제 4 장 연습문제 풀이¶
Basic（기초）¶
B-1. 자외선 발산의 확인¶
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해답:
\[\int_0^\infty u(\nu)\,d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3}\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\]
\(\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\) 는 발산해요 (\(\nu^3/3 \to \infty\)).
\[\boxed{\text{전체 에너지 밀도} = \infty}\]
포인트: 고전적인 Rayleigh-Jeans 법칙은 낮은 진동수에서는 실험과 일치하지만, 높은 진동수에서 발산해요. Planck의 양자 가설 \(E = h\nu\) 이 이 발산을 해소했어요.
B-2. 광전효과의 문턱 진동수¶
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풀이:
\[h\nu_{\min} = W = 4.5 \;\text{eV} = 4.5 \times 1.602 \times 10^{-19} = 7.209 \times 10^{-19} \;\text{J}\]
\[\nu_{\min} = \frac{W}{h} = \frac{7.209 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = \boxed{1.09 \times 10^{15} \;\text{Hz}}\]
이것은 자외선 영역이에요. 가시광선(\(\sim 4\text{--}8 \times 10^{14}\) Hz)으로는 전자가 방출되지 않아요.
Advanced（발전）¶
A-1. 수성의 근일점 이동과 Newton 모델의 한계¶
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해답(리포트 형식):
Newton의 모델에서 다른 행성의 섭동을 모두 계산하면, 수성의 근일점 이동은 100년당 약 532초각으로 예측돼요. 관측값은 약 575초각. 차이는 43초각/세기예요.
43초각은 각도로 약 0.012도. 극히 작지만, Newton 모델의 정밀도(다른 행성의 섭동을 포함하여 532초각을 정확히 계산할 수 있는 수준)를 고려하면 이 잔차는 유의미해요.
Einstein의 일반상대론은 추가 매개변수 없이 이 43초각을 정확히 설명했어요. 이것은 일반상대론의 최초 실험적 검증이며, "작은 어긋남"이 모델의 혁명으로 이어진 역사적 사례예요.
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