Appendix A: 복소수와 기본적인 복소함수¶
이 부록의 위치: 본편의 제 1 장 이후에 등장하는 확률진폭·파동함수는 모두 복소수로 쓰인다. "왜 실수로는 안 되는가"는 제 4 장 이후에서 실감하게 되지만, 우선 그 도구를 갖추어 두자. 고등학교 수학에서 다룬 내용의 복습부터 시작하여, 양자역학에서 필수적인 Euler(오일러)의 공식까지 단숨에 올라간다.
이 부록의 목표
- 복소수의 사칙연산을 자유자재로 할 수 있게 된다
- 복소평면·극형식의 의미를 기하학적으로 이해한다
- Euler의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 를 유도하고, 자유롭게 사용할 수 있게 된다
- 복소켤레와 절댓값의 제곱이 양자역학에서 어떻게 사용되는지 예감한다
허수단위 \(i\) 의 도입¶
🟡 리나: 이 부록에서는 양자역학에서 사용하는 "복소수"의 기본을 정리할 거예요. 먼저 질문 하나. \(x^2 = -1\) 을 만족하는 실수 \(x\) 는 존재해요?
🔵 카이: 없잖아요. 어떤 실수든 제곱하면 0 이상이 되니까요.
🟡 리나: 맞아. 실수 범위에서는 해가 없어. 하지만, "제곱해서 \(-1\) 이 되는 수가 있다고 하면, 어떤 계산을 할 수 있을까?" 하고 생각해 보는 거야. 그 수에 이름을 붙여 버리는 거지.
이 \(i\) 를 허수단위 (imaginary unit)라고 불러요.
🔵 카이: "존재하지 않는 수"에 이름을 붙여도 되는 건가요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 수학의 역사를 돌이켜보면 "음수"도 처음에는 "존재하지 않는다"고 여겨졌어. 고대에는 "사과 3개에서 5개를 빼다"니 말도 안 됐거든. 하지만 빚이라는 개념이 생기면서, 음수는 당연한 것이 됐어. 지금은 아무도 의심하지 않잖아?
⚪ 메이: 즉, \(i\) 도 "계산 도구로서 모순 없이 사용할 수 있다면, 그걸로 충분하다"는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 모순 없이 사칙연산을 할 수 있고, 물리 현상을 기술하는 데 유용하다면, 그것은 훌륭한 "수"야.
✅ 이해도 체크: 허수단위 \(i\) 의 정의를 말해 보세요. 또한, \(i^3\) 과 \(i^4\) 의 값은 얼마인가요.
답
허수단위 \(i\) 는 \(i^2 = -1\) 을 만족하는 수로 정의된다. \(i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\), \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\). \(i\) 의 거듭제곱은 4개마다 \(1, i, -1, -i\) 를 반복한다.
🟡 리나: 하나 더 중요한 것을 미리 말해 둘게. 양자역학에서는 자연의 행동을 기술하는 데 복소수가 본질적으로 필요해. 하지만, 실험에서 측정할 수 있는 값——예를 들어 입자의 위치나 에너지——은 어째서인지 모두 실수야.
🔵 카이: 에? 복소수가 중요한데, 측정값은 실수라고요? 모순 아닌가요?
🟡 리나: 모순이 아니라, 오히려 양자역학의 구조 자체가 그렇게 되어 있는 거야. 왜 그런지는 제 11 장 이후에서 수학적으로 명확해지니까, 지금은 "무대 뒤는 복소수, 관객이 보는 것은 실수"라고만 기억해 둬.
✅ 이해도 체크: 양자역학에서 복소수와 실수는 각각 어떤 역할을 하는가.
답
양자역학에서는 자연의 행동을 기술하는 데 복소수가 본질적으로 필요하다(확률진폭·파동함수는 복소수). 한편, 실험에서 측정할 수 있는 물리량(위치나 에너지 등)은 모두 실수이다. "무대 뒤는 복소수, 관객이 보는 것은 실수"라는 구조로 되어 있다.
복소수의 사칙연산¶
🟡 리나: 복소수 \(z\) 는 실수 \(a\) 와 \(b\) 를 사용하여
라고 쓸 수 있어. \(a\) 를 실부 (real part), \(b\) 를 허부 (imaginary part)라고 불러. \(z\) 는 두 개의 성분을 가지고 있지만, 이것으로 하나의 수야.
🔵 카이: \(a = 0\) 일 때는요?
🟡 리나: \(a = 0\) 이고 \(b \neq 0\) 일 때, \(z = bi\) 를 순허수 (purely imaginary number)라고 불러. 반대로 \(b = 0\) 이면 \(z = a\) 로, 그냥 실수야. 실수는 복소수의 특별한 경우인 거지.
그러면, \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) 로 놓고 사칙연산을 살펴볼게.
덧셈과 뺄셈¶
🟡 리나: 실부끼리, 허부끼리 각각 계산하면 돼.
⚪ 메이: 벡터의 성분별 덧셈·뺄셈과 같은 구조네요.
🟡 리나: 좋은 관찰이야. 사실 이 뒤에 "복소평면"을 도입하면, 정말로 벡터의 덧셈과 같은 그림이 돼.
곱셈¶
🟡 리나: 곱셈은 보통으로 전개해서 \(i^2 = -1\) 을 사용하면 돼.
🔵 카이: 공식으로 외워야 하나요?
🟡 리나: 외우지 않아도 돼. \(i^2 = -1\) 만 알고 있으면, 보통의 대수 계산과 똑같이 전개하면 돼.
나눗셈¶
🟡 리나: 나눗셈만 약간 요령이 필요해. 분모를 실수로 만들고 싶은 거야. 그러기 위해 분모와 분자에 "분모의 복소켤레"를 곱해. 복소켤레는 이 뒤에 자세히 설명하겠지만, \(c + di\) 의 복소켤레는 \(c - di\)——허부의 부호를 뒤집은 것이야.
🟡 리나: 분자의 전개를 확인해 두면, \((a + bi)(c - di) = ac - adi + bci - bdi^2 = ac - adi + bci + bd = (ac + bd) + (bc - ad)i\) 야. 곱셈 때와 마찬가지로 \(i^2 = -1\) 을 사용하는 것뿐이야.
🔵 카이: 분모가 \(c^2 + d^2\) 이 되어서 실수가 됐어요!
🟡 리나: 맞아. \((c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2\) 인데, 여기서 \((di)^2 = d^2 i^2 = d^2 \times (-1) = -d^2\) 이니까, \(c^2 - (-d^2) = c^2 + d^2\) 이 되는 게 포인트야. 이것은 실수니까, 나머지는 실부와 허부를 각각 \(c^2 + d^2\) 으로 나누면 되는 거야.
⚪ 메이: 분모를 실수로 만든다——이것이 나눗셈의 본질이네요. 유리화와 비슷한 발상이에요.
✅ 이해도 체크: \(z_1 = 3 + 2i\), \(z_2 = 1 - i\) 일 때, \(z_1 z_2\) 와 \(z_1 / z_2\) 를 계산해 봅시다.
답
곱셈: \(z_1 z_2 = (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i\)
나눗셈: \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 + i)}{1^2 + 1^2} = \dfrac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{2} = \dfrac{1 + 5i}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i\)
📝 연습문제:
- 복소수의 사칙연산 연습 → 문제 B-1. 복소수의 곱셈
복소평면과 극형식¶
🟡 리나: 실수는 수직선 위의 점으로 나타낼 수 있었잖아. 복소수는 두 개의 성분(실부와 허부)을 가지니까, 평면 위의 점으로 나타내.
