콘텐츠로 이동

부록 D 연습문제

← 본문으로 돌아가기　|　풀이 보기

목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Lagrangian으로부터 정준운동량 계산

다음 Lagrangian에 대해 정준운동량 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)를 구하세요.

(a)

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}k q^2 \]

(b)

\[ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) \]

에 대해, \(p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\)와 \(p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\)를 각각 구하세요.

(c)

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + e\dot{q}A(q) - e\phi(q) \]

여기서 \(A(q)\)는 벡터 퍼텐셜 (vector potential), \(\phi(q)\)는 스칼라 퍼텐셜 (scalar potential), \(e\)는 전하예요.

힌트

정준운동량의 정의식 (D.12) \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\)를 그대로 적용해요. \(\dot{q}\)에 대해 편미분할 때, \(q\)는 상수로 취급하세요. (c)에서는 \(A(q)\)가 \(\dot{q}\)에 의존하지 않는다는 점에 주의하세요.

→ 풀이 보기

B-2. Legendre 변환에 의한 Hamiltonian의 구성

드릴 D1의 각 Lagrangian에 대해, Hamiltonian \(H(q, p) = p\dot{q} - L\)을 \(q\)와 \(p\)의 함수로 구하세요. 단, \(\dot{q}\)는 \(p\)의 정의식을 역으로 풀어서 소거하세요.

(a) D1(a)의 경우

(b) D1(b)의 경우（\(H(r, \theta, p_r, p_\theta)\)를 구하세요）

(c) D1(c)의 경우

힌트

D1에서 구한 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)를 \(\dot{q}\)에 대해 풀고, \(H = p\dot{q} - L\)에 대입해요. (b)에서는 \(H = p_r\dot{r} + p_\theta\dot{\theta} - L\)임에 주의하세요.

→ 풀이 보기

B-3. Hamilton의 정준방정식의 적용

1차원 조화진동자의 해밀토니안

\[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 \]

에 대해 Hamilton의 정준방정식 (D.21)을 써 내려가고, \(\dot{q}\)와 \(\dot{p}\)를 구하세요. 나아가 \(\dot{q}\)의 식을 시간 미분하여 \(\dot{p}\)의 식과 결합함으로써 \(q\)에 관한 2계 미분방정식을 유도하고, 그것이 조화진동자의 운동방정식 \(m\ddot{q} = -m\omega^2 q\)와 일치함을 확인하세요.

힌트

\(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\), \(\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}\)를 각각 계산해요. \(\dot{q} = p/m\)을 시간 미분하면 \(\ddot{q} = \dot{p}/m\)이 되므로, \(\dot{p}\)를 대입해요.

→ 풀이 보기

B-4. Euler-Lagrange 방정식의 직접 적용

다음 라그랑지안에 대해 오일러-라그랑주 방정식 (D.9)를 써서 운동방정식을 구하세요.

(a) 자유 입자: \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2\)

(b) 중력장 속의 입자: \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - mgq\) (\(g\)는 중력가속도)

(c) 일반적인 1차원 퍼텐셜: \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\)

힌트

\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)와 \(\frac{\partial L}{\partial q}\)를 각각 계산하고, \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)에 대입하세요. (b)에서는 \(\frac{\partial}{\partial q}(mgq) = mg\)임에 주의하세요.

→ 풀이 보기

B-5. 에너지 보존의 직접 확인

1차원 조화진동자의 해밀토니안(D3과 동일)에 대해, \(\frac{dH}{dt}\)를 연쇄 법칙(체인 룰)으로 전개하고, 해밀턴의 정준 방정식을 대입하여 \(\frac{dH}{dt} = 0\)을 보이세요. 본문의 식 (D.25)의 계산을 직접 손으로 재현하세요.

힌트

\(\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}\)로 쓰고, D3에서 구한 \(\dot{q}\), \(\dot{p}\) 및 \(\frac{\partial H}{\partial q}\), \(\frac{\partial H}{\partial p}\)를 대입하세요.

→ 풀이 보기

B-6. 작용의 구체적 계산

자유 입자(\(V = 0\))가 시각 \(t_1 = 0\)에 위치 \(q_A = 0\), 시각 \(t_2 = T\)에 위치 \(q_B = d\)에 도달하는 경우를 생각해요. 경로로서 등속 직선 운동 \(q(t) = \frac{d}{T}t\)를 가정하고, 작용

\[ S[q] = \int_0^T \frac{1}{2}m\dot{q}^2\, dt \]

을 계산하세요.

