부록 A 연습문제¶
목차
Basic（기초）
- B-1. 편미분의 기본 계산
- B-2. \(1/r\) 의 편미분
- B-3. 혼합 편미분의 교환 가능성
- B-4. 기울기와 등고선
- B-5. 온도 분포의 기울기
- B-6. 선형 벡터장의 발산
- B-7. 제곱 벡터장의 발산
- B-8. 회전장의 발산
- B-9. 회전장의 rot
- B-10. \((yz, xz, xy)\)의 rot
- B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) 의 확인
- B-12. 균일 자기장의 벡터 퍼텐셜
- B-13. \(x^2 - y^2\) 의 라플라시안
- B-14. \(e^x \cos y\) 의 라플라시안
- B-15. \(\sin(kx)\sin(ly)\) 의 라플라시안
- B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)
- B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）
- B-18. 평면파가 파동방정식을 만족하는 것
- B-19. 복소 지수파가 파동방정식을 만족하는 것
- B-20. 편미분방정식의 분류
Medium（표준）
- M-1. 확산 방정식 해의 확인
- M-2. 중력 퍼텐셜의 기울기
- M-3. Coulomb 전기장의 발산이 0
- M-4. \(1/r\) 의 라플라시안
- M-5. d'Alembert 해 \(g(x - vt)\)
- M-6. 정재파의 분해
- M-7. 현의 진동 모드의 경계 조건
Advanced（발전）
Basic（기초）¶
B-1. 편미분의 기본 계산¶
\(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y\) 일 때, \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 와 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 를 구하세요.
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B-2. \(1/r\) 의 편미분¶
\(\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\) 일 때, \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\) 를 구하세요. (힌트: \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) 로 놓으면 \(\Phi = 1/r\))
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B-3. 혼합 편미분의 교환 가능성¶
\(f(x, y) = e^{x}\sin y\) 일 때, \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) 와 \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) 를 계산하고, 양자가 같음을 확인하세요.
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B-4. 기울기와 등고선¶
\(\Phi(x, y) = x^2 + y^2\) 의 기울기(gradient) \(\nabla\Phi\) 를 구하고, 점 \((1, 2)\) 에서의 기울기 벡터를 계산하세요. 이 벡터가 등고선 \(\Phi = \text{const}\) 에 수직임을 확인하세요.
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B-5. 온도 분포의 기울기¶
2차원 평면 위의 온도 분포가 \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) 로 주어져 있어요. 점 \((1, 1)\) 에서의 온도의 기울기(그래디언트) \(\nabla T\) 를 구하고, 온도가 가장 급격하게 상승하는 방향을 답하세요.
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B-6. 선형 벡터장의 발산¶
\(\mathbf{V} = (x, y, z)\) 의 발산 \(\nabla \cdot \mathbf{V}\) 을 계산하세요.
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B-7. 제곱 벡터장의 발산¶
\(\mathbf{V} = (x^2, y^2, z^2)\) 의 발산을 계산하세요.
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B-8. 회전장의 발산¶
임의의 벡터장 \(\mathbf{A}\)에 대해, 회전장 \(\nabla \times \mathbf{A}\)의 발산이 0임을 보이세요. 즉,
을 증명하세요.
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B-9. 회전장의 rot¶
\(\mathbf{V} = (-y, x, 0)\) 의 rot \(\nabla \times \mathbf{V}\) 를 계산하세요. 이 장은 "소용돌이"를 가지나요?
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B-10. \((yz, xz, xy)\)의 rot¶
\(\mathbf{V} = (yz, xz, xy)\)의 rot를 계산하세요.
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B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) 의 확인¶
\(\mathbf{V} = \nabla\Phi\)（\(\Phi = x^2 + y^2 + z^2\)）의 rot을 계산하고, \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) 을 확인하세요.
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B-12. 균일 자기장의 벡터 퍼텐셜¶
균일 자기장 \(\mathbf{B} = B\hat{z}\)에 대한 벡터 퍼텐셜 \(\mathbf{A} = \frac{B}{2}(-y,\, x,\, 0)\)에 대해, 각 성분의 라플라시안 \(\nabla^2 A_x\), \(\nabla^2 A_y\), \(\nabla^2 A_z\)를 계산하세요. 또한, \(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}\)가 성립하는 것을 확인하세요.
