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제 5 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 광추 좌표의 계량

광추 좌표 \(x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}\) 의 정의로부터,

\[ ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

를 다시 써서

\[ ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

가 됨을 직접 계산으로 보여주세요 (\(c = 1\)).

힌트

\(dx^0 = (dx^+ + dx^-)/\sqrt{2}\), \(dx^1 = (dx^+ - dx^-)/\sqrt{2}\) 를 대입하거나, 혹은 \(dx^+ dx^- = \frac{1}{2}[(dx^0)^2 - (dx^1)^2]\) 를 이용하세요.

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B-2. 광추 계량의 행렬 표시

광추 계량의 행렬(행과 열의 순서 \(+, -, 2, 3\))

\[ \hat{\eta}_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

의 역행렬 \(\hat{\eta}^{\mu\nu}\)를 구하고, \(\hat{\eta}^{\mu\lambda}\hat{\eta}_{\lambda\nu} = \delta^\mu{}_\nu\)를 만족하는지 확인하세요.

힌트

\((+,-)\) 블록만 \(2 \times 2\) 반대각 행렬 \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)이므로, 역행렬도 같은 형태예요.

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B-3. 광추 좌표에서의 4원운동량과 \(p^-\)

질량 \(m\)인 입자의 4원운동량 \(p^\mu = (p^0, p^1, p^2, p^3)\)를 광추 좌표의 성분 \(p^\pm = (p^0 \pm p^1)/\sqrt{2}\), \(p^2, p^3\)로 나타내요.

(a) 4원운동량의 불변 노름 \(p^\mu p_\mu\)를 광추 좌표로 써 보세요. 결과가 \(-2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\)가 됨을 보이세요.

(b) \(p^\mu p_\mu = -m^2\)를 이용하여 \(p^-\)를 \(p^+, p^2, p^3, m\)으로 풀어서,

\[ p^- = \frac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2\,p^+} \]

를 유도하세요.

(c) 통상적인 좌표에서 \(p^\mu p_\mu = -m^2\)를 \(p^0\)에 대해 풀면 \(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\)가 되어 \(\pm\) 부호 모호성이 남아요. 광추 좌표에서는 (b)와 같이 \(p^-\)가 유일하게 결정돼요. 이 차이를 물리적으로 설명하세요.

힌트

(a) \(\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2\)에서, \((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2 p^+ p^-\)를 이용하세요. (c) "에너지의 부호"와 "양/음 에너지 해의 구별"이 광추 좌표에서 어떻게 다루어지는지 고찰하세요.

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Medium（표준）

M-1. 광원뿔 좌표에서의 내적

두 4원벡터 \(A^\mu, B^\mu\)의 Minkowski 내적 \(A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\)를 광원뿔 좌표의 성분 \(A^\pm, A^2, A^3\) 및 \(B^\pm, B^2, B^3\)으로 나타내세요.

힌트

\(A^\mu B_\mu = -A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\)을 다시 쓰세요.

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M-2. 광추 좌표에서의 Lorentz 변환(boost)

\(x^1\) 방향의 부스트(\(S'\) 계가 \(S\) 계에 대해 속도 \(v\)로 \(x^1\) 방향으로 움직이는 경우)는 래피디티 \(\varphi\)(\(\tanh\varphi = v\))를 사용하여

\[ \begin{pmatrix} x^{0'} \\ x^{1'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi \\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \end{pmatrix} \]

와 같이 쓸 수 있어요(「일반상대론」편 3.3「Lorentz 변환의 도출」 참조). 이것을 광추 좌표 \(x^\pm\)로 다시 쓰고, 아래를 보이세요.

(a) \(x^{+\prime} = e^{-\varphi}\,x^+\), \(x^{-\prime} = e^{\varphi}\,x^-\)가 됨을 보이세요(\(x^+\) 방향의 부스트는 광추 좌표의 스케일 변환으로 작용해요).

(b) 따라서 곱 \(x^+ x^-\)는 불변이에요. 이것이 \(ds^2\)의 \(-2\,dx^+ dx^-\) 부분의 불변성과 정합함을 확인하세요.

힌트

(a) \(\cosh\varphi \pm \sinh\varphi = e^{\pm\varphi}\)를 사용해요. (b) \((e^{-\varphi}dx^+)(e^\varphi dx^-) = dx^+ dx^-\).

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