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Appendix D　루프 계산의 도구 상자 — 차원 해석·Feynman 매개변수·Wick 회전

← C 가우스 적분과 그라스만 적분이 여행에 오신 것을 환영합니다 →

지금까지의 줄거리:

부록 C 에서는 가우스 적분(1변수·다변수)과 Grassmann 수의 대수·Berezin 적분을 정리하고, 보손 (\((\det A)^{-1/2}\))과 페르미온 (\(\det A\))의 경로적분의 대비를 명확히 했다.

이 장의 목표

  • 장의 양자론의 구체적인 루프 계산에서 필요한 「계산의 도구 상자」를 정비한다
  • 자연단위계와 질량 차원, 부호 규약, 푸리에 변환과 \(2\pi\)의 인수, Feynman 매개변수에 의한 분모 통합, Wick 회전에 의한 유클리드 공간으로의 이행, 그리고 운동량 적분의 평가 공식을, 언제든 참조할 수 있는 레퍼런스로 정리한다
  • 제13~14장의 되맞춤 계산에서 「부록 D를 참조」라고 지시되면 돌아올 장소가 된다

자연단위계와 질량 차원

🟡 리나: 지금까지의 장에서 여러 번 사용해 온 자연단위계를, 이 Appendix에서 한 번 제대로 정리해 두도록 해요. 루프 계산을 할 때 「이 양의 차원이 뭐지」를 틀리면 답이 엄청나게 달라져 버리거든요.

🔵 카이: \(c = 1\), \(\hbar = 1\) 이라는 거죠. 편리하긴 한데, 가끔 「진짜 단위」로 돌아가고 싶을 때 혼란스러워요.

🟡 리나: 바로 그걸 정리하는 게 오늘의 목적이에요. 출발점은 2개의 등식이에요:

\[ c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{m/s} = 1 \tag{D.1} \]
\[ \hbar = 1.055 \times 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s} = 1 \tag{D.2} \]

🟡 리나: \(c = 1\)로 놓으면 「길이」와 「시간」이 같은 차원이 돼요. \(\hbar = 1\)로 놓으면 「에너지」와 「역시간」이 같은 차원이 되고요. 결과적으로, 모든 물리량은 질량 차원 (mass dimension) ——「질량의 몇 제곱인가」——만으로 특징지을 수 있어요. 예를 들어 거리 \(x\)는 \(\hbar c / E\)와 같은 형태로 쓸 수 있으니까, \(\hbar = c = 1\)이면 \(x \sim 1/E \sim 1/m\)이에요. 즉 거리의 질량 차원은 \(-1\)이죠.

⚪ 메이: 그렇구나, 거리가 「질량의 \(-1\) 제곱」의 차원을 가지는 거구나. 에너지가 높을수록 짧은 거리를 탐사할 수 있다는 직관과도 맞네.

🟡 리나: 맞아요. 어떤 양 \(X\)의 질량 차원을 \([X]\)라고 쓸게요. 기본 규칙을 정리하면:

표 D.1: 기본적인 물리량의 질량 차원

양 질량 차원 이유
좌표 \(x^\mu\), 시간 \(t\) \(-1\) \(x \sim 1/m\)
미분 \(\partial_\mu\), 운동량 \(p_\mu\) \(+1\) \(\partial_\mu = \partial/\partial x^\mu\)는 좌표의 역수
속도 \(v = x/t\) \(0\) \(c = 1\)이므로 무차원
4차원 적분 측도 \(d^4x\) \(-4\) \((-1) \times 4\)
작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) \(0\) \(e^{iS/\hbar}\)의 지수는 무차원
라그랑지안 밀도 \(\mathcal{L}\) \(+4\) \([S] = [d^4x] + [\mathcal{L}] = 0\)으로부터

🔵 카이: 작용이 무차원이라는 건, 경로적분의 \(e^{iS}\)에서 오는 거군요. 제10~11장에서 했던 이야기네요.

🟡 리나: 맞아요. \(\hbar = 1\)이니까 \(e^{iS/\hbar} = e^{iS}\)이고, 지수의 인수는 무차원이어야 하니까요.

장의 질량 차원

🟡 리나: 라그랑지안 밀도 \([\mathcal{L}] = 4\)라는 조건으로부터, 장의 질량 차원이 결정돼요.

스칼라장 \(\phi\)의 경우, 자유 라그랑지안은

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 \]

운동항에 주목하면:

\[ [\mathcal{L}] = [\partial_\mu]^2 + [\phi]^2 = 2 + 2[\phi] = 4 \]
\[ \therefore\quad [\phi] = 1 \tag{D.3} \]

🔵 카이: 라그랑지안의 차원이 4로 정해져 있는 것만으로 장의 차원이 유일하게 나오는군요. 심플하다.

🟡 리나: 그렇죠. 같은 논법으로 디랙 장 \(\psi\)의 질량 차원도 구할 수 있어요. 디랙 라그랑지안은 \(\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi\)였죠. 운동항 \(\bar{\psi}\,i\gamma^\mu\partial_\mu\,\psi\)에 주목하면?

⚪ 메이: \([\bar{\psi}] + [\partial_\mu] + [\psi] = 2[\psi] + 1 = 4\)이니까 \([\psi] = 3/2\)네.

\[ [\bar{\psi}] + [\partial_\mu] + [\psi] = 2[\psi] + 1 = 4 \]
\[ \therefore\quad [\psi] = \frac{3}{2} \tag{D.4} \]

🟡 리나: 맞아요. 정리하면:

표 D.2: 각 장의 질량 차원

장 질량 차원
스칼라장 \(\phi\) \(1\)
디랙 장 \(\psi\) \(3/2\)
게이지장 \(A_\mu\) \(1\)

게이지장은 \(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)로부터 알 수 있어요. \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)이니까 \([F_{\mu\nu}] = [\partial] + [A] = 1 + [A]\). \([F^2] = 2(1 + [A]) = 4\)이므로 \([A_\mu] = 1\)이죠.

🔵 카이: 결합 상수의 차원도 이걸로 결정되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 예를 들어 QED의 상호작용항 \(e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu\)의 차원은:

\[ [e] + [\bar{\psi}] + [\psi] + [A_\mu] = [e] + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 1 = [e] + 4 \]

\([\mathcal{L}] = 4\)이니까 \([e] = 0\). 즉 QED의 결합 상수 \(e\)는 무차원이에요. 이것이 「되맞춤 가능」하다는 것의 하나의 기준이 되는 거예요. 제14~16장에서 배운 내용이죠.

이해도 체크: \(\phi^4\) 이론의 결합 상수 \(\lambda\)의 질량 차원은?

\(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)로부터 \([\lambda] + 4[\phi] = [\lambda] + 4 = 4\). 따라서 \([\lambda] = 0\) (무차원).

📝 연습문제:

\(\hbar\)와 \(c\)의 복원

🟡 리나: 실험과 비교할 때는 물리적인 단위로 되돌려야 해요. 기억해 둘 변환 인수:

\[ 1\ \text{GeV} = 1.602 \times 10^{-10}\ \text{J} \tag{D.5} \]

자연단위계에서는 \(\text{GeV}^{-2}\)가 면적의 차원을 가져요. 이것을 SI 단위로 되돌리려면 \(\hbar c = 0.1973\ \text{GeV}\cdot\text{fm}\) (\(1\ \text{fm} = 10^{-15}\ \text{m}\))을 사용해서:

\[ (\hbar c)^2 = (0.1973\ \text{GeV}\cdot\text{fm})^2 = 0.03893\ \text{GeV}^2\cdot\text{fm}^2 \tag{D.6a} \]

따라서 자연단위계에서 「\(1/\text{GeV}^2\)」로 쓰인 단면적을 \(\text{fm}^2\) 단위로 변환하려면, \(\hbar c = 0.1973\ \text{GeV}\cdot\text{fm}\)이라는 환산 인수를 사용하면 돼요. 구체적으로는:$$ 1\ \text{GeV}^{-2} \longrightarrow (\hbar c)^2 \times 1\ \text{GeV}^{-2} = 0.03893\ \text{GeV}^2!\cdot!\text{fm}^2 \times \text{GeV}^{-2} = 0.03893\ \text{fm}^2 = 0.3893\ \text{mb} = 3.893 \times 10^{-28}\ \text{cm}^2 \tag{D.6b} $$

여기서 \(1\ \text{mb}\ (\text{millibarn}) = 10^{-27}\ \text{cm}^2 = 10^{-31}\ \text{m}^2\), \(1\ \text{pb}\ (\text{picobarn}) = 10^{-40}\ \text{m}^2\)이에요. 즉 \(1\ \text{GeV}^{-2} = 3.893 \times 10^{8}\ \text{pb}\)이죠. 자연단위계에서 「\(1/\text{GeV}^2\)」로 쓰인 단면적을 실험값과 비교하려면, \((\hbar c)^2\)를 곱해서 \(\text{m}^2\)이나 barn으로 변환하면 돼요.

🔵 카이: 「barn(반)」이라니 이상한 이름이네요.

🟡 리나: 원자핵에 입자를 쏘는 실험에서, 원자핵이 「헛간(barn)처럼 큰 표적」으로 보였다는 데서 유래한 거예요. \(1\ \text{barn} = 10^{-28}\ \text{m}^2\)으로 원자핵 단면적의 자릿수(order)이죠.

부호 규약

🟡 리나: 다음으로, 본 「장의 양자론」편 전체에서 채택하고 있는 부호 규약을 정리해 둘게요. 교과서마다 규약이 다르니까, 다른 책을 참조할 때는 반드시 확인해 주세요.

계량 텐서

🟡 리나: 민코프스키(Minkowski) 계량은:

\[ \eta^{\mu\nu} = \text{diag}(+1,\;-1,\;-1,\;-1) \tag{D.7} \]

이것은 「mostly minus」규약이라고 불려요. 이 규약에서 질량 껍질 조건은:

\[ p^2 = p_0^2 - \vec{p}^{\,2} = m^2 > 0 \tag{D.8} \]

⚪ 메이: 제 2 장에서 복습한 특수상대론의 규약과 같네. \(p^2\)가 양수이고 질량의 제곱과 같아지는 거야.

