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Appendix D　대표적인 시공간의 곡률량：공식집

← C 장의 라그랑지안과 오일러-라그랑주 방정식이 여행에 오신 것을 환영합니다 →

이전까지의 줄거리: 부록 C 까지에서 텐서 해석의 계산 기법과 미분형식의 도구들을 정비했다. 여기까지의 본편에서 Schwarzschild (슈바르츠실트) 시공간, 일반 구대칭 시공간, Friedmann-Robertson-Walker (프리드만-로버트슨-워커, FRW) 우주 모델 등 많은 구체적인 시공간을 다루어 왔다. 그러나 각 장에 흩어진 결과를 매번 다시 찾는 것은 번거롭다.

이 장의 목표

  • 지금까지의 모든 장에서 등장한 대표적인 시공간에 대해 계량·Christoffel 기호·Riemann 곡률 텐서·Einstein 텐서를 일람표로 정리한다
  • 앞으로의 응용이나 연습에서 "사전"으로 반복 참조할 수 있는 공식집을 완성한다

🟡 리나: 자, 둘 다. 여기까지 긴 여정이었어. 특수상대론부터 시작해서, 휘어진 시공간, 측지선, 블랙홀, 우주론, 그리고 Einstein 방정식——방대한 내용을 배워왔지.

🔵 카이: 솔직히, 이제 머리가 터질 것 같아요……. Schwarzschild의 Christoffel 기호라든가, FRW의 Einstein 텐서라든가, "그거 뭐였지?" 하게 되거든요.

⚪ 메이: 나도 그래. 매번 처음부터 다시 계산하는 건 현실적이지 않아.

🟡 리나: 그래서 이 장을 만드는 거야. 수학 공식집을 시험에 가져가는 것과 같은 감각으로, 일반상대론의 사전으로 사용해 줬으면 해. 계산의 "결과"를 정리하는 것뿐만 아니라, 각 양의 물리적 의미도 확인하면서 진행할 거야.

D.1　기본 정의의 확인

🟡 리나: 먼저, 공식집에 등장하는 모든 기하학적 양의 정의를 한 곳에 정리해 둘게. 본편의 제4장 이후에서 배운 내용의 요약이기도 해. 이 장에서 다루는 3가지 주요 계량의 전체 그림은 그림 D.1「주요 계량의 비교」를 봐. Minkowski(평탄), Schwarzschild(구대칭 진공), FRW(균일 등방 우주)——이 3가지가 일반상대론에서 가장 기본적인 계량이야.

주요 계량의 비교

그림 D.1: 주요 계량의 비교. Minkowski, Schwarzschild, FRW의 3가지 주요 계량.

D.1.1　계량 텐서（metric tensor）

🟡 리나: 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}\)는 시공간의 "자". 두 점 사이의 선소를

\[ ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta \]

로 정해. 평탄한 Minkowski 시공간에서는 \(g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\). 중력이 있는 경우에는 \(g_{\alpha\beta}\)가 좌표의 함수가 돼.

🔵 카이: 계량 텐서가 "중력장 그 자체"를 나타내는 거였죠.

🟡 리나: 맞아. Newton의 모델에서는 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)가 중력장을 나타냈지만, Einstein의 모델에서는 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}\)가 그 역할을 담당해.

D.1.2　Christoffel 기호

\[ \Gamma^\mu{}_{\nu\sigma} = \frac{1}{2}g^{\mu\alpha}\left(\partial_\nu g_{\alpha\sigma} + \partial_\sigma g_{\alpha\nu} - \partial_\alpha g_{\nu\sigma}\right) \]

🟡 리나: 정의식을 보면 알 수 있듯이, \(\nu\)와 \(\sigma\)를 바꿔도 우변은 변하지 않아. 즉 아래 첨자에 대해 대칭: \(\Gamma^\mu{}_{\nu\sigma} = \Gamma^\mu{}_{\sigma\nu}\). 이것으로 독립 성분의 수가 거의 절반으로 줄어.

⚪ 메이: 정의식의 구조에서 자동으로 따르는 성질이네.

🟡 리나: 물리적으로는 측지선 방정식

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

에 등장하는 양이야. "휘어진 시공간에서 곧게 나아간다"는 것이 무엇인지를 알려줘.

D.1.3　Riemann 곡률 텐서

\[ R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} = \partial_\rho\Gamma^\mu{}_{\nu\sigma} - \partial_\sigma\Gamma^\mu{}_{\nu\rho} + \Gamma^\mu{}_{\rho\tau}\Gamma^\tau{}_{\nu\sigma} - \Gamma^\mu{}_{\sigma\tau}\Gamma^\tau{}_{\nu\rho} \]

🔵 카이: 4계 텐서라니, 식만 봐서는 뭘 나타내는지 전혀 감이 안 오는데요……. 이게 조석력과 관계된다는 건 어떤 의미예요?

🟡 리나: 직관적으로 말하자면, 가까이에서 나란히 자유낙하하는 두 입자가 서로 가까워지거나 멀어지거나 하는——그 "상대 가속도"를 결정하는 것이 Riemann 텐서야. 지구 근처에서 위아래로 나란히 놓인 두 공을 떨어뜨리면, 아래 공 쪽이 중력이 더 강하니까 간격이 벌어지잖아? 그게 조석력이고, 그 크기와 방향을 정확하게 기술하는 것이 Riemann 텐서의 역할이야.

자, 4계 텐서니까 각 첨자가 0~3의 4가지 값을 취해서, 성분은 전부 \(4^4 = 256\)개가 있어. 하지만 대칭성에 의해 독립 성분은 20개뿐이야. 세는 방법의 개요를 보여줄게:

  • \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\beta\alpha\gamma\delta}\) (제1·제2 첨자의 반대칭성)
  • \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\alpha\beta\delta\gamma}\) (제3·제4 첨자의 반대칭성)
  • \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\) (앞쪽 쌍과 뒤쪽 쌍의 교환 대칭성)
  • \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0\) (제1 Bianchi (비안키) 항등식: 제2~4 첨자의 순환합이 0)

처음 2개의 반대칭성으로부터, \([\alpha\beta]\) 조합은 \(\binom{4}{2} = 6\)가지, \([\gamma\delta]\) 조합도 6가지. 즉 \(6 \times 6 = 36\)개의 독립 조합이 있어. 또한 3번째 대칭성(앞쪽과 뒤쪽의 교환)에 의해, \([\alpha\beta]\)와 \([\gamma\delta]\)를 바꿔도 값이 같아. 여기서 독립 성분을 세기 위해 편리한 테크닉을 사용할게. 4계 텐서의 성분 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta}\)는 첨자가 4개라 복잡하지만, 반대칭성 덕분에 \([\alpha\beta]\) 쌍과 \([\gamma\delta]\) 쌍을 각각 "하나의 라벨"로 간주할 수 있어. 쌍은 6가지이므로, \(R_{\alpha\beta\gamma\delta}\)의 독립 성분을 \(6 \times 6\) 표(행렬)로 재배열할 수 있어. \([\alpha\beta]\)의 6가지를 행 번호, \([\gamma\delta]\)의 6가지를 열 번호로 하는 \(6 \times 6\) 행렬을 생각하는 거야. 구체적으로는, 6개의 반대칭 쌍에 \([01], [02], [03], [12], [13], [23]\)처럼 번호 \(i = 1, 2, \ldots, 6\)을 매기고, \(M_{ij} = R_{[\alpha\beta]_i [\gamma\delta]_j}\)라는 행렬을 만들어. 예를 들어 \(M_{12} = R_{0102}\) (쌍 \([01]\)과 쌍 \([02]\)의 조합), \(M_{21} = R_{0201}\) (쌍 \([02]\)과 쌍 \([01]\)의 조합)이고, 교환 대칭성 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\)로부터 \(M_{12} = M_{21}\)이 따라. 일반적으로 이 교환 대칭성은 행렬의 대칭성 \(M_{ij} = M_{ji}\)에 대응해.

🔵 카이: 아하, 4계 텐서를 2계 행렬로 "압축"해서 전망을 좋게 하는 거군요. 대칭 행렬이면 독립 성분 세는 방법은 알겠어요.

🟡 리나: 맞아. 대칭 행렬에서는 \((i,j)\) 성분과 \((j,i)\) 성분이 같으니까, 독립 성분은 "대각 성분"과 "대각선 위의 성분"뿐이야. \(6 \times 6\) 행렬이면 대각 성분이 6개, 대각선 위의 비대각 성분이 \(5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15\)개 (1행에는 자기보다 오른쪽에 5개, 2행은 4개, ……처럼 줄어가). 합치면 \(6 + 15 = 21\)개. 이것은 일반적으로 \(n \times n\) 대칭 행렬의 독립 성분 수 \(n(n+1)/2\)에서 \(n = 6\)으로 한 결과야.

⚪ 메이: 여기까지 21개네. 그런데 아까 대칭성 목록에 하나 더 있었잖아?

🟡 리나: 잘 기억하고 있네. 맞아, Bianchi 항등식이 아직 사용되지 않았어. \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} + R_{\alpha\gamma\delta\beta} + R_{\alpha\delta\beta\gamma} = 0\) ——이것이 새로운 구속 조건을 주는 것은 4개의 첨자가 모두 다른 경우뿐이야. 첨자에 중복이 있으면, 반대칭성으로부터 각 항이 0이 되거나 서로 상쇄되어 항등식은 자명하게 성립해 버려.