- 가로축: 실축 (real axis) — 실부 \(a\) 를 나타냄
- 세로축: 허축 (imaginary axis) — 허부 \(b\) 를 나타냄
이 평면을 복소평면 (complex plane), 또는 Gauss(가우스) 평면이라고 불러. 복소수 \(z = a + bi\) 는 실축 방향으로 \(a\), 허축 방향으로 \(b\) 만큼 나아간 점에 대응해.
🔵 카이: 좌표 \((a, b)\) 의 점이라는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 여기서 원점에서 그 점까지의 "화살표"를 생각해 봐. 그 화살표에는 길이와 각도가 있어.
- 화살표의 길이 \(r\) 을 복소수의 절댓값 (absolute value)이라 부르고, \(|z|\) 라고 써
- 화살표가 실축의 양의 방향과 이루는 각도를 편각 (argument)이라 부르고, \(\arg(z)\) 라고 써. 이하에서는 편각을 \(\theta\) 로 나타내는 경우가 많아(즉 \(\theta = \arg(z)\))
✅ 이해도 체크: 복소평면에서 복소수의 "절댓값"과 "편각"은 각각 무엇을 나타내는가.
답
절댓값 \(|z|\) 는 원점에서 복소수 \(z\) 에 대응하는 점까지의 거리(화살표의 길이)를 나타낸다. 편각 \(\arg(z)\) 는 그 화살표가 실축의 양의 방향과 이루는 각도를 나타낸다. 이들은 극좌표 \((r, \theta)\) 에 대응한다.
⚪ 메이: 직교좌표 \((a, b)\) 와 극좌표 \((r, \theta)\) 의 관계네요. 고등학교에서 배웠어요.
🟡 리나: 맞아. 삼각함수를 사용하면:
따라서,
이것을 복소수의 극형식 (polar form)이라고 불러.
🔵 카이: 오, \(r\) 로 묶을 수 있군요. 깔끔한 형태예요.
🟡 리나: 절댓값 \(r\) 은 Pythagoras(피타고라스)의 정리 그 자체로,
편각 \(\theta\) 는,
로부터 구할 수 있어. 다만 주의할 점이 2가지 있어. 먼저, \(\tan\) 의 역함수 \(\arctan\) 은 \(-\pi/2\) 에서 \(\pi/2\) 범위밖에 반환하지 않으니까, \(a\) 와 \(b\) 의 부호를 보고 어느 사분면에 있는지를 직접 판단해야 해. 또한, \(\theta\) 에 \(2\pi\) 의 정수배를 더해도 같은 점을 나타내니까, 편각은 \(2\pi\) 를 주기로 하는 값이야.
🔵 카이: 같은 복소수여도 편각의 표현 방법이 하나가 아닌 거군요.
🟡 리나: 맞아. 예를 들어 편각 \(\pi/4\) 와 \(\pi/4 + 2\pi = 9\pi/4\) 는 같은 방향을 가리키고 있어. 보통은 \(-\pi < \theta \leq \pi\) 나 \(0 \leq \theta < 2\pi\) 범위로 한정해서 "주값"을 취하는 경우가 많아.
✅ 이해도 체크: \(z = 1 + i\) 의 절댓값과 편각을 구해 보세요.
답
\(|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). \(\tan\theta = 1/1 = 1\) 이고, \(a > 0, b > 0\)(제1사분면)이므로 \(\theta = \pi/4\). 따라서 \(z = \sqrt{2}(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4))\).
📝 연습문제:
- 복소수의 극형식 변환 → 문제 B-4. 극형식으로의 변환
곱셈의 기하학적 의미 — 회전과 확대¶
🟡 리나: 극형식의 진가는 곱셈에서 발휘돼. 두 복소수를 극형식으로 써 볼게.
이 곱을 계산해 보자.
⚪ 메이: 전개 결과의 실부와 허부, 어디선가 본 형태인데……덧셈정리야.
🟡 리나: 맞아. 삼각함수의 덧셈정리 \(\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\), \(\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\) 를 떠올려 봐. 전개 결과의 실부 \(\cos\theta_1 \cos\theta_2 - \sin\theta_1 \sin\theta_2\) 는 바로 \(\cos(\theta_1 + \theta_2)\) 의 형태이고, 허부 \(\cos\theta_1 \sin\theta_2 + \sin\theta_1 \cos\theta_2\) 는 \(\sin(\theta_1 + \theta_2)\) 의 형태이니까,
🔵 카이: 오! 절댓값은 곱셈, 편각은 덧셈이 됐어요!
🟡 리나: 이것이 복소수 곱셈의 본질이야. 정리하면:
복소수 곱셈의 기하학적 의미:
복소수 \(z_2\) 를 곱한다는 것은, 복소평면 위에서 - 절댓값을 \(|z_2|\) 배 한다(확대·축소) - 편각을 \(\arg(z_2)\) 만큼 늘린다(회전)
✅ 이해도 체크: 복소수의 곱셈 \(z_1 z_2\) 에서 곱의 절댓값과 편각은 각각 어떻게 되는가.
답
곱의 절댓값은 \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)(각 절댓값의 곱), 편각은 \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)(각 편각의 합)이 된다. 즉 곱셈은 "확대와 회전을 동시에 수행하는 연산"이다.
⚪ 메이: 그러면, \(|z_2| = 1\) 이면 순수한 회전만, \(\arg(z_2) = 0\) 이면 순수한 확대만. 두 효과가 독립적으로 분리될 수 있는 거네요.
🟡 리나: 구체적인 예를 살펴보자. 허수단위 \(i\) 를 곱하면 어떻게 될까? \(i\) 의 절댓값과 편각은 얼마지?
🔵 카이: 음……\(i = 0 + 1 \cdot i\) 니까 절댓값은 \(\sqrt{0^2 + 1^2} = 1\), 편각은 허축의 양의 방향이니까 \(\pi/2\). 그러면……크기는 변하지 않고, \(90°\) 회전!
🟡 리나: 완벽해. 그러면 \(i\) 를 2번 곱하면?
🔵 카이: \(90° + 90° = 180°\) 회전으로, \(i^2 = -1\). 실축의 음의 방향으로 가요.
🟡 리나: 맞아. \(-1\) 은 "\(180°\) 회전"을 의미하는 복소수야. 그래서 \((-1) \times (-1) = 1\) 이라는 것은, \(180°\) 회전을 2번 하면 \(360°\) 로 원래로 돌아온다는 뜻이야.
🔵 카이: "마이너스 × 마이너스 = 플러스"가 이렇게 직관적으로 이해되다니……그런데 반대로, \(i\) 를 3번 곱하면 \(270°\) 회전으로 \(-i\) 가 된다는 거잖아요. 그건 "허축의 음의 방향"이니까, \(i^3 = -i\) 와 일치하네요! 그러면 \(i^{100}\) 같은 것도 회전으로 생각하면 되나요?
🟡 리나: 맞아. 이것이 복소평면의 위력이야. 카이가 말한 \(i^{100}\) 으로 확인해 보자. \(100 \times 90° = 9000°\) 이고, \(9000 / 360 = 25\) 바퀴니까 원래로 돌아와서 \(1\)——대수적으로도 \(i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1\) 로 일치해.
⚪ 메이: 즉 \(i^n\) 의 계산은 "\(90°\) 씩 회전을 \(n\) 번 겹치는 것"으로 읽을 수 있는 거네요. 대수와 기하, 어느 쪽에서 접근해도 같은 결과가 나오는 것이 복소평면의 강점이에요.
✅ 이해도 체크: 복소수 \(z = 1 + i\) 에 \(i\) 를 곱한 결과를 계산하고, 복소평면 위에서 어떻게 움직이는지 설명해 봅시다.
