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제6장　중력의 본질은 무엇인가? — 일반상대성이론

← 제5장 광속이 일정한 것은 왜?제7장 원자는 왜 안정한가? →

이전까지의 줄거리: 제 5 장에서 특수상대론의 요점을 정리한 뒤 끈이론 고유의 광원뿔 좌표를 도입했다. 그러나 특수상대론은 관성계(등속직선운동하는 관측자)만을 다루며, 가속이나 중력은 포함되지 않는다. 제 1 장에서 남겨진 "Newton의 중력은 왜 서로 끌어당기는지를 설명하지 못한다", "중력이 순간적으로 전달된다"는 문제도 미해결 상태.

이 장의 목표

  • 「일반상대론」편에서 상세히 전개한 일반상대론(Ch.5〜Ch.14)의 결과를 개관하고, 끈이론에서 필요한 핵심만을 갖추어 놓기
  • 구체적으로는, (1) 등가원리에서 "중력＝시공간의 기하학"으로의 전환, (2) 계량 텐서·측지선·곡률·Einstein 방정식의 역할 분담, (3) Schwarzschild 해의 사용법, 이 3가지를 잡기
  • 동시에, 끈이론과의 접속점——입자 작용의 "편리한 형태"가 끈의 작용(제 13 장)으로 그대로 확장되는 것, Einstein 방정식이 끈이론의 저에너지 유효이론으로서 재도출되는 것(제 15 장), 그리고 특이점의 존재가 양자중력을 필요로 하는 것(제 12 장)——에 중점을 둔다

이 장의 읽는 법

수식의 도출·계산은 모두 「일반상대론」편 제 5 장 에서 정성껏 다루었다. 이 장은 요점 정리와 끈이론으로의 복선 제시에 집중한다. 처음 읽는 독자는 「일반상대론」편 쪽을 통독한 뒤 이 장으로 돌아오는 것을 추천한다. 이미 「일반상대론」편을 읽은 독자에게는 이 장이 "끈이론에서 무엇이 중요한가"라는 관점에서 일반상대론을 재점검하는 장이 된다.

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flowchart TD
    A["등가원리\n가속 ≡ 중력(국소)"] --> B["중력 = 시공간의 기하학"]
    B --> C["계량 텐서 g_μν"]
    C --> D["측지선 방정식\n입자의 운동"]
    C --> E["곡률·Einstein 방정식\n시공간의 동역학"]
    D --> F["<b>편리한 작용 S_useful</b>\n끈이론으로의 포석"]
    F --> G["끈의 작용\n(제13장)"]
    E --> H["Schwarzschild 해"]
    H --> I["수성의 근일점 이동 43초각"]
    H --> J["특이점 → 양자중력\n(제10-12장)"]

그림 6.1: 일반상대론에서 끈이론·양자중력 문제 해결로의 경로

6.1　동기의 재확인 — 등가원리와 "중력 = 시공간의 기하학"

🟡 리나: 제 5 장의 마지막에 엘리베이터 이야기를 했었지. 가속하는 엘리베이터 안에서는 중력이 강해진 것처럼 느끼고, 자유낙하하는 엘리베이터에서는 무중력이 돼.

🔵 카이: 가속과 중력을 구별할 수 없다는 이야기였죠.

🟡 리나: 맞아, 이것이 등가원리(equivalence principle)야. Einstein은 이것을 "인생에서 가장 행복한 착상"이라고 불렀어. 내용은 3단계로 나뉘어:

  1. 관성질량 = 중력질량(\(m_I = m_G\), 실험적으로 \(10^{-14}\) 정밀도로 확인)
  2. 약한 등가원리: 균일한 중력장 안에 정지해 있는 계와, 중력이 없는 공간에서 가속하는 계는 국소적으로 구별할 수 없다
  3. Einstein의 등가원리: 자유낙하하는 작은 실험실 안에서는 어떤 실험을 해도 중력장의 존재를 검출할 수 없다——거기서는 특수상대론이 그대로 성립한다

이 귀결로서, 중력은 "힘"이 아니라 "시공간의 기하학적 성질"로 기술되어야 한다——이것이 일반상대론의 출발점이야. 그림 6.2「등가원리의 도해」를 봐. (A) 중력장 안에 정지해 있는 엘리베이터와 (B) 우주 공간에서 가속하는 엘리베이터 안에서는 완전히 같은 실험 결과가 나와. 한편 (C) 자유낙하 중인 엘리베이터에서는 무중량——이들은 국소적으로 구별할 수 없어.

등가원리의 도해

그림 6.2: 등가원리의 도해. (A) 중력장 안에서 정지와 (B) 우주 공간에서 위쪽으로 가속은 국소적으로 구별 불가능. (C) 자유낙하 중에는 무중량으로, (A)/(B)와는 명확히 다르다.

⚪ 메이: 리나 선생님, 아까 "국소적으로"라는 조건이 신경 쓰이는데——넓은 영역을 보면 중력장이 장소에 따라 다르니까 가속과 구별할 수 있지 않아요?

🟡 리나: 맞아. 그 "중력장의 불균일성"을 조석력이라고 불러. 그리고 조석력이야말로 시공간의 곡률로 나타나는 거야. 등가원리로 제거할 수 있는 성분(계량의 1계 미분＝Christoffel 기호)과, 제거할 수 없는 성분(계량의 2계 미분＝Riemann 곡률)——이 구별이 일반상대론의 수학적 구조의 핵심이 돼.

📖 「일반상대론」편과의 접속: 등가원리·관성질량과 중력질량의 등가성·엘리베이터 사고실험의 상세·조석력·중력 적색편이(Pound-Rebka 실험)는 「일반상대론」편 제 5 장 에서 정성껏 다루었다.

✅ 이해도 체크: 국소적으로 가속과 중력을 구별할 수 없다는 원리를 무엇이라고 부를까요?

답

등가원리(equivalence principle). 이 귀결로서 중력은 "힘"이 아니라 시공간의 기하학적 성질로 기술된다.

6.2　일반상대론의 요점 정리(끈이론에서 사용하는 것)

🟡 리나: 「일반상대론」편 제 5 장 에서 정비한 도구를 끈이론에서 쓰는 형태로 정리해볼게.

이 장의 단위계

일반상대론에서는 Newton 극한·GPS 등 일상 응용과의 대응을 보는 장면이 많으므로, 이 장에서는 \(c\)를 명시하여 SI 단위 쪽의 표기로 돌아간다. 본서 전체적으로는 상황에 따라 \(c = 1\)(상대론), \(\hbar = c = 1\)(QFT·끈이론), SI 단위(일상 응용)를 사용한다. 필요하면 「일반상대론」편 제 4 장 의 단위계 대응표를 참조.

계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)(「일반상대론」편 제 6 장)

제 5 장의 Minkowski 계량 \(\eta_{\mu\nu}\)가 일반화된 계량 텐서:

\[ ds^2 = g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu dx^\nu \]

\(g_{\mu\nu}\)는 각 점에서 4×4 대칭 행렬(\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\)이므로, 4×4 = 16 성분 중 대각선의 위와 아래가 같은 값이 되어, 독립인 것은 대각 4개＋상삼각 6개＝10개)이며, 좌표의 함수. "장소에 따라 자가 달라진다"는 것이 "시공간이 휘어져 있다"는 것의 수학적 표현이야. 약한 중력장에서는 Newton의 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)(질량 \(M\)인 천체로부터 거리 \(r\)인 점에서 \(\Phi = -GM/r\), 제 1 장에서 도입)와

\[ g_{00}(\mathbf{x}) \approx -\left(1 + \frac{2\Phi(\mathbf{x})}{c^2}\right) \]

로 연결돼(중력 퍼텐셜이 계량의 일부).