🔵 카이: 구체적으로 어떤 건가요?

🟡 리나: 가장 알기 쉬운 예를 하나만 보여줄게. \(\alpha = \beta\)이면, 제1항은 \(R_{\alpha\alpha\gamma\delta} = 0\) (앞 2개 첨자의 반대칭성으로 같은 첨자가 나란히 있으면 0). 나머지 항도 마찬가지로 0이 되니까 \(0 + 0 + 0 = 0\)으로 자명하지. 다른 중복 패턴(예를 들어 \(\gamma = \alpha\))에서도 마찬가지로 자명하게 성립하는 것을 확인할 수 있어——관심 있으면 연습문제로 해봐.

⚪ 메이: 즉, 정말로 새로운 정보를 주는 것은 4개의 첨자가 모두 다른 경우뿐이라는 거네.

🟡 리나: 맞아. 4차원에서 4개의 값 \((0,1,2,3)\)을 모두 사용하는 경우를 생각하자. Bianchi 항등식은 제2~4 첨자의 순환합이니까, 제1 첨자 \(\alpha\)를 고정하고 나머지 3개 \((\beta,\gamma,\delta)\)를 순환시키는 형태가 되어 있어. \(\alpha\)의 선택지는 4가지 있지만, 사실 어떤 \(\alpha\)를 선택하든 같은 식으로 귀착돼. 구체적으로 봐보자. \(\alpha = 0\)을 선택하면 \(R_{0123} + R_{0231} + R_{0312} = 0\). 다음으로 \(\alpha = 1\)을 선택하면 \(R_{1023} + R_{1230} + R_{1302} = 0\). 그런데 대칭성을 사용하면 이 식은 \(\alpha = 0\)의 경우와 같은 내용으로 귀착돼.

🔵 카이: 어, \(\alpha\)가 다른데 같은 식이 되는 건가요?

🟡 리나: 그래. 예를 들어 \(R_{1023}\)은 앞 2개 첨자의 반대칭성 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\beta\alpha\gamma\delta}\)로부터 직접 \(R_{1023} = -R_{0123}\)임을 알 수 있어 (첨자 1과 0을 바꾸기만 하면 돼). \(R_{1230}\)도 마찬가지로, 앞뒤 쌍의 교환 대칭성 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\)를 사용하면 \(R_{1230} = R_{3012}\), 다시 앞 2개 첨자의 반대칭성으로 \(R_{3012} = -R_{0312}\)가 되어 \(\alpha = 0\) 식의 제3항으로 귀착돼. \(R_{1302}\)도 같은 절차로 \(\alpha = 0\) 식의 제2항으로 귀착돼 (나머지 \(\alpha = 2, 3\)도 마찬가지로 확인할 수 있어——연습문제로 해봐). 그래서 독립인 Bianchi 항등식은 1개뿐. 결국 \(21 - 1 = 20\)개가 독립 성분이 되는 거야.

⚪ 메이: 대칭성을 하나씩 사용해서 256 → 36 → 21 → 20으로 좁혀가는 거네. 깔끔한 구조야.

D.1.4　Ricci 텐서와 스칼라 곡률

\[ R_{\mu\nu} = R^\rho{}_{\mu\rho\nu}, \qquad R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \]

🟡 리나: Riemann 텐서는 4계라서 정보가 너무 많으니까, 첨자를 한 쌍 없애서(축약해서——즉, 하나의 위 첨자와 하나의 아래 첨자를 같은 문자로 해서 합을 취하는 조작이야) 2계 텐서로 만든 것이 Ricci 텐서 \(R_{\mu\nu}\). 정의식 \(R_{\mu\nu} = R^\rho{}_{\mu\rho\nu}\)를 보면, 원래의 Riemann 텐서 \(R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}\)의 제1 첨자(위 첨자 \(\alpha\))와 제3 첨자(아래 첨자 \(\gamma\))를 같은 문자 \(\rho\)로 해서 \(\rho = 0, 1, 2, 3\)의 합을 취하고 있어. 남은 제2·제4 첨자가 Ricci 텐서의 \(\mu\), \(\nu\)가 되는 거야. Riemann 텐서가 "방향별 조석력"을 모두 기록하고 있는 데 반해, Ricci 텐서는 그것을 "어떤 방향을 따른 부피 변화"로 정리한 것이야. 구체적으로는, 자유낙하하는 작은 구가 주위 물질의 중력으로 찌그러지거나 늘어나면서 부피가 변하는——그 변화율을 나타내는 양이야.

🔵 카이: "방향별 조석력"을 더하면 "부피 변화"가 된다는 건, 어떤 이미지인가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 예를 들어, 작은 구를 생각해봐. Riemann 텐서는 "\(x\) 방향으로 찌그러진다" "\(y\) 방향으로 늘어난다" "\(z\) 방향으로 찌그러진다"……처럼 각 방향의 변형을 개별적으로 기록하고 있어. Ricci 텐서 \(R_{\mu\nu}\)의 축약은 이러한 변형을 전 방향에 대해 더하는 조작에 대응해. 전 방향의 변형을 합산하면 구 전체의 부피가 증가하는지 감소하는지 알 수 있잖아? 그래서 축약이 부피 변화에 대응하는 거야. 또한 그 트레이스(전 방향의 평균)가 스칼라 곡률 \(R\). Einstein 텐서는 이 둘로부터 만들어져.

⚪ 메이: Riemann이 "방향별 조석력"이고, Ricci가 그 "정리"——전 방향의 변형을 더한 결과라는 거네.

🟡 리나: 맞아.

D.1.5　Einstein 텐서

\[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R \]

🟡 리나: Einstein 방정식은 (기하학 단위계 \(G = c = 1\))

\[ G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} \]

좌변 \(G_{\mu\nu}\)가 시공간의 휘어진 정도, 우변 \(T_{\mu\nu}\)가 에너지·운동량의 분포. 왜 \(R_{\mu\nu}\)가 아니라 \(G_{\mu\nu}\)가 좌변에 오느냐 하면, \(G_{\mu\nu}\)에는 \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)이라는 항등식(Bianchi 항등식으로부터 유도되는)이 자동으로 성립하기 때문이야. 여기서 \(\nabla_\mu\)는 공변 미분——보통의 편미분 \(\partial_\mu\)에 Christoffel 기호에 의한 보정항을 더한, 휘어진 시공간에서의 미분 연산자야 (본편 제 12 장 에서 자세히 배웠지). 직관적으로는 "좌표계의 휘어짐에 현혹되지 않고, 텐서의 진정한 변화율을 추출하는 미분"이라고 생각하면 돼. \(\nabla^\mu\)는 \(g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha\)의 약기로, 공변 미분의 첨자를 계량으로 올린 것이야. \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)의 의미를 구체적으로 말하면, \(\nabla^\mu\)의 \(\mu\)와 \(G_{\mu\nu}\)의 첫 번째 \(\mu\)가 같은 문자로 위아래에 나타나고 있으니까, Einstein의 축약 규칙으로 \(\mu = 0, 1, 2, 3\)의 합을 취해. 즉 \(\nabla^0 G_{0\nu} + \nabla^1 G_{1\nu} + \nabla^2 G_{2\nu} + \nabla^3 G_{3\nu} = 0\)이 각 \(\nu\)에 대해 성립한다——이것이 "공변적인 발산이 0"이라는 의미야.

🔵 카이: 보통의 "발산" 같은 것인데, 휘어진 시공간용으로 보정이 들어가 있는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 보통의 편미분 \(\partial^\mu\)으로 같은 것을 하면 "보통의 발산"이 되지만, \(\nabla^\mu\)는 Christoffel 기호에 의한 보정이 들어가 있으니까 "휘어진 시공간에서도 올바른 발산"이 되는 거야. 구조로서는 위의 합의 형태인데, 각 항의 내용이 편미분보다 약간 복잡——그것만의 차이야. 이 항등식이 우변의 에너지 보존법칙 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\)과 정합하니까, 방정식으로서 무모순이 돼. 즉 우변의 물질 분포가 좌변의 곡률을 결정하고, 역으로 그 곡률이 측지선을 통해 물질의 운동을 결정해. Wheeler (휠러)의 명언으로 말하면: "물질이 시공간에 휘는 방법을 명령하고, 시공간이 물질에 움직이는 방법을 명령한다" ('Matter tells spacetime how to curve, and spacetime tells matter how to move').

⚪ 메이: 에너지 보존법칙과 기하학적인 항등식이 자동으로 정합한다——그래서 Einstein 텐서가 방정식의 좌변에 적합한 거네.

D.1.6　정규직교 기저(테트라드)

🟡 리나: 여기서 "정규직교 기저"를 도입하는 이유를 먼저 말해둘게. 좌표 기저로 쓴 Riemann 텐서나 Einstein 텐서의 성분은 좌표의 취하는 방식에 의존해서 복잡한 인자가 붙어. 하지만 정규직교 기저로 쓰면, 각 성분이 국소적인 물리량(조석력의 크기, 에너지 밀도, 압력 등)에 직접 대응해. 그래서 이 공식집에서는 곡률량을 정규직교 기저 성분으로 싣고 있는 부분이 많아.

