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부록 D 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 질량 차원의 결정 (유카와 상호작용)

유카와(湯川) 상호작용의 라그랑지안 밀도는

\[ \mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\bar{\psi}\psi\,\phi \]

예요. 여기서 \(\psi\)는 디랙 장, \(\phi\)는 스칼라 장이에요. 결합 상수 \(g\)의 질량 차원 \([g]\)를 구하세요.

힌트

\([\mathcal{L}] = 4\)인 것과 \([\psi] = 3/2\), \([\phi] = 1\)을 사용해요.

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B-2. 질량 차원의 결정 (6차원 시공간의 스칼라장)

\(d\) 차원 시공간에서 실수 스칼라장의 자유 라그랑지안 밀도는

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

이에요. \(d = 6\)인 경우에 스칼라장 \(\phi\)의 질량 차원 \([\phi]\)를 구하세요. 또한, \(\phi^3\) 상호작용 \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{g}{3!}\phi^3\)의 결합 상수 \(g\)의 질량 차원을 구하세요.

힌트

\(d\) 차원에서는 \([d^d x] = -d\), \([S] = 0\)이므로 \([\mathcal{L}] = d\)이에요. 운동항으로부터 \([\phi]\)를 결정하고, 상호작용항에 대입해요.

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B-3. Feynman 매개변수의 직접 계산

Feynman 매개변수의 기본 공식 (D.24)을 이용하여, 다음 식을 Feynman 매개변수 표시로 다시 써 보세요:

\[ \frac{1}{(k^2 - m^2)((k+q)^2 - m^2)} \]

또한, \(\ell = k + (1-x)q\)로 변수 변환하여, 분모를 \(\ell^2 - \Delta\)의 형태로 정리하세요. \(\Delta\)를 \(m\), \(q^2\), \(x\)로 나타내세요.

힌트

\(A = k^2 - m^2\), \(B = (k+q)^2 - m^2\)로 놓고 식 (D.24)를 적용해요. 완전제곱식 정리의 핵심은 "\(\ell\)의 1차 항이 사라지도록" 변수 변환하는 것이에요.

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B-4. Wick 회전의 부호

다음 Minkowski 공간의 양을 Wick 회전 \(\ell_0 = i\ell_0^E\)에 의해 Euclid 공간의 양으로 다시 써 보세요:

(a) \(\ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2}\)

(b) \(d^4\ell\)

(c) \(\displaystyle\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3}\)

각 단계에서 부호와 \(i\)의 인자를 명시하세요.

힌트

(a) \(\ell_0 = i\ell_0^E\)를 대입한다. (b) \(d\ell_0 = i\,d\ell_0^E\)를 사용한다. (c) (a)의 결과를 대입하고, \((-1)^3\)을 처리한다. \(i\varepsilon\)는 Euclid 공간에서는 불필요해진다.

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B-5. 4차원 구면의 입체각

\(d\)차원 유클리드 공간에서 단위 구면의 넓이(입체각)는

\[ \Omega_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)} \]

로 주어져요. \(d = 2, 3, 4\)의 경우에 각각 \(\Omega_d\)를 계산하고, 알려진 결과(\(2\pi\), \(4\pi\), \(2\pi^2\))와 일치하는지 확인하세요.

힌트

\(\Gamma(1) = 1\), \(\Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\), \(\Gamma(2) = 1\)을 사용해요.

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B-6. \(2\pi\) 인자의 확인

4차원 Fourier 변환의 규약

\[ f(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p)\,e^{ipx}, \qquad \tilde{f}(p) = \int d^4x\;f(x)\,e^{-ipx} \]

이 정합적임을 확인하세요. 즉, \(\tilde{f}(p)\)의 표현식을 \(f(x)\)의 표현식에 대입하여, \(f(x)\)가 항등적으로 재현됨을 보이세요.

힌트

\(\int d^4x'\,e^{i(p-p')\cdot x'} = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p - p')\) 를 사용하세요.

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B-7. Feynman 매개변수의 일반 공식（\(n = 3\)）

3개의 인자 \(A_1, A_2, A_3\)에 대한 Feynman 매개변수의 공식 (D.25)를 구체적으로 써내고, 델타 함수를 사용하여 \(x_3\)을 소거한 형태로 다시 쓰세요. 적분 영역이 어떤 형태가 되는지 그림으로 나타내거나 (말로 기술) 하세요.

힌트

\(\delta(1 - x_1 - x_2 - x_3)\)로 \(x_3 = 1 - x_1 - x_2\)로 놓아요. \(x_1, x_2 \geq 0\)이고 \(x_1 + x_2 \leq 1\)인 영역은 삼각형이에요.

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B-8. 질량 차원에 의한 발산 추정

4차원 시공간에서, 다음 루프 적분의 표면적 발산 차수(superficial degree of divergence)를 질량 차원의 논의로부터 구하세요:

(a) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{k^2 - m^2}\)

(b) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2)^2}\)

(c) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{k^2}{(k^2 - m^2)^3}\)

힌트

\(k \to \infty\)에서 피적분함수의 행동을 조사합니다. \(d^4k \sim k^3 dk\)임에 주의하세요. 피적분함수가 \(k^n\)처럼 행동할 때, \(n + 3 \geq -1\) (즉 \(n \geq -4\))이면 발산해요.

