제1장 행성은 왜 저렇게 움직이는가? — Newton 역학의 탄생¶
지금까지의 이야기: 프롤로그에서 우리는 3가지를 확인했다. (1) 물리학의 모델은 모두 가설에 불과하다. (2) 수식으로 쓰기 때문에 정량적인 예측이 가능하고, 반증 가능해진다. (3) 모델을 만드는 동기에는 「실용적 필요성」과 「순수한 호기심」 두 종류가 있다. 이 장부터 그 구체적인 예를 살펴본다. 첫 번째 예는 인류 역사상 가장 성공한 모델 중 하나——Newton의 만유인력이다.
이 장의 목표
- 「하나의 모델로 많은 현상을 통일적으로 설명한다」는 물리학의 방법론이 확립된 이야기를 추체험한다
- Newton의 만유인력 모델이 어떤 동기로 탄생했고, 무엇을 예측할 수 있으며, 무엇을 설명할 수 없는지 이해한다
1.1 동기：행성은 왜 저렇게 움직이는가？¶
🟡 리나: 자, 프롤로그에서 「모델은 가설」「수식으로 쓰기 때문에 검증할 수 있다」는 이야기를 했었지. 오늘부터는 구체적인 모델을 살펴볼 거야. 첫 번째 질문은 이거야. 행성은 왜 저렇게 움직이는가？
🔵 카이: 태양 주위를 돌고 있는 거잖아요. 그건 알아요.
🟡 리나: 맞아. 하지만 「돌고 있다」는 건 관측 사실이지, 「왜 돌고 있는가」의 설명은 아니야. 이 「왜」에 하나의 모델로 통일적으로 답한 사람이 Isaac Newton이야.
⚪ 메이: Newton 이전에도 행성의 운동을 기술한 사람이 있었잖아요. Kepler라든가.
🟡 리나: 좋은 점을 짚었어. Newton의 모델을 이해하려면, 먼저 Kepler의 작업을 알아둘 필요가 있어. 두 사람의 작업 차이를 정리해 둘게.
표 1.1: Kepler와 Newton의 작업 대비
| Kepler | Newton | |
|---|---|---|
| 질문 | 무엇이 일어나고 있는가？ | 왜 그렇게 되는가？ |
| 방법 | 관측 데이터에서 패턴 추출 | 원리(모델)에서 현상을 도출 |
| 성과 | 3개의 경험 법칙 | 만유인력의 법칙 |
| 설명 범위 | 행성의 궤도만 | 지상의 낙하에서 천체까지 통일 |
| 비례 상수 | 「이런 관계가 있다」 | 「상수의 정체는 태양의 질량」 |
🔵 카이: 이 표에서 말하는 「설명 범위」의 차이가 엄청나네요. Kepler는 행성뿐인데, Newton은 지상의 현상까지 포함하는 건가요.
🟡 리나: 그래. 하나의 모델로 「더 넓은 범위를 통일적으로 설명할 수 있다」——이것이 물리학 모델의 위력이야. 이 장 전체를 통해 그걸 살펴볼 거야.
✅ 이해도 체크: Kepler의 작업에 대해, Newton이 새롭게 답한 질문은 무엇일까요?
답
「행성은 왜 그렇게 움직이는가」라는, 운동의 원인(왜)에 관한 질문. Kepler는 「무엇이 일어나고 있는가」를 기술했을 뿐이었다.
1.2 Kepler의 3법칙 — 「무엇이 일어나고 있는가」의 기술¶
🟡 리나: 17세기 초, Johannes Kepler는 Tycho Brahe의 방대한 천체 관측 데이터를 분석하여 행성의 운동에 관한 3가지 규칙성을 발견했어.
🔵 카이: 고등학교에서 배웠어요! 음……
🟡 리나: 하나씩 살펴보자. 그림 1.1「케플러의 3법칙 도해」에 3법칙의 전체 그림을 도식화해 두었으니, 각 법칙의 설명을 들으면서 대응하는 부분을 확인해 봐.
그림 1.1: 케플러의 3법칙 도해. 제1법칙: 타원 궤도와 초점의 위치. 제2법칙: 면적 속도 일정(태양에 가까울수록 빠르다). 제3법칙: \(T^2 \propto a^3\) 의 관계.
제1법칙：타원 궤도¶
🟡 리나: 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원(ellipse) 위를 움직여.
🔵 카이: 원이 아니라 타원이라는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 당시에는 「천체는 완전한 원운동을 한다」는 것이 상식이었어. Kepler는 데이터에 충실하게 타원이라고 결론지었어. 이것은 대단한 지적 용기였어.
제2법칙：면적 속도 일정¶
🟡 리나: 행성과 태양을 잇는 선분이 단위 시간에 쓸어가는 면적은 일정해. 즉, 태양에 가까울 때는 빠르게 움직이고, 멀 때는 느리게 움직여.
🔵 카이: 왜 가까우면 빨라지는 건가요?
🟡 리나: 대략적인 이미지로 말하면, 삼각형의 면적은 「밑변×높이÷2」잖아? 태양에 가까우면 밑변에 해당하는 거리가 짧아지니까, 같은 면적을 채우려면 높이에 해당하는 속력으로 보충해야 해. 엄밀하게는 속도의 방향도 관계되지만, 「가까울수록 빠르다」는 정성적인 결론은 맞아.
🔵 카이: 아, 밑변이 짧은 만큼 높이——즉 속력——으로 보충하지 않으면 면적이 부족해진다는 거군요. 그런데, 왜 면적 속도가 일정한 건가요? 우연인가요? 다른 법칙——예를 들어 「면적 속도가 거리에 비례한다」든가——도 앞뒤가 맞을 것 같은데요.
⚪ 메이: 지금 단계에서는 「이런 규칙성이 있다」는 기술이야. 「왜 일정한가」는 Newton의 모델에서 비로소 설명된다는 거지.
🟡 리나: 맞아. 면적 속도 일정의 「왜」는 Newton의 모델에서 도출되는 결론이야. 지금은 「이런 패턴이 있다」는 사실만 잡아두면 돼.
🟡 리나: 수식으로 쓰면, 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안 행성과 태양을 잇는 선분이 쓸어가는 미소 면적을 \(dA\)라고 할게(\(d\)는 「미소한」을 의미하는 기호로, \(dA/dt\)는 「\(A\)의 시간 변화율」——고등학교에서 배운 \(dx/dt\)가 속도를 나타내는 것과 같은 표기법이야). \(\frac{dA}{dt}\)는 「단위 시간당 쓸어가는 면적」——이것을 면적 속도라고 불러. 제2법칙은, 이 면적 속도가 어느 순간이든 같은 값이라고 말하고 있어:
제3법칙：조화 법칙¶
🟡 리나: 행성의 공전 주기 \(T\)의 제곱은 궤도의 긴반지름 \(a\)의 세제곱에 비례해. 긴반지름이란, 타원에서 가장 긴 지름(장축)의 절반 길이야. 타원이 원에 가까워지면, 긴반지름은 원의 반지름과 일치해.
🔵 카이: 이거, 정말 깔끔한 관계네요.
🟡 리나: 맞아. 하지만 여기서 중요한 건, Kepler의 3법칙은 「무엇이 일어나고 있는가」를 기술하고 있을 뿐이고, 「왜 그렇게 되는가」는 설명하지 않는다는 점이야.
🔵 카이: 확실히, 「타원을 그린다」고 해도, 왜 타원인지는 모르겠네요.
⚪ 메이: 그래. 왜 면적 속도가 일정한지, 왜 \(T^2 \propto a^3\)인지도. Kepler의 법칙은 「무엇이 일어나고 있는가」의 기술이고, 이유는 별개의 이야기라는 거야.
🟡 리나: 그 「왜」에 답한 것이 Newton이야.
✅ 이해도 체크: Kepler는 누구의 관측 데이터를 분석하여 3법칙을 발견했을까요?
답
Tycho Brahe의 방대한 천체 관측 데이터.
✅ 이해도 체크: Kepler의 제3법칙을 수식으로 쓰면 어떻게 될까요?
답
\(T^2 \propto a^3\)(공전 주기의 제곱이 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다).
1.3 Newton의 만유인력 — 「왜 그렇게 되는가」의 모델¶
🟡 리나: Newton의 아이디어는 놀라울 정도로 단순했어. 모든 물체는 서로 끌어당기는 힘을 미친다. 그 힘의 크기는:
여기서 \(m_1\), \(m_2\)는 두 물체의 질량, \(r\)은 두 물체 사이의 거리, \(G\)는 만유인력 상수(\(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\;\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)).
🔵 카이: 고등학교에서 배웠는데, 이렇게 보면 새삼 단순하네요.
