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제 5 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 규격화 조건의 확인

상태 \(|\psi\rangle = \frac{1+i}{2}|+\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|-\rangle\) 가 규격화 조건 \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\) 을 만족하는지 확인하세요.

힌트

복소수 \(z = a + bi\) 에 대해 \(|z|^2 = a^2 + b^2\) 이에요. \(c_+ = \frac{1+i}{2}\) 의 절댓값의 제곱을 계산하려면 \(|c_+|^2 = c_+^* c_+ = \frac{1-i}{2} \cdot \frac{1+i}{2}\) 로 하면 돼요.

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B-2. 내적의 계산

\(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}|-\rangle\) 에 대해, 내적 \(\langle+|\psi\rangle\) 와 \(\langle-|\psi\rangle\) 를 구하고, 각각의 절댓값의 제곱을 계산하세요.

힌트

정규직교성 \(\langle+|+\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = 0\) 을 사용하면, \(\langle+|\psi\rangle = c_+\) 가 그대로 얻어져요. \(|e^{i\theta}|^2 = 1\) 임을 떠올리세요.

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B-3. 외적(사영 연산자)의 작용

사영 연산자 \(\hat{P}_+ = |+\rangle\langle+|\) 를 상태 \(|\psi\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle + \frac{4}{5}|-\rangle\) 에 작용시키세요. 결과를 \(|+\rangle\), \(|-\rangle\) 의 선형결합으로 쓰고, 그 상태가 규격화되어 있는지 확인하세요.

힌트

\(\hat{P}_+|\psi\rangle = |+\rangle\langle+|\psi\rangle = |+\rangle \cdot c_+\) 가 돼요. 사영 후의 상태는 일반적으로 규격화되어 있지 않다는 점에 주의하세요.

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B-4. \(x\) 기저로의 전개

상태 \(|+\rangle\)（\(z\) 방향 스핀 위 방향）을 \(x\) 방향의 기저 \(|+\rangle_x\), \(|-\rangle_x\)로 전개하세요. 즉,

\[|+\rangle = a\,|+\rangle_x + b\,|-\rangle_x\]

의 계수 \(a\), \(b\)를 식 (5.11)과 (5.12)를 이용하여 구하세요.

힌트

식 (5.11)과 (5.12)를 연립방정식으로 간주하고, \(|+\rangle\)과 \(|-\rangle\)에 대해 풀어요. 또는 양변에 \({}_x\langle+|\)를 왼쪽에서 작용시켜 \(a = {}_x\langle+|+\rangle\)를 구해요. \(|+\rangle_x\)와 \(|-\rangle_x\)가 정규직교임을 이용해요.

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B-5. \(y\) 기저의 직교성

식 (5.13)과 (5.14)를 사용하여, 내적 \({}_y\langle+|-\rangle_y\)를 계산하고, \(|+\rangle_y\)와 \(|-\rangle_y\)가 직교하는 것을 확인하세요.

힌트

\(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\)에 대응하는 브라는 \({}_y\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \left(\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^*\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{i}{\sqrt{2}}\langle-|\)이에요. 브라를 만들 때는 계수를 복소켤레로 취해야 해요.

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B-6. 확률진폭으로부터 확률 구하기

\(y\) 방향으로 스핀 위쪽(상태 \(|+\rangle_y\))인 입자를 \(z\) 방향의 Stern-Gerlach 장치에 통과시켜요. \(S_z = +\hbar/2\) 를 얻을 확률과 \(S_z = -\hbar/2\) 를 얻을 확률을 각각 구하세요.

힌트

식 (5.13)에서 \(|+\rangle_y\) 의 \(z\) 기저에서의 전개 계수를 읽어내고, 각 계수의 절댓값의 제곱을 계산해요. \(|i/\sqrt{2}|^2\) 이 얼마가 되는지 생각해 보세요.

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B-7. Kronecker 델타의 활용

\(i, j \in \{+, -\}\) 에 대해 정의되는 Kronecker 델타 \(\delta_{ij}\) 를 이용하여, 다음 합을 계산하세요:

\[\sum_{j \in \{+,-\}} \delta_{+j}\,\delta_{j-}\]
힌트

\(j = +\) 와 \(j = -\) 의 각 경우에 대해 \(\delta_{+j}\,\delta_{j-}\) 의 값을 구하고, 더해요. \(\delta_{++} = 1\), \(\delta_{+-} = 0\) 등을 사용해요.

