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제 7 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 상호작용항의 질량 차원

\(d\) 차원 시공간(\(d = 4\)인 경우)에서, 자연단위계 \(\hbar = c = 1\)에서 \([\mathcal{L}] = d = 4\), \([\phi] = 1\)이에요. 다음의 상호작용항 각각에 대해 결합상수의 질량 차원을 구하세요.

(a) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\phi^3\)

(b) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\,\phi^4\)

(c) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\kappa}{5!}\,\phi^5\)

(d) \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\eta}{6!}\,\phi^6\)

힌트

\([\mathcal{L}_{\text{int}}] = 4\)로부터, \([\text{결합상수}] + n[\phi] = 4\)를 사용해요. \([\phi] = 1\)이므로 \([\text{결합상수}] = 4 - n\)이에요. 질량 차원이 음수인 결합상수를 가지는 이론은 재규격화 불가능(non-renormalizable)하다고 불려요.

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B-2. 상호작용 묘사에서 연산자의 시간 미분

상호작용 묘사의 장 연산자가 \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\,\hat{\phi}_S(\mathbf{x})\,e^{-i\hat{H}_0 t}\) 로 정의될 때, 식 (7.3)을 직접 계산하여

\[ i\frac{\partial}{\partial t}\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = [\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}),\, \hat{H}_0] \]

이 성립함을 보이세요. 도중의 미분 계산을 생략하지 않고 모두 적어주세요.

힌트

\(\frac{d}{dt}(e^{i\hat{H}_0 t}) = i\hat{H}_0\,e^{i\hat{H}_0 t}\) 와 \(\frac{d}{dt}(e^{-i\hat{H}_0 t}) = -i\hat{H}_0\,e^{-i\hat{H}_0 t}\) 를 사용하고, 곱의 미분법을 적용해요. 마지막으로 \(\hat{O}_I = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{O}_S e^{-i\hat{H}_0 t}\) 의 정의를 사용하여 정리해요.

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B-3. 시간순서곱의 구체적 계산

스칼라장 \(\hat{\phi}_I(x)\)에 대해, 시간순서곱의 정의 (7.14)를 사용하여 다음을 계산하세요（\(x^0 > y^0\)으로 가정）.

(a) \(T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]\)를 통상적인 곱으로 써 내세요.

(b) \(x^0 < y^0\)인 경우는 어떻게 되나요?

(c) 2점 시간순서곱의 진공 기댓값 \(\langle 0|T[\hat{\phi}_I(x)\,\hat{\phi}_I(y)]|0\rangle\)이 파인만 전파함수 (Feynman propagator)

\[ D_F(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\,\frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \]

와 같음을 확인하기 위해, \(\hat{\phi}_I\)의 모드 전개 (7.4)를 대입하고, \(\langle 0|\hat{a}_{\mathbf{p}}\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger|0\rangle = (2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p} - \mathbf{q})\)를 사용하여 \(x^0 > y^0\)인 경우의 표현식을 써 내세요.

힌트

(a)(b)는 정의에 따라 순서를 바꾸기만 하면 돼요. (c)에서는 \(\hat{\phi}_I = \hat{\phi}^{(+)} + \hat{\phi}^{(-)}\)（소멸 부분과 생성 부분）로 나누고, 진공 \(|0\rangle\)에 대해 \(\hat{a}|0\rangle = 0\)을 사용해요. \(x^0 > y^0\)일 때 영이 아닌 기여는 \(\langle 0|\hat{\phi}^{(+)}(x)\hat{\phi}^{(-)}(y)|0\rangle\)뿐이에요.

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B-4. \(\hat{\phi}^4\) 의 연산자 구조

\(\hat{\phi}_I \sim \hat{a} + \hat{a}^\dagger\) 와 같이 모식적으로 쓸 때, \(\hat{\phi}_I^4\) 를 전개하면 생성·소멸 연산자의 조합이 나타나요. 아래 각 항이 "입자 수를 얼마나 변화시키는지" 답하세요.

