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제 5 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Poisson 방정식과 파동 방정식의 비교

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풀이 방침: 푸아송 방정식을 직교좌표로 전개하고, 전자기 퍼텐셜의 파동방정식과 비교해요.

푸아송 방정식의 전개

\[ \nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 4\pi G \rho \]

파동방정식과의 비교

전자기 퍼텐셜의 파동방정식은,

\[ \left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

즉,

\[ -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = -\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \]

푸아송 방정식에 빠져 있는 것은 시간의 2계 미분 항 \(\displaystyle -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}\) 이에요.

물리적 의미

파동방정식에서 시간 미분 항은, 장의 변화가 유한한 속도 \(c\)로 전파된다는 것을 보장해요. 이 항이 있기 때문에, 소스 \(\rho_e\)의 변화는 광속 \(c\)로 파동으로서 전달돼요.

반면, 푸아송 방정식에는 시간 미분이 없기 때문에, 소스 \(\rho\)가 변화하면 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)는 공간 전체에서 순간적으로 변화해야 해요. 이것은 순간적인 원격 작용을 의미하며, 특수상대론의 "정보는 광속을 초과하여 전달될 수 없다"는 원리와 모순돼요.

B-2. 관성질량과 중력질량에 의한 낙하 가속도

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풀이 방침: 운동방정식 \(m_I a = m_G g\) 를 \(a\) 에 대해 풀어요.

\[ m_I a = m_G g \]
\[ \boxed{a = \frac{m_G}{m_I}\,g} \]

검산: \(m_I = m_G\) 일 때 \(a = g\) 가 되어 갈릴레오의 자유낙하 법칙과 일치해요. 차원도 \([a] = \text{m/s}^2\) 으로 올바르게 나와요.

B-3. Eötvös 파라미터의 선형 근사

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풀이 방침: \(m_{A,G}/m_{A,I} = 1 + \epsilon_A\), \(m_{B,G}/m_{B,I} = 1 + \epsilon_B\)를 Eötvös 매개변수에 대입하고, \(\epsilon\)의 1차까지 근사해요.

계산:

분자:

\[ (1 + \epsilon_A) - (1 + \epsilon_B) = \epsilon_A - \epsilon_B \]

분모:

\[ \frac{(1 + \epsilon_A) + (1 + \epsilon_B)}{2} = \frac{2 + \epsilon_A + \epsilon_B}{2} = 1 + \frac{\epsilon_A + \epsilon_B}{2} \]

\(|\epsilon_A|, |\epsilon_B| \ll 1\)이므로, 분모 \(\approx 1\)이에요.

따라서,

\[ \boxed{\eta \approx \epsilon_A - \epsilon_B} \]

검산: \(\epsilon_A = \epsilon_B\)일 때 \(\eta = 0\)이 되며, 두 물질의 \(m_G/m_I\)가 같으면 Eötvös 매개변수가 0이 되는 것은 물리적으로 올바른 결과예요.

B-4. 자유낙하 좌표로의 변환에서의 속도와 가속도

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풀이 방침: \(t' = t\) 이므로 \(d/dt' = d/dt\). 좌표 변환 \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) 를 시간으로 미분해요.

속도:

\[ \dot{\bar{x}}' = \frac{d\bar{x}'}{dt'} = \frac{d}{dt}\left(\bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\right) = \dot{\bar{x}} - \mathbf{g}\,t \]
\[ \boxed{\dot{\bar{x}}' = \dot{\bar{x}} - \mathbf{g}\,t} \]

가속도:

\[ \ddot{\bar{x}}' = \frac{d}{dt}\left(\dot{\bar{x}} - \mathbf{g}\,t\right) = \ddot{\bar{x}} - \mathbf{g} \]
\[ \boxed{\ddot{\bar{x}}' = \ddot{\bar{x}} - \mathbf{g}} \]

검산: 자유 낙하하는 입자(\(\ddot{\bar{x}} = \mathbf{g}\))에 대해 \(\ddot{\bar{x}}' = \mathbf{g} - \mathbf{g} = 0\) 이 되어, 자유 낙하 좌표에서는 가속도가 0이 돼요. 등가 원리와 부합해요.

B-5. \(m_I \neq m_G\) 인 경우의 자유낙하 좌표변환

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풀이 방침: \(m_I \neq m_G\) 인 경우에 좌표 변환을 적용하여, 중력항이 남는다는 것을 보여요.

원래의 운동방정식:

\[ m_I \frac{d^2 \bar{x}}{dt^2} = m_G\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

문제 B-4. 자유낙하 좌표로의 변환에서의 속도와 가속도 의 결과 \(\ddot{\bar{x}} = \ddot{\bar{x}}' + \mathbf{g}\) 를 대입하면,

\[ m_I\left(\ddot{\bar{x}}' + \mathbf{g}\right) = m_G\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]

전개하여 정리하면,

\[ m_I\,\ddot{\bar{x}}' + m_I\,\mathbf{g} = m_G\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]
\[ m_I\,\ddot{\bar{x}}' = (m_G - m_I)\,\mathbf{g} + \bar{F}_{\text{ext}} \]
\[ \boxed{\ddot{\bar{x}}' = \left(\frac{m_G}{m_I} - 1\right)\mathbf{g} + \frac{\bar{F}_{\text{ext}}}{m_I}} \]

\(m_I \neq m_G\) 일 때, \(\left(\dfrac{m_G}{m_I} - 1\right)\mathbf{g} \neq 0\) 이므로, 중력항이 완전히 사라지지 않아요.

더 나아가, \(m_G/m_I\) 의 값이 입자의 종류에 따라 다른 경우, 잔류하는 중력 가속도 \(\left(\frac{m_G}{m_I} - 1\right)\mathbf{g}\) 는 입자마다 다르기 때문에, 단일 좌표 변환으로 모든 입자의 중력을 동시에 소거하는 것은 불가능해요.