🟡 리나: 떠올려 봐, 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}\)는 두 벡터의 내적을 계산하는 도구였잖아. 고등학교에서 배운 벡터의 내적 \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z\)를 일반화한 것으로, 휘어진 시공간에서는 \(g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = g_{\alpha\beta}u^\alpha v^\beta\) (같은 첨자 \(\alpha\), \(\beta\)가 위아래에 나타나고 있으므로, 각각 0~3의 합을 취한다——Einstein의 축약 규칙이야)로 써. 평탄한 공간이면 \(g_{\alpha\beta}\)가 단위행렬이 되어 고등학교의 내적 공식으로 돌아가. 여기서 "모자 첨자" \(\hat{\alpha}\)를 도입할게. 이것은 정규직교 기저의 첨자임을 나타내는 기호로, 좌표 기저의 첨자 \(\alpha\)와 구별하기 위한 거야. 모자 첨자 \(\hat{\alpha}\)로 나타내는 기저 \(\mathbf{e}_{\hat{\alpha}}\)가,

\[ g(\mathbf{e}_{\hat{\alpha}},\, \mathbf{e}_{\hat{\beta}}) = \eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} \]

를 만족할 때——즉, 기저 벡터끼리의 내적이 Minkowski 계량 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\)이 되는 기저를 "정규직교 기저"라고 불러. 국소적으로 특수상대론이 성립하는 "자유낙하 엘리베이터"의 기저에 대응해. 대각 계량 \(ds^2 = g_{00}(dx^0)^2 + g_{11}(dx^1)^2 + \cdots\)의 경우, 각 기저 벡터는 계량 성분의 절댓값의 제곱근의 역수를 취하기만 하면 얻을 수 있어. 여기서 \((\mathbf{e}_{\hat{\alpha}})^\mu\)라는 표기는 "기저 벡터 \(\mathbf{e}_{\hat{\alpha}}\)의 \(\mu\) 방향 좌표 성분"을 의미해. 대각 계량의 경우, \(\hat{\alpha}\)번째 정규직교 기저는 \(\hat{\alpha}\)와 같은 좌표 방향에만 성분을 가져. 구체적인 예를 먼저 보여줄게. \(\hat{\alpha} = \hat{r}\)이면, 기저 벡터 \(\mathbf{e}_{\hat{r}}\)은 \(r\) 방향에만 성분을 가지고, 그 값은 \(1/\sqrt{|g_{rr}|}\). 다른 방향(\(t\), \(\theta\), \(\varphi\))의 성분은 모두 0이야. 이것을 일반적으로 쓰면 \((\mathbf{e}_{\hat{\alpha}})^\mu = \delta^\mu_\alpha / \sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)가 돼. 여기서 \(\delta^\mu_\alpha\)는 크로네커 델타라 불리는 기호로, \(\mu = \alpha\)일 때 1, \(\mu \neq \alpha\)일 때 0이 되는 것이야. 즉 "\(\alpha\) 방향에만 성분을 갖는다"는 것을 수식으로 표현하고 있어. 한 가지 주의할 점은, 이 식의 \(\alpha\)는 "\(\hat{\alpha}\)에 대응하는 좌표 방향"을 가리키는 고정된 라벨이며, Einstein의 축약 규칙으로 합을 취하는 첨자가 아니라는 거야. 보통은 같은 문자가 위아래에 나타나면 합을 취하지만, 여기서는 "\(\hat{r}\)에 대응하는 방향은 \(r\)"처럼 \(\hat{\alpha}\)마다 하나의 방향을 지정하고 있을 뿐이야. 구별하는 요령을 알려줄게: \(\delta^\mu_\alpha\)는 "\(\mu = \alpha\)이면 1, \(\mu \neq \alpha\)이면 0"이라는 수치의 표이며, \(\alpha\)에 대해 합을 취하라는 지시가 아니야. 여기서의 \(\alpha\)는 "어떤 정규직교 기저 벡터에 대한 이야기인가"를 지정하는 고정 라벨——예를 들어 \(\hat{r}\)의 기저를 쓴다면 \(\alpha = r\)로 고정하고, \(\mu\)만이 \(t, r, \theta, \varphi\)를 돌아. 결과적으로 \(\mu = r\)의 성분만 \(1/\sqrt{|g_{rr}|}\)이고, 나머지는 0이 돼. 실용적으로는, 일반식을 외우지 않아도 "\(\hat{\alpha}\) 방향의 기저 벡터는 대응하는 좌표 방향에 \(1/\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)의 성분을 갖는다"고 기억해두면 충분해. 구체적으로 전부 써보면: \(\hat{t}\)이면 \(t\) 방향에 \(1/\sqrt{|g_{tt}|}\), \(\hat{r}\)이면 \(r\) 방향에 \(1/\sqrt{g_{rr}}\), \(\hat{\theta}\)이면 \(\theta\) 방향에 \(1/\sqrt{g_{\theta\theta}}\), \(\hat{\varphi}\)이면 \(\varphi\) 방향에 \(1/\sqrt{g_{\varphi\varphi}}\)——그것뿐이야.

그리고 텐서의 성분을 정규직교 기저로 변환할 때는, 기저 벡터의 성분을 사용해서 \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = (\mathbf{e}_{\hat{\alpha}})^\mu (\mathbf{e}_{\hat{\beta}})^\nu T_{\mu\nu}\)로 계산해. 대각 계량의 경우, 이것은 단순히 "각 첨자에 대해 \(\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)로 나누는 것"으로 귀착돼——기저 벡터의 성분이 \(1/\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)이니까. 이 변환 규칙은 D.3.3에서 구체적으로 사용할 거야.

🔵 카이: 좀 이미지하기 어려워요. 기저 벡터의 성분을 곱한다는 건, 요컨대 "좌표 기저의 눈금 크기를 정규화한다"는 것인가요?

🟡 리나: 그래, 좋은 표현이야. 좌표 기저는 장소에 따라 "1 눈금의 길이"가 다르잖아? 정규직교 기저는 그것을 길이 1로 맞춘 기저니까, 텐서의 성분을 변환할 때 "눈금의 크기"로 나눈다——그것이 \(1/\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)를 곱하는 조작에 대응하는 거야. 구체적으로 어떻게 되는지 봐보자.

🟡 리나: 예를 들어 Schwarzschild 시공간의 \(g_{rr} = (1-2M/r)^{-1}\)이면, \(|g_{rr}|^{1/2} = (1-2M/r)^{-1/2}\)이고, 그 역수 \((1-2M/r)^{1/2}\)가 \(\hat{r}\) 방향 기저 벡터의 \(r\) 성분이 돼. D.2.3에서 전체 성분을 일람으로 정리해 두었으니까 거기서 확인해.

⚪ 메이: 즉, 어떤 휘어진 시공간에서도 국소적으로는 특수상대론의 Minkowski 계량 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\)로 보이는 기저를 잡을 수 있다는 거네.

✅ 이해도 체크: Riemann 곡률 텐서의 독립 성분이 4차원 시공간에서 20개로 줄어드는 이유는 무엇인가요?

답

Riemann 텐서에는 여러 대칭성이 있다. 제1·제2 첨자의 반대칭성, 제3·제4 첨자의 반대칭성, 앞쪽 쌍과 뒤쪽 쌍의 교환 대칭성, 그리고 제1 Bianchi 항등식(제2~4 첨자의 순환합이 0). 이러한 구속 조건에 의해 원래의 \(256\) 성분 중 독립인 것은 20개뿐이 된다.

D.2　Schwarzschild 시공간

🟡 리나: 자전하지 않는 구대칭 질량 \(M\) 주위의 진공 시공간. 태양계의 행성 운동, 빛의 휘어짐, 가장 기본적인 블랙홀 모델——모두 여기서 도출돼. 그림 D.2「천체의 질량-반지름 관계와 슈바르츠실트 반지름」을 봐봐. 지구에서 은하 중심 블랙홀(Sgr A*)까지, 다양한 천체의 질량과 반경을 양대수 플롯으로 비교하고 있어. 검은 선이 Schwarzschild 반지름으로, 기하학 단위계(\(G = c = 1\), 자세한 것은 D.6 참조)에서는 \(r_s = 2M\), SI에서는 \(r_s = 2GM/c^2\). 천체의 반지름이 이보다 작아지면 블랙홀이 돼. 그림을 보면 중성자별은 검은 선 바로 위에 있어서 Schwarzschild 반지름의 몇 배밖에 여유가 없어——즉 컴팩트니스 \(GM/(Rc^2)\)(천체의 반지름 \(R\)이 Schwarzschild 반지름 \(2GM/c^2\)에 얼마나 가까운지를 측정하는 무차원량, 본편 제 18 장 참조)가 매우 높다는 것을 한눈에 알 수 있지.

천체의 질량-반지름 관계와 슈바르츠실트 반지름

그림 D.2: 천체의 질량-반지름 관계와 슈바르츠실트 반지름. 천체의 질량-반지름 관계와 Schwarzschild 반지름 \(r_s = 2GM/c^2\) (기하학 단위계에서는 \(r_s = 2M\)). 지구, 목성, 태양, 백색왜성, 중성자별, 항성질량 블랙홀, 은하 중심 블랙홀(Sgr A)을 양대수 플롯으로 비교. 검은 선 아래 영역(\(R < r_s\))은 블랙홀.*

D.2.1　계량

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right) \]

🔵 카이: \(r = 2M\)에서 \(g_{tt} = 0\)이 되고 \(g_{rr}\)이 발산하잖아요. 이게 정말로 "벽"이 있는 건가요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. \(r = 2M\)은 사건의 지평면이지만, 좌표 특이점에 불과해. Riemann 텐서는 거기서 유한하니까, 물리적으로는 아무런 특별한 일도 일어나지 않아. 진짜 특이점은 \(r = 0\) 쪽이야.