🟡 리나: 맞아. 그런데 이 단 하나의 식으로부터 Kepler의 3법칙이 모두 도출될 수 있어. 실제로 해보자.
Kepler의 제3법칙 도출(원궤도 근사)¶
🔵 카이: 에, 정말요? 저 단순한 식만으로?
🟡 리나: 이야기를 간단히 하기 위해, 먼저 행성의 궤도가 원이라고 근사할게. 질량 \(m\)인 행성이 질량 \(M\)인 태양 주위를 반지름 \(r\)의 원궤도로 돌고 있다고 하자.
🔵 카이: 타원이 아니라 원으로 해도 되나요?
🟡 리나: 일반적인 타원으로 증명하려면 대학 수준의 미분방정식이 필요해. 하지만 원은 타원의 특수한 경우이고, 결론인 \(T^2 \propto a^3\)은 타원에서도 엄밀하게 성립해. 우선 본질을 파악하는 것이 중요해.
🟡 리나: 이 상황을 그림 1.2「원궤도에서 만유인력과 구심력의 관계」에 나타내 둘게. 원운동을 유지하려면 구심력(중심을 향하는 힘)이 필요하지. 고등학교에서 배운 대로, 속력 \(v\)로 반지름 \(r\)의 원운동을 하는 질량 \(m\)인 물체에 필요한 구심력은:
그림 1.2: 원궤도에서 만유인력과 구심력의 관계. 행성은 속도 \(v\)로 원궤도 위를 운동하며, 태양으로부터의 만유인력 \(F = GMm/r^2\)이 구심력을 제공한다.
🔵 카이: 그리고 그 구심력을 제공하는 게 만유인력이라는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 만유인력이 구심력을 제공하니까, 둘을 같다고 놓으면:
양변을 \(m\)으로 나누면:
정리하면:
⚪ 메이: 여기까지는 고등학교 범위네.
🟡 리나: 다음으로, 원궤도의 주기 \(T\)를 사용해 속력 \(v\)를 바꿔 쓸게. 원둘레는 \(2\pi r\)이니까:
이것을 \(v^2 = GM/r\)에 대입하면:
좌변의 제곱을 계산하면:
\(T^2\)를 좌변에 모으고 싶으니까, 양변에 \(T^2\)를 곱하면(좌변의 분모가 사라진다):
우변 분모의 \(r\)을 없애기 위해, 다시 양변에 \(r\)을 곱하면(우변의 분모가 사라진다):
\(T^2\)에 대해 풀면:
🔵 카이: 오! 우변은 전부 상수잖아요. 그러면 \(T^2 \propto r^3\)이 나온 거네요! 그런데 잠깐요, 이건 원궤도의 경우잖아요. 타원에서도 정말 성립하나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 일반적인 타원 궤도에서도 \(T^2 \propto a^3\)은 엄밀하게 성립해——다만 증명에는 미분방정식 지식이 필요하니까, 지금은 「원은 타원의 특수한 경우이고, 결론은 타원에서도 같다」고 받아들여 줘. 원궤도에서는 반지름 \(r\)이 긴반지름 \(a\)와 같으니까, 이것은 바로 Kepler의 제3법칙 \(T^2 \propto a^3\)이야. 도출 전체의 흐름을 그림 1.3「Kepler 제3법칙의 도출 단계」에 정리해 둘게.
그림 1.3: Kepler 제3법칙의 도출 단계. 만유인력을 출발점으로, 원운동의 조건과 속도의 바꿔쓰기만으로 \(T^2 \propto r^3\)을 얻는다. 단계(3)에서 행성의 질량 \(m\)이 사라지는 것이 「모든 행성에 공통인 비례 상수」의 핵심.
🟡 리나: 게다가 비례 상수 \(4\pi^2/(GM)\)이 태양의 질량 \(M\)만으로 결정된다는 것도 알게 되었어. 즉, 모든 행성에 공통인 비례 상수가 Newton의 모델에서 자동적으로 나오는 거야.
🔵 카이: 「모든 행성에 공통」이라는 건, 행성의 질량 \(m\)이 사라졌기 때문인가요?
🟡 리나: 맞아. 처음에 양변을 \(m\)으로 나눈 시점에서 행성의 질량이 사라졌잖아? 그래서 비례 상수는 태양의 질량 \(M\)만으로 결정되는 거야.
⚪ 메이: Kepler는 「\(T^2 \propto a^3\)이 성립한다」고만 말했지만, Newton은 「왜 성립하는가」와 「비례 상수가 무엇인가」까지 알려주는 거네.
🟡 리나: 이것이 「모델의 위력」이야. 개별 현상을 하나씩 외우는 것이 아니라, 하나의 원리로부터 논리적으로 많은 현상을 도출해낼 수 있다.
📝 연습문제:
- 만유인력에서 Kepler 제3법칙을 도출하기 → 문제 M-1. Kepler의 제3법칙 도출
✅ 이해도 체크: Newton의 만유인력의 식을 써 보세요. 각 기호의 의미는 무엇일까요?
답
\(F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\). \(m_1, m_2\)는 두 물체의 질량, \(r\)은 물체 사이의 거리, \(G\)는 만유인력 상수.
✅ 이해도 체크: Newton의 모델이 Kepler의 3법칙에 대해 가지는 의의는 무엇일까요?
답
3개의 독립된 규칙성(Kepler의 3법칙)이 만유인력이라는 1개의 모델에서 모두 도출된다는 것. 나아가 비례 상수의 물리적 의미(태양의 질량으로 결정된다)까지 알 수 있다.
1.4 Newton의 포탄 — 지상과 천상의 통일¶
🟡 리나: Newton의 모델의 또 하나의 혁명적인 점은, 지상의 현상과 천상의 현상을 통일했다는 것이야.
🔵 카이: 사과가 떨어지는 것과 달이 도는 게 같은 힘이라고요?
🟡 리나: 맞아. Newton은 유명한 사고 실험을 했어(그림 1.4「뉴턴의 포탄 사고 실험」). 산꼭대기에서 포탄을 수평으로 발사한다. 약하게 쏘면 포물선을 그리며 땅에 떨어진다. 더 세게 쏘면 더 멀리 떨어진다. 더욱 세게 쏘면——
그림 1.4: 뉴턴의 포탄 사고 실험. 산꼭대기에서 수평으로 발사된 포탄의 초속을 높이면, 궤도는 바로 낙하→원방 낙하→원궤도(한 바퀴 돌아 돌아온다)로 변화한다. 오른쪽 위는 발사점 부근의 확대도.
🔵 카이: 음……지구는 둥글기 때문에 지면도 내려가잖아요. 혹시, 계속 떨어지고 있는데 지면에 닿지 않는 건가요?
🟡 리나: 맞아! 충분한 속력으로 쏘면, 포탄은 지구의 곡률을 따라 계속 떨어지면서 한 바퀴 돌아 돌아와. 즉 「궤도에 진입하는」 거야. 달은 바로 그것을 하고 있어——「계속 떨어지고 있는」 거야. 다만 횡방향 속도가 있어서 지구 표면에 도달하기 전에 지면이 휘어져 가는 거지. 결과적으로 달은 지구 주위를 계속 돌아.
⚪ 메이: 낙하와 궤도 운동이 같은 현상의 다른 모습이라는 거네.
🔵 카이: 떨어지고 있는데 떨어지지 않는다니……신기한 느낌이에요. 그런데 어느 정도 속력으로 쏘면 「계속 떨어지지만 지면에 닿지 않는」 상태가 되나요? 감각적으로는 엄청난 속력이 필요할 것 같은데요.
🟡 리나: 좋은 의문이야. 지표 부근에서 궤도에 진입하려면 약 7.9 km/s(제1우주속도)가 필요해——음속의 약 23배야. 아까 도출한 \(v^2 = GM/r\)은 원궤도의 조건이니까, \(M\)을 지구의 질량, \(r\)을 지구의 반지름 \(R_E\)로 바꾸면 나오는 값이야.
🔵 카이: 음속의 23배……역시 엄청난 속력이네요.
🟡 리나: 하지만 지금 여기서는 더 중요한 것을 확인하고 싶어. 「지상의 중력」과 「달을 궤도에 유지하는 힘」이 정말로 같은 법칙을 따르고 있는지, 정량적으로 확인해 보자. 달은 지구에서 약 \(r = 3.84 \times 10^8\;\mathrm{m}\)의 거리에 있고, 공전 주기는 약 \(T = 27.3\)일 \(\approx 2.36 \times 10^6\;\mathrm{s}\)야. 달의 궤도 속도는:
달이 받는 구심 가속도는:
🔵 카이: 지표의 \(g = 9.8\;\mathrm{m/s^2}\)보다 훨씬 작네요. 달이 멀기 때문에 약해진 건가요? 얼마나 약해져야 하는 걸까요.
