부록 A 연습문제¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 복소수의 곱셈
- B-2. 복소수의 나눗셈
- B-3. 절댓값과 복소켤레
- B-4. 극형식으로의 변환
- B-5. \(i\) 의 거듭제곱
- B-6. 복소켤레의 계산 규칙
- B-7. Maclaurin 전개의 항 계산
- B-8. \(e^{i\theta}\) 의 계산
- B-9. 극형식과 Euler 공식의 변환
- B-10. \(|e^{i\theta}|\) 의 계산
Medium（표준）
- M-1. 복소켤레 곱의 규칙의 일반적 증명
- M-2. de Moivre(드 무아브르)의 정리의 유도
- M-3. 극형식에 의한 나눗셈 공식의 유도
- M-4. \(\cos\theta\) 와 \(\sin\theta\) 의 지수함수 표현
- M-5. 복소수가 실수가 되는 조건
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 복소수의 곱셈¶
다음 곱을 \(a + bi\) 의 형태로 정리하세요.
(a) \((2 + 3i)(4 - i)\)
(b) \((1 + i)^3\)
(c) \((-2 + i)(3 + 2i)\)
힌트
보통으로 전개하여 \(i^2 = -1\) 을 대입하면 돼요. 공식을 암기할 필요는 없어요. (b)는 먼저 \((1+i)^2\) 을 계산한 다음, 다시 \((1+i)\) 를 곱하면 좋아요.
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B-2. 복소수의 나눗셈¶
다음 몫을 \(a + bi\) 의 형태로 정리하세요.
(a) \(\dfrac{2 + i}{1 + 3i}\)
(b) \(\dfrac{5}{2 - i}\)
(c) \(\dfrac{1 + 2i}{3 - 4i}\)
힌트
분모의 켤레복소수를 분자·분모에 곱하여 분모를 실수화해요. 식 (A.6)의 방법을 사용해요. 예를 들어 (a)에서는 분모 \(1 + 3i\) 의 켤레복소수 \(1 - 3i\) 를 곱해요.
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B-3. 절댓값과 복소켤레¶
다음 각 복소수에 대해, 복소켤레 \(z^*\) 와 절댓값 \(|z|\) 을 구하세요.
(a) \(z = 5 - 12i\)
(b) \(z = -3i\)
(c) \(z = -2 + 2i\)
(d) \(z = 7\)（실수）
힌트
\(z = a + bi\) 일 때, \(z^* = a - bi\), \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) 이에요. (b)는 \(a = 0\), (d)는 \(b = 0\) 인 경우예요. \(|z|^2 = z z^*\) 를 사용해서 검산하면 좋아요（식 (A.15)）.
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B-4. 극형식으로의 변환¶
다음 복소수를 극형식 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)로 나타내세요. 편각 \(\theta\)는 \(-\pi < \theta \leq \pi\) 범위에서 답하세요.
(a) \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\)
(b) \(z = -2\)
(c) \(z = -1 - i\)
(d) \(z = 3i\)
힌트
먼저 \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)를 구해요. 다음으로 \(\tan\theta = b/a\)와 사분면 정보로부터 \(\theta\)를 결정해요. (b)는 실축의 음의 방향, (d)는 허축의 양의 방향에 있는 점이에요.
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B-5. \(i\) 의 거듭제곱¶
다음 값을 구하세요.
(a) \(i^5\)
(b) \(i^{13}\)
(c) \(i^{-1}\)
(d) \(i^{100}\)
힌트
\(i\) 의 거듭제곱은 4개마다 순환해요: \(i^0 = 1,\; i^1 = i,\; i^2 = -1,\; i^3 = -i,\; i^4 = 1,\;\ldots\). 지수를 4로 나눈 나머지로 결정돼요. (c)는 \(i^{-1} = 1/i\) 의 분자와 분모에 \(i\) 를 곱하여 실수화하거나, \(i^{-1} = i^3\) 으로 생각하면 돼요.
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B-6. 복소켤레의 계산 규칙¶
\(z_1 = 2 + i\)、\(z_2 = 1 - 3i\) 로 놓아요. 아래를 직접 계산으로 확인하세요.
(a) \((z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\) 가 성립하는 것을, 좌변과 우변을 각각 계산하여 확인하세요.
(b) \((z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^*\) 가 성립하는 것을 확인하세요.
힌트
(a) 먼저 \(z_1 z_2\) 를 계산하고, 그 결과의 복소켤레를 취해요 (좌변). 다음으로 \(z_1^* = 2 - i\)、\(z_2^* = 1 + 3i\) 를 곱해요 (우변). 양쪽이 일치하면 OK예요.