라그랑지안의 부호

🟡 리나: 각 장의 자유 라그랑지안을 정리해 둘게요. 부호는 에너지 밀도가 양이 되도록 정해져 있어요.

실수 스칼라장:

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \tag{D.9} \]

복소 스칼라장:

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2\phi^*\phi \tag{D.10} \]

🔵 카이: 실수 스칼라에는 \(\frac{1}{2}\)이 있는데 복소 스칼라에는 없는 건 왜인가요?

🟡 리나: 실수 스칼라장의 운동항 \((\partial\phi)^2\)를 \(\phi\)로 변분하면, \(\phi\)가 2군데에 나타나기 때문에 미분의 곱의 법칙으로 인수 2가 나와요. \(\frac{1}{2}\)은 그것을 상쇄해서 올바른 운동 방정식을 주기 위한 거예요. 반면 복소 스칼라에서는 \(\phi\)와 \(\phi^*\)를 독립 변수로 취급해요(제 3 장에서 배웠죠). \((\partial\phi^*)(\partial\phi)\)를 \(\phi^*\)로 변분하면 \(\phi\)는 1군데에만 나타나니까 인수 2가 안 나와요——그래서 \(\frac{1}{2}\)이 불필요한 거예요.

게이지장:

\[ \mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\qquad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \tag{D.11} \]

디랙 페르미온: 🟡 리나: 여기서 슬래시 표기법 (Feynman slash notation)을 확인해 둘게요(제 5 장에서 도입했었죠). 임의의 4원 벡터 \(a\)에 대해 \(\not\!a \equiv \gamma^\mu a_\mu\)로 정의해요. 예를 들어 \(\not\!\partial \equiv \gamma^\mu\partial_\mu\), \(\not\!p \equiv \gamma^\mu p_\mu\)이죠. 이 표기법을 사용하면 디랙 라그랑지안은: $$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i!\not!\partial - m)\psi \tag{D.12} $$

와 같이 간결하게 쓸 수 있어요.

공변 미분

🟡 리나: 비아벨(non-Abelian) 게이지 이론——즉 두 개의 게이지 변환을 연속으로 수행할 때 그 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 이론——의 공변 미분(covariant derivative)은:

\[ D_\mu = \partial_\mu - ig\,T^a_R\,A^a_\mu \tag{D.13} \]

여기서 \(g\)는 결합 상수, \(T^a_R\)은 게이지군의 생성원(아래 첨자 \(R\)은 「표현(representation)」의 머리글자로, 장의 종류를 구별하는 라벨이에요), \(A^a_\mu\)는 게이지장의 성분(아래 첨자 \(a\)는 군의 생성원을 구별하는 라벨로, 예를 들어 \(SU(3)\)이면 \(a = 1, 2, \ldots, 8\)의 8개)이에요. 자세한 것은 제 17 장을 참조해 주세요.

🔵 카이: 솔직히, 「표현」이라든가 「생성원」이라든가, 여기만 읽어서는 감이 안 와요……

🟡 리나: 괜찮아요, 여기는 규약 확인이니까 지금은 「공변 미분의 부호가 \(-ig\)이다」라는 것만 파악해 두면 충분해요. \(T^a_R\)은 「게이지 변환이 장에 어떻게 작용하는지를 결정하는 행렬」인데, 장의 종류에 따라 행렬의 크기가 달라져요——예를 들어 쿼크장이면 \(3 \times 3\) 행렬, 글루온장이면 \(8 \times 8\) 행렬이죠. 하지만 지금은 이 세부 사항을 신경 쓸 필요 없어요. 물리적인 의미는 제 17 장에서 자세히 배울 테니, 지금은 식의 형태만 기억해 두세요.

⚪ 메이: 즉 현 단계에서는 「\(-ig\)라는 부호를 채택하고 있다」는 카탈로그 정보만 가져가면 되는 거구나.

🟡 리나: 맞아요. QED는 \(U(1)\) 게이지 이론으로, 생성원은 1개뿐이고(\(a\) 첨자가 불필요), 그 「행렬」은 단순히 입자의 전하 \(Q\)라는 숫자가 돼요. 그래서 식 (D.13)에서 \(g \to e\), \(T^a_R \to Q\)로 치환하면:

\[ D_\mu = \partial_\mu - ieQA_\mu \tag{D.14} \]

전자의 전하는 \(-e\) (\(e > 0\))이니까, 기본 전하 \(e\)를 단위로 측정하면 \(Q = -1\)이에요. 식 (D.14)에 대입하면 \(D_\mu = \partial_\mu - ie(-1)A_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu\)가 되죠:

\[ D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu \tag{D.15} \]

Feynman 전파 함수

🟡 리나: 본 「장의 양자론」편에서 사용하는 파인만 전파 함수(Feynman propagator)의 규약이에요:

스칼라장:

\[ \langle 0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;e^{-ip(x-y)}\;\frac{i}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} \tag{D.16} \]

여기서 \(T\{\cdots\}\)는 시간 순서곱 (time-ordered product)으로, 시각이 나중인 장을 왼쪽에 놓는 조작이에요(제 10 장에서 도입했었죠).

여기서 \(\varepsilon > 0\)은 무한소의 양의 양으로, \(i\varepsilon\) 처방이라고 불려요. 이것은 \(p_0\)의 적분 경로 위에서 극을 약간 이동시켜, 인과적인(시간 순서를 따르는) 전파를 골라내는 역할을 해요. Wick 회전에서 다시 중요해지니까 기억해 두세요.

🔵 카이: \(i\varepsilon\)이란, 인과율을 지키기 위한 「주문」 같은 거라고 생각했는데, Wick 회전 때도 효과가 있군요.

🟡 리나: 맞아요. Wick 회전에서 경로를 허수축으로 돌릴 수 있는 것은, 바로 \(i\varepsilon\)이 극의 위치를 이동시켜 주고 있기 때문이에요.

게이지장 (공변 게이지——로렌츠 공변성을 유지하는 게이지 고정의 총칭으로, 매개변수 \(\xi\)로 특징지어져요):

\[ \langle 0|T\{A_\mu(x)A_\nu(y)\}|0\rangle = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;e^{-ip(x-y)}\;\frac{-i\!\left(\eta_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{p_\mu p_\nu}{p^2 + i\varepsilon}\right)}{p^2 + i\varepsilon} \tag{D.17} \]

\(\xi = 1\)이 파인만 게이지, \(\xi = 0\)이 란다우(Landau) 게이지예요.

디랙 페르미온:

\[ \langle 0|T\{\psi(x)\bar{\psi}(y)\}|0\rangle = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;e^{-ip(x-y)}\;\frac{i}{\not\!p - m + i\varepsilon} \tag{D.18} \]

🔵 카이: 어, 전파 함수의 지수가 \(e^{-ip(x-y)}\)인지 \(e^{+ip(x-y)}\)인지 교과서마다 다르지 않나요? 여기서는 전부 \(e^{-ip(x-y)}\)로 통일하고 있는 건가요?

🟡 리나: 좋은 눈치에요. 결론부터 말하면, 지수의 부호 선택과 전파 함수의 분자의 형태는 세트로 결정되기 때문에, 어느 규약이든 물리적 결과는 동일해요. 실용적으로는 파인만 규칙에서 운동량 공간의 전파 함수 \(i/(\not\!p - m)\)을 직접 사용하니까, 지수의 부호를 신경 쓸 장면은 거의 없어요.

구조를 간단히 말하면, \(p\)는 적분 변수이기 때문에 \(p \to -p\)로 치환하면 지수 \(e^{-ip(x-y)}\)는 \(e^{+ip(x-y)}\)로 바뀌어요. 적분 측도는 \(d^4p \to d^4p\) (야코비안은 \((-1)^4 = 1\))로 불변이에요. 분모도 \(p\)의 함수로 다시 쓰이지만, 전체를 정리하면 좌표 공간의 전파 함수는 같은 결과가 돼요. 즉 적분 변수의 이름을 바꾸는 것만으로 흡수되는 차이인 거예요. 다른 교과서에서 \(e^{+ip(x-y)}\)를 사용하는 것을 봐도, 물리적 결과는 변하지 않으니까 안심하세요.

🔵 카이: 아하, 적분 변수의 이름 바꾸기로 흡수되는 거군요.

🟡 리나: 그런 거예요. 본 「장의 양자론」편에서는 \(e^{-ip(x-y)}\)를 채택하고 있는데, 이것은 \(\psi(x)\)의 푸리에 전개에서 소멸 연산자에 \(e^{-ipx}\)가 동반되는 것에 대응하는 자연스러운 선택이에요.

⚪ 메이: 스칼라의 분자가 \(+i\)이고 게이지장이 \(-i\)인 것은, 뭔가 이유가 있어?

🟡 리나: 좋은 착안점이에요. 전파 함수는 운동 방정식의 그린 함수이기 때문에, 라그랑지안의 운동항의 부호가 그대로 반영되는 거예요. 스칼라장은 \(+\frac{1}{2}(\partial\phi)^2\)로 양의 부호, 게이지장은 \(-\frac{1}{4}F^2\)로 음의 부호——이 차이가 분자의 \(+i\)와 \(-i\)의 차이가 되는 거예요.

이해도 체크: 파인만 게이지 (\(\xi = 1\))에서의 게이지장 전파 함수의 분자는?

\(\xi = 1\)을 대입하면 \((1-\xi) = 0\)이므로, 분자는 단순히 \(-i\eta_{\mu\nu}\)가 된다. 계산이 가장 간단해지는 게이지.

✅ 이해도 체크: 스칼라장의 파인만 전파 함수에 나타나는 \(i\varepsilon\) 처방의 물리적 역할은 무엇인가.