🟡 리나: 좋은 의문이야. 만약 중력이 거리의 제곱에 반비례한다면, 달의 위치에서의 가속도를 계산할 수 있어. 지구의 반지름은 약 \(R_E \approx 6.4 \times 10^6\;\mathrm{m}\)이니까, 달까지의 거리 \(3.84 \times 10^8\;\mathrm{m}\)은 지구 반지름의 약 \(60\)배야. 따라서:
🔵 카이: 와, 딱 일치하네요!
⚪ 메이: 달의 궤도에서 계산한 값과, 지표의 중력을 거리의 제곱으로 나눈 값이 일치한다니……이건 우연이라고 보기 어렵겠네.
🟡 리나: 이 일치는 우연일 수 없어. 정리하면, 완전히 독립적인 두 가지 계산——「달의 궤도 데이터에서 구한 가속도」와 「지표의 \(g\)를 역제곱 법칙으로 외삽한 가속도」——가 모두 \(0.00272\;\mathrm{m/s^2}\)이 돼. 사과를 떨어뜨리는 힘과 달을 궤도에 유지하는 힘은 같은 만유인력이다라는 것. 그때까지 「천상의 세계」와 「지상의 세계」는 서로 다른 법칙으로 움직인다고 여겨졌었어. Newton은 그것을 하나의 모델로 통일한 거야.
✅ 이해도 체크: Newton의 포탄 사고 실험이 보여주는 「통일」이란 무엇일까요?
답
사과를 떨어뜨리는 힘(지상의 중력)과 달을 궤도에 유지하는 힘(천상의 힘)이 같은 만유인력이라는 것. 지상과 천상의 현상을 하나의 모델로 통일했다.
1.5 모델의 예측력 — 해왕성의 발견¶
🟡 리나: Newton의 모델의 위력을 가장 극적으로 보여준 것이 해왕성의 발견이야.
🔵 카이: 해왕성이요?
🟡 리나: 19세기 중반, 천문학자들은 천왕성의 궤도가 Newton의 모델의 예측에서 약간 벗어나 있다는 것을 알아챘어.
⚪ 메이: 모델이 틀렸을 가능성도 있겠네.
🟡 리나: 맞아, 두 가지 가능성이 있어. (1) Newton의 모델이 틀렸다. (2) 아직 발견되지 않은 천체가 천왕성에 영향을 주고 있다.
🟡 리나: 프랑스의 Urbain Le Verrier와 영국의 John Couch Adams는 (2)를 가정하고, 미지의 행성 위치를 Newton의 모델에서 역산했어(그림 1.5「해왕성 발견의 개념도」). 그리고 1846년, Le Verrier가 예측한 위치에 망원경을 향했더니——
그림 1.5: 해왕성 발견의 개념도. 천왕성의 실제 궤도(실선)가 Newton의 모델에 의한 예측 궤도(파선)에서 벗어나 있다. 이 벗어남의 원인을 「미발견 행성의 중력」이라 가정하고, 그 위치를 역산하여 해왕성이 발견되었다.
🔵 카이: 정말 있었나요!?
🟡 리나: 있었어. 해왕성이. 예측한 위치에서 겨우 1도 이내의 장소에.
📝 연습문제:
- 궤도의 벗어남에서 해왕성의 질량을 추정하기 → 문제 B-1. 해왕성의 질량 추정
⚪ 메이: 이것이 「정량적인 예측」의 위력이네. 「어딘가에 행성이 있을지도」가 아니라, 「이 방향의 이 위치에 있다」고 수식이 알려준 거야.
🟡 리나: 프롤로그에서 「수식으로 쓰기 때문에 정량적으로 검증할 수 있다」고 말했던 거 기억해? 해왕성의 발견은 바로 그 실례야.
✅ 이해도 체크: 해왕성의 발견이 Newton의 모델의 무엇을 보여주었을까요?
답
모델의 정량적인 예측력. 미지의 행성 위치를 수식에서 역산하여, 예측한 위치에 실제로 해왕성이 발견되었다.
✅ 이해도 체크: 천왕성의 궤도 벗어남에 대해 생각할 수 있었던 두 가지 가능성은 무엇일까요?
답
(1) Newton의 모델이 틀렸다. (2) 아직 발견되지 않은 천체가 천왕성에 영향을 주고 있다.
1.6 중력 퍼텐셜과 Poisson 방정식¶
🟡 리나: 여기서 Newton의 모델을 좀 더 현대적인 형태로 다시 써 두자. 이후 장에서 필요하거든.
🟡 리나: 공간의 각 점에 「중력적인 높이」를 나타내는 수치——중력 퍼텐셜 \(\Phi(\mathbf{r})\)——을 부여하는 거야. \(\mathbf{r}\)은 공간의 위치를 나타내는 벡터야(굵은 글씨는 벡터를 나타내는 관습으로, 고등학교에서 사용하는 \(\vec{r}\)과 같은 의미). \(\Phi\)는 그 위치마다 정해지는 단순한 수(스칼라)야.
🔵 카이: 「중력적인 높이」라면, 산의 표고 같은 이미지인가요?
🟡 리나: 좋은 직관이야. 표고가 높을수록 위치 에너지가 크잖아? 그것과 마찬가지로 \(\Phi\)가 큰 곳일수록 중력적 에너지가 높아. 그리고 물체는 \(\Phi\)가 낮은 쪽으로——즉 「비탈을 내려가는 방향」으로——힘을 받아.
🟡 리나: 수식으로 쓰면, 질량 \(m\)인 입자에 작용하는 힘은
여기서 \(\nabla\Phi\)(「나블라 \(\Phi\)」라고 읽어)는 기울기(gradient)라 불리는 양이야. 지형도의 등고선을 떠올려봐——그림 1.6「중력 퍼텐셜의 등고선도」를 보면 좋겠어. 등고선이 촘촘한 곳일수록 경사가 급하잖아? 기울기는 「가장 가파르게 올라가는 방향을 향하고 있고, 그 경사의 크기를 가지는 벡터」야. 마이너스 부호가 붙어 있으니까, 힘은 \(\Phi\)가 감소하는 방향——비탈을 내려가는 방향——으로 작용해. 기울기의 정확한 정의는 「일반상대론」편 제 1 장에서 다루지만, 지금은 「등고선에 수직으로 비탈을 내려가는 방향과 그 급한 정도」라고 생각해 주면 돼.
그림 1.6: 중력 퍼텐셜의 등고선도. 파란 곡선이 등퍼텐셜선(\(\Phi\)가 일정한 선), 빨간 화살표가 힘 \(\vec{F} = -m\nabla\Phi\)의 방향을 나타낸다. 등고선이 촘촘할수록 「급한 비탈」로 힘이 강하다. 힘은 항상 등고선에 수직이고, \(\Phi\)가 낮은 방향(중심)을 향한다.
⚪ 메이: 즉, 힘을 직접 쓰는 대신에 먼저 「높이의 지도」를 만들고, 거기서 힘을 읽어낸다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그러면 \(\mathbf{F} = -m\nabla\Phi\)가 만유인력을 재현하려면 \(\Phi\)가 어떤 형태여야 하는지 생각해 보자. 구대칭인 경우——즉 \(\Phi\)가 중심으로부터의 거리 \(r\)만으로 결정되는 경우——를 생각할게. 「\(r\)만으로 결정된다」는 건, 같은 거리 \(r\)에 있는 한 어느 방향에 있든 \(\Phi\)의 값이 같다는 뜻이야. 등고선 지도로 말하면, 등고선이 동심원인 상태야.
🔵 카이: 동심원 등고선이면, 비탈을 올라가는 방향은 중심에서 바깥으로 향하는 방향밖에 없겠네요. 옆으로 움직여도 높이가 변하지 않으니까요.
🟡 리나: 맞아. 중심으로부터의 거리를 바꾸지 않고 횡방향으로 움직여도 \(\Phi\)는 변하지 않아——횡방향의 경사는 제로야. 그래서 「가장 가파르게 올라가는 방향」은 \(r\) 방향(중심에서 바깥)밖에 없어. 결과적으로 기울기는 \(r\) 방향의 경사만 남아. 그래서 기울기의 크기는 \(|\nabla\Phi| = \frac{d\Phi}{dr}\)로 쓸 수 있어(방향은 \(r\)이 증가하는 쪽).
🔵 카이: 여기까지는 이해됐어요. 그래서 이 기울기가 만유인력과 일치하도록 \(\Phi\)를 정하는 거죠?