🔵 카이: 어, Newton의 퍼텐셜이 그대로 계량의 성분에 들어가는 건가요?

🟡 리나: 맞아. \(g_{00}\)은 시간 방향의 "자"이고, 정지한 시계(\(dx^i = 0\))의 경우 선소는 \(ds^2 = g_{00}\,c^2 dt^2\)만 남아. 부호 규약 \((-,+,+,+)\)이라는 건 계량의 대각 성분의 부호가 (시간, 공간, 공간, 공간)＝(\(-\), \(+\), \(+\), \(+\))라는 의미야. 예를 들어 평탄한 시공간의 Minkowski 계량에서는 \(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\)이었지(제 5 장). 일반적인 경우에도 \(g_{00} < 0\)이 유지되니까, \(ds^2 = g_{00}\,c^2 dt^2 < 0\)——이것이 "시간적 간격"의 표시야.

고유시간 \(\tau\)는 "그 시계 자체가 새기는 시간"으로, 「일반상대론」편 제 4 장에서 \(d\tau^2 = -ds^2/c^2\)로 정의했어(\(c = 1\) 단위계에서는 \(d\tau^2 = -ds^2\)). 이 장에서는 \(c\)를 명시하는 단위계를 사용하며, 좌표를 \(x^0 = ct\), \(x^i = (x, y, z)\)로 잡아(시간 좌표에 \(c\)를 곱해서 길이의 차원에 맞추는 약속——「일반상대론」편 제 4 장 참조). \(x^0 = ct\)이니까 미소 변화는 \(dx^0 = c\,dt\)야. 그러면 선소는 \(ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu\)이고, 정지한 시계(\(dx^i = 0\))에서는 \(ds^2 = g_{00}\,(dx^0)^2 = g_{00}\,c^2 dt^2\)만 남아. 여기서 고유시 \(\tau\)는 "그 시계 자체가 새기는 시간"으로, \(d\tau^2 = -ds^2/c^2\)로 정의돼(왜 마이너스가 붙느냐 하면, 시간적 세계선에서는 \(ds^2 < 0\)이므로, \(-ds^2 > 0\)으로 해서 양의 양으로 만들기 위해서——「일반상대론」편 제 4 장 참조). \(ds^2 = g_{00}\,c^2 dt^2\)를 대입하면 \(d\tau^2 = -g_{00}\,dt^2\)를 얻어. \(g_{00} < 0\)이니까 \(-g_{00} > 0\)이고, \(d\tau > 0\)(시간은 앞으로 진행)을 취하면 \(d\tau = \sqrt{-g_{00}}\,dt\)가 돼.

⚪ 메이: 즉, 중력이 강한 곳일수록 \(-g_{00}\)이 작아져서 \(d\tau < dt\)——시계가 느려지는 거구나.

🟡 리나: 맞아. 약한 중력장에서는 \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\)이고 \(|\Phi/c^2| \ll 1\)이니까 \(-g_{00} \approx 1 + 2\Phi/c^2 < 1\)(\(\Phi < 0\)). \(0 < -g_{00} < 1\)일 때 \(\sqrt{-g_{00}} < 1\)이므로, \(d\tau = \sqrt{-g_{00}}\,dt < dt\)——중력이 강한 곳(\(|\Phi|\)가 큰 곳)일수록 시계가 느리게 간다. 다른 성분(공간 방향)도 엄밀히는 변하지만, 약한 중력장에서는 \(g_{00}\)의 변화가 지배적이야.

태양 근처에서 시계는 얼마나 느려지는가

태양 표면(\(r = R_\odot \approx 7.0 \times 10^8\) m)에서, 약한 중력장 근사 \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\)에 \(\Phi = -GM_\odot/r\)을 대입하면 \(g_{00} \approx -(1 - 2GM_\odot/(c^2 r))\). \(2GM_\odot/c^2 \approx 3.0\) km(나중에 등장하는 Schwarzschild 반지름 \(r_s\)에 해당)에서

\[ 1 - \frac{r_s}{r} = 1 - \frac{3.0 \times 10^3}{7.0 \times 10^8} \approx 1 - 4.3 \times 10^{-6} \]

태양 표면의 시계는 먼 곳의 시계에 비해 100만분의 4.3만큼 느리게 간다. GPS 위성에서는 지구 중력장에서의 동일한 효과가 하루당 45마이크로초에 달해. GPS는 광속으로 날아가는 전파의 도착 시각으로부터 거리를 측정하니까, 시각이 45 μs 어긋나면 거리는 \(c \times 45\,\mu\text{s} \approx 3 \times 10^8 \times 45 \times 10^{-6}\,\text{m} \approx 13.5\,\text{km}\)나 어긋나게 돼——보정하지 않으면 하루에 약 10 km 규모의 위치 오차가 생기는 거야. 일반상대론은 일상 기술에 내장되어 있어.

측지선 방정식(「일반상대론」편 제 8 장)

🟡 리나: 물체는 휘어진 시공간 속에서 측지선——시공간에서 "가장 곧은" 경로——을 따라가. 운동방정식은

\[ \boxed{\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0} \]

\(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)는 Christoffel 기호(계량 \(g_{\mu\nu}\)의 1계 미분을 조합해서 만드는 양). 직관적으로는 "이 장소에서 좌표축이 얼마나 휘어져 있는가"를 나타내는 계수로, 약한 중력장에서는 \(\Gamma^i_{00} \approx \frac{1}{c^2}\frac{\partial \Phi}{\partial x^i}\)가 되어 Newton의 중력가속도 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)에 대응해. 평탄한 시공간에서는 모두 0——즉, Newton의 제1법칙의 상대론 버전이야. 휘어진 시공간에서는 \(\Gamma \neq 0\)이 되어, "힘에 이끌리고 있는" 것이 아니라 "휘어진 시공간에서 자연스러운 경로를 따르고 있다"는 것이 일반상대론의 그림이야.

🔵 카이: 그렇군요, 중력을 느끼지 않는데 떨어지는 것이 "자연스럽고", 로켓으로 버티고 있는 쪽이 "부자연스러운" 거네요.

🟡 리나: 정확히 그래. 거꾸로 말하면, 로켓 추진으로 중력에 맞서 정지해 있는 물체 쪽이 "측지선에서 벗어나 있는"——즉 가속하고 있는 거야(그림 6.3「측지선의 개념」).

측지선의 개념

그림 6.3: 측지선의 개념. 왼쪽: 평탄한 공간에서 최단 경로는 직선. 가운데: 구면 위에서는 대원이 측지선. 오른쪽: 중력장 속 시공간도에서, 자유낙하하는 물체가 측지선을 따르고 로켓 추진으로 정지하는 물체는 측지선에서 벗어나 있다.

곡률과 Riemann 텐서(「일반상대론」편 제 13 장)

"좌표 변환으로 제거할 수 없는 진짜 휘어짐"을 측정하는 것이 Riemann 곡률 텐서 \(R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\)(계량의 2계 미분). 직관적으로는 "화살표(벡터)를 휘어진 면 위에서 방향을 바꾸지 않으면서 조금씩 옮겨가서(이것을 평행이동이라 하고), 한 바퀴 돌아 원래 자리로 돌아왔을 때 화살표의 방향이 어긋나 있다——그 어긋남의 크기"야. 예를 들어 지구본의 북극에 북쪽을 향하는 화살표를 놓고, 경선을 따라 적도까지 내려가고, 적도를 90° 동쪽으로 이동하고, 다시 경선을 따라 북극으로 올라가면, 화살표는 출발할 때로부터 90° 회전해 있어——평탄한 면에서는 이런 일이 일어나지 않으니까, 이것이 "휘어져 있다"는 증거야. 4차원에서는 대칭성의 제약으로 독립 성분이 20개가 돼(4개의 첨자를 가진 텐서는 원래 \(4^4 = 256\) 성분이지만, 예를 들어 "처음 2개의 첨자를 교환하면 부호가 반전된다", "전반 쌍과 후반 쌍을 교환해도 값이 같다" 등의 대칭성이 다수 있어서 대폭 줄어들어——상세는 「일반상대론」편 제 13 장 참조. 여기서는 "20개"라는 결과만 가져가면 OK).