답
\(iz = i(1 + i) = i + i^2 = -1 + i\). 원래의 \(z = 1 + i\) 는 제1사분면(편각 \(\pi/4\))에 있고, \(iz = -1 + i\) 는 제2사분면(편각 \(3\pi/4\))에 있다. 편각이 \(\pi/2\) 만큼 증가했으며, 원점을 중심으로 \(90°\) 반시계 방향으로 회전했다. 절댓값은 둘 다 \(\sqrt{2}\) 로 변하지 않는다.
복소켤레 — 거울에 비친 수¶
🟡 리나: 나눗셈 부분에서 약간 선취했지만, 여기서 정식으로 정의할게. 복소수 \(z = a + bi\) 의 허부의 부호만을 반전시킨 것을 복소켤레 (complex conjugate)라고 불러. 물리에서는 \(z^*\) 로 쓰는 것이 표준이야. 수학에서는 \(\bar{z}\) 로 쓰기도 하지만, 이 교재에서는 물리의 관습에 따라 \(z^*\) 를 사용할게.
🔵 카이: 허부의 부호를 뒤집기만 하면 되나요? 그런 단순한 것에 이름을 붙일 필요가 있나요?
🟡 리나: 있어. 양자역학에서는 모든 곳에 나와. 먼저 유용한 성질 3가지를 보여줄게.
성질 1: 실부와 허부의 추출¶
🟡 리나: \(z\) 와 \(z^*\) 를 더하면,
따라서,
마찬가지로 빼면,
따라서,
여기서 \(\operatorname{Re}\) 는 real part(실부), \(\operatorname{Im}\) 은 imaginary part(허부)의 약자야.
🔵 카이: 더하면 허부가 사라지고 실부만, 빼면 실부가 사라지고 허부만. 잘 만들어져 있네요.
성질 2: 절댓값의 제곱¶
🟡 리나: \(z\) 와 \(z^*\) 를 곱하면,
🔵 카이: 복소켤레와 곱하면 절댓값의 제곱이 되는군요!
🟡 리나: 이것은 양자역학에서 가장 자주 사용하는 관계야. 제 4 장에서 확률진폭 \(\phi\) 로부터 확률을 구할 때, \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\) 라는 계산을 매번 하게 돼.
✅ 이해도 체크: 복소수 \(z\) 와 그 복소켤레 \(z^*\) 의 곱 \(zz^*\) 는 무엇과 같은가. 왜 이 관계가 양자역학에서 중요한가.
답
\(zz^* = |z|^2\)(절댓값의 제곱)과 같다. 양자역학에서는 확률진폭 \(\phi\) 로부터 확률을 구할 때 \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\) 라는 계산을 하기 때문에, 이 관계가 가장 자주 사용된다.
🔵 카이: 그런데, \(z^*\) 와 곱하면 실수가 되잖아요. 편각의 덧셈으로 생각하면, \(z^*\) 의 편각은 뭔가 특별한 건가요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 사실, \(z^*\) 의 편각은 \(z\) 의 편각과 반대 부호가 돼 있어. 극형식으로 쓰면 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 에 대해 \(z^* = r(\cos\theta - i\sin\theta)\). 여기서 \(\cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\) 가 성립해——\(\cos\) 는 \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) 로 부호가 변하지 않고, \(\sin\) 는 \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) 로 부호가 반전되니까. 즉 편각이 \(-\theta\) 가 돼 있어. 곱하면 편각이 \(\theta + (-\theta) = 0\) 으로 실축 방향, 절댓값은 \(r \times r = r^2\). 제대로 정합하지?
⚪ 메이: 편각이 서로 상쇄되어 실축으로 돌아온다——회전의 기하학적 이미지와 완전히 일치하네요.
🟡 리나: 이 뒤에 Euler의 공식을 배우면, 더 컴팩트한 표기가 돼. 지금은 "복소켤레는 편각을 역으로 하는 연산"이라는 직관을 갖고 있으면 충분해.
🔵 카이: 편각이 서로 상쇄되어 실축으로 돌아온다——기하학적으로도 깔끔하네요.
성질 3: 복소켤레의 계산 규칙¶
🟡 리나: 복소켤레에는 다음 규칙이 있어. 어느 것이든 정의로 돌아가면 증명할 수 있지만, 정리해 둘게.
🔵 카이: 복소켤레는 덧셈·곱셈·나눗셈 어느 것에 대해서도 "안으로 넣을 수 있는" 거군요. 뺄셈도 \((z_1 - z_2)^* = z_1^* - z_2^*\) 로 마찬가지죠?
🟡 리나: 맞아. 뺄셈은 덧셈의 특별한 경우이니까 자동으로 성립해. 이 성질을 수학에서는 "\(*\) 는 체의 자기동형사상이다"라고 말하지만, 지금은 거기까지 깊이 들어가지 않아도 돼. "복소켤레는 사칙연산과 교환할 수 있다"고 기억해 두면 충분해.
✅ 이해도 체크: \(z = 3 - 4i\) 일 때, \(|z|^2\) 를 \(zz^*\) 로 계산해 봅시다. 또한 \(|z|\) 는 얼마인가요.
답
\(z^* = 3 + 4i\). \(zz^* = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2\). 따라서 \(|z| = 5\).
📝 연습문제:
- 복소켤레의 성질 증명과 계산 → 문제 M-1. 복소켤레 곱의 규칙의 일반적 증명
Taylor 전개의 준비¶
🟡 리나: Euler의 공식을 유도하기 위해, Taylor 전개 (Taylor expansion)라는 도구가 필요해. 여기서는 고등학교 수학에서 배우는 미분 지식을 사용할 거야. 만약 미분을 아직 배우지 않았다면, 이 섹션 중간의 계산은 건너뛰어도 괜찮아——본편에서 필요한 것은 최종 결과인 식 (A.23)~(A.25)의 3개뿐이니까, 그것들을 "이런 공식이 성립한다"고 받아들이고, 다음 섹션 "Euler의 공식"으로 넘어가도 돼.
미분이란 "\(x\) 가 미소량 \(\Delta x\) 만큼 변했을 때, \(f(x)\) 가 얼마나 변하는가"의 비율을 구하는 연산으로, \(f(x)\) 의 미분을 \(f'(x)\) 로 써. 좀 더 구체적으로 말하면,
즉 "\(x\) 를 \(\Delta x\) 만큼 움직였을 때의 \(f\) 의 변화량"을 "\(\Delta x\)"로 나누고, \(\Delta x\) 를 한없이 작게 한 극한이 미분이야. 그래프로 말하면, 곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기를, 두 점을 한없이 가까이 했을 때의 극한——즉 접선의 기울기와 같아.
기본 공식으로, \(x^n\) 의 미분은 \((x^n)' = nx^{n-1}\)——즉 지수를 앞으로 내리고, 지수를 1 줄인다. 예를 들어 \(f(x) = x^2\) 이면 \(f'(x) = 2x^1 = 2x\), \(f(x) = x^3\) 이면 \(f'(x) = 3x^2\) 이야. 왜 이렇게 되는지 직관적으로 말하면, \((x + \Delta x)^2 - x^2 = 2x\,\Delta x + (\Delta x)^2\) 이니까, \(\Delta x\) 로 나누고 \(\Delta x \to 0\) 으로 하면 \(2x\) 가 남아——\(\Delta x\) 의 제곱 항은 사라지는 거야. 삼각함수에 대해서는 \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\) 라는 관계가 있어. 또한 지수함수는 \((e^x)' = e^x\) 로, 미분해도 자기 자신이 되는 특별한 함수야. 이들의 엄밀한 유도는 수학 교과서에 맡기지만, 결과는 앞으로 여러 번 사용하니까 기억해 둬.