✅ 이해도 체크: Schwarzschild 시공간에서 \(r = 2M\)과 \(r = 0\)의 특이점의 차이는 무엇인가요?

답

\(r = 2M\)은 좌표 특이점이며, 적절한 좌표 변환으로 제거할 수 있다. 실제로 Riemann 텐서는 거기서 유한한 값을 취한다. 반면 \(r = 0\)은 진짜(물리적인) 특이점이며, 곡률 불변량(예를 들어 Kretschner 스칼라 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta}\))이 발산한다.

D.2.2　Christoffel 기호(영이 아닌 성분)

\[ \Gamma^t{}_{tr} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} \]
\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]
\[ \Gamma^r{}_{rr} = -\frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} \]
\[ \Gamma^r{}_{\theta\theta} = -(r - 2M) \]
\[ \Gamma^r{}_{\varphi\varphi} = -(r - 2M)\sin^2\theta \]
\[ \Gamma^\theta{}_{r\theta} = \frac{1}{r} \]
\[ \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\,\sin\theta \]
\[ \Gamma^\varphi{}_{r\varphi} = \frac{1}{r} \]
\[ \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi} = \cot\theta \]

⚪ 메이: 아래 첨자의 대칭성으로 \(\Gamma^t{}_{rt} = \Gamma^t{}_{tr}\), \(\Gamma^\theta{}_{\theta r} = \Gamma^\theta{}_{r\theta}\) 등도 얻을 수 있지.

🟡 리나: \(\Gamma^r{}_{tt}\)를 봐봐. 원방 \(r \gg 2M\)에서는 \((1 - 2M/r) \approx 1\)이니까 \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\). 이것은 Newton 중력의 가속도 \(GM/r^2\) 그 자체야(\(G = 1\)). 측지선 방정식에 대입하면 Newton의 운동방정식이 재현돼.

📝 연습문제:

D.2.3　정규직교 기저

\[ (\mathbf{e}_{\hat{t}})^\alpha = \left[\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1/2},\; 0,\; 0,\; 0\right] \quad (\alpha = t, r, \theta, \varphi \text{ 순서}) \]
\[ (\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha = \left[0,\; \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{1/2},\; 0,\; 0\right] \]
\[ (\mathbf{e}_{\hat{\theta}})^\alpha = \left[0,\; 0,\; \frac{1}{r},\; 0\right] \]
\[ (\mathbf{e}_{\hat{\varphi}})^\alpha = \left[0,\; 0,\; 0,\; \frac{1}{r\sin\theta}\right] \]

🔵 카이: \(g_{tt} = -(1-2M/r)\)이니까, \(|g_{tt}|^{1/2} = (1-2M/r)^{1/2}\). 그 역수가 \(\hat{t}\) 방향 기저 벡터의 \(t\) 성분이 되는 거군요. ……그런데 잠깐요, \(r = 2M\)이면 \((1-2M/r)^{-1/2}\)이 발산하잖아요? 정규직교 기저를 만들 수 없게 되는 건가요?

🟡 리나: 예리하네. 좌표 \(t\)에 기반한 정규직교 기저는 \(r = 2M\)에서 확실히 파탄이 나. 이것은 좌표 특이점의 반영이고, 지평면을 가로지르려면 다른 좌표계(예를 들어 자유낙하하는 관측자의 고유시를 사용한 좌표)로 전환할 필요가 있어.

D.2.4　Riemann 곡률(정규직교 기저 성분)

\[ R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -\frac{2M}{r^3} \]
\[ R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = \frac{M}{r^3} \]
\[ R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}} = -\frac{M}{r^3} \]
\[ R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}} = \frac{2M}{r^3} \]

🟡 리나: 이것이 독립인 영이 아닌 성분의 전부——6개야 (일반적인 4차원 시공간에서는 최대 20개이지만, 구대칭성이 강한 구속을 가하거든). 게다가 구대칭성 덕분에 \(\theta\) 방향과 \(\varphi\) 방향이 동등하니까, 위의 식에서 등호로 연결된 쌍이 있어. 독립인 "값"으로서는 실질적으로 4종류(\(\pm 2M/r^3\)과 \(\pm M/r^3\))뿐이야. 다른 영이 아닌 성분은 대칭성으로 결정돼. 예를 들어 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{r}\hat{t}}\)는 제1·제2 첨자의 반대칭성으로부터 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{r}\hat{t}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = 2M/r^3\)임을 알 수 있어. 또, 서로 다른 각도 방향이 섞인 성분(예를 들어 \(R_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\varphi}}\))은 구대칭성으로부터 0이 돼. 직관적으로는, 구대칭인 시공간에서는 \(\theta\) 방향과 \(\varphi\) 방향이 "동등"하니까, 한쪽만 특별하게 다른 것과 결합할 이유가 없어——그래서 혼합 성분은 0이 될 수밖에 없어. 모두 \(M/r^3\)을 기본 스케일로 해서, 계수가 \(\pm 1\) 또는 \(\pm 2\)인 것뿐이야. Newton적 조석력과 같은 \(r^{-3}\) 의존성이지.

🔵 카이: 전부 \(r^{-3}\)에 비례하는 거군요. 그러면 \(r = 2M\)(지평면)에서는 얼마나 큰 건가요?

🟡 리나: 예를 들어 \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = M/r^3\)에 \(r = 2M\)을 대입하면 \(1/(8M^2)\)로 유한해. 초대질량 블랙홀일수록 \(M\)이 크니까, 지평면에서의 조석력은 오히려 약해. 하지만 \(r = 0\)에서는 발산해——이것이 진짜 특이점이야.

⚪ 메이: \(1/(8M^2)\)이니까, \(M\)이 10배가 되면 조석력은 100분의 1이 되는 거네. 초대질량 블랙홀의 지평면이 "온화한" 이유가 잘 이해돼.

🔵 카이: 원방 \(r \to \infty\)에서 전체 성분이 0에 가까워지는 거군요. 즉 멀리서는 평탄한 시공간으로 돌아간다는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 그것을 점근적 평탄성(asymptotic flatness)이라고 불러. 고립된 천체 주위의 시공간에 기대되는 성질이야. 참고로, Riemann 텐서는 영이 아니지만, Ricci 텐서는 전체 성분이 0이야. 진공이니까 \(R_{\mu\nu} = 0\).

🔵 카이: \(R_{\mu\nu} = 0\)과 D.2.5의 \(G_{\mu\nu} = 0\)은 같은 건가요?

🟡 리나: 그래, 4차원에서는 동치야. \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\)의 양변에 \(g^{\mu\nu}\)를 곱해서 축약(트레이스)을 취하면, \(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R\) (이것은 \(R\)의 정의 자체), 그리고 \(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = 4\) (\(\delta^\mu{}_\mu\)는 \(\mu = 0,1,2,3\)의 4개의 1을 더하니까 4)를 사용해서 \(g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} = R - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot R = R - 2R = -R\)이 돼. 그래서 \(G_{\mu\nu} = 0\)이면 트레이스로부터 \(R = 0\). 이것을 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 0\)에 돌려놓으면 \(R_{\mu\nu} = 0\)도 따라와. 역으로 \(R_{\mu\nu} = 0\)이면 \(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = 0\)이니까 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} = 0\). 연습문제에서 실제로 확인해봐.

⚪ 메이: 트레이스를 취하는 것으로 \(R\)과 \(G\)의 관계가 나오고, 그것을 원래 식에 돌려놓으면 동치성이 보여지는 거네. 깔끔한 논법이야.

🔵 카이: 음……진공에서는 \(R_{\mu\nu} = 0\)과 \(G_{\mu\nu} = 0\)이 같다는 건 알겠어요. 하지만 Riemann 텐서는 영이 아니잖아요? 그러면 "곡률 0"과 "Ricci 0"은 전혀 다른 이야기 아닌가요. 그럼 반대로, 물질이 있는 경우에는 \(R_{\mu\nu} = 0\)과 \(G_{\mu\nu} = 0\)은 동치가 아니게 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. 물질이 있는 경우에는 \(G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} \neq 0\)이니까, 애초에 둘 다 0이 되지 않아. 하지만 "\(R_{\mu\nu} = 0\)과 \(G_{\mu\nu} = 0\)이 동치"라는 관계 자체는, 우변이 0인지 아닌지에 관계없이 성립하는 수학적 사실이야. 그리고 아까 확인한 것처럼, 진공(\(R_{\mu\nu} = 0\))에서도 Riemann 텐서는 영이 아니야——즉 "물질이 없어도 시공간은 휘어질 수 있다"는 것이 일반상대론의 재미있는 점이야.

✅ 이해도 체크: Schwarzschild 시공간의 Christoffel 기호나 Riemann 텐서는 무엇으로부터 기계적으로 계산할 수 있나요?