검산: \(m_G = m_I\) 일 때, \(\ddot{\bar{x}}' = \bar{F}_{\text{ext}}/m_I\) 이 되어 중력항이 완전히 사라져요. 이는 본문의 결과와 일치해요.

B-6. 빛의 이동 시간과 지면 장치의 획득 속도

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풀이 방침: 빛의 이동 시간을 구하고, 그 동안 지면의 장치가 자유낙하계에 대해 획득하는 속도를 계산해요.

빛의 이동 시간:

빛은 속도 \(c\)로 높이 \(h\)를 이동하므로,

\[ \boxed{\Delta t \approx \frac{h}{c}} \]

지면의 장치가 획득하는 속도:

자유낙하계에서 보면, 지면의 장치는 가속도 \(g\)로 위쪽으로 가속하고 있어요. 시간 \(\Delta t\) 동안 획득하는 속도는,

\[ v = g \cdot \Delta t = g \cdot \frac{h}{c} \]
\[ \boxed{v = \frac{gh}{c}} \]

검산: 차원을 확인해요. \([g \cdot h / c] = (\text{m/s}^2)(\text{m})/(\text{m/s}) = \text{m/s}\). 속도의 차원으로 올바르네요. 또한, \(h = 0\)일 때 \(v = 0\)이 되는 것도 타당해요.

B-7. Doppler 효과로 본 빛의 진동수

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풀이 방침: 도플러 효과의 비상대론적 근사에 문제 B-6. 빛의 이동 시간과 지면 장치의 획득 속도의 결과를 대입해요.

지면의 장치는 광원(탑의 꼭대기)을 향해 속도 \(v = gh/c\)로 다가가고 있으므로,

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' = \left(1 + \frac{gh/c}{c}\right)\nu' \]
\[ \boxed{\nu \approx \left(1 + \frac{gh}{c^2}\right)\nu'} \]

검산: \(h = 0\)일 때 \(\nu = \nu'\)로 진동수 변화가 없어요. \(h > 0\)일 때 \(\nu > \nu'\)로, 꼭대기에서 지면을 향하는 빛은 청색편이해요. 이는 중력 퍼텐셜이 낮은 곳으로 빛이 떨어지면 에너지가 증가하는(진동수가 올라가는) 것과 부합해요.

B-8. 퍼텐셜 형식의 중력 적색편이 공식

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풀이 방침: 균일 중력장에서 \(\Phi = gh\) (지면을 기준)로 놓고, 두 공식이 일치하는 것을 확인해요.

지면에서 꼭대기로 빛을 보내는 경우를 생각해요. 지면의 중력 퍼텐셜을 \(\Phi_{\text{bottom}} = 0\), 꼭대기의 중력 퍼텐셜을 \(\Phi_{\text{top}} = gh\)로 놓아요.

퍼텐셜 차이는,

\[ \Delta\Phi = \Phi_{\text{top}} - \Phi_{\text{bottom}} = gh - 0 = gh \]

일반 공식에 대입하면,

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{\Delta\Phi}{c^2} = -\frac{gh}{c^2} \]

이것은 중력 적색편이 공식

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2} \]

과 완전히 일치해요. \(\square\)

검산: 물리적 의미를 확인해요. \(\Delta\nu < 0\)은 빛이 퍼텐셜이 높은 곳으로 이동하면 진동수가 감소한다(적색편이한다)는 것을 의미하며, 문제 B-7. Doppler 효과로 본 빛의 진동수의 결과(꼭대기에서 지면으로 향하는 빛은 청색편이한다)와 정합해요.

Medium（표준）

M-1. 서로 다른 물질의 자유낙하 엘리베이터 실험

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풀이 방침: \(m_I/m_G\) 가 물질에 따라 다른 경우에, 자유낙하하는 엘리베이터 안에서 무슨 일이 일어나는지를 분석해요.

계산

지상의 관성계에서 각 공의 운동방정식은,

\[ m_{I,\text{Fe}}\,\ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Fe}} = m_{G,\text{Fe}}\,\boldsymbol{g}, \qquad m_{I,\text{Al}}\,\ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Al}} = m_{G,\text{Al}}\,\boldsymbol{g} \]

각 공의 가속도는,

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Fe}} = \frac{m_{G,\text{Fe}}}{m_{I,\text{Fe}}}\,\boldsymbol{g}, \qquad \ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{Al}} = \frac{m_{G,\text{Al}}}{m_{I,\text{Al}}}\,\boldsymbol{g} \]

엘리베이터는 자유낙하하고 있지만, 엘리베이터 자체도 특정한 \(m_G/m_I\) 의 비에 따라 가속하고 있어요. 엘리베이터의 가속도를 \(\ddot{\boldsymbol{x}}_{\text{elev}} = (m_{G}/m_{I})_{\text{elev}}\,\boldsymbol{g}\) 라 해요.

엘리베이터 안의 관측자가 본 각 공의 상대가속도는,

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Fe}} = \left(\frac{m_{G,\text{Fe}}}{m_{I,\text{Fe}}} - \left(\frac{m_G}{m_I}\right)_{\text{elev}}\right)\boldsymbol{g} \]
\[ \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Al}} = \left(\frac{m_{G,\text{Al}}}{m_{I,\text{Al}}} - \left(\frac{m_G}{m_I}\right)_{\text{elev}}\right)\boldsymbol{g} \]

관찰되는 현상

\(m_G/m_I\) 의 값이 철과 알루미늄에서 다른 경우（\(m_{G,\text{Fe}}/m_{I,\text{Fe}} \neq m_{G,\text{Al}}/m_{I,\text{Al}}\)）, 두 공의 상대가속도는,

\[ \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Fe}} - \ddot{\boldsymbol{x}}'_{\text{Al}} = \left(\frac{m_{G,\text{Fe}}}{m_{I,\text{Fe}}} - \frac{m_{G,\text{Al}}}{m_{I,\text{Al}}}\right)\boldsymbol{g} \neq \boldsymbol{0} \]

따라서, 동시에 손에서 놓은 철 공과 알루미늄 공은 엘리베이터 안에서 서로 다른 가속도로 운동해요. 한쪽 공이 다른 쪽에 대해 상대적으로 낙하(또는 부상)하는 것이 관찰돼요.