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B-7. Maclaurin 전개의 항 계산¶
\(e^x\) 의 Maclaurin 전개(식 (A.25))를 5차 항까지 써 내려가고, \(x = 2\) 를 대입하여 \(e^2\) 의 근사값을 소수점 둘째 자리까지 구하세요. (참고: \(e^2 \approx 7.389\))
힌트
$\(e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}\)$ 에 \(x = 2\) 를 대입해요. \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\) 을 사용해요.
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B-8. \(e^{i\theta}\) 의 계산¶
오일러 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 를 이용하여, 다음 값을 \(a + bi\) 의 형태로 나타내세요.
(a) \(e^{i\pi/4}\)
(b) \(e^{i\pi/2}\)
(c) \(e^{i\pi}\)
(d) \(e^{-i\pi/3}\)
힌트
\(\cos\) 과 \(\sin\) 의 값을 대입하기만 하면 돼요. (d)는 \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\) (식 (A.28)에서 \(\theta\) 를 \(-\theta\) 로 치환)를 사용해요.
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B-9. 극형식과 Euler 공식의 변환¶
다음 복소수를 \(re^{i\theta}\) 의 형태(Euler 공식을 이용한 극형식)로 나타내세요.
(a) \(z = 1 + i\)
(b) \(z = -\sqrt{3} + i\)
(c) \(z = -5i\)
힌트
D4와 같은 절차로 \(r\)과 \(\theta\)를 구하고, \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\)로 쓰면 돼요.
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B-10. \(|e^{i\theta}|\) 의 계산¶
임의의 실수 \(\theta\)에 대해 \(|e^{i\theta}| = 1\)임을, 식 (A.15)의 관계 \(|z|^2 = zz^*\)를 이용하여 보여주세요.
힌트
\(z = e^{i\theta}\)일 때 \(z^* = e^{-i\theta}\)이에요. \(zz^* = e^{i\theta} e^{-i\theta}\)를 지수 법칙으로 계산해요.
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Medium（표준）¶
M-1. 복소켤레 곱의 규칙의 일반적 증명¶
임의의 복소수 \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) (\(a, b, c, d\)는 실수)에 대해,
가 성립함을, 식 (A.5)의 곱셈의 정의와 복소켤레의 정의(식 (A.12))를 이용하여 증명하세요.
힌트
좌변: 먼저 \(z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)를 계산하고, 복소켤레를 취한다. 우변: \(z_1^* z_2^* = (a - bi)(c - di)\)를 전개한다. 양변을 비교한다.
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M-2. de Moivre(드 무아브르)의 정리의 유도¶
Euler의 공식을 이용하여, 임의의 정수 \(n\)에 대해
가 성립함을 보이세요. 나아가 \(n = 2\)인 경우에 실부와 허부를 비교하여 \(\cos 2\theta\)와 \(\sin 2\theta\)의 2배각 공식을 유도하세요.
힌트
\(e^{i\theta}\)의 \(n\)제곱을 지수법칙으로 계산하고, 다시 Euler의 공식을 적용해요. \(n=2\)일 때 좌변을 \((e^{i\theta})^2 = (\cos\theta + i\sin\theta)^2\)으로 전개하고, 우변 \(\cos 2\theta + i\sin 2\theta\)와 실부·허부를 비교해요.
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M-3. 극형식에 의한 나눗셈 공식의 유도¶
두 복소수 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\), \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) (\(r_2 \neq 0\))에 대해,
가 성립함을 보이세요. 이 결과를 이용하여, "복소수의 나눗셈은 절댓값의 나눗셈과 편각의 뺄셈이다"라는 것을 설명하세요.
힌트
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}}\) 를 지수법칙 \(e^{i\alpha}/e^{i\beta} = e^{i(\alpha - \beta)}\) 을 사용하여 정리해요. 이 지수법칙 자체는 \(e^{-i\beta}\) 를 곱하는 것으로 보일 수 있어요.
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M-4. \(\cos\theta\) 와 \(\sin\theta\) 의 지수함수 표현¶
오일러 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 와 그 복소켤레 \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\) 를 연립하여 풀어서,
를 도출하세요. 나아가, 이 결과와 식 (A.13), (A.14)의 구조를 비교하고, \(e^{i\theta}\) 와 \(e^{-i\theta}\) 의 관계가 복소켤레 관계임을 확인하세요.
힌트
\(e^{i\theta}\) 와 \(e^{-i\theta}\) 의 두 식을 연립방정식으로 간주하여 \(\cos\theta\) 와 \(\sin\theta\) 에 대해 풀어요. 식 (A.13)은 \(\operatorname{Re}(z) = (z + z^*)/2\) 이며, \(z = e^{i\theta}\) 로 놓으면 \(z^* = e^{-i\theta}\) 이므로……
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M-5. 복소수가 실수가 되는 조건¶
복소수 \(z\)가 실수이기 위한 필요충분조건은 \(z = z^*\)임을 증명하세요. 마찬가지로, \(z\)가 순허수이기 위한 필요충분조건은 \(z = -z^*\) (그리고 \(z \neq 0\))임을 증명하세요.