힌트

등속 직선 운동에서는 \(\dot{q} = d/T\)가 상수라는 점을 이용해요. 상수의 적분은 간단하게 수행할 수 있어요.

→ 풀이 보기

B-7. 변분의 계산 연습

자유 입자의 작용(D6과 같은 설정)에 대해, 등속 직선 운동의 경로 \(q_0(t) = \frac{d}{T}t\)로부터의 미소한 어긋남 \(\delta q(t) = \epsilon \sin\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\)(\(\epsilon\)은 미소 매개변수)을 더한 경로 \(q(t) = q_0(t) + \delta q(t)\)를 생각해요.

(a) \(\delta q(t)\)가 끝점 조건 \(\delta q(0) = \delta q(T) = 0\)을 만족하는 것을 확인하세요.

(b) \(S[q_0 + \delta q]\)를 \(\epsilon\)의 2차까지 계산하고, \(S[q_0 + \delta q] - S[q_0]\)가 \(\epsilon\)의 1차 항을 갖지 않는 것을 확인하세요.

힌트

\(\dot{q} = \dot{q}_0 + \epsilon\frac{\pi}{T}\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\)를 \(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\)에 대입하여 전개해요. \(\int_0^T \cos^2\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)dt = T/2\)를 사용하면 좋아요. \(\epsilon\)의 1차 항이 사라지는 것이 "정류(停留)"의 의미예요.

→ 풀이 보기

B-8. Poisson (푸아송) 괄호의 계산

본문 D.6절(본문 발췌 범위 밖이지만 정의를 아래에 제시함)에서 도입되는 Poisson 괄호는 다음과 같이 정의돼요:

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \sum_j \left(\frac{\partial A}{\partial q_j}\frac{\partial B}{\partial p_j} - \frac{\partial A}{\partial p_j}\frac{\partial B}{\partial q_j}\right) \]

1자유도의 경우에 대해 다음을 계산하세요.

(a) \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(b) \(\{q, q\}_{\mathrm{PB}}\) 및 \(\{p, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(c) \(\{q^2, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(d) \(\{q, p^2\}_{\mathrm{PB}}\)

힌트

정의식에 \(A\), \(B\)를 대입하여 편미분을 계산해요. 예를 들어 (a)에서는 \(A = q\), \(B = p\)로 놓고 \(\frac{\partial q}{\partial q} = 1\), \(\frac{\partial q}{\partial p} = 0\) 등을 사용해요.

→ 풀이 보기

Medium（표준）

M-1. 2차원 극좌표에서의 Euler-Lagrange 방정식의 도출

질량 \(m\)인 입자가 2차원 평면 내에서 중심력 퍼텐셜 \(V(r)\) 하에서 운동하는 경우를 생각해요. 극좌표 \((r, \theta)\)에서의 Lagrangian은

\[ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) \]

이에요.

(a) \(r\)에 관한 Euler-Lagrange 방정식을 도출하고, 그 물리적 의미(지름 방향의 운동방정식)를 설명하세요.

(b) \(\theta\)에 관한 Euler-Lagrange 방정식을 도출하고, \(\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0\)이 각운동량의 보존을 의미한다는 것을 설명하세요.

(c) 이 결과를 Newton의 운동방정식의 극좌표 표현과 비교하고, Lagrangian 형식의 장점을 서술하세요.

힌트

(a) \(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}\), \(\frac{\partial L}{\partial r} = mr\dot{\theta}^2 - V'(r)\)를 계산해요. (b) \(L\)이 \(\theta\)에 명시적으로 의존하지 않는다는 점에 주목하세요——\(\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\)일 때 Euler-Lagrange 방정식은 무엇을 의미할까요? (c) Newton 형식에서는 극좌표의 가속도 성분(원심력 항이나 코리올리 힘 항)을 개별적으로 도입해야 한다는 점과 비교하세요.

→ 풀이 보기

M-2. Legendre 변환의 역변환

Legendre 변환이 "정보를 보존한다"는 것을 아래 절차에 따라 확인하세요.

(a) 1 자유도의 Hamiltonian \(H(q, p)\)에서 출발하여, \(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\)를 \(p\)에 대해 역으로 풀어 \(p = p(q, \dot{q})\)를 얻는 절차를 설명하세요.

