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제 2 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 물리량의 텐서 계수 판별

다음 물리량에 대해 텐서로서의 계수(0계·1계·2계)를 답하세요.

(a) 온도 \(T\) (b) 힘 \(\vec{F}\) (c) 질량 \(m\) (d) 속도 \(\vec{v}\) (e) 시공간 간격 \(ds^2\) (f) 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\) (g) 에너지-운동량 텐서 \(T_{\mu\nu}\) (h) 4원 속도 \(U^\mu\)

힌트

첨자의 개수에 주목하세요. 첨자가 0개이면 스칼라(0계), 1개이면 벡터(1계), 2개이면 2계 텐서예요.

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B-2. Newton 운동방정식의 한계

Newton의 운동방정식 \(\vec{F} = m\vec{a}\)는 공간의 회전이나 평행이동에 대해서는 불변이에요. 하지만 이것은 일반상대론에서 요구하는 「모든 좌표계에서 같은 형태를 취한다」는 요청을 완전히 만족시키지는 못해요. 부족한 점을 2가지 들어 설명하세요.

힌트

(1) 공간만의 3차원 벡터로는 「시공간의 회전」(관성계 사이의 변환)에 대응할 수 없어요. (2) 중력을 힘으로 취급하는 한, 특수상대론과의 모순(중력의 순간 전파)이 해소되지 않아요.

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B-3. Newton과 Einstein의 두 기둥의 대응

Einstein의 중력 모델은 입자의 운동을 결정하는 식과 시공간의 형태를 결정하는 식의 두 기둥으로 구성돼요. Newton의 중력 모델과 대응시키면서, 각각의 식의 이름과 역할을 답하세요.

Newton Einstein
입자의 운동 ? ?
장의 방정식 ? ?
힌트

Newton 측: \(\vec{F} = m\vec{a}\) 와 Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\). Einstein 측: 측지선 방정식과 Einstein 방정식 \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\).

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Medium（표준）

M-1. 측지선 방정식의 이해

측지선 방정식

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

에 대해 다음에 답하세요.

(a) 이 식의 우변이 0이라는 것은 물리적으로 무엇을 의미하나요? Newton의 \(\vec{F} = m\vec{a}\)에서 우변과의 대응을 서술하세요.

(b) 접속 계수 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)는 무엇으로부터 결정되나요?

(c) 하전 입자가 전자기장 속을 운동하는 경우, 이 식의 우변은 어떻게 되나요? 그 경우, 입자의 궤적을 측지선이라고 부를 수 있나요?

힌트

(a) 우변이 0 = 힘이 없음 = 측지선은 "중력 이외의 힘이 작용하지 않는 물체의 세계선"이에요. (b) 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)의 1계 미분으로부터 결정돼요. (c) 우변에 전자기력의 4원 버전 \(qF^{\mu}{}_{\nu}(dx^\nu/d\tau)\)가 들어가며, 측지선이 아니게 돼요.

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M-2. Einstein 방정식의 계수

Einstein 방정식 \(G_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}\) 에 대해 아래에 답하세요.

(a) 좌변의 \(G_{\mu\nu}\) (Einstein 텐서)와 우변의 \(G\) (만유인력 상수)의 차이를 설명하세요.

(b) 계수 \(8\pi G/c^4\) 는 어떻게 결정되나요?

(c) 약한 중력·느린 속도의 극한에서, 이 방정식은 Newton의 어떤 식으로 귀착되나요?

힌트

(a) \(G_{\mu\nu}\) 는 첨자가 붙은 2계 텐서이고, \(G\) 는 첨자가 없는 스칼라 상수예요. 같은 기호를 사용하는 것은 역사적인 우연이에요. (b) Newton의 Poisson 방정식과 정합하도록 결정돼요. (c) Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\).

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Advanced（발전）

A-1. 계량 텐서에서 파생되는 양

접속 계수 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) 와 아인슈타인 텐서 \(G_{\mu\nu}\) 는 둘 다 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\) 로부터 만들어지는 양이에요. 각각 계량의 몇 계 미분으로부터 만들어지는지, 그리고 각각이 물리적으로 "무엇을 결정하는 양"인지 답하세요.

힌트

\(\Gamma\) 는 계량의 1계 미분으로부터 만들어지며, 측지선 방정식을 통해 입자의 궤도를 결정해요. \(G_{\mu\nu}\) 는 계량의 2계 미분(리만 텐서, 리치 텐서를 경유)으로부터 만들어지며, 시공간의 휘어짐 그 자체를 나타내요.

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