🟡 리나: 맞아. 만유인력의 크기는 \(F = GMm/r^2\)이고 중심을 향해(\(r\)이 감소하는 방향). 여기서 \(r\) 방향(중심에서 바깥)을 양으로 잡으면, 힘의 \(r\) 성분은 \(F_r = -GMm/r^2\)(중심을 향하니까 음). 한편 \(\mathbf{F} = -m\nabla\Phi\)의 \(r\) 성분은 \(F_r = -m\frac{d\Phi}{dr}\). 이 둘을 같다고 놓으면 \(-m\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{GMm}{r^2}\). 양변을 \(-m\)으로 나누면 \(\frac{d\Phi}{dr} = \frac{GM}{r^2}\).
⚪ 메이: 「\(\Phi\)를 \(r\)로 미분하면 \(GM/r^2\)이 된다」——그래서 그 역연산으로 \(\Phi\)를 구할 수 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이것을 \(r\)로 적분하면——즉 「미분하면 \(GM/r^2\)이 되는 함수 \(\Phi(r)\)는 무엇인가?」를 역으로 구하는 거야. 고등학교에서 배운 공식 \(\int r^n\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}\)(\(n \neq -1\))을 사용할게. 「적분한다」는 건 「미분의 역연산」——즉 「미분하면 \(GM/r^2 = GM \cdot r^{-2}\)이 되는 함수 \(\Phi(r)\)는 무엇인가?」를 구하는 것. \(GM\)은 상수니까 적분 밖으로 꺼낼 수 있어서 \(\int GM \cdot r^{-2}\,dr = GM \int r^{-2}\,dr\)야. \(n = -2\)를 공식에 대입하면 \(n+1 = -2+1 = -1\)이니까 \(\int r^{-2}\,dr = \frac{r^{-1}}{-1} = -\frac{1}{r}\). 확인해 봐——\(-1/r = -r^{-1}\)을 \(r\)로 미분하면 \(-(-1)r^{-2} = r^{-2} = 1/r^2\)로, 확실히 원래대로 돌아가지. 따라서 \(\Phi = GM \times (-1/r) + C = -GM/r + C\)가 돼. 여기서 \(C\)는 적분 상수——부정적분에는 「상수를 더해도 미분하면 같다」는 자유도가 있어서, 반드시 미정의 상수가 하나 남아(확인: \(d(-GM/r + C)/dr = GM/r^2\)이고, \(C\)는 미분하면 사라진다). 이 \(C\)는 「무한히 먼 곳에서 \(\Phi = 0\)」으로 하는 조건에서 결정돼. \(r \to \infty\)일 때 \(-GM/r \to 0\)이니까, \(\Phi(\infty) = 0 + C = C\). 이것이 0이 되려면 \(C = 0\)이야.
🔵 카이: 왜 무한히 먼 곳에서 0이라고 정해도 되는 건가요?
🟡 리나: 퍼텐셜은 「차이」만이 물리적으로 의미를 가져——힘은 \(\Phi\)의 경사(미분)로 결정되니까, \(\Phi\) 전체에 상수를 더해도 힘은 변하지 않아. 그래서 기준점을 어디에 두어도 상관없지만, 「질량에서 무한히 멀어지면 영향이 0」인 것이 자연스러우니까, 무한히 먼 곳을 0으로 약속하는 것이 관습이야.
🔵 카이: 마이너스가 붙는군요. \(\Phi\)는 음의 값이 되나요?
🟡 리나: 맞아. 마이너스 부호가 붙어 있는 건, 질량에 가까워질수록 \(\Phi\)가 낮아진다——즉 「골짜기 바닥을 향해 비탈을 내려가는」 형태가 되기 때문이야. 물체가 끌려온다는 것과 정합하지?
🔵 카이: 아, 제대로 계산에서 나오는군요.
🟡 리나: 정리하면, \(\frac{d\Phi}{dr} = \frac{GM}{r^2}\)를 적분하고 무한히 먼 곳에서 \(\Phi = 0\)으로 하면:
🔵 카이: 마이너스니까, 질량에 가까울수록 \(\Phi\)가 깊어지는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 그림 1.7「중력 퍼텐셜 \(\Phi(r) = -GM/r\)의 그래프. 질량 \(M\)에 가까워질수록 \(\Phi\)는 깊어진다(골짜기 바닥). 힘 \(F = -m\,d\Phi/dr\)은 \(r\)이 작아지는 방향」의 그래프를 봐——\(r\)이 작을수록 \(\Phi\)가 깊어지는 「골짜기 바닥을 향하는 비탈」의 형태야.
그림 1.7: 중력 퍼텐셜 \(\Phi(r) = -GM/r\)의 그래프. 질량 \(M\)에 가까워질수록 \(\Phi\)는 깊어진다(골짜기 바닥). 힘 \(F = -m\,d\Phi/dr\)은 \(r\)이 작아지는 방향——즉 비탈을 내려가는 방향——을 향한다. 접선의 기울기가 힘의 크기에 대응한다.
🟡 리나: 여기서 한 단계 더 나아갈게. 방금 구한 \(\Phi = -GM/r\)은 「질량 \(M\)이 한 점에 있는 경우」의 퍼텐셜이었어. 그러면 질량이 공간에 퍼져서 분포하고 있을 때, \(\Phi\)는 어떻게 결정될까? 그 답을 쓰기 위해 먼저 새로운 도구를 도입할게. Laplacian(라플라시안) \(\nabla^2\)(「나블라 제곱」이라 읽어)이라는 연산이야. 이것은 퍼텐셜의 공간적인 「굽어진 정도」를 측정하는 양이야. 1차원으로 말하면 \(d^2\Phi/dx^2\)——즉 「2계 도함수」의 3차원 버전이야.
🔵 카이: 2계 도함수는 함수의 「오목볼록」을 나타내는 거죠?
🟡 리나: 맞아. 2계 도함수의 부호를 떠올려봐. \(y = x^2\) 그래프는 아래로 볼록(골짜기 바닥 형태)이고 \(d^2y/dx^2 = 2 > 0\)(양). \(y = -x^2\)는 위로 볼록(산꼭대기 형태)이고 \(d^2y/dx^2 = -2 < 0\)(음). 즉 아래로 볼록(골짜기 바닥)이면 2계 도함수는 양, 위로 볼록(산꼭대기)이면 음. 예를 들어 골짜기 바닥에서는 그 점의 \(\Phi\)가 좌우의 값보다 낮아——즉 「주변 평균값보다 작다」지? 반대로 산꼭대기에서는 주변보다 높아. 대략적으로 말하면, Laplacian은 「어떤 점의 \(\Phi\)가 주변의 평균값에서 얼마나 벗어나 있는가」를 측정하는 양이야.
🔵 카이: 그렇군요, 「주변보다 움푹 파여 있는가, 볼록 튀어나와 있는가」를 수치화한 거네요.
🟡 리나: 맞아. 이 도구를 사용하면, 질량 분포와 퍼텐셜의 관계를 깔끔하게 쓸 수 있어. 결론을 먼저 말하면, 「각 점에서의 Laplacian은 그 점의 질량 밀도에 비례한다」. 이것을 수식으로 만든 게 Poisson 방정식:
여기서 \(\rho\)(로)는 질량 밀도——단위 부피당 질량이야. \(4\pi\)라는 계수는 구대칭의 기하학에서 오는 것으로, 도출은 「일반상대론」편 제 1 장에서 하겠어.
⚪ 메이: 「물질이 있는 곳에서 퍼텐셜이 움푹 파인다」——이것이 Poisson 방정식이 말하는 거네.
🔵 카이: 「3차원 버전」이란, 구체적으로는 어떤 형태인가요?
🟡 리나: 각 방향(\(x\), \(y\), \(z\))의 2계 도함수를 더한 것——\(\nabla^2\Phi = \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}\)야. \(\partial\)(둥근 d)는 편미분 기호로, 「다른 변수를 고정하고 한 방향으로만 미분한다」는 뜻이야. 예를 들어 \(\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}\)는 「\(y\)와 \(z\)를 고정하고 \(x\) 방향으로만의 굽어진 정도를 본다」는 것. 그것을 3방향분 더한 게 Laplacian이야. 편미분의 자세한 취급은 「일반상대론」편 제 1 장에서 배우지만, 지금은 「각 방향의 굽어진 정도를 모두 합한 것」이라 생각해 주면 돼.
🟡 리나: 여기서 한 가지 확인해 두고 싶은 게 있어. 아까 구한 \(\Phi = -GM/r\)의 그래프는 분명히 굽어 있잖아. 「그러면 Laplacian이 0이 아닌 게 아닌가?」라고 생각할 수 있어. 하지만 여기서 말하는 「굽어진 정도」는 1차원 그래프의 굽어짐(\(d^2\Phi/dr^2\))이 아니라, 3차원 공간에서의 Laplacian \(\nabla^2\Phi\)——모든 방향의 굽어짐을 합계한 것이야. \(r\) 방향으로는 확실히 굽어 있지만, 횡방향(각도 방향)의 효과와 상쇄되어서 원점 이외에서는 딱 0이 돼.
