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부록 C 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 지표의 올림과 내림

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문제:

민코프스키 계량 \(\eta_{\mu\nu}\)를 사용하여, 4원벡터 \(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\)의 아래 첨자 성분 \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\)를 계산하세요.

\(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\)、\(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)\)。

\(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\)：

\(A_0 = \eta_{00}A^0 = (-1)(1) = -1\)

\(A_1 = \eta_{11}A^1 = (1)(2) = 2\)

\(A_2 = \eta_{22}A^2 = (1)(3) = 3\)

\(A_3 = \eta_{33}A^3 = (1)(4) = 4\)

\(A_\mu = (-1, 2, 3, 4)\)

시간 성분만 부호가 반전돼요.

B-2. Kronecker 델타의 축약

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문제:

Einstein의 축약 규칙을 사용하여, Kronecker 델타 \(\delta^\mu_\nu\)（\(\mu = \nu\)일 때 1, 그 외에는 0）와 반변 벡터 \(A^\nu\)의 축약

\[ \delta^\mu_\nu A^\nu \]

을 계산하세요.

\(\delta^\mu_\nu A^\nu = \sum_{\nu=0}^{3} \delta^\mu_\nu A^\nu\)

\(\delta^\mu_\nu\)는 \(\mu = \nu\)일 때 1, 그 외에는 0이므로, 합에서 \(\nu = \mu\)인 항만 살아남아요:

\(\delta^\mu_\nu A^\nu = A^\mu\)

크로네커 델타는 "첨자를 그대로 통과시키는" 연산자예요.

B-3. 구면의 계량과 역계량

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문제:

2차원 구면(반지름 \(R\))의 계량 \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\) 으로부터 \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\phi\phi}\), \(g_{\theta\phi}\) 를 읽어내세요. 역계량 \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\phi\phi}\) 도 구하세요.

\(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\) 로부터:

\(g_{\theta\theta} = R^2, \quad g_{\phi\phi} = R^2\sin^2\theta, \quad g_{\theta\phi} = g_{\phi\theta} = 0\)

역계량은 대각 성분의 역수예요:

\(g^{\theta\theta} = \frac{1}{R^2}, \quad g^{\phi\phi} = \frac{1}{R^2\sin^2\theta}\)

B-4. Schwarzschild 계량의 점근 Minkowski

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문제:

공변미분과 곡률（C.5-C.6）

Schwarzschild 계량

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2 \]

에서 \(r \to \infty\) 의 극한을 취하면 Minkowski 계량에 점근함을 보이세요.

\(ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2\)

\(r \to \infty\) 일 때 \(\frac{2GM}{c^2 r} \to 0\) 이므로:

\(ds^2 \to -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2\)

이것은 구면좌표로 쓴 민코프스키 계량이에요. 먼 곳에서는 시공간이 평탄하게 돌아가요.

B-5. 평탄한 공간에서 Christoffel 기호가 0

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문제:

평탄한 공간(\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\))에서 모든 Christoffel 기호가 0임을 확인하세요.

\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \text{const}\) 일 때, \(\partial_\alpha g_{\mu\nu} = 0\) (모든 편미분이 0)이에요.

\(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha}) = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(0 + 0 - 0) = 0\)

모든 Christoffel 기호가 0이에요.

B-6. 평탄 공간에서의 측지선이 등속 직선 운동

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문제:

측지선 방정식 \(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\) 이 \(\Gamma = 0\) 일 때 등속 직선 운동 \(\ddot{x}^\mu = 0\) 으로 귀착됨을 확인하세요.

\(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\)

\(\Gamma = 0\) 일 때:

\(\ddot{x}^\mu = 0\)

이것은 등속 직선 운동(가속도 제로)이에요. Newton의 제1법칙에 대응해요. 휘어진 시공간(\(\Gamma \neq 0\))에서는 \(\Gamma\) 항이 "중력에 의한 가속"을 나타내요.

Medium（표준）

M-1. 4원운동량과 질량껍질 조건

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문제:

4원운동량 \(p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)\) 의 내적 \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu\) 를 계산하고, \(p^\mu p_\mu = -m^2c^2\) 가 상대론적 에너지-운동량 관계 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) 와 동치임을 보이세요.

\(p^\mu = (E/c,\; p_x,\; p_y,\; p_z)\)

\(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(E/c)^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 = -E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2\)

이것이 \(-m^2c^2\)와 같다고 하면:

\(-E^2/c^2 + |\mathbf{p}|^2 = -m^2c^2\)

\(E^2/c^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2c^2\)

\(E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4 = (pc)^2 + (mc^2)^2\)

이것은 상대론적 에너지-운동량 관계 그 자체예요. \(\mathbf{p} = 0\)(정지)일 때 \(E = mc^2\)이에요.

M-2. 극좌표의 계량과 \(r=0\) 에서의 거동

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문제:

극좌표 \((r, \theta)\) 에서의 2차원 평탄 공간의 계량 \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\) 를 적어내고, \(g_{rr}\), \(g_{\theta\theta}\) 를 읽어내세요. \(r = 0\) 에서 무엇이 일어나는지 논의하세요.

\(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\) 로부터:

\(g_{rr} = 1, \quad g_{\theta\theta} = r^2, \quad g_{r\theta} = 0\)

\(r = 0\) 에서는 \(g_{\theta\theta} = 0\) 이 되어 계량이 퇴화해요 (\(\det g = 0\)). 이것은 좌표의 특이성이며, 물리적인 특이점은 아니에요. 원점에서는 \(\theta\) 의 방향을 정의할 수 없기 때문이에요 (어느 방향을 향하더라도 같은 점).

M-3. 구면의 \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\)

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문제:

2차원 구면의 계량으로부터 \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\)를 크리스토펠 기호의 공식으로 계산하세요.

공식: \(\Gamma^\nu_{\mu\alpha} = \frac{1}{2}g^{\nu\beta}(\partial_\mu g_{\alpha\beta} + \partial_\alpha g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\alpha})\)

\(\Gamma^\theta_{\phi\phi} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta}(\partial_\phi g_{\phi\theta} + \partial_\phi g_{\phi\theta} - \partial_\theta g_{\phi\phi})\)

\(g_{\phi\theta} = 0\) 이므로 처음 2개의 항은 0이에요:

\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R^2} \cdot (0 + 0 - \partial_\theta(R^2\sin^2\theta))\)

\(= \frac{1}{2R^2}(-2R^2\sin\theta\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta\)

Advanced（발전）

A-1. Bianchi 항등식과 에너지 보존

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문제:

Einstein 방정식의 좌변 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) 가 \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) (Bianchi 항등식의 귀결)을 만족한다는 것을 인정하고, 이것이 우변의 에너지-운동량 보존 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) 과 정합적임을 설명하세요.

아인슈타인 텐서 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) 는 리만 텐서의 비앙키 항등식의 귀결로서:

\(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)

를 자동적으로 만족해요 (미분기하학의 항등식이며, 운동 방정식이 아니에요).

아인슈타인 방정식 \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) 의 양변에 \(\nabla^\mu\) 를 작용시키면:

\(0 = \nabla^\mu G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\nabla^\mu T_{\mu\nu}\)

따라서 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) (에너지-운동량 보존 법칙).

즉, 아인슈타인 방정식의 수학적 구조가 에너지-운동량 보존을 자동적으로 보장하고 있어요. 보존 법칙을 별도로 가정할 필요가 없어요.