답

계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)와 그 편미분으로부터 기계적으로 계산할 수 있다. Christoffel 기호는 계량의 1계 미분, Riemann 텐서는 Christoffel 기호의 1계 미분과 2차 곱으로 구성된다.

📝 연습문제:

D.2.5　Einstein 방정식

\[ G_{\alpha\beta} = 0 \]

🟡 리나: 진공해. 물질이 없는 영역에서의 방정식의 해. 질량 \(M\)은 경계 조건으로서 계량에 들어가.

D.3　일반 구대칭 시공간

🟡 리나: 시간 의존성도 허용한, 보다 일반적인 구대칭 시공간. 별의 중력 붕괴나 블랙홀 형성 과정을 기술해.

D.3.1　계량

\[ ds^2 = -e^{\nu(r,t)}\,dt^2 + e^{\lambda(r,t)}\,dr^2 + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right) \]

🔵 카이: 왜 \(e^{\nu}\)처럼 지수함수로 쓰는 건가요? 그냥 \(f(r,t)\)면 안 되나요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. D.1.1에서 확인한 것처럼, 우리의 부호 규약은 \((-,+,+,+)\)——즉 \(ds^2\)의 식에서 시간 방향에 마이너스, 공간 방향에 플러스가 붙는 약속이었지. 그래서 \(g_{tt}\)는 음, \(g_{rr}\)은 양이어야 해. \(g_{tt} = -e^{\nu}\), \(g_{rr} = e^{\lambda}\)로 쓰면, \(\nu\)와 \(\lambda\)가 어떤 실수값을 취하든 \(e^{\nu} > 0\), \(e^{\lambda} > 0\)이 보장되어 부호가 자동으로 올바르게 유지돼. 또한 Christoffel 기호에는 계량의 미분이 들어가잖아? \(g_{rr} = e^{\lambda}\)를 미분하면 \(\partial_r g_{rr} = \lambda' e^{\lambda}\)가 되어, \(g^{rr} = e^{-\lambda}\)와 곱했을 때 \(e^{\lambda}\)가 소거되어 \(\lambda'\)만 남아. 그래서 Christoffel 기호 식이 깔끔해지는 거야. 참고로 Schwarzschild 해는 \(e^{\nu} = e^{-\lambda} = 1 - 2M/r\) (시간에 의존하지 않는)라는 특수한 경우야. 즉 \(\nu = -\lambda\)이고, 게다가 \(r\)만의 함수가 되어 있어.

⚪ 메이: 일반적인 경우는 \(\nu\)와 \(\lambda\)가 독립인 함수이지만, Schwarzschild에서는 그 구속이 들어가는 거네.

D.3.2　Christoffel 기호(영이 아닌 성분)

도트 \(\dot{}\)는 \(\partial/\partial t\), 프라임 \('\)은 \(\partial/\partial r\)을 나타낸다.

\[ \Gamma^t{}_{tt} = \frac{\dot{\nu}}{2}, \qquad \Gamma^t{}_{tr} = \frac{\nu'}{2}, \qquad \Gamma^t{}_{rr} = \frac{\dot{\lambda}}{2}\,e^{\lambda - \nu} \]
\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{\nu'}{2}\,e^{\nu - \lambda}, \qquad \Gamma^r{}_{tr} = \frac{\dot{\lambda}}{2}, \qquad \Gamma^r{}_{rr} = \frac{\lambda'}{2} \]
\[ \Gamma^r{}_{\theta\theta} = -r\,e^{-\lambda}, \qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi} = -r\,e^{-\lambda}\sin^2\theta \]
\[ \Gamma^\theta{}_{r\theta} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\,\sin\theta \]
\[ \Gamma^\varphi{}_{r\varphi} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi} = \cot\theta \]

🔵 카이: 이걸 Schwarzschild의 경우와 비교할 수 있나요? \(\dot{\nu} = \dot{\lambda} = 0\)으로 하고, \(e^{\nu} = 1 - 2M/r\) 같은 걸 넣으면 D.2.2와 일치하는 건가……

🟡 리나: 맞아. 실제로 하나 대입해서 확인해보자. 예를 들어 \(\Gamma^r{}_{tt} = (\nu'/2)\,e^{\nu - \lambda}\)에 Schwarzschild의 값을 넣어볼게. \(e^\nu = 1-2M/r\)이니까 \(\nu = \ln(1-2M/r)\)이고, \(r\)로 미분하면 \(\nu' = \frac{2M/r^2}{1-2M/r}\). 또 \(e^{\nu-\lambda} = e^\nu \cdot e^{-\lambda} = (1-2M/r)(1-2M/r) = (1-2M/r)^2\). 이것들을 대입하면 \(\frac{\nu'}{2}e^{\nu-\lambda} = \frac{M/r^2}{1-2M/r} \cdot (1-2M/r)^2 = \frac{M}{r^2}(1-2M/r)\). D.2.2와 일치하지. 나중에 D.3.3의 Einstein 텐서 식에 Schwarzschild의 값을 대입해서 \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 0\)이 되는 것도 확인할 수 있어——이건 연습문제로 해봐.

D.3.3　Einstein 텐서(정규직교 기저 성분)

이하는 시간 의존을 무시할 수 있는 경우(\(\dot{\nu} = \dot{\lambda} = 0\))의 대각 성분이다. 일반적으로 시간 의존이 있는 경우에는 \(\dot{\lambda}\), \(\dot{\nu}\)를 포함하는 추가 항이 나타나지만, 여기서는 정적인 별의 내부 구조에서 가장 중요한 성분에 한정하여 제시한다.

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = \frac{e^{-\lambda}}{r^2}\left(r\lambda' - 1 + e^{\lambda}\right) \qquad (\dot{\nu} = \dot{\lambda} = 0) \]
\[ G_{\hat{r}\hat{r}} = \frac{e^{-\lambda}}{r^2}\left(\nu' r + 1 - e^{\lambda}\right) \qquad (\dot{\nu} = \dot{\lambda} = 0) \]

🔵 카이: 이것도 Schwarzschild에서 \(0\)이 되는지 확인할 수 있나요?

🟡 리나: 해보자. \(e^{-\lambda} = 1-2M/r\), \(e^\lambda = (1-2M/r)^{-1}\), \(\nu' = \frac{2M/r^2}{1-2M/r}\)를 대입할게. \(\nu' r = \frac{2M/r}{1-2M/r}\). \(G_{\hat{r}\hat{r}}\)의 괄호 안을 통분할게. 3개의 항을 분모 \((1-2M/r)\)로 맞추면:

\[ \frac{2M/r}{1-2M/r} + \frac{1-2M/r}{1-2M/r} - \frac{1}{1-2M/r} = \frac{2M/r + (1-2M/r) - 1}{1-2M/r} \]

분자를 전개하면 \(2M/r + 1 - 2M/r - 1 = 0\). 그래서 괄호 전체가 0이 되어 \(G_{\hat{r}\hat{r}} = 0\). 진공해와 정합하지.

⚪ 메이: 깔끔하게 소거되네. \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) 쪽도 확인해보고 싶어.

🟡 리나: 마찬가지로 \(G_{\hat{t}\hat{t}}\)에 대해서도 확인하자. Schwarzschild에서는 \(\nu = -\lambda\)이니까, 양변을 \(r\)로 미분해서 \(\nu' = -\lambda'\), 즉 \(\lambda' = -\nu' = -\frac{2M/r^2}{1-2M/r}\)야. \(r\lambda' = -\frac{2M/r}{1-2M/r}\)를 \(G_{\hat{t}\hat{t}}\)의 괄호에 대입하면: \(-\frac{2M/r}{1-2M/r} - 1 + \frac{1}{1-2M/r} = \frac{-2M/r - (1-2M/r) + 1}{1-2M/r} = \frac{-2M/r - 1 + 2M/r + 1}{1-2M/r} = 0\)이 되어 \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 0\)도 확인할 수 있어.

🔵 카이: 오오, 이쪽도 깔끔하게 0이 되는군요!

🟡 리나: 또, 시간 의존이 있는 경우에 영이 아닌 비대각 성분도 하나 실어둘게. D.3.2의 Christoffel 기호를 사용해서 Ricci 텐서를 계산하고, Einstein 텐서를 구성하면, 좌표 기저에서의 결과는 \(G_{tr} = \dot{\lambda}/r\)이 돼 (도출은 길기 때문에 결과만 싣는다). 이것을 정규직교 기저로 변환하자. D.1.6에서 배운 변환 규칙 \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = (\mathbf{e}_{\hat{\alpha}})^\mu (\mathbf{e}_{\hat{\beta}})^\nu T_{\mu\nu}\)를 떠올려봐. 대각 계량에서는 기저 벡터가 1방향에만 성분을 가지니까, 이것은 단순히 각 첨자에 대해 \(\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)로 나누는 것으로 귀착돼: \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = T_{\alpha\beta}/(\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\sqrt{|g_{\beta\beta}|})\). 여기서는 \(\alpha = t\), \(\beta = r\)이니까, \(\sqrt{|g_{tt}|} = e^{\nu/2}\)와 \(\sqrt{g_{rr}} = e^{\lambda/2}\)로 나눠. 즉 \(G_{\hat{t}\hat{r}} = G_{tr}/(e^{\nu/2} \cdot e^{\lambda/2}) = (\dot{\lambda}/r) \cdot e^{-(\nu + \lambda)/2}\)가 돼:

\[ G_{\hat{t}\hat{r}} = \frac{\dot{\lambda}}{r}\,e^{-(\nu + \lambda)/2} \]

이것은 에너지 유속(열류 등)에 대응해. 정적인 경우(\(\dot{\lambda} = 0\))에는 이 성분은 0이 되어, 에너지의 흐름이 없는 것과 정합해.