등가원리의 깨짐과의 관계

등가원리(약한 등가원리)는 "자유낙하하는 계는 국소적으로 관성계와 등가이다"라고 주장해요. 관성계에서는 중력이 존재하지 않으므로, 손에서 놓은 공은 (외력이 없다면) 정지한 채로 있어야 해요.

그러나 \(m_G/m_I\) 가 물질에 따라 다른 경우, 자유낙하하는 엘리베이터 안에서 공이 상대적으로 움직인다는 것은, 엘리베이터 안의 관측자가 중력의 존재를 검출할 수 있다는 것을 의미해요. 즉, 자유낙하계가 관성계와 등가가 아니게 되어, 등가원리가 깨져요.

\[ \boxed{\text{철과 알루미늄 공이 서로 다른 가속도로 움직이며, 자유낙하계에서 중력이 검출 가능해진다(등가원리의 깨짐).}} \]

검산

\(m_{G}/m_{I}\) 가 모든 물질에서 같은 경우（\(m_{G,\text{Fe}}/m_{I,\text{Fe}} = m_{G,\text{Al}}/m_{I,\text{Al}}\)）, 상대가속도는 영이 되어 두 공은 정지한 채로 있어요——등가원리가 성립해요. 문제 B-5. \(m_I \neq m_G\) 인 경우의 자유낙하 좌표변환 및 문제 M-2. 다입자계에서의 등가원리 의 결과와 정합해요. ✓

M-2. 다입자계에서의 등가원리

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풀이 방침: \(N\)개의 입자계에 대해 자유 낙하 좌표 변환을 적용하여, \(m_I = m_G\)인 경우 모든 입자에서 중력이 사라지는 것을 보여요. 다음으로 \(m_I \neq m_G\)인 경우의 파탄을 논의해요.

\(m_I = m_G\)인 경우

\(i\)번째 입자(\(i = 1, 2, \ldots, N\))의 운동방정식은,

\[ m_i \frac{d^2 \bar{x}_i}{dt^2} = m_i\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

여기서 \(m_i\)는 \(i\)번째 입자의 관성질량이며, \(m_I = m_G\)를 이용하여 중력질량도 \(m_i\)로 놓았어요. \(\bar{F}_{ij}\)는 입자 \(j\)에서 입자 \(i\)로의 비중력적 힘이에요.

자유 낙하 좌표로의 변환을 적용해요:

\[ \bar{x}_i' = \bar{x}_i - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2, \qquad t' = t \]

문제 B-4. 자유낙하 좌표로의 변환에서의 속도와 가속도의 결과로부터,

\[ \frac{d^2 \bar{x}_i'}{dt'^2} = \frac{d^2 \bar{x}_i}{dt^2} - \mathbf{g} \]

즉 \(\ddot{\bar{x}}_i = \ddot{\bar{x}}_i' + \mathbf{g}\)이에요. 운동방정식에 대입하면,

\[ m_i\left(\ddot{\bar{x}}_i' + \mathbf{g}\right) = m_i\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

좌변을 전개하면,

\[ m_i\,\ddot{\bar{x}}_i' + m_i\,\mathbf{g} = m_i\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

\(m_i\,\mathbf{g}\)가 양변에서 상쇄되어,

\[ m_i\,\ddot{\bar{x}}_i' = \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i - \bar{x}_j) \]

여기서 힘의 인수에 대해 확인해요. \(\bar{x}_i - \bar{x}_j = \left(\bar{x}_i' + \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\right) - \left(\bar{x}_j' + \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\right) = \bar{x}_i' - \bar{x}_j'\)이므로,

\[ \boxed{m_i\,\ddot{\bar{x}}_i' = \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij}(\bar{x}_i' - \bar{x}_j')} \]

이것은 중력이 없는 공간에서의 운동방정식과 완전히 같은 형태예요. 이 결과는 입자 번호 \(i\)에 의존하지 않으며, 모든 입자에 대해 동시에 중력항이 사라져요. 이는 좌표 변환 \(\frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\)이 모든 입자에 공통이고, \(m_G/m_I = 1\)이 모든 입자에서 성립하기 때문이에요. \(\square\)

\(m_I \neq m_G\)인 경우의 파탄

\(i\)번째 입자의 관성질량을 \(m_{i,I}\), 중력질량을 \(m_{i,G}\)로 놓으면, 운동방정식은,

\[ m_{i,I}\,\ddot{\bar{x}}_i = m_{i,G}\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij} \]

같은 좌표 변환을 적용하면,

\[ m_{i,I}\left(\ddot{\bar{x}}_i' + \mathbf{g}\right) = m_{i,G}\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij} \]
\[ m_{i,I}\,\ddot{\bar{x}}_i' = (m_{i,G} - m_{i,I})\,\mathbf{g} + \sum_{j \neq i} \bar{F}_{ij} \]

잔류하는 중력 가속도는,

\[ \ddot{\bar{x}}_i'|_{\text{grav}} = \left(\frac{m_{i,G}}{m_{i,I}} - 1\right)\mathbf{g} \]

이 잔류항은 비 \(m_{i,G}/m_{i,I}\)에 의존해요. 만약 \(m_{i,G}/m_{i,I}\)가 입자의 종류에 따라 다르면, 입자마다 다른 잔류 중력 가속도가 발생해요. 단일 좌표 변환으로는 모든 입자의 중력을 동시에 제거할 수 없으며, 등가 원리가 파탄해요.