답

\(i\varepsilon\) (\(\varepsilon > 0\)의 무한소량)은, \(p_0\)의 복소 평면 위에서 전파 함수의 극을 실축에서 약간 이동시키는 역할을 한다. 이로써 인과적인(시간 순서를 따르는) 전파를 골라내고, 또한 이후 Wick 회전에서 적분 경로를 실축에서 허수축으로 회전시킬 때 극을 횡단하지 않는 것을 보장한다.

\(2\pi\)의 인수

🟡 리나: 루프 계산에서 가장 빈번하게 일어나는 실수 중 하나가 \(2\pi\)의 빠뜨림이에요. 규칙을 명확히 해 둘게요.

🔵 카이: 왜 \(2\pi\)가 그렇게 성가신가요?

🟡 리나: 푸리에 변환의 정의에 기원이 있어요. 델타 함수의 적분 표시:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dp\; e^{\pm ipx} = 2\pi\,\delta(x) \tag{D.19} \]

4차원으로 확장하면:

\[ \int d^4p\; e^{\pm ip \cdot x} = (2\pi)^4\,\delta^{(4)}(x) \tag{D.20} \]

본 「장의 양자론」편의 푸리에 변환 규약:

\[ f(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p)\,e^{-ipx} \tag{D.21} \]
\[ \tilde{f}(p) = \int d^4x\;f(x)\,e^{+ipx} \tag{D.22} \]

이 규약은 전파 함수(식 (D.16))의 \(e^{-ip(x-y)}\)와 정합적이에요.

⚪ 메이: 즉 운동량 공간의 적분에는 \(1/(2\pi)^4\)가 붙고, 좌표 공간의 적분에는 붙지 않는다. 이 비대칭성을 기억해 두면 되는 거구나.

🟡 리나: 맞아요. 파인만 규칙에서 내부 루프의 운동량에 대해 적분할 때, 반드시

\[ \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \]

라고 쓰는 것은 이 규약에서 오는 거예요.

✅ 이해도 체크: 본서의 푸리에 변환 규약에서, \(2\pi\)의 인수는 운동량 공간과 좌표 공간 중 어느 쪽의 적분에 붙는가.

답

운동량 공간의 적분에 \(1/(2\pi)^4\)가 붙고, 좌표 공간의 적분에는 붙지 않는다. 즉 \(f(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\tilde{f}(p)e^{-ipx}\)이며, \(\tilde{f}(p) = \int d^4x\,f(x)e^{+ipx}\)이다.

운동량과 미분의 대응은:

\[ p_\mu \longleftrightarrow i\partial_\mu \tag{D.23} \]

이것은 평면파 \(e^{-ipx}\)에 \(i\partial_\mu\)를 작용시키면 \(i(-ip_\mu)e^{-ipx} = p_\mu e^{-ipx}\)가 되는 것으로 확인할 수 있어요. 공간 성분에 대해 보충하면, \(p_0 = E \leftrightarrow i\partial_t\)는 시간 성분이에요. 공간 성분에서는 \(p_i \leftrightarrow i\partial_i\)이지만, mostly minus 규약에서는 \(p^i = -p_i\)이므로, 반변 성분으로 쓰면 \(p^i \leftrightarrow -i\partial_i\). 여기서 \(\vec{p} = (p^1, p^2, p^3)\)은 공간의 반변 성분을 나열한 벡터이므로, \(\vec{p} \longleftrightarrow -i\vec{\nabla}\). 양자역학에서 익숙한 관계죠.

Feynman 매개변수

🟡 리나: 여기서부터가 루프 계산의 핵심적인 기법이에요. 제 13 장에서 보았듯이, 파인만 다이어그램에서는 각 내부선(루프를 구성하는 가상 입자의 전파 함수)이 \(i/(k^2 - m^2 + i\varepsilon)\)와 같은 인수를 주고, 루프를 한 바퀴 도는 운동량 \(k\)에 대해 적분하게 돼요. 내부선이 여러 개 있으면, 각각의 전파 함수가 곱해져서 「여러 개의 서로 다른 분모의 곱」을 포함하는 적분이 나타나게 되죠.

🔵 카이: 즉, 분모에 전파 함수가 여러 개 곱셈으로 늘어선다는 건가요?

🟡 리나: 맞아요. 분자의 \(i\)는 전체 계수로 묶어낼 수 있고, \(i\varepsilon\)은 Feynman 매개변수의 도입이나 완전제곱식 만들기 단계에서는 적분의 대수적 구조에 영향을 주지 않으니까(Wick 회전에서 중요해지지만 그건 나중에 설명할게요), 일단 분모의 형태에 주목하면, 예를 들어 1루프 자기 에너지에서는

\[ \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m_1^2 + i\varepsilon)((k-p)^2 - m_2^2 + i\varepsilon)} \]

와 같은 형태가 나와요. 분모가 2개 인수의 곱으로 되어 있죠. (이후, \(i\varepsilon\)은 각 인수에 붙어 있는 것으로 하고 생략할게요.)

🔵 카이: 이걸 어떻게 적분하나요? 분모가 제각각이면 손을 댈 수가 없는데요.

🟡 리나: 거기서 사용하는 것이 Feynman 매개변수 (Feynman parameter)라는 기법이에요. 분모의 곱을, 보조 변수를 도입해서 하나의 분모로 합치는 거예요.

기본 공식

🟡 리나: 가장 기본적인 공식은 이거예요. 아이디어는 「\(A\)와 \(B\)의 가중 평균 \(xA + (1-x)B\)를 만들어서, 매개변수 \(x\)를 0부터 1까지 움직이면서 \(A\)와 \(B\) 양쪽의 정보를 하나의 식에 담는다」는 것이에요. 2개의 인수 \(A\)와 \(B\)가 양의 실수(또는 양의 허부를 갖는 복소수)일 때:

\[ \frac{1}{AB} = \int_0^1 dx\;\frac{1}{[xA + (1-x)B]^2} \tag{D.24} \]

🔵 카이: 어, 왜 이게 성립하는 거예요? 갑자기 나온 느낌인데요.

🟡 리나: 증명해 볼게요. \(A \neq B\)인 경우로 보여줄게요(\(A = B\)이면 양변 모두 \(1/A^2\)이 되어 자명하게 성립하죠). 우변의 피적분함수를 \(x\)로 적분할게요. \(D = xA + (1-x)B = x(A-B) + B\)로 놓으면, \(dD = (A-B)\,dx\)이니까:

\[ \int_0^1 dx\;\frac{1}{[x(A-B) + B]^2} = \int_B^A \frac{dD}{(A-B)}\;\frac{1}{D^2} \]

⚪ 메이: 치환 적분이네. \(x = 0\)일 때 \(D = B\), \(x = 1\)일 때 \(D = A\)이니까 적분 범위는 \(B\)에서 \(A\)까지.

🟡 리나: 맞아요. 계속하면:

\[ = \frac{1}{A-B}\int_B^A \frac{dD}{D^2} = \frac{1}{A-B}\left[-\frac{1}{D}\right]_B^A = \frac{1}{A-B}\left(-\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) \]
\[ = \frac{1}{A-B}\cdot\frac{A-B}{AB} = \frac{1}{AB} \]

🔵 카이: 오! 깔끔하게 \(1/(AB)\)가 나왔어요!

🟡 리나: 이것이 Feynman 매개변수 기본 공식의 증명이에요. \(x\)는 0부터 1까지 움직이는 보조 변수로, 최종 물리량에는 나타나지 않아요.

일반화: \(n\)개의 인수

🟡 리나: 3개 이상의 인수가 있는 경우의 일반화도 적어 둘게요:

\[ \frac{1}{A_1 A_2 \cdots A_n} = (n-1)!\int_0^1 dx_1\cdots dx_n\;\frac{\delta(1 - x_1 - \cdots - x_n)}{[x_1 A_1 + x_2 A_2 + \cdots + x_n A_n]^n} \tag{D.25} \]

델타 함수 \(\delta(1 - x_1 - \cdots - x_n)\)는 「매개변수의 합이 1」이라는 제약을 부여하고 있어요.

✅ 이해도 체크: Feynman 매개변수의 일반 공식 (D.25)에 나타나는 델타 함수 \(\delta(1 - x_1 - \cdots - x_n)\)의 역할은 무엇인가.

답

Feynman 매개변수 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)의 합이 1이 되는 제약을 부여한다. 이로써 분모의 내용 \(x_1 A_1 + \cdots + x_n A_n\)이 각 \(A_i\)의 볼록 결합(가중 평균)으로 표현된다. \(n=2\)의 경우는 \(x_2 = 1 - x_1\)이 되어 기본 공식 (D.24)로 귀착된다.

⚪ 메이: \(n = 2\)의 경우, \(\delta(1 - x_1 - x_2)\)로 \(x_2 = 1 - x_1\)로 놓으면 식 (D.24)로 돌아가네. \((n-1)! = 1! = 1\)이니까 계수도 맞아.

🟡 리나: 더 나아가, 분모의 거듭제곱이 다른 경우도 중요해요. 이 공식에는 「계승」을 정수 이외에도 확장한 함수가 등장하는데요. 「왜 정수의 계승만으로는 안 되는 거지?」라고 생각할 수 있으니, 먼저 동기를 말해 둘게요. 이유는 2가지예요. 첫째, 바로 뒤의 식 (D.34)에서 기본 적분을 닫힌 형태로 쓸 때 감마 함수가 자연스럽게 나타나요——베타 함수의 적분을 실행하면 결과가 감마 함수로 쓰이기 때문이죠. 둘째, 제 14 장에서 배울 차원 정칙화라는 기법에서는 공간의 차원을 \(d = 4 - 2\epsilon\)처럼 「4보다 아주 조금 작은 비정수」로 취해서, 루프 적분의 발산을 \(\epsilon \to 0\)의 극으로 포착하는 거예요. 그러면 공식 중의 「4」가 「\(d\)」로 치환되어, 예를 들어 \(\Gamma(d/2)\)처럼 인수가 비정수가 되니까, 계승을 비정수로 확장한 함수가 필수불가결해지는 거죠.

