제1장 Newton 중력의 성공과 한계¶
지금까지의 이야기:
프롤로그에서는 물리학의 모델은 모두 가설이며, 일반상대론이 GPS, 블랙홀, 중력파, 우주론과 같은 광범위한 현상을 다루는 모델임을 조망했다. 이제부터 이 긴 여정을 한 걸음씩 수식으로 따라가 보자.
이 장의 목표
- Newton의 중력 모델을 「장 이론」으로 정식화하고(만유인력 → 중력 퍼텐셜 → Poisson 방정식), 그 경이적인 성공 사례(해왕성의 발견)를 확인한 뒤, 2가지 한계——수성의 근일점 이동과 중력의 순간 전파——를 명확히 한다
- 나아가 \(GM/(Rc^2)\)라는 무차원량을 사용하여 「언제 Newton 모델로는 불충분해지는가」의 판정 기준을 이해한다
- 마지막으로, Newton 역학의 또 다른 정식화——최소 작용의 원리——를 도입하고, Euler-Lagrange 방정식으로부터 \(F = ma\)를 재도출한다
- 이 틀은 일반상대론 전체를 통해 사용하는 「공통 언어」가 된다
1.1 만유인력의 법칙——출발점 확인¶
🟡 리나: 프롤로그에서 Newton의 만유인력 식과 중력의 4가지 성질(보편성, 차폐 불가, 장거리력, 극도로 약함)을 봤었지. 오늘은 그 식을 출발점으로 해서 「장 이론」의 언어로 다시 써볼 거야. 먼저 식만 확인해 두자.
\(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}\)는 만유인력 상수야. 프롤로그에서 봤듯이, 양성자 2개 사이에서 중력과 전자기력의 비를 구하면 \(\sim 10^{-36}\)이라는 어마어마하게 작은 값이 나와. 그런데도 중력이 우주를 지배하는 건, 차폐할 수 없고, 항상 인력이며, 어디까지나 도달하기 때문이었어.
🔵 카이: 전 장에서 들은 이야기네요. 오늘은 여기서 더 나아가는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 이 식을 「장 이론」으로 다시 쓰면, Newton 모델의 한계가 수식 수준에서 명확하게 보이게 돼.
✅ 이해도 체크: 만유인력 상수 \(G\)의 SI 단위에서의 값의 자릿수(오더)는?
답
\(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}\)（\(10^{-11}\) 오더）.
📝 연습문제:
- 지표면의 중력가속도 계산 → 문제 B-1. 지표에서의 중력가속도 계산
1.2 중력장과 중력 퍼텐셜——Newton 중력을 「장 이론」으로 다시 쓰기¶
🟡 리나: Newton의 만유인력은 「두 물체가 직접 끌어당긴다」는 원격 작용의 형태로 쓰여 있었지. 이것을 「장」을 매개로 한 근접 작용의 형태로 다시 써볼 거야. 3단계로 진행할게.
단계 1: 원격 작용에서 근접 작용으로——중력장의 도입¶
🟡 리나: 식 (1.1)은 「두 물체가 거리를 두고 직접 힘을 미친다」는 표현——원격 작용 (action at a distance)이야. 하지만 힘이 순간적으로 전달되는 문제를 해결하려면, 힘이 공간을 전파해 나가는 메커니즘이 필요하지. 그래서 장 (field)의 개념을 도입해.
🔵 카이: 「장」이 뭔가요?
🟡 리나: 공간의 각 점에 어떤 물리량이 할당되어 있는 상태를 말해. 일기예보의 기온 분포도를 떠올려 봐. 지도의 각 지점에 온도라는 수치가 할당되어 있잖아? 그게 「온도장」이야. 마찬가지로, 공간의 각 점에 중력의 세기를 나타내는 벡터가 할당되어 있으면, 그것이 「중력장」이야.
🟡 리나: 여기서부터 수식에 벡터가 등장하는데, 하나 표기법을 약속해 둘게. 고등학교에서는 화살표 \(\vec{r}\)로 벡터를 나타냈을 텐데, 대학 이후의 물리에서는 굵은 글씨 \(\mathbf{r}\)로 나타내는 것이 표준이야. 첨자가 많이 붙는 식에서는 화살표가 읽기 어려워지기 때문에, 인쇄에서는 굵은 글씨를 쓰는 관례야.
🔵 카이: \(\mathbf{r}\)과 \(r\)은 다른 건가요?
🟡 리나: \(\mathbf{r}\)은 위치 벡터(방향과 크기를 가짐), \(r = |\mathbf{r}|\)은 그 크기(스칼라, 단순한 수치). 굵은 글씨인지 아닌지로 구별하니까 주의해.
그러면, 원점에 질량 \(M\)이 있을 때, 위치 \(\mathbf{r}\)에 있는 질량 \(m\)이 받는 힘은
여기서 \(\hat{\mathbf{r}}\)(「\(\mathbf{r}\) 햇」이라고 읽어)은 원점에서 \(\mathbf{r}\) 방향을 향하는 단위벡터 (unit vector)——크기가 1인 벡터야. 햇 기호 \(\hat{}\)는 「단위벡터」를 나타내는 관례로, 앞으로도 계속 사용해. 마이너스 부호가 붙어 있는 건, 힘이 \(\hat{\mathbf{r}}\)과 반대 방향(중심을 향하는 방향 = 인력)이기 때문이야. 고등학교에서는 힘의 크기 \(F = GMm/r^2\)만 다뤘을 수 있지만, 대학 물리에서는 벡터로 정식화하는 것이 기본이야. 「단위벡터 × 스칼라량」이라는 표현은 앞으로 계속 나오니까 익숙해져. 괄호 안을 \(\mathbf{g}\)라고 이름 붙이면
🔵 카이: 식 (1.4)를 보면, \(\mathbf{g}\) 안에 \(m\)이 들어 있지 않아요…… 즉 시험 질량을 놓기 전부터 장이 존재한다는 뜻인가요?
🟡 리나: 맞아. 식 (1.4)를 봐. 식 (1.2)에서 \(m\)을 묶어낼 수 있었으니, \(\mathbf{g}\)의 정의에 \(m\)이 남지 않아——즉 \(\mathbf{g}\)는 시험 질량 \(m\)을 놓기 전부터 공간의 각 점에 존재하는 양이야. 질량 \(M\)이 공간에 만드는 「장」 그 자체로, 장은 물체의 유무와 관계없이 공간의 성질로서 존재해. 그림 1.1「중심 질량이 만드는 중력장의 벡터장」를 보면, 화살표가 모두 중심을 향하고 있고, 중심에 가까울수록 화살표가 긴(힘이 강한) 것을 알 수 있어.
그림 1.1: 중심 질량이 만드는 중력장의 벡터장. 중심 질량 \(M\)이 만드는 중력장 \(\mathbf{g}\)의 벡터장. 화살표는 모두 중심을 향하고 있으며, 거리가 가까울수록 힘이 강하다(색이 진하다).
🟡 리나: 여기서 일어나고 있는 발상의 전환을 말로 표현하면, 「힘의 원인을 공간에 귀속시킨다」는 거야. 이것이 「장의 사고방식」——근접 작용 (local action)의 본질이야. 힘의 전달 방식을 2단계로 나눠. 1단계: 질량 \(M\)이 주위 공간에 중력장 \(\mathbf{g}\)를 만든다. 2단계: 중력장 \(\mathbf{g}\)가 그 장소에 있는 질량 \(m\)에 힘을 가한다. 힘은 「공간을 통해」 전달돼.
⚪ 메이: 즉, 장은 공간의 성질이지 물체의 성질이 아니니까, 「두 물체가 직접 끌어당긴다」는 것이 아니라 「공간이 힘을 매개한다」는 관점으로 바뀐 거네.
🔵 카이: 그런데, 장이 「힘을 전달한다」고 해도, 전달되는 데 시간이 걸리나요? 아니면 순간적으로 도달하나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 그 부분이 Newton 모델의 근본적인 문제점이야——후반부에서 자세히 볼게. 우선 원격 작용과 근접 작용의 대비를 정리해 두자. 원격 작용에서는 두 질량이 아무런 매개 없이 직접 힘을 미쳐. 근접 작용에서는 질량 \(M\)이 먼저 공간에 중력장 \(\mathbf{g}\)를 만들고, 그 장이 질량 \(m\)에 힘을 전달해——2단계 프로세스야. 그림 1.2「원격 작용과 근접 작용의 대비」를 봐.
그림 1.2: 원격 작용과 근접 작용의 대비. 왼쪽: 원격 작용에서는 두 질량이 아무런 매개 없이 직접 힘을 미친다. 오른쪽: 근접 작용에서는 질량 \(M\)이 먼저 공간에 중력장 \(\mathbf{g}\)를 만들고(①), 그 장이 질량 \(m\)에 힘을 전달한다(②).
✅ 이해도 체크: 중력장 \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\)의 정의식을 써 보세요. 이 양이 질량 \(m\)에 의존하지 않는 것은 무엇을 의미할까요?
답
\(\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -GM\hat{\mathbf{r}}/r^2\). 이 양은 시험 질량 \(m\)에 의존하지 않으며, 질량 \(M\)이 공간에 만드는 「장」 그 자체이다. 질량 \(m\)을 놓기 전부터 공간의 각 점에 \(\mathbf{g}\)가 존재한다.
단계 2: 벡터에서 스칼라로——중력 퍼텐셜의 도입¶
🔵 카이: 그런데 벡터장은 각 점에서 3방향의 성분을 가지잖아요? 공간 전체를 관리하려면 힘들 것 같은데……
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 그래서 중력 퍼텐셜 (gravitational potential) \(\Phi(\mathbf{r})\)이라는 스칼라장을 도입해. 공간의 각 점 \(\mathbf{r}\)에 단 하나의 수치 \(\Phi(\mathbf{r})\)가 할당될 뿐이니까, 벡터장보다 다루기 쉬워. 하고 싶은 것은, 「마이너스의 기울기(경사)를 취하면 중력장 \(\mathbf{g}\)가 나오는 스칼라 함수 \(\Phi\)를 찾는 것」——즉 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)가 되는 \(\Phi\)를 찾는 거야.
🔵 카이: \(\nabla\)가 뭔가요?
🟡 리나: \(\nabla\)(나블라)는 「기울기를 구하는」 연산을 나타내는 기호로, 정식 정의는 이 절의 후반에서 설명할 테니, 지금은 「\(\Phi\)의 기울기를 계산하는 연산」이라고만 생각해 둬. \(\nabla\Phi\)라는 기호가 나와도 겁먹지 마——구대칭인 경우에는 고등학교 미분 \(d\Phi/dr\)만으로 모두 계산할 수 있으니까, \(\nabla\)의 정식 정의를 몰라도 지금부터의 계산은 전부 따라갈 수 있어. 마이너스를 붙이는 관례는, 「물체가 퍼텐셜이 낮은 쪽으로 끌려간다」는 것을 자연스럽게 표현하기 위해서야(언덕에서 공이 낮은 쪽으로 굴러가는 이미지). 이미 알고 있는 \(\mathbf{g}\)로부터 역산해서 \(\Phi\)를 구할 거야. 원점에 질량 \(M\)이 있을 때, 구대칭성——즉 「어느 방향에서 봐도 같다」는 성질——에 의해 \(\Phi\)는 \(r\)만의 함수가 돼. 질량 \(M\)이 원점에 덩그러니 하나 있을 뿐이니까, 북쪽을 향해도 동쪽을 향해도 상황은 같아——\(x, y, z\) 방향의 구별이 없어. 구별이 없다면 \(\Phi\)의 값도 방향에 따라 바뀔 수 없고, 중심에서의 거리 \(r\)만으로 값이 결정돼야 해. 지금은 \(\nabla\)의 정식 정의를 기다리지 않고, 직관만으로 \(\Phi\)를 구해 볼게. \(\Phi\)가 \(r\)만의 함수라면, \(\Phi\)가 변하는 것은 \(r\) 방향뿐이야. 그러니까 「\(\Phi\)의 공간적 기울기」는 \(r\) 방향(\(\hat{\mathbf{r}}\) 방향)만을 향하고, 그 크기는 고등학교에서 배운 보통의 미분 \(d\Phi/dr\)로 계산할 수 있어. 즉 지금의 특수한 경우, 「\(\Phi\)의 기울기」= 「\(r\) 방향으로 \((d\Phi/dr)\)의 크기를 가지는 벡터」라고 생각하면 돼. \(\nabla\)의 일반적인 정의는 이 뒤에서 주지만, 지금은 1변수 미분만으로 충분해. 식 (1.3)에서, 중력장의 지름 방향 성분——\(\hat{\mathbf{r}}\) 방향의 성분——은 \(g_r = -GM/r^2\)(음수인 건 중심 방향이니까). 한편, \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)를 지름 방향만으로 쓰면 \(g_r = -d\Phi/dr\). 이 둘을 같다고 놓으면 \(-d\Phi/dr = -GM/r^2\), 즉 \(d\Phi/dr = GM/r^2\). 이것을 \(r\)로 적분하면 돼.
⚪ 메이: 즉, 미지의 \(\Phi\)를 구하는 문제가 고등학교에서 배운 적분 계산으로 귀착된 거네.
🟡 리나: 맞아. 고등학교 수학에서 \(\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)\)(\(n \neq -1\))이라고 배웠지. 변수가 \(r\)이어도 같은 공식을 쓸 수 있어. 지금 \(1/r^2 = r^{-2}\)이니까 \(n = -2\)를 대입하면 \(\int r^{-2}\,dr = \frac{r^{-2+1}}{-2+1} = \frac{r^{-1}}{-1} = -\frac{1}{r}\). 이것을 사용하면
여기서 \(GM\)은 \(r\)에 의존하지 않는 상수이므로 적분 밖으로 꺼낼 수 있어(고등학교에서 \(\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx\)라고 배운 것과 같아). \(C\)는 적분 상수——부정적분에는 「상수분의 불확정성」이 있으니까, 물리적 조건으로 결정해야 해. 무한히 먼 곳에서 \(\Phi \to 0\)이라는 경계 조건——「무한히 먼 곳을 기준(영)으로 삼는다」는 약속——을 부과하면, \(r \to \infty\)에서 \(-GM/r \to 0\)이니까 \(C = 0\)이 정해지고,
를 얻을 수 있어.
🔵 카이: 오, \(-1/r\) 형태가 되는군요. 무한히 먼 곳에서 0이고, 중심에 가까울수록 마이너스로 깊어지네요.
🟡 리나: 그림 1.3「중력 퍼텐셜의 3D 표면」를 보면, 중심에 가까울수록 퍼텐셜이 깊어지는 「우물」 형태를 하고 있는 것을 알 수 있어.
그림 1.3: 중력 퍼텐셜의 3D 표면. 중력 퍼텐셜 \(\Phi = -GM/r\)의 3D 표면. 중심의 질량에 가까울수록 퍼텐셜이 깊어지는 「우물」 형태를 하고 있다.
