, x, y, z)\) 성분으로 써 보세요.

힌트

\(\partial_\mu\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\) 이며, \(\eta^{00} = +1\), \(\eta^{ii} = -1\) 을 이용해요.

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B-6. 연속 방정식의 성분 전개

보존 커런트 \(j^\mu = (j^0, j^1, j^2, j^3)\) 가 \(\partial_\mu j^\mu = 0\) 을 만족한다고 해요.

(a) 이 식을 시간 성분과 공간 성분으로 나누어 쓰고, 연속 방정식의 형태로 만드세요.

(b) 보존 전하 \(Q = \int d^3x\,j^0\) 가 시간에 의존하지 않음을 Gauss의 정리를 이용하여 보이세요. 단, \(\mathbf{j}\) 는 공간의 무한원에서 충분히 빠르게 감쇠한다고 가정해요.

힌트

(a) \(\partial_\mu j^\mu = \partial_0 j^0 + \partial_i j^i = \frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}\) 로 전개해요. (b) \(\frac{dQ}{dt}\) 를 계산하고, (a)의 결과와 Gauss의 정리 \(\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j} = \oint_{\partial V} \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}\) 를 사용해요.

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B-7. 복소 스칼라장의 편미분

복소 스칼라장 \(\phi(x)\) 와 그 복소 켤레 \(\phi^*(x)\) 를 독립적인 변수로 취급해요. 라그랑지안 밀도가

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

로 주어질 때, 다음을 계산하세요.

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\)

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\)

(c) \(\phi^*\) 에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 써 내세요.

힌트

\(\phi\) 와 \(\phi^*\) 를 독립 변수로 취급해요. \(\phi^*\) 로 미분할 때는 \(\phi\) 를 상수로 간주해요. (b)에서는 \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\) 로 쓴 다음 \(\partial_\mu\phi^*\) 로 미분하세요.

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B-8. Noether 커런트의 구성 (공식의 적용)

Noether의 정리에 따르면, 장 \(\phi\)의 미소 변환 \(\phi \to \phi + \delta\phi\) 하에서 Lagrangian 밀도가 불변(\(\delta\mathcal{L} = 0\))일 때, 보존 커런트는

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi \]

로 주어져요. Klein-Gordon 장 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\)에 대해, 미소한 상수 시프트 \(\delta\phi = \epsilon\)(\(\epsilon\)은 미소 상수)를 고려해요.

(a) 이 변환 하에서 \(\delta\mathcal{L}\)를 계산하고, \(m \neq 0\)인 경우에 이것이 대칭성이 되지 않음을 확인하세요.

(b) \(m = 0\)인 경우에는 이 변환이 대칭성이 됨을 확인하고, 대응하는 보존 커런트 \(j^\mu\)를 써 내려 보세요.

힌트

\(\delta\phi = \epsilon\)은 상수이므로 \(\partial_\mu(\delta\phi) = 0\)이에요. 따라서 \(\delta(\partial_\mu\phi) = 0\)이에요. \(\delta\mathcal{L}\)는 \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi\)만 남아요.

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Medium（표준）

M-1. 켤레 운동량과 Hamiltonian 밀도의 도출

실수 스칼라장의 Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) 에 대해 다음을 수행하세요.

(a) 장 \(\phi\) 에 켤레인 운동량 밀도 \(\pi(x)\) 를

\[ \pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} \]

로 정의하고, 그 구체적인 표현식을 구하세요.

(b) Hamiltonian 밀도 \(\mathcal{H}\) 를 Legendre 변환

\[ \mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L} \]

으로 구성하고, \(\pi\), \(\phi\), \(\nabla\phi\) 를 사용하여 써 내세요.

(c) 얻어진 \(\mathcal{H}\) 의 각 항의 물리적 의미를, 입자 역학의 Hamiltonian \(H = T + V\) 와의 유추를 통해 설명하세요.