🔵 카이: \((\cos x)' = -\sin x\) 의 마이너스는 어디서 오는 건가요? 그리고, \((e^x)' = e^x\) 는 신기하지 않나요? 미분해도 변하지 않는 함수가 있을 수 있나요?
🟡 리나: 순서대로 답할게. 먼저 \(\cos x\) 의 마이너스에 대해. \(\cos x\) 의 그래프를 떠올려 봐. \(x = 0\) 일 때 \(\cos 0 = 1\) 로 산꼭대기에 있잖아. 꼭대기에서는 기울기가 0——실제로 \(-\sin 0 = 0\) 으로 맞아. 거기서 \(x\) 가 조금 증가하면 \(\cos x\) 는 감소해, 즉 기울기가 음이 돼. \(-\sin x\) 는 \(x > 0\) 에서 음이니까 정합하는 거야. 같은 발상으로 \((\sin x)' = \cos x\) 도 확인할 수 있어. \(x = 0\) 일 때 \(\sin 0 = 0\) 으로 원점을 통과 중이고, 기울기는 양——실제로 \(\cos 0 = 1 > 0\) 으로 맞아.
⚪ 메이: 그래프의 형태로부터 미분의 부호를 읽어낼 수 있는 거네요. 산꼭대기는 기울기 0, 내리막은 기울기 음——직관적이에요.
🟡 리나: 다음으로 \(e^x\) 에 대해. 직관적으로 말하면, \(e^x\) 의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 급격히 증가해. 그리고 "현재 값에 비례하는 기울기를 가진다"는 것이 지수함수의 특징이야. 즉 값이 큰 곳에서는 기울기도 크고, 값이 작은 곳에서는 기울기도 작아. "변화율이 자기 자신과 같다"는 성질을 가진 함수가 \(e^x\) 라고 생각하면 돼. 실제로, \(e\) 라는 수는 바로 이 성질을 만족하도록 선택된 밑이야.
🔵 카이: 그렇군요, "변화율 = 자기 자신"을 만족하는 특별한 함수인 거군요.
🟡 리나: 자, 이 미분을 더 반복 적용하는 거야. \(f'(x)\) 를 한 번 더 미분한 것을 \(f''(x)\)(2계 미분), 더 미분한 것을 \(f'''(x)\)(3계 미분)이라고 써. 예를 들어 \(f(x) = x^2\) 이면 \(f'(x) = 2x\), \(f''(x) = 2\), \(f'''(x) = 0\) 이야. 일반적으로 \(n\) 번 미분한 것을 \(f^{(n)}(x)\) 으로 써. 괄호가 붙어 있는 것은 "\(n\) 제곱"이 아니라 "\(n\) 번 미분"이라는 의미——\(f^{(4)}(x)\) 는 \(f\) 를 4번 미분한 것, \(f^{(0)}(x) = f(x)\) 는 미분 0번, 즉 원래 함수 그 자체야.
그 전에 기호 하나를 도입할게. \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\) 을 계승 (factorial)이라고 불러. 예를 들어 \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\), \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). \(0! = 1\) 로 약속해(이렇게 정하면 \(1! = 1 \times 0! = 1 \times 1 = 1\) 이 되어, \(n! = n \times (n-1)!\) 라는 점화식이 \(n = 1\) 에서도 모순 없이 성립하므로 편리해). 이 기호는 곧바로 사용할 거야.
🔵 카이: Taylor 전개란 뭔가요?
🟡 리나: 어떤 점 \(x_0\) 에서의 함수 값과 그 점에서의 미분계수(1계 미분, 2계 미분, 3계 미분, ……)를 모두 알고 있다고 할 때, \(x_0\) 에서 약간 떨어진 점 \(x\) 에서의 함수 값을 다항식의 합으로 표현할 수 있는 기법이야.
생각하는 방식은 이래. 먼저 \(x_0\) 의 아주 가까이에서는, 함수를 그 점에서의 접선으로 근사할 수 있어. \(f'(x_0)\) 는 \(x = x_0\) 에서의 기울기(변화율)이니까, \(x_0\) 에서 약간 \(\Delta x = x - x_0\) 만큼 벗어난 점에서는 \(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) 로 쓸 수 있어——"원래 값 + 기울기 × 벗어난 폭"이지. 하지만 이것은 1차 근사에 불과해. 더 정밀도를 높이려면, 2차 항, 3차 항……을 덧붙여 나가는 거야.
🔵 카이: 2차 항은 어떻게 정하나요?
🟡 리나: 각 항의 계수는 "\(n\) 번 미분해서 \(x = x_0\) 을 대입했을 때, 정확히 \(f^{(n)}(x_0)\) 이 추출되도록" 정하는 거야. 그러기 위해 \(1/n!\) 을 붙여——아까 정의한 계승이지. 왜 \(n!\) 이 필요하냐면, \(x^n\) 을 \(n\) 번 미분하면 \(n!\) 이 나오니까. 예를 들어 \(x^3\) 을 1번 미분하면 \(3x^2\), 한 번 더 하면 \(6x\), 한 번 더 하면 \(6 = 3!\). 일반적으로 \((x - x_0)^n\) 을 \(n\) 번 미분하고 \(x = x_0\) 을 대입하면 \(n!\) 이 남아. 그래서 분모에 \(n!\) 을 놓아 두면, 정확히 상쇄되어 \(f^{(n)}(x_0)\) 만 추출되는 거야. 결과는 이렇게 돼:
여기서 \(f^{(0)} = f\)(미분 0번 = 원래 함수)로 약속해. 우변의 "\(\cdots\)"는 이 덧셈이 무한히 계속된다는 뜻이야.
🔵 카이: 무한히 계속 더하나요? 그래서 정말로 원래 함수와 일치하나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 먼저 "무한히 더한다"의 의미를 설명할게. 예를 들어 \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots\) 를 생각해 봐. 처음 1항만, 처음 2항까지, 처음 3항까지……와 같이 중간까지 더한 값을 부분합 (partial sum)이라고 불러. 이 경우의 부분합은 \(1, 1.5, 1.75, 1.875, \ldots\) 로 \(2\) 에 한없이 가까워져——매번 "남은 거리의 절반"만큼 나아가니까, \(2\) 를 넘는 일은 없지만, 얼마든지 \(2\) 에 가까이 갈 수 있어. 이처럼 부분합이 어떤 값에 한없이 가까워질 때, 그 값을 무한급수의 "합"으로 정하는 거야. 반대로 \(1 + 1 + 1 + \cdots\) 처럼 부분합이 끝없이 커져서 하나의 값에 안착하지 않는 경우는 "발산한다"고 하여, 합이 정의되지 않아.
🔵 카이: 그렇군요, "무한히 더한다"고 해도, 실제로는 부분합의 향하는 곳을 보는 거군요. 그런데, Taylor 전개의 경우는 제대로 수렴하나요? 모든 함수에서 쓸 수 있는 건 아니죠?
🟡 리나: 날카롭네. 사실, 모든 함수에서 Taylor 전개가 원래 함수와 일치하는 것은 아니야. 예를 들어 \(f(x) = e^{-1/x^2}\)(\(x \neq 0\)), \(f(0) = 0\) 이라는 함수는, \(x = 0\) 에서의 모든 미분계수가 \(0\) 이 되기 때문에, Taylor 전개가 항등적으로 \(0\) 이 되어 버려——원래 함수와는 전혀 달라. 하지만 이번에 사용하는 \(\cos x\), \(\sin x\), \(e^x\) 의 3가지는, 어떤 실수 \(x\) 에 대해서도 무한급수가 원래 함수와 일치한다는 것이 증명되어 있어. 그러니 안심하고 사용해도 돼. 더 나아가, \(e^x\) 의 급수는 \(x\) 에 복소수를 넣어도 수렴해——이것은 다음 섹션에서 Euler의 공식을 유도할 때 사용할 거야. 실용적으로는, 필요한 정밀도에 따라 도중에 끊는 경우도 많아.