(a) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\)

(b) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\)

(c) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\)

(d) \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\)

(e) \(\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\)

힌트

\(\hat{a}^\dagger\) 는 입자 수를 \(+1\), \(\hat{a}\) 는 입자 수를 \(-1\) 만큼 변화시켜요. 각 항에 포함된 \(\hat{a}^\dagger\) 의 개수와 \(\hat{a}\) 의 개수의 차이가 입자 수의 변화량이에요.

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B-5. Dyson 급수의 1차 항

\(\phi^4\) 이론에서 \(\hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x})\) 로 놓아요. Dyson 급수 (7.16)의 1차 항을 명시적으로 써 내려가세요. 즉

\[ \hat{S}^{(1)} = (-i)\int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\,\hat{H}_I(t_1) \]

를 4차원 적분의 형태 \(\int d^4x\) 로 다시 쓰고, Lorentz 불변인 표현식으로 만드세요.

힌트

\(\int dt_1\,\hat{H}_I(t_1) = \frac{\lambda}{4!}\int dt_1\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(x) = \frac{\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4(x)\) 로 정리해요. 부호에 주의하세요: \(\hat{H}_I = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}}\) 이고 \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\) 이므로 \(\hat{H}_I = +\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\phi^4\) 이에요.

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B-6. 시간순서곱의 대칭성

3개의 시각 \(t_1, t_2, t_3\)에 대한 시간순서곱 \(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)]\)을 생각해 봐요.

(a) \(t_1 > t_2 > t_3\)일 때, \(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_3)]\)을 통상적인 곱으로 쓰세요.

(b) \(t_3 > t_1 > t_2\)일 때, 마찬가지로 쓰세요.

(c) 3개의 시각 변수의 순열은 몇 가지인가요? 이것이 Dyson 급수 3차의 \(1/3!\)의 유래임을 확인하세요.

힌트

시간순서곱은 "가장 늦은 시각의 연산자를 가장 왼쪽에 놓는" 규칙이에요. 보손의 경우 교환에 부호가 붙지 않아요. 3개 변수의 순열은 \(3! = 6\)가지예요.

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B-7. \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\) 의 분해

S 연산자를 \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\) 로 쓸 때, 다음을 보이세요.

(a) S 행렬의 유니타리성 \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\) 로부터, \(\hat{T}\) 가 만족해야 할 조건(광학 정리의 출발점)을 유도하세요.

(b) 초기 상태와 최종 상태가 같은 \(|i\rangle = |f\rangle\) 인 경우, \(\langle i|\hat{S}|i\rangle\) 의 최저차(\(\lambda^0\)) 값을 답하세요.

힌트

(a) \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = (\mathbb{1} - i\hat{T}^\dagger)(\mathbb{1} + i\hat{T}) = \mathbb{1}\) 을 전개해요. (b) \(\hat{S} = \mathbb{1} + O(\lambda)\) 이므로 최저차는 \(\mathbb{1}\) 의 기여예요.

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B-8. 상호작용 Hamiltonian의 묘사 변환

Schrödinger 묘사의 상호작용 Hamiltonian이 \(\hat{H}' = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})\)로 주어질 때, 상호작용 묘사에서의 \(\hat{H}_I(t)\) (식 (7.7))가

\[ \hat{H}_I(t) = \frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4(t, \mathbf{x}) \]

가 됨을, \(\hat{\phi}_I(t, \mathbf{x}) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\)의 정의를 사용하여 보이세요.

힌트

\(e^{i\hat{H}_0 t}\hat{\phi}_S^4(\mathbf{x})e^{-i\hat{H}_0 t}\)에 단위 연산자 \(e^{-i\hat{H}_0 t}e^{i\hat{H}_0 t} = \mathbb{1}\)를 \(\hat{\phi}_S\)와 \(\hat{\phi}_S\) 사이에 3번 삽입해요.

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Medium（표준）

M-1. 상호작용 묘사에서 상태의 운동방정식 유도

식 (7.5)의 정의 \(|\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 t}|\psi(t)\rangle_S\) 에서 출발하여, 아래의 절차에 따라 식 (7.6)을 자세히 유도하세요.