힌트

(a) \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\) 이며, \(\mathcal{L}\) 을 식 (3.9)의 형태로 전개한 후 \(\dot{\phi}\) 로 미분해요. (b) \(\dot{\phi} = \pi\) 를 사용하여 \(\mathcal{L}\) 안의 \(\dot{\phi}\) 를 소거해요.

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M-2. 복소 스칼라장의 내부 대칭성과 Noether 커런트

복소 스칼라장의 Lagrangian 밀도

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

는 대역적 \(U(1)\) 변환

\[ \phi(x) \to e^{i\alpha}\phi(x), \qquad \phi^*(x) \to e^{-i\alpha}\phi^*(x) \]

아래에서 불변이에요(\(\alpha\)는 실수 상수).

(a) 미소 변환(\(\alpha \ll 1\)) 아래에서 \(\delta\phi = i\alpha\phi\), \(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\)를 이용하여 \(\delta\mathcal{L} = 0\)을 명시적으로 확인하세요.

(b) Noether의 정리를 이용하여 보존 커런트 \(j^\mu\)를 도출하세요.

(c) 보존 전하 \(Q = \int d^3x\,j^0\)를 써 내리고, 이것이 "입자 수 \(-\) 반입자 수"에 대응하는 것임을 정성적으로 설명하세요.

힌트

(b) 복소 스칼라장의 경우, Noether 커런트는 \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\delta\phi^*\)의 형태가 돼요. \(\alpha\)의 계수를 추출하세요.

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M-3. 시공간 병진 불변성과 에너지-운동량 텐서

라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\)가 시공간 병진 \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\)（\(a^\mu\)는 미소 상수 벡터）에 대해 불변이라고 가정해요. 이 변환 아래에서 장은 \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\)로 변화해요.

(a) 라그랑지안 밀도 자체의 변화가 \(\delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})\)와 같이 전미분 형태로 쓸 수 있음을 보이세요.

(b) 뇌터 정리의 일반화（\(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\)인 경우, 보존 흐름은 \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi - K^\mu\)）를 이용하여, 정준 에너지-운동량 텐서 (canonical energy-momentum tensor)

\[ T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L} \]

를 유도하세요.

(c) Klein-Gordon 장의 라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\)에 대해 \(T^{00}\)을 계산하고, 이것이 해밀턴 밀도 \(\mathcal{H}\)와 일치함을 확인하세요.

힌트

(a) \(\mathcal{L}\)은 \(x^\mu\)에 양적으로(explicitly) 의존하지 않으므로, \(\delta\mathcal{L}\)은 장의 변화를 통해서만 발생해요. 한편, \(\mathcal{L}\)을 \(x\)의 함수로 보았을 때의 전체 변화는 \(a^\nu\partial_\nu\mathcal{L}\)과 같아요. (b) \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\)로 놓으면, \(a^\nu\)는 임의이므로 각 \(\nu\)에 대해 보존 흐름을 얻을 수 있어요.

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M-4. Dirac 장의 Euler-Lagrange 방정식

Dirac 장 \(\psi(x)\)（4성분 스피너）의 Lagrangian 밀도는

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi \]

로 주어져요. 여기서 \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\)는 Dirac 켤레, \(\gamma^\mu\)는 감마 행렬이에요.

(a) \(\bar{\psi}\)를 독립 변수로 취급하고, \(\bar{\psi}\)에 관한 Euler-Lagrange 방정식을 도출하여 Dirac 방정식

\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0 \]

을 얻으세요.

(b) \(\psi\)에 관한 Euler-Lagrange 방정식을 도출하고, \(\bar{\psi}\)에 대한 수반 Dirac 방정식

\[ \bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0 \]

을 얻으세요. 여기서 \(\overleftarrow{\partial}_\mu\)는 왼쪽으로 작용하는 미분을 나타내요.

힌트

(a) \(\mathcal{L}\)을 \(\bar{\psi}\)와 \(\partial_\mu\bar{\psi}\)의 함수로 봐요. \(\partial_\mu\bar{\psi}\)를 포함하는 항이 없다는 점에 주목하면, Euler-Lagrange 방정식은 \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0\)으로 귀결돼요. (b) \(\psi\)로 미분하는 경우에는 부분적분이 필요해요.