(b) 역 Legendre 변환 \(L(q, \dot{q}) = p\dot{q} - H(q, p)\)（\(p\)를 \(q, \dot{q}\)로 나타낸 것）를 정의하고, 1차원 조화진동자의 Hamiltonian \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\)에서 출발하여 \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\)를 복원하세요.

(c) 일반적으로 Legendre 변환을 2회 적용하면 원래 함수로 돌아온다는 것을 보이세요（대합성의 증명）.

힌트

(a) \(\dot{q} = \partial H/\partial p\)는 \(p\)의 음함수 방정식이에요. (b) \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\)로부터 \(\dot{q} = p/m\), 따라서 \(p = m\dot{q}\)를 대입해요. (c) \(L \xrightarrow{\text{Legendre}} H \xrightarrow{\text{Legendre}} L'\)로 놓고 \(L' = L\)임을 보여요. \(\frac{\partial H}{\partial p}\)의 정의로 돌아가서 계산하세요.

→ 풀이 보기

M-3. 위상공간에서의 조화진동자의 궤도

1차원 조화진동자의 Hamilton의 정준방정식

\[ \dot{q} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -m\omega^2 q \]

을 생각해요.

(a) 이 연립미분방정식을 풀고, 일반해 \(q(t)\), \(p(t)\)를 초기조건 \(q(0) = q_0\), \(p(0) = p_0\)로 나타내세요.

(b) 해에서 \(t\)를 소거하고, 위상공간 (phase space) \((q, p)\) 위의 궤도가 타원

\[ \frac{q^2}{q_0^2 + p_0^2/(m\omega)^2} + \frac{p^2}{(m\omega)^2 q_0^2 + p_0^2} = 1 \]

의 형태가 됨을 보이세요 (단, 적절히 에너지 \(E\)를 사용하여 정리해도 좋아요).

(c) 에너지 \(E = H(q_0, p_0)\)를 사용하여 타원의 방정식을

\[ \frac{m\omega^2 q^2}{2E} + \frac{p^2}{2mE} = 1 \]

로 다시 쓰고, 타원의 장축·단축의 길이를 각각 \(E\), \(m\), \(\omega\)로 나타내세요.

힌트

(a) \(\ddot{q} = \dot{p}/m = -\omega^2 q\)로부터 \(q(t) = q_0\cos\omega t + \frac{p_0}{m\omega}\sin\omega t\). \(p(t) = m\dot{q}(t)\)로 구할 수 있어요. (b) \(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t = 1\)을 이용해요. (c) \(E = \frac{p_0^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q_0^2\)을 대입해요.

→ 풀이 보기

M-4. Poisson 괄호와 Hamilton의 운동방정식

임의의 역학 변수 \(A(q, p, t)\)의 시간 발전이 Poisson 괄호를 사용하여

\[ \frac{dA}{dt} = \{A, H\}_{\mathrm{PB}} + \frac{\partial A}{\partial t} \]

와 같이 쓸 수 있음을 보이세요. 나아가 \(A = q_j\) 및 \(A = p_j\)를 대입하여 Hamilton의 정준방정식 (D.21)이 재현됨을 확인하세요.

힌트

\(\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial A}{\partial p_j}\dot{p}_j + \frac{\partial A}{\partial t}\)에 Hamilton의 정준방정식을 대입해요. Poisson 괄호의 정의와 비교하세요.

→ 풀이 보기

M-5. 정준 양자화：교환 관계의 확인

정준 양자화의 레시피에서는 고전적인 Poisson 괄호를 다음과 같이 교환 관계로 치환해요:

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}] \]

(a) \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\) (D8(a)의 결과)로부터 정준 교환 관계 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\)를 유도하세요.

(b) 1차원 조화 진동자의 해밀토니안 \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{q}^2\)에 대해, 하이젠베르크(Heisenberg)의 운동 방정식

\[ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}] \]

을 \(\hat{A} = \hat{q}\) 및 \(\hat{A} = \hat{p}\)에 적용하여, 해밀턴의 정준 방정식의 연산자 버전

\[ \frac{d\hat{q}}{dt} = \frac{\hat{p}}{m}, \qquad \frac{d\hat{p}}{dt} = -m\omega^2\hat{q} \]

이 얻어짐을 보이세요.

힌트

(a) 치환 규칙을 \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\)에 직접 적용해요. (b) \([\hat{q}, \hat{p}^2] = [\hat{q}, \hat{p}]\hat{p} + \hat{p}[\hat{q}, \hat{p}] = 2i\hbar\hat{p}\)라는 교환 관계의 공식을 사용해요. 마찬가지로 \([\hat{p}, \hat{q}^2]\)도 계산해요.