가령 \(m_{i,G}/m_{i,I} = \alpha\)(모든 입자에 공통인 상수)이면, 좌표 변환을 \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\alpha\,\mathbf{g}\,t^2\)으로 수정하면 중력을 제거할 수 있지만, \(\alpha\)가 입자마다 다른 경우에는 이 방법도 사용할 수 없어요.

검산: \(m_{i,G} = m_{i,I}\)일 때 잔류항은 영이 되어, 전반부의 결과와 정합해요.

M-3. 조석력과 등가원리의 국소성

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(a) 조석 가속도의 도출

지구 중심에서 거리 \(r\)에서의 중력가속도는,

\[ g(r) = \frac{GM}{r^2} \]

\(r_0\)에서 미소 거리 \(\delta r\)만큼 떨어진 점에서의 중력가속도를 Taylor 전개하면:

\[ g(r_0 + \delta r) = \frac{GM}{(r_0 + \delta r)^2} = \frac{GM}{r_0^2}\left(1 + \frac{\delta r}{r_0}\right)^{-2} \]

\(|\delta r| \ll r_0\)로서 \((1 + x)^{-2} \approx 1 - 2x\)를 사용하면,

\[ g(r_0 + \delta r) \approx \frac{GM}{r_0^2}\left(1 - \frac{2\,\delta r}{r_0}\right) \]

조석 가속도(중력가속도의 차이)는,

\[ \delta g = g(r_0 + \delta r) - g(r_0) \approx \frac{GM}{r_0^2}\left(-\frac{2\,\delta r}{r_0}\right) = -\frac{2GM}{r_0^3}\,\delta r \]
\[ \boxed{\delta g = -\frac{2GM}{r_0^3}\,\delta r} \]

음의 부호는 \(\delta r > 0\)(즉, \(r_0\)보다 먼 점)에서는 중력가속도가 약해지는 것을 의미해요. 즉, 자유낙하 좌표계에서 보면, \(r_0\)보다 먼 점의 물체는 \(r_0\)에서 멀어지는 방향으로 가속하고, \(r_0\)보다 가까운 점의 물체는 \(r_0\)에 가까워지는 방향으로 가속해요(지름 방향의 인장 효과).

검산: 차원을 확인해요. \([GM/r_0^3 \cdot \delta r] = (\text{m}^3/\text{s}^2)/\text{m}^3 \cdot \text{m} = \text{m/s}^2\). 가속도의 차원으로 올바르네요. 또한 \(\delta r \to 0\)에서 \(\delta g \to 0\)이 되는 것도 타당해요.

(b) 등가 원리가 "충분히 작은 영역"에서만 성립하는 것의 정량적 설명

등가 원리는 자유낙하하는 좌표계에서 중력이 사라진다는 것을 주장해요. 그러나 (a)에서 보인 것처럼, 자유낙하의 기준점 \(r_0\)에서 거리 \(\delta r\)만큼 떨어진 점에서는 조석 가속도

\[ |\delta g| = \frac{2GM}{r_0^3}\,|\delta r| \]

가 잔존해요. 이 조석 가속도는 자유낙하로는 소거할 수 없어요(중력장의 비균일성에 기인하기 때문이에요).

등가 원리가 좋은 근사로 성립하기 위해서는, 조석 가속도가 측정 정밀도 \(a_{\min}\)(또는 관심 있는 물리 현상의 전형적인 가속도 스케일 \(a_{\text{typ}}\))에 비해 충분히 작아야 해요:

\[ \frac{2GM}{r_0^3}\,|\delta r| \ll a_{\text{typ}} \]

이것을 \(\delta r\)에 대한 제약으로 쓰면,

\[ |\delta r| \ll \frac{a_{\text{typ}}\,r_0^3}{2GM} \]

예를 들어, 지구 표면(\(r_0 = R \approx 6.4 \times 10^6\;\text{m}\), \(g = GM/R^2 \approx 9.8\;\text{m/s}^2\))에서 조석 가속도를 \(g\)의 \(10^{-6}\) 이하로 억제하고 싶은 경우:

\[ \frac{2GM}{R^3}\,|\delta r| < 10^{-6} g = 10^{-6}\frac{GM}{R^2} \]
\[ |\delta r| < \frac{10^{-6} R}{2} \approx 3.2\;\text{m} \]

즉, 지구 표면에서는 수 미터 범위 내라면 등가 원리가 \(10^{-6}\)의 정밀도로 성립해요. 반면, 중력장의 변화가 급격한 장소(예를 들어 블랙홀 근방에서 \(r_0\)가 작은 경우)에서는 \(r_0^3\)이 작아지므로, 등가 원리가 성립하는 영역은 더욱 좁아져요.

M-4. 등가원리로부터의 중력 적색편이 유도

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(a) 자유낙하 관측자가 관성계에 있다는 것의 설명

탑 꼭대기에서 빛이 발사된 순간, 그 장소에서 정지해 있던 관측자가 자유낙하를 시작한다고 해요.

등가원리에 따르면, 자유낙하하는 계는 국소적으로 관성계와 등가해요. 이것은 균일한 중력장의 효과가 자유낙하라는 좌표변환에 의해 소거되기 때문이에요(문제 B-4. 자유낙하 좌표로의 변환에서의 속도와 가속도, 문제 B-5. \(m_I \neq m_G\) 인 경우의 자유낙하 좌표변환에서 확인한 바와 같이, \(m_I = m_G\)일 때 좌표변환 \(\bar{x}' = \bar{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\)에 의해 운동방정식에서 중력항이 사라져요).

따라서 이 자유낙하하는 관측자의 계에서는 특수상대론이 그대로 적용되며, 빛은 속도 \(c\)로 직진하고, 도플러 효과 등 특수상대론의 결과를 그대로 사용할 수 있어요.

(b) 이동 시간과 획득 속도

자유낙하하는 관측자가 보면, 빛은 속도 \(c\)로 탑 꼭대기에서 지면을 향해 진행해요. 빛이 높이 \(h\)를 이동하는 데 걸리는 시간은,

\[ \Delta t \approx \frac{h}{c} \]

(\(gh/c^2 \ll 1\)의 근사에서, 중력에 의한 고차 보정은 무시할 수 있어요.)