🔵 카이: 에, 굽어 있는데 Laplacian이 0이라고요? 그건 신기하네요.
🟡 리나: 왜 상쇄되는지 직관을 하나만 말해줄게——원점에서 멀어질수록 구면의 면적이 \(4\pi r^2\)로 늘어나잖아? 같은 「힘의 총량」이 더 넓은 면적에 분산되니까, \(r\) 방향의 변화율(굽어짐)이 희석돼. 이 희석 효과와 \(r\) 방향의 굽어짐이 딱 상쇄되어서 원점 이외에서는 Laplacian이 0이 되는 거야. 엄밀한 계산은 「일반상대론」편 제 1 장에서 하지만, 지금은 「3차원에서는 \(r\) 방향의 굽어짐만 봐서는 Laplacian을 알 수 없다」는 것을 기억해 둬. 즉 점질량의 경우, 질량이 없는 곳(원점 이외)에서는 \(\nabla^2\Phi = 0\)——Poisson 방정식에서 \(\rho = 0\)으로 놓은 경우와 정합하는 거야. 질량이 있는 곳(원점)에서만 \(\nabla^2\Phi \neq 0\)이 돼.
🟡 리나: 그림 1.8「Laplacian \(\nabla^2\Phi\)의 직관적 의미」에 1차원 예시로 Laplacian의 의미를 도해해 둘게.
그림 1.8: Laplacian \(\nabla^2\Phi\)의 직관적 의미. 왼쪽: 골짜기 바닥에서는 \(\Phi\)가 주변 평균보다 작다 → \(d^2\Phi/dx^2 > 0\)(Laplacian 양). 오른쪽: 산꼭대기에서는 \(\Phi\)가 주변 평균보다 크다 → \(d^2\Phi/dx^2 < 0\)(Laplacian 음). Poisson 방정식은 「물질이 있는 곳에서 골짜기가 생긴다」는 것을 나타낸다.
🔵 카이: 음……1차원이면 「골짜기 바닥이면 2계 도함수가 양」이라는 건 알겠는데, 3차원에서 「\(r\) 방향의 굽어짐과 각도 방향이 상쇄된다」는 건 솔직히 아직 찝찝해요. 그래도 일단 결론적으로는 「물질이 있는 곳에서는 Laplacian이 양——즉 골짜기 바닥이 된다」는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 지금 단계에서는 「물질이 없는 곳에서는 \(\nabla^2\Phi = 0\), 물질이 있는 곳에서는 \(\nabla^2\Phi > 0\)」이라는 결론만 가지고 있으면 충분해. 상쇄 구조가 궁금하다면, 하나만 구체적인 이미지를 줄게. 원점에 질량이 있는 경우, 어떤 점 \(P\) 주위를 작은 구로 둘러싸 봐. \(P\)가 원점 바깥에 있으면, 그 작은 구 안에는 질량이 없어. \(\Phi\)는 구의 「태양 쪽」에서 깊고, 「반대편」에서 얕아——즉 편향되어 있지만, 평균하면 \(P\)에서의 값과 딱 일치해. 「평균값과 일치한다＝주변으로부터의 벗어남이 없다＝Laplacian이 0」. 반면 \(P\)가 원점(질량이 있는 곳)에 있으면, \(\Phi\)는 \(P\)보다 주변이 더 높아——평균값이 \(P\)의 값을 웃돌아——그래서 Laplacian이 양이야. 엄밀한 계산은 「일반상대론」편 제 1 장에 맡기지만, 「주변의 평균값과 비교한다」는 이미지로 기억해 둬.
🔵 카이: 「평균값과 일치하는지 아닌지」로 판정한다는 건 이해했어요. 그런데 왜 원점 바깥에서는 평균값과 딱 일치하는 건가요? 태양 쪽이 깊고 반대편이 얕으면, 평균이 \(P\)의 값에서 좀 벗어날 것 같은데……
🟡 리나: 좋은 의문이야. 직관적으로 말하면, 구의 「태양 쪽」은 \(P\)보다 깊지만 면적이 작고, 「반대편」은 \(P\)보다 얕지만 면적이 커——이 비대칭성이 딱 상쇄되는 거야. \(1/r\)이라는 함수의 특별한 성질이야. 일반적인 함수에서는 이렇게 되지 않아. 엄밀한 증명은 「일반상대론」편 제 1 장에서 Gauss의 법칙을 사용해 하니까, 지금은 「\(\Phi = -GM/r\)이라는 특별한 형태이기 때문에 원점 이외에서 Laplacian이 0이 된다」고 기억해 둬.
🔵 카이: 그렇군요, \(1/r\)의 특별한 성질인 거네요. 지금은 결론만 받아들여 둘게요.
🟡 리나: 맞아. 물질이 있는 곳에서는 \(\rho > 0\)이니까 \(\nabla^2\Phi > 0\), 즉 퍼텐셜이 주위보다 낮은 「골짜기」가 돼. 물체는 그 골짜기를 향해 떨어져 간다——이것이 중력의 정체야.
🔵 카이: 아까의 \(\Phi = -GM/r\)도 이 방정식을 만족하나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 질량 \(M\)이 원점 한 점에 집중되어 있는 경우, 원점 이외에서는 \(\rho = 0\)이니까 \(\nabla^2 \Phi = 0\)을 만족해야 해. 실제로 \(\Phi = -GM/r\)은 원점 이외에서 이것을 만족해. 엄밀한 확인과 도출——기울기·편미분의 해설, Gauss의 발산 정리에서 출발하여 Poisson 방정식을 도출하는 절차——는 「일반상대론」편 제 1 장에서 자세히 다루고 있으니 그쪽을 참조해 줘.
🔵 카이: 그렇군요. 그러면 Poisson 방정식의 물리적 의미를 정리하면, 「물질이 존재하는 곳에서는 퍼텐셜의 굽어진 정도가 0이 아니다——물질이 많을수록 굽어짐도 크다」는 건가요?
🟡 리나: 맞아.
🟡 리나: 한 가지 중요한 주의사항. Poisson 방정식의 좌변에는 시간 미분이 포함되어 있지 않아. 이것은 질량 분포 \(\rho\)가 변한 순간에 퍼텐셜 \(\Phi\)가 공간 전체에서 순시적으로 변한다는 것을 의미해. 즉, 중력의 변화가 무한대의 속도로 전파된다는 것을 암묵적으로 가정하고 있어. 이것은 나중에 특수상대론(제 5 장)과 모순된다는 것을 알게 돼——제 6 장에서 일반상대론이 필요한 이유 중 하나야.
🔵 카이: 순시적으로 전파된다고요……빛보다 빠르다는 건가요? 아까 해왕성에서는 문제가 되지 않았지만요.
🟡 리나: 그리고 이 「장」의 사고방식은, 이후에 전자기학(제 2 장)이나 일반상대론(제 6 장)에서도 반복해서 등장해. Newton의 모델을 장의 언어로 다시 써 두면, 이후 장과의 연결이 보이기 쉬워지는 거야.
⚪ 메이: 그래서 「이후 장에서 필요하다」고 처음에 말했던 거구나.
📝 연습문제:
- 푸아송 방정식에서 중력 퍼텐셜을 도출하기 → 문제 M-2. 중력 퍼텐셜의 계산
✅ 이해도 체크: Poisson 방정식 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho\)는 무엇을 나타내고 있을까요?
답
물질(질량 밀도 \(\rho\))이 존재하는 곳에서 중력 퍼텐셜에 굽어짐이 생긴다는 것을 나타낸다. 물질 분포가 퍼텐셜을 결정하는 관계식. 시간 미분을 포함하지 않기 때문에, 중력의 변화가 순시적으로 전파된다는 것을 암묵적으로 가정하고 있다.
1.7 또 하나의 정식화 — 최소 작용의 원리¶
🟡 리나: 여기서 Newton 역학의 또 하나의 정식화를 소개해 둘게. 이것은 제 8 장의 장의 양자론, 제 13 장의 끈이론에서 반복적으로 등장하는, 물리학에서 가장 중요한 원리 중 하나야.
🟡 리나: Newton의 \(F = ma\)는 「힘이 가속도를 결정한다」는 인과적 기술이야. 하지만 같은 물리를 완전히 다른 관점에서 기술할 수 있어. 최소 작용의 원리(principle of least action)야.