🔵 카이: 256 성분이 20개까지 줄어드는 건가요……대칭성이란 정말 강력하네요.

🟡 리나: 그래. 그리고 축약——텐서의 첨자를 한 쌍 골라서 "더해서 합치는" 조작——에 의해, 정보를 압축한 Ricci 텐서 \(R_{\mu\nu}\)와 스칼라 곡률 \(R\)을 만들어. 축약이란, 같은 첨자를 위아래에 겹쳐서 0부터 3까지 더하는 것(Einstein의 축약 규칙——제 5 장에서 도입). 복습하면, \(A^\mu B_\mu = A^0 B_0 + A^1 B_1 + A^2 B_2 + A^3 B_3\)처럼 같은 문자가 위아래에 나타나면 자동으로 더하는 약속이야. 구체적으로는:

\[ R_{\mu\nu} = R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu}, \qquad R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \]

우변의 \(R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu}\)에서는 \(\lambda\)가 위(1번째)와 아래(3번째)에 나타나 있어——이것이 "\(\lambda\)에 대해 0부터 3까지 더한다"는 축약의 실례야. 마찬가지로 \(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\)에서는 \(\mu\)와 \(\nu\) 둘 다를 축약해서, 텐서로부터 스칼라(단순한 수)로 떨어뜨리고 있어. 여기서 \(g^{\mu\nu}\)는 계량 \(g_{\mu\nu}\)의 역행렬이야. 행렬 \(A\)에 역행렬 \(A^{-1}\)을 곱하면 단위행렬 \(I\)가 되는 것과 같이, \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\)가 성립해. \(\delta^\mu_\nu\)는 크로네커 델타——\(\mu = \nu\)일 때 1, \(\mu \neq \nu\)일 때 0이 되는 양으로, 단위행렬의 성분 그 자체야. \(g^{\mu\nu}\)를 사용하면 아래첨자 텐서 \(A_\mu\)로부터 위첨자 \(A^\mu = g^{\mu\nu}A_\nu\)를 만들 수 있어——이것을 "첨자를 올린다"고 불러.

⚪ 메이: 첨자의 올림내림은 역행렬 \(g^{\mu\nu}\)가 담당하고, 축약은 합을 취해서 텐서의 계수를 낮추는 거——두 조작이 결합되어서 20성분의 Riemann 텐서로부터 최종적으로 스칼라 1개까지 정보를 압축할 수 있는 거구나.

Einstein 방정식(「일반상대론」편 제 14 장)

시공간의 휘어지는 방식이 물질·에너지 분포로 결정돼:

\[ \boxed{R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}} \]

좌변 \(G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\)이 Einstein 텐서(시공간의 휘어진 정도), 우변 \(T_{\mu\nu}\)가 에너지-운동량 텐서(각 점에 얼마만큼의 에너지·운동량·압력이 존재하는지를 나타내는 양). Wheeler의 유명한 한마디:

시공간은 물질에게 어떻게 움직일지를 가르치고, 물질은 시공간에게 어떻게 휘어질지를 가르친다.

🟡 리나: 여기까지의 도구를 정리하면——\(g_{\mu\nu}\)가 "자", 측지선 방정식이 "자 위에서의 운동", Einstein 방정식이 "자 자체의 결정 방식". 세 층 구조로 되어 있어.

⚪ 메이: 그렇구나——자를 결정하는 방정식과, 그 자 위에서 물체가 어떻게 움직이는지의 방정식이 별도로 존재하는 거네.

🔵 카이: 좌변이 시공간의 휘어짐, 우변이 물질……그러면 물질이 없어도 시공간은 휘어질 수 있나요? \(T_{\mu\nu} = 0\)인데도 좌변이 0이 아닌 해가 있다거나? 그리고 끈이론에서는 이 방정식이 어떻게 나오나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 먼저 전반——\(T_{\mu\nu} = 0\)(진공)이라도 \(R_{\mu\nu} = 0\)을 만족하는 비자명한 해가 존재해. 실은 바로 다음에 나오는 Schwarzschild 해가 정확히 그것이야. 중력파도 진공 해의 일종이지. 물질이 없어도 시공간 자체가 "출렁일" 수 있어.

후반의 끈이론과의 관계인데, 제 15 장에서 끈의 질량 0 진동 모드를 조사하면 스핀 2 모드가 포함되어 있고, 그 저에너지 유효 작용으로부터 Einstein 방정식이 자동으로 재도출돼. 일반상대론이 끈이론의 근사로서 포함된다——이것은 끈이론이 양자중력의 후보로서 진지하게 검토되는 최대의 이유 중 하나야.

✅ 이해도 체크: 끈이론과 Einstein 방정식의 관계를 서술하세요. 왜 이것이 끈이론을 양자중력의 후보로 지지하는 근거가 되나요?

답

끈의 질량 0 진동 모드(스핀 2)의 저에너지 유효 작용으로부터 Einstein 방정식이 자동으로 재도출된다. 즉, 일반상대론은 끈이론의 근사로서 포함되며, 끈이론이 중력을 자연스럽게 기술할 수 있음을 보여준다.

📖 기학습 항목으로의 회귀: 계량 텐서의 의미는 「일반상대론」편 제 6 장, 측지선 방정식의 변분으로부터의 도출과 Christoffel 기호의 구체적 계산은 「일반상대론」편 제 8 장, Riemann 텐서의 기하학적 의미는 「일반상대론」편 제 13 장, Einstein-Hilbert 작용으로부터의 변분에 의한 Einstein 방정식의 도출과 Einstein·Hilbert의 우선권 문제는 「일반상대론」편 제 14 장를 참조.

✅ 이해도 체크: 일반상대론에서 "중력"은 무엇으로 기술되나요?

답

시공간의 휘어짐(계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)의 장소에 따른 변화). 입자는 힘을 받고 있는 것이 아니라, 휘어진 시공간의 측지선을 따라 운동하고 있다.

6.3　입자의 작용에서 끈의 작용으로 — 편리한 작용의 등장

🟡 리나: 여기서부터 이 장의 독자적 내용이야. 일반상대론의 측지선 방정식의 도출 과정에는, 끈이론(제 13 장)으로 그대로 확장되는 중요한 구조가 숨어 있어. 먼저 입자의 작용 형태를 확인한 다음, 끈으로의 확장을 보자.