🟡 리나: 이제 다음으로, \(\Phi\)에서 \(\mathbf{g}\)를 꺼내는 연산을 정식으로 정의해 두자. 아까는 \(\mathbf{g}\)에서 역산해서 \(\Phi\)를 구했지만, 본래의 흐름은 「\(\Phi\)가 주어지면, 그 기울기를 계산해서 \(\mathbf{g}\)를 얻는다」는 방향이야. 수학적으로는 기울기 (gradient (그래디언트))라는 연산으로, 기호 \(\nabla\)(나블라)를 써서 표현해. 직교좌표 \((x, y, z)\)에서는
즉, \(x\) 방향의 기울기, \(y\) 방향의 기울기, \(z\) 방향의 기울기를 3개 나란히 놓아 하나의 벡터로 만든 거야. 여기서 \(\partial\)(「파셜」이라고 읽어. 일본 물리에서는 「라운드」라고도 불러)는 편미분의 기호야. \(\partial\Phi/\partial x\)는 「\(y\)와 \(z\)를 고정한 채 \(x\)만 조금 변경했을 때 \(\Phi\)가 얼마나 변하는가」를 나타내. 예를 들어 \(\Phi = x^2 + 3y\)이면, \(\partial\Phi/\partial x = 2x\)(\(y\)는 상수 취급), \(\partial\Phi/\partial y = 3\)(\(x\)는 상수 취급), \(\partial\Phi/\partial z = 0\)(\(\Phi\)에 \(z\)가 포함되어 있지 않으므로). 고등학교 미분과 같은 계산으로, 「다른 변수를 상수라고 생각하고 미분하는」 것뿐이야. 즉 \(\nabla\Phi\)는, \(\Phi\)가 가장 급격히 증가하는 방향과 그 기울기의 크기를 알려주는 벡터야.
⚪ 메이: 즉, \(\nabla\Phi\)는 「\(\Phi\)가 가장 급격히 증가하는 방향과 기울기의 크기」를 하나의 벡터로 정리한 것——산의 등고선 지도에서 「가장 가파른 비탈의 방향을 나타내는 화살표」 같은 거네.
🟡 리나: 맞아. 중력장은 퍼텐셜의 기울기에 마이너스를 붙인 것:
아까 말했듯이, 마이너스가 붙는 건 물체가 퍼텐셜이 낮은 방향으로 끌려가기 때문이야——기울기 \(\nabla\Phi\)는 「오르막 방향」을 향하지만, 중력은 「내리막 방향」으로 끌어당기므로 마이너스가 필요해.
🔵 카이: \(\Phi\)가 「중력적인 높이」이고, 그 기울기가 힘을 만든다는 거군요.
🟡 리나: 그림 1.4「중력 퍼텐셜의 등고선과 기울기」를 보면, 등고선(같은 \(\Phi\) 값을 잇는 선)에 대해 화살표가 수직으로, 퍼텐셜이 낮아지는 방향을 향하고 있는 것을 알 수 있어.
그림 1.4: 중력 퍼텐셜의 등고선과 기울기. 같은 퍼텐셜 \(\Phi = -GM/r\)을 위에서 본 등고선도(색)와 중력장 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)의 방향(화살표). 화살표는 퍼텐셜이 낮아지는 방향, 즉 질량에 이끌리는 방향을 향하고 있다.
✅ 이해도 체크: 「원격 작용」과 「근접 작용」의 차이를 중력장의 개념을 사용하여 설명해 보세요.
답
원격 작용: 두 물체가 거리를 두고 직접 힘을 미친다. 근접 작용: 질량 \(M\)이 먼저 주위 공간에 중력장 \(\mathbf{g}\)를 만들고, 그 장이 질량 \(m\)에 힘을 가한다. 힘은 「공간을 통해」 전달된다.
✅ 이해도 체크: 중력 퍼텐셜 \(\Phi = -GM/r\)에서, \(r \to \infty\)일 때 \(\Phi \to 0\)이 된다. 이것은 무엇을 의미할까요?
답
무한히 먼 곳을 기준점(퍼텐셜 영)으로 선택하고 있다. 질량 \(M\)에 가까워질수록 퍼텐셜은 음으로 깊어지며, 중력에 속박되어 있음을 나타낸다.
📝 연습문제:
- 중력 퍼텐셜의 기울기 → 문제 B-2. 중력 퍼텐셜의 \(x\) 성분의 미분, 문제 B-3. 중력장의 벡터 표현, 중첩의 원리 → 문제 B-4. 2개의 점질량에 의한 중첩, 편미분 계산 연습 → 문제 B-8. 편미분의 기초 계산, 문제 B-9. 기울기 벡터와 등온선, 2차원 퍼텐셜의 기울기 → 문제 B-3. 2차원 포텐셜의 기울기
단계 3: 질점에서 분포로——Poisson 방정식¶
🟡 리나: 여기까지로, 「퍼텐셜 \(\Phi\)만 알면 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)로 중력장이 결정된다」는 것을 알았어. 다음 질문은, \(\Phi\)는 어떻게 결정되는가?야. 식 (1.5)는 「원점에 질량 \(M\)의 질점이 있다」는 특수한 경우의 결과였어. 하지만 현실의 별은 크기가 있고, 질량은 공간에 퍼져 있어. 그래서 「질량 밀도」\(\rho(\mathbf{r})\)(로)——단위 부피당 질량——을 도입해.
🔵 카이: 질량이 공간 여기저기에 흩어져 있는 경우에도 퍼텐셜을 구할 수 있나요?
🟡 리나: 그래. 여기서 하나 물음을 세울게. 「어떤 영역에 질량이 얼마나 포함되어 있는지」를, 퍼텐셜이나 중력장의 정보만으로 아는 방법은 없을까?
🔵 카이: 중력장이 강하면 안에 질량이 많이 있다고는 할 수 있을 것 같은데…… 정량적으로는 어떻게 하면?
🟡 리나: 좋은 감각이야. 사실 만유인력의 역제곱 법칙으로부터 이런 성질을 이끌어낼 수 있어. 먼저 직관적인 설명을 하고 나서 수식으로 갈게. 여기서 Poisson 방정식에 도달하기까지 좀 긴 여정이 되니까, 먼저 로드맵을 보여줄게. (1) 먼저 「유속」과 「Gauss의 법칙」을 이해한다 → (2) 다음으로 「발산」과 「발산 정리」로 면의 성질을 각 점의 성질로 번역한다 → (3) 마지막으로 Poisson 방정식을 얻는다. 그럼 (1)부터. 질량 \(M\)을 둘러싸는 임의의 닫힌 곡면——예를 들어 풍선처럼 질량을 완전히 감싸는 면——을 생각해. 그 면의 각 점에서, 중력장이 면을 「관통하는」 세기를 측정하고, 면 전체에 대해 합산해. 이것을 유속 (flux)이라고 불러. 물의 흐름에 비유하면, 호스에서 나오는 물을 그물로 받았을 때 그물을 통과하는 물의 총량이 유속에 대응해. 중력장의 경우는 「면을 관통하는 중력장의 세기의 합계」야.
🔵 카이: 면의 형태를 바꾸면 유속도 변할 것 같은데……
🟡 리나: 그런데 역제곱 법칙 덕분에 변하지 않아. 이렇게 생각해 봐. 물의 흐름 예시로 돌아가면, 호스에서 균일하게 물이 나올 때 「그물을 통과하는 물의 양」은 「물의 유속 × 그물의 면적」으로 계산할 수 있잖아——유속이 빠를수록, 그물이 넓을수록, 통과하는 물은 많아. 중력장의 유속도 같은 발상으로, 「장의 세기 × 면적」으로 계산해. 구면으로 둘러싼 경우, 구면 위의 어느 점에서든 중력장의 크기는 \(GM/r^2\)로 균일하고, 구면의 면적은 \(4\pi r^2\)야. 게다가 구면 위에서는 중력장이 면에 수직이니까, 「장의 세기 × 면적」이 그대로 유속이 되어 \(r^2\)가 상쇄되면서 \(4\pi GM\)이 돼——면의 반지름에 의존하지 않아(부호는 나중에 생각해).
⚪ 메이: 장의 세기가 \(1/r^2\)로 약해지는데, 면적이 \(r^2\)로 커지니까 정확히 상쇄되어 반지름에 무관해지는 거야——역제곱 법칙만의 성질이네.
🟡 리나: 맞아. 면의 형태를 구에서 찌그러뜨려도 합계는 변하지 않아. 왜 그럴까? 먼저 입체각이라는 개념을 설명할게. 2차원에서 「각도」는 두 직선이 벌어지는 정도를 나타내지만, 3차원에서는 「방향의 퍼짐」을 나타내는 양이 필요해. 그것이 입체각이야. 예를 들어 팔을 뻗어 엄지를 세웠을 때, 엄지 손톱이 시야에서 차지하는 「방향의 퍼짐」이 입체각의 이미지야——멀리 있는 큰 간판과 가까이 있는 작은 명함이 같은 크기로 보인다면, 둘의 입체각은 같아. 중심에서 볼 때, 면의 어떤 부분이 얼마나 많은 방향을 덮고 있는지를 나타내는 양이야. 단위는 스테라디안(sr)이라고 부르며, 전방향(구 전체)에서 \(4\pi\) sr이 돼——반지름 \(r\)인 구의 표면적은 \(4\pi r^2\)이니까, 전방향의 입체각은 \(4\pi r^2 / r^2 = 4\pi\) sr이지.
자, 닫힌 곡면을 찌그러뜨렸을 때 무슨 일이 일어나는지. 면의 어떤 부분이 중심에 가까워지면, 거기서는 장이 강해져(\(1/r^2\)로 강해짐). 하지만 동시에, 중심에서 봤을 때 그 부분이 덮는 방향의 퍼짐(입체각)은 좁아져. 입체각의 크기는 「면적 ÷ \(r^2\)」로 결정돼. 2차원의 각도가 「호의 길이 ÷ 반지름」(라디안의 정의)이었던 것과 같은 발상이야——3차원에서는 「면적 ÷ 반지름의 제곱」이 돼. 중심에서 거리 \(r\)의 위치에 있고, 중심을 정면으로 향하고 있는(면의 법선이 중심을 향하는) 면적 \(A\)의 작은 조각이 덮는 입체각은 \(\Delta\Omega = A/r^2\). 같은 면적이라도 멀리 있으면 덮는 방향은 좁고, 가까이 있으면 넓어. 면이 기울어져 있는 경우——법선이 중심 방향에서 벗어난 경우——는 「중심에서 본 겉보기 면적」이 작아져(정면에서 본 간판과 비스듬히 본 간판의 차이를 상상해 봐). 입체각 \(\Delta\Omega\)은 「겉보기 면적(면에 정대한 성분) ÷ \(r^2\)」로 정의되니까, 면이 기울어져 있으면 같은 실면적이라도 입체각에 대한 기여는 줄어. 면이 중심에 가까워져서 \(r\)이 작아지면, 같은 입체각을 덮는 데 필요한 면적은 \(r^2\)에 비례해서 작아져. 반대로 멀어진 부분에서는 장이 약해지지만, 덮는 방향이 넓어져. 유속은 「장의 세기의 면에 수직인 성분 × 면적」이었지. 면의 어떤 작은 조각에 대해 생각하면, 장의 세기는 \(GM/r^2\)이고, 면에 수직인 성분을 추출하면 면의 기울기 효과가 들어가고, 면적과 합치면 \(GM \times (\text{겉보기 면적})/r^2 = GM\,\Delta\Omega\)이 되어 \(r\)이 사라져——즉 각 작은 조각의 유속 기여는 그 조각이 덮는 입체각 \(\Delta\Omega\)만으로 결정되며, 거리 \(r\)에 의존하지 않아. 닫힌 곡면 전체에서는 전방향 \(4\pi\)를 덮으니까, 합계는 \(4\pi GM\)이 돼(부호를 포함하면 \(-4\pi GM\)). 면의 형태에 의존하지 않아. 그림 1.5「Gauss의 법칙: 닫힌 곡면을 통과하는 유속」를 봐.
그림 1.5: Gauss의 법칙: 닫힌 곡면을 통과하는 유속. 왼쪽: 구면으로 둘러싼 경우. 빨간 화살표가 중력장 \(\mathbf{g}\)(안쪽 방향), 파란 화살표가 면적소 \(d\mathbf{A}\)(바깥쪽 방향). 오른쪽: 찌그러진 닫힌 곡면에서도, 가까운 부분에서는 장이 강하지만 덮는 방향(입체각)이 좁고, 먼 부분에서는 장이 약하지만 덮는 방향이 넓어 유속의 합계는 같은 \(-4\pi GM\)이 된다.
🟡 리나: 이것을 수식으로 써 볼게. 할 일은 3가지——(a) 면의 각 점에서 「중력장이 면을 관통하는 세기」를 측정하는 도구를 정의한다, (b) 그것을 면 전체에 대해 합산하는 기호를 도입한다, (c) 구면에서 실제로 계산한다. 먼저 (a)부터. 반지름 \(r\)의 구면에서 생각하자. 구면을 잘게 타일로 분할하는 이미지야. 각 타일에는 면적과 바깥 방향의 법선 방향이 있어. 타일을 무한히 잘게 한 극한에서, 각 타일의 면적과 법선 방향을 합친 벡터를 면적소 벡터 \(d\mathbf{A}\)라고 써——크기가 미소 면적, 방향이 면의 바깥쪽 법선이야. 고등학교 적분에서 \(\Delta x\)를 무한히 잘게 해서 \(dx\)로 만든 것과 같은 발상이야. 구면의 경우, 법선은 모두 방사 방향(\(\hat{\mathbf{r}}\) 방향)을 향하고 있어.
🔵 카이: 면적소 벡터란, 각 타일의 「면적」과 「어느 쪽을 향하고 있는가」를 하나의 벡터로 합친 건가요?
🟡 리나: 맞아. 크기가 타일의 면적, 방향이 타일의 바깥쪽 법선이야. 다음으로, 각 타일에서 「중력장 중 면에 수직인 성분」을 계산해. 이것은 벡터의 내적(dot product) \(\mathbf{g} \cdot d\mathbf{A}\)로 표현할 수 있어——두 벡터의 「같은 방향의 성분」을 곱하는 연산이야. 고등학교에서 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)라고 배웠을 수 있는데, 같은 거야. 구면 위에서는 \(\mathbf{g}\)와 \(d\mathbf{A}\)가 반대 방향(중력장은 안쪽 방향, 면적소는 바깥쪽 방향)이니까, \(\cos\theta = \cos 180° = -1\)이 되어 내적은 \(-|\mathbf{g}|\,|d\mathbf{A}|\)가 돼.
🔵 카이: 중력장이 면에 「들어오는」 방향인데, 면적소는 「나가는」 방향이니까, 곱하면 음이 되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 내적이 음이라는 것은 「장이 면으로 들어오는 방향」을 의미해——바깥쪽을 양으로 잡고 있으니, 흡수는 음으로 표현돼. 즉 \(\mathbf{g} \cdot d\mathbf{A}\)는 「중력장의 면에 수직인 성분 × 미소 면적」을 의미하며, 지금의 경우는 음의 값이 돼.