🔵 카이: 아하, 정수가 아닌 차원을 다루니까 정수의 계승만으로는 부족한 거군요.

🟡 리나: 그런 거예요. 그럼 공식을 쓸게요:

\[ \frac{1}{A^a B^b} = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1 dx\;\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{[xA + (1-x)B]^{a+b}} \tag{D.26} \]

여기서 \(\Gamma\)는 감마 함수 (gamma function)예요. 적분 표시는 \(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) (\(z > 0\))이고, 양의 정수 \(n\)에 대해서는 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)이 되어 계승의 일반화가 되어 있어요. 「\(z\)가 비정수일 때 \(t^{z-1}\)이 뭐지?」라고 생각할 수 있는데, \(t > 0\)일 때 자연로그 \(\ln t\)가 정의되니까, \(t^{z-1} = e^{(z-1)\ln t}\)로 정의하면 임의의 실수 \(z\)에 대해 의미를 가져요(예를 들어 \(t^{1/2} = e^{(1/2)\ln t} = \sqrt{t}\)이죠). 다만 적분 \(\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\)가 수렴하는 것은 \(z > 0\)일 때뿐이에요. \(z \leq 0\)으로의 확장은 바로 뒤에서 설명하는 재귀 관계를 사용해요. 예를 들어 \(\Gamma(1) = 1\), \(\Gamma(2) = 1\), \(\Gamma(3) = 2\). 비정수에서도 정의되어 있고, \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)가 유명해요.

⚪ 메이: \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)라니, 가우스 적분 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\)와 관계가 있는 건가.

🟡 리나: 바로 그래요! \(\Gamma(1/2) = \int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt\)에서 \(t = x^2\)으로 치환하면 \(\int_0^\infty \frac{2}{2x}\,x\,2x\,e^{-x^2}dx = 2\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\)가 되죠. 중요한 성질은 재귀 관계 \(\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)\)예요. 이것을 다시 쓰면:

\[ \Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+1)}{z} \]

이 식은 우변이 정의되어 있는 한 좌변을 정의하니까, \(z > 0\)이었던 정의역을 \(z \leq 0\) (단, \(z \neq 0, -1, -2, \ldots\))까지 확장할 수 있어요. \(z \to 0\)의 극한을 생각해 보세요. 분자는 \(\Gamma(0+1) = \Gamma(1) = 1\)로 유한인데 분모의 \(z\)가 \(0\)에 가까워지니까, \(\Gamma(z) \approx 1/z \to \infty\)로 발산하죠(정확히는 \(z = 0\)에 \(1/z\) 형의 극을 가져요). 이 발산이 나중에 루프 적분의 발산과 연결돼요.

🔵 카이: 한 가지 확인할게요—— \(\Gamma(z) = \Gamma(z+1)/z\)에서 \(z \to 0\)으로 하면 분모가 0이니까 발산한다는 건 알겠는데요. \(z = -1\)이나 \(z = -2\)에서도 마찬가지로 발산하나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(\Gamma(-1) = \Gamma(0)/(-1)\)인데, 분자의 \(\Gamma(0)\)이 이미 무한대이니까 \(\Gamma(-1)\)도 발산해요. 마찬가지로 \(\Gamma(-2) = \Gamma(-1)/(-2)\)도 발산하죠. 즉 \(z = 0, -1, -2, \ldots\) 모두에서 극을 가지는 거예요. 하지만 그 이외의 음의 실수——예를 들어 \(z = -1/2\) 같은——에서는 유한한 값을 가져요. 루프 계산에서 중요한 건 \(z = 0\)의 극뿐이니까, 지금은 거기만 기억해 두면 충분해요.

또한, 나중에 사용할 베타 함수 (beta function)도 여기서 소개해 둘게요. 정의는 \(B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\)이고, 감마 함수와의 관계는:

\[ B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \]

예를 들어 \(B(1,1) = \int_0^1 1\,dt = 1\), \(B(2,2) = \int_0^1 t(1-t)\,dt = \int_0^1 (t - t^2)\,dt = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)이죠. 기본 적분의 도출에서 사용하니까 기억해 두세요.

실제 사용법

🟡 리나: 구체적인 예를 보여줄게요. 아까의 적분:

\[ I = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m_1^2 + i\varepsilon)((k-p)^2 - m_2^2 + i\varepsilon)} \]

(이후, \(i\varepsilon\)은 각 인수에 붙어 있는 것으로 하고 생략할게요.)

\(A = k^2 - m_1^2\), \(B = (k-p)^2 - m_2^2\)로 놓고 Feynman 매개변수를 도입하면:

\[ I = \int_0^1 dx \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{[x(k^2 - m_1^2) + (1-x)((k-p)^2 - m_2^2)]^2} \tag{D.27} \]

🔵 카이: 분모를 전개하는 건가요?

🟡 리나: 맞아요. 분모의 내용을 정리할게요:

\[ x(k^2 - m_1^2) + (1-x)((k-p)^2 - m_2^2) \]
\[ = xk^2 - xm_1^2 + (1-x)k^2 - 2(1-x)k\cdot p + (1-x)p^2 - (1-x)m_2^2 \]
\[ = [x + (1-x)]k^2 - 2(1-x)k\cdot p + (1-x)p^2 - xm_1^2 - (1-x)m_2^2 \]
\[ = k^2 - 2(1-x)k\cdot p + (1-x)p^2 - xm_1^2 - (1-x)m_2^2 \]

🟡 리나: 여기서 완전제곱식으로 만들어요. \(\ell = k - (1-x)p\)로 변수 변환하면 \(k = \ell + (1-x)p\)이니까, 각 항에 대입해 보세요.

⚪ 메이: 해볼게. \(k = \ell + (1-x)p\)를 대입하면:

\[ k^2 = \ell^2 + 2(1-x)\ell\cdot p + (1-x)^2 p^2 \]
\[ -2(1-x)k\cdot p = -2(1-x)\ell\cdot p - 2(1-x)^2 p^2 \]

더하면:

\[ k^2 - 2(1-x)k\cdot p = \ell^2 - (1-x)^2 p^2 \]

🟡 리나: 완벽해요. 따라서 분모는:

\[ \ell^2 - (1-x)^2 p^2 + (1-x)p^2 - xm_1^2 - (1-x)m_2^2 \]
\[ = \ell^2 + (1-x)p^2[1 - (1-x)] - xm_1^2 - (1-x)m_2^2 \]
\[ = \ell^2 + x(1-x)p^2 - xm_1^2 - (1-x)m_2^2 \]

\(\Delta \equiv xm_1^2 + (1-x)m_2^2 - x(1-x)p^2\)로 정의하면, \(-\Delta = x(1-x)p^2 - xm_1^2 - (1-x)m_2^2\)이니까, 바로 앞의 식은 \(\ell^2 + x(1-x)p^2 - xm_1^2 - (1-x)m_2^2 = \ell^2 - \Delta\)로 정리되어:

\[ I = \int_0^1 dx \int \frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell^2 - \Delta)^2} \tag{D.28} \]

🔵 카이: 오! 분모가 \(\ell\)만의 함수가 됐어요! \(\ell\)의 홀수 거듭제곱 항도 사라진 건가요?

🟡 리나: 날카로워요. \(\ell\)의 적분 범위는 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)의 전 공간이고, 분모는 \(\ell^2\) (짝함수)에만 의존해요. 따라서 분자에 \(\ell^\mu\) 같은 홀수 거듭제곱이 있으면, \(\ell \to -\ell\)로 피적분함수의 부호가 반전되어 적분 전체가 0이 돼요. 1차원에서 \(\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x^2)\,dx = 0\)인 것과 같은 이치죠. 이것이 Feynman 매개변수와 변수 변환의 위력이에요——임의의 루프 적분을 구대칭인 표준 형태로 귀착시킬 수 있는 거예요.

✅ 이해도 체크: Feynman 매개변수 도입 후의 변수 변환(완전제곱식 만들기)에서, \(\ell^\mu\)의 홀수 거듭제곱 항이 사라지는 이유는 무엇인가.

답

변수 변환 후의 새로운 루프 운동량 \(\ell\)의 적분 범위는 전 공간 \((-\infty, +\infty)\)이며, 분모는 \(\ell^2\) (짝함수)에만 의존한다. 분자에 \(\ell^\mu\)의 홀수 거듭제곱이 있는 경우, \(\ell \to -\ell\) 치환으로 피적분함수의 부호가 반전되므로, 대칭성에 의해 적분은 0이 된다.

이해도 체크: Feynman 매개변수의 목적을 한마디로 서술하라

여러 전파 함수의 곱(분모의 곱)을 하나의 분모로 합치고, 운동량의 변수 변환(완전제곱식 만들기)을 통해 구대칭인 표준 형태의 적분으로 귀착시키는 것.

📝 연습문제:

Wick 회전

🟡 리나: 자, 식 (D.28)의 형태로 귀착시킬 수 있었지만, 아직 문제가 있어요.

🔵 카이: 어떤 문제인가요?

🟡 리나: \(\ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2}\)은 민코프스키 계량이기 때문에, \(\ell_0\)의 적분 경로 위에 특이점(극)이 존재할 가능성이 있어요. 민코프스키 공간 그대로 적분을 실행하는 것은 수학적으로 까다로운 거예요.

🔵 카이: 그럼 특이점을 피하는 방법이 있나요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. 거기서 사용하는 것이 Wick (위크) 회전이라는 아이디어예요. 유클리드(Euclid) 공간으로 가면 \(\ell_E^2 = \ell_0^2 + \vec{\ell}^{\,2}\)으로 항상 양이니까, 특이점 문제가 없어지는 거예요.

⚪ 메이: 그렇구나, 계량의 부호가 전부 플러스가 되니까, 분모가 0이 되지 않는 거구나.

