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제 1 장 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 지표에서의 중력가속도 계산

지구의 질량 \(M_\oplus \approx 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}\), 반지름 \(R_\oplus \approx 6.37 \times 10^6\ \mathrm{m}\)을 사용하여, 지표에서의 중력장의 크기 \(|\mathbf{g}| = GM_\oplus/R_\oplus^2\)를 계산하고, 고등학교에서 배운 중력가속도 \(g \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}\)와 일치하는지 확인하세요.

힌트

\(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}\)를 대입하여 계산해요.

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B-2. 중력 퍼텐셜의 \(x\) 성분의 미분

질량 \(M\)이 원점에 있을 때, 중력 퍼텐셜(gravitational potential)은 \(\Phi = -GM/r\)이에요. 직교 좌표 \((x, y, z)\)에서 \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)로 놓고, \(\partial \Phi / \partial x\)를 계산하여 중력장의 \(x\) 성분 \(g_x = -\partial \Phi / \partial x\)를 구하세요.

힌트

\(\partial r / \partial x = x/r\)을 이용하여 연쇄 법칙(체인 룰)으로 미분해요.

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B-3. 중력장의 벡터 표현

문제 B-2. 중력 퍼텐셜의 \(x\) 성분의 미분 의 결과를 \(y\) 성분·\(z\) 성분에도 확장하여, \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) 가 식 (1.3)의 \(\mathbf{g} = -GM\,\hat{\mathbf{r}}/r^2\) 와 일치함을 벡터의 형태로 보이세요.

힌트

\(\hat{\mathbf{r}} = (x/r,\; y/r,\; z/r)\) 임을 이용하세요.

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B-4. 2개의 점질량에 의한 중첩

2개의 점질량 \(M_1\)(원점에 배치)과 \(M_2\)(위치 \(\mathbf{r}_0\)에 배치)가 만드는 중력 퍼텐셜의 합성을 중첩의 원리(superposition principle)를 이용하여 써 보세요. 나아가, 위치 \(\mathbf{r}\)에서의 중력장 \(\mathbf{g}(\mathbf{r})\)을 구하세요.

힌트

Poisson 방정식은 선형이므로, 각 질량이 만드는 퍼텐셜의 합이 전체 퍼텐셜이 돼요.

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B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산

구좌표 \((r, \theta, \varphi)\) 에서 라플라시안(Laplacian)의 동경 부분은

\[ \nabla^2 f(r) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2 \frac{df}{dr}\right) \]

이에요. \(f(r) = r^n\)（\(n\) 은 정수）에 대해 \(\nabla^2(r^n)\) 을 계산하고, \(n\) 의 값으로 정리하세요.

힌트

\(df/dr = n\,r^{n-1}\) 을 대입하고, \(r^2 \cdot n\,r^{n-1}\) 을 \(r\) 로 한 번 더 미분해요.

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B-6. 점질량 외부에서의 Laplace 방정식

문제 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산의 결과를 이용하여, \(\Phi = -GM/r = -GM\,r^{-1}\)에 대해 \(r \neq 0\)에서 \(\nabla^2 \Phi = 0\)이 됨을 확인하세요. 이 결과가 Poisson(푸아송) 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

힌트

\(r \neq 0\)에서는 점입자의 질량 밀도 \(\rho = M\,\delta^3(\mathbf{r})\)가 0임에 주의하세요.

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B-7. 균일 밀도 구 내부의 포텐셜 상수

균일 밀도 \(\rho_0\) (상수)의 구 (반지름 \(R\)) 내부에서, 포텐셜이 \(\Phi(r) = Ar^2 + B\) (\(A, B\)는 상수)의 형태를 취한다고 가정해요. Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho_0\)에 대입하여, 상수 \(A\)를 \(G\)와 \(\rho_0\)로 나타내세요.

힌트

문제 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) 의 계산의 결과에서 \(n = 2\)일 때의 \(\nabla^2(r^2)\)를 사용해요.

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B-8. 중력장의 발산과 Poisson 방정식

중력장 \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) 의 발산 (divergence (다이버전스)) \(\nabla \cdot \mathbf{g}\) 를 Poisson 방정식을 이용하여 \(\rho\) 로 나타내세요.

힌트

\(\nabla \cdot \mathbf{g} = \nabla \cdot (-\nabla\Phi) = -\nabla^2\Phi\) 로 쓸 수 있어요.