⚪ 메이: \(x_0\) 에서의 정보만으로 떨어진 점의 값을 재구성할 수 있다는 게 대단하네요.
🟡 리나: 식 (A.20)을 \(\Sigma\)(시그마) 표기법으로 컴팩트하게 쓸 수도 있어. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{3} n = 1 + 2 + 3 = 6\) 처럼, \(\sum\) 아래에 쓴 변수의 시작값부터, 위에 쓴 끝값까지, 1씩 증가시키면서 순서대로 더하는 표기법이야. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{3} n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14\) 처럼 하한이 \(0\) 이면 \(n = 0\) 부터 시작해. 상한이 \(\infty\) 일 때는, 지금 설명한 "부분합의 극한"을 의미해. 예를 들어 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = 2\)——아까 이야기한 등비급수의 예 그 자체야.
🔵 카이: 즉 \(\sum\) 은 "여기서부터 여기까지 전부 더해라"라는 지시 기호인 거군요.
🟡 리나: 맞아. 이것을 사용하면, 식 (A.20)은 다음과 같이 쓸 수 있어. 여기서 \(f^{(n)}(x_0)\) 는 "\(f\) 를 \(n\) 번 미분하고 \(x = x_0\) 을 대입한 값"——아까 설명한 표기법이지:
🟡 리나: 특히 \(x_0 = 0\) 주위에서 전개한 것을 Maclaurin 전개 (Maclaurin expansion)라고 불러. Taylor(테일러), Maclaurin(매클로린)은 모두 수학자의 이름이야.
✅ 이해도 체크: Taylor 전개란 무엇인가. 각 항의 계수에 \(1/n!\) 이 붙는 이유를 간결하게 설명해 봅시다.
답
Taylor 전개란, 어떤 점 \(x_0\) 에서의 함수 값과 모든 계수의 미분계수로부터, 함수를 다항식(거듭제곱급수)으로 표현하는 기법이다. \(1/n!\) 이 붙는 것은, 우변을 \(n\) 번 미분하고 \(x = x_0\) 을 대입했을 때, 정확히 \(f^{(n)}(x_0)\) 이 추출되도록 하기 위해서이다(\(x^n\) 을 \(n\) 번 미분하면 \(n!\) 이 나오므로, 그것을 상쇄하기 위해).
🟡 리나: 이 식이 올바른 것을 확인해 보자. "올바르다"는 것은, 우변에 \(x = 0\) 을 대입하면 \(f(0)\) 이 나오고, 1번 미분해서 \(x = 0\) 을 대입하면 \(f'(0)\) 이 나오고……\(n\) 번 미분해서 \(x = 0\) 을 대입하면 \(f^{(n)}(0)\) 이 나온다는 것이야. 실제로 해 볼게.
먼저 우변을 \(x\) 로 항별 미분해 봐. \(f(0)\) 은 상수이니까 미분하면 \(0\). \(f'(0)\,x\) 를 미분하면 \(f'(0)\). \(\dfrac{f''(0)}{2!}\,x^2\) 를 미분하면 \(\dfrac{f''(0)}{2!} \cdot 2x = f''(0)\,x\). \(\dfrac{f'''(0)}{3!}\,x^3\) 를 미분하면 \(\dfrac{f'''(0)}{3!} \cdot 3x^2 = \dfrac{f'''(0)}{2!}\,x^2\). 즉,
전체가 한 단계 밀린 것뿐으로 같은 형태가 돼. 여기에 \(x = 0\) 을 대입하면, \(x\) 를 포함하는 항은 모두 사라지고 \(f'(0)\) 만 남아——확실히 좌변의 \(f'(0)\) 과 일치해. 한 번 더 미분해서 \(x = 0\) 을 대입하면 \(f''(0)\) 이 추출돼. 이것을 반복하면, \(n\) 번 미분해서 \(x = 0\) 을 대입했을 때 \(f^{(n)}(0)\) 이 나온다는 것을 확인할 수 있어.
🔵 카이: 그렇군요……미분할 때마다 한 단계 밀리고, \(x = 0\) 을 대입하면 딱 그 계수의 미분계수만 남는다. \(n!\) 이 \(n\) 을 잘 흡수해 주니까 성립하는 거군요. 대단한 구조예요.
3가지 함수의 Maclaurin 전개¶
🟡 리나: Euler의 공식을 유도하기 위해, \(\cos x\), \(\sin x\), \(e^x\) 의 3가지를 전개할게.
\(\cos x\) 의 전개:
\(\cos x\) 의 각 계미분을 \(x = 0\) 에서 평가하면:
표 A.1: cos x의 각 계미분과 x=0에서의 값
| \(n\) | \(f^{(n)}(x)\) | \(f^{(n)}(0)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(\cos x\) | \(1\) |
| 1 | \(-\sin x\) | \(0\) |
| 2 | \(-\cos x\) | \(-1\) |
| 3 | \(\sin x\) | \(0\) |
| 4 | \(\cos x\) | \(1\) |
패턴이 4개마다 반복돼. 홀수차 항은 \(0\) 이 되니까,
\(\sin x\) 의 전개:
마찬가지로,
표 A.2: sin x의 각 계미분과 x=0에서의 값
| \(n\) | \(f^{(n)}(x)\) | \(f^{(n)}(0)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(\sin x\) | \(0\) |
| 1 | \(\cos x\) | \(1\) |
| 2 | \(-\sin x\) | \(0\) |
| 3 | \(-\cos x\) | \(-1\) |
| 4 | \(\sin x\) | \(0\) |
짝수차 항이 \(0\) 이 되니까,
🔵 카이: \(\cos\) 는 짝수 거듭제곱만, \(\sin\) 은 홀수 거듭제곱만. 미분의 4주기에 대응하는 거군요.
\(e^x\) 의 전개:
🟡 리나: 지수함수 \(e^x\) 는 "몇 번 미분해도 자기 자신"이라는 특별한 함수야. \((e^x)' = e^x\) 이니까, 모든 계수에서 \(f^{(n)}(0) = e^0 = 1\).
🔵 카이: \(e^x\) 의 전개는 깔끔하네요. 모든 항이 살아남아요.
⚪ 메이: \(\cos x\) 는 짝수차만, \(\sin x\) 는 홀수차만, \(e^x\) 는 전부. 이 3가지를 비교해 보면, 뭔가 관계가 있을 것 같은데……
🟡 리나: 날카롭네. 바로 거기서 Euler의 공식이 태어나는 거야.
✅ 이해도 체크: \(\cos x\), \(\sin x\), \(e^x\) 의 Maclaurin 전개에서, 각각 어떤 차수의 항이 살아남는가.
답
\(\cos x\) 는 짝수차 항만(\(1, x^2, x^4, \ldots\)), \(\sin x\) 는 홀수차 항만(\(x, x^3, x^5, \ldots\)), \(e^x\) 는 모든 차수의 항이 살아남는다. \(\cos x\) 와 \(\sin x\) 에서 사라지는 항이 있는 것은, 미분의 4주기성에 의해 \(x=0\) 에서 값이 0이 되는 계수가 있기 때문이다.
✅ 이해도 체크: \(e^x\) 의 Maclaurin 전개에서 \(x = 1\) 을 대입하면 무엇이 얻어지는가.
답
\(e^1 = e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + \cdots \approx 2.718\ldots\). Napier(네이피어) 수 \(e\) 의 값이 무한급수로 표현된다.