Wick 회전의 절차

🟡 리나: 구체적으로 볼게요. \(\ell_0\)의 적분을 복소 평면에서 생각해 봅시다. 먼저 극의 위치를 확인할게요:

\[ \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2} - \Delta + i\varepsilon = 0 \implies \ell_0 = \pm\sqrt{\vec{\ell}^{\,2} + \Delta - i\varepsilon} \]

🔵 카이: 극이 실축에서 아주 조금 벗어나 있군요.

🟡 리나: 맞아요. 좀 더 자세히 봅시다. \(\varepsilon > 0\)이 작을 때, \(\sqrt{a - i\varepsilon}\)의 값을 구하고 싶어요. 「복소수의 제곱근이 뭐지?」라고 생각할 수 있는데, 여기서는 「제곱하면 \(a - i\varepsilon\)이 되는 수」를 말해요. 그런 수는 2개 있지만(부호가 반대인 2개), 실부가 양이 되는 쪽을 선택하는 약속(주치)으로 할게요. \(a > 0\)이고 \(\varepsilon\)이 충분히 작을 때, \(\sqrt{a - i\varepsilon} = \sqrt{a(1 - i\varepsilon/a)}\)로 쓸 수 있어요. 여기서 테일러 전개 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) (\(|x| \ll 1\)일 때)를 \(x = -i\varepsilon/a\)에 대해 사용하면——이 공식은 \(x\)가 복소수여도 \(|x| \ll 1\)이면 성립해요——\(\sqrt{a}\,(1 - i\varepsilon/(2a)) = \sqrt{a} - i\varepsilon/(2\sqrt{a})\)로 근사할 수 있어요. \(a = \vec{\ell}^{\,2} + \Delta\)로 놓으면 \(\sqrt{\vec{\ell}^{\,2} + \Delta - i\varepsilon} \approx \sqrt{\vec{\ell}^{\,2} + \Delta} - i\frac{\varepsilon}{2\sqrt{\vec{\ell}^{\,2} + \Delta}}\)이니까, 양의 극 \(\ell_0 \approx +\sqrt{\vec{\ell}^{\,2}+\Delta}\)은 허부가 음——즉 실축의 약간 아래(제4사분면)에, 음의 극 \(\ell_0 \approx -\sqrt{\vec{\ell}^{\,2}+\Delta}\)은 허부가 양——즉 실축의 약간 위(제2사분면)에 벗어나 있어요.

🔵 카이: 즉, \(\ell_0\)의 복소 평면에서 보면, 제1사분면과 제3사분면에는 극이 없는 거군요.

🟡 리나: 맞아요! 그림 D.1「Wick 회전의 복소 \(\ell_0\) 평면」를 보세요. 원래 민코프스키의 적분 경로는 실축 위(그림의 파란 선)이고, Wick 회전 후의 유클리드 적분 경로는 허수축 위(그림의 빨간 선)예요. 양의 실축 위의 경로는 제1사분면을 통해 양의 허수축으로, 음의 실축 위의 경로는 제3사분면을 통해 음의 허수축으로 회전해요. 회전이 훑는 영역(제1·제3사분면)에 극이 없으니까, 도중에 극을 횡단하지 않고 경로를 변형할 수 있어서 적분값이 보존되는 거예요.

Wick 회전의 복소 평면 위의 경로

그림 D.1: Wick 회전의 복소 \(\ell_0\) 평면. 민코프스키 적분 경로(파랑, 실축)를 반시계 방향으로 \(90°\) 회전하여 유클리드 적분 경로(빨강, 허수축)로 옮긴다. \(i\varepsilon\) 처방에 의해 극(× 표시)은 제2사분면(음의 실부·양의 허부)과 제4사분면(양의 실부·음의 허부)에 있으므로, 제1·제3사분면을 통하는 회전 시에 극을 횡단하지 않아 적분값이 보존된다.

여기서 사용하는 것이 복소해석의 코시(Cauchy)의 정리에서 도출되는 「경로 변형의 원리」예요. 간단히 말하면, 「복소 평면 위에서 적분 경로를 연속적으로 변형해도, 그 사이에 특이점(극)을 횡단하지 않으면 적분값은 변하지 않는다」는 거예요.

왜 이것이 성립하는지 직관적으로 설명할게요. 복소 평면 위의 함수 \(f(z)\)가 어떤 영역에서 \(1/z\) 같은 폭발(극)을 갖지 않고 매끄럽게 행동할 때——즉 극이 없는 영역에서는——적분 경로를 자유롭게 변형해도 적분값이 변하지 않아요. 이것을 코시의 정리라고 불러요(엄밀한 증명은 복소해석 교과서에 맡기지만, 여기서는 「극이 없는 영역에서는 경로 변형이 자유롭게 가능하다」는 사실만 사용할게요).

🔵 카이: 물의 흐름이나 뭔가에 비유하면 이미지가 잡히지 않을까요?

🟡 리나: 좋은 비유네요. 물의 흐름으로 비유할게요(어디까지나 비유이므로, 엄밀한 대응은 아니지만 직관을 잡는 데는 편리해요). 평평한 수조 안에, 물이 솟아나는 구멍(＝극)이 몇 개 있다고 해요. 수조 안에서 A 지점에서 B 지점까지 실을 팽팽히 당겨, 실을 가로지르는 물의 유량을 측정하는 것을 생각해 보세요. 실의 경로를 바꿔도, 그 사이에 솟아나는 구멍이 없으면 유량은 변하지 않겠죠? 하지만 경로 사이에 구멍이 있으면, 거기서 솟아나는 물의 양만큼 유량이 달라져 버려요. 복소 적분에서도 이와 비슷한 일이 일어나요——극을 감싸지 않는 한, 경로를 어떻게 변형해도 적분값은 변하지 않는 거예요.

⚪ 메이: 구멍＝극을 피해서 실을 움직이는 한, 유량＝적분값이 일정. 알기 쉬운 비유네.

🟡 리나: 좀 더 구체적으로 말하면, 원래의 경로(실축)와 새로운 경로(허수축)를 끝점에서 연결해서 닫힌 경로를 만들었을 때, 그 내부에 극이 없으면 닫힌 경로를 따른 적분은 0이 돼요(코시의 적분 정리). 여기서 「끝점에서 연결한다」는 건, 실축의 끝(\(\pm R\))에서 허수축의 끝(\(\pm iR\))까지 사분원호로 잇는 이미지예요. \(R \to \infty\)일 때, 피적분함수가 충분히 빠르게 감소하면 원호 위의 적분은 0이 되니까, 닫힌 경로 적분 = 실축의 적분 + 허수축의 적분(역방향) = 0. 즉 실축의 적분과 허수축의 적분이 같다는 거예요. 지금의 경우, 분모가 \(\ell_0\)의 높은 거듭제곱으로 증가하니까, \(|\ell_0| \to \infty\)에서 피적분함수는 \(1/|\ell_0|^{2n}\)처럼 빠르게 0에 가까워져요——따라서 원호 위의 기여는 확실히 사라지죠. 엄밀한 증명은 복소해석 교과서에 맡기지만, 여기서는 「극을 피해서 경로를 회전할 수 있다」는 사실을 사용할게요.

구체적으로는:

\[ \ell_0 \to i\ell_0^E \tag{D.29} \]

로 치환해요. 여기서 \(\ell_0^E\)는 실수예요. 그러면:

\[ \ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2} = (i\ell_0^E)^2 - \vec{\ell}^{\,2} = -(\ell_0^E)^2 - \vec{\ell}^{\,2} = -\ell_E^2 \]

여기서 \(\ell_E^2 = (\ell_0^E)^2 + \vec{\ell}^{\,2}\)은 4차원 유클리드 공간의 노름의 제곱이에요.

⚪ 메이: 적분 측도는 어떻게 돼?

🟡 리나: \(d\ell_0 = i\,d\ell_0^E\)이니까:

\[ d^4\ell = d\ell_0\,d^3\vec{\ell} = i\,d\ell_0^E\,d^3\vec{\ell} = i\,d^4\ell_E \tag{D.30} \]

표준 형태에의 적용

🟡 리나: 식 (D.28)에 Wick 회전을 적용해 봅시다:

\[ \int \frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell^2 - \Delta)^2} = \int \frac{i\,d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(-\ell_E^2 - \Delta)^2} \]

분모는 \((-\ell_E^2 - \Delta)^2 = [-(\ell_E^2 + \Delta)]^2 = (-1)^2(\ell_E^2 + \Delta)^2 = (\ell_E^2 + \Delta)^2\)이니까:

\[ = i\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^2} \tag{D.31} \]

🔵 카이: \((-1)^2 = 1\)로 분모의 부호가 사라졌어요! 그리고 \(\ell_E^2 + \Delta\)는 항상 양이니까, 안심하고 적분할 수 있네요.

🟡 리나: 맞아요. 유클리드 공간에서는 적분이 구대칭이니까, 4차원 구좌표를 사용할 수 있어요.

4차원 구좌표에서의 적분

🟡 리나: 4차원 유클리드 공간에서 구대칭인 피적분함수 \(f(\ell_E^2)\)의 적분은, 3차원에서의 유추로 이해할 수 있어요. 3차원에서는 \(\int d^3x\,f(r^2) = 4\pi\int_0^\infty r^2\,dr\,f(r^2)\)로 쓸 수 있죠? 표면적 \(4\pi r^2\)를 곱해서 반경 방향으로 적분하는 거예요. 4차원에서도 마찬가지로, 「4차원 구의 표면적」\(\times\) \(\ell_E^3\,d\ell_E\)로 적분해요:

\[ \int d^4\ell_E\;f(\ell_E^2) = 2\pi^2\int_0^\infty d\ell_E\;\ell_E^3\;f(\ell_E^2) \tag{D.32} \]

여기서 \(2\pi^2\)은 4차원 단위구의 표면적(바로 뒤에서 도출할게요). \(\ell_E^3\)은 체적 요소의 반경 부분으로, \(d\)차원에서는 일반적으로 \(\ell_E^{d-1}\)이 돼요. 왜냐하면, 3차원에서 \(d^3x = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\)로 쓸 수 있듯이, \(d\)차원에서도 체적 요소는 「반경 방향 \(d\ell_E\)」\(\times\)「각도 방향의 면적 요소」로 분해돼요. 각도 부분을 모두 적분하면, 반경 \(\ell_E\)인 \((d-1)\)차원 구면의 표면적 \(S_d \cdot \ell_E^{d-1}\)이 나와요. 따라서 체적 요소는 \(S_d \cdot \ell_E^{d-1}\,d\ell_E\)가 되죠. 4차원이면 \(\ell_E^3\,d\ell_E\) 부분이에요.