자유낙하하는 관측자가 보면, 지면의 장치는 위쪽으로 가속도 \(g\)로 가속하고 있어요(자유낙하계에서는 중력이 사라지므로, 지면이 가속해 오는 것처럼 보여요). 시간 \(\Delta t\) 동안 지면의 장치가 획득하는 속도는,

\[ v = g \cdot \Delta t = \frac{gh}{c} \]

(c) 중력 적색편이의 유도

꼭대기에서 지면으로의 빛(청색편이):

자유낙하계에서 보면, 지면의 장치는 광원(꼭대기)을 향해 속도 \(v = gh/c\)로 다가오고 있어요. 특수상대론의 도플러 효과의 비상대론적 근사(\(v \ll c\))를 적용하면, 지면에서 수신하는 진동수 \(\nu\)는,

\[ \nu \approx \left(1 + \frac{v}{c}\right)\nu' = \left(1 + \frac{gh}{c^2}\right)\nu' \]

여기서 \(\nu'\)는 꼭대기에서 발사된 빛의 진동수예요. \(\nu > \nu'\)이므로, 꼭대기에서 지면으로 향하는 빛은 청색편이해요.

지면에서 꼭대기로의 빛(적색편이):

반대로, 지면에서 꼭대기로 빛을 보내는 경우를 생각해요. 마찬가지로, 빛이 발사된 순간에 지면에서 자유낙하를 시작하는 관측자를 설정해요. 이 관측자가 보면, 꼭대기의 장치는 광원(지면)으로부터 속도 \(v = gh/c\)로 멀어지고 있어요. 도플러 효과에 의해,

\[ \nu_{\text{top}} \approx \left(1 - \frac{v}{c}\right)\nu_{\text{bottom}} = \left(1 - \frac{gh}{c^2}\right)\nu_{\text{bottom}} \]

진동수의 변화는,

\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} = \frac{\nu_{\text{top}} - \nu_{\text{bottom}}}{\nu_{\text{bottom}}} \approx -\frac{gh}{c^2} \]
\[ \boxed{\frac{\Delta\nu}{\nu} \approx -\frac{gh}{c^2}} \]

이것이 중력 적색편이의 공식이에요. 빛이 퍼텐셜이 높은 곳으로 이동하면 진동수가 감소(적색편이)하고, 퍼텐셜이 낮은 곳으로 이동하면 진동수가 증가(청색편이)해요.

검산: 차원을 확인해요. $[gh/c^2] = (\text{m/s}^2)(\text{m})/(\text{m/s})^2 = $ 무차원. 진동수의 비이므로 무차원이어야 하며, 일치해요. 또한, \(h \to 0\)에서 \(\Delta\nu/\nu \to 0\)이 되어, 높이 차이가 없으면 진동수 변화가 없다는 것도 타당해요.

M-5. 도쿄 스카이트리에서의 시계 차이

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풀이 방침: 중력 적색편이 공식을 이용하여, 높이 \(h\)의 차이에 의한 하루당 시계의 어긋남을 추정해요.

계산

중력 적색편이에 의한 고유시간의 차이는, 문제 A-1. 중력 적색편이로부터 유도하는 계량의 수정 (a)의 결과로부터,

\[ \frac{d\tau_{\text{top}} - d\tau_{\text{bottom}}}{dt} \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} \]

균일 중력장 근사(\(h \ll R_\oplus\))에서 퍼텐셜 차이는,

\[ \Delta\Phi = gh \]

여기서 \(g = 9.8\;\text{m/s}^2\), \(h = 450\;\text{m}\), \(c = 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\)이에요.

상대적인 시간 어긋남(무차원):

\[ \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{gh}{c^2} = \frac{9.8 \times 450}{(3.0 \times 10^8)^2} = \frac{4410}{9.0 \times 10^{16}} = 4.90 \times 10^{-14} \]

하루당 시계의 어긋남:

1일 \(= 86400\;\text{s}\)이므로,

\[ \Delta\tau = \frac{gh}{c^2} \times 86400 = 4.90 \times 10^{-14} \times 86400 = 4.23 \times 10^{-9}\;\text{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau \approx 4.2\;\text{ns/일}（\approx 4.2 \times 10^{-9}\;\text{s/일}）} \]

꼭대기의 시계는 지면의 시계에 비해 하루당 약 4.2 나노초 빠르게 진행해요. 이는 꼭대기 쪽이 중력 퍼텐셜이 높아(중력이 약해) 일반상대론적인 중력 적색편이 효과로 시간이 더 빠르게 흐르는 것에 대응해요.

검산

차원 확인: $[gh/c^2] = (\text{m/s}^2)(\text{m})/(\text{m/s})^2 = $ 무차원. 올바르다. ✓

실험과의 비교: 2012년에 도쿄대학의 카토리 히데토시 그룹이 광격자 시계를 이용하여 도쿄 스카이트리의 지상과 전망대(높이 약 450 m) 사이에서 중력 적색편이를 실측하여, 일반상대론의 예측과 일치하는 결과를 얻었어요. 본 계산의 \(\sim 4\;\text{ns/일}\)은, 이 실험의 정밀도(\(10^{-18}\) 수준의 광격자 시계로 충분히 검출 가능)와 정합해요. ✓

\(h = 0\) 극한: \(\Delta\tau = 0\)이 되어, 높이 차이가 없으면 시계의 어긋남이 없다는 것도 타당해요. ✓

M-6. Newton 역학과 일반상대론의 해석 전환

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뉴턴 역학의 해석:

뉴턴 역학에서는 지면에 정지해 있는 관측자가 관성계에 있다고 간주해요. 사과는 중력이라는 "힘"을 받아 가속하며, 지면을 향해 낙하해요. 사과의 운동은 \(F = mg\)라는 힘의 작용의 결과이며, 지면에 서 있는 사람은 힘을 받지 않는 (정확히는 중력과 수직 항력이 균형을 이루는) 자연스러운 상태에 있어요.