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Medium（표준）

M-1. Feynman 매개변수를 이용한 1루프 적분의 완전한 정리

\(\phi^3\) 이론(질량 \(m\)의 스칼라장, 결합 상수 \(g\))에서 1루프 자기에너지 도형은 외부 운동량 \(p\)에 대해 다음 적분을 포함해요:

\[ \Sigma(p^2) = \frac{g^2}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2 + i\varepsilon)((k-p)^2 - m^2 + i\varepsilon)} \]

다음 단계에 따라 계산을 진행하세요:

(a) Feynman 매개변수 \(x\)를 도입하여 분모를 하나로 합치세요.

(b) 운동량을 \(\ell = k - (1-x)p\)로 변수 변환하고, \(\Delta\)를 \(m^2\), \(p^2\), \(x\)로 표현하세요.

(c) Wick 회전을 수행하여 유클리드 공간에서의 적분으로 다시 쓰세요.

(d) 4차원 구좌표를 이용하여 각도 적분을 수행하고, 지름 방향의 1차원 적분으로 귀착시키세요. 이 적분이 로그 발산함을 보이세요.

힌트

(d)에서 \(\int_0^\Lambda d\ell_E\;\ell_E^3 / (\ell_E^2 + \Delta)^2\)를 계산해요. \(\ell_E \gg \sqrt{\Delta}\)에서 피적분함수가 \(\sim 1/\ell_E\)가 되는 것으로부터 로그 발산을 알 수 있어요.

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M-2. Wick 회전의 정당성 확인

\(\ell_0\) 복소평면 위에서 다음을 보이세요:

(a) Feynman 전파함수의 \(i\varepsilon\) 처방에 의해, \(1/(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)\)의 \(\ell_0\)에 대한 극이 제2사분면과 제4사분면에 위치함을 보이세요 (\(\Delta > 0\)으로 가정해요).

(b) \(\ell_0\)의 적분 경로를 실수축에서 허수축으로 반시계 방향으로 90° 회전시킬 때, 닫힌 경로(사분원호) 위에서 피적분함수가 충분히 빠르게 영으로 감소하여, 호 부분의 기여가 사라짐을 논하세요.

(c) 이상으로부터, Wick 회전이 Cauchy(코시) 적분 정리의 귀결로서 정당화됨을 설명하세요.

힌트

(a) \(\ell_0^2 = \vec{\ell}^{\,2} + \Delta - i\varepsilon\)를 풀면 \(\ell_0 = \pm(\omega - i\varepsilon')\) (\(\omega > 0\))이 돼요. 양의 극은 실수축의 약간 아래(제4사분면 쪽), 음의 극은 실수축의 약간 위(제2사분면 쪽)에 있어요. (b) 사분원호 위에서 \(|\ell_0| \to \infty\)일 때 분모가 \(|\ell_0|^4\)으로 증가하는 것을 이용하세요.

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M-3. 차원 정칙화의 기본 공식 도출

\(d\) 차원 유클리드 공간에서 다음 적분 공식을 도출하세요:

\[ \int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(n - d/2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-d/2}} \]

도출 절차로서:

(a) \(d\) 차원 구면좌표를 사용하여 각도 적분을 수행하고, \(\Omega_d = 2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)\) 를 이용하세요.

(b) 반지름 적분 \(\int_0^\infty d\ell_E\;\ell_E^{d-1}/(\ell_E^2 + \Delta)^n\) 을 \(t = \ell_E^2/\Delta\) 의 변수 치환으로 베타 함수 \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\) 로 귀착시키세요.

힌트

(b) \(t = \ell_E^2 / \Delta\) 로 놓으면 \(d\ell_E = \frac{\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{t}}\,dt\)가 돼요. 피적분함수를 \(t\)로 다시 쓰면 \(\int_0^\infty dt\;t^{d/2-1}/(1+t)^n\) 의 형태가 되며, 이것은 베타 함수 \(B(d/2, n - d/2)\) 와 같아요.

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M-4. 단위의 복원과 산란 단면적 추정

QED에서 \(e^+e^- \to \mu^+\mu^-\)의 전체 산란 단면적은 질량중심계 에너지 \(\sqrt{s} \gg m_\mu\) 극한에서

\[ \sigma = \frac{4\pi\alpha^2}{3s} \]

로 주어져요 (\(\alpha = e^2/(4\pi) \approx 1/137\)).

(a) 자연단위계에서 \(\sigma\)의 질량 차원이 \(-2\)임을 확인하세요.

(b) \(\sqrt{s} = 10\ \text{GeV}\)일 때, 식 (D.6)의 변환 인자를 사용하여 \(\sigma\)를 picobarn (pb) 단위로 구하세요.

