콘텐츠로 이동

제 4 장 연습문제 풀이

← 문제로 돌아가기　|　본문으로 돌아가기

목차

Basic（기초）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 자외선 발산의 확인

→ 문제로 돌아가기

문제:

고전적인 Rayleigh-Jeans 법칙 \(u(\nu) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T\) 를 \(\nu\) 에 대해 \(0\) 에서 \(\infty\) 까지 적분하여, 전체 에너지 밀도가 발산하는 것을 확인하세요.

해답:

\[\int_0^\infty u(\nu)\,d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3}\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\]

\(\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\) 는 발산해요 (\(\nu^3/3 \to \infty\)).

\[\boxed{\text{전체 에너지 밀도} = \infty}\]

포인트: 고전적인 Rayleigh-Jeans 법칙은 낮은 진동수에서는 실험과 일치하지만, 높은 진동수에서 발산해요. Planck의 양자 가설 \(E = h\nu\) 이 이 발산을 해소했어요.

B-2. 광전효과의 문턱 진동수

→ 문제로 돌아가기

문제:

일함수 \(W = 4.5\) eV인 금속에 빛을 비춰요. 전자가 튀어나오기 위한 최소 진동수 \(\nu_{\min}\)를 \(h\nu_{\min} = W\)로부터 계산하세요（\(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s、\(1\) eV \(= 1.602 \times 10^{-19}\) J）.

풀이:

\[h\nu_{\min} = W = 4.5 \;\text{eV} = 4.5 \times 1.602 \times 10^{-19} = 7.209 \times 10^{-19} \;\text{J}\]
\[\nu_{\min} = \frac{W}{h} = \frac{7.209 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = \boxed{1.09 \times 10^{15} \;\text{Hz}}\]

이것은 자외선 영역이에요. 가시광선(\(\sim 4\text{--}8 \times 10^{14}\) Hz)으로는 전자가 방출되지 않아요.

Advanced（발전）

A-1. 수성의 근일점 이동과 Newton 모델의 한계

→ 문제로 돌아가기

문제:

Newton의 만유인력에서는 태양 주위의 행성 궤도가 닫힌 타원이 되어야 해요(궤도가 회전하지 않음). 그러나 관측에 따르면 수성의 타원 궤도는 100년당 약 5600초각 회전하고 있으며, 다른 행성의 영향을 모두 제거해도 43초각의 어긋남이 남아요.

(a) "다른 행성의 영향"을 Newton의 모델로 계산할 수 있는 이유를 제 1 장의 해왕성 발견과 대비하여 설명하세요.

(b) 43초각의 어긋남에 대해 "미지의 행성이 존재한다"는 가설과 "Newton의 모델을 수정한다"는 가설 두 가지를 생각할 수 있어요. 각 가설이 어떤 예측을 내놓는지 서술하고, 어느 쪽이 실제로 옳았는지를 제 6 장의 예고로서 서술하세요.

주: 일반상대론에 의한 정량적 계산(\(\delta\phi\)의 도출과 수치 확인)은 제 6 장의 연습문제 6.4에서 다뤄요.

해답(리포트 형식):

Newton의 모델에서 다른 행성의 섭동을 모두 계산하면, 수성의 근일점 이동은 100년당 약 532초각으로 예측돼요. 관측값은 약 575초각. 차이는 43초각/세기예요.

43초각은 각도로 약 0.012도. 극히 작지만, Newton 모델의 정밀도(다른 행성의 섭동을 포함하여 532초각을 정확히 계산할 수 있는 수준)를 고려하면 이 잔차는 유의미해요.

Einstein의 일반상대론은 추가 매개변수 없이 이 43초각을 정확히 설명했어요. 이것은 일반상대론의 최초 실험적 검증이며, "작은 어긋남"이 모델의 혁명으로 이어진 역사적 사례예요.