🔵 카이: 각도 방향 성분 \(G_{\hat{\theta}\hat{\theta}}\)는 싣지 않나요?

🟡 리나: 식이 길어지니까 생략했지만, 물리적으로는 접선 방향 압력 \(p_\perp\)에 대응하는 성분이야. 필요할 때는 Christoffel 기호로부터 계산할 수 있어.

🟡 리나: 여기에 실은 3개 성분의 물리적 의미를 정리할게. 본편 제14장에서 배운 것처럼, Einstein 방정식 \(G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = 8\pi T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\)의 우변에 에너지 운동량 텐서를 놓으면: \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi \rho\) (\(\rho\)는 에너지 밀도), \(G_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi p_r\) (\(p_r\)은 지름 방향의 압력)야.

🔵 카이: \(\rho\)가 에너지 밀도이고 \(p_r\)이 압력……즉 Einstein 텐서의 각 성분이 유체의 물리량에 1대1로 대응하는 거군요.

🟡 리나: 맞아. 완전유체(점성이나 열전도가 없고, 등방적인 압력 \(p\)만으로 특징지어지는 이상적인 유체——본편 제14장 참조)의 경우에는 \(p_r = p_\perp = p\)가 돼. 즉 지름 방향도 접선 방향도 같은 압력이야. 보다 일반적으로는 비등방적 압력을 갖는 유체도 생각할 수 있고, 그 경우 \(p_r \neq p_\perp\)가 돼. \(\rho\)는 유체의 단위 부피당 에너지, \(p_r\)은 지름 방향으로 면을 미는 힘(단위 면적당)이야.

🔵 카이: 아까 비대각 성분 \(G_{\hat{t}\hat{r}}\)의 변환에서, 대각 성분과 마찬가지로 "\(\sqrt{|g_{\alpha\alpha}|}\)로 나눈다"를 사용할 수 있는 건 왜예요? 비대각 성분에서도 같은 규칙인가요?

🟡 리나: 좋은 질문이야. D.1.6의 변환 규칙 \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = (\mathbf{e}_{\hat{\alpha}})^\mu (\mathbf{e}_{\hat{\beta}})^\nu T_{\mu\nu}\)는 대각·비대각에 관계없이 성립하는 일반적인 식이야. 대각 계량에서는 기저 벡터가 1방향에만 성분을 가지니까, \(\hat{t}\)와 \(\hat{r}\)의 조합에서도 \((\mathbf{e}_{\hat{t}})^t (\mathbf{e}_{\hat{r}})^r T_{tr}\)의 1항만 살아남아. 결과적으로 \(G_{\hat{t}\hat{r}} = (1/\sqrt{|g_{tt}|})(1/\sqrt{g_{rr}}) \cdot G_{tr}\)이 되는 거야. 대각 성분일 때와 완전히 같은 규칙이 첨자의 조합이 다를 뿐으로 사용돼.

🔵 카이: 아하, 대각 계량이니까 섞이는 항이 없는 거군요.

🟡 리나: 한편, 비대각 성분 \(G_{\hat{t}\hat{r}} = 8\pi q\) (\(q\)는 에너지 유속 밀도, 즉 단위 면적·단위 시간당 흐르는 에너지)는, 열전도 등이 있는 불완전유체에서 영이 아니게 돼.

⚪ 메이: 대각 성분이 "그 자리에 있는 에너지와 압력", 비대각 성분이 "에너지의 흐름"에 대응하는 거네. 정적인 별이면 흐름이 없으니까 비대각 성분은 0——아까의 \(\dot{\lambda} = 0\) 조건과 정합하네.

🟡 리나: 완벽한 정리야. 별의 내부 구조 방정식은 이것들로부터 도출돼. 특히 \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho\)를 적분하면 "질량 함수" \(m(r) = 4\pi\int_0^r \rho(r')\,r'^2\,dr'\)를 정의할 수 있고, 이것은 반지름 \(r\) 안에 포함된 에너지(질량)를 나타내. @exercise: 질량 함수 \(m(r)\)의 도출 → 문제 M-4. 질량 함수의 도출

D.4　Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 우주 모델

🟡 리나: 균일 등방 우주를 기술하는 계량. 우주론의 기본 모델이야.

D.4.1　계량

\[ ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right)\right] \]

🟡 리나: \(a(t)\)가 스케일 인자(scale factor)로 우주의 크기의 시간 변화를 나타내고, \(k = +1, 0, -1\)이 공간 곡률 파라미터야.

🔵 카이: \(k\)의 값에 따라 우주의 형태가 바뀌는 거였죠.

🟡 리나: 맞아. \(k = +1\)은 닫힌 우주(구면적), \(k = 0\)은 평탄, \(k = -1\)은 열린 우주(쌍곡적).

✅ 이해도 체크: FRW 계량의 파라미터 \(a(t)\)와 \(k\)는 각각 무엇을 나타내나요?

답

\(a(t)\)는 스케일 인자로, 우주의 공간적인 크기가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다. \(k\)는 공간 곡률 파라미터로, \(k = +1\)이 닫힌 우주(구면적), \(k = 0\)이 평탄한 우주, \(k = -1\)이 열린 우주(쌍곡적)에 대응한다.

D.4.2　Christoffel 기호(영이 아닌 성분)

도트 \(\dot{}\)는 \(\partial/\partial t\)를 나타낸다.

\[ \Gamma^t{}_{rr} = \frac{a\dot{a}}{1 - kr^2}, \qquad \Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2, \qquad \Gamma^t{}_{\varphi\varphi} = a\dot{a}\,r^2\sin^2\theta \]
\[ \Gamma^r{}_{tr} = \frac{\dot{a}}{a}, \qquad \Gamma^r{}_{rr} = \frac{kr}{1 - kr^2}, \qquad \Gamma^r{}_{\theta\theta} = -r(1 - kr^2), \qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi} = -r(1 - kr^2)\sin^2\theta \]
\[ \Gamma^\theta{}_{t\theta} = \frac{\dot{a}}{a}, \qquad \Gamma^\theta{}_{r\theta} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\,\sin\theta \]
\[ \Gamma^\varphi{}_{t\varphi} = \frac{\dot{a}}{a}, \qquad \Gamma^\varphi{}_{r\varphi} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi} = \cot\theta \]

🔵 카이: \(\Gamma^r{}_{tr}\), \(\Gamma^\theta{}_{t\theta}\), \(\Gamma^\varphi{}_{t\varphi}\)가 전부 \(\dot{a}/a\)네요. 이거 본편에서 나왔던 Hubble 파라미터 \(H\) 그 자체 아닌가요!

🟡 리나: 맞아. \(H = \dot{a}/a\)는 우주의 팽창률이야. 공간 방향의 Christoffel 기호에 \(H\)가 나타나는 것은, 팽창하는 우주에서 "곧게 나아간다"는 것의 기하학적 의미를 반영하고 있어.

✅ 이해도 체크: FRW 시공간의 Christoffel 기호 \(\Gamma^r{}_{tr}\), \(\Gamma^\theta{}_{t\theta}\), \(\Gamma^\varphi{}_{t\varphi}\)가 모두 \(\dot{a}/a\)와 같은 것의 물리적 의미는 무엇인가요?

답

\(\dot{a}/a\)는 Hubble 파라미터 \(H\) 그 자체이며, 우주의 팽창률을 나타낸다. 공간 방향의 Christoffel 기호에 이 양이 나타나는 것은, 팽창하는 우주에서 "측지선을 따라 곧게 나아가는 것"이 팽창의 효과를 받는 것을 기하학적으로 반영하고 있다.

D.4.3　Einstein 텐서(정규직교 기저 성분)

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = 3\left(\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right) \]
\[ G_{\hat{r}\hat{r}} = G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} = G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} = -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]

🟡 리나: Einstein 방정식 \(G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = 8\pi T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\)에 완전유체 \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \mathrm{diag}(\rho, p, p, p)\)를 대입하면 Friedmann (프리드만) 방정식이 얻어져. 제1식은 \(\hat{t}\hat{t}\) 성분 \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho\)로부터 직접 얻어져: \(3(\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi\rho\)를 \(3\)으로 나누면 제1 Friedmann 방정식이야.

🔵 카이: 그러면 제2식은 공간 성분 \(G_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi p\)에서 나오는 건가요?

🟡 리나: 맞아. 제1 Friedmann 방정식 \((\dot{a}/a)^2 = 8\pi\rho/3 - k/a^2\)를 이항하면 \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi\rho/3\)이 되지. 이것을 \(-(2\ddot{a}/a) - (\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi p\)에 대입해서 \((\dot{a}^2 + k)/a^2\)를 소거하면 \(-2\ddot{a}/a - 8\pi\rho/3 = 8\pi p\). \(8\pi\rho/3\)을 우변으로 이항해서 정리하면 \(-2\ddot{a}/a = 8\pi p + 8\pi\rho/3\).