Euler의 공식 — \(e^{i\theta}\) 의 정체¶
🟡 리나: 드디어 이 부록의 클라이맥스야. 식 (A.25)의 \(x\) 에 \(i\theta\) 를 대입해 볼게. \(\theta\) 는 실수야.
🔵 카이: 에, \(x\) 는 실수였는데, 허수를 넣어도 되나요?
🟡 리나: 날카로운 의문이야. 사실, \(e^x\) 의 Taylor 전개 \(\sum x^n/n!\) 은 \(x\) 가 복소수여도 합이 제대로 하나의 값에 수렴한다는 것이 수학적으로 증명되어 있어. 직관적으로 이해하는 포인트는 이래. 분자의 \(|x|^n\) 은 "같은 수 \(|x|\) 를 \(n\) 번 곱하는" 것뿐이지만, 분모의 \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n\) 은 "매번 새로운, 더 큰 수가 곱해지는" 거야. 그래서 \(n\) 이 충분히 커지면, 분모의 성장이 분자를 압도해서, 각 항은 급격히 작아져. 구체적으로 살펴보자. \(|x| = 10\) 일 때, \(n\) 번째 항은 \(10^n/n!\) 이지만, \(10! = 3628800\), \(20! \approx 2.4 \times 10^{18}\) 로 분모가 폭발적으로 증가해. \(n = 20\) 의 항은 \(10^{20}/20! \approx 41\) 로 아직 어느 정도 크기이지만, \(n = 30\) 의 항은 \(10^{30}/30! \approx 0.004\) 로 급격히 작아져. \(n\) 이 더 증가하면 사실상 0이 되니까, 급수 전체는 유한한 값에 수렴하는 거야. 엄밀한 증명은 대학의 해석학에서 배우지만, 결과는 믿고 사용해도 돼.
🔵 카이: 수렴하는 건 알겠는데, 애초에 "\(e\) 의 \(i\theta\) 제곱"이란 뭔가요? 실수일 때는 "\(e\) 를 여러 번 곱한다"는 이미지가 있었는데, 허수 번 곱한다는 건 의미불명 아닌가요?
🟡 리나: 바로 그것이 포인트야. 실수의 \(e^x\) 는 "몇 번 미분해도 자기 자신"이라는 성질로 특징지어졌지만, \(x\) 가 허수일 때는 "\(e\) 를 \(i\theta\) 제곱한다"는 연산에 직접적인 의미를 부여하기 어려워. 그래서 발상을 전환하는 거야.
먼저 확인해 두면, 실수의 \(x\) 에 대해서는, 급수 \(\sum x^n/n!\) 의 값은 "원래 알고 있는 \(e^x\)"와 정확히 일치해——예를 들어 \(x = 1\) 을 대입하면 \(e \approx 2.718\ldots\) 이 나오고, \(x = 2\) 면 \(e^2 \approx 7.389\ldots\) 이 나와. 즉 실수 범위에서는, 급수는 \(e^x\) 의 "다른 쓰는 방법"에 불과해.
하지만 급수 쪽은, \(x\) 에 복소수를 넣어도 계산할 수 있어. 그렇다면, 실수에서 성립하던 급수 \(\sum x^n/n!\) 을 그대로 \(e^{i\theta}\) 의 정의로 채택하는 거야. 즉 "\(e^{i\theta}\) 란 무엇인가"를 이 급수로 정하는 거지. 실수의 경우에 올바른 답을 돌려주는 공식을, 복소수 영역으로 "연장"하는 이미지야.
⚪ 메이: "계산할 수 있다면, 그것을 정의로 삼아 버린다"——허수단위 \(i\) 를 도입했을 때와 같은 발상이네요. \(i\) 때는 "\(i^2 = -1\) 을 만족하는 수가 있다고 가정한다"였고, 이번에는 "이 급수의 값을 \(e^{i\theta}\) 라고 부른다"고 정하는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 그러면 실제로 써 보자. 정의는
\(i\) 의 거듭제곱은 4개마다 순환해:
🔵 카이: 4개로 한 바퀴 도는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 이것을 사용해서 식 (A.26)을 전개하면:
여기서 \((i\theta)^n = i^n \theta^n\) 을 사용할게. 이것은 "곱의 거듭제곱은 각 인수의 거듭제곱의 곱"이라는 법칙——\((ab)^n = a^n b^n\), 즉 \(ab\) 를 \(n\) 번 곱한 것은, \(a\) 를 \(n\) 번 곱한 것과 \(b\) 를 \(n\) 번 곱한 것의 곱과 같다——를 \(a = i\), \(b = \theta\) 에 적용한 것뿐이야. 복소수의 곱셈도 실수와 같은 교환법칙·결합법칙을 따르니까, 이 법칙은 그대로 사용할 수 있어. \(i\) 의 거듭제곱의 순환 패턴을 사용하면: \((i\theta)^2 = i^2 \theta^2 = -\theta^2\), \((i\theta)^3 = i^3 \theta^3 = -i\theta^3\), \((i\theta)^4 = i^4 \theta^4 = \theta^4\), ……. 대입하면,
🔵 카이: 부호가 \(+, +, -, -, +, +, \ldots\) 로 2개씩 바뀌는 게 \(i\) 의 순환 패턴 때문이군요.
🟡 리나: 맞아. 그러면 실부와 허부로 나눠 봐. \(i\) 가 붙어 있지 않은 항(\(n = 0, 2, 4, \ldots\) 의 항)이 실부, \(i\) 가 붙어 있는 항(\(n = 1, 3, 5, \ldots\) 의 항)에서 \(i\) 를 묶어낸 것이 허부야.
🔵 카이: 아! 실부는 식 (A.23)의 \(\cos\theta\) 이고, 허부는 식 (A.24)의 \(\sin\theta\) 이에요!
🟡 리나: 맞아. 이것이 Euler(오일러)의 공식이야:
⚪ 메이: \(e^x\) 의 "전부 포함" 급수에 \(i\) 를 넣었더니, 짝수차가 \(\cos\), 홀수차가 \(\sin\) 으로 자동으로 분배됐다……멋지네요.
🟡 리나: 왜 이런 일이 일어나는지 알겠어? \(e^x\) 의 급수는 모든 차수를 포함하고 있으니까, \(i\) 의 거듭제곱 패턴(\(1, i, -1, -i, \ldots\))에 의해 짝수차 항은 실부로, 홀수차 항은 허부로 분배되는 거야. 짝수차만 모으면 \(\cos\theta\), 홀수차만 모으면 \(\sin\theta\) 가 돼——그래서 지수함수와 삼각함수가 연결되는 거야.
🔵 카이: \(i\) 의 거듭제곱이 "분배 담당"이 되는 거군요. \(i^2 = -1\) 로 실부로 돌아오고, \(i^3 = -i\) 로 허부로 돌아오고……4개마다의 사이클이 짝수·홀수 분류를 자동으로 해 주는 거예요.
⚪ 메이: 즉, \(e^x\) 가 "전부 포함" 급수이기 때문에, \(i\) 를 넣었을 때 \(\cos\) 과 \(\sin\) 양쪽이 자연스럽게 나오는 거네요.
그림 A.1: Euler의 공식과 단위원. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 는 복소평면의 단위원 위의 점을 나타낸다. 특수값: \(e^{i\cdot 0}=1\), \(e^{i\pi/2}=i\), \(e^{i\pi}=-1\)(Euler의 항등식), \(e^{i3\pi/2}=-i\). \(\theta\) 를 변화시키면 점이 단위원 위를 회전한다.