입자의 작용: 세계선의 길이

🟡 리나: 질량 \(m\)인 입자가 휘어진 시공간을 운동할 때, 그 작용은 세계선을 따른 고유시간의 적분——즉 세계선의 길이——에 비례해:

\[ \boxed{S_{\text{입자}} = -mc\int ds = -mc\int d\lambda\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}} \]

여기서 \(\lambda\)는 세계선을 지정하는 임의의 매개변수——고등학교 수학에서 곡선을 \((x(t), y(t))\)와 매개변수 \(t\)로 표현하는 것과 같은 발상으로, 세계선 위의 "어느 점인가"를 지정하는 라벨(고유시에 한정되지 않는 일반적 매개변수). 시간적 세계선에서는 \(g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu < 0\)(부호 규약 \((-,+,+,+)\) 하에서)이므로, \(-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu > 0\)으로 해서 제곱근을 취할 수 있어. 여기서는 \(ds \equiv \sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\)로 정의하고 있어(\(ds^2 = -g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\)로 쓰는 유파도 있어). 특히 \(\lambda\)로서 고유시 \(\tau\)를 선택한 경우에는 \(ds = c\,d\tau\)가 돼. 이 작용 자체는 \(\lambda\)의 선택 방식에 의존하지 않고 같은 값을 줘(재매개변수화 불변). 이 작용을 변분하면 측지선 방정식이 나와(「일반상대론」편 제 8 장 참조).

🔵 카이: 제곱근이 있으면 계산이 번거로울 것 같은데요.

편리한 작용: 제곱근이 없는 등가 형태

🟡 리나: 그래서 제곱근을 피하고 싶어. 발상은 단순해서, "제곱근 안의 내용을 그대로 라그랑지안으로 써버리면 같은 경로를 주지 않을까?"라고 시도해 보는 거야. 결론을 먼저 말하면, 같은 측지선을 주면서 제곱근이 없는, 다루기 쉬운 작용이 존재해. 다만 "매개변수 \(\tau\)를 고유시로 선택한다"는 약속이 하나 추가돼——이 약속의 의미는 식 뒤에서 설명할게:

\[ \boxed{S_{\text{useful}} = \frac{m}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}(x)\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}} \]

(원래 제곱근 안의 내용은 \(-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)였지만, 시간적 세계선에서는 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu < 0\)이므로 \(-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu > 0\). 여기서는 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)를 그대로 피적분 함수에 사용하고, 전체 앞인자 \(m/2 > 0\)을 붙이고 있어. 부호의 차이는 정류 조건의 해에는 영향을 주지 않아.)

이 작용은 원래의 \(S_{\text{입자}}\)와 형태가 다르지만(제곱근이 없지만), 같은 측지선을 줄 수 있다는 것을 보일 수 있어. 먼저 앞인자의 \(m\)이나 \(c\)에 대해서——작용 전체에 상수를 곱해도 "작용이 정류하는 경로"는 변하지 않아. 변분으로 경로의 형태를 결정하는 것은 \(\delta S = 0\)이라는 조건이니까, 상수배는 관계없어. 예를 들어 \(S\)를 최소화하는 경로와 \(3S\)를 최소화하는 경로는 같잖아? 그래서 \(m\)도 생략되는 경우가 많지만, 여기서는 나중에 끈의 작용과의 대응을 보기 쉽게 하기 위해 남겨둘게.

⚪ 메이: 즉, \(m\)은 작용의 "스케일"만 결정할 뿐, 경로의 형태에는 영향을 주지 않는 거구나.

🟡 리나: 그래. 다음으로 제곱근이 없는 점에 대해서——이 작용을 변분하면 측지선 방정식을 얻을 수 있어. 게다가 이 작용의 피적분 함수(라그랑지안에 해당하는 양)는 \(\tau\) 자체에 명시적으로 의존하지 않아(\(\tau\)가 직접 식에 나타나지 않고, \(x^\mu(\tau)\)를 통해서만 들어가). 고등학교 물리에서도 "외력이 보존력만일 때 에너지가 보존된다"는 것을 배웠지. 그건 실은 "계의 법칙이 시간에 따라 변하지 않으면 보존되는 양이 있다"는, 더 일반적인 원리의 특수한 경우야. 여기서도 마찬가지——\(S_{\text{useful}}\)의 피적분 함수 \(\frac{m}{2}g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)를 보면, \(g_{\mu\nu}\)는 \(x\)의 함수이고 \(\dot{x}^\mu\)도 \(x\)와 \(\tau\)의 함수이지만, \(\tau\) 자체가 직접 나타나는 항(예를 들어 \(\tau^2\)라든가 \(\sin\tau\) 같은 항)은 없지. 이렇게——라그랑지안이 \(\tau\) 자체를 명시적으로 포함하지 않을 때(즉 "\(\tau\)의 어느 시점에서나 법칙이 같을" 때)——운동방정식을 따라 값이 변하지 않는 양(운동의 상수)이 자동으로 존재해.

🔵 카이: 제 1 장에서 다뤘던 에너지 보존의 일반화네요. "시간이 직접 나타나지 않으면 보존량이 있다"——그 이야기가 여기서도 쓰이는 거군요.

🟡 리나: 정확히 그래. 제 1 장에서 "시간 병진 대칭성 → 에너지 보존"을 배웠지. 그때 보존량은 \(H = p\dot{q} - L\)이라는 형태였어. 여기서도 같은 논리로, \(\tau\)가 시간의 역할을 하니까 보존량이 나와. \(S_{\text{useful}}\)의 라그랑지안은 \(L = \frac{m}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)이고, \(\dot{x}^\mu\)에 대해 2차 동차식——즉 모든 항이 \(\dot{x}\)를 정확히 2개씩 곱한 형태(\(g_{00}(\dot{x}^0)^2\)이나 \(g_{01}\dot{x}^0\dot{x}^1\)처럼, \(\dot{x}\)가 1개만인 항이나 \(\dot{x}\)를 포함하지 않는 항은 존재하지 않아). 제 1 장에서 배운 정준운동량의 정의를 떠올려봐——\(p = \partial L/\partial\dot{q}\)였지. 여기서는 좌표가 4개(\(x^0, x^1, x^2, x^3\))이니까, 각 성분마다 \(p_\mu = \partial L/\partial\dot{x}^\mu\)로 정의해. \(L = \frac{m}{2}g_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta\)를 \(\dot{x}^\mu\)로 미분할 때, 합 안에서 \(\dot{x}^\mu\)가 나타나는 항은 \(\alpha = \mu\)인 경우와 \(\beta = \mu\)인 경우 두 가지가 있어. \(g_{\alpha\beta}\)의 대칭성(\(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\))으로부터 이 두 기여는 같은 값이 되어, 합치면 인자 2가 나오고 앞의 \(\frac{1}{2}\)과 상쇄되어 \(p_\mu = m\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\nu\)(\(\nu\)에 대해 합을 취함)를 얻어(계산의 상세는 「일반상대론」편 제 8 장 참조). 그러면 \(p_\mu\dot{x}^\mu = m\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 2L\)이 돼. 제 1 장에서 배운 보존량의 공식은 \(H = p\dot{q} - L\)이었지. 좌표가 4개인 경우 이것이 \(H = p_\mu\dot{x}^\mu - L\)(\(\mu\)에 대해 0~3으로 합을 취함)으로 확장돼. 대입하면 \(H = 2L - L = L\)——즉, \(L = \frac{m}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)가 일정하게 된다는 거야(엄밀한 도출은 「일반상대론」편 제 8 장 참조). 이 경우의 운동의 상수는:

\[ g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} = \text{const.} \]

🔵 카이: 오, 깔끔하게 나오네요——\(H = 2L - L = L\)으로 라그랑지안 자체가 보존량이 되는 거구나.