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B-8. 기저 변환 행렬의 성분

식 (5.13), (5.14)를 이용하여, \(z\) 기저에서 \(y\) 기저로의 기저 변환 행렬

\[U = \begin{pmatrix} \langle+|+\rangle_y & \langle+|-\rangle_y \\ \langle-|+\rangle_y & \langle-|-\rangle_y \end{pmatrix}\]

의 각 성분을 써 보세요.

힌트

\(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\) 로부터 \(\langle+|+\rangle_y\) 와 \(\langle-|+\rangle_y\) 를 직접 읽어낼 수 있어요. \(|-\rangle_y\) 에 대해서도 마찬가지예요.

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Medium（표준）

M-1. 완전성 관계로부터 규격화 조건을 유도하기

완전성 관계 \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1}\) 와 내적의 정의를 이용하여, 임의의 규격화된 상태 \(|\psi\rangle\)（\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)）에 대해

\[|\langle+|\psi\rangle|^2 + |\langle-|\psi\rangle|^2 = 1\]

이 성립함을 증명하세요.

힌트

\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\) 의 좌변에 완전성 관계 \(\mathbf{1} = |+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-|\) 를 \(|\psi\rangle\) 와 \(\langle\psi|\) 사이에 삽입하세요. 즉, \(\langle\psi|\mathbf{1}|\psi\rangle\) 을 전개하세요.

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M-2. \(x\) 기저의 완전성 관계

식 (5.11)과 (5.12)를 이용하여, \(x\) 방향의 기저에 대한 완전성 관계

\[|+\rangle_x\,{}_x\langle+| + |-\rangle_x\,{}_x\langle-| = \mathbf{1}\]

가 성립함을, \(z\) 기저에서의 행렬 표현을 계산하여 확인하세요.

힌트

\(|+\rangle_x\)를 열벡터 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)로 나타내고, \({}_x\langle+|\)를 행벡터 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\)로 나타내요. 외적 \(|+\rangle_x\,{}_x\langle+|\)는 \(2\times 2\) 행렬이 돼요. \(|-\rangle_x\,{}_x\langle-|\)도 마찬가지로 계산하고, 두 행렬을 더하여 단위행렬 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)이 됨을 보이세요.

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M-3. 기저 변환 행렬의 유니타리성

식 (5.15)의 기저 변환 행렬

\[U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

이 유니타리 행렬 (unitary matrix)임을, 즉 \(U^\dagger U = \mathbf{1}\)을 만족함을 보이세요. 여기서 \(U^\dagger\)는 \(U\)의 전치 복소 켤레(에르미트 켤레)예요.

힌트

\(U\)의 성분이 모두 실수이므로, \(U^\dagger = U^T\)(전치 행렬)가 돼요. \(U^T U\)를 계산하여 \(2\times 2\) 단위 행렬이 되는 것을 확인하면 돼요.

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M-4. 연속 측정의 확률

다음의 연속 Stern-Gerlach 실험을 생각해 보세요:

  1. \(z\) 방향의 장치에서 스핀 위 방향(\(S_z = +\hbar/2\))의 빔만 선별한다.
  2. 선별된 빔을 \(x\) 방향의 장치에 통과시킨다.
  3. \(x\) 방향의 장치에서 \(S_x = +\hbar/2\)가 나온 빔만 선별한다.
  4. 선별된 빔을 다시 \(z\) 방향의 장치에 통과시킨다.

최종 단계에서 \(S_z = -\hbar/2\)를 얻을 확률을, 각 단계의 확률진폭을 순서대로 추적하여 구하세요.

힌트

제 4 장의 「진폭을 곱한 후 더한다」는 규칙을 사용해요. 단계 1 이후의 상태는 \(|+\rangle\)이에요. 단계 2에서 \(|+\rangle_x\)가 선별되는 진폭은 \({}_x\langle+|+\rangle\)이에요. 단계 4에서 \(|-\rangle\)가 발견되는 진폭은 \(\langle-|+\rangle_x\)예요. 전체 진폭은 이들의 곱이에요.