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B-9. 순간 전파와 특수상대론의 모순

Newton의 중력 모델에서는 태양이 갑자기 사라진 경우, 지구는 그 순간에 직선 운동을 시작해요. 빛이 태양에서 지구까지 도달하는 시간(약 8분)을 계산하고, Newton 모델과 특수상대론의 모순을 구체적인 수치로 설명하세요.

힌트

태양–지구 간 거리 \(\approx 1.5 \times 10^{11}\) m를 광속 \(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s로 나누세요.

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B-10. 태양 표면에서의 상대론적 효과 추정

태양의 질량 \(M_\odot \approx 1.99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}\), 반지름 \(R_\odot \approx 6.96 \times 10^8\ \mathrm{m}\)을 사용하여 \(GM_\odot/(R_\odot c^2)\)를 계산하세요. 이 값으로부터 태양 표면 근처에서의 상대론적 효과의 크기를 추정하세요.

힌트

\(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s를 사용하여, 분자 \(GM_\odot\)를 계산한 후 \(R_\odot c^2\)로 나누세요.

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B-11. 중성자별의 상대론적 판정 기준 개산

무차원량 \(GM/(Rc^2)\) 에 대해, 중성자별(neutron star)의 전형적인 질량 \(M \approx 1.4\,M_\odot\), 반지름 \(R \approx 10\ \mathrm{km}\) 을 사용하여, 이 양을 \(G\), \(M_\odot\), \(R\), \(c\) 를 포함한 식 그대로 정리하고, 개산값의 자릿수(\(10\)의 몇 제곱인지)를 구하세요.

힌트

\(GM_\odot/c^2 \approx 1.48\ \mathrm{km}\) 라는 관계를 사용하면 전망이 좋아요.

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Medium（표준）

M-1. Gauss 법칙으로부터 Poisson 방정식의 도출

중력장에 대한 Gauss 법칙은, 닫힌 곡면 \(S\)로 둘러싸인 영역 \(V\)에 포함된 전체 질량 \(M_{\mathrm{enc}}\)에 대해

\[ \oint_S \mathbf{g} \cdot d\mathbf{A} = -4\pi G\,M_{\mathrm{enc}} \]

와 같이 쓸 수 있어요. \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\)와 발산 정리 (divergence theorem)를 이용하여, 이 적분형으로부터 Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\)를 도출하세요.

힌트

발산 정리 \(\oint_S \mathbf{g} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{g}\; dV\)를 적용하고, \(M_{\mathrm{enc}} = \int_V \rho\; dV\)를 사용해요. 임의의 체적 \(V\)에서 등식이 성립한다는 것으로부터 미분형을 얻을 수 있어요.

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M-2. 균일 밀도 구의 퍼텐셜 완전해

반지름 \(R\), 균일 밀도 \(\rho_0\), 전체 질량 \(M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_0\) 인 구에 대해 다음을 수행하세요.

(a) 구의 외부 (\(r > R\)) 에서 \(\Phi_{\mathrm{out}}(r) = -GM/r\) 임을 구대칭 Poisson 방정식 (\(\rho = 0\)) 을 풀어 보이세요.

(b) 구의 내부 (\(r < R\)) 에서 Poisson 방정식을 풀어 \(\Phi_{\mathrm{in}}(r)\) 을 구하세요. 단, \(r = R\) 에서 퍼텐셜과 그 미분 \(d\Phi/dr\) 이 연속이라는 경계 조건을 사용하세요.

(c) \(r = 0\) 에서의 \(\Phi\) 값을 구하고, 표면에서의 값 \(\Phi(R)\) 과 비교하세요.

힌트

내부에서는 \(\Phi = Ar^2 + B\) 의 형태를 가정하고 (문제 B-7. 균일 밀도 구 내부의 포텐셜 상수 의 결과를 이용), \(r = R\) 에서의 접속 조건 2개로부터 \(A\) 와 \(B\) 를 결정하세요.

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M-3. 수성의 근일점 이동 스케일 평가

수성의 궤도 긴반지름 \(a \approx 5.79 \times 10^{10}\ \mathrm{m}\)에 대해, 무차원량 \(GM_\odot/(ac^2)\)를 계산하세요. 이 값이 100년당 43초각 (\(\approx 2.1 \times 10^{-7}\ \mathrm{rad}\))이라는 근일점 이동의 "뉴턴 모델로부터의 어긋남"의 오더와 대응하고 있음을 차원해석적으로 논의하세요.