⚪ 메이: 그렇구나, 부호의 양음으로 「솟아남」인지 「흡수」인지가 구분되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 마지막으로, 기호 \(\oint\)는 「닫힌 면의 모든 타일에 대해 합산한다」는 적분——고등학교의 \(\int\)가 「선을 따라 더하기」라면, \(\oint\)는 「닫힌 면의 전 타일에 대해 더하기」라고 생각하면 돼. 구면에서 구체적으로 계산해 보자. 구면 위의 전 타일 면적을 합하면 구의 표면적 \(4\pi r^2\). 각 타일에서의 \(\mathbf{g} \cdot d\mathbf{A}\)는 \(-|\mathbf{g}| \times (\text{타일의 면적})= -(GM/r^2) \times (\text{타일의 면적})\). 전 타일을 합하면:
\(r^2\)가 분모와 분자에서 상쇄되어 구면의 반지름에 의존하지 않는 결과가 나왔어.
🔵 카이: 오, 정말로 \(r\)이 사라졌어요! 구를 어떤 크기로 해도 같은 값이 되는 거군요.
🟡 리나: 이것을 Gauss(가우스)의 법칙(중력 버전)이라고 불러. 우변의 마이너스는, 중력장이 안쪽 방향(중심을 향함)인데 면적소 \(d\mathbf{A}\)가 바깥쪽을 양으로 잡기 때문이야. 면의 형태나 크기에 관계없이, 안에 있는 질량만으로 결정된다는 강력한 결과야.
🔵 카이: 면의 형태에 관계없이? 구든 정육면체든?
🟡 리나: 맞아. 다음 단계는 Gauss의 법칙을 「면 전체의 합계」에서 「각 점에서의 성질」로 번역하는 거야. 그를 위한 수학적 도구가 발산 정리 (divergence theorem)야.
🟡 리나: 주장을 먼저 말할게——「닫힌 곡면을 통과하는 유속의 합계 = 내부의 각 점에서의 솟아남을 체적으로 합산한 것」. 직관적으로는, 닫힌 곡면의 내부를 잘게 작은 상자들로 분할해서 생각해. 이웃한 상자의 공유면에서는, 한쪽 상자에서 「나가는」 유속과 다른 쪽 상자에 「들어오는」 유속이 상쇄돼. 상쇄되지 않고 남는 것은 가장 바깥쪽 면——즉 원래의 닫힌 곡면——을 통과하는 유속뿐이야. 따라서 「모든 작은 상자의 솟아남의 합계」=「바깥쪽 면을 통과하는 유속의 합계」가 돼. 이 「이웃한 상자에서 상쇄된다」는 이미지는 그림 1.6「발산의 직관적 이미지. 왼쪽: 솟아남(양의 발산)」의 왼쪽 그림을 작은 상자가 많이 늘어선 상태로 상상해 봐. 엄밀한 증명은 문제 M-1. Gauss 법칙으로부터 Poisson 방정식의 도출에서 확인해. 먼저 「각 점에서의 솟아남」의 의미를 설명하고 나서 수식으로 갈게.
🔵 카이: 「각 점에서의 솟아남」이 뭔가요?
🟡 리나: 이렇게 생각해. 어떤 점 주위에 아주 작은 상자를 상상해. 그 상자의 표면을 통해 나가는 유속이 양이면, 그 점은 「솟아남」——수도꼭지처럼 장이 생겨나는 장소야. 반대로 유속이 상자로 들어오면 「흡수」. 중력의 경우, 질량이 있는 곳에서는 중력장이 사방에서 흡수되니까, 솟아남은 음이 돼. 그림 1.6「발산의 직관적 이미지. 왼쪽: 솟아남(양의 발산)」를 봐.
그림 1.6: 발산의 직관적 이미지. 왼쪽: 솟아남(양의 발산)——수도꼭지처럼 흐름이 상자에서 나간다. 오른쪽: 흡수(음의 발산)——중력의 경우, 질량 \(M\)을 향해 장이 흡수된다.
🟡 리나: 이 「각 점에서의 솟아남의 세기」를 수식으로 표현한 것이 \(\nabla \cdot \mathbf{g}\)(나블라 도트 지)——중력장의 발산이라고 불리는 스칼라량이야. 직교좌표에서는
즉, 중력장의 각 성분이 각 방향으로 얼마나 변하는지를 합산한 것이야. 기울기 \(\nabla\Phi\)가 스칼라에서 벡터를 만드는 연산이었던 반면, 발산 \(\nabla \cdot \mathbf{g}\)는 벡터에서 스칼라를 만드는 연산이야. 발산 정리는 「닫힌 곡면을 통과하는 유속의 합계 = 내부의 각 점에서의 솟아남을 체적으로 합산한 것」이라고 말하고 있어. 수식으로 쓰면:
좌변의 「면 전체의 유속」이, 우변의 「내부의 각 점의 솟아남을 전부 합한 것」과 같다는 거야.
🔵 카이: 즉, 면을 통과하는 합계를 「내부 각 점의 기여의 합계」로 바꿔 쓸 수 있다는 거군요.
🟡 리나: 맞아. Gauss의 법칙 우변 \(-4\pi GM\)에서, \(M\)은 닫힌 곡면 내의 전체 질량이니까 \(M = \int \rho\, dV\)(밀도를 체적으로 적분한 것)라고 쓸 수 있어. 여기서 \(\int \rho\, dV\)는 「영역 내의 각 점에서 밀도 \(\rho\)에 미소 체적 \(dV\)를 곱해서 전부 합산하는」 연산——고등학교의 \(\int f(x)\,dx\)가 「선을 따라 더하기」라면, \(\int \rho\, dV\)는 「체적 전체에서 더하기」라고 생각하면 돼. 즉 우변은 \(-4\pi G \int \rho\, dV\). 좌변에 발산 정리를 적용하면 \(\int_V (\nabla \cdot \mathbf{g})\, dV = -4\pi G \int_V \rho\, dV\). 이 등식이 어떤 영역 \(V\)를 선택해도 성립하니까——만약 피적분함수가 어떤 점에서 같지 않다고 하자. 예를 들어 \(\nabla \cdot \mathbf{g} > -4\pi G\rho\)가 되는 점이 있다면, 그 점을 포함하는 아주 작은 영역 \(V\)를 선택하면 좌변이 우변보다 커져서 등식이 깨져 버려. 따라서 피적분함수끼리가 모든 점에서 같아야 해(이 논법은 뒤의 Euler-Lagrange 방정식 도출에서도 사용해):
⚪ 메이: 「면 전체의 관계」에서 「각 점에서의 관계」로 번역되었어——매우 강한 결론이 나왔네.
🟡 리나: 마이너스가 붙어 있는 건, 중력장이 질량을 향해 「흡수되는」 방향이기 때문이야. 여기에 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)를 대입하면 \(\nabla \cdot (-\nabla\Phi) = -4\pi G\rho\), 즉 \(-\nabla^2\Phi = -4\pi G\rho\). 양변에 \(-1\)을 곱해 부호를 반전시키면, Poisson(푸아송) 방정식을 얻을 수 있어:
발산 정리 자체의 증명은 문제 M-1. Gauss 법칙으로부터 Poisson 방정식의 도출에서 확인해.
🔵 카이: 이 식의 \(4\pi\)는 뭔가요? 왜 원주율이 나오는 건가요?
🟡 리나: \(4\pi\)는 Gauss의 법칙에서 온 거야. 아까의 식 \(\oint \mathbf{g} \cdot d\mathbf{A} = -4\pi GM\)을 봐. 점질량 \(M\)을 반지름 \(r\)의 구면으로 둘러쌌을 때, 구의 표면적은 \(4\pi r^2\). 중력장의 크기는 \(GM/r^2\)이고, 방향은 중심 방향(안쪽). 한편 면적소 \(d\mathbf{A}\)는 바깥쪽을 양의 방향으로 잡으니까, \(\mathbf{g}\)와 \(d\mathbf{A}\)는 반대 방향——내적은 마이너스야. 유속은 \(-(GM/r^2) \times 4\pi r^2 = -4\pi GM\)이 되어, 우변의 부호와 딱 맞아. 즉 \(4\pi\)는 구의 표면적에서 유래하는 기하학적 인자야. 역제곱 법칙과 3차원 공간의 구대칭성이 결합되어 자연스럽게 나타나는 숫자야.
🔵 카이: \(\nabla^2\)는 뭔가요?
🟡 리나: Laplacian(라플라시안)이라고 불리는 연산자로, 직교좌표 \((x, y, z)\)에서는
\(\Phi\)를 각 방향으로 2번 미분해서 합한 거야. 아까의 기울기 \(\nabla\Phi\)는 벡터(방향과 크기를 가짐)였지만, \(\nabla^2\Phi\)는 스칼라(단순한 수치)야. 고등학교에서 \(f''(x) > 0\)이면 「그래프가 아래로 볼록」이라고 배웠지. 아래로 볼록이라는 것은, 그 점의 값 \(f(x)\)가 좌우 이웃의 평균값보다 작다는 것——즉 「주위보다 움푹 들어가 있다」는 거야. 반대로 \(f''(x) < 0\)이면 위로 볼록이고, 그 점은 주위보다 높아. \(\nabla^2\Phi\)는 이 「주위의 평균값에서 얼마나 벗어나 있는가」를 3차원으로 확장한 거야. 정확히 말하면, \(\nabla^2\Phi(P)\)는 「주위의 평균값 − 중심의 값 \(\Phi(P)\)」에 비례하는 양으로, 양이면 중심이 주위보다 움푹 들어가 있음(낮음)을 의미해. 그림 1.7「Laplacian의 직관적 의미」을 봐.
그림 1.7: Laplacian의 직관적 의미. 왼쪽: 1차원의 경우. \(f''(x_0) > 0\)(아래로 볼록)이면 중심의 값 \(f(x_0)\)은 양쪽 이웃의 평균보다 낮다. 오른쪽: 3차원으로의 확장. Laplacian \(\nabla^2\Phi(P)\)는 「주위 점들의 평균값 − 중심의 값 \(\Phi(P)\)」에 비례한다(양이면 중심이 움푹 들어가 있다).
🟡 리나: 여기서, 지금까지 나온 3가지 미분 연산을 표로 정리해 둘게.
표 1.1: 벡터 해석의 3가지 미분 연산
| 연산 | 기호 | 입력 → 출력 | 물리적 의미 |
|---|---|---|---|
| 기울기 | \(\nabla\Phi\) | 스칼라 → 벡터 | 가장 급격한 증가 방향과 기울기 |
| 발산 | \(\nabla\cdot\mathbf{g}\) | 벡터 → 스칼라 | 각 점에서의 솟아남/흡수의 세기 |
| Laplacian | \(\nabla^2\Phi\) | 스칼라 → 스칼라 | 주위 평균으로부터의 벗어남 |
⚪ 메이: 입력과 출력의 타입이 전부 다르네. 기울기는 스칼라에서 벡터를 만들고, 발산은 벡터에서 스칼라로 되돌려. 그러면 이 둘을 연속으로 적용하면 「스칼라 → 벡터 → 스칼라」로 원래 타입으로 돌아갈 텐데…… 그것이 3번째 줄의 Laplacian?
🟡 리나: 맞아. 그리고 여기서 알아줬으면 하는 건, 표의 1번째 줄과 2번째 줄을 연속으로 적용하면 스칼라 → 벡터 → 스칼라가 되잖아. 사실 \(\nabla^2\Phi = \nabla \cdot (\nabla\Phi)\)——즉 Laplacian은 「기울기를 구한 다음 발산을 구하는」 2단계의 합성이야. 스칼라 → 벡터 → 스칼라로 2단계 합성이니까, 표의 1번째 줄과 2번째 줄을 조합한 것이 3번째 줄이야. 아까 \(\nabla \cdot \mathbf{g} = -4\pi G\rho\)에 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)를 대입해서 \(\nabla^2\Phi\)가 나온 것은 바로 이 구조야.
🔵 카이: 그렇군요, 3가지 연산이 따로따로인 것 같았는데 사실 Laplacian은 처음 둘의 합체였군요.
🟡 리나: 즉 식 (1.7)은, 「물질이 존재하는 곳(\(\rho \neq 0\))에서는 \(\nabla^2\Phi > 0\)——아까의 직관으로 말하면, 퍼텐셜의 값이 주위 평균보다 낮다(움푹 들어가 있다). 물질이 많을수록 깊게 움푹 들어간다」는 것이야. 질량이 있는 곳에서 퍼텐셜이 깊은 우물이 된다는 그림 1.3「중력 퍼텐셜의 3D 표면」의 이미지와 일치하지.
⚪ 메이: 좌변이 퍼텐셜의 휨 정도, 우변이 물질의 양. 그러니까 「물질이 중력장의 원천이 된다」는 관계가 이 1개의 식에 응축되어 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 식 (1.7)은 미분방정식이니까, 질량 분포 \(\rho(\mathbf{r})\)를 우변에 넣고 이 방정식을 풀면 퍼텐셜 \(\Phi(\mathbf{r})\)를 구할 수 있고, 거기서 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)로 중력장도 결정돼.
여기서 하나, 편리한 도구를 소개할게. 「질량이 한 점에 집중되어 있다」는 것을 밀도 \(\rho(\mathbf{r})\)로 어떻게 표현할까? 원점 이외에서는 \(\rho = 0\)이고, 원점에서는 밀도가 무한대이지만, 전 공간에서 적분하면 질량 \(M\)이 되는——그런 「궁극적으로 뾰족한」 함수를 Dirac(디랙)의 델타 함수 \(\delta^3(\mathbf{r})\)라고 불러. 위첨자 3은 「3차원 버전」이라는 뜻——\(x, y, z\)의 3방향 모두에서 뾰족하다는 거야.
🔵 카이: 원점 이외에서는 0이고, 원점에서만 무한대…… 그런 함수가 있나요?
🟡 리나: 그림 1.8「Dirac 델타 함수의 가우스 극한」를 봐. 보통의 함수로는 존재하지 않지만, 「적분하면 1이 되는, 무한히 날카로운 피크」로 수학적으로 정의할 수 있어. 정의를 2가지 성질로 쓰면:
- \(\mathbf{r} \neq 0\)에서는 \(\delta^3(\mathbf{r}) = 0\)
- 전 공간에서 적분하면 \(\int \delta^3(\mathbf{r})\, d^3r = 1\)
즉 「원점 이외에서는 0이지만, 전 공간에서 합산하면 정확히 1이 되는」, 극한적인 대상이야.
그림 1.8: Dirac 델타 함수의 가우스 극한. Dirac의 델타 함수의 이미지. 가우스 함수의 폭 \(\sigma\)를 줄여 나가면, 높이는 무한대로, 폭은 0에 가까워지지만, 면적(적분값)은 항상 1 그대로이다. \(\sigma \to 0\)의 극한이 델타 함수.
🟡 리나: 질점의 질량 밀도는 \(\rho(\mathbf{r}) = M\,\delta^3(\mathbf{r})\)로 쓸 수 있어. 원점 이외(\(r \neq 0\))에서는 \(\rho = 0\)이니까, 원점 이외의 영역에서는 Poisson 방정식은 \(\nabla^2\Phi = 0\)이 돼(이것을 Laplace 방정식이라고 불러).