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Advanced（발전）

A-1. 임의 방향의 스핀 고유상태

\(z\) 축으로부터 극각 \(\theta\), 방위각 \(\phi\) 방향을 향한 단위벡터 \(\hat{\mathbf{n}} = (\sin\theta\cos\phi,\;\sin\theta\sin\phi,\;\cos\theta)\) 를 생각해요. \(\hat{\mathbf{n}}\) 방향의 스핀 성분 \(S_{\hat{n}} = +\hbar/2\) 에 대응하는 고유상태가

\[|+\rangle_{\hat{n}} = \cos\frac{\theta}{2}\,|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\,|-\rangle\]

로 주어진다는 것을 아래 절차에 따라 확인하세요.

(a) \(\theta = 0\) 일 때 \(|+\rangle_{\hat{n}} = |+\rangle\) 가 되는 것과, \(\theta = \pi\) 일 때 \(|+\rangle_{\hat{n}} = e^{i\phi}|-\rangle\) (전체 위상을 제외하면 \(|-\rangle\))가 되는 것을 확인하세요.

(b) \(\theta = \pi/2,\;\phi = 0\) 일 때 식 (5.11)의 \(|+\rangle_x\) 가 재현되는 것을 확인하세요.

(c) \(\theta = \pi/2,\;\phi = \pi/2\) 일 때 식 (5.13)의 \(|+\rangle_y\) 가 재현되는 것을 확인하세요.

(d) 이 상태가 규격화되어 있다는 것(\({}_{\hat{n}}\langle+|+\rangle_{\hat{n}} = 1\))을 보이세요.

(e) 이 상태를 \(z\) 방향으로 측정했을 때, \(S_z = +\hbar/2\) 를 얻을 확률이 \(\cos^2(\theta/2)\) 임을 보이고, \(\theta\) 의 기하학적 의미를 논의하세요.

힌트

(a)–(c)는 \(\theta\), \(\phi\) 의 값을 대입하기만 하면 돼요. (d)는 \(|\cos(\theta/2)|^2 + |e^{i\phi}\sin(\theta/2)|^2\) 을 계산해요. (e)의 확률은 \(|\langle+|+\rangle_{\hat{n}}|^2 = \cos^2(\theta/2)\) 이며, 이는 블로흐 구 위에서 \(|+\rangle\) (북극)과 \(|+\rangle_{\hat{n}}\) 사이의 "각도의 절반"의 코사인의 제곱에 대응해요.

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A-2. 「어떤 경로를 지나갔는가」와 간섭의 소멸

아래의 사고 실험을 생각해 보아요.

설정: \(z\) 방향의 Stern-Gerlach 장치로 은 원자 빔을 \(|+\rangle\) 과 \(|-\rangle\) 으로 분리한 후, 2개의 빔을 차단하지 않고 다시 합류시키고, 그 후 \(x\) 방향의 Stern-Gerlach 장치로 측정해요.

(a) 2개의 빔을 완전히 합류시켜, 어느 경로를 지나갔는지 구별할 수 없는 경우를 생각해요. 초기 상태가 \(|+\rangle_x\) 였을 때, 최종적으로 \(S_x = +\hbar/2\) 를 얻을 확률을, 제 4 장의 「진폭을 더한 후 절댓값의 제곱을 취하는」 규칙을 사용하여 계산하세요.

(b) 이번에는, \(|+\rangle\) 의 경로에만 표시를 하여 「어느 경로를 지나갔는지 구별할 수 있는」 상황으로 만들었다고 해요. 이 경우에는 「확률을 더하는」 규칙이 적용돼요. \(S_x = +\hbar/2\) 를 얻을 확률을 계산하고, (a)의 결과와 비교하세요.

(c) (a)와 (b)의 결과의 차이를 「간섭항」을 명시하여 설명하고, 「경로 정보의 취득이 간섭을 파괴한다」는 것에 대해 제 4 장의 확률진폭 규칙의 관점에서 논하세요.

힌트

(a) 초기 상태 \(|+\rangle_x\) 를 \(z\) 기저로 전개하고, 중간 상태 \(|+\rangle\), \(|-\rangle\) 을 경유하는 진폭을 더해요: 진폭 \(= \sum_{j=\pm} {}_x\langle+|j\rangle\langle j|+\rangle_x\). 완전성 관계를 떠올리세요. (b) 경로가 구별 가능한 경우에는 확률을 더해요: \(P = \sum_{j=\pm} |{}_x\langle+|j\rangle|^2\,|\langle j|+\rangle_x|^2\). (c) 양자의 차이가 간섭항(교차항)에 대응해요.

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