(a) \(|\psi_I(t)\rangle\) 를 \(t\) 로 미분하고, Schrödinger 방정식 \(i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle_S = (\hat{H}_0 + \hat{H}')|\psi(t)\rangle_S\) 를 대입하세요.

(b) \(\hat{H}_0\) 항이 상쇄됨을 확인하고, 남는 항으로부터 \(\hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t}\) 가 자연스럽게 나타남을 보이세요.

(c) 만약 \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\) 이 성립하는 경우, \(\hat{H}_I(t)\) 는 어떻게 되는지 구하세요. 이 경우에 섭동론이 불필요해지는 이유를 물리적으로 설명하세요.

힌트

(c) \([\hat{H}_0, \hat{H}'] = 0\) 이면 \(\hat{H}_I(t) = \hat{H}'\) (시간에 의존하지 않음). 나아가 \(\hat{H}_0\) 와 \(\hat{H}'\) 를 동시에 대각화할 수 있으므로 엄밀해를 얻을 수 있어요. 다만 장의 양자론에서는 보통 \([\hat{H}_0, \hat{H}'] \neq 0\) 이에요.

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M-2. Dyson 급수 2차 항과 시간순서곱

Dyson 급수의 2차 항

\[ \hat{U}_I^{(2)} = (-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\,\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2) \]

에 대해 다음을 보이세요.

(a) 적분 변수 \(t_1 \leftrightarrow t_2\)를 교환하여, \(t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\) 영역에서 \(\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\)이 나타남을 확인하세요.

(b) 위의 두 기여를 더하면

\[ \hat{U}_I^{(2)} = \frac{(-i)^2}{2!}\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t}dt_2\,T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] \]

이 됨을 보이세요.

(c) 이 결과를 \(n\)차로 일반화하여 Dyson 급수 (7.16)의 형태를 얻으세요. 일반화의 논리를 서술하세요(엄밀한 증명이 아니어도 괜찮아요).

힌트

(a) 원래의 적분 영역은 \((t_1, t_2)\) 평면의 삼각형 \(t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\)에 대응해요. \(t_1 \leftrightarrow t_2\)로 다른 삼각형 \(t_0 \le t_1 \le t_2 \le t\)로 옮겨져요. (b) 두 삼각형을 합치면 정사각형 \([t_0, t]^2\) 전체가 돼요. 시간순서곱이 어느 삼각형에서든 올바른 순서를 보장해요.

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M-3. \(\phi^4\) 이론의 2→2 산란진폭 (최저차)

\(\phi^4\) 이론에서, 초기 상태 \(|i\rangle = |\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p}_2}^\dagger|0\rangle\), 끝 상태 \(|f\rangle = |\mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}_3}^\dagger\hat{a}_{\mathbf{p}_4}^\dagger|0\rangle\) 로 두고, S 행렬의 최저차(\(\lambda\)의 1차) 기여

\[ \langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = \langle \mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4|\left(\frac{-i\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4(x)\right)|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle \]

를 다음 절차에 따라 계산하세요.

(a) \(\hat{\phi}_I(x)\)의 모드 전개 (7.4)를 대입하고, \(\hat{\phi}_I^4(x)\) 중에서 "2개 소멸·2개 생성" 항을 추출하세요.

(b) 생성·소멸 연산자의 교환 관계를 이용하여, 결과가

\[ \langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = -i\lambda\,(2\pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_1}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_2}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_3}}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_4}}} \]

(외선 인자를 포함한 형태)에 비례함을 보이세요. \(4!\) 인자가 어떻게 상쇄되는지 명시하세요.

(c) 이 결과로부터 불변 산란진폭 \(\mathcal{M}\)이 최저차에서 \(\mathcal{M} = -\lambda\)임을 읽어내세요.