⚪ 메이: 질량이 없는 곳에서는 퍼텐셜의 Laplacian이 0——「주위의 평균값과 중심의 값이 일치한다」는 거네.
🟡 리나: 단계 2와 마찬가지로 구대칭성에서 \(\Phi\)는 \(r\)만의 함수가 돼. 이 조건에서 \(\nabla^2\Phi = 0\)을 풀면, 해는 \(\Phi = A/r + B\) 형태밖에 없다는 것을 보일 수 있어. 왜 그런지 조금만 설명할게. 직교좌표의 Laplacian \(\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}\)를 구좌표 \((r, \theta, \phi)\)로 변환할 수 있어. 구좌표란, 공간의 점을 「중심에서의 거리 \(r\)」 「북극에서의 각도 \(\theta\)(위도의 여각)」 「동서 방향의 각도 \(\phi\)(경도)」의 3가지로 지정하는 좌표계——지구상의 위치를 위도·경도·고도로 나타내는 것과 같은 발상이야. 구대칭 문제에서는 직교좌표보다 자연스러운 좌표계야. \(\Phi\)가 \(r\)만의 함수일 때, \(\theta\)나 \(\phi\)에 의한 변화는 0이니까, Laplacian은 \(r\) 방향의 기여만 남아서 \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\) 형태가 돼.
🔵 카이: 어? 단순히 \(d^2\Phi/dr^2\)가 아닌 건가요? 왜 \(r^2\)가 관여하나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. Laplacian은 「주위의 평균값으로부터의 벗어남」이었지. 3차원에서는 「주위」가 구면이고, 그 면적은 \(r^2\)에 비례해서 넓어져. 따라서 \(r\)이 큰 곳에서는 「주위」가 더 넓어——이 확장의 효과를 올바르게 반영하기 위해 \(r^2\) 인자가 필요해. 좀 더 구체적으로 말하면, \(\frac{d\Phi}{dr}\)는 「\(r\) 방향의 기울기」로, 중력장의 지름 방향 성분은 \(g_r = -d\Phi/dr\)이었지. 발산(솟아남)을 계산하려면 「구면을 통과하는 유속의 변화율」을 봐야 해. 반지름 \(r\)의 구면 위에서 \(\nabla\Phi\)의 지름 방향 성분은 일정하게 \(d\Phi/dr\)이니까, 여기에 구면의 면적 \(4\pi r^2\)을 곱하면 「구면을 통과하는 \(\nabla\Phi\)의 총량」은 \(4\pi r^2 \frac{d\Phi}{dr}\)가 돼. 구대칭이니까 전방향으로 일정하고, \(4\pi\)는 상수로 끝까지 남아. \(r\) 방향의 변화율을 구하면 \(\frac{d}{dr}\left(4\pi r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right) = 4\pi \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\). 이것을 구각의 체적 \(4\pi r^2\,dr\)로 나눠 「단위 체적당」으로 만들면, \(4\pi\)가 약분되어 \(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\)가 돼. 좌표 변환의 자세한 계산은 문제 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산에서 확인해. 이것을 0으로 놓으면 \(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right) = 0\). \(1/r^2 \neq 0\)이니까 \(\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right) = 0\). 어떤 양의 미분이 0이라는 것은 그 양이 상수라는 것(고등학교에서 「\(f'(x) = 0\)이면 \(f(x) = \text{상수}\)」라고 배운 것과 같아). 따라서 \(r^2 \frac{d\Phi}{dr} = \text{상수}\), 즉 \(\frac{d\Phi}{dr} \propto 1/r^2\). 이것은 단계 2에서 역제곱 법칙으로부터 얻은 \(d\Phi/dr = GM/r^2\)와 같은 형태지. 적분하면 \(\Phi = A/r + B\)가 나와.
🔵 카이: 그렇군요, 구좌표로 변환해서 풀면 Poisson 방정식에서 역제곱 법칙이 나오는군요.
🟡 리나: 무한히 먼 곳에서 \(\Phi \to 0\)(\(B = 0\))과 원점에서의 세기 조건으로부터 \(A = -GM\)이 결정되어, 식 (1.5)의 \(\Phi = -GM/r\)이 재현돼(엄밀한 도출은 문제 B-6. 점질량 외부에서의 Laplace 방정식에서 확인해). 거기서 힘을 계산하면
만유인력의 역제곱 법칙이 제대로 재현돼.
🔵 카이: 오, 질점의 경우 식 (1.1)과 같은 결과가 되는군요. 그런데 식 (1.7)은 질량이 퍼져 있는 경우에도 쓸 수 있으니까, (1.1)의 확장판이라는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 그리고——여기가 나중에 중요해지는데——장의 언어로 다시 써도, Poisson 방정식에는 시간 \(t\)가 전혀 포함되어 있지 않아. 이 구조적 문제는 이 장의 후반에서 자세히 볼 거야.
✅ 이해도 체크: 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)와 중력장 \(\mathbf{g}\)의 관계를 식으로 써 보세요.
답
\(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\). 중력장은 퍼텐셜의 기울기에 마이너스를 붙인 것. 물체는 퍼텐셜이 낮은 방향으로 끌려간다.
✅ 이해도 체크: Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)의 좌변 \(\nabla^2 \Phi\)는 물리적으로 무엇을 나타낼까요?
답
퍼텐셜 \(\Phi\)의 공간적인 「휨 정도」(각 방향의 2계 편미분의 합). 물질이 존재하는 곳(\(\rho \neq 0\))에서는 퍼텐셜에 휨이 생긴다.
✅ 이해도 체크: Gauss의 법칙(중력 버전) \(\oint \mathbf{g} \cdot d\mathbf{A} = -4\pi GM\)에서, 닫힌 곡면의 형태를 바꿔도 우변이 변하지 않는 이유는?
답
역제곱 법칙 \(|\mathbf{g}| \propto 1/r^2\)과 구면의 면적 \(4\pi r^2\)이 상쇄되기 때문에, 면을 통과하는 중력장의 총유속은 면의 형태에 의존하지 않고 안에 포함된 질량만으로 결정된다.
✅ 이해도 체크: Dirac의 델타 함수 \(\delta^3(\mathbf{r})\)의 2가지 성질을 서술하세요.
답
(1) \(\mathbf{r} \neq 0\)에서는 \(\delta^3(\mathbf{r}) = 0\). (2) 전 공간에서 적분하면 \(\int \delta^3(\mathbf{r})\, d^3r = 1\). 질점의 질량 밀도를 \(\rho(\mathbf{r}) = M\,\delta^3(\mathbf{r})\)로 표현하는 데 사용한다.
📝 연습문제:
- Laplacian 계산 → 문제 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산, 문제 B-6. 점질량 외부에서의 Laplace 방정식, 균일 밀도 구 → 문제 B-7. 균일 밀도 구 내부의 포텐셜 상수, Gauss의 법칙에서 Poisson 방정식 도출 → 문제 M-1. Gauss 법칙으로부터 Poisson 방정식의 도출, 균일 밀도 구의 퍼텐셜 → 문제 M-2. 균일 밀도 구의 퍼텐셜 완전해
1.3 성공 사례: 해왕성의 발견¶
🟡 리나: 한계의 이야기로 넘어가기 전에, Newton 모델이 얼마나 강력했는지 확인해 두자. 가장 극적인 사례를 소개할게. 해왕성 (Neptune)의 발견이야.
🔵 카이: 해왕성은 망원경으로 찾은 게 아닌가요?
🟡 리나: 망원경으로 「확인」은 했어. 하지만, 처음 발견한 것은 종이와 펜 위에서야. 1781년에 천왕성 (Uranus)이 발견된 후, 천문학자들은 Newton 모델을 사용해서 천왕성의 궤도를 계산했어. 그런데 관측된 천왕성의 위치가, 계산으로 예측된 위치에서 약간 벗어나 있었어.
🔵 카이: 벗어남이 있으면 어떻게 생각하나요? 모델이 틀린 건지, 아니면 뭔가 빠뜨린 게 있는 건지……
🟡 리나: 좋은 질문이야. 가능성은 2가지. 「Newton 모델이 틀렸다」이거나, 「아직 발견되지 않은 천체가 천왕성을 끌어당기고 있다」이거나. 1846년, 프랑스의 Le Verrier(르 베리에)와 영국의 Adams(애덤스)가 각각 독립적으로, 「미지의 행성이 이 위치에 있으면 천왕성 궤도의 벗어남을 설명할 수 있다」고 계산했어. Le Verrier는 베를린 천문대의 Galle(갈레)에게 편지를 보내, 「이 방향을 망원경으로 봐 달라」고 부탁했어.
🔵 카이: 그래서요?
🟡 리나: Galle가 망원경을 향한 그날 밤, Le Verrier가 예측한 위치의 불과 1° 이내에서 새로운 행성이 발견됐어. 그것이 해왕성이야.
🔵 카이: 대단해요! 계산만으로 행성을 찾아낸 건가요!
🟡 리나: 이것이야말로, 프롤로그에서 이야기한 「수식의 힘」의 실례야. Newton 모델이 정량적인 예측을 내놓고, 그 예측이 관측으로 확인됐어. 반증 가능한 가설이 검증을 견딘 순간이지. Newton 모델의 위력을 보여주는 최고의 성공 사례야.
✅ 이해도 체크: 천왕성 궤도의 벗어남에 대해, Le Verrier는 어떤 가설을 세웠을까요?
답
「Newton 모델이 틀렸다」가 아니라 「아직 발견되지 않은 미지의 행성이 천왕성을 끌어당기고 있다」고 가설을 세우고, 그 행성의 위치를 계산으로 예측했다. 실제로 그 위치에서 해왕성이 발견되었다.
✅ 이해도 체크: 해왕성의 발견이 Newton 모델의 「성공 사례」라고 할 수 있는 이유는?
답
천왕성 궤도의 벗어남으로부터 미지의 행성 위치를 Newton 모델로 계산하고, 그 예측 위치의 불과 1° 이내에서 실제로 해왕성이 발견되었기 때문이다. 수식에 의한 정량적 예측이 관측으로 확인되었다.
1.4 한계①: 수성의 근일점 이동¶
🟡 리나: 하지만, 같은 Le Verrier가 Newton 모델로는 설명할 수 없는 현상도 발견하고 있었어. 수성 (Mercury)의 근일점 이동 (precession of perihelion(프리세션 오브 페리헬리온))이야.
🔵 카이: 근일점 이동이 뭔가요?
🟡 리나: 행성은 태양 주위를 타원 궤도로 돌고 있어. 타원에는 태양에 가장 가까운 점이 있는데, 그것을 근일점 (perihelion)이라고 불러. 만약 태양과 행성뿐이라면, Newton 모델에서는 타원 궤도가 영원히 같은 형태를 반복해. 하지만 실제로는 다른 행성의 중력 영향으로, 타원의 방향——즉 근일점의 위치——이 조금씩 회전해 가. 이것이 근일점 이동이야.
🔵 카이: 다른 행성이 끌어당기는 분은 Newton 모델로 계산할 수 있지 않나요?
🟡 리나: 맞아. Le Verrier는 금성, 목성, 지구 등 모든 알려진 행성의 영향을 Newton 모델로 정밀하게 계산했어. 그런데 계산값과 관측값이 맞지 않았어. 관측된 수성의 근일점 이동은, Newton 모델의 예측보다 100년당 약 43초각 (arcsecond)만큼 컸어.
🔵 카이: 43초각이 어느 정도인가요?
🟡 리나: 1초각은 1도의 3600분의 1이야. 즉 43초각은 약 0.012도. 100년에 이만큼이야. 어마어마하게 작은 벗어남이지.
🔵 카이: 그렇게 작은 벗어남이면 측정 오차 아닌가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 하지만 19세기 천문학자들의 관측 정밀도는 놀라울 정도로 높아서, 이 벗어남은 측정 오차를 훨씬 초과하고 있었어. Le Verrier는 해왕성 때와 같은 전략——「미지의 행성이 있다」——을 시도해서, 수성보다 안쪽에 Vulcan(벌컨)이라는 행성이 있다고 예측했어.
🔵 카이: 해왕성 때처럼 발견되었나요?
🟡 리나: 아니. 수십 년간 찾았지만 Vulcan은 발견되지 않았어. 이것은 Newton 모델의 예측이 관측과 맞지 않는——즉 반증될 뻔한 상태야. 프롤로그의 말로 하면, Newton 모델은 「실험과 모순되지 않는 최선의 가설」이라고 할 수 없게 된 순간이지.
⚪ 메이: 해왕성 때는 「미지의 행성」 가설이 성공했지만, 수성에서는 같은 전략이 실패했어——모델 자체에 문제가 있을 가능성이 나온 거네.
🟡 리나: 그림 1.9「수성의 근일점 이동(과장하여 그림)」을 봐. 타원 궤도의 근일점이 주회마다 조금씩 회전해 가는 모습을 과장해서 그린 거야.
그림 1.9: 수성의 근일점 이동(과장하여 그림). 타원 궤도의 근일점(태양에 가장 가까운 점)이 주회마다 조금씩 회전해 간다. Newton 모델에서는 다른 행성의 영향을 고려해도 100년당 43초각의 벗어남이 남는다.
✅ 이해도 체크: 수성의 근일점 이동 문제에서, Le Verrier가 해왕성 때와 같은 전략을 시도했으나 실패했다. 그 전략은 무엇이었을까요?
답
수성보다 안쪽에 미지의 행성 Vulcan이 존재한다고 가정하고, 그것이 수성 궤도의 벗어남을 설명한다고 예측했다. 하지만 Vulcan은 수십 년간 찾아도 발견되지 않아 이 전략은 실패했다.
🟡 리나: 이 43초각의 벗어남은, 1915년에 Einstein이 일반상대론을 완성했을 때 추가 매개변수 없이 딱 맞게 설명됐어. Einstein 자신도 이 계산 결과를 얻었을 때 「며칠간 흥분으로 정신을 잃을 뻔했다」고 말했어.
✅ 이해도 체크: 수성의 근일점 이동에서 Newton 모델의 예측과 관측이 벗어나는 양은, 100년당 약 몇 초각일까요?
답
약 43초각(arcsecond). 이 벗어남은 1915년에 Einstein의 일반상대론에 의해 추가 매개변수 없이 설명되었다.
📝 연습문제:
- 수성의 근일점 이동 스케일 평가 → 문제 M-3. 수성의 근일점 이동 스케일 평가
1.5 한계②: 중력의 순간 전파——Poisson 방정식의 구조적 문제¶
🟡 리나: 수성의 근일점 이동은 「관측과의 벗어남」이라는 경험적 문제였어. 하지만 Newton 모델에는 더 근본적인——이론의 구조 자체에 숨어 있는 문제가 있어.
🔵 카이: 구조의 문제요?
🟡 리나: 만유인력의 식 (1.1)을 다시 봐.