일반상대론의 해석:

일반상대론에서는 이 해석이 근본적으로 역전돼요.

  1. 자유낙하야말로 관성 운동이에요: 낙하하는 사과는 외력을 받지 않고 운동하고 있어요. 이것은 뉴턴 역학에서의 "관성 운동" (힘을 받지 않는 물체가 등속 직선 운동하는 것)의 일반상대론 버전이에요. 사과는 휘어진 시공간의 곡률 (curvature) 속에서 가장 자연스러운 경로인 측지선 (geodesic)을 따라가고 있어요. 측지선이란 휘어진 시공간에서 "가장 곧은" 경로이며, 자유낙하하는 물체의 세계선에 대응해요.

  2. 지면에 서 있는 사람 쪽이 가속하고 있어요: 지면에 정지해 있는 관측자는 지면으로부터의 수직 항력을 받아 측지선에서 벗어나 있어요. 즉, 일반상대론의 의미에서 가속하고 있는 쪽은 지면에 서 있는 사람이에요. 가속도계(예를 들어 용수철저울)를 들고 있으면, 지면에 서 있는 사람은 \(g\)의 가속도를 검출하지만, 자유낙하하는 사과는 가속도 0을 나타내요.

  3. 중력은 힘이 아니라 시공간의 성질이에요: 중력은 전자기력과 같은 "힘"이 아니라, 질량·에너지에 의해 생기는 시공간 곡률의 표현이에요. 물체는 휘어진 시공간 속에서 측지선을 따라갈 뿐이며, "중력에 끌려가는" 것이 아니에요. 지구 주위의 시공간이 휘어져 있기 때문에, 자유낙하하는 물체의 측지선이 지구를 향하는 경로가 되는 거예요.

정리하면, 뉴턴 역학에서는 "중력이라는 힘이 사과를 끌어당긴다"고 보는 반면, 일반상대론에서는 "사과는 휘어진 시공간의 측지선을 따르는 관성 운동을 하고 있을 뿐이며, 지면에 서 있는 사람 쪽이 가속하고 있다"고 해석해요.

Advanced（발전）

A-1. 중력 적색편이로부터 유도하는 계량의 수정

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(a) 고유시간과 좌표시간의 관계

중력 적색편이의 결과를 이용하여, 퍼텐셜 \(\Phi\) 위치에 있는 시계의 고유시간과 무한원점의 좌표시간의 관계를 유도해요.

문제 B-8. 퍼텐셜 형식의 중력 적색편이 공식 에서 유도한 중력 적색편이의 일반 공식에 의하면, 퍼텐셜 \(\Phi_{\text{emit}}\) 위치에서 방출된 빛이 퍼텐셜 \(\Phi_{\text{obs}}\) 위치에서 관측될 때,

\[ \frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{emit}}} \approx 1 - \frac{\Phi_{\text{obs}} - \Phi_{\text{emit}}}{c^2} \]

퍼텐셜 \(\Phi\)（\(\Phi < 0\)）의 위치에서 무한원점（\(\Phi = 0\)）으로 빛을 보내는 경우, \(\Phi_{\text{emit}} = \Phi\), \(\Phi_{\text{obs}} = 0\) 으로 놓으면,

\[ \frac{\nu_\infty}{\nu(\Phi)} \approx 1 - \frac{0 - \Phi}{c^2} = 1 + \frac{\Phi}{c^2} \]

\(\Phi < 0\) 이므로 \(\nu_\infty < \nu(\Phi)\) 가 되며, 이는 적색편이（중력 퍼텐셜이 깊은 곳에서 나온 빛은 무한원점에서 진동수가 감소한다）를 올바르게 나타내고 있어요.

즉,

\[ \nu_\infty \approx \nu(\Phi)\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) \]

다음으로, 진동수와 고유시간의 관계를 이용해요. 진동수는 고유시간의 역수에 비례해요（\(\nu \propto 1/d\tau\)）. 퍼텐셜 \(\Phi\) 위치에 있는 시계의 1진동의 고유시간을 \(d\tau\), 무한원점의 좌표시간에서 같은 진동에 대응하는 시간 간격을 \(dt\) 라 하면,

\[ \nu(\Phi) = \frac{1}{d\tau}, \qquad \nu_\infty = \frac{1}{dt} \]

위의 적색편이 관계식에 대입하면,

\[ \frac{1}{dt} \approx \frac{1}{d\tau}\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) \]

이를 \(d\tau\) 에 대해 풀면,

\[ d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)dt \]
\[ \boxed{d\tau \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)dt} \]

물리적 의미: \(\Phi < 0\)（중력 퍼텐셜이 낮은 곳）에서는 \(d\tau < dt\) 가 되어, 중력장 깊은 곳에 있는 시계는 무한원점의 시계에 비해 느리게 간다. 이것이 중력에 의한 시간 지연이에요.

검산: \(\Phi = 0\)（무한원점）에서는 \(d\tau = dt\) 가 되어, 좌표시간과 고유시간이 일치해요. \(\Phi < 0\) 에서 \(d\tau < dt\) 인 것은, 중력장 속의 시계가 느려진다는 Pound-Rebka 실험의 결과와 부합해요.