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Advanced（발전）

A-1. Noether 정리의 일반화

장의 변환 \(\phi \to \phi + \delta\phi\) 하에서, 라그랑지안 밀도가 불변이 아니라 어떤 4원벡터 \(K^\mu\)를 이용하여

\[ \delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu \]

와 같이 전미분(4차원 발산)의 형태로 변화하는 경우를 생각해요.

(a) 작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\)의 변분 \(\delta S\)가 이 경우에도 (적절한 경계조건 하에서) 영이 됨을 보이고, 운동방정식이 변하지 않음을 확인하세요.

(b) 수정된 Noether 커런트

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

가 운동방정식이 성립할 때 \(\partial_\mu j^\mu = 0\)을 만족함을 증명하세요.

(c) 응용으로서, 실수 스칼라장 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - V(\phi)\)에 대한 Lorentz 부스트 변환(\(x\) 방향으로 미소 래피디티 \(\delta\omega\))

\[ \delta\phi = -\delta\omega\,(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi) \]

을 생각하고, 대응하는 보존 커런트를 구성하세요. 이 보존 전하의 물리적 의미를 논하세요.

힌트

(a) \(\delta S = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu\)는 Gauss 정리에 의해 경계면 위의 적분이 되며, 경계조건에 의해 사라져요. (b) Euler-Lagrange 방정식의 유도와 같은 절차로 \(\delta\mathcal{L}\)를 정리하고, \(\partial_\mu K^\mu\)와 비교해요. (c) Lorentz 부스트 하에서 \(\delta x^0 = -\delta\omega\,x^1\), \(\delta x^1 = -\delta\omega\,x^0\)이며, 스칼라장의 변환 법칙 \(\delta\phi = -\delta x^\nu\partial_\nu\phi\)를 사용해요. 보존 전하는 부스트 생성자(질량중심 운동과 관련된 양)에 대응해요.

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A-2. Maxwell 장의 Lagrangian과 게이지 불변성

전자기장의 Lagrangian 밀도는

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \]

로 주어져요. 여기서 장의 세기 텐서는 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)이고, \(A_\mu(x)\)는 4원 퍼텐셜이에요.

(a) \(A_\nu\)에 대한 Euler-Lagrange 방정식을 유도하여 진공 중의 Maxwell 방정식(소스 없음)

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \]

을 얻으세요. 도중에 \(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\)의 계산을 명시하세요.

(b) 게이지 변환 \(A_\mu(x) \to A_\mu(x) + \partial_\mu\Lambda(x)\) (\(\Lambda(x)\)는 임의의 스칼라 함수) 하에서 \(F_{\mu\nu}\)가 불변임을 보이고, 따라서 \(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}}\)도 게이지 불변임을 확인하세요.

(c) Noether의 정리를 직접 게이지 변환에 적용하려고 하면 어떤 일이 일어나는지 논의하세요. 특히, 게이지 변환의 매개변수 \(\Lambda(x)\)가 시공간의 함수(국소 변환)라는 점이 대역적 대칭성을 전제로 하는 Noether의 정리와 어떻게 관련되는지를 설명하고, 제2종 Noether의 정리(Noether's second theorem)의 존재에 언급하세요.

힌트

(a) \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)\)를 전개하고, \(\partial_\mu A_\nu\)로 미분해요. 반대칭성 \(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\)를 활용하면 \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -F^{\mu\nu}\)를 얻을 수 있어요. (b) \(\partial_\mu(\partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(\partial_\mu\Lambda) = 0\) (편미분의 교환 가능성)을 사용해요. (c) 국소적인 매개변수 \(\Lambda(x)\)에 대한 Noether 커런트는 항등적으로 보존돼요(운동 방정식을 사용하지 않아도 성립하는 항등식이 돼요). 이것이 제2종 Noether의 정리의 내용이며, 게이지 이론의 잉여 자유도와 관련되어 있어요.

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