이 식에는 시간 \(t\)가 전혀 포함되어 있지 않아. 즉 태양이 갑자기 사라지면, \(m_1 = 0\)이 되어 \(F = 0\)——지구는 그 순간에 태양의 중력을 느끼지 못하게 돼. 1.5억 km나 떨어져 있는데도.
🔵 카이: 빛이 태양에서 지구에 도달하는 데 약 8분 걸리는데, 중력 정보는 0초에 도달한다는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 이것이 즉각적 원격 작용 (action at a distance)이라고 불리는 문제야. 사실 Newton 자신도 이 점에 불만을 느끼고 있었어. 친구에게 보낸 편지에서 이렇게 썼어——「물질이 다른 물질에, 아무런 매개도 없이, 거리를 두고 작용한다는 것은, 철학적 문제를 생각할 수 있는 인간에게 너무나 터무니없는 생각이다」라고.
🔵 카이: Newton 자신이 「이상하다」고 생각했군요……
🟡 리나: 그리고 Poisson 방정식 (1.7)에서도 같은 구조 문제가 보여. 좌변의 \(\nabla^2\Phi\)에는 공간 미분밖에 포함되어 있지 않아. 시간 미분 \(\partial^2\Phi/\partial t^2\)가 어디에도 없어.
🔵 카이: 그러면 우변의 \(\rho\)가 변한 순간에, \(\Phi\)도 공간 전체에서 일제히 변한다는……?
🟡 리나: 맞아. Poisson 방정식은 중력장의 변화가 무한대의 속도로 전파된다는 것을 암묵적으로 가정하고 있어. 태양이 갑자기 사라지면, 1.5억 km 떨어진 지구에서도 그 순간에 중력이 사라져.
🔵 카이: 그런데, 그게 뭐가 문제인 건가요?
🟡 리나: 여기서, 앞으로의 장에서 자세히 다룰 특수상대론의 결론을 하나만 먼저 가져올게. 특수상대론에 따르면, 어떤 신호도 광속 \(c \approx 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}\)를 초과해서 전파될 수 없어. 빛이 태양에서 지구에 도달하는 데 약 8분이 걸려. 태양이 사라졌다는 「정보」도 최소 8분은 걸려야 해.
⚪ 메이: 즉, Newton의 중력은 「정보가 순간적으로 전달된다」는 것을 암묵적으로 가정하고 있고, 그것은 특수상대론의 대원칙에 정면으로 모순된다는 거네.
🟡 리나: 대조적으로, 전자기학의 장 방정식은(퍼텐셜의 취하는 방식에 남아 있는 자유도를 고정하는 「게이지 조건」이라 불리는 수학적 정리를 하면) 이런 형태가 돼:
여기서 \(\varphi\)는 전자기 스칼라 퍼텐셜(중력의 \(\Phi\)에 대응하는 것), \(\rho_e\)는 전하 밀도(중력의 질량 밀도 \(\rho\)에 대응), \(\varepsilon_0\)는 진공의 유전율(전자기의 상수로, 쿨롱의 법칙 \(F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\)에 나오는 것). 우변의 마이너스는 단위계 관례에 의한 것으로, 지금은 신경 쓰지 않아도 돼. 지금은 각 기호의 세부사항보다 방정식의 구조에 주목해. 이 방정식은 파동방정식이라 불리는 형태를 하고 있어. 왜 속도 \(c\)의 파동이 되는지, 직관만 전달해 둘게. 1차원에서 생각하면 \(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}\) 형태가 돼. 이 방정식의 해는 \(\varphi(x, t) = f(x - ct)\)——즉 「형태를 바꾸지 않고 속도 \(c\)로 이동하는 파동」이야.
🔵 카이: \(f(x - ct)\)가 파동이 된다는 게 무슨 뜻인가요?
🟡 리나: 이렇게 생각해. 시각 \(t = 0\)에서 \(\varphi = f(x)\)라는 형태를 하고 있었다고 하자. 시각 \(t\)에서는 \(\varphi = f(x - ct)\). \(f\)의 내부가 같은 값이 되는 장소——예를 들어 산꼭대기——는 \(x - ct = \text{상수}\), 즉 \(x = ct + \text{상수}\)의 위치에 있어. 이것은 속도 \(c\)로 오른쪽으로 움직이고 있어. 따라서 \(f(x - ct)\)는 「형태를 유지한 채 속도 \(c\)로 나아가는 파동」이야.
🔵 카이: 아, 산꼭대기의 위치를 추적하면, 매초 \(c\)씩 오른쪽으로 전진하는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 실제로 대입해서 확인하면, \(u = x - ct\)로 놓아. \(\varphi = f(u)\)를 \(x\)로 편미분하려면, 고등학교에서 배운 합성함수의 미분(연쇄법칙) \(\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)를 사용해. 여기서 \(f'(u)\)는 「\(f\)를 변수 \(u\)로 보통 미분한 것」(\(f\)는 \(u\)만의 1변수 함수이므로 편미분이 아니라 통상 미분). \(u = x - ct\)이니까 \(\partial u/\partial x = 1\)(\(t\)는 고정). 따라서 \(\frac{\partial \varphi}{\partial x} = f'(u) \cdot 1 = f'(u)\), 한 번 더 미분해서 \(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = f''(u)\). 한편 \(t\)로 편미분할 때 \(\partial u/\partial t = -c\)(\(x\)는 고정)이니까 \(\frac{\partial \varphi}{\partial t} = f'(u) \cdot (-c) = -c\,f'(u)\), 한 번 더 미분해서 \(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = (-c)^2 f''(u) = c^2 f''(u)\). 따라서 \(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} = f''(u)\)와 \(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = \frac{1}{c^2} \cdot c^2 f''(u) = f''(u)\)가 같아서 확실히 방정식을 만족해.
⚪ 메이: 깔끔하게 일치하네. \(c^2\)가 분모와 분자에서 상쇄되어 \(f''(u) = f''(u)\)가 돼.
🟡 리나: \(\nabla^2\)와 \(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\)의 조합이 바로 「속도 \(c\)로 전파되는 파동」을 기술하는 구조야. 이것이 전자기파. 즉, 방정식의 구조——시간 미분이 있는지 없는지——가 장의 변화의 전파 방식을 결정해.
⚪ 메이: 즉, 장의 방정식에 시간의 2계 미분이 들어 있는지 아닌지로, 「변화가 순간적으로 전달되는지, 유한 속도로 파동으로 전달되는지」가 결정되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 방정식의 구조가 물리——전파 방식——를 지배하고 있어. 소스가 없는 영역(\(\rho_e = 0\))에서는 우변이 0이 되어 순수한 파동방정식 \(\nabla^2\varphi = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}\)가 돼. 중력의 Poisson 방정식과 전자기학의 파동방정식을 표로 나란히 놓으면, 문제가 한눈에 보여.
표 1.2: Newton 중력과 전자기학의 장 방정식 비교
| Newton 중력 | 전자기학 | |
|---|---|---|
| 장의 방정식 | \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) | \(\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\varepsilon_0}\) |
| 시간 미분 | 없음 | 있음 (\(\partial^2/\partial t^2\)) |
| 전파 속도 | 무한대 | 광속 \(c\) |
그림 1.10: Poisson 방정식과 파동방정식의 대비. 왼쪽 — Poisson 방정식에서는 장의 변화가 전 공간에서 동시에 일어난다(순간 전파). 오른쪽 — 파동방정식에서는 장의 변화가 파면으로서 광속 \(c\)로 전파된다.
🟡 리나: 표로 정리하면 구조의 차이가 한눈에 보이지. 그림 1.10「Poisson 방정식과 파동방정식의 대비. 왼쪽」도 봐. 왼쪽의 Poisson 방정식에서는 장의 변화가 전 공간에서 동시에 일어나는 반면, 오른쪽의 파동방정식에서는 파면으로서 광속 \(c\)로 퍼져나가는 모습이 그려져 있어.
⚪ 메이: 시간 미분의 유무만으로 전파 속도가 「무한대」인지 「광속」인지가 결정되어 버리네.
🔵 카이: 그러면 Newton의 중력은, 광속으로 정보가 전달되는 우주에서는 「있을 수 없다」는 건가요? 그런데 Newton의 식에 \(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\)를 더하면 고쳐지지 않을까요……?
🟡 리나: 좋은 발상이야. 실제로 그런 시도도 있었어. 하지만 단순히 시간 미분 항을 더하는 것만으로는, 다른 물리적 요청과 모순돼 버려. 예를 들어, 중력은 항상 인력(끌어당기는 힘)이지. 그런데 파동방정식으로 만들면 「척력의 파동」도 해로 허용되어 버려서, 중력이 항상 인력이라는 관측 사실과 맞지 않게 돼. 올바른 수정은, 시공간 자체의 구조를 바꾸는 더 근본적인 것이야. 그것이 일반상대론이야. 자세한 내용은 문제 A-1. 스칼라 중력 이론의 시도에서 확인해.
✅ 이해도 체크: Poisson 방정식에 시간 미분 \(\partial^2/\partial t^2\)가 포함되지 않는 것은, 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
중력장의 변화가 무한대의 속도로(순간적으로) 전파됨을 의미한다. 이것은 특수상대론의 「어떤 신호도 광속을 초과해서 전파될 수 없다」는 원칙과 모순된다.
📝 연습문제:
- 순간 전파의 모순 → 문제 B-9. 순간 전파와 특수상대론의 모순, 파동방정식과 Poisson 방정식의 비교 → 문제 M-4. 파동방정식과 Poisson 방정식의 비교, 스칼라 중력 이론의 시도 → 문제 A-1. 스칼라 중력 이론의 시도
🟡 리나: 따라서 Newton의 중력 모델은 더 정확한 모델의 근사에 불과하다는 결론이 돼. 일상적인 스케일이나 태양계 행성 운동의 대부분의 장면에서는 Newton 모델이 놀라울 정도로 정확해. 하지만 광속에 가까운 속도나 매우 강한 중력장과 같은 극단적 상황에서는 더 정확한 모델이 필요해져.
1.6 언제 Newton 모델로는 불충분해지는가?¶
🟡 리나: 마지막으로, 프롤로그에서 소개한 판정 기준을 다시 한 번 볼게. 천체의 질량 \(M\)과 특징적인 반지름 \(R\)——별이면 표면의 반지름, 블랙홀이면 나중에 배울 Schwarzschild 반지름——을 사용해서
라는 무차원량 (dimensionless quantity)을 계산해.
⚪ 메이: 왜 이 양이 판정 기준이 되는 건데?
🟡 리나: 이 장의 전반부에서 중력 퍼텐셜은 \(\Phi = -GM/r\)이라고 배웠지(식 1.5). 퍼텐셜 \(\Phi\)는 「단위 질량당 에너지」에 대응하는 양이니까, 질량 \(m\)인 물체의 중력 퍼텐셜 에너지는 \(U = m\Phi\)——고등학교에서 배운 \(U = mgh\)의 일반화야(지표면 부근에서는 \(\Phi \approx gh\)이니까 \(U = m\Phi = mgh\)로 귀착돼). 천체의 표면(\(r = R\))에서는 \(U = m\Phi = -GMm/R\). 한편, 특수상대론에 따르면 물체의 정지 에너지는 \(E = mc^2\). 이 둘의 비를 구하면
\(m\)이 약분되어, 천체의 성질(\(M\)과 \(R\))만으로 결정되는 무차원량이 돼.
🔵 카이: 아, 중력 에너지와 정지 에너지의 비군요. 그래서 \(c^2\)로 나누는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 이 비가 작을 때——중력 퍼텐셜 에너지가 정지 에너지에 비해 훨씬 작을 때——Newton 모델은 훌륭한 근사가 돼. 하지만 1에 가까워지면, Newton의 근사로는 포착할 수 없는 시공간의 휨이 무시할 수 없게 돼. 프롤로그의 표를 다시 게재할게.
표 1.3: 대표적 천체의 콤팩트니스 지표
| 천체 | \(GM/(Rc^2)\)의 대략적 값 |
|---|---|
| 지구 | \(\sim 10^{-9}\) |
| 태양 | \(\sim 10^{-6}\) |
| 백색왜성 (white dwarf) | \(\sim 10^{-4}\) |
| 중성자별 (neutron star) | \(\sim 0.1\) |
| 블랙홀 (black hole) | \(\sim 1\) |
⚪ 메이: 수성의 근일점 이동의 벗어남이 작았던 것(100년에 43초각)도, 태양의 \(GM/(Rc^2) \sim 10^{-6}\)이 작은 것과 대응하고 있네. Newton 모델로부터의 벗어남은 작지만, 0은 아니야.
🟡 리나: 그리고 프롤로그에서 봤듯이, 지구의 \(10^{-9}\)조차도 GPS의 원자시계 같은 정밀 기술에서는 무시할 수 없어. \(GM/(Rc^2)\)가 클 때뿐만 아니라, 측정 정밀도가 이 값에 필적할 정도로 높을 때에도 일반상대론이 필요해져. 그림 1.11「Newton 모델의 적용 범위와 상대론적 지표」에 천체별 값을 정리했어.
그림 1.11: Newton 모델의 적용 범위와 상대론적 지표. 천체별 \(GM/(Rc^2)\)의 값. 이 값이 클수록 일반상대론적 효과가 현저해진다.
✅ 이해도 체크: \(GM/(Rc^2) \sim 10^{-9}\)인 지구에서도 일반상대론이 필요한 경우가 있는 이유는?
답
GPS의 원자시계처럼 측정 정밀도가 극히 높은 기술에서는, \(10^{-9}\) 정도의 작은 상대론적 효과도 무시할 수 없게 되기 때문이다. \(GM/(Rc^2)\)가 작더라도 측정 정밀도가 그 값에 필적할 정도로 높으면 일반상대론이 필요해진다.
✅ 이해도 체크: \(GM/(Rc^2)\)는 물리적으로 어떤 양의 비를 나타낼까요?
답
천체 표면에서의 중력 퍼텐셜 에너지 \(|U| = GMm/R\)과 정지 에너지 \(E = mc^2\)의 비. 이 비가 1에 가까워지면 Newton의 근사로는 포착할 수 없는 시공간의 휨이 무시할 수 없게 된다.
📝 연습문제:
- \(GM/(Rc^2)\)의 계산 → 문제 B-10. 태양 표면에서의 상대론적 효과 추정, 문제 B-11. 중성자별의 상대론적 판정 기준 개산, 탈출 속도와 \(GM/(Rc^2)\)의 관계 → 문제 B-5. 슈바르츠실트 반지름의 도출, 문제 B-6. Schwarzschild 반지름에서의 판정 기준, 구각 정리와 조석력 → 문제 A-2. 구각 정리와 조석력
🟡 리나: 맞아. Newton 모델은 근사로서는 훌륭해. 하지만 어디까지나 근사야. 이 근사를 초월하는 모델이 Einstein의 일반상대론이야. 거기에 이르는 길을 따라가기 전에, 한 가지만 더 준비해 두고 싶은 게 있어.
1.7 또 다른 정식화 — 최소 작용의 원리¶
🟡 리나: 여기서 화제를 바꿔서, Newton 역학의 또 다른 정식화를 소개할게.