🟡 리나: 그림 A.1「Euler의 공식과 단위원」을 봐. \(e^{i\theta}\) 의 절댓값은 \(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1\) 이니까, \(e^{i\theta}\) 는 항상 원점에서 거리 1의 위치에 있어——즉 단위원(반지름 1의 원) 위의 점을 나타내고 있어. 그림에 그려져 있는 특수값을 확인해 봐. \(\theta = 0\) 에서 \(e^{i \cdot 0} = 1\)(실축의 양의 방향), \(\theta = \pi/2\) 에서 \(e^{i\pi/2} = i\)(허축의 양의 방향), \(\theta = \pi\) 에서 \(e^{i\pi} = -1\)(실축의 음의 방향), \(\theta = 3\pi/2\) 에서 \(e^{i3\pi/2} = -i\)(허축의 음의 방향)——\(\theta\) 를 변화시키면, 점이 단위원 위를 빙빙 돌아.
🔵 카이: 아까의 "\(i\) 를 곱하면 \(90°\) 회전"이, 단위원 위를 \(\pi/2\) 씩 진행하는 움직임으로 보이는 거군요.
🟡 리나: 18세기 수학자 Euler가 발견한 이 공식은, 수학에서 가장 아름다운 관계식 중 하나라고 불려. 하지만 우리에게 중요한 것은 아름다움이 아니라, 실용성이야. 양자역학에서는 이 공식이 말 그대로 매 페이지에 등장해.
Euler 공식의 특별한 경우¶
🟡 리나: \(\theta = \pi\) 를 대입해 봐.
즉,
🔵 카이: \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\) 이 하나의 식에……!
🟡 리나: 이것은 Euler의 등식이라 불리며, 수학의 5가지 중요한 상수가 하나의 관계로 묶여 있어. 다만, 이것은 식 (A.28)의 특별한 경우에 불과하니까, 정말로 중요한 것은 식 (A.28) 쪽이야.
극형식의 다시 쓰기¶
🟡 리나: Euler의 공식을 사용하면, 극형식 (A.8)을 매우 컴팩트하게 쓸 수 있어.
⚪ 메이: 극형식이 \(re^{i\theta}\) 3글자로 쓸 수 있다니! 이러면 곱셈도 컴팩트하게 쓸 수 있겠네요.
🟡 리나: 맞아. 사실, 실수에서 성립하는 지수법칙 \(e^A \cdot e^B = e^{A+B}\) 는, 지수가 순허수일 때도 그대로 사용할 수 있어. 이것은 급수의 정의로부터 직접 증명할 수 있지만, 여기서는 결과만 사용할게. 따라서,
🔵 카이: 우와, 식 (A.11)에서 그렇게 고생했던 게, 지수법칙 한 방이면 끝나는군요!
🟡 리나: 식 (A.11)에서 삼각함수의 덧셈정리를 사용해 고생해서 보인 것이, 지수법칙만으로 한순간에 나와. 이것이 Euler 공식의 위력이야.
🔵 카이: 그런데, 왜 실수의 법칙이 허수에서도 그대로 사용할 수 있나요? "\(e\) 의 허수 제곱" 자체를 급수로 정의했는데, 법칙까지 자동으로 성립하는 건 신기해요.
🟡 리나: 좋은 의문이야. 직관적으로 말하면, \(e^{i\theta_1}\) 과 \(e^{i\theta_2}\) 의 급수를 항별로 곱해서 정리하면, 바로 \(e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) 의 급수가 돼. 사실 아까 식 (A.11)에서 덧셈정리를 사용해 보인 계산이, 급수의 언어로 다시 말한 것뿐이야. 즉 지수법칙과 덧셈정리는 같은 것의 다른 표현인 거야. 엄밀한 증명은 생략하지만, 모순 없이 성립한다는 것은 보장되어 있어.
⚪ 메이: 지수법칙과 덧셈정리가 같은 것의 앞뒤면……Euler의 공식이 그 다리 역할을 하고 있는 거네요.
🔵 카이: 편각이 덧셈이 되는 것이, 지수법칙 그 자체였군요.
✅ 이해도 체크: \(e^{i\pi/2}\) 의 값을 Euler의 공식으로부터 구해 보세요. 또한, 이것은 복소평면 위의 어떤 점인가요.
답
\(e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = 0 + i \cdot 1 = i\). 복소평면 위에서는 허축의 양의 방향, 점 \((0, 1)\). 즉 \(i\) 는 "절댓값 1, 편각 \(\pi/2\)"인 복소수.
📝 연습문제:
- Euler의 공식을 사용한 계산 → 문제 B-9. 극형식과 Euler 공식의 변환
Euler 공식의 응용 — 양자역학으로의 다리 놓기¶
🟡 리나: 마지막으로, Euler의 공식으로부터 유도되는 중요한 관계 몇 가지를 정리해 둘게. 이것들은 제 4 장 이후에서 여러 번 사용하게 돼.
삼각함수의 Euler 표현¶
🟡 리나: Euler의 공식으로부터,
\(\theta\) 를 \(-\theta\) 로 바꾸면, \(\cos\) 는 짝함수(\(\cos(-\theta) = \cos\theta\), 그래프가 \(y\) 축 대칭), \(\sin\) 은 홀함수(\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\), 원점 대칭)이니까,
이 둘을 더하면,
빼면,
🔵 카이: 더하면 \(\cos\), 빼면 \(\sin\) 이 나온다……복소켤레로 실부·허부를 추출한 것과 꼭 같아요!
⚪ 메이: 식 (A.13)과 (A.14)에서 실부와 허부를 추출한 것과 같은 구조네요. 그리고 \(e^{-i\theta}\) 는 \(e^{i\theta}\) 와 비교하면 허부의 부호가 반전되어 있어요.
🟡 리나: 맞아, 거기에 눈치챘구나? 사실 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 의 복소켤레를 취하면, 허부의 부호가 반전되어 \(\cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta}\) 가 돼. 즉,
이것은 아까 복소켤레 섹션에서 이야기한 "편각이 반대 부호가 된다"는 것의 Euler 공식 버전이야. 직교형식 \(\cos\theta + i\sin\theta\) 에 식 (A.12)의 정의를 적용한 결과 그 자체야.
⚪ 메이: 그렇군요, 복소켤레의 정의로부터 자연스럽게 나오는 관계인 거네요. 이렇게 다른 각도에서 같은 결과가 나오면, 이해가 깊어져요.
\(e^{i\theta}\) 의 절댓값¶
🟡 리나: \(e^{i\theta}\) 의 절댓값을 계산해 봐.
🔵 카이: \(e^{i\theta}\) 는 항상 절댓값 1이군요. 복소평면 위에서는 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 원 위를 움직여요.
🟡 리나: 맞아. \(\theta\) 가 변해도 크기는 변하지 않고, 방향만 변해. \(e^{i\theta}\) 는 "순수한 회전"을 나타내는 인자야. 양자역학에서는 이것을 위상인자 (phase factor)라고 불러.
🔵 카이: 위상인자요?
🟡 리나: "크기를 바꾸지 않고, 각도(위상)만을 바꾸는 인자"라는 의미야. 제 4 장 이후에서 확률진폭에 \(e^{i\theta}\) 가 곱해지는 장면이 많이 나오는데, 확률은 \(|\phi|^2\) 이니까, 위상인자만 변해도 확률은 변하지 않아. 하지만, 두 진폭을 더할 때 위상의 차이가 효과를 발휘해. 이것이 양자역학의 간섭 현상의 수학적 핵심이야.
⚪ 메이: 확률에 영향을 주지 않는데, 더하면 효과가 나타난다……. 그 구조는 제 4 장에서 보는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 지금은 도구를 갖춘 것뿐이야. 사용법은 본편에서 체험하게 될 거야.