(b) 약한 중력장에서의 계량의 수정

정지한 입자의 세계선에서는 \(dx = dy = dz = 0\) 이므로, Minkowski 계량 \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) 에서,

\[ ds^2 = g_{00}\,c^2\,dt^2 \quad (\text{정지 입자, 공간 성분은 미수정으로 가정}) \]

한편, 세계선을 따른 고유시간 \(d\tau\) 와의 관계는 \(ds^2 = -c^2 d\tau^2\) 이므로,

\[ -c^2 d\tau^2 = g_{00}\,c^2\,dt^2 \quad \Longrightarrow \quad d\tau^2 = -g_{00}\,dt^2 \]

（여기서 계량의 부호 규약 \((-,+,+,+)\) 을 사용하고 있어요.）

(a)의 결과 \(d\tau \approx (1 + \Phi/c^2)\,dt\) 를 대입하면,

\[ d\tau^2 \approx \left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right)^2 dt^2 \approx \left(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\right)dt^2 \]

（\(|\Phi|/c^2 \ll 1\) 에서 2차 항을 무시.）

\(d\tau^2 = -g_{00}\,dt^2\) 과 비교하면,

\[ -g_{00} \approx 1 + \frac{2\Phi}{c^2} \]
\[ \boxed{g_{00} \approx -\left(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\right)} \]

따라서, 약한 중력장이 존재할 때의 계량은,

\[ ds^2 \approx -\left(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\right)c^2\,dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

검산: \(\Phi = 0\)（중력장 없음）일 때 \(g_{00} = -1\) 이 되어 Minkowski 계량으로 돌아가요. 차원도 \([\Phi/c^2]\) 이 무차원이므로 올바르게 돼요.

(c) Lorentz 계의 개념과의 모순 및 일반상대론으로의 확장의 불가피성

(b)의 결과는, 중력장이 존재하는 시공간에서는 계량 성분 \(g_{00}\) 이 위치에 의존한다는 것을 보여주고 있어요:

\[ g_{00}(x, y, z) \approx -\left(1 + \frac{2\Phi(x, y, z)}{c^2}\right) \]

이것은 다음과 같은 점에서 제3~4장의 Lorentz 계（관성계）의 개념과 근본적으로 모순돼요:

  1. Minkowski 계량의 깨짐: 제 4 장에서 배운 특수상대론에서는, 관성계에서 계량이 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, +1, +1, +1)\) 이라는 상수 행렬로 주어져요. 그러나 (b)의 결과에서는 \(g_{00}\) 이 공간 좌표의 함수이며, 계량이 Minkowski 형태가 아니에요. 이는 중력장이 있는 시공간이 Minkowski 시공간이 아님을 의미해요.

  2. 전역적 관성계의 부재: 특수상대론에서는 시공간 전체를 덮는 관성계（Lorentz 계）가 존재하고, 그 안에서 물리 법칙은 Lorentz 공변적인 형태를 취해요. 그러나 등가원리는 관성계의 존재를 국소적으로만 보장해요. 임의의 시공간 점의 근방에서는 자유낙하 좌표계를 잡음으로써 Minkowski 계량을 회복할 수 있지만, 시공간 전체에서 Minkowski 형태로 만들 수 있는 단일 좌표계는 일반적으로 존재하지 않아요. 이는 휘어진 곡면 위에서 국소적으로는 평면에 근사할 수 있지만, 전체를 평면으로 펼칠 수 없는 것과 같아요.

  3. 시공간 곡률의 필연성: \(g_{00}\) 이 위치에 의존한다는 것은, 계량 텐서가 비자명한 구조를 가짐을 의미하며, 이는 수학적으로 시공간이 휘어져 있다는 것에 대응해요. 중력 적색편이라는 실험적으로 검증된 현상이 계량의 위치 의존성을 요구하는 이상, 중력을 기술하기 위해서는 Minkowski 시공간을 넘어선 틀 — 즉 휘어진 시공간의 기하학 — 이 필요해요.

  4. 등가원리가 제시하는 방향: 등가원리는 "국소적으로는 특수상대론이 성립한다"는 것을 보장해요. 이는 미분기하학의 언어로 말하면, "휘어진 다양체의 각 점의 접선공간은 Minkowski 공간이다"라는 것에 대응해요. 즉, 중력을 포함한 물리는 "국소적으로 평탄하지만 전역적으로 휘어진 시공간" 위에서 정식화되어야 하며, 이는 바로 Riemann 기하학의 틀이에요.

이상의 이유로, 중력을 포함한 물리를 기술하기 위해서는 특수상대론의 틀（전역적 Minkowski 시공간 + Lorentz 변환）을 확장하여, 일반적인 휘어진 시공간 위에서의 물리 법칙을 정식화하는 일반상대론으로의 이행이 불가피해요. 등가원리는 이 확장의 출발점으로서, "국소적으로는 특수상대론이 성립한다"는 다리 역할을 하고 있어요.

A-2. GPS 위성의 상대론적 보정

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(a) 중력 적색편이에 의한 시계 진행 차이

지표면(퍼텐셜 \(\Phi_A = -GM/R\))과 고도 \(H\)의 위성(퍼텐셜 \(\Phi_B = -GM/(R+H)\)) 사이의 퍼텐셜 차이는,

\[ \Delta\Phi = \Phi_B - \Phi_A = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+H}\right) = \frac{gR^2 H}{R(R+H)} = \frac{gRH}{R+H} \]

문제 A-1. 중력 적색편이로부터 유도하는 계량의 수정 (a)의 결과로부터, 각 위치에서의 고유시와 좌표시의 관계는,

\[ d\tau_A \approx \left(1 + \frac{\Phi_A}{c^2}\right)dt \]
\[ d\tau_B \approx \left(1 + \frac{\Phi_B}{c^2}\right)dt = \left(1 + \frac{\Phi_A + \Delta\Phi}{c^2}\right)dt \]

B의 시계가 A의 시계에 대해 1초당 얼마나 빠르게 진행하는지는,

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{grav}}}{\Delta t} = \frac{d\tau_B - d\tau_A}{dt} = \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{gRH}{c^2(R+H)} \]
\[ \boxed{\frac{\Delta\tau_{\text{grav}}}{\Delta t} \approx +\frac{gRH}{c^2(R+H)}} \]

양의 값이므로, 높은 위치에 있는 위성의 시계는 지상의 시계보다 빠르게 진행해요.