🔵 카이: 어? Newton의 한계 이야기를 하고 있었는데, 왜 지금 여기서 다른 정식화를?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 이유는, 앞으로의 일반상대론에서 \(F = ma\)는 사용할 수 없게 되기 때문이야. 일반상대론에서는 중력이 「힘」이 아니라 「시공간의 휨」으로 기술돼——휜 시공간을 자유롭게 움직이는 물체는 힘을 받지 않는데도 가속하는 것처럼 보여. 따라서 「힘이 가속도를 만든다」는 \(F = ma\)의 틀 자체를 사용할 수 없게 돼. 대신 사용하는 것이, 지금부터 소개할 최소 작용의 원리야. 제 8 장 측지선 방정식도 제 14 장 Einstein 방정식도 부록 C 장 이론도, 모두 이 원리에서 도출돼. 즉 이것이 앞으로 모든 장에서 사용하는 「공통 언어」가 돼.
⚪ 메이: 그러니까, 아직 간단한 Newton 역학인 동안에 도구에 익숙해지자는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 오늘은 \(F = ma\)를 최소 작용의 원리에서 재도출해. 답은 같지만, 도출의 틀이 달라. 이 틀을 익혀 두면, 휜 시공간에 가서도 같은 절차로 운동방정식을 도출할 수 있게 돼.
🔵 카이: 같은 물리인데, 완전히 다른 시점으로 기술할 수 있다니, 구체적으로 어떻게 다른 건가요? \(F = ma\)는 「힘이 가해지면 가속한다」는, 원인과 결과의 이야기잖아요. 그 외의 관점이라니 어떤 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. Newton의 \(F = ma\)는 「힘이 가속도를 결정한다」는 인과적 기술——「지금의 힘이 다음 순간의 운동을 결정한다」는 인과의 사슬이야. 최소 작용의 원리는 완전히 다른 발상을 취해——「출발점에서 도착점까지의 경로를 전체로서 바라보고, 어떤 양을 극값으로 만드는 경로가 실현된다」는, 말하자면 「전체 최적화」의 시점이야. 인과의 사슬이 아니라, 경로 전체의 성질로 운동이 결정돼.
🟡 리나: 구체적인 예로 봐 보자. 공을 위로 던져. Newton의 방법에서는 「각 순간에 중력 \(F = -mg\)가 가속도 \(a = -g\)를 만든다」고 생각해서, 시각을 한 단계씩 진행하면서 운동방정식을 풀어——「지금의 힘이 다음 순간의 운동을 결정한다」는 인과의 사슬이지.
🔵 카이: 시각 0의 상태에서 시각 1의 상태를 계산하고, 시각 1에서 시각 2를 계산하고…… 도미노 넘어뜨리기처럼 진행하는 이미지네요.
🟡 리나: 맞아. 최소 작용의 원리에서는 완전히 다른 시점을 취해. 출발점에서 도착점까지의 경로를 전체로서 바라보고, 「어떤 경로가 자연스럽게 선택되는가」를 판정해:
🟡 리나: 「공이 취할 수 있는 모든 경로 중에서, 작용이라는 양을 극값(정류값)으로 만드는 경로가, 실제로 공이 따라가는 경로이다」——이것이 최소 작용의 원리 (principle of least action)야. 정류값이란 「1차 변화가 0」이라는 것——고등학교에서 \(f'(x) = 0\)이 되는 점(정류점)이 극대도 극소도 될 수 있는 것과 같아서, \(\delta S = 0\)인 경로는 작용이 최소라고는 한정되지 않고 극대나 안장점인 경우도 있어. 하지만 역사적으로 「최소 작용의 원리」라고 불려.
🟡 리나: 그림 1.12「최소 작용의 원리: 경로의 선택」를 봐. 회색 선은 「취할 수 있는 경로」의 예시이고, 빨간 굵은 선이 실제로 자연이 「선택하는」 경로야.
그림 1.12: 최소 작용의 원리: 경로의 선택. 시점 \((t_1, q_1)\)과 종점 \((t_2, q_2)\)를 잇는 무수한 경로(회색) 중에서, 작용 \(S = \int L\,dt\)를 극값으로 만드는 경로(빨간색)가 물리적으로 실현된다.
🔵 카이: 작용이요?
작용과 Lagrangian의 정의¶
🟡 리나: 작용(action) \(S\)는, 운동에너지 \(T\)와 퍼텐셜 에너지 \(V\)의 차 \(L = T - V\)를, 출발 시각 \(t_1\)부터 도착 시각 \(t_2\)까지 시간으로 적분한 것:
\(L = T - V\)를 Lagrangian(라그랑지안)이라고 불러. 여기서 \(T\)는 운동에너지(속도의 함수), \(V\)는 퍼텐셜 에너지(위치의 함수)——고등학교에서 배운 \(V = mgh\)나 \(V = \frac{1}{2}kx^2\)와 같은 것. \(\dot{x}\)처럼 점을 찍은 기호는 시간 미분을 나타내는 약기법으로, \(\dot{x} = dx/dt\)(속도), \(\ddot{x} = d^2x/dt^2\)(가속도)야. 예를 들어 질량 \(m\)인 입자의 운동에너지는 \(T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\dot{x}^2\)로 쓸 수 있어. 물리학에서 자주 쓰는 표기법이니까 기억해 둬.
🔵 카이: 에너지의 「합」이 아니라 「차」요? 왜 차인가요?
🟡 리나: 최소 작용의 원리 자체가 공리이기 때문에, 「왜 \(T - V\)인가」에 대한 깊은 이유는 없어. Newton의 \(F = ma\)도 「왜 이 형태인가」는 설명할 수 없어. 둘 다 「이 원리에서 출발하면 실험과 맞는 결과가 나온다」는 의미에서 정당화돼. 만약 \(T + V\)를 사용하면 어떻게 될까? 이 뒤의 「Newton의 운동방정식 재현」에서 \(L = T - V\)로부터 \(m\ddot{x} = -dV/dx\)가 나오는 것을 확인하는데, 만약 \(L = T + V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)\)로 했다면, \(\partial L/\partial x = +dV/dx\)가 되어 Euler-Lagrange 방정식은 \(m\ddot{x} = +dV/dx\)가 돼. 이것은 「퍼텐셜이 높은 쪽으로 가속한다」——공이 언덕을 올라가는 운동을 예측해 버려. \(T - V\)가 아니면 실험과 맞지 않아.
⚪ 메이: 즉, \(L = T - V\)는 「실험과 맞는 결과를 내는 공리」이지 「왜」는 묻지 않는다. 프롤로그에서 「모델의 출발점은 설명의 대상이 아니다」라고 한 것과 같은 구조네.
Euler-Lagrange 방정식의 도출¶
🟡 리나: 최소 작용의 원리에서 운동방정식을 도출해 보자. 이것이 변분법(calculus of variations)의 핵심이야.
변분법이란: 「모든 가능한 경로 중에서, 작용 \(S\)를 극값으로 만드는 경로는 어느 것인가?」를 구하는 수학적 방법. 보통의 미분은 「함수의 극값」을 구하지만, 변분법은 「경로(함수 그 자체)의 극값」을 구한다.
🟡 리나: 구체적으로 계산하기 전에, 좌표의 표기법을 정리해 둘게. 여기서부터 일반화 좌표라는 말을 사용해.
🔵 카이: 「일반화 좌표」요? 보통의 \(x, y, z\)와는 다른 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 일반화 좌표(generalized coordinates)란, 계의 상태를 기술하기 위해 선택한 변수를 말해. 직교좌표 \(x, y, z\)에 국한되지 않고, 문제에 맞춰 자유롭게 선택할 수 있어. 예를 들어 진자라면 각도 \(\theta\) 하나로 상태가 결정되고, 이중 진자라면 \(\theta_1, \theta_2\) 두 개야. 「계의 자유도 수만큼 좋아하는 변수를 선택해도 된다」는 것이 일반화 좌표의 사고방식이야.
⚪ 메이: 즉, \(x\)나 \(y\)는 일반화 좌표의 특수한 경우이고, 문제의 대칭성이나 구속 조건에 맞춰 가장 자연스러운 변수를 선택하는 것이 일반화 좌표라는 거네.
🟡 리나: 맞아. 기호는 관례적으로 \(q\)를 사용해. 자유도가 \(n\)개이면 \(q_1, q_2, \ldots, q_n\)으로 써. 여기서는 간단히 1자유도 \(q(t)\)로 이야기를 진행할게.
✅ 이해도 체크: 일반화 좌표란 무엇일까요? 직교좌표 \((x, y, z)\)와의 차이는?
답
일반화 좌표란, 계의 상태를 기술하기 위해 문제에 맞춰 자유롭게 선택한 변수를 말한다. 직교좌표는 일반화 좌표의 특수한 경우이며, 진자라면 각도 \(\theta\), 이중 진자라면 \(\theta_1, \theta_2\)처럼 계의 자유도와 대칭성에 맞는 변수를 선택할 수 있다.
🔵 카이: 그런데, 아까까지 \(L = T - V\)라고 써 있었잖아요. \(L(q, \dot{q}, t)\)는 뭐가 바뀐 건가요?
🟡 리나: 내용은 같아. 예를 들어 진자라면 \(T = \frac{1}{2}m l^2 \dot{\theta}^2\), \(V = -mgl\cos\theta\)이니까, \(L = T - V\)를 써 내려가면 \(\theta\)와 \(\dot{\theta}\)의 함수가 돼. 즉 \(L = T - V\)의 내용을 일반화 좌표 \(q\)와 그 시간 미분 \(\dot{q}\)로 표현한 것이 \(L(q, \dot{q}, t)\)라는 표기야. 「\(T - V\)의 구체적 형태는 문제마다 다르지만, 어떤 경우든 \(q\)와 \(\dot{q}\)(그리고 경우에 따라 시각 \(t\))로 쓸 수 있다」는 것을 강조한 표현이야.
🟡 리나: 일반화 좌표 \(q(t)\)를 사용해 Lagrangian \(L(q, \dot{q}, t)\)가 주어져 있다고 하자. 여기서 \(\dot{q} = dq/dt\)는 속도야. 작용은:
여기서 \(S[q]\)의 대괄호는, \(S\)가 「어떤 시각에서의 값」이 아니라 「경로 \(q(t)\) 전체의 형태」에 의존하는 양임을 나타내는 표기야. 이런 양을 범함수 (functional)라고 불러. 앞으로의 장에서도 「작용 범함수를 극값으로 만든다」는 표현이 반복해서 나오니까, 이 용어에 익숙해져. 보통 함수와 범함수의 차이를 정리해 둘게. 보통 함수 \(f(x)\)는 수 \(x\)를 넣으면 수 \(f\)가 나와. 범함수 \(S[q]\)는 함수 \(q(t)\)(경로의 형태)를 넣으면 수 \(S\)가 나와——입력이 「수」인지 「함수」인지의 차이야.
🔵 카이: 함수를 넣으면 수가 나온다…… 함수의 「메타 함수」 같은 느낌인가요.
🟡 리나: 그렇지. 친숙한 예로 감각을 잡아 보자. 「곡선의 길이」는 범함수야——같은 두 점을 잇는 곡선이라도, 직선으로 이으면 짧고 구불구불 구부리면 길어. 곡선의 형태(함수)를 넣으면 길이(수)가 나와. 그러면 작용의 구체적인 예를 봐 보자. 지면에서 높이 \(h\)인 점에 공을 위로 던지는 경우를 생각해. 시각 \(t_1\)에 지면을 출발하고, 시각 \(t_2\)에 높이 \(h\)에 도달한다는 시점과 종점을 고정해. 이 두 점을 잇는 경로는 무수히 있어——「등가속도로 올라가는 경로」도 있고, 「처음에 천천히 올라가다 후반에 급가속하는 경로」도 있어(후자는 물리적으로는 실현되지 않지만, 수학적으로는 생각할 수 있는 가상의 경로야). 각각의 경로에서 \(T\)와 \(V\)의 시간 변화 패턴이 다르니까, \(L = T - V\)의 시간 적분값——즉 작용 \(S\)——은 경로에 따라 달라. 경로의 형태를 넣으면 작용이라는 하나의 수가 나와——바로 범함수지. 그리고 최소 작용의 원리는 「\(S\)를 극값(정류값)으로 만드는 경로가 실제로 실현된다」고 주장해. 이 뒤의 「중력장 내 자유낙하의 예」에서, 그것이 등가속도 운동(\(\ddot{y} = -g\))임을 확인할게.
🔵 카이: 잠깐요. \(\dot{q}\)는 \(q\)의 시간 미분이잖아요? 그런데 \(L(q, \dot{q}, t)\)는 \(q\)와 \(\dot{q}\)를 마치 무관한 변수처럼 나란히 놓고 있어요. 편미분 \(\frac{\partial L}{\partial q}\)나 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)는 한쪽을 고정하고 다른 쪽으로 미분한다는 거잖아요? \(\dot{q}\)는 \(q\)에서 결정되는데, 고정할 수 있나요?
🟡 리나: 예리해. 여기가 Lagrangian 역학에서 처음 막히는 포인트야. 생각하는 방식은 이래——\(L(q, \dot{q}, t)\)를 「2개의 독립적인 입력 슬롯을 가진 함수」로 정의해. 진자라면 \(L(\theta, \omega) = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 + mgl\cos\theta\)라는 「\(\theta\)와 \(\omega\)의 2변수 함수」를 먼저 만들어. 편미분은 이 단계에서 계산해. \(\frac{\partial L}{\partial \theta}\)는 \(\omega\)를 고정하고 \(\theta\)로 미분, \(\frac{\partial L}{\partial \omega}\)는 \(\theta\)를 고정하고 \(\omega\)로 미분.
⚪ 메이: 즉, 편미분을 계산하는 단계에서는 \(q\)와 \(\dot{q}\)를 「그냥 2개의 변수」로 취급하고, 「\(\dot{q}\)는 \(q\)의 시간 미분」이라는 관계는 편미분을 계산한 뒤에 Euler-Lagrange 방정식 안에서 비로소 사용하는——이중 구조인 거네.
🟡 리나: 맞아. 「함수의 형태를 결정하는 단계」와 「실제 운동 경로에 대입하는 단계」를 분리하는 것이 요령이야.
✅ 이해도 체크: \(L(q, \dot{q}, t)\)의 편미분 \(\partial L/\partial q\)를 계산할 때, \(\dot{q}\)가 \(q\)의 시간 미분임에도 불구하고 「고정」해서 취급할 수 있는 이유는?
답
\(L\)을 먼저 「\(q\)와 \(\dot{q}\)라는 2개의 독립적인 입력 슬롯을 가진 함수」로 정의하고, 편미분은 이 단계에서 계산한다. 「\(\dot{q}\)는 \(q\)의 시간 미분」이라는 관계는 편미분을 계산한 뒤에 Euler-Lagrange 방정식 안에서 비로소 사용한다.
🟡 리나: 실제 경로 \(q(t)\)를 조금만 어긋난 경로 \(q(t) + \delta q(t)\)를 생각해. 그림 1.13「변분 \(\delta q(t)\)의 이미지」를 봐.