🟡 리나: 이것이 자동으로 나와. 이 상수를 \(-c^2\)로 선택하는 것이 "\(\tau\)를 고유시로 하는" 것에 대응해. 이렇게 하면 원래의 제곱근 작용과 같은 측지선을 이끌어 낸다는 것을 보일 수 있어. 직관적으로는, 고유시 매개변수화 하에서는 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\)(상수)가 성립해. 그러면 원래 작용의 피적분 함수 \(\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} = c\)도 상수가 되니까, 변분할 때 "제곱근 안이 변화하는 효과"를 고려하지 않아도 되어, 결과적으로 편리한 작용 \(S_{\text{useful}}\)의 변분과 같은 오일러-라그랑주 방정식(＝측지선 방정식)이 얻어지는 거야. 「일반상대론」편 제 8 장에서는 이 사실을 "\(\tau\)를 고유시로 선택하면 제곱근 안이 상수 \(L=1\)이 된다"는 방식으로 다루었어.

⚪ 메이: 즉, 두 작용 모두 같은 경로(측지선)를 준다는 건데, 편리한 작용 쪽은 \(\tau\)의 스케일을 고유시에 맞추는 약속이 필요하게 되는 거구나.

🔵 카이: 그 약속이 늘어나는데도 "편리한" 건가요?

🟡 리나: 제곱근이 없어지는 것으로 변분 계산이 극적으로 쉬워져. 매개변수의 약속은 하나 늘어나지만, 그것을 빼고도 충분히 이득이야.

🔵 카이: 제곱근을 없애는 대신 매개변수 약속이 늘어나는 거라……득인지 실인지 미묘하네요. 근데 이 형태는 이 장에서만의 이야기인가요? 아니면 나중에 또 나오나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 이 편리한 작용의 형태는 끈이론으로 그대로 일반화된다는 게 포인트야.

끈으로의 확장(제13장 예고)

🟡 리나: 점입자에서 끈으로 넘어가면, "세계선"이 "세계면(worldsheet)"으로, "길이"가 "넓이"로 바뀌어. 자연스러운 작용은 Nambu-Goto 작용——세계면의 넓이——이 돼:

\[ S_{\text{NG}} = -T\int d^2\sigma\sqrt{-\det(\gamma_{ab})} \]

여기서 \(\int d^2\sigma\)는 세계면 위의 2차원 적분(\(\int d\tau\,d\sigma\)). \(\det\)는 행렬식(2×2 행렬 \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\)이면 \(ad - bc\)). \(T\)는 끈의 장력——끈의 단위 길이당 에너지(즉, 끈이 얼마나 "늘어나기 어려운지"를 나타내는 상수로, 일상의 실의 장력과 같은 차원을 갖는다). \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\)는 세계면의 2개 매개변수, \(X^\mu(\sigma^a)\)는 끈의 시공간에서의 위치. 주의: 여기서의 \(\tau\)와 \(\sigma\)는 세계면의 2개 매개변수이며, 앞 절에서 입자의 세계선에 사용한 고유시 \(\tau\)와는 별개——같은 기호지만 맥락이 바뀐 거야. 여기서 \(\partial_a X^\mu \equiv \partial X^\mu/\partial\sigma^a\)라는 기호가 나오는데, 이것은 편미분——\(X^\mu\)는 \(\tau\)와 \(\sigma\) 두 변수에 의존하는데, 한쪽(예를 들어 \(\sigma\))을 고정하고 다른 쪽(\(\tau\))으로만 미분하는 조작이야. 고등학교에서 배우는 \(dx/dt\)는 변수가 1개뿐인 경우의 미분이지만, 변수가 여러 개일 때 "다른 것은 움직이지 않고 1개만으로 미분하는" 것이 편미분이야. 기호 \(\partial\)(라운드 디)를 사용해서 통상의 \(d\)와 구별해.

🔵 카이: 입자에서는 매개변수가 1개(\(\tau\))였던 것이, 끈에서는 2개(\(\tau, \sigma\))로 늘어나니까 편미분이 필요하게 되는 거군요.

🟡 리나: 그래. 이 기호를 사용하면 \(\gamma_{ab}\)의 정의를 쓸 수 있는데, 여기서부터의 설명은 "왜 이 양이 나오는가"의 동기 부여——첨자 계산을 따라가지 못해도, 마지막 결론(\(\gamma_{ab}\)는 세계면 위의 자)만 가져가면 OK야.

왜 \(g_{\mu\nu}\)와는 별도로 \(\gamma_{ab}\)가 필요한가 하면, \(g_{\mu\nu}\)는 4차원 시공간 전체의 자인데, 끈의 세계면은 2차원의 "시트"이므로, 그 2차원 면 위의 거리만을 추출할 필요가 있어. 4차원 시공간의 첨자 \(\mu, \nu\)는 0~3의 값을 취했지만, 세계면은 2차원이니까 세계면의 첨자 \(a, b\)는 0과 1의 두 값만 취해(\(\sigma^0 = \tau\), \(\sigma^1 = \sigma\)). 즉, \(\gamma_{ab}\)는 2×2 행렬이야.

정의는 \(\gamma_{ab} \equiv \partial_a X^\mu\,\partial_b X^\nu\,g_{\mu\nu}\)로, 유도 계량이라고 불러. 의미는 단순해——세계면 위에서 미소하게 매개변수를 움직이면 끈의 시공간 위치는 \(dX^\mu = \partial_a X^\mu\,d\sigma^a\)(\(a\)에 대해 합을 취하는 약속이므로, 전개하면 \(= \frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}d\tau + \frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}d\sigma\))만큼 변하니까, 시공간의 계량으로 측정한 세계면 위의 거리는

\[ ds^2_{\text{세계면}} = g_{\mu\nu}\,dX^\mu\,dX^\nu = \gamma_{ab}\,d\sigma^a\,d\sigma^b \]

가 돼. 전개하면 \(ds^2_{\text{세계면}} = \gamma_{00}\,d\tau^2 + 2\gamma_{01}\,d\tau\,d\sigma + \gamma_{11}\,d\sigma^2\)이고, \(\gamma_{00}\)은 "\(\tau\) 방향으로 조금 움직였을 때의 시공간 거리의 제곱", \(\gamma_{11}\)은 "\(\sigma\) 방향으로 조금 움직였을 때의 시공간 거리의 제곱", \(\gamma_{01}\)은 "두 방향이 직교하지 않을 때의 혼합항"——마치 4차원의 \(g_{\mu\nu}\)가 각 방향의 거리를 결정했던 것과 같은 구조가 2차원으로 축소된 거야. 즉, \(\gamma_{ab}\)는 "세계면 위의 자"——4차원의 자 \(g_{\mu\nu}\)를 2차원 면에 제한한 것이야. \(\sqrt{-\det(\gamma_{ab})}\)이 세계면의 넓이 요소를 줘. 상세는 제 13 장에서 정성껏 다뤄. 입자의 제곱근 작용과 마찬가지로 이 형태도 다루기 어려워.