⚪ 메이: 우변을 정리하면 \(\frac{8\pi}{3}(\rho + 3p)\) 형태가 되는 거네.

🟡 리나: 맞아. 우변을 \(8\pi\)로 묶으면 \(8\pi(p + \rho/3) = \frac{8\pi}{3}(\rho + 3p)\)이지. 따라서 \(-2\ddot{a}/a = \frac{8\pi}{3}(\rho + 3p)\). 양변을 \(-2\)로 나누면 \(\ddot{a}/a = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)\)가 도출돼. 정리하면:

\[ \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{k}{a^2} \]
\[ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) \]

🔵 카이: 오오, Einstein 텐서에서 Friedmann 방정식이 나오는 걸 처음으로 전부 따라갔어요.

🟡 리나: 우주 상수 \(\Lambda\)를 포함하는 경우에는, \(\Lambda/(8\pi)\)를 실효적인 에너지 밀도로 취급하여 제1식의 우변에 \(\Lambda/3\) 항을 더하면 돼(본편 제 21 장 참조). 그러면 제1식은 \(H^2 = 8\pi\rho/3 - k/a^2 + \Lambda/3\)이 돼(여기서 \(\rho\)는 물질·복사의 에너지 밀도).

🔵 카이: 제1식이 팽창 속도, 제2식이 가속·감속을 결정하는 거였죠. 그런데 제2식을 보면…… \(\rho + 3p\)라니, 왜 밀도뿐만 아니라 압력도 들어오는 건가요? 게다가 3배로. Newton 역학에서는 중력원은 질량뿐이잖아요?

🟡 리나: 좋은 의문이야. 일반상대론에서는 압력도 에너지와 마찬가지로 중력원이 돼. 완전유체의 에너지 운동량 텐서는 \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \mathrm{diag}(\rho, p, p, p)\)였잖아. \(x\), \(y\), \(z\)의 3방향 각각에 압력 \(p\)가 들어가 있으니까, 합계로 \(3p\)가 더해져. 식을 보면 알 수 있듯이, \(\rho + 3p > 0\)이면 \(\ddot{a} < 0\)으로 감속 팽창, 반대로 \(\rho + 3p < 0\)이면 가속 팽창이 돼.

🔵 카이: 어, 압력이 중력원이 된다고요……Newton 역학과는 전혀 다르네요. 그런데 생각해보면, 압력이 있다는 건 입자가 운동하고 있다는 것이고, 운동 에너지도 에너지니까, 그것도 중력을 만든다는 건가요?

🟡 리나: 직관적으로는 그런 거야. 좀 더 정확하게 말하면, 압력은 "운동량의 흐름"——즉 입자가 벽을 미는 힘——을 나타내고 있어. Newton 역학에서는 질량(정지 에너지)만이 중력원이었지만, 일반상대론에서는 에너지 운동량 텐서 \(T_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\)의 모든 성분이 중력원이 돼. 대각 성분에 에너지 밀도도 압력도 들어가 있잖아? 그래서 압력도 중력을 만드는 거야.

⚪ 메이: 식의 부호에서 읽어내면, 우변에 마이너스가 붙어 있으니까 \(\rho + 3p\)가 양이면 \(\ddot{a}\)는 음——즉 감속. 가속 팽창에는 \(\rho + 3p < 0\)이 필요하네.

🔵 카이: \(\rho + 3p < 0\)이라는 건, 압력이 음이라는 거잖아요? 그런 물질이 있나요?

🟡 리나: 정확하게 말하면 "압력이 음"인 것만으로는 불충분하고, \(p < -\rho/3\) ——즉 압력의 절댓값이 에너지 밀도의 3분의 1을 초과할 만큼 강하게 음이어야 해. 그 대표가 암흑 에너지야. 우주 상수의 경우는 \(p = -\rho\)이니까 충분히 조건을 만족해. 본편의 제22–23장에서 배웠지.

🔵 카이: 아, 전에 나왔던 우주 상수는 \(w = -1\)이었죠. 그때는 "그런 것인가" 하고 받아들였는데…… 여기서 식의 구조를 보니까, "왜 음의 압력이 가속을 만드는지"가 이해되네요. 그런데 반대로 말하면, \(w = -1/3\)이 정확히 가속과 감속의 경계라는 건가요?

🟡 리나: 맞아. \(w = -1/3\)이 분기점이야. \(w < -1/3\)이면 가속, \(w > -1/3\)이면 감속. 식의 구조를 이해하고 있으면, "가속 팽창에는 음의 압력이 필요하다"는 결론이 하늘에서 뚝 떨어진 게 아니라 필연이라는 걸 알 수 있지.

⚪ 메이: 통상적인 물질(더스트 \(w = 0\), 복사 \(w = 1/3\))은 둘 다 \(w > -1/3\)이니까 반드시 감속이야. 가속 팽창에는 정말로 "보통이 아닌" 성분이 필요한 거네.

✅ 이해도 체크: Friedmann의 제2식 \(\ddot{a}/a = -4\pi(\rho + 3p)/3\)에서, 우주의 팽창이 가속하기 위한 조건은 무엇인가요?

답

\(\ddot{a} > 0\)(가속 팽창)이 되려면 \(\rho + 3p < 0\)이 필요하다. 통상적인 물질에서는 \(\rho + 3p > 0\)이므로 감속 팽창이 되지만, 암흑 에너지처럼 \(p < -\rho/3\)를 만족하는 성분이 지배적이면 가속 팽창이 실현된다.

📝 연습문제:

D.5　평탄 시공간(Minkowski 시공간)

🟡 리나: 참조를 위해, 가장 단순한 경우도 실어둘게.

D.5.1　계량(직교 좌표)

\[ ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

D.5.2　계량(구 좌표)

\[ ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2) \]

D.5.3　Christoffel 기호

직교 좌표에서는 전부 0. 구 좌표에서는:

\[ \Gamma^r{}_{\theta\theta} = -r, \qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi} = -r\sin^2\theta \]
\[ \Gamma^\theta{}_{r\theta} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\,\sin\theta \]
\[ \Gamma^\varphi{}_{r\varphi} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi} = \cot\theta \]

🔵 카이: 평탄한데 Christoffel 기호가 0이 아니에요!

🟡 리나: 그래. Christoffel 기호는 좌표계의 선택에도 의존해. 휘어진 좌표를 사용하면 평탄한 공간에서도 영이 아니게 돼. 곡률의 유무를 판정하려면 Riemann 텐서를 봐야 해.

🔵 카이: 즉, Christoffel 기호가 영이 아니어도 "중력이 있다"고는 할 수 없는 거군요. 겉보기 힘 같은 건가요?

🟡 리나: 정확히 그래. 회전 좌표계에서 원심력이나 코리올리 힘이 나타나는 것과 같은 구조야.

⚪ 메이: 정리하면, Christoffel 기호는 "좌표계의 휘어짐"과 "시공간의 휘어짐" 양쪽을 포함하고 있어서, 진짜 곡률만 추출하려면 Riemann 텐서를 봐야 한다는 거네.

✅ 이해도 체크: 평탄한 Minkowski 시공간에서도 구 좌표를 사용하면 Christoffel 기호가 영이 아니게 된다. 그러면 시공간이 정말로 휘어져 있는지 판정하려면 어떤 양을 봐야 하나요?

답

Riemann 곡률 텐서를 본다. Christoffel 기호는 좌표계의 선택에 의존하므로, 영이 아니어도 곡률이 있다고는 할 수 없다. Riemann 텐서가 전체 성분 0이면 시공간은 평탄하고, 영이 아닌 성분이 있으면 진짜 곡률(중력)이 존재한다.

📝 연습문제:

D.5.4　Riemann 곡률

\[ R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} = 0 \quad (\text{모든 성분}) \]

⚪ 메이: 아까 리나 선생님이 말한 대로네. 실제로 전체 성분이 0이 되는 것을 확인할 수 있었어.

D.6　단위계의 변환 규칙

🟡 리나: 이 공식집에서는 기하학 단위계 \(G = c = 1\)을 사용하고 있지만, 본편에서는 장에 따라 단위계가 달라. 여기서 변환 규칙을 정리해 둘 테니, 헷갈릴 때는 여기로 돌아와.

D.6.1　왜 \(c = 1\)로 하는가

🔵 카이: 애초에, 왜 광속을 1로 하는 건가요?

🟡 리나: 특수상대론에서는 시간과 공간이 섞여. \(c\)는 "시간과 공간의 환산 비율"에 불과해. \(c = 1\)로 하면, 시간도 공간도 같은 단위(예를 들어 미터)로 측정할 수 있게 되어 식이 깔끔해져. 예를 들어 \(E = mc^2\)는 \(E = m\)이 돼. 제 4 장에서 도입했지.

⚪ 메이: 그렇구나, 에너지와 질량이 같은 차원이 되는 거네.

D.6.2　\(c = 1\)의 변환 규칙

🟡 리나: \(c = 1\) 단위계에서는, 시간·길이·질량·에너지의 차원이 다음과 같이 통일돼.