🔵 카이: 3차원에서는 \(r^2\,dr\)이고 4차원에서는 \(\ell_E^3\,d\ell_E\)——즉 차원이 1 올라갈 때마다 거듭제곱이 1 올라가는 거군요.

🟡 리나: 맞아요. 일반적으로 \(d\)차원에서는:

\[ \int d^d\ell_E\;f(\ell_E^2) = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\int_0^\infty d\ell_E\;\ell_E^{d-1}\;f(\ell_E^2) \tag{D.33} \]

⚪ 메이: 3차원의 경우로 확인하고 싶어. \(d = 3\)을 대입하면 \(S_3 = 2\pi^{3/2}/\Gamma(3/2)\)이 되는데, \(\Gamma(3/2)\)는 얼마지?

🟡 리나: 아까의 재귀 관계를 쓰면 돼요. \(\Gamma(3/2) = \frac{1}{2}\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}/2\). 따라서 \(S_3 = 2\pi^{3/2}/(\sqrt{\pi}/2) = 4\pi\). 익숙한 구의 표면적이죠.

⚪ 메이: 그렇구나, 제대로 \(4\pi\)가 나오네. 공식이 정합적이라는 것을 확인할 수 있었어.

🔵 카이: 4차원의 표면적이 \(2\pi^2\)이라니, 신기하네요. 3차원이 \(4\pi\)이고 4차원이 \(2\pi^2\)이라니……

🟡 리나: 여기서 \(S_d\)는 「\(d\)차원 공간에서의 단위구의 표면적」——즉 \((d-1)\)차원 구면의 넓이——를 나타내고 있어요. \(S_d = 2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)\)는 가우스 적분의 \(d\)차원 판으로부터 도출할 수 있어요. \(d = 4\)를 대입하면 \(S_4 = 2\pi^2/\Gamma(2) = 2\pi^2\)으로, 식 (D.32)의 계수와 일치해요. 즉 식 (D.32)는 식 (D.33)의 \(d = 4\) 특수한 경우인 거예요.

아이디어만 말하면, \(d\)차원의 가우스 적분 \(\int d^d x\,e^{-|\vec{x}|^2} = \pi^{d/2}\)를 구좌표로 다시 쓰면 \(S_d \int_0^\infty r^{d-1}e^{-r^2}dr\)이 돼요.

🔵 카이: 잠깐만요. 왜 \(\int d^d x\,e^{-|\vec{x}|^2} = \pi^{d/2}\)인 거예요?

🟡 리나: 좋은 질문이에요. \(|\vec{x}|^2 = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_d^2\)이니까, \(e^{-|\vec{x}|^2} = e^{-x_1^2}\cdot e^{-x_2^2}\cdots e^{-x_d^2}\)로 각 축 방향의 지수함수의 곱으로 분해돼요. 적분도 \(\int d^d x = \int dx_1 \int dx_2 \cdots \int dx_d\)로 분해되니까, 전체가 \(d\)개의 독립적인 1차원 가우스 적분 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_i^2}dx_i = \sqrt{\pi}\)의 곱이 돼요(이 \(\sqrt{\pi}\)라는 값은 부록 C의 식 (C.1)에서 \(a = 2\)로 한 경우에 대응해요). 따라서 \(\sqrt{\pi}^{\,d} = \pi^{d/2}\)이죠. 부록 C의 식 (C.1)에서 \(a = 2\)로 하면 \(\int e^{-q^2}dq = \sqrt{\pi}\)를 얻을 수 있으니까, 그것을 \(d\)번 곱한 형태예요.

⚪ 메이: 각 축이 독립이니까, \(d\)차원의 가우스 적분이 1차원의 \(d\)제곱이 되는 거구나. 깔끔하다.

🔵 카이: 아, 지수 안의 내용이 각 변수 제곱의 합이니까, 곱셈으로 분해할 수 있는 거군요. 반경 적분 \(\int_0^\infty r^{d-1}e^{-r^2}dr\)은, 이대로는 감마 함수의 형태로 안 보이는데……

🟡 리나: 좋은 착안점이에요. \(t = r^2\)으로 치환하는 거예요. 그러면 \(r = \sqrt{t}\)이니까 \(dr = dt/(2\sqrt{t})\), \(r^{d-1} = t^{(d-1)/2}\). 곱하면 \(r^{d-1}dr = t^{(d-1)/2} \cdot dt/(2\sqrt{t}) = \frac{1}{2}t^{d/2-1}dt\)가 돼요. 따라서 \(\int_0^\infty r^{d-1}e^{-r^2}dr = \frac{1}{2}\int_0^\infty t^{d/2-1}e^{-t}dt = \Gamma(d/2)/2\)로 감마 함수의 정의 그 자체가 되는 거예요.

이것으로 양쪽 결과를 같다고 놓을 수 있어요:

\[ \pi^{d/2} = S_d \cdot \frac{\Gamma(d/2)}{2} \]

\(S_d\)에 대해 풀면 \(S_d = 2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)\)가 나와요. \(d = 4\)이면 \(S_4 = 2\pi^2/\Gamma(2) = 2\pi^2\)이죠. 이것으로 도출 완료예요.

⚪ 메이: 즉 \(d\)차원의 표면적 \(S_d = 2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)\)라는 하나의 공식으로, \(d = 3\)의 \(4\pi\)도 \(d = 4\)의 \(2\pi^2\)도 통일적으로 나오는 거구나. 리나 선생님이 말씀하신 차원 정칙화에서 \(d\)를 비정수로 하는 경우에도, 이 공식이 그대로 사용될 수 있다는 거네.

기본적인 운동량 적분 공식

🟡 리나: Wick 회전과 구좌표를 사용하면, 루프 계산에서 나타나는 표준적인 적분을 평가할 수 있어요. 결과를 정리해 둘게요.

유클리드 공간의 기본 적분

🟡 리나: \(\Delta > 0\)으로 놓고, 4차원 유클리드 공간에서의 기본 적분:

\[ \int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^2}\;\frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-2}} \tag{D.34} \]

🔵 카이: 이건 어떻게 유도하나요?

🟡 리나: 식 (D.32)를 사용해서:

\[ \int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{2\pi^2}{(2\pi)^4}\int_0^\infty d\ell_E\;\frac{\ell_E^3}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} \]

\(u = \ell_E^2\)으로 치환하면 \(du = 2\ell_E\,d\ell_E\), \(\ell_E^3\,d\ell_E = \frac{1}{2}u\,du\)이니까:

\[ = \frac{1}{16\pi^2}\int_0^\infty du\;\frac{u}{(u + \Delta)^n} \]

(여기서 앞의 계수를 정리할게요. \(\frac{2\pi^2}{(2\pi)^4} = \frac{2\pi^2}{16\pi^4} = \frac{2}{16\pi^2} = \frac{1}{8\pi^2}\). 여기에 \(u\) 치환에서 나온 \(\frac{1}{2}\)를 곱하면 \(\frac{1}{8\pi^2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16\pi^2} = \frac{1}{(4\pi)^2}\)이 됐어요.)

🔵 카이: 아하, \(1/(4\pi)^2\) 계수는 여기서 오는 거군요. 루프 계산에서 자주 보이는 인수네요.

🟡 리나: 맞아요, 「루프 인수 \(1/(4\pi)^2\)」라고 불리기도 해요. 이 적분을 아까 소개한 베타 함수의 형태로 가져가고 싶으니까, 적분 범위를 \([0,\infty)\)에서 \([0,1]\)로 옮기는 치환을 찾을게요. \(t = u/(u + \Delta)\)로 놓으면, \(u = 0\)에서 \(t = 0\), \(u \to \infty\)에서 \(t \to 1\)이 되니까 딱 맞아요. \(u = \Delta t/(1-t)\), \(du = \Delta/(1-t)^2\,dt\), \(u + \Delta = \Delta/(1-t)\)이에요. 피적분함수를 다시 쓰면:

\[ \frac{u}{(u+\Delta)^n} = \frac{\Delta t/(1-t)}{[\Delta/(1-t)]^n} = \frac{\Delta t/(1-t)}{\Delta^n/(1-t)^n} = \frac{t\,(1-t)^{n-1}}{\Delta^{n-1}} \]

여기에 \(du = \Delta/(1-t)^2\,dt\)를 곱하면:

\[ \frac{u\,du}{(u+\Delta)^n} = \frac{t\,(1-t)^{n-1}}{\Delta^{n-1}}\cdot\frac{\Delta}{(1-t)^2}\,dt = \frac{t\,(1-t)^{n-3}}{\Delta^{n-2}}\,dt \]

\(u: 0 \to \infty\)일 때 \(t: 0 \to 1\)이니까:

\[ \int_0^\infty \frac{u\,du}{(u+\Delta)^n} = \Delta^{2-n}\int_0^1 t\,(1-t)^{n-3}\,dt \]

⚪ 메이: 아, 이건 \(B(2, n-2) = \int_0^1 t^{2-1}(1-t)^{(n-2)-1}dt\)의 형태 그 자체네.