그래서 입자의 경우와 같은 발상으로, 제곱근이 없는 등가 작용——Polyakov 작용——을 사용해:

\[ S_{\text{P}} = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}\,\partial_a X^\mu\,\partial_b X^\nu\,g_{\mu\nu} \]

여기서 \(h_{ab}\)는 세계면 위에 도입하는 보조적인 2×2 계량으로, 물리적 자유도를 늘리지 않으면서 식을 다루기 쉽게 하기 위한 "도구"야. 새로운 변수를 넣었는데 자유도가 늘어나지 않는 것은 이상하게 들릴 수 있지만, \(h_{ab}\) 자신의 운동방정식(\(S_P\)를 \(h_{ab}\)로 변분해서 얻는 조건)이 \(h_{ab} = \gamma_{ab}\)를 요구하니까, \(h_{ab}\)는 독립적인 자유도가 아니라 다른 변수로 완전히 결정돼 버리는 거야. 입자의 경우에 "제곱근을 없애는 대신 매개변수 약속이 추가된" 것과 같은 발상으로, 끈에서는 \(h_{ab}\)를 도입하는 대신 그 운동방정식이라는 조건이 추가돼——하지만 제곱근이 사라지는 이점이 더 커. \(h^{ab}\)는 그 역행렬, \(h = \det(h_{ab})\)는 그 행렬식. 세계면에도 시간 방향이 있으므로 \(h_{ab}\)는 Minkowski적인 부호를 가지며, 행렬식 \(h\)는 음이 돼——그래서 \(-h > 0\)으로 해서 \(\sqrt{-h}\)를 취해(4차원의 \(g_{\mu\nu}\)에서 \(\sqrt{-g}\)라고 쓰는 것과 같은 이유야). \(\sqrt{-h}\)는 세계면 위의 "넓이 요소"를 올바르게 측정하기 위한 인자야. \(h_{ab}\)의 운동방정식을 풀면 \(h_{ab} = \gamma_{ab}\)라는 조건이 나오고, 그것을 대입하면 원래의 Nambu-Goto 작용으로 돌아가——즉 제곱근이 사라진 대신 조건이 하나 추가되지만, 물리적 내용은 같아. 그리고 제곱근이 없기 때문에 양자화가 가능해져.

🔵 카이: 입자의 \(S_{\text{useful}} = \frac{m}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)와 구조가 정말 비슷하네요. 그런데 입자에서는 질량 \(m\)이 앞에 나왔는데 끈에서는 장력 \(T\)로 바뀌었어요——질량과 장력은 물리적으로 전혀 다른 것 아닌가요?

🟡 리나: 좋은 착안이야. 입자의 질량 \(m\)은 "움직이기 어려움", 끈의 장력 \(T\)는 "늘어나기 어려움"——확실히 물리적 의미는 달라. 하지만 작용의 구조 안에서는 둘 다 "운동의 관성을 결정하는 상수"로서 같은 위치에 앉아 있어. 이것은 제 13 장에서 조금 더 깊이 볼 거야. 구조적으로는 완전히 같은 발상——점입자 → 끈의 확장은 "세계선의 길이"를 "세계면의 넓이"로, \(\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu\)를 \(\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu\)로 바꾼 것뿐. 일반상대론에서의 편리한 작용 기법이 그대로 끈이론에서 재활용된다——이것이 제 13 장에서 자세히 다루는 끈의 작용의 골격이야(그림 6.4「점입자에서 끈으로의 확장」).

입자의 작용에서 끈의 작용으로의 확장

그림 6.4: 점입자에서 끈으로의 확장. 왼쪽: 점입자의 세계선(매개변수 \(\tau\) 1개). 가운데: 닫힌 끈의 세계면(매개변수 \((\tau, \sigma)\) 2개). 오른쪽: 대응 관계 정리. 같은 발상(제곱근의 제거)이 반복적으로 사용된다.

🟡 리나: 작용 원리라는 공통 언어가 Newton 역학(제 1 장)에서 일반상대론, 그리고 끈이론까지 하나로 관통하고 있어——이것이 물리학의 아름다움이야. Newton 역학에서는 \(S = \int L\,dt\), 점입자의 상대론에서는 \(S = -mc\int ds\)(세계선의 길이), 끈에서는 \(S_{\text{NG}} = -T\int dA\)(세계면의 넓이)——대상의 차원이 올라갈 때마다 "길이→넓이"로 확장되지만, "작용을 정류시킨다"는 원리는 계속 같아. 즉 "무엇의 부피를 측정하는가"만 바뀔 뿐, 변분 원리라는 틀 자체는 불변이야.

⚪ 메이: 그렇구나——입자에서는 길이, 끈에서는 넓이, 하지만 "작용을 정류시킨다"는 골격은 전부 같은 거네.

표 6.1: 작용 원리의 통일적 구조: Newton 역학에서 끈이론까지

대상 차원 궤적 작용(기하학적) 작용(편리한 형태)
Newton 입자 0 궤도 \(x(t)\) \(\int L\,dt\) \(\int \frac{1}{2}m\dot{x}^2 dt\)
상대론적 입자 0 세계선 \(-mc\int ds\)(길이) \(\frac{m}{2}\int g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu d\tau\)
끈 1 세계면 \(-T\int dA\)(넓이, NG) Polyakov 작용(\(h_{ab}\) 도입)
막(p-brane) \(p\) 세계부피 \(-T_p\int d^{p+1}\text{Vol}\) (초끈이론에서 등장)

📖 「일반상대론」편과의 접속: 입자의 제곱근 작용으로부터 Christoffel 기호를 포함한 측지선 방정식을 도출하는 상세는 「일반상대론」편 제 8 장 을 참조. 고유시를 매개변수로 선택하는 트릭은 같은 장에서 다루었다.

✅ 이해도 체크: 입자의 "편리한 작용" \(S_{\text{useful}} = \frac{m}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\)가 끈이론에서 어떻게 확장되는가.

답

세계선 → 세계면, \(\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu \to \partial_a X^\mu\partial_b X^\nu\)의 치환으로 Polyakov 작용으로 확장된다. 제곱근이 없는 형태라 양자화가 가능해진다는 이점은 동일하다. 상세는 제 13 장에서 다룬다.

6.4　Schwarzschild 해와 수성의 근일점 이동(결과만)

🟡 리나: Einstein 방정식을 구대칭·진공(\(T_{\mu\nu} = 0\))으로 풀면, Schwarzschild 계량이 얻어져:

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2\right) \]

여기서 \((r, \theta, \phi)\)는 구좌표——\(r\)은 중심으로부터의 거리, \(\theta\)는 북극으로부터의 각도(\(0\)에서 \(\pi\)), \(\phi\)는 경도 방향의 각도(\(0\)에서 \(2\pi\)). \(r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2)\)는 구면 위의 거리 측정 방식을 나타내는 부분이야. \(r_s = 2GM/c^2\)가 Schwarzschild 반지름(제 4 장에서 등장한 양과 같은 것——이 장 이후로는 일반상대론의 표준적 표기에 맞추어 \(r_s\)를 사용). 이것이 끈이론에서도 중요한 역할을 해——제 10 장의 D-브레인의 블랙홀 해, 제 18 장의 블랙홀 열역학, 제 20 장의 블랙홀 정보 역설 등, 곳곳에서 재등장해.

🔵 카이: \(r = r_s\) 지점에서 \(g_{00}\)이 0이 되고 \(g_{rr}\)이 발산하는 것 같은데, 거기서 무슨 일이 일어나는 건가요?

🟡 리나: 좋은 착안이야. \(r = r_s\)는 사건의 지평선이라 불리는 장소로, 언뜻 보면 특이점처럼 보이지만, 실은 좌표의 선택 방식 때문에 발산하는 것뿐이야——다른 좌표계(예를 들어 Eddington-Finkelstein 좌표)로 전환하면 매끄럽게 통과할 수 있어. 진짜 특이점은 \(r = 0\)에 있어——그건 나중에 볼 거야.

✅ 이해도 체크: Schwarzschild 계량은 어떤 조건에서 Einstein 방정식을 풀어낸 결과인가요? Schwarzschild 반지름 \(r_s\)의 정의는?

답

구대칭이며 진공(\(T_{\mu\nu} = 0\))이라는 조건에서 풀어낸 결과. Schwarzschild 반지름은 \(r_s = 2GM/c^2\)로 정의되며, 질량 \(M\)인 천체에 대한 특징적 스케일을 부여한다.