힌트

(a) \(\hat{\phi}_I^4\)를 전개하면, 4개의 장 중 2개가 소멸 연산자로 초기 상태의 입자를 소멸시키고, 나머지 2개가 생성 연산자로 끝 상태의 입자를 생성해요. (b) 4개의 장 중 어느 것이 \(\mathbf{p}_1\)을 소멸시키고, 어느 것이 \(\mathbf{p}_2\)를 소멸시키고……하는 조합이 \(4!/(2!\cdot 2!) \times 2! \times 2! = 4!\) 가지 있어서, \(1/4!\)과 상쇄돼요. (c) LSZ 축약 공식의 관례에서는 외선 인자 \(1/\sqrt{2\omega}\)를 제외한 부분이 \(i\mathcal{M}\)이에요.

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M-4. 정규 순서와 Wick의 정리 (2개 장의 경우)

자유 스칼라장 \(\hat{\phi}_I(x)\)를 양의 진동수 부분 \(\hat{\phi}^{(+)}(x)\) (소멸 연산자를 포함)와 음의 진동수 부분 \(\hat{\phi}^{(-)}(x)\) (생성 연산자를 포함)로 나누어, \(\hat{\phi}_I = \hat{\phi}^{(+)} + \hat{\phi}^{(-)}\)로 놓아요.

(a) 정규 순서 (normal ordering) \(:\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y):\)의 정의를 서술하고, 구체적으로 \(\hat{\phi}^{(\pm)}\)를 사용하여 써 내려가세요.

(b) 축약 (contraction)을

\[ \underbrace{\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)} \equiv T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] - :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): \]

으로 정의할 때, 이것이 c-수(연산자가 아닌 수)임을 보이고, Feynman 전파함수 \(D_F(x-y)\)와 같음을 확인하세요.

(c) 이상으로부터, 2개 장에 대한 Wick의 정리

\[ T[\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y)] = :\hat{\phi}_I(x)\hat{\phi}_I(y): + D_F(x-y) \]

를 유도하세요.

힌트

(a) 정규 순서는 생성 연산자를 왼쪽에, 소멸 연산자를 오른쪽에 배열하는 조작이에요. (b) \(T[\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)]\)를 \(x^0 > y^0\)인 경우와 \(y^0 > x^0\)인 경우로 나누어, \(\hat{\phi}^{(+)}\hat{\phi}^{(-)}\)의 교환자 \([\hat{\phi}^{(+)}(x), \hat{\phi}^{(-)}(y)]\)가 c-수임을 이용하세요.

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M-5. S 행렬의 유니타리성과 확률 보존

S 연산자가 유니타리 \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \hat{S}\hat{S}^\dagger = \mathbb{1}\) 임을 다음 절차에 따라 확인하세요.

(a) \(\hat{U}_I(t, t_0)\)의 정의 (7.9)로부터, \(\hat{U}_I^\dagger(t, t_0) = \hat{U}_I(t_0, t)\)（역방향의 시간 발전）가 성립함을 보이세요.

(b) \(\hat{U}_I(t, t_0)\hat{U}_I(t_0, t) = \mathbb{1}\)을 보이고, \(t \to +\infty\), \(t_0 \to -\infty\)의 극한에서 \(\hat{S}^\dagger\hat{S} = \mathbb{1}\)을 얻으세요.

(c) 유니타리성이 물리적으로 의미하는 것은 무엇인지 설명하세요. 완전계 \(\sum_f |f\rangle\langle f| = \mathbb{1}\)을 삽입하여 확률의 합이 1이 됨을 보이세요.

힌트

(a) \(\hat{U}_I(t,t_0)\)의 미분방정식 (7.9)의 수반(에르미트 켤레)을 취하면 \(-i\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I^\dagger = \hat{U}_I^\dagger\hat{H}_I(t)\)가 돼요. 이것은 \(\hat{U}_I(t_0, t)\)가 만족하는 방정식과 일치해요（\(\hat{H}_I = \hat{H}_I^\dagger\)를 사용）.

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Advanced（발전）

A-1. Yukawa 이론으로의 확장과 Wick의 정리 적용

스칼라장 \(\phi\)와 Dirac 장 \(\psi\)의 Yukawa(유카와) 상호작용

\[ \mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\bar{\psi}\psi\phi \]

을 생각해요(\(g\)는 Yukawa 결합 상수).