(c) 루미노시티 \(\mathcal{L} = 10^{33}\ \text{cm}^{-2}\text{s}^{-1}\)인 가속기에서 하루 동안 기대되는 이벤트 수를 추정하세요.

힌트

(a) \([\alpha] = 0\), \([s] = 2\)이므로 \([\sigma] = -2\). (b) \(\sigma = \frac{4\pi}{3 \times 137^2 \times 100}\ \text{GeV}^{-2}\)를 계산하고, \(1\ \text{GeV}^{-2} = 0.3894\ \text{mb} = 3.894 \times 10^8\ \text{pb}\)로 변환. (c) \(N = \sigma \mathcal{L} T\).

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Advanced（발전）

A-1. 차원 정칙화에서의 \(\gamma_5\) 문제와 ABJ 어노말리

4차원에서 정의되는 \(\gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\)는 \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\) (\(\mu = 0,1,2,3\))을 만족해요. 그러나 차원 정칙화에서 \(d = 4 - 2\epsilon\) 차원으로 해석적 연속을 하면, 이 반교환 관계와 \(\gamma^\mu\)의 트레이스 공식 사이에 모순이 발생해요.

(a) 만약 \(d\) 차원에서도 \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\)이 모든 \(\mu\)에 대해 성립한다고 가정해요. \(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\)를 계산할 때, \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\)와 \(\{\gamma_5, \gamma^\alpha\} = 0\)을 결합하면 모순이 발생함을 보이세요.

(b) 이 모순을 회피하는 't Hooft–Veltman 처방(\(\gamma_5\)는 4차원 부분공간에서만 반교환한다)의 기본적인 아이디어를 설명하고, 이 처방 하에서 삼각 다이어그램(AVV 꼭짓점)의 트레이스 계산이 어떻게 수정되는지 정성적으로 논하세요.

(c) 이상의 논의가 ABJ (Adler–Bell–Jackiw) 어노말리 계산에서 어떤 물리적 귀결을 가져오는지, 축성 커런트(axial current)의 보존 법칙 깨짐의 관점에서 서술하세요.

힌트

(a) \(0 = \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\alpha\gamma_\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\)를 2가지 방법으로 계산해요. \(\gamma^\alpha\)를 오른쪽으로 이동시켜 \(\gamma_5\)와 반교환시키는 방법과, 먼저 \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\)를 사용하는 방법을 비교해요. (b) 't Hooft–Veltman 처방에서는 \(\gamma^\mu\)를 4차원 성분 \(\hat{\gamma}^\mu\)와 \((d-4)\)차원 성분 \(\tilde{\gamma}^\mu\)로 분해하고, \(\gamma_5\)는 \(\hat{\gamma}^\mu\)와만 반교환해요. (c) 정칙화 절차가 축성 대칭성을 깨뜨리고, 유한한 어노말리 항이 남게 돼요.

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A-2. Feynman 매개변수와 Mellin–Barnes 표현의 관계

고차 루프 계산에서는 Feynman 매개변수의 적분이 너무 복잡해지는 경우가 있어요. 그 대안적 기법으로 Mellin–Barnes (멜린-반스) 표현이 있어요.

(a) 다음 항등식을 증명하세요:

\[ \frac{1}{(A + B)^n} = \frac{1}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\;\Gamma(-s)\Gamma(n+s)\;\frac{A^s}{B^{n+s}} \]

여기서 적분 경로는 \(\Gamma(-s)\)의 극(\(s = 0, 1, 2, \ldots\))을 오른쪽에, \(\Gamma(n+s)\)의 극(\(s = -n, -n-1, \ldots\))을 왼쪽에 분리하도록 선택해요.

(b) 이 표현을 이용하여, 질량이 다른 2개의 전파함수를 포함하는 1루프 적분

\[ I(p^2) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(k^2 - m_1^2)((k-p)^2 - m_2^2)} \]

을 Mellin–Barnes 적분으로 표현하고, Feynman 매개변수 표현과 동등함을 확인하세요.

(c) \(m_1 = 0\), \(m_2 = m\), \(p^2 = -Q^2\) (\(Q^2 > 0\): 공간적 운동량)의 경우에, \(Q^2 \gg m^2\)의 극한에서 Mellin–Barnes 표현의 유수 계산을 통해 \(I\)의 점근 전개의 처음 2개 항을 구하세요.

힌트

(a) 우변을 \(s\)의 유수의 합으로 평가하여, \(\sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k}(A/B)^k \cdot 1/B^n\)의 이항 전개로 귀착시키세요. (b) Feynman 매개변수로 \(\Delta\)를 구한 후, \(\Delta\) 안의 2개 항을 Mellin–Barnes로 분리하세요. (c) \(m^2/Q^2 \to 0\)의 극한에서는 \(s = 0, 1\)의 유수가 지배적이에요. \(\Gamma\) 함수의 극의 잔차와 \(\psi\) 함수(디감마 함수)가 나타나요.

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