🔵 카이: 「최소 작용」이 뭔가요?
🟡 리나: 먼저 Lagrangian(라그랑지안) \(L\)을 정의할게. 운동 에너지를 \(T\), 퍼텐셜 에너지(위치 에너지)를 \(V\)로 해서,
🔵 카이: \(T + V\)가 아니라 \(T - V\)인가요? 왜 뺄셈인 거죠?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 지금은 「\(T - V\)로 정의하면 올바른 운동 방정식이 나온다」고 받아들여 줘. 이유는 「일반상대론」편 제 1 장에서 변분법을 배우면 자연스럽게 알게 돼.
🟡 리나: 다음으로, 작용(action) \(S\)를 정의할게. Lagrangian \(L\)을 시각 \(t_1\)에서 \(t_2\)까지 시간으로 적분한 것:
이것은 「각 순간의 \(L\)의 값을, 출발에서 도착까지 모두 합한 양」이야. 고등학교에서 정적분을 계산한 것과 같은 조작——가로축이 시간, 세로축이 \(L\)의 값인 그래프를 그려서 그 부호 있는 면적을 구하는 이미지야. 여기서 「경로」라는 말을 쓸게. 물체가 시각 \(t_1\)에 위치 \(q_1\)에 있고, 시각 \(t_2\)에 위치 \(q_2\)에 있다고 하자. 그 사이의 움직임 방식——중간에 어떤 속도로 나아가는지——에는 무수한 가능성이 있잖아? 각각의 움직임 방식을 「경로」라고 부르는 거야.
🔵 카이: 「경로가 다르다」는 건, 예를 들어 같은 시작점과 끝점을 잇는데 중간에 가속하거나 감속하거나 하는 패턴이 여러 가지 있다는 건가요?
🟡 리나: 맞아, 바로 그거야. \(L = T - V\)니까, 경로가 다르면 각 순간의 속도나 위치가 달라지고, \(T\)도 \(V\)도 변해. 결과적으로 \(L\)의 시간 변화도 달라지고, 작용 \(S\)의 값도 달라져. 최소 작용의 원리는, 「모든 가능한 경로 중에서 이 작용 \(S\)를 정류값(停留値)으로 만드는 경로가 물리적으로 실현되는 경로다」라고 주장하는 거야.
🔵 카이: 「정류값」이 뭔가요? 최솟값과는 다른 건가요?
🟡 리나: 정류값이란, 경로를 아주 조금만 바꿨을 때, \(S\)가 거의 변하지 않는다는 뜻이야. 고등학교에서 배운 「미분=0이 극값의 조건」과 같은 발상이야——포물선 \(y = x^2\)의 바닥(\(x = 0\))에서는, \(x\)를 조금 어긋나게 해도 \(y\)의 변화가 \(x\) 어긋남 폭의 제곱에 비례하니까, 1차 변화가 0이잖아? 경로에 대해서도 마찬가지로, 「경로를 아주 조금 바꿨을 때의 \(S\)의 1차 변화가 0」인 것이 정류값의 조건이야. 대부분의 경우 최솟값이라 「최소 작용의 원리」라고 불리지만, 엄밀하게는 최소가 아닐 수도 있어——산길의 고갯마루처럼, 동서 방향으로는 가장 높지만 남북 방향으로는 가장 낮은 점도 있잖아? 그런 「극소도 극대도 아닌 정류점」이 안장점이야. 하지만 지금 단계에서는 「거의 최솟값」이라고 생각해 두면 돼(그림 1.9「최소 작용의 원리와 경로 비교」).
그림 1.9: 최소 작용의 원리와 경로 비교. 시작점 \((t_1, q_1)\)에서 끝점 \((t_2, q_2)\)까지의 여러 경로 중, 작용 \(S\)를 극값으로 만드는 경로(실선)가 물리적으로 실현되는 경로이다.
⚪ 메이: 「순간마다 힘을 생각하는」 것이 아니라, 「경로 전체를 조감하여 최적의 것을 고른다」는 발상이네.
🟡 리나: 그림 1.10「작용 적분의 시각화」에서 다른 경로에 대해 \(L(t)\)가 어떻게 바뀌고, 작용 \(S\)(면적)가 어떻게 바뀌는지 봐 보자.
그림 1.10: 작용 적분의 시각화. 왼쪽: 같은 시작점·끝점을 잇는 여러 경로. 오른쪽: 각 경로에 대한 \(L(t)\)의 그래프. 곡선과 가로축 사이의 면적이 작용 \(S = \int L\,dt\)에 대응한다. 물리적 경로(빨간 실선)는 \(S\)가 극값이 되는 경로.
🟡 리나: 이 원리에서, 실현되는 경로가 만족해야 할 방정식이 도출돼. 그것이 Euler-Lagrange(오일러-라그랑주) 방정식:
낯선 기호가 나왔지. 하나씩 설명할 테니 안심해. 먼저 \(q\)는 물체의 위치를 나타내는 기호야——지금까지 쓰던 \(x\)와 같은 것. 물리학에서는 위치를 일반적으로 \(q\)로 쓰는 관습이 있어(「일반화 좌표」라 불려). \(\dot{q}\)는 \(q\)의 시간 미분 \(dq/dt\)——즉 속도야. 물리학에서는 이 점 표기를 자주 사용해.
🔵 카이: 점이 시간 미분을 나타내는 거군요. \(\dot{q}\)가 속도이고, \(\ddot{q}\)가 가속도인 거네요.
🟡 리나: 맞아. 다음으로 \(\partial\)(「편」이라 읽는 둥근 d)의 의미. \(L\)은 \(q\)와 \(\dot{q}\) 양쪽에 의존하는 함수니까, 「한쪽만 바꿨을 때의 변화율」을 생각할 필요가 있어. \(\partial L / \partial \dot{q}\)는 편미분이라 불리는 조작으로, 「\(q\)를 고정한 채 \(\dot{q}\)만을 변화시켰을 때의 \(L\)의 변화율」을 의미해. 보통의 미분 \(d/dt\)가 「시간과 함께 모든 것이 변하는」 것을 쫓는 것에 비해, 편미분은 「다른 변수를 멈추고 하나만 움직이는」 조작이야. 간단한 예를 들면, \(f(x, y) = x^2 + 3y\)라는 2변수 함수가 있을 때, \(\partial f/\partial x\)는 「\(y\)를 상수라 생각하고 \(x\)로 미분한다」니까 \(2x\). \(\partial f/\partial y\)는 「\(x\)를 상수라 생각하고 \(y\)로 미분한다」니까 \(3\). 하는 것은 보통 미분과 같고, 「움직이지 않는 변수를 상수 취급한다」는 것뿐이야. 편미분의 자세한 취급은 「일반상대론」편 제 1 장에서 배울 거야.
🔵 카이: 기호가 많아서 압도되지만……이걸로 정말 \(F = ma\)가 나오나요? 특히 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)는 \(L\)을 속도로 미분한다는 거잖아요. \(L\) 안에 위치도 속도도 들어 있는데, 한쪽으로만 미분한다는 게 어떻게 하는 건지 모르겠어요.
🟡 리나: 좋은 의문이야. 먼저 하나 보충하면, Euler-Lagrange 방정식은 「경로를 아주 조금만 어긋나게 했을 때 작용 \(S\)가 변하지 않는다」는 조건을 수식으로 번역한 것이야. 그 번역의 구체적인 계산(변분법)은 「일반상대론」편 제 1 장에서 자세히 하지만, 결과만 사용하면 \(F = ma\)가 나온다는 것을 지금 확인하자. 기호가 많아 보이지만, 하나씩 순서대로 대입해 가면 괜찮아. 구체적으로 1차원 운동을 생각해서, \(q = x\)(위치)로 할게. \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)\)를 대입해 보자.
🔵 카이: 네. 그래서 어디서부터 시작하면 되나요?
🟡 리나: 먼저 Euler-Lagrange 방정식의 제1항, \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)부터. \(\partial L / \partial \dot{x}\)를 구하려면, \(x\)를 고정하고 \(\dot{x}\)만의 함수로 본다——아까 카이가 물어본 「한쪽으로만 미분한다」는 것이 바로 이거야. \(V(x)\)는 \(\dot{x}\)를 포함하지 않으니까, \(\dot{x}\)로 편미분하면 0이 되어 사라져. 남는 건 \(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\)뿐이야. 여기서 \(\dot{x}\)를 하나의 변수 \(u\)라고 생각하면, \(\frac{1}{2}mu^2\)를 \(u\)로 미분하는 것과 같아——\(\frac{d}{du}\left(\frac{1}{2}mu^2\right) = \frac{1}{2}m \cdot 2u = mu\)니까, \(\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right) = m\dot{x}\).