그림 1.13: 변분 \(\delta q(t)\)의 이미지. 빨간 실선이 실제 경로 \(q(t)\), 파란 점선이 섭동 경로 \(q(t) + \delta q(t)\). 끝점은 고정(\(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\))이고, 중간의 경로만 \(\delta q(t)\)만큼 어긋나 있다.
🔵 카이: \(\delta q\)의 \(\delta\)(델타)는 보통 미분의 \(d\)와 다른 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. \(dq\)는 「같은 경로 위에서 시각을 조금 옮겼을 때의 \(q\)의 변화」. \(\delta q\)는 「같은 시각에서 경로 자체를 다른 경로로 옮겼을 때의 변화」. 즉 \(d\)는 시간 방향의 어긋남, \(\delta\)는 경로 공간 방향의 어긋남이야.
⚪ 메이: 시각 \(t\)를 고정한 채, 「만약 다른 경로를 지나고 있었다면 \(q\)는 얼마나 달랐을까」가 \(\delta q(t)\)라는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그리고 끝점은 고정해——출발점과 도착점은 바꾸지 않아:
🔵 카이: 출발점과 도착점은 바꾸지 않고 중간 경로만 조금 바꾸는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 그러면, 경로를 \(q \to q + \delta q\)로 어긋냈을 때, 작용 \(S\)가 얼마나 변하는지 계산해 보자. 이 변화량 \(\delta S\)를 변분이라고 불러. 읽는 법은 「델타 에스」야.
🔵 카이: \(\delta S\)는 어떻게 계산하나요?
🟡 리나: \(L(q, \dot{q}, t)\)는 \(q\)와 \(\dot{q}\)의 2변수 함수였지. 경로를 \(q \to q + \delta q\)로 어긋내면 속도도 변해. 새 경로의 속도는 \(\frac{d}{dt}(q + \delta q) = \dot{q} + \frac{d}{dt}(\delta q)\)이니까, 속도의 어긋남은:
즉 「어긋난 경로의 속도」에서 「원래 경로의 속도」를 뺀 것. 미분의 선형성(\((f+g)' = f' + g'\))을 사용한 것뿐이야.
⚪ 메이: 「어긋남 \(\delta q\)의 시간 변화율」이 \(\delta\dot{q}\)라는 거네. 어긋내는 방식이 시각에 따라 다르면, 속도의 어긋남도 시각에 따라 변해.
🟡 리나: 맞아. 그러면 작용의 변화량을 계산하자. 어긋난 후의 작용은 \(S[q + \delta q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q + \delta q,\, \dot{q} + \delta\dot{q},\, t)\, dt\). 변화량은:
🟡 리나: 여기서, \(\delta q\)는 「약간만」의 어긋남이니까, 고등학교에서 배운 1변수 근사 \(f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\,\Delta x\)의 2변수 버전을 사용해. 1변수의 경우는 「접선으로 근사한다」는 것이었지. 2변수의 경우도 같은 발상——1변수에서는 「접선으로 근사」였지만, 2변수에서는 「접평면으로 근사」해. 2변수 함수 \(f(a, b)\)의 그래프는 3차원 공간의 곡면이 돼(\(a\)축, \(b\)축, \(f\)축의 3개). 그 곡면에 딱 맞게 접하는 평평한 면이 접평면이야. 2변수 함수 \(f(a, b)\)에서 \(a \to a + \Delta a\), \(b \to b + \Delta b\)일 때:
이것은 \(\Delta a\), \(\Delta b\)의 1차(1승)까지의 근사야. \(\Delta a \cdot \Delta b\)나 \((\Delta a)^2\) 같은 2차 이상의 항은, 어긋남이 충분히 작을 때 무시할 수 있어. 예를 들어 \(\Delta a = 0.01\)이면 \((\Delta a)^2 = 0.0001\)로, \(\Delta a\) 자체에 비해 100분의 1——어긋남을 작게 할수록 2차 이상의 항은 1차 항에 비해 급속히 작아져. 변분법에서는 \(\delta q\)를 점점 작게 하는 극한을 고려하니까, 2차 이상의 항은 1차 항에 비해 무시할 수 있고, 1차 항만이 정류 조건을 결정해. 이것은 고등학교 미분에서 「\(f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x\)」로 해서 극값 조건 \(f'(x) = 0\)을 구한 것과 완전히 같은 발상이야.
🔵 카이: 각 변수 방향으로 「기울기 × 어긋남」을 더하는 거군요. 1변수 때의 \(f'(x)\,\Delta x\)를 2방향으로 확장한 느낌이에요.
🟡 리나: 왜 덧셈으로 되는지 봐 보자. 먼저 \(b\)를 고정하고 \(a\)만 움직이면, 1변수 근사에서 \(f(a + \Delta a, b) \approx f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial a}\Delta a\). 다음으로 이 상태에서 \(b\)를 움직이면 \(f(a + \Delta a, b + \Delta b) \approx f(a + \Delta a, b) + \frac{\partial f}{\partial b}\Delta b\). 둘을 합치면 \(f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial a}\Delta a + \frac{\partial f}{\partial b}\Delta b\)가 돼. (두 번째 단계에서 편미분을 평가하는 점이 \((a, b)\)가 아니라 \((a + \Delta a, b)\)로 약간 어긋나지만, 그 어긋남이 결과에 미치는 영향은 \(\Delta a \cdot \Delta b\)라는 2차 항뿐이니까, 1차 근사에서는 무시할 수 있어.) 순서를 바꿔도 같은 결과가 나와. 구체적인 예로 확인하고 싶은 사람은 문제 B-8. 편미분의 기초 계산를 봐.
🔵 카이: 그런데 「2차 이상은 무시할 수 있다」고 하는데, 정말로 무시해도 되나요? 무한히 작지만 0은 아닌, 그런 것은 안 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 고등학교 미분에서 「극값의 조건은 \(f'(x) = 0\)」이라고 배웠지. 그것은 「\(f(x + \Delta x) - f(x) \approx f'(x)\,\Delta x\)이니까, 1차 변화가 0이면 어느 쪽으로 어긋내도 값이 (1차 수준에서는) 변하지 않는다」는 의미였어. 2차 항 \(\frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2\)는 극대인지 극소인지 판정하는 데 사용하지만, 극값의 위치를 결정하는 것은 1차 조건만으로 충분해. 변분법에서도 완전히 마찬가지야. \(\delta S\)를 \(\delta q\)의 차수별로 전개해서, 1차 항만을 추출해. 「\(\delta q\)의 1차 항이 0」이 정류값의 조건이고, 이것만으로 운동방정식이 결정돼. 2차 이상의 항은 \(\delta q\)가 작을 때 1차 항에 비해 \(\delta q\)배만큼 작으니까, 정류점의 위치를 결정하는 데는 관계없어. 고등학교 미분에서 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x) - f'(x)\Delta x}{\Delta x} = 0\)이라고 쓴 것과 같은 구조야——분자의 「나머지」는 \(\Delta x\)보다 빠르게 0에 가까워지니까, \(\Delta x\)로 나눠도 0이 돼.
🔵 카이: 아, 미분의 정의와 같은 발상이구나. 「극값의 위치를 결정하는 것은 1차 조건」——그것을 함수가 아니라 경로에 대해 하고 있는 거군요.
🟡 리나: 맞아. \(L\)에 적용하면:
원래의 \(L\)을 빼면:
⚪ 메이: 제1항은 「\(q\) 방향의 기울기 × \(q\)의 어긋남」, 제2항은 「\(\dot{q}\) 방향의 기울기 × \(\dot{q}\)의 어긋남」. 깔끔하게 분리되네.
🟡 리나: 여기서 문제가 하나 있어. 제2항에 \(\delta\dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)\)가 들어 있어. 최종적으로 「\(\delta q\)만의 식」으로 정리하고 싶은데, \(\delta q\)의 시간 미분이 섞여 있어. 이것을 어떻게든 해야 해.
🔵 카이: 어떻게 하나요?
🟡 리나: 여기서 사용하는 것이 부분적분이야. 고등학교 수학에서 배운 곱의 미분 공식을 기억하고 있어?
🔵 카이: \((fg)' = f'g + fg'\)이죠.
🟡 리나: 이것을 이항하면 \(fg' = (fg)' - f'g\). 양변을 \(t_1\)부터 \(t_2\)까지 적분하면:
이것이 부분적분 공식이야. 「\(g'\)의 적분을 \(g\)에 떠넘기고, 대신 \(f\)를 미분하는」 연산이야.
🟡 리나: 지금의 문제에 적용해 보자. 부분적분 공식 \(\int f\,g'\,dt = [fg] - \int f'\,g\,dt\)에서, \(f = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\), \(g = \delta q\)(따라서 \(g' = \frac{d(\delta q)}{dt}\), \(f' = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\))로 놓으면:
🔵 카이: 좌변의 「\(\delta q\)의 미분」이, 우변에서는 「\(\delta q\) 그 자체」로 바뀌었어요! 대신 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) 쪽이 미분되었네요.
🟡 리나: 맞아. 미분을 「상대에게 떠넘긴」 거야. 그리고 우변의 첫 번째 항——경계항을 봐. \(\delta q(t_1) = 0\)이고 \(\delta q(t_2) = 0\)(끝점 고정)이니까:
⚪ 메이: 끝점을 고정한 덕분에 경계항이 깔끔하게 사라지네.
🟡 리나: 이것으로 제2항이 정리됐어. 원래의 \(\delta S\)에 대입하면:
🔵 카이: 아, \(\delta q\)로 묶였어요! 피적분함수가 「(무언가) \(\times\,\delta q\)」 형태가 됐네요. 그런데, 묶인 것으로 뭘 알 수 있나요? 왜 이 형태로 만들고 싶었던 거죠?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 최소 작용의 원리는 「\(\delta S = 0\)」을 요구해——아까 말했듯이, 이것은 정류값의 조건(1차 변화가 0)이야. 즉:
게다가, 이것은 어떤 어긋냄 \(\delta q(t)\)를 선택해도 성립해야 해.
🔵 카이: 「어떤 \(\delta q\)라도」라니, 왜 그것으로 괄호 안의 내용이 0이라고 할 수 있나요?
🟡 리나: 귀류법으로 생각해 봐. 만약 괄호 안의 내용이 어떤 시각 \(t^*\)에서 0이 아니었다고 하자——예를 들어 양이었다고 하자. 연속함수이니까, \(t^*\) 근처에서도 양인 채야. 거기서, \(t^*\) 근처에서만 양이고 나머지는 0인 \(\delta q\)를 선택하면?
🔵 카이: 아, 양 × 양 = 양이니까, 그 부분의 적분은 양이 돼요. 나머지는 0이니까 전체도 0이 되지 않아요……!
🟡 리나: 맞아. \(\delta S \neq 0\)이 되어 버려서, 「임의의 \(\delta q\)에서 \(\delta S = 0\)」에 모순돼. 따라서 괄호 안의 내용은 모든 시각에서 0이어야 해:
🔵 카이: ……그런데 선생님, 이 식만 봐서는 \(F = ma\)와 같다는 게 전혀 안 보이는데요. \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)가 뭘 나타내는 건가요?
🟡 리나: 이것이 Euler-Lagrange(오일러-라그랑주) 방정식이야. 겉보기에는 \(F = ma\)와 전혀 다르지. 하지만 지금부터 구체적인 \(L\)을 대입해서 같은 결과를 재현할 테니, 그러면 각 항의 의미도 보이게 될 거야.
🟡 리나: 참고로, 다자유도의 경우(좌표가 \(q_1, q_2, \ldots, q_n\))는 각 좌표 \(q_i\)에 대해 독립적으로 같은 형태의 방정식이 성립해:
하지만 우선 1자유도에서 \(F = ma\)가 나오는 것을 확인하자.
✅ 이해도 체크: 변분 \(\delta q(t)\)와 통상의 미분 \(dq\)의 차이는 무엇일까요?
답
\(dq\)는 같은 경로 위에서 시각을 조금 옮겼을 때의 \(q\)의 변화. \(\delta q\)는 같은 시각에서 경로 자체를 다른 경로로 옮겼을 때의 변화. \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\)(끝점 고정)이 부과된다.
✅ 이해도 체크: Euler-Lagrange 방정식의 도출에서 부분적분을 사용하는 목적은 무엇일까요?
답
피적분함수에 포함된 \(\delta\dot{q}\)(\(\delta q\)의 시간 미분)를 제거하고, 전체를 「(무언가) \(\times \delta q\)」의 형태로 정리하기 위해서. 부분적분으로 미분을 \(\partial L/\partial \dot{q}\) 쪽에 떠넘기고, 끝점 고정 조건으로 경계항을 소거한다.
Newton의 운동방정식 재현¶
🟡 리나: 그러면 이 Euler-Lagrange 방정식이 Newton의 \(F = ma\)를 재현하는 것을 확인해 보자. 질량 \(m\)인 입자가 1차원에서 퍼텐셜 \(V(x)\) 안을 운동하는 경우:
🟡 리나: Euler-Lagrange 방정식의 각 항을 계산하자. 먼저 \(\dot{x}\)에 의한 편미분:
이것은 운동량 \(p = m\dot{x}\)에 다름없어. 다음으로 시간 미분:
그리고 \(x\)에 의한 편미분:
🔵 카이: \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)가 운동량이고, \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)가 질량×가속도——즉 Euler-Lagrange 방정식의 좌변은 「\(ma\)」 부분이군요!
🟡 리나: Euler-Lagrange 방정식에 대입하면:
정리하면:
🔵 카이: 우변의 \(-dV/dx\)는…… 아, 아까 중력에서 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)라고 배웠잖아요. 같은 구조로 「힘은 퍼텐셜의 기울기」라는 것은, \(-dV/dx\)가 힘 \(F\)라는 건가요?
🟡 리나: 맞아. \(F = -dV/dx\)는 「힘은 퍼텐셜 에너지가 줄어드는 방향으로 작용한다」는 일반적 관계야. 중력의 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)는 그 특수한 경우였어. 즉 \(m\ddot{x} = F\)——Newton의 운동방정식 \(F = ma\)가 최소 작용의 원리에서 도출됐어.
⚪ 메이: 출발점은 완전히 다르지만——「경로 전체를 바라보고 작용을 극값으로 만든다」——도달하는 방정식은 같은 \(F = ma\)야. 두 정식화가 같은 물리를 기술하고 있음이 확인됐네.
✅ 이해도 체크: \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)\)일 때, \(\partial L/\partial \dot{x}\)는 물리적으로 무엇을 나타낼까요?
답
운동량 \(p = m\dot{x}\). Lagrangian을 속도 \(\dot{x}\)로 편미분하면 운동량이 나온다. 일반적으로 \(\partial L/\partial \dot{q}\)를 일반화 운동량(정준 운동량이라고도 불림)으로 정의한다. 지금의 경우는 통상의 운동량 \(m\dot{x}\)와 일치한다.