→ 풀이 보기

Advanced（발전）

A-1. 전자기장 속 하전입자의 정준 양자화

전자기장 속 하전입자(전하 \(e\), 질량 \(m\))의 Lagrangian은

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) - e\phi(\mathbf{r}, t) \]

로 주어져요. 여기서 \(\mathbf{A}\)는 벡터 퍼텐셜, \(\phi\)는 스칼라 퍼텐셜이에요.

(a) 정준운동량 \(\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\)을 구하고, 그것이 통상적인 역학적 운동량 \(m\dot{\mathbf{r}}\)과 다르다는 것을 보이세요.

(b) Hamiltonian \(H(\mathbf{r}, \mathbf{p})\)를 유도하고,

\[ H = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} + e\phi \]

가 됨을 보이세요.

(c) 정준 양자화 처방 \(\mathbf{r} \to \hat{\mathbf{r}}\), \(\mathbf{p} \to \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\)를 적용하여, 전자기장 속의 Schrödinger (슈뢰딩거) 방정식

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla - e\mathbf{A})^2\Psi + e\phi\,\Psi \]

을 써 내세요.

(d) 게이지 변환 \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi\), \(\phi \to \phi - \frac{\partial\chi}{\partial t}\) 하에서, 파동함수가 \(\Psi \to \Psi' = e^{ie\chi/\hbar}\Psi\)로 변환됨을 보이고, 물리적 관측량(확률밀도 \(|\Psi|^2\) 등)이 게이지 불변임을 확인하세요.

힌트

(a) \(\frac{\partial}{\partial \dot{r}_i}\left(e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\right) = eA_i\)에 주의하세요. (b) \(H = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{r}} - L\)에서 \(\dot{\mathbf{r}} = (\mathbf{p} - e\mathbf{A})/m\)를 대입해요. (c) \(\hat{\mathbf{p}}\)를 위치 표현 \(-i\hbar\nabla\)로 치환해요. (d) \(\Psi' = e^{ie\chi/\hbar}\Psi\)를 Schrödinger 방정식에 대입하고, \(\nabla\Psi'\)를 계산할 때 \(\nabla(e^{ie\chi/\hbar}) = \frac{ie}{\hbar}(\nabla\chi)e^{ie\chi/\hbar}\)를 사용해요.

→ 풀이 보기

A-2. Noether (뇌터) 정리：대칭성에서 보존법칙으로

Lagrangian \(L(q_j, \dot{q}_j)\)이 무한소 변환 \(q_j \to q_j + \epsilon\, \eta_j(q, \dot{q}, t)\)（\(\epsilon\)은 미소 매개변수）하에서 불변일 때（\(\delta L = 0\)）, 다음을 보이세요.

(a) 작용의 변분 \(\delta S = 0\) 조건으로부터, 보존량（Noether (뇌터) 전하）

\[ Q = \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\,\eta_j \]

이 \(\frac{dQ}{dt} = 0\)을 만족함을 유도하세요.

(b) \(L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(r)\)（\(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)）에 대해, \(z\)축 둘레의 회전 불변성（\(x \to x - \epsilon y\), \(y \to y + \epsilon x\), \(z \to z\)）으로부터 각운동량의 \(z\) 성분 \(L_z = m(x\dot{y} - y\dot{x})\)이 보존됨을 보이세요.

(c) Lagrangian이 시간 병진 \(t \to t + \epsilon\)에 대해 불변인 경우（\(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)）, 대응하는 보존량이 에너지（Hamiltonian）\(H = \sum_j p_j\dot{q}_j - L\)임을 보이세요.

힌트

(a) \(\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_j}\epsilon\eta_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\epsilon\dot{\eta}_j = 0\)에 Euler-Lagrange 방정식을 대입하여 \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\eta_j\right)\)의 형태로 정리해요. (b) \(\eta_x = -y\), \(\eta_y = x\), \(\eta_z = 0\)을 (a)의 결과에 대입해요. (c) 시간 병진의 경우는 끝점의 변분도 고려할 필요가 있어요. \(\delta q_j = \dot{q}_j\epsilon\)으로 계산하거나, \(\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j\)를 Euler-Lagrange 방정식으로 다시 쓰는 방법도 있어요.

→ 풀이 보기