✅ 이해도 체크: 위상인자 \(e^{i\theta}\) 의 절댓값은 얼마인가. 또한, 양자역학에서 위상인자가 중요해지는 것은 어떤 장면인가.
답
\(|e^{i\theta}| = 1\) 로 항상 1이다. 양자역학에서는 확률을 \(|\phi|^2\) 로 계산하기 때문에 위상인자만의 변화로는 확률이 변하지 않는다. 그러나 두 진폭을 더할 때(간섭) 위상의 차이가 효과를 발휘한다. 이것이 양자역학의 간섭 현상의 수학적 핵심이다.
복소켤레와 극형식의 정리¶
🟡 리나: 마지막으로, 이 부록의 결과를 하나의 표로 정리해 둘게.
표 A.3: 복소수의 직교형식과 극형식의 대응
| 표현 | 직교형식 | 극형식 |
|---|---|---|
| 복소수 \(z\) | \(a + bi\) | \(re^{i\theta}\) |
| 복소켤레 \(z^*\) | \(a - bi\) | \(re^{-i\theta}\) |
| 절댓값의 제곱 \(\lvert z \rvert^2\) | \(a^2 + b^2\) | \(r^2\) |
| 실부 \(\operatorname{Re}(z)\) | \(a\) | \(r\cos\theta\) |
| 허부 \(\operatorname{Im}(z)\) | \(b\) | \(r\sin\theta\) |
🔵 카이: 직교형식과 극형식, 어느 쪽을 쓰면 되나요?
🟡 리나: 상황에 따라 달라. 덧셈·뺄셈은 직교형식이 편하고, 곱셈·나눗셈은 극형식이 편해. 양자역학에서는 양쪽을 오가게 되니까, 어느 쪽에도 익숙해져 둬.
✅ 이해도 체크: 다음 식을 간단히 해 봅시다: \(|3e^{i\pi/6}|^2\).
답
\(|3e^{i\pi/6}|^2 = 3^2 \cdot |e^{i\pi/6}|^2 = 9 \times 1 = 9\). 위상인자 \(e^{i\pi/6}\) 의 절댓값은 1이므로, 절댓값의 제곱은 진폭의 제곱 \(r^2 = 9\) 만 남는다.
📝 연습문제:
- Euler 공식의 응용 문제 → 문제 M-4. \(\cos\theta\) 와 \(\sin\theta\) 의 지수함수 표현
이 부록의 정리¶
🟡 리나: 이 부록에서 배운 것을 되돌아봅시다.
- 허수단위 \(i\) 는 \(i^2 = -1\) 을 만족하는 수. 복소수 \(z = a + bi\) 는 실부 \(a\) 와 허부 \(b\) 를 가진다
- 사칙연산은 \(i^2 = -1\) 과 보통의 대수 규칙만으로 수행할 수 있다. 나눗셈은 분모의 복소켤레를 곱하여 분모를 실수로 만든다
- 복소평면에서 복소수를 점(화살표)으로 나타낸다. 절댓값 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) 과 편각 \(\theta\) 로 극형식 \(z = re^{i\theta}\) 으로 쓸 수 있다
- 곱셈의 기하학적 의미: 절댓값은 곱셈, 편각은 덧셈 → 회전과 확대
- 복소켤레 \(z^* = a - bi = re^{-i\theta}\). \(zz^* = |z|^2\) 는 양자역학에서 가장 자주 나오는 관계
- Euler의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 는 Taylor 전개로부터 유도되며, 지수함수와 삼각함수를 연결한다
- 위상인자 \(e^{i\theta}\) 는 절댓값 1인 복소수로, "크기를 바꾸지 않고 방향만 바꾸는" 회전을 나타낸다
🔵 카이: 솔직히, 처음에는 "허수 같은 걸 쓰나?" 싶었는데, Euler의 공식까지 오니까, 복소수가 없으면 곤란한 이유가 알 것 같아요. 그런데, \(e^{i\theta}\) 를 "위상인자"로 사용한다는 이야기가 아직 와닿지 않아서……"절댓값이 1이니까 확률에 영향을 주지 않는다"는데 "더하면 효과가 난다"니, 구체적으로 어떤 계산에서 차이가 나는 건가요?
🟡 리나: 하나만 예고적인 예를 보여줄게. \(e^{i \cdot 0} = 1\) 과 \(e^{i\pi} = -1\) 은 둘 다 절댓값 1이지만, 더하면 \(1 + (-1) = 0\) 으로 완전히 상쇄돼. 반대로 \(e^{i \cdot 0} + e^{i \cdot 0} = 2\) 면 강화해. 위상이 맞는지 반대인지에 따라, 더한 결과가 완전히 달라지는 거야. 양자역학에서는 이 "더하기"가 확률진폭에서 일어나——자세한 것은 제 4 장에서 체험할 거야.
🔵 카이: 절댓값이 같은 1인데, 더하면 0도 되고 2도 되고……위상이라는 건 보이지 않지만 결정적으로 중요한 거군요. 그런데, 자연은 왜 "더한 다음 제곱한다"는 규칙을 채택한 걸까요.
🟡 리나: 깊은 질문이네. 사실 그것 자체가 양자역학의 근본적인 수수께끼 중 하나로, "왜 확률진폭이 복소수인가"는 지금도 논의가 계속되고 있어. 이 교재에서는 "자연이 그렇게 되어 있다"는 실험 사실을 출발점으로 하지만, 그 질문은 마음 한구석에 간직해 둬.
🔵 카이: 답이 나오지 않은 질문이 있다는 것 자체가 재미있네요. "왜 복소수인가"——혹시, 실수만으로는 뭔가 부족하다든지, 그런 이유가 있을지도. 앞이 기대돼요.
🟡 리나: 좋은 직감이야. 사실 최근 연구에서 "실수만으로는 양자역학의 모든 실험 결과를 재현할 수 없다"는 것이 이론적으로도 실험적으로도 밝혀지고 있어. 하지만 그 이야기는 앞으로의 즐거움으로 남겨 두자. 도구 이야기로 돌아오면, 특히 \(|z|^2 = zz^*\) 와 \(e^{i\theta}\) 는 양자역학의 "공통 언어"라고 해도 좋을 만큼 자주 나와. 꼭 손을 움직여서 계산에 익숙해져 둬.
다음 장 예고¶
🟡 리나: 이 부록에서는 복소수의 대수와 Euler의 공식을 정리했어. 다음 부록 B 에서는 양자역학의 또 다른 수학적 기둥——선형대수와 Hilbert 공간의 기초를 다룰 거야. 벡터·행렬·고유값·내적이라는 개념이 제 5 장 이후의 스핀이나 상태벡터 논의에 직결돼.
🔵 카이: 벡터는 고등학교에서 했는데, Hilbert 공간이란 뭔가요?
🟡 리나: 대략 말하면 "내적이 정의된 벡터공간"이야. 엄밀하게는 조금 더 조건이 있지만, 그것은 부록 B 에서 설명할게. 복소수의 내적이 들어오니까, 이 부록의 지식이 전제가 돼. 기대하고 있어.
🔵 카이: 복소수의 내적……보통의 내적과는 다른 건가요? 궁금하지만, 다음 부록을 기다릴게요.
참고문헌¶
- 広江克彦『趣味で量子力学』（2014）— 복소수의 기초와 Euler 공식의 정성스러운 유도. 이 부록의 사칙연산·복소켤레·Taylor 전개 설명은 이 책의 구성을 참고하였다
- 清水明『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』（サイエンス社、2004）— 양자역학에서 복소수의 역할에 대한 물리적 동기 부여
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Ch. 22 (Algebra) — 복소수의 기하학적 의미와 물리에의 응용
- J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2021) — 2상태계 기술에서의 복소수의 본질적 역할
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