⚪ 메이: 즉 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}\)네. 운동량 \(p = mv\)와 같은 형태야.
🔵 카이: 아, 편미분이라고 해도, 하는 것은 「\(\dot{x}\) 이외를 상수 취급하고 보통으로 미분하는」 것뿐이군요. 생각보다 무섭지 않네요.
🟡 리나: 맞아. \(m\)은 상수니까, 이것을 시간으로 미분하면 \(\frac{d}{dt}(m\dot{x}) = m\ddot{x}\)(점 2개는 시간의 2계 미분, 즉 가속도). 다음으로 제2항, \(\frac{\partial L}{\partial x}\)를 구할게. 이번에는 \(\dot{x}\)를 고정하고 \(x\)만의 함수로 봐. \(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\)는 \(x\)를 포함하지 않으니까 사라지고, 남는 건 \(-V(x)\)를 \(x\)로 편미분한 것. \(V\)는 \(x\)만의 함수니까, 편미분과 보통 미분은 같은 결과를 주어서, \(\partial L / \partial x = -dV/dx\).
🔵 카이: 아, 제1항이 가속도가 되고, 제2항이 힘에 관련된 것이 되려는 거 같네요.
🟡 리나: 맞아! Euler-Lagrange 방정식에 넣으면:
우변의 \(-dV/dx\)는 「퍼텐셜 에너지가 급격히 낮아지는 방향으로 힘이 작용한다」는 것을 나타내고 있어서, 이것이 힘 \(F\) 그 자체야——고등학교에서 배운 「보존력은 퍼텐셜 에너지의 경사에 부호를 바꾼 것」과 같은 거야. 그러니까 이것은 \(F = ma\)네.
🔵 카이: 오, 정말로 \(F = ma\)가 나왔어요! 돌아가는 것처럼 보였지만, 제대로 같은 곳에 도착하는군요.
🟡 리나: 변분법에서 Euler-Lagrange 방정식을 도출하는 전체 단계——변분의 계산, 부분 적분, 경계항의 소거——는 「일반상대론」편 제 1 장에서 자세히 다루고 있으니 그쪽을 참조해 줘. 지금은 「Lagrangian을 정하면 운동 방정식이 자동으로 나온다」는 것을 잡아두면 충분해.
📝 연습문제:
- \(T-V\)와 \(T+V\)에서 결과가 어떻게 달라지는지 확인하기 → 문제 B-2. 왜 T-V 이지 T+V 가 아닌가
🔵 카이: 같은 답이 나온다면, 굳이 다른 정식화를 하는 의미가 뭔가요?
🟡 리나: 3가지 이유가 있어. 첫째, 대칭성이 보기 쉽다——「대칭성이 있으면 보존량이 나온다」는 강력한 정리(Noether의 정리)와 직결돼. 이것은 곧 설명할게.
🔵 카이: 대칭성에서 보존량이 나온다……? 아직 감이 안 오지만, 구체적인 예를 들으면 알 수 있을 것 같아요.
🟡 리나: 둘째, 좌표계를 가리지 않는다——직교 좌표든 극좌표든, 같은 Lagrangian에서 올바른 방정식이 나와. 일반상대론(제 6 장)에서는 좌표계에 의존하지 않는 기술이 본질적으로 중요해져. 셋째, 장의 이론과 끈이론으로의 확장이 자연스럽다——제 8 장의 장의 양자론에서는 「장의 Lagrangian」에서 출발하고, 제 13 장의 끈이론에서는 「끈의 작용(세계면의 면적)을 최소화한다」는 형태로 그대로 사용돼.
⚪ 메이: 즉, \(F = ma\)는 Newton 역학 전용이지만, 최소 작용의 원리는 물리학 전체에서 사용할 수 있는 범용적인 틀이라는 거네.
대칭성이란 — 「바꿔도 변하지 않는」 것
물리학에서 「대칭성이 있다」란, 어떤 조작을 해도 물리 법칙이 변하지 않는 것을 말한다.
조작 대칭성의 이름 도출되는 보존량 실험하는 장소를 옮긴다 공간 병진의 대칭성 운동량 실험하는 시각을 옮긴다 시간 병진의 대칭성 에너지 실험 장치를 회전시킨다 회전의 대칭성 각운동량 「대칭성이 하나 있을 때마다 보존량이 하나 나온다」——이것이 Noether(뇌터)의 정리(「장의 양자론」편 「장의 양자론」편 제 3 장에서 자세히 다룬다). 대칭성이 많을수록 계의 행동이 제약되어 계산이 쉬워진다.
제 9 장에서는 더 추상적인 대칭성(게이지 대칭성)이 등장한다. 「파동함수의 위상을 바꿔도 물리가 변하지 않는다」는 대칭성에서 전자기력이 자동적으로 도출된다. 지금은 「대칭성＝어떤 조작을 해도 물리가 변하지 않는 것」이라고 기억해 두면 충분하다.
주의: 대칭성은 「자연이 반드시 가져야 하는 것」이 아니다. 「이 대칭성이 있다고 가정하면, 실험과 맞는 결과가 나왔다」는 형태로 검증되는 가설의 일부이다. 실제로 제 9 장에서는 대칭성이 「자발적으로 깨지는」 일도 있다(힉스 메커니즘)——Lagrangian은 대칭성을 가지는데, 실현되는 상태가 그 대칭성을 갖지 않는 미묘한 상황이다. 물리학자는 대칭성이 있는 이론을 「아름답다」고 느끼고 선호하는 경향이 있다. 대칭성이 많을수록 계산이 제약되어 예측력이 늘어나니까. 그러나 「아름다우니까 옳다」고는 할 수 없다——이 점은 제 22 장(끈이론에 대한 비판)에서 다시 묻게 된다.
✅ 이해도 체크: Noether의 정리는 무엇을 주장하고 있을까요? 구체적인 예를 1가지 들어주세요.
답
대칭성이 하나 있을 때마다 보존량이 하나 나온다는 것을 주장한다. 예를 들어, 시간 병진의 대칭성(실험하는 시각을 옮겨도 물리 법칙이 변하지 않는다)에서 에너지 보존이 도출된다.
🟡 리나: 두 정식화의 차이를 표로 정리해 둘게.
표 1.2: Newton의 정식화와 Lagrangian 정식화의 비교
| Newton의 정식화 | Lagrangian 정식화 | |
|---|---|---|
| 기본 방정식 | \(F = ma\) | \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\) |
| 출발점 | 힘(벡터)을 지정 | Lagrangian \(L = T - V\)(스칼라)를 지정 |
| 관점 | 순간마다의 인과 관계 | 경로 전체를 조감 |
| 좌표계 | 직교 좌표가 기본 | 임의의 좌표계에서 같은 형태 |
| 대칭성 → 보존량 | 개별적으로 확인 | Noether의 정리로 자동적 |
| 확장성 | 역학만 | 전자기·장의 이론·끈이론에 공통 |
🔵 카이: 즉, \(F = ma\)로는 Newton 역학에서만 쓸 수 있지만, 최소 작용의 원리라면 다른 분야에서도 그대로 쓸 수 있다는 건가요? 그런데 Lagrangian의 형태가 분야마다 다르다면, 결국 각각 다른 이야기가 되지 않나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 형태는 달라도, 「Lagrangian을 쓰고 작용을 극값으로 만든다 → 운동 방정식이 나온다」는 틀은 모두 공통이야. 물리학의 모든 기본적인 모델은 이 같은 절차로 정식화될 수 있어. 이것이 앞으로 계속 사용할 도구야.
🔵 카이: 아, 내용은 달라도 「레시피의 절차」는 같다는 거군요. 그런데 그 레시피가 옳다는 보장은 어디서 오는 건가요? 우연히 지금까지 잘 맞았을 뿐일 수도 있잖아요?
🟡 리나: 날카롭네. 보장은 없어. 「최소 작용의 원리로 쓸 수 있는 모델이 지금까지 전부 실험과 맞았다」는 경험적 사실이 있을 뿐이야. 만약 맞지 않는 모델이 발견되면, 이 틀 자체를 재검토할 필요가 생겨. 하지만 지금까지는 소립자 물리에서 우주론까지 모든 기본 모델이 이 형태로 쓸 수 있어.
⚪ 메이: 즉, \(F = ma\)는 Newton 역학 전용 언어이지만, 「Lagrangian을 정해 작용을 극값으로 만든다」는 전자기학에서도 장의 양자론에서도 끈이론에서도 사용할 수 있는 공통 언어라는 거네.