🔵 카이: 그런데 선생님, 아까 「시점과 종점을 고정한다」고 했잖아요. 종점을 알고 있지 않으면 사용할 수 없다면, 미래를 예측할 수 없는 거 아닌가요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 사실 「시점과 종점을 고정한다」는 것은, Euler-Lagrange 방정식을 도출하기 위한 수학적 테크닉이지, 「물리적으로 종점을 알고 있어야 사용할 수 있다」는 의미가 아니야.
🔵 카이: 무슨 뜻인가요?
🟡 리나: 최소 작용의 원리의 역할은 「올바른 운동방정식을 도출하는 장치」야. 거기서 나온 Euler-Lagrange 방정식은 경계 조건에 의존하지 않는 보편적인 미분방정식이야. 실제로 미래를 예측할 때는, 이 방정식에 「초기 위치 \(q(t_1)\)과 초기 속도 \(\dot{q}(t_1)\)」을 줘서 풀어——이것은 \(F = ma\)에 초기 조건을 줘서 푸는 것과 완전히 같아.
⚪ 메이: 즉, 최소 작용의 원리는 「올바른 방정식을 찾는 원리」이고, 예측을 실행하는 것은 거기서 나온 Euler-Lagrange 방정식 쪽이라는 거네. 「시점과 종점을 고정」은 방정식을 도출할 때의 발판이지, 사용이 끝나면 치워도 돼.
중력장 내 자유낙하의 예¶
🟡 리나: 하나 더 구체적인 예를 해 두자. 연직 위쪽을 \(y\)축 양의 방향으로 잡은 자유낙하. 높이 \(y\)에서의 퍼텐셜 에너지는 \(V = mgy\)이니까:
Euler-Lagrange 방정식:
Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0\)에 대입하면:
⚪ 메이: 등가속도 운동 \(\ddot{y} = -g\)가 나왔어. Galileo의 낙체 법칙 그 자체네.
왜 최소 작용의 원리가 중요한가¶
🔵 카이: 그런데 선생님, 같은 답이 나온다면, 일부러 다른 정식화를 하는 의미는요?
🟡 리나: 3가지 이유가 있어.
🟡 리나: 첫째, 대칭성이 잘 보여. Lagrangian이 시간에 의존하지 않으면 에너지가 보존되고, 공간에 의존하지 않으면 운동량이 보존돼——이런 「대칭성과 보존량의 관계」가 자동으로 나와(Noether의 정리, 제 15 장 Killing 벡터와 보존량의 관계에서 다시 등장해).
🔵 카이: 「Lagrangian이 시간에 의존하지 않는다」는 게, 구체적으로 어떤 건가요?
🟡 리나: 예를 들어 자유낙하의 \(L = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy\)를 봐. \(g\)는 상수이니까, 이 \(L\)의 식에 시각 \(t\)가 직접 나타나지 않아——「언제 실험해도 같은 형태」지. 물론 \(y\)나 \(\dot{y}\)는 시간과 함께 변하지만, 그것은 「경로를 따른 변화」이지 \(L\)의 함수 형태 자체가 \(t\)에 의존하는 것은 아니야. 이런 때 \(\partial L/\partial t = 0\)이라고 써. 이것은 「\(L(q, \dot{q}, t)\)의 3번째 입력 슬롯 \(t\)로 미분해도 0」이라는 의미——아까 \(q\)와 \(\dot{q}\)를 독립 변수로 취급한 것과 같은 발상으로, \(q\)와 \(\dot{q}\)를 고정한 채 \(t\)로 미분해. \(L\)의 식에 \(t\)가 명시적으로 들어 있지 않으니까 당연히 0이지. 「시간 병진 대칭성이 있다」고 말해. 이 경우에 보존되는 에너지는 \(T + V = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy\)——Lagrangian은 \(T - V\)이지만, 보존량으로 나오는 것은 \(T + V\)(전체 에너지)야. 낙하 중에 속도가 늘어도, 그만큼 높이가 낮아지니까 합은 일정해. 왜 \(\partial L/\partial t = 0\)에서 이것이 도출되는지는 제 15 장 Killing 벡터와 보존량에서 증명하지만, 지금은 「그런 강력한 정리가 있다」고 기억해 둬.
🔵 카이: 대칭성이 뭔가요? 자주 듣는 말인데, 물리학에서는 어떤 의미인가요?
🟡 리나: 한마디로 말하면, 「어떤 연산을 해도 물리법칙(Lagrangian의 형태)이 변하지 않는」 것이야. 정리해 둘게.
대칭성이란 — 「바꿔도 변하지 않는」 것
물리학에서 「대칭성이 있다」란, 어떤 연산을 해도 물리법칙이 변하지 않는 것을 말한다.
연산 대칭성의 이름 도출되는 보존량 실험하는 장소를 이동 공간 병진 대칭성 운동량 실험하는 시각을 이동 시간 병진 대칭성 에너지 실험 장치를 회전 회전 대칭성 각운동량 「대칭성이 하나 있을 때마다 보존량이 하나 나온다」——이것이 Noether(뇌터)의 정리. 제 15 장 Killing 벡터와 보존량의 관계로서 재등장하며, 「장의 양자론」편 제 3 장 일반적인 증명을 다룬다.
주의: 대칭성은 「자연이 반드시 가지고 있어야 하는 것」이 아니다. 「이 대칭성이 있다고 가정하면 실험과 맞는 결과가 나왔다」는 형태로 검증되는 가설의 일부이다.
🔵 카이: 그렇군요. 그러면 아까 자유낙하의 예에서, 「서울에서 실험해도 부산에서 실험해도 같은 \(\ddot{y} = -g\)가 나온다」는 것이 공간 병진 대칭성……인 건가요? 그런데 표에는 「운동량이 보존된다」고 써 있는데, 자유낙하에서 운동량이 보존되고 있었나요? 떨어질 때 속도가 변하잖아요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 조금 정리해 줄게. 카이가 말하는 「서울에서도 부산에서도 같은 법칙」은 올바른 직관이고, 확실히 대칭성의 일종이야. 다만 Noether의 정리가 말하는 「대칭성 → 보존량」은 좀 더 구체적이야. 포인트는 「Lagrangian이 어떤 좌표에 의존하지 않으면, 그 방향의 운동량이 보존된다」는 것이야. 1차원 자유낙하 \(L = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy\)에서는 \(y\)가 \(L\)에 들어 있으니까 \(y\) 방향의 운동량은 보존되지 않아——카이의 직관대로야. 하지만 공을 비스듬히 던지는 경우를 생각해 봐. 수평 방향 \(x\)와 연직 방향 \(y\) 둘 다 포함하면 \(L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - mgy\)로 쓸 수 있어(운동에너지에 \(x\) 방향의 기여 \(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\)를 추가한 것뿐). 이 식을 보면, \(x\)(수평 방향)가 \(L\)에 명시적으로 나타나지 않지. 즉 \(x \to x + \text{상수}\)로 해도 \(L\)이 변하지 않아——이것이 「수평 방향의 공간 병진 대칭성」이야. Noether의 정리에 따르면, 이 대칭성에 대응하여 수평 방향의 운동량 \(m\dot{x}\)가 보존돼. 던진 공의 수평 속도가 일정한 것이 바로 이거야. 한편 연직 방향에는 \(mgy\) 항이 있으니까 \(y\) 방향의 병진 대칭성은 없고, 연직 방향의 운동량은 보존되지 않아(중력으로 가속되니까).
🔵 카이: 아, 그렇구나. 「장소를 바꿔도 법칙이 같다」는 큰 이야기와, 「Lagrangian에 \(x\)가 들어 있지 않으니까 \(x\) 방향의 운동량이 보존된다」는 구체적인 이야기는 수준이 다른 거군요. 후자가 훨씬 구체적이고, 어느 방향에 보존량이 있는지까지 알려줘요.
🟡 리나: 맞아. Noether의 정리는 「어떤 대칭성이 어떤 보존량에 대응하는지」를 일대일로 연결해 줘. 그래서 강력한 거야.
🟡 리나: 둘째, 좌표계를 선택하지 않아. \(F = ma\)를 성분으로 써 내려가면, 극좌표에서는 원심력이나 코리올리력 같은 겉보기 항이 나타나서 식의 형태가 바뀌어 버려. 하지만 Euler-Lagrange 방정식은 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\)이라는 같은 형태 그대로, 어떤 좌표에서든 사용할 수 있어. 제 2 장 이후에서 배우는 일반상대론에서는, 좌표계에 의존하지 않는 기술이 본질적으로 중요해져.
⚪ 메이: 좌표계를 바꿔도 방정식의 「형태」가 변하지 않는 것은, 앞으로의 일반상대론에서 좌표의 자유도를 다룰 때 본질적으로 작용하겠네.
🟡 리나: 셋째, 장 이론으로의 확장이 자연스러워. 입자의 Lagrangian \(L(q, \dot{q})\)를 「장의 Lagrangian 밀도」라 불리는 양으로 확장하면, 장의 운동방정식이 같은 틀로 도출돼. 기호나 세부사항은 부록 C 장 이론에서 다루지만, 중요한 것은 「Lagrangian을 써서 작용을 극값으로 만든다」는 절차가 완전히 같다는 것. 제 14 장 Einstein 방정식도, 제 24 장 Einstein-Hilbert 작용의 변분도, 모두 이 원리 위에 서 있어.
🔵 카이: 그러면 전자기학이나 일반상대론에서도, Lagrangian을 쓰고 같은 절차로 방정식을 내는 건가요? 완전히 다른 물리인데 같은 방법을 쓸 수 있다니…… 그런데, 왜 자연은 항상 「작용을 극값으로 만든다」는 형태로 기술할 수 있는 건가요? 그 자체가 신기하지 않나요?
🟡 리나: 깊은 질문이야. 솔직히 말하면, 「왜 최소 작용의 원리가 성립하는가」에 대한 궁극적인 답은 모르고 있어. 다만, 물리학의 모든 기본적인 모델은 Lagrangian을 써 내려가서 작용을 극값으로 만든다는 형태로 정식화할 수 있어——그리고 그 결과가 실험과 맞아. \(F = ma\)는 Newton 역학 전용이지만, 최소 작용의 원리는 「공통 언어」로서 모든 분야에서 사용할 수 있어. 이것이 앞으로 계속 사용할 도구야.
✅ 이해도 체크: 최소 작용의 원리가 \(F = ma\)보다 우수한 이유로 본문에서 거론된 3가지 중 1가지를 서술하세요.
답
(다음 중 어느 1가지) (1) 대칭성과 보존량의 관계가 자동으로 보인다. (2) 좌표계를 선택하지 않는다. (3) 장 이론으로의 확장이 자연스럽게 된다.
✅ 이해도 체크: Noether의 정리에 따르면, Lagrangian이 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때(\(\partial L/\partial t = 0\)), 무엇이 보존될까요?
답
에너지가 보존된다. 이것은 「시간 병진 대칭성」(언제 실험해도 물리법칙이 같음)에 대응하는 보존량이다.
Lagrangian은 어떻게 찾는가¶
🔵 카이: 그런데 선생님, Lagrangian은 어떻게 찾나요? 누군가가 「\(L = T - V\)로 하자」고 정한 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. Lagrangian을 찾는 방법은 크게 2가지가 있어. 첫째, 대칭성으로 제약한다. 「이 계는 이런 대칭성을 가져야 한다」고 요청하면, Lagrangian의 형태가 상당히 좁혀져. 둘째, 실험과 대조한다. 후보 Lagrangian에서 운동방정식을 도출하고, 실험 결과와 비교해. 맞지 않으면 Lagrangian을 수정해.
⚪ 메이: 즉, Lagrangian 자체가 「가설」인 거네.
🟡 리나: 맞아. 물리학자의 일은 「올바른 Lagrangian을 찾는 것」이라고 해도 과언이 아니야. Newton 역학에서는 \(L = T - V\), 전자기학에서는 다른 형태, 일반상대론에서는 스칼라 곡률 \(R\)을 사용한 Einstein-Hilbert 작용이야. 형태는 다르지만, 「Lagrangian을 써서 작용을 극값으로 만든다」는 틀은 모두 공통이야.
✅ 이해도 체크: 작용 \(S\)는 어떻게 정의될까요? Lagrangian \(L\)이란 무엇일까요?
답
\(S = \int_{t_1}^{t_2} L\, dt\). Lagrangian은 \(L = T - V\)(운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 차).
✅ 이해도 체크: Euler-Lagrange 방정식을 쓰고, \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)\)에서 Newton의 운동방정식이 나오는 것을 확인해 보세요.
답
Euler-Lagrange 방정식: \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\). \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)\)를 대입하면 \(m\ddot{x} = -dV/dx\), 즉 \(F = ma\).
1.8 이 장의 정리¶
🟡 리나: 오늘의 내용을 정리해 둘게.
- Newton의 만유인력 \(F = Gm_1m_2/r^2\)을, 중력장 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)와 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)를 사용해 「장 이론」으로 다시 썼다
- 퍼텐셜을 결정하는 장의 방정식이 Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\)
- 성공 사례: 해왕성의 발견——Newton 모델의 정량적 예측이 훌륭하게 확인됐다
- 한계①: 수성의 근일점 이동——Newton 모델의 예측이 관측과 100년당 43초각 벗어난다
- 한계②: Poisson 방정식에 시간 미분이 없어, 중력의 변화가 순간적으로 전파된다——특수상대론과 모순된다
- 최소 작용의 원리——Lagrangian \(L = T - V\)와 작용 \(S = \int L\,dt\)를 정의하고, 작용의 정류 조건 \(\delta S = 0\)(「최소」라고는 한정되지 않지만 역사적으로 이렇게 부름)에서 Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)을 도출했다. Newton의 \(F = ma\)를 재현했다. 이 틀은 제 8 장 측지선 방정식, 제 14 장 Einstein 방정식, 부록 C 장 이론에서 반복 사용한다
🔵 카이: Newton 모델은 「틀린 것」이 아니라 「더 정확한 모델의 근사」인 거군요.
🟡 리나: 맞아. 프롤로그에서 말한 「모델은 가설」의 구체적인 예를 오늘 처음 본 셈이야.
다음 장 예고¶
제 2 장 여행의 설계도 — 텐서와 Einstein 방정식의 전체상」에서는, Newton 모델의 한계를 넘기 위해 필요한 전체 설계도를 펼친다. 물리의 모델을 좌표계에 의존하지 않는 형태로 쓰기 위한 텐서라는 도구를 도입하고, Einstein의 중력 모델이 「입자의 운동을 결정하는 측지선 방정식」과 「시공간의 형태를 결정하는 Einstein 방정식」의 두 기둥으로 구성됨을 조감한다. 구체적인 수식의 도출은 제 3 장 이후에서 한 걸음씩 진행하지만, 우선 「어디로 향하는지」를 잡는다.
참고문헌¶
- Hartle, J. B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. Addison-Wesley. Ch. 1, Ch. 3.
- Tong, D. (2019). General Relativity. University of Cambridge Part II Mathematical Tripos. Ch. 1. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr.html
- 石井俊全 (2013).『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』ベレ出版. 第 2 章「物理の準備」.
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