수성의 근일점 이동

🟡 리나: Schwarzschild 계량에서의 측지선 방정식을 섭동 전개(Newton 역학으로부터의 어긋남을 작은 보정으로서 단계적으로 계산하는 방법)하면, 행성 궤도의 근일점——타원 궤도에서 태양에 가장 가까이 접근하는 점——이 1공전당 아주 약간 회전한다는 것을 보일 수 있어. 여기서 \(a\)는 타원의 반장축(긴 쪽의 반지름), \(e\)는 이심률(타원의 찌그러진 정도를 나타내는 양으로, 0이면 원, 1에 가까울수록 가늘고 길다). 타원의 반직현 \(p = a(1-e^2)\)를 사용하면, 회전각은:

\[ \boxed{\delta\phi = \frac{6\pi GM}{c^2 a(1-e^2)} = \frac{6\pi GM}{c^2 p}} \]

(그림 6.5「수성의 근일점 이동」). 수성의 궤도 요소(\(a = 5.79 \times 10^{10}\) m, \(e = 0.2056\), 주기 \(\approx 88\)일)를 대입해 보자. \(p = a(1-e^2) \approx 5.55 \times 10^{10}\) m, \(GM_\odot/c^2 \approx 1.48 \times 10^3\) m(Schwarzschild 반지름의 절반)이므로, 1공전당 \(\delta\phi = 6\pi \times 1.48 \times 10^3 / (5.55 \times 10^{10}) \approx 5.0 \times 10^{-7}\) rad.

⚪ 메이: 1공전당으로는 작은 각도이지만, 이걸 축적해 가는 거구나.

🟡 리나: 그래. 100년은 약 415공전이니까 \(415 \times 5.0 \times 10^{-7} \approx 2.1 \times 10^{-4}\) rad \(\approx 43\) 초각——관측값과 조정 가능한 매개변수 없이 완전히 일치해. Einstein 자신도 이 계산 결과에 "심장이 두근거렸다"고 서술했어.

수성의 근일점 이동

그림 6.5: 수성의 근일점 이동. 왼쪽: Newton 역학에서는 궤도가 닫힌 타원. 오른쪽: 일반상대론에서는 타원의 장축(근일점 방향)이 공전마다 아주 약간 회전한다(세차운동). 그림에서는 세차각을 과장해서 그리고 있다.

🔵 카이: 조정 가능한 매개변수 없이 43초각이 나온다니 대단하네요……. 하지만 반대로 말하면, 만약 관측값이 43초각이 아니었다면 일반상대론은 바로 아웃이라는 건가요?

🟡 리나: 정확히 그래. 추가 매개변수가 없다는 것은, 관측값이 벗어나면 즉시 반증된다는 뜻이야——프롤로그의 "반증 가능성"의 진수지. 이것이 일반상대론의 최초의 실험적 승리이자, 현재의 모델이 "최선의 가설"로 취급되는 근거 중 하나야.

📖 「일반상대론」편과의 접속: Schwarzschild 계량의 도출은 「일반상대론」편 제 9 장. 수성의 근일점 이동, 빛의 편향, Shapiro 지연의 섭동 계산과 수치 평가는 「일반상대론」편 제 10 장 에서 상세히 다루었다.

✅ 이해도 체크: 수성의 근일점 이동의 일반상대론 예측값 \(\delta\phi = 6\pi GM/[c^2 a(1-e^2)]\)에서 "조정 가능한 매개변수 없이"란 무슨 의미인가요?

답

\(G\), \(c\), \(M_\odot\), 수성의 궤도 요소는 모두 독립적으로 측정된 값으로, 이론에는 자유 상수가 하나도 없다. 만약 관측값이 예측값에서 벗어나면 일반상대론은 즉시 반증된다. 이것이 반증 가능성의 핵심이다.

6.5　남은 질문 — 특이점과 양자중력으로의 입구

🟡 리나: 일반상대론의 예측은 하나하나 확인되어 왔어——수성의 근일점 이동, 빛의 편향(1919년 일식 관측), GPS의 시각 보정, 그리고 중력파. 중력파라는 것은 시공간 자체의 잔물결이 광속으로 전파되는 현상——Einstein 방정식의 진공 해로서 예측되는 것으로, 거대 질량의 가속 운동(연성의 공전 등)에서 발생해(그림 6.6「연성 블랙홀 합체의 중력파 파형(GW150914의 개념도). 위: 변형률 \(h(t)\)의 시계열」). 주요 실험적 검증을 정리하면 다음과 같아.

표 6.2: 일반상대론의 주요 실험적 검증

검증 연대 예측값 정밀도
수성의 근일점 이동 1915 43 초각/세기 매개변수 없이 일치
빛의 편향 1919 1.75 초각(태양 변) VLBI로 \(10^{-4}\) 정밀도
중력 적색편이 1960 (Pound-Rebka) \(\Delta f/f = gh/c^2\) \(10^{-4}\) → \(10^{-14}\)(현대)
GPS 시각 보정 1990s~ 45 \(\mu\)s/일 일상 기술에 내장
중력파 직접 검출 2015 (LIGO) 파형 템플릿 일치 SNR > 24

2015년에 LIGO가 처음 검출한 GW150914는, 연성 블랙홀의 합체에서 발생한 파형이야(그림 6.6「연성 블랙홀 합체의 중력파 파형(GW150914의 개념도). 위: 변형률 \(h(t)\)의 시계열」).

연성 블랙홀 합체의 중력파 처프(개념도)

그림 6.6: 연성 블랙홀 합체의 중력파 파형(GW150914의 개념도). 위: 변형률 \(h(t)\)의 시계열——합체 직전에 진폭과 주파수가 급증하는 "처프" 파형. 아래: 순시 주파수 \(f(t)\)——inspiral 단계에서 \(f \propto (t_{\text{merge}} - t)^{-3/8}\)를 따르며, 합체에서 \(\sim 250\) Hz까지 상승한 후 급속히 감쇠(ringdown). 일반상대론이 예측하는 파형과 LIGO의 관측 파형은 수치상대론에 의한 수백만 템플릿 비교로 정밀하게 일치했다.

🔵 카이: 처프가 뭐예요? 이름은 들어본 적 있는데……

🟡 리나: 합체가 가까워짐에 따라 진폭과 주파수가 점점 올라가는 파형을 말해. 새의 지저귐(chirp)을 닮았다고 해서 그렇게 불려. 그림 6.6「연성 블랙홀 합체의 중력파 파형(GW150914의 개념도). 위: 변형률 \(h(t)\)의 시계열」의 하단을 보면 합체 전 주파수가 급격히 상승하는 모습을 알 수 있어——일반상대론의 예측에서는 \(f \propto (t_{\text{merge}} - t)^{-3/8}\)이라는 거듭제곱 법칙을 따라. 이 파형 템플릿과 LIGO의 관측 데이터가 정밀하게 일치했어——이것은 Einstein 방정식의 가장 극적인 검증이야. 하지만 심각한 문제가 하나 남아 있어.

🔵 카이: 파형이 일치한다는 게 어느 정도의 정밀도로 일치하는 건가요? 조금이라도 어긋나면 일반상대론이 틀렸다는 게 되는 거죠?

🟡 리나: 수치상대론으로 계산한 수백만 개의 템플릿과 비교해서 신호 대 잡음비 24 이상으로 일치해——즉 "우연의 일치"일 확률이 무시할 수 있을 정도로 작아. 만약 어긋나 있었다면 확실히 일반상대론의 수정이 필요했을 거야. 하지만 지금까지 심각한 문제는 다른 곳에 있어.

🔵 카이: 어떤 문제인가요?

🟡 리나: 특이점이야.

🔵 카이: 특이점……? 뭔가가 무한대가 된다는 건가요?