🟡 리나: 그리고 중요한 건, Lagrangian 자체가 「가설」이라는 것이야. 물리학자의 일은 「올바른 Lagrangian을 찾는 것」이야. Newton 역학에서는 \(L = T - V\), 전자기학에서는 다른 형태(제 2 장), 끈이론에서는 또 다른 형태(제 13 장)——각 분야에서 Lagrangian의 내용은 다르지만, 「그것을 찾아서 작용을 극값으로 만든다」는 절차가 물리학의 공통 방법론이야.
⚪ 메이: 즉, 프롤로그에서 말했던 「모델은 가설」이라는 건, 구체적으로는 「어떤 Lagrangian을 선택하는지가 가설」이라는 거네.
🔵 카이: ……그러면 실험과 맞지 않으면 Lagrangian을 바꿔 쓰는 건가요?
🟡 리나: 맞아. Newton 역학의 Lagrangian으로는 설명할 수 없는 현상이 발견되면 새로운 Lagrangian을 찾아. 그것이 물리학의 진보 방식이야. 이 장의 마지막에서 볼 「Newton 모델의 한계」는 바로 그런 이야기로 이어지는 거야.
✅ 이해도 체크: Lagrangian \(L\)의 정의와 작용 \(S\)의 정의를 각각 말해 주세요.
답
Lagrangian은 \(L = T - V\)(운동 에너지 빼기 퍼텐셜 에너지). 작용은 \(S = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt\)(Lagrangian을 시간으로 적분한 것). 최소 작용의 원리는 물리적으로 실현되는 경로가 \(S\)를 극값으로 만드는 경로라고 주장한다.
✅ 이해도 체크: 최소 작용의 원리가 \(F = ma\)보다 우수한 이유를 1가지 말해 주세요.
답
(다음 중 아무거나 1가지) (1) 대칭성과 보존량의 관계가 자동적으로 보인다. (2) 좌표계를 가리지 않는다. (3) 장의 이론이나 끈이론으로의 확장이 자연스럽게 된다.
1.8 Newton의 모델이 설명할 수 없는 것 — 복선¶
🟡 리나: 자, Newton의 모델은 경이적으로 성공했어. 행성의 궤도, 조수의 밀물과 썰물, 포탄의 탄도, 해왕성의 위치——모두 하나의 식에서 설명할 수 있어. 하지만, 설명할 수 없는 것이 있어.
🔵 카이: 에, 뭔가요?
🟡 리나: 크게 세 가지야.
제1의 한계：「왜 끌어당기는가」를 설명하지 않는다¶
🟡 리나: \(F = GMm/r^2\)은 「힘의 크기가 어떻게 결정되는가」를 알려주지만, 「왜 질량을 가진 물체가 서로 끌어당기는가」는 일절 설명하지 않아. Newton 자신도 이 점을 인정했고, 「나는 가설을 만들지 않는다(Hypotheses non fingo)」라고 말했어.
⚪ 메이: 즉, Newton의 모델은 Kepler의 법칙의 「왜」에는 답했지만, 만유인력 자체의 「왜」에는 더 깊은 모델이 필요하다는 거네.
제2의 한계：중력은 순시적으로 전파된다¶
🟡 리나: 1.6「중력 퍼텐셜과 Poisson 방정식」에서 확인한 것처럼, Poisson 방정식 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\)에는 시간 미분이 포함되어 있지 않아. 이것은 중력의 변화가 순시적으로 전파된다는 것을 의미해. 구체적으로 말하면, 태양이 갑자기 사라지면 Newton의 모델에서는 지구가 순시적으로 직선 운동을 시작해. 빛조차 태양에서 지구까지 약 8분이 걸리는데.
🔵 카이: 그건 빛보다 빠르게 정보가 전달된다는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 그림 1.11「Newton의 모델(왼쪽)과 특수상대론의 요구(오른쪽)의 대비」에서 두 모델의 차이를 비교해 봐.
그림 1.11: Newton의 모델(왼쪽)과 특수상대론의 요구(오른쪽)의 대비. Newton의 모델에서는 태양이 사라진 순간 지구가 영향을 받지만, 상대론에서는 정보가 광속 \(c\) 이하로만 전파되므로 약 8분의 지연이 있다.
🟡 리나: 「어떤 신호도 광속을 넘어 전파될 수 없다」는 Einstein의 특수상대론(제 5 장)의 원리와, Newton의 중력은 양립할 수 없어.
제3의 한계：수성의 근일점 이동¶
🟡 리나: 수성의 궤도는 타원이지만, 그 타원이 천천히 회전해(근일점이 이동한다). 그림 1.12「수성의 근일점 이동」를 봐. 다른 행성들의 영향을 모두 빼낸 후에 100년당 약 43초각의 「설명할 수 없는」 벗어남이 남아. Newton의 모델로는 이것을 설명할 수 없어.
그림 1.12: 수성의 근일점 이동. 한 바퀴 돌 때마다 타원 궤도가 약간씩 회전하여 근일점의 위치가 어긋난다. Newton의 모델에서는 다른 행성들의 영향을 모두 고려해도 100년당 약 43초각의 초과분을 설명할 수 없다(그림에서는 각도를 대폭 과장).
🔵 카이: 해왕성 때는 「미지의 행성이 있다」로 해결했는데, 이번에는 그걸로 안 됐나요?
⚪ 메이: 즉, Newton의 모델은 「근사」이고, 더 정확한 모델이 필요하다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그 「더 정확한 모델」이 일반상대성이론(제 6 장)이야. 하지만 그건 아직 나중의 이야기. 지금은 Newton의 모델이 얼마나 성공했는지, 어디에 한계가 있는지를 잡아두면 충분해. 그림 1.13「Newton 중력의 성과와 한계」에 이 장의 전체 그림을 정리해 둘게. 수성의 근일점 이동은 제 4 장에서 다시 다룰 거야.
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flowchart TD
N["Newton의 만유인력<br>F = GMm/r²"] --> K["Kepler의 3법칙을 도출"]
N --> C["Newton의 포탄<br>지상과 천상의 통일"]
N --> NP["해왕성의 발견<br>정량적 예측"]
N --> L1["❌ 왜 끌어당기는가?<br>설명 없음"]
N --> L2["❌ 중력이 순시적으로 전파<br>특수상대론과 모순"]
N --> L3["❌ 수성의 근일점 이동<br>43초각/세기"]
L1 --> GR["일반상대성이론<br>(제6장)"]
L2 --> GR
L3 --> GR
style N fill:#2196F3,color:#fff
style GR fill:#FF9800,color:#fff
style L1 fill:#ffcdd2
style L2 fill:#ffcdd2
style L3 fill:#ffcdd2
style K fill:#c8e6c9
style C fill:#c8e6c9
style NP fill:#c8e6c9그림 1.13: Newton 중력의 성과와 한계
✅ 이해도 체크: Newton의 모델이 설명할 수 없는 한계를 2가지 이상 들어주세요.
답
(1)「왜 질량을 가진 물체가 서로 끌어당기는가」를 설명하지 않는다. (2) 중력이 순시적으로 전파되어 광속을 초과하는 정보 전달을 허용해 버린다(특수상대론과 모순). (3) 수성의 근일점 이동(43초각/세기)을 설명할 수 없다.
다음 장 예고¶
제 2 장 ——Newton이 중력으로 「지상과 천상」을 통일한 것처럼, Faraday(패러데이)와 Maxwell은 전기와 자기를 하나의 모델로 통일했다. 그리고 그 모델이 예언한 「광속」이 Newton 중력의 한계를 돌파하는 열쇠가 된다.
참고문헌¶
이 장의 내용은 다음 문헌을 참고하여 구성하였다.
- David Tong, Lectures on General Relativity, Ch.1: "Geodesics in Spacetime" — Newton 역학의 장의 이론으로서의 정식화, 특수상대론과의 모순
- Carlo Rovelli, Reality Is Not What It Seems, Ch.2: "The Classics" — 피타고라스에서 Newton에 이르는 역사적 맥락
- Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.3: "Electromagnetism and gravitation in various dimensions" — 중력의 차원 의존성
- David Tong, Lectures on General Relativity, Ch.2: "Introducing Differential Geometry" — 최소 작용의 원리, Lagrangian의 도입, 연습문제의 소재
- David Tong, Lectures on Quantum Field Theory, Ch.2: "Free Fields" — Noether의 정리, 대칭성과 보존량의 관계
- Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Ch.8: "World-sheet currents" — 대칭성에서 보존량을 도출하는 구체적인 계산
- 須藤靖『解析力学・量子論』Ch.4 — 최소 작용의 원리의 공리적 도입, Lagrangian이 \(T - V\)에 한정되지 않는다는 설명
- 清水明『新版 量子論の基礎』Ch.4, Ch.7 — 유한 자유도계와 장의 Lagrangian, 최소 작용의 원리
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