(a) 결합 상수 \(g\)의 질량 차원을 구하세요(4차원 시공간, \([\psi] = 3/2\), \([\phi] = 1\)).

(b) 이 이론의 S 행렬의 1차 항 \(\hat{S}^{(1)}\)을 써 내려 보세요.

(c) 페르미온-페르미온 산란 \(\psi + \psi \to \psi + \psi\)의 최저차 기여는 \(\hat{S}\)의 몇 차에서 나타나나요? 그 이유를 \(\hat{S}^{(1)}\)의 연산자 구조로부터 설명하세요.

(d) 2차 기여 \(\hat{S}^{(2)}\)에 Wick의 정리를 적용하면 스칼라장의 수축 \(D_F(x-y)\)가 나타나요. 이것이 "\(\phi\)의 교환"에 의한 힘——즉 Yukawa 퍼텐셜의 장의 양자론적 기원——임을 물리적으로 설명하세요.

힌트

(a) \([g] + [\bar{\psi}] + [\psi] + [\phi] = 4\)로부터 구해요. (c) \(\hat{S}^{(1)} \propto \int d^4x\,\bar{\psi}\psi\phi\)는 \(\psi\)를 1개 소멸·1개 생성하고, \(\phi\)를 1개 생성 또는 소멸해요. 2 페르미온 → 2 페르미온 과정에서는 \(\phi\)가 내부선으로 전파해야 하므로 \(\hat{S}^{(2)}\)가 필요해요. (d) 양자역학 제 13 장의 섭동론에서 Born 근사의 퍼텐셜과 전파 함수의 관계를 떠올리면 좋아요.

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A-2. 단열 가설과 Gell-Mann–Low 정리

본 장에서는 \(t \to \pm\infty\)에서 상호작용이 "사라진다"는 것을 암묵적으로 가정했어요. 이를 엄밀하게 만들기 위해 단열 스위칭 (adiabatic switching)

\[ \hat{H}_I(t) \to \hat{H}_I(t)\,e^{-\epsilon|t|} \]

(\(\epsilon > 0\)은 미소 매개변수, 최종적으로 \(\epsilon \to 0^+\))을 도입해요.

(a) 이 처방 아래에서 \(t \to \pm\infty\)일 때 \(\hat{H}_I(t) \to 0\)이 되는 것을 확인하세요.

(b) Gell-Mann–Low 정리는 "상호작용하는 이론의 진공 상태 \(|\Omega\rangle\)가 자유 이론의 진공 \(|0\rangle\)으로부터 단열적으로 생성된다"는 것을 주장해요. 형식적으로

\[ |\Omega\rangle = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{\hat{U}_I(0, -\infty)|0\rangle}{\langle 0|\hat{U}_I(0, -\infty)|0\rangle} \]

라고 쓸 수 있음을 단열 가설 아래에서 논의하세요. 분모의 역할(위상 제거와 규격화)을 설명하세요.

(c) 이 정리가 산란 진폭 계산에서 "진공 버블(vacuum bubble)의 기여를 무시해도 좋다"는 것의 근거가 되는 이유를 설명하세요. Dyson 급수의 각 차수에 나타나는 진공 버블 다이어그램의 기여가 분모 \(\langle 0|\hat{S}|0\rangle\)에 의해 상쇄되는 것을 개념적으로 보이세요.

힌트

(b) \(t = -\infty\)에서 상태는 \(|0\rangle\)(자유 진공)이에요. \(\hat{U}_I(0, -\infty)\)로 시각 0까지 시간 발전시키면, \(\epsilon \to 0\) 극한에서 상호작용하는 진공 \(|\Omega\rangle\)에 도달해요. 분모는 \(|0\rangle\)과 \(|\Omega\rangle\)의 겹침(overlap)의 위상과 크기를 보정해요. (c) 연결·비연결 정리(linked-cluster theorem)를 사용하세요. S 행렬 요소의 분자에 나타나는 진공 버블은 지수함수적으로 인수분해할 수 있으며, 분모와 상쇄돼요.

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