🟡 리나: 그래. Schwarzschild 계량에서 \(r = 0\)에서는, 좌표 변환으로 제거할 수 없는 곡률 불변량(Kretschner 스칼라라고 불리는——Riemann 텐서의 전 성분을 제곱해서 더한 것으로, 좌표의 선택 방식에 무관한 "휘어진 정도의 강도"를 측정하는 양)

\[ R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4\,r^6} \]

이 발산해. 진짜 특이점이야. Penrose와 Hawking의 특이점 정리(1960년대)는, 매우 일반적인 조건하에서 특이점 형성이 불가피함을 증명했어.

🔵 카이: 일반상대론이 스스로의 파탄을 예언해 버리는 거네요……. 그런데 그게 수학적으로 발산하는 것일 뿐이고 물리적으로는 뭔가 다른 일이 일어나고 있을 가능성은 없나요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 실은 \(r = r_s\)(사건의 지평선)에서의 발산은 좌표 선택의 탓으로, 좌표 변환으로 제거할 수 있어——즉 겉보기 특이점이지. 하지만 \(r = 0\) 쪽은 곡률 불변량(좌표에 무관한 양)이 발산하니까, 좌표 변환으로는 제거할 수 없는 진짜 특이점이야. 그리고 그 근처에서는 곡률이 Planck 스케일 \(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3} \approx 10^{-35}\) m에 도달하여, 양자 효과를 무시할 수 없게 돼. 즉, 일반상대론과 양자역학을 통합한 양자중력이론이 필요해져——이것이 본 「양자중력 문제에의 도전」편 Part III(제10-12장)에서 다루는 양자중력 문제야.

🔵 카이: 그러면 끈이론은 이 문제를 어떻게 해결하나요?

🟡 리나: 핵심만 예고하면, 점입자는 크기가 0이므로 "한 점에 무한한 에너지가 집중하는" 상황을 피할 수 없어. 하지만 끈은 유한한 길이 \(\ell_s \sim 10^{-34}\) m을 가지므로, Planck 스케일 이하의 "점"을 탐색하려 해도 끈의 펼침이 자연스러운 차단이 돼. 자세한 건 Part IV(제 13 장~)에서 볼 거야.

🔵 카이: 차단이라는 건……즉 "이것보다 더 작은 스케일은 보이지 않는다" 같은 건가요? 특이점이 사라지는 건지, 아니면 보이지 않게 되는 것뿐인지 궁금해요.

🟡 리나: 좋은 질문이야. "차단(cutoff)"이라는 것은 물리학에서 "그 이하의 스케일에서는 이론의 기술이 전환되는 경계"를 의미하는 용어야. 카이의 직감은 맞아서, 끈이론에서는 \(\ell_s\) 이하의 스케일에서 시공간의 기술 자체가 바뀌기 때문에 "점으로 찌그러진다"는 상황 자체가 일어나지 않게 돼——특이점이 "보이지 않게 되는" 것이 아니라 해소되는 거야. 다만 구체적인 메커니즘은 제 13 장 이후에서 단계적으로 볼 거야.

🔵 카이: 그렇구나……"보이지 않는" 게 아니라 "일어나지 않는" 거구나. 근데 잠깐만요——끈의 길이 \(\ell_s\)가 Planck 길이 \(\ell_P\)와 비슷한 크기잖아요? 그러면 끈 자체도 특이점에 휘말리거나 하지 않나요?

🟡 리나: 날카로워. \(\ell_s\)와 \(\ell_P\)는 확실히 비슷한 자릿수이지만, 포인트는 "끈이 특이점에 떨어진다"는 기술 자체가 성립하지 않는다는 거야. 점입자라면 \(r = 0\)이라는 "장소"에 도달해 버리지만, 끈은 유한한 펼침을 가지니까, \(\ell_s\) 이하의 스케일에서는 "\(r = 0\)이라는 장소"를 정의하는 시공간의 기술 자체가 다시 쓰여져. 비유하자면, 지도의 해상도가 거칠어서 "점"을 그릴 수 없는 게 아니라, 지도 자체가 다른 종류의 지도로 전환돼——"휘말리는 목적지" 자체가 애초에 존재하지 않게 되는 거야. 구체적인 메커니즘은 제 13 장 이후에서 볼 거야.

⚪ 메이: 정리하면——점입자 이론에서는 "크기 0인 점에 무한한 에너지가 집중하므로" 특이점을 피할 수 없다. 끈이론에서는 끈의 길이 \(\ell_s\)가 자연스러운 최소 스케일이 되어, 그 이하에서는 "점"이라는 개념 자체가 사라진다. 그래서 특이점이 "해소된다"——보이지 않게 되는 것이 아니라, 일어나는 무대 자체가 없어지는 거구나.

🟡 리나: 맞아, 완벽한 정리야. 여기까지의 장 전체 흐름도 정리해 두면——

⚪ 메이: 등가원리에서 출발해서 "중력＝시공간의 기하학"에 도달하고, Einstein 방정식으로 시공간의 동역학을 기술할 수 있게 되었다. 하지만 그 방정식 자신이 특이점이라는 "자기 자신의 파탄"을 예언해 버린다. 그래서 양자중력이 필요하고, 그 후보가 끈이론——이라는 흐름이구나.

🟡 리나: 완벽한 요약이야. 구체적으로는:

  • 제 10 장: Schwarzschild 블랙홀과 사건의 지평선
  • 제 11 장: 빅뱅 우주론과 초기 특이점
  • 제 12 장: 중력을 양자화하는 소박한 시도의 파탄
  • 제 13 장: 끈을 도입하여 자외선 발산을 회피하는 접근
  • 제 20 장: D-브레인에 의한 블랙홀 엔트로피의 미시적 도출과 블랙홀 정보 역설

과학철학적 주의: 일반상대론은 "법칙"이 아니라 모델——실험으로 반증되지 않은 최선의 가설에 불과하다. 특이점의 출현은 이 모델의 적용 한계를 명확히 보여준다. 더 나은 모델(양자중력)이 필요하다는 물리학으로부터의 신호. 물리학의 모델은 항상 잠정적이며, 더 정확한 모델로 대체될 가능성이 있다. 스스로 판단하는 자세를 잊지 말자.

📖 「일반상대론」편과의 접속: 블랙홀의 상세는 「일반상대론」편 제 16 장, 우주론과 빅뱅은 「일반상대론」편 제 21 장, 양자중력으로의 전망은 「일반상대론」편 제 25 장를 참조.

✅ 이해도 체크: Schwarzschild 계량의 \(r = 0\)에서 무슨 일이 일어나나요? 이것은 일반상대론의 무엇을 의미하나요?

답

곡률 불변량 \(R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}\)이 발산하는 "진짜 특이점"이 나타난다. 이것은 일반상대론 자신의 적용 한계를 보여주는 신호이며, 양자중력이론이 필요함을 의미한다.

다음 장 예고

제 7 장「원자는 왜 안정한가? — 양자역학의 탄생」 ——고전 전자기학에 따르면, 전자는 전자기파를 방출하면서 에너지를 잃어 순식간에 원자핵에 떨어져야 한다. 그러나 현실의 원자는 안정적으로 존재한다. 이 치명적인 모순을 해결하기 위해 물리학은 완전히 새로운 틀——양자역학——을 필요로 했다. 그 탄생의 이야기를 따라간다. 「양자역학」편으로의 가교이기도 하다.

연습문제

이 장의 내용에 대응하는 연습문제는 「일반상대론」편 의 각 장말 문제를 참조. 끈이론의 작용과의 대응에 대해서는 제 13 장의 연습문제에서 다룬다.

참고문헌

← 제5장 광속이 일정한 것은 왜?제7장 원자는 왜 안정한가? →