🟡 리나: 맞아요. 이것은 아까 소개한 베타 함수 \(B(a,b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)의 형태예요. 여기서는 \(a = 2\), \(b = n-2\)이니까:

\[ \int_0^1 t\,(1-t)^{n-3}\,dt = B(2,\,n-2) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)} \]

이것을 대입하면:

\[ = \frac{1}{(4\pi)^2}\cdot\frac{1}{\Delta^{n-2}}\cdot\frac{\Gamma(2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)} = \frac{1}{(4\pi)^2}\;\frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-2}} \]

\(\Gamma(2) = 1! = 1\)이니까, 이것으로 식 (D.34)가 얻어졌어요.

⚪ 메이: \(n = 2\)의 경우, \(\Gamma(0)\)이 발산하네. 이건 적분이 무한대가 된다는 뜻이야?

🟡 리나: 날카로워요! 바로 그래요. \(n = 2\)일 때 \(\Gamma(n-2) = \Gamma(0) = \infty\)로, 적분이 로그적으로 발산해요. 이것이 제 13 장에서 본 「루프 안에 나타나는 무한」——자외선 발산의 정체예요. 차원 정칙화에서는 이 발산을 \(d = 4 - 2\epsilon\)으로 놓아 \(1/\epsilon\)의 극으로 포착하는 거예요. 자세한 것은 제 14 장를 보세요.

✅ 이해도 체크: 유클리드 공간의 기본 적분 공식 (D.34)에서 \(n = 2\)일 때 발산이 생기는 이유는 무엇인가. 수학적으로는 어떤 함수의 성질에 기인하는가.

답

\(n = 2\)일 때 공식에 나타나는 \(\Gamma(n-2) = \Gamma(0)\)이 발산하기 때문이다. 감마 함수는 \(z = 0\)에 극을 가지며, \(\Gamma(0) = \infty\)이 된다. 물리적으로는 이것은 루프 적분의 자외선 발산(로그 발산)에 대응하며, 차원 정칙화에서는 \(d = 4 - 2\epsilon\)으로 놓아 \(1/\epsilon\)의 극으로 포착된다.

📝 연습문제:

\(n = 2\)의 경우 (로그 발산)

🟡 리나: \(n = 2\)는 가장 중요한 경우이니까, 다른 방법으로도 발산의 모습을 확인해 둘게요. 식 (D.34)에서는 \(\Gamma(0) = \infty\)가 나타나서 공식이 그대로 사용할 수 없었죠. 그래서 적분의 상한을 유한한 값 \(\Lambda^2\)로 끊어 버리는——즉 「운동량의 크기가 \(\Lambda\)를 넘는 기여를 무시한다」는 근사를 하는 거예요. 이 \(\Lambda\)를 자외선 절단(ultraviolet cutoff)이라고 불러요. 물리적으로는 「이론이 유효한 최대 에너지 스케일」에 대응하는 이미지예요.

🔵 카이: 「여기까지만 신뢰한다」는 에너지의 상한을 손으로 넣는 거군요.

🟡 리나: 그런 거예요. 피적분함수의 분자 \(u\)를 \((u+\Delta) - \Delta\)로 다시 쓰는 거예요——이건 단순히 \(\Delta\)를 더하고 뺀 항등적인 변형이에요. 이렇게 하면 분모의 \((u+\Delta)\)와 약분할 수 있는 형태가 나타나요:

\[ \frac{u}{(u+\Delta)^2} = \frac{(u+\Delta) - \Delta}{(u+\Delta)^2} = \frac{1}{u+\Delta} - \frac{\Delta}{(u+\Delta)^2} \]

각 항을 적분할게요. 제1항은 \(\int_0^{\Lambda^2} \frac{du}{u+\Delta} = [\ln(u+\Delta)]_0^{\Lambda^2} = \ln(\Lambda^2+\Delta) - \ln\Delta = \ln\frac{\Lambda^2+\Delta}{\Delta}\). 제2항은 \(\int_0^{\Lambda^2} \frac{\Delta\,du}{(u+\Delta)^2} = \Delta\left[-\frac{1}{u+\Delta}\right]_0^{\Lambda^2} = \Delta\left(-\frac{1}{\Lambda^2+\Delta} + \frac{1}{\Delta}\right) = 1 - \frac{\Delta}{\Lambda^2+\Delta} = \frac{\Lambda^2}{\Lambda^2+\Delta}\). 합하면:

\[ \int_0^{\Lambda^2} du\;\frac{u}{(u + \Delta)^2} = \ln\frac{\Lambda^2 + \Delta}{\Delta} - \frac{\Lambda^2}{\Lambda^2 + \Delta} \tag{D.35} \]

\(\Lambda \gg \sqrt{\Delta}\)일 때:

\[ \approx \ln\frac{\Lambda^2}{\Delta} - 1 + O(\Delta/\Lambda^2) \tag{D.36} \]

🔵 카이: 아, \(\ln\Lambda^2\)가 나왔어요. 절단을 크게 하면 로그적으로 발산하는 거군요.

🟡 리나: 주의해 주세요——식 (D.34)의 도출에서 보았듯이, 완전한 루프 적분에는 이 앞에 \(\frac{1}{(4\pi)^2}\)의 계수가 곱해져요. 즉 식 (D.28)에서 \(n = 2\)로 한 경우의 Wick 회전 후 결과는 \(\frac{i}{(4\pi)^2}\left(\ln\frac{\Lambda^2}{\Delta} - 1 + \cdots\right)\)가 되는 거예요.

🔵 카이: 절단 \(\Lambda\)에 대해 로그적으로 발산하는 거군요. \(\Lambda^2\) 같은 거듭제곱으로 발산하는 것보다는 낫지만, 역시 무한대……

🟡 리나: 맞아요. 하지만 이 로그 발산은 되맞춤으로 처리할 수 있어요. 제 14 장에서 배운 대로죠.

분자에 \(\ell\)이 있는 경우

🟡 리나: 분자에 루프 운동량 \(\ell_E^\mu\)나 \(\ell_E^\mu \ell_E^\nu\)가 들어가는 경우의 공식도 중요해요:

홀수 거듭제곱:

\[ \int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{\ell_E^\mu}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = 0 \tag{D.37} \]

대칭성으로부터 자명해요.

짝수 거듭제곱:

\[ \int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{\ell_E^\mu \ell_E^\nu}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{\delta^{\mu\nu}}{4}\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{\ell_E^2}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} \tag{D.38} \]

🔵 카이: 왜 \(\delta^{\mu\nu}/4\)가 나오나요?

🟡 리나: 유클리드 공간에서는 적분이 4차원 회전에 대해 대칭이니까, 결과는 회전 불변인 텐서여야 해요. 2계 대칭 텐서로 회전 불변인 것은 \(\delta^{\mu\nu}\)뿐이에요. 따라서 \(\int \ell_E^\mu \ell_E^\nu (\cdots) = C\,\delta^{\mu\nu}\)로 쓸 수 있어요. 계수 \(C\)를 결정하려면 양변에서 \(\mu = \nu\)로 놓고 합을 취하면 돼요. 좌변은 \(\int \ell_E^2 (\cdots)\)가 되고, 우변은 \(C \cdot \delta^{\mu\mu} = 4C\) (4차원이니까 \(\delta^{\mu\mu} = 4\)). 비교하면 \(C = \frac{1}{4}\int \ell_E^2 (\cdots)\)이죠.

⚪ 메이: 즉 「4」는 차원의 수구나. 4차원이니까 4로 나누는 거야. 만약 3차원 적분이라면 \(\delta^{\mu\nu}/3\)이 될 테고.

🟡 리나: 맞아요. 일반적으로 \(d\)차원에서 같은 논의를 하면 \(\delta^{\mu\nu}/d\)가 돼요. 차원 정칙화에서 \(d = 4 - 2\epsilon\)으로 할 때 사용하는 사실이죠. 그럼 식 (D.38)의 우변을 계산해 볼게요. 분자의 \(\ell_E^2\)를 \((\ell_E^2 + \Delta) - \Delta\)로 쓰면:

\[ \frac{\delta^{\mu\nu}}{4}\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{\ell_E^2}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{\delta^{\mu\nu}}{4}\left[\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^{n-1}} - \Delta\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n}\right] \]

식 (D.34)를 적용하면:

\[ = \frac{\delta^{\mu\nu}}{4}\cdot\frac{1}{(4\pi)^2}\left[\frac{\Gamma(n-3)}{\Gamma(n-1)}\;\frac{1}{\Delta^{n-3}} - \frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-3}}\right] \]

🔵 카이: 분자에 \(\ell_E^2\)가 있어도, \(\Delta\)를 더하고 빼는 것만으로 기본 공식에 귀착시킬 수 있군요. 아까 \(n = 2\)의 절단 계산과 같은 테크닉이네요.

⚪ 메이: 리나 선생님이 가르쳐 준 재귀 관계 \(\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)\)를 반복 사용하면 되는 거구나. \(\Gamma(n-1) = (n-2)\Gamma(n-2) = (n-2)(n-3)\Gamma(n-3)\)이니까 \(\frac{\Gamma(n-3)}{\Gamma(n-1)} = \frac{1}{(n-2)(n-3)}\). 마찬가지로 \(\Gamma(n) = (n-1)(n-2)\Gamma(n-2)\)이니까 \(\frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)} = \frac{1}{(n-1)(n-2)}\).

🟡 리나: 좋아요. 차를 구하면(통분해서):

\[ \frac{1}{(n-2)(n-3)} - \frac{1}{(n-1)(n-2)} = \frac{1}{n-2}\left(\frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-1}\right) = \frac{1}{n-2}\cdot\frac{(n-1)-(n-3)}{(n-3)(n-1)} = \frac{2}{(n-1)(n-2)(n-3)} \]

🔵 카이: 재귀 관계를 3번 사용하면 \(\Gamma(n) = (n-1)(n-2)(n-3)\Gamma(n-3)\)이니까, 분모가 그대로 \(\Gamma(n)/\Gamma(n-3)\)이 되는군요.