(b) 특수상대론의 시간 지연에 의한 효과

위성의 궤도 속력은, 원궤도 조건(구심 가속도 = 중력 가속도)으로부터,

\[ \frac{v^2}{R+H} = \frac{GM}{(R+H)^2} = \frac{gR^2}{(R+H)^2} \]
\[ v^2 = \frac{gR^2}{R+H} \]

특수상대론의 시간 지연에 의해, 속도 \(v\)로 운동하는 시계의 고유시는,

\[ d\tau_B^{\text{SR}} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\,dt \approx \left(1 - \frac{v^2}{2c^2}\right)dt \]

지상의 시계에 대한 차이는,

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{SR}}}{\Delta t} = \frac{d\tau_B^{\text{SR}} - dt}{dt} \approx -\frac{v^2}{2c^2} = -\frac{gR^2}{2c^2(R+H)} \]
\[ \boxed{\frac{\Delta\tau_{\text{SR}}}{\Delta t} \approx -\frac{gR^2}{2c^2(R+H)}} \]

음의 값이므로, 운동하는 위성의 시계는 지상의 시계보다 느리게 진행해요.

(주: 엄밀히는 지상의 관측자도 지구 자전에 의해 운동하고 있지만, 지상의 자전 속도는 위성의 궤도 속력보다 충분히 작으므로, 여기서는 지상의 관측자를 정지한 것으로 근사해요.)

(c) GPS 위성에서의 수치 비교

주어진 값: \(H = 20{,}200\;\text{km} = 2.02 \times 10^7\;\text{m}\), \(g = 9.8\;\text{m/s}^2\), \(R = 6{,}370\;\text{km} = 6.37 \times 10^6\;\text{m}\), \(c = 3.0 \times 10^8\;\text{m/s}\).

중력 적색편이 효과:

\[ \frac{\Delta\tau_{\text{grav}}}{\Delta t} = \frac{gRH}{c^2(R+H)} = \frac{9.8 \times 6.37 \times 10^6 \times 2.02 \times 10^7}{(3.0 \times 10^8)^2 \times 2.657 \times 10^7} \]

분자: \(9.8 \times 6.37 \times 10^6 \times 2.02 \times 10^7 = 9.8 \times 1.287 \times 10^{14} = 1.261 \times 10^{15}\)

분모: \(9.0 \times 10^{16} \times 2.657 \times 10^7 = 2.391 \times 10^{24}\)

\[ = \frac{1.261 \times 10^{15}}{2.391 \times 10^{24}} = 5.27 \times 10^{-10} \]

하루당 시간 차이: \(5.27 \times 10^{-10} \times 86{,}400\;\text{s} \approx 45.5\;\mu\text{s}\) (위성의 시계가 빠르게 진행).

특수상대론의 시간 지연 효과:

\[ v^2 = \frac{gR^2}{R+H} = \frac{9.8 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.37 \times 10^6 + 2.02 \times 10^7} \]
\[ = \frac{9.8 \times 4.058 \times 10^{13}}{2.657 \times 10^7} = \frac{3.977 \times 10^{14}}{2.657 \times 10^7} = 1.497 \times 10^7\;\text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ \frac{\Delta\tau_{\text{SR}}}{\Delta t} = -\frac{v^2}{2c^2} = -\frac{1.497 \times 10^7}{2 \times 9.0 \times 10^{16}} = -\frac{1.497 \times 10^7}{1.8 \times 10^{17}} = -8.3 \times 10^{-11} \]

(검산: \(v = \sqrt{1.497 \times 10^7} \approx 3.87 \times 10^3\;\text{m/s} \approx 3.9\;\text{km/s}\). GPS 위성의 궤도 속력으로 타당. ✓)

하루당 시간 차이: \(-8.3 \times 10^{-11} \times 86{,}400\;\text{s} \approx -7.2\;\mu\text{s}\) (위성의 시계가 느리게 진행).

비교:

효과 \(\Delta\tau/\Delta t\) 하루당 시간 차이
중력 적색편이 \(+5.3 \times 10^{-10}\) \(\approx +45.5\;\mu\text{s}\) (빠르게 진행)
특수상대론의 시간 지연 \(-8.3 \times 10^{-11}\) \(\approx -7.2\;\mu\text{s}\) (느리게 진행)
합계 \(+4.4 \times 10^{-10}\) \(\approx +38.3\;\mu\text{s}\) (빠르게 진행)

(주: \(H \ll R\)의 근사 \(\Delta\Phi \approx gH\)를 사용하면 중력 효과는 \(+190\;\mu\text{s}/\text{day}\)로 과대평가돼요. GPS 위성에서는 \(H \approx 3.2R\)이므로, 정확한 퍼텐셜 차이 \(\Delta\Phi = gRH/(R+H)\)를 사용해야 해요.)

결론: 중력 적색편이 효과가 지배적이며, GPS 위성의 시계는 지상의 시계에 대해 빠르게 진행해요. 이 보정을 하지 않으면, 광속 \(c\)로 전파하는 신호의 위치 결정 정밀도에 큰 오차가 축적돼요. GPS가 정상적으로 기능하기 위해서는, 일반상대론(중력 적색편이)과 특수상대론(시간 지연) 양쪽의 효과를 고려한 시계 보정이 필수적이에요.

검산: - 중력 효과와 속도 효과의 부호가 반대인 것은 물리적으로 올바르며 (높은 곳의 시계는 빠르게 진행하고, 움직이는 시계는 느리게 진행해요). - 합계 효과가 양(위성의 시계가 빠름)인 것은, GPS의 실제 운용에서 위성의 시계를 지상에 맞추기 위해 약간 느리게 설정하여 발사한다는 사실과 부합해요. - \(H = 0\)일 때 중력 효과는 0이 되고, \(v^2 = gR\)이 되어 속도 효과만 남아요. \(v = 0\)일 때 속도 효과는 0이고 중력 효과만 남아요. 모두 타당한 극한이에요.