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B-13. \(x^2 - y^2\) 의 라플라시안¶
\(\Phi(x, y) = x^2 - y^2\) 의 라플라시안 \(\nabla^2\Phi\) 를 계산하세요. 이 함수는 라플라스 방정식 \(\nabla^2\Phi = 0\) 을 만족하나요?
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B-14. \(e^x \cos y\) 의 라플라시안¶
\(\Phi(x, y) = e^x \cos y\) 가 Laplace 방정식을 만족하는지 확인하세요.
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B-15. \(\sin(kx)\sin(ly)\) 의 라플라시안¶
2차원 스칼라장 \(f(x,y) = \sin(kx)\sin(ly)\) 에 대해 라플라시안 \(\nabla^2 f\) 를 계산하세요.
B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)¶
\(\mathbf{A} = (xy, yz, zx)\) 에 대해 \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\) 를 계산하고, 0이 되는 것을 확인하세요.
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B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）¶
\(\Phi = xyz\) 에 대해 \(\nabla \times (\nabla\Phi)\) 를 계산하고, 영이 됨을 확인하세요.
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B-18. 평면파가 파동방정식을 만족하는 것¶
\(f(x, t) = A\sin(kx - \omega t)\) 가 파동방정식 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\) 을 만족하는 것을 확인하고, \(v = \omega/k\) 임을 보이세요.
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B-19. 복소 지수파가 파동방정식을 만족하는 것¶
\(f(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}\) 가 파동방정식을 만족하는지 확인하세요. (\(i\) 는 허수단위)
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B-20. 편미분방정식의 분류¶
다음 편미분방정식을 쌍곡형·포물형(확산형)·타원형으로 분류하세요.
- (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
- (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
- (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
- (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)
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Medium（표준）¶
M-1. 확산 방정식 해의 확인¶
확산 방정식
에 대해, 해의 형태 \(u(x, t) = e^{ikx - \alpha t}\)를 대입하여 \(\alpha\)를 \(D\)와 \(k\)로 나타내세요.
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M-2. 중력 퍼텐셜의 기울기¶
\(\Phi(x, y, z) = -\frac{GM}{r}\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)）의 기울기를 계산하고, \(\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}\) 가 됨을 보여라. (제1장의 중력 퍼텐셜)
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M-3. Coulomb 전기장의 발산이 0¶
\(\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\)（\(\mathbf{r} = (x, y, z)\), \(r = |\mathbf{r}|\)）에 대해, \(r \neq 0\) 인 영역에서 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) 임을 보이세요. （힌트: \(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\)）
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M-4. \(1/r\) 의 라플라시안¶
\(\Phi(r) = 1/r\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(r \neq 0\)）가 \(\nabla^2\Phi = 0\) 을 만족하는 것을, 구좌표의 라플라시안 \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\Phi}{dr})\) 을 사용하여 확인하세요. (제1장의 연습문제 1.3 과 관련)
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M-5. d'Alembert 해 \(g(x - vt)\)¶
\(f(x, t) = g(x - vt)\)（\(g\)는 임의의 2회 미분 가능한 함수）가 파동방정식을 만족함을 연쇄 법칙을 사용하여 보이세요.
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M-6. 정재파의 분해¶
파동방정식의 해 \(f(x, t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\) 가 정재파(standing wave)임을 확인하세요. 이것이 오른쪽으로 진행하는 파와 왼쪽으로 진행하는 파의 중첩으로 쓸 수 있음을, 삼각함수의 적화공식(곱을 합으로 바꾸는 공식)을 사용하여 보이세요.
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M-7. 현의 진동 모드의 경계 조건¶
현(길이 \(L\), 양끝 고정)의 진동을 기술하는 파동 방정식의 경계 조건 \(f(0, t) = f(L, t) = 0\)을 만족하는 해가 \(f_n(x, t) = A_n \sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t)\)（\(\omega_n = n\pi v/L\)）임을 확인하세요. (제14장의 현의 진동 모드 준비)
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Advanced（발전）¶
A-1. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\) 의 항등식¶
전기장이 \(\mathbf{E} = (E_x(x,y,z),\, 0,\, 0)\) 의 형태를 가지는 경우에 대해, 벡터 항등식
이 성립함을 각 변을 성분별로 계산하여 직접 보여주세요.
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