힌트

수성의 공전 주기는 약 88일이므로, 100년간의 공전 횟수를 어림하고, 1공전당 어긋남 각도를 \(GM_\odot/(ac^2)\)와 비교하세요.

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M-4. 파동방정식과 Poisson 방정식의 비교

전자기학의 파동방정식

\[ \left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\varphi = -\frac{\rho_e}{\varepsilon_0} \]

에서, 소스 \(\rho_e\)가 시간 변화하지 않는 경우(정전기장)에 이 방정식이 어떤 형태로 귀착되는지를 보이세요. 나아가, Newton의 Poisson 방정식과의 구조적 유사점과 차이점을 정리하세요.

힌트

\(\partial/\partial t = 0\)으로 놓으면 시간 미분 항이 사라져요. 남은 식을 정전기장의 Poisson 방정식과 비교하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 스칼라 중력 이론의 시도

Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) 에 시간 미분을 추가하여, 형식적으로

\[ \left(\nabla^2 - \frac{1}{c_g^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Phi = 4\pi G\rho \tag{$\ast$} \]

로 놓으면, 중력의 변화가 속도 \(c_g\) 로 전파되는 "중력 파동 방정식"을 얻을 수 있어요.

(a) \(c_g = c\) (광속)로 놓았을 때, 이 방정식의 평면파 해 \(\Phi = \Phi_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\) (소스 없음, \(\rho = 0\))에 대한 분산 관계 (dispersion relation) \(\omega(\mathbf{k})\) 를 구하세요.

(b) 이 수정으로 Newton 모델의 "순간 전파" 문제는 해소되지만, 사실 이 스칼라 (scalar) 중력 이론에는 별도의 심각한 문제가 있어요. 전자기학에서 장이 벡터 퍼텐셜 \(A^\mu\) 로 기술되는 것과 대비하면서, 스칼라 퍼텐셜 \(\Phi\) 만으로 중력을 기술하는 것의 한계를 물리적으로 논하세요. (힌트: 소스가 되는 물리량에 주목하세요. 특수 상대론에서는 에너지와 운동량이 통일된다는 것을 떠올리세요.)

(c) \((\ast)\) 식에서 \(c_g \to \infty\) 의 극한을 취하면 Poisson 방정식으로 귀착됨을 보이고, 이것이 "Newton 중력은 \(c \to \infty\) 의 근사이다"라는 주장과 정합함을 설명하세요.

힌트

(a) 평면파를 대입하여 \(\omega\) 와 \(|\mathbf{k}|\) 의 관계를 구해요. (b) 특수 상대론에서는 에너지-운동량 텐서 (energy-momentum tensor) \(T^{\mu\nu}\) 가 중력의 소스가 되어야 한다는 점을 생각해요. 스칼라 \(\rho\) 만으로는 불충분한 이유를 논의해요. (c) \(1/c_g^2 \to 0\) 으로 놓으면 돼요.

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A-2. 구각 정리와 조석력

균일 밀도의 구각(내경 \(R_1\), 외경 \(R_2\))의 내부 공동 (\(r < R_1\))에서 중력 퍼텐셜 \(\Phi\)가 상수가 되는 것(Newton의 구각 정리 (shell theorem))을 Poisson 방정식과 적절한 경계 조건으로부터 유도하세요.

나아가 이 결과를 이용하여 다음을 논하세요:

(a) 구각의 중심에서 약간 벗어난 위치 \(\mathbf{r}_0\)에 질량 \(m\)인 물체를 놓은 경우, 물체에 작용하는 중력은 영인가? 그 이유를 서술하세요.

(b) 구각이 완전한 구대칭이 아니라 약간 타원체로 변형되어 있는 경우, 공동 내부의 퍼텐셜은 일정하지 않게 돼요. 이때 공동 내부에 생기는 중력장의 성질을 정성적으로 논의하고, 이것이 조석력 (tidal force)의 개념과 어떻게 관계되는지 설명하세요. (힌트: 일반상대론에서는 조석력이 시공간의 곡률 (curvature)로 기술돼요. Newton 중력에서의 대응물은 무엇인가?)

힌트

구각 내부에서는 \(\rho = 0\)이므로 \(\nabla^2\Phi = 0\)이에요. 구대칭인 해로서 \(r = 0\)에서 정칙인 것은 상수뿐이에요. (b)에서는 \(\Phi\)의 2계 미분(중력장의 공간 변화)이 조석력에 대응한다는 점에 주목하세요.

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