표 D.1: \(c=1\)에서의 차원 통일과 환산

SI에서의 차원 \(c = 1\)에서의 차원 환산
시간 \([\text{s}]\) 길이 \([\text{m}]\) 시간 \(1\,\text{s}\)는 길이 \(c \times 1\,\text{s} = 3.0 \times 10^8\,\text{m}\)에 대응
속도 \([\text{m/s}]\) 무차원 \(v/c\)가 "속도"가 된다
에너지 \([\text{J}]\) 질량 \([\text{kg}]\) \(E = mc^2 \to E = m\)
운동량 \([\text{kg}\cdot\text{m/s}]\) 질량 \([\text{kg}]\) \(c = 1\)로 하면 속도 \(v\)는 "광속의 몇 배인가"를 나타내는 무차원량이 된다(예를 들어 광속의 절반이면 \(v = 0.5\)). 상대론적 운동량 \(p = m\gamma v\) (\(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2}\)는 Lorentz 인자, 본편 제 3 장 참조)의 차원은 \([\text{kg}] \times [1] \times [1] = [\text{kg}]\)가 되어, 운동량이 질량과 같은 차원이 된다. SI의 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\)가 \(E^2 = p^2 + m^2\)로 간략화된다

🔵 카이: SI로 돌아가려면 어떻게 하면 되나요?

🟡 리나: 차원 해석으로 \(c\)의 인자를 복원하는 거야. 절차는 이래:

  1. 식의 각 항의 SI 차원을 확인한다
  2. 차원이 맞지 않는 항에 \(c\)의 적절한 거듭제곱을 곱해서 차원을 맞춘다

⚪ 메이: 구체적인 예가 있으면 이해하기 쉬울 것 같아.

🟡 리나: 그럼 대표적인 식으로 봐보자.

표 D.2: \(c=1\)의 식을 SI로 되돌리는 예

\(c = 1\)의 식 SI로 되돌린 식 복원한 인자
\(E = m\) \(E = mc^2\) \(c^2\)
\(ds^2 = -dt^2 + dx^2\) \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2\) \(c^2\)를 \(dt^2\)에
\(p^\mu = m\,U^\mu\), \(U^0 = \gamma\) \(p^\mu = m\,U^\mu\), \(U^0 = \gamma c\) \(U^0\)에 \(c\)
\(\tau = t\sqrt{1 - v^2}\) \(\tau = t\sqrt{1 - v^2/c^2}\) \(v^2 \to v^2/c^2\)

D.6.3　\(G = 1\)의 변환 규칙

🟡 리나: 여기에 \(G = 1\)까지 더하면, 질량도 길이의 차원이 돼.

표 D.3: \(G=c=1\)에서의 차원 통일과 환산

SI에서의 차원 \(G = c = 1\)에서의 차원 환산
질량 \([\text{kg}]\) 길이 \([\text{m}]\) 질량 \(1\,\text{kg}\)은 길이 \(\frac{G}{c^2} \times 1\,\text{kg} = 7.43 \times 10^{-28}\,\text{m}\)에 대응
에너지 밀도 \([\text{J/m}^3]\) \([\text{m}^{-2}]\) \(\rho\,[\text{m}^{-2}] = (G/c^4)\,\rho_E\,[\text{J/m}^3]\) (\(\rho_E\)는 SI에서의 에너지 밀도. 기하학 단위계의 \(\rho\)가 Einstein 방정식의 우변에 나타나는 형태)
압력 \([\text{Pa}]\) \([\text{m}^{-2}]\) \(p \to Gp/c^4\)

🔵 카이: 태양의 질량이 "길이"가 된다니, 신기하네요.

🟡 리나: 태양의 경우, \(GM_\odot/c^2 \approx 1.48\,\text{km}\). 그래서 기하학 단위계에서는 "태양의 질량은 약 1.5 km"라고 할 수 있어. Schwarzschild 반지름 \(r_s = 2M\) (기하학 단위계)은 SI에서는 \(r_s = 2GM/c^2 \approx 3.0\,\text{km}\)이 돼. SI로 되돌리는 절차를 정리하면——

\(G = c = 1\) → SI의 변환 절차: 1. 식 중의 \(M\)(질량)을 \(GM/c^2\)(길이의 차원)으로 치환한다 2. 차원 해석으로 나머지 \(c\)와 \(G\)의 인자를 복원한다

⚪ 메이: 즉, 기하학 단위계 식에 나오는 \(M\)을 보면 \(GM/c^2\)로 읽어바꾸고, 나머지는 차원을 맞추면 되는 거네.

✅ 이해도 체크: 기하학 단위계(\(G = c = 1\))로 쓴 Einstein 방정식 \(G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}\)를 SI 단위계로 되돌리면, 우변에는 어떤 인자가 붙나요?

답

SI 단위계에서는 \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)가 된다. 우변에 \(G/c^4\) 인자가 붙는다. 이것은 차원 해석에 의해, Einstein 텐서(차원 \([\text{m}^{-2}]\))와 에너지 운동량 텐서(차원 \([\text{kg/(m·s}^2)]\))의 차원을 맞추기 위해 필요한 인자이다.

표 D.4: \(G=c=1\)의 식을 SI로 되돌리는 예

\(G = c = 1\)의 식 SI로 되돌린 식
\(r_s = 2M\) \(r_s = 2GM/c^2\)
\(\Phi = -M/r\) \(\Phi = -GM/r\)
\(G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}\) \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)
\(H^2 = \frac{8\pi}{3}\rho\) \(H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho\) (\(\rho\): 질량 밀도 \([\text{kg/m}^3]\). 에너지 밀도 \(\rho_E = \rho c^2\,[\text{J/m}^3]\)를 사용하는 경우에는 \(H^2 = \frac{8\pi G}{3c^2}\rho_E\))

D.6.4　본편에서의 단위계 사용 구분

🟡 리나: 본편에서는 장에 따라 단위계가 달라. 아래를 기준으로 해.

표 D.5: 본편 각 장의 단위계 사용 구분

장 단위계 이유
제0–1장 SI (\(c\), \(G\)를 명시) 고등학교 물리와의 접속. 수치 계산이 많다
제2장 \(c = 1\)을 도입 특수상대론의 식을 간결하게 한다
제3–5장 \(c\)를 명시 등가원리의 수치적 논의 (GPS 등)
제6–7장 \(G = c = 1\) (\(G = 1\)을 추가 도입) 계량·측지선의 기하학적 논의
제8–10장 \(c\)를 명시 (\(r_s = 2GM/c^2\)) 태양계 실험의 수치 계산
제11–13장 \(G = c = 1\) 텐서 계산. \(c\)를 쓰면 식이 번잡
제14–17장 \(G = c = 1\) 블랙홀의 기하학
제 18 장 \(c\)를 명시 중성자별의 물리량 (SI 단위)
제19–20장 \(c\)를 명시 중력파의 관측량 (Hz, strain)
제21–23장 \(c = 1\), \(G\)는 문맥에 따라 우주론. Friedmann 방정식 (기하학적 논의에서는 \(G=1\), 관측량과의 비교에서는 \(G\)를 명시)
제24–25장 \(G = c = 1\) 미분형식, 양자중력

🔵 카이: 장에 따라 다른 건 혼란스러울 수 있지만, 이유가 있는 거군요.

🟡 리나: 그래. 기하학적 논의에서는 \(G = c = 1\)이 자연스럽고, 관측량과 비교할 때는 SI가 필요해. 중요한 건 "지금 어떤 단위계를 사용하고 있는가"를 항상 의식하는 것. 헷갈리면 이 표로 돌아와.

D.7　공식집 사용 가이드

🟡 리나: 마지막으로, 이 공식집을 사용할 때의 주의점을 정리해 둘게.

표 D.6: 공식집 사용상의 주의사항

주의사항 설명
단위계 기하학 단위계 \(G = c = 1\). 변환 규칙은 D.6 참조
대칭성 Christoffel 기호의 아래 첨자 대칭성으로 얻어지는 성분은 생략
부호 규약 계량의 부호는 \((-,+,+,+)\)
모자 첨자 정규직교 기저 성분을 나타냄

🔵 카이: 이거, 인쇄해서 책상에 붙여놔야겠어요. ……근데 솔직히, 공식만 봐서는 "어떤 걸 사용해야 하는지" 헤맬 것 같아요.

⚪ 메이: 나는 태블릿에 북마크해 둘게. 계량의 형태를 보면, 어떤 섹션을 참조해야 할지 알 수 있을 거야.

🟡 리나: 어느 쪽이든 좋아. 중요한 건, 공식을 통째로 외우는 것이 아니라, 필요할 때 바로 참조할 수 있는 것. 그리고, 각 양의 물리적 의미——계량은 "자", Christoffel 기호는 "자유낙하의 이정표", Riemann 텐서는 "조석력", Einstein 텐서는 "곡률과 물질의 다리"——이것을 항상 의식해줬으면 해.

마치며

🟡 리나: 이것으로 공식집은 완성이야. 본편에서 새로운 계량을 만났을 때, 여기로 돌아와서 Christoffel 기호나 곡률량을 확인해. 계산의 "사전"으로 반복해서 사용해줬으면 해.

연습문제

📝 연습문제:

참고문헌

  • Hartle, J. B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Ch. 24. Addison-Wesley.
  • Schutz, B. F. (2022). A First Course in General Relativity, 3rd ed., Appendix. Cambridge University Press.
  • Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman. (통칭 MTW. 공식집으로서 지금도 참조되는 고전적 교과서)
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