🟡 리나: 맞아요. \(\frac{2}{(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{2\,\Gamma(n-3)}{\Gamma(n)}\)이죠. 앞의 \(\delta^{\mu\nu}/4\)와 합하면 \(\frac{\delta^{\mu\nu}}{4} \times \frac{2\,\Gamma(n-3)}{\Gamma(n)} = \frac{\delta^{\mu\nu}}{2}\cdot\frac{\Gamma(n-3)}{\Gamma(n)}\)이니까:

\[ \int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{\ell_E^\mu \ell_E^\nu}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{\delta^{\mu\nu}}{2}\cdot\frac{1}{(4\pi)^2}\;\frac{\Gamma(n-3)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-3}} \tag{D.39} \]

민코프스키 공간으로 되돌린 결과

🟡 리나: 실제 계산에서는 Wick 회전 전의 민코프스키 공간 결과가 필요한 경우가 많아요. 식 (D.31)의 \(i\) 인수를 포함하면:

\[ \int \frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^n} = \frac{i\,(-1)^n}{(4\pi)^2}\;\frac{\Gamma(n-2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-2}} \tag{D.40} \]

🔵 카이: \((-1)^n\)은 어디서 오나요?

🟡 리나: 민코프스키 공간의 적분을 유클리드 공간으로 옮길 때, 2가지 효과가 겹치는 거예요:

  1. \(d^4\ell = i\,d^4\ell_E\) (식 (D.30))에서 \(i\) 인수가 1개 나온다
  2. \(\ell^2 - \Delta \to -\ell_E^2 - \Delta = -(\ell_E^2 + \Delta)\)

⚪ 메이: 즉 적분 측도에서 \(i\)가 나오고, 분모에서는 \((-1)^n\)이 나오는 거구나.

🟡 리나: 맞아요. 분모의 \(n\)제곱은 \((\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^n = [-(\ell_E^2 + \Delta - i\varepsilon)]^n = (-1)^n(\ell_E^2 + \Delta - i\varepsilon)^n\)으로 바뀌어요. 유클리드 공간에서는 \(\ell_E^2 + \Delta > 0\)이니까 분모가 0이 될 걱정이 없고, \(\varepsilon\)은 이제 불필요해요——안전하게 \(\varepsilon \to 0^+\)로 놓아서:

\[ \int \frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell^2-\Delta+i\varepsilon)^n} = \frac{i}{(-1)^n}\int \frac{d^4\ell_E}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(\ell_E^2+\Delta)^n} \]

여기서 \(n\)은 양의 정수이므로 \((-1)^n = \pm 1\)이에요. \(\pm 1\)의 역수는 자기 자신이니까 \(1/(-1)^n = (-1)^n\)이죠(확인: \((-1)^n \times (-1)^n = (-1)^{2n} = 1\)). 따라서 \(\frac{i}{(-1)^n} = i \cdot (-1)^n\)이 되어, 전체 계수는 \(i\,(-1)^n\)이 돼요. 식 (D.31)은 \(n = 2\)의 경우로 \((-1)^2 = 1\)이니까 \(i\)만 남았지만, 일반적인 \(n\)에서는 이 \((-1)^n\)이 남는 거예요.

⚪ 메이: 확인: \(n = 2\)이면 \((-1)^2 = 1\)이니까 계수는 \(i/(4\pi)^2 \cdot \Gamma(0)/\Gamma(2) \cdot 1/\Delta^0\)의 형태가 되는데, \(\Gamma(0)\)이 발산하니까 이 공식은 그대로 사용할 수 없어——이것이 자외선 발산이지. \(n = 3\)이면 \((-1)^3 = -1\)로 \(-i/(4\pi)^2 \cdot \Gamma(1)/\Gamma(3) \cdot 1/\Delta = -i/(32\pi^2\Delta)\). 이쪽은 유한해.

🟡 리나: 맞아요. 이것으로 식 (D.40)이 확인됐네요.

이해도 체크: Wick 회전의 본질적인 효과를 2가지 서술하라
  1. 민코프스키 계량 \(\ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2}\)를 유클리드 계량 \(-\ell_E^2 = -(\ell_0^E)^2 - \vec{\ell}^{\,2}\)로 바꾸어 피적분함수의 극을 회피한다.
  2. 적분이 4차원 구대칭이 되어, 각도 적분을 실행할 수 있게 된다.

정리: 도구 상자 일람

🟡 리나: 마지막으로, 이 Appendix의 주요 공식을 일람표로 정리해 둘게요. 루프 계산에서 헤맬 때 여기로 돌아오세요.

표 D.3: 부록D 주요 공식 일람

번호 공식 용도
(D.3)–(D.4) \([\phi] = 1\), \([\psi] = 3/2\) 장과 결합 상수의 차원 결정
(D.7) \(\eta^{\mu\nu} = (+,-,-,-)\) 계량의 규약
(D.21)–(D.22) 푸리에 변환의 규약 \(2\pi\) 인수 추적
(D.24) Feynman 매개변수 (2인수) 분모의 통합
(D.25) Feynman 매개변수 (\(n\)인수) 다중 전파 함수의 통합
(D.26) 거듭제곱이 다른 경우 부등 거듭제곱의 분모 통합
(D.29)–(D.30) \(\ell_0 \to i\ell_0^E\), \(d^4\ell = i\,d^4\ell_E\) Wick 회전
(D.34) 유클리드 공간의 기본 적분 스칼라형 루프 적분
(D.37)–(D.39) 분자에 \(\ell\)이 있는 경우 텐서형 루프 적분
(D.40) 민코프스키 공간의 최종 결과 물리적 진폭의 계산

🔵 카이: 이 정도면 제13~14장의 되맞춤 계산이 구체적으로 할 수 있을 것 같아요. 그런데 한 가지 궁금한 건, 2루프 이상이 되면 Feynman 매개변수가 여러 개 나와서, 마지막 \(x\) 적분이 엄청 복잡해지지 않나요?

🟡 리나: 좋은 의문이에요. 실제로 2루프 이상에서는 Feynman 매개변수의 다중 적분이 남아서, 해석적으로 실행할 수 없는 경우도 많아요. 그런 경우에는 수치 적분이나 특수 함수(다중 로그 함수 등)를 사용하게 돼요. 하지만 운동량 적분을 실행하기까지의 절차——분모를 합치고, 완전제곱식을 만들고, Wick 회전하고, 구좌표로 적분하는——은 동일해요.

🔵 카이: 절차 자체는 같고 마지막 Feynman 매개변수 적분이 어려워질 뿐이라는 건 알겠어요. 그런데 2루프라면 루프 운동량이 2개 있잖아요. Wick 회전도 2번 하나요? 아니면 한꺼번에 2개의 시간 성분을 동시에 회전시키나요?

🟡 리나: 네, 각 루프 운동량 \(k_1\), \(k_2\) 각각에 대해 \(k_{1,0} \to ik_{1,0}^E\), \(k_{2,0} \to ik_{2,0}^E\)로 Wick 회전을 해요. 한쪽 루프 운동량을 먼저 적분하고(이때 1루프 공식이 사용 가능), 남은 쪽에 대해 다시 같은 절차를 밟는 흐름이에요.

🔵 카이: 중첩 구조인 거군요. 바깥쪽 루프를 고정하고 안쪽을 먼저 처리하는——프로그래밍의 이중 루프 같은 거네요. 그런데 안쪽 루프를 적분한 결과가 바깥쪽 루프 운동량에 의존하면, 바깥쪽 적분이 또 복잡해지지 않나요? 결국 어딘가에서 감당이 안 되거나 하지 않나요?

🟡 리나: 좋은 걱정이에요. 실제로 안쪽 루프 적분의 결과는 바깥쪽 루프 운동량이나 Feynman 매개변수의 함수로 남기 때문에, 바깥쪽 적분은 일반적으로 1루프보다 복잡해져요. 해석적으로 닫힌 형태로 쓸 수 없는 경우도 많아요. 하지만 절차 자체——Feynman 매개변수 → 완전제곱식 → Wick 회전 → 구좌표——는 동일하니까, 원리적으로는 계산 가능해요.

🔵 카이: 그렇구나. 그럼 반대로 말하면, 이 부록의 도구만으로 원리적으로는 어떤 루프 차수든 계산의 틀을 세울 수 있지만, 실제로 답을 닫힌 형태로 써 내려갈 수 있는지는 별개의 문제라는 거군요.

⚪ 메이: 정리하면, 루프 계산의 골격은 「①Feynman 매개변수로 분모 통합 → ②완전제곱식으로 표준 형태 → ③Wick 회전으로 유클리드화 → ④구좌표로 적분 실행」의 4단계구나. 2루프 이상에서는 각 루프 운동량에 대해 이 4단계를 반복 적용하고, 마지막에 Feynman 매개변수의 다중 적분이 남아.

🔵 카이: 4단계, 외웠어요. 그런데 한 가지만——이 도구 상자는 「적분이 수렴하는」 경우의 이야기죠. 발산하는 경우(\(n = 2\) 같은)는 결국 절단이나 차원 정칙화로 별도 처리가 필요한 거잖아요. 도구 상자만으로는 완결되지 않는다는 거네요.

🟡 리나: 맞아요. 이 부록은 「적분을 표준 형태로 가져가는」 데까지의 도구 상자이고, 발산의 처리——즉 정칙화와 되맞춤——는 제 14 장의 역할이에요. 하지만 이 4단계가 없으면, 애초에 「무엇이 발산하고 있는지」를 특정하는 것조차 불가능해요. 그래서 토대로서 필수불가결한 거예요.

🔵 카이: 도구 상자로 「무엇이 발산하고 있는지」를 파악하고, 그 처리는 제14장에 맡기는——역할 분담이 확실해서 알기 쉬워요.

참고 문헌

  • Quantum Field Theory and the Standard Model (M. Schwartz) Appendix B「Regularization」
  • An Introduction to Quantum Field Theory (Peskin & Schroeder) 부록 A「Some Useful Formulas」
  • Quantum Field Theory (Srednicki) 제14장「Loop Integrals in Vacuum」
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