힌트
\(z = a + bi\)로 놓고, \(z = z^*\) 즉 \(a + bi = a - bi\)로부터 무엇을 알 수 있는지 생각해 보세요. 순허수의 경우는 \(z = -z^*\) 즉 \(a + bi = -(a - bi) = -a + bi\)로부터 생각하면 돼요.
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Advanced（발전）¶
A-1. 복소수의 \(n\) 제곱근과 정 \(n\) 각형¶
방정식 \(z^n = 1\)（\(n\)은 양의 정수）의 해를 모두 구하세요.
(a) \(z = re^{i\theta}\)로 놓고, \(|z| = 1\) 및 편각의 조건으로부터 \(n\)개의 해가
임을 보이세요.
(b) 이 \(n\)개의 해를 복소평면 위에 나타내면, 단위원에 내접하는 정 \(n\)각형의 꼭짓점이 됨을 설명하세요.
(c) \(n\)개의 "1의 \(n\) 제곱근"의 총합
이 성립함을 등비급수의 공식을 이용하여 증명하세요.
(d) 양자역학에서는 이산 Fourier(푸리에) 변환에 같은 구조가 나타나요. \(n = 4\)인 경우에 4개의 해를 구체적으로 구하고, 그것이 \(\{1, i, -1, -i\}\)임을 확인하세요.
힌트
(a) \(z^n = r^n e^{in\theta} = 1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}\)으로부터 \(r^n = 1\) 및 \(n\theta = 2\pi k\)（\(k\)는 정수）. \(r > 0\)이므로 \(r = 1\). 편각은 \(2\pi\)의 주기성을 고려하여 \(k = 0, 1, \ldots, n-1\)에서 서로 다른 해를 줘요.
(c) \(\sum_{k=0}^{n-1} (e^{2\pi i/n})^k\)는 첫째항 \(1\), 공비 \(\omega = e^{2\pi i/n}\)인 등비급수예요. 공식 \(\frac{1 - \omega^n}{1 - \omega}\)를 사용하고, \(\omega^n = e^{2\pi i} = 1\)에 주의하세요.
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A-2. 양자역학으로의 연결: 복소 진폭의 간섭¶
양자역학에서는 입자가 어떤 지점에 도달하는 "확률진폭"이 복소수로 주어져요. 2개의 경로(경로 1과 경로 2)를 통과하는 경우, 각 경로의 진폭을 \(\phi_1 = r_1 e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = r_2 e^{i\beta}\)로 하면, 전체 진폭은 \(\phi = \phi_1 + \phi_2\)이며, 검출 확률은 \(P = |\phi|^2\)으로 주어져요.
(a) \(P = |\phi_1 + \phi_2|^2\)을 전개하여,
를 유도하세요.
(b) 만약 확률진폭이 실수만 취할 수 있다면(즉, \(\alpha, \beta\)가 \(0\) 또는 \(\pi\)만 가능하다면), 간섭항 \(2r_1 r_2 \cos(\alpha - \beta)\)이 취할 수 있는 값은 \(\pm 2r_1 r_2\)로 한정됨을 보이세요. 반면, \(\alpha - \beta\)가 연속적으로 변할 수 있는 경우에는 간섭항이 \(-2r_1 r_2\)에서 \(+2r_1 r_2\)까지 연속적으로 변함을 설명하고, "복소수가 본질적으로 필요한" 이유의 일면을 논하세요.
(c) 특히 \(r_1 = r_2 = r\)일 때, \(\alpha - \beta = \pi\)(위상차 \(\pi\))에서 \(P = 0\)이 됨을 보이세요. 이것은 2개의 파동이 완전히 상쇄하는 것(destructive interference; 파괴적 간섭)에 해당해요. 이 결과가 "확률은 항상 양수"라는 고전적 직관과 어떻게 다른지 2~3문장으로 서술하세요.
힌트
(a) \(|\phi|^2 = \phi \phi^*\)를 사용해요. \(\phi = \phi_1 + \phi_2\)이므로 \(\phi^* = \phi_1^* + \phi_2^*\)예요. 전개하면 \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1 \phi_2^* + \phi_1^* \phi_2\)가 나타나요. 마지막 2항(교차항)을 \(r_1 r_2 e^{i(\alpha-\beta)} + r_1 r_2 e^{-i(\alpha-\beta)}\)로 쓰고, S4의 \(\cos\) 표현을 사용하세요.
(c) \(P = 2r^2(1 + \cos(\alpha - \beta))\)의 형태로 만들고 \(\alpha - \beta = \pi\)를 대입하세요. 고전 확률에서는 각 경로의 확률을 더하면 \(P_{\text{classical}} = r_1^2 + r_2^2 > 0\)이 되어 상쇄가 일어나지 않아요.
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