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제 6 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. Einstein 방정식의 우변과 좌변

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(a) 물리적 의미

  • 좌변 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\): 시공간의 휘어진 정도를 나타내는 기하학적 양. Bianchi 항등식에 의해 \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)을 자동으로 만족해요.
  • 우변 \(T_{\mu\nu}\): 해당 위치의 에너지 밀도·운동량 밀도·응력(압력·전단응력)을 모아놓은 텐서. 보존법칙 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\)은 물질의 에너지·운동량 보존을 나타내요.

한마디로: 좌변이 「시공간의 기하」, 우변이 「물질·에너지」예요. Wheeler의 말로는 "시공간은 물질에게 어떻게 움직일지를 알려주고, 물질은 시공간에게 어떻게 휠지를 알려준다"고 해요.

(b) 진공에서의 \(R_{\mu\nu} = 0\)

계산: 아인슈타인 방정식의 양변에 \(g^{\mu\nu}\)를 축약해요:

\[ g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \]

\(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R\), \(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = 4\)(4차원의 트레이스), \(g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = T\)를 사용하면:

\[ R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T \quad \Longrightarrow \quad R = -\frac{8\pi G}{c^4}T \]

진공 \(T_{\mu\nu} = 0\)이면 \(T = 0\)이고 \(R = 0\)이에요. 원래의 아인슈타인 방정식에 대입하면:

\[ R_{\mu\nu} - 0 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{R_{\mu\nu} = 0} \]

(c) 슈바르츠실트 계량의 물리적 의미

슈바르츠실트 계량은 \(R_{\mu\nu} = 0\)의 해——별 외부의 진공 영역에서의 시공간 구조를 기술하고 있어요. 별 자체(\(r < R_{\text{별}}\))에서는 \(T_{\mu\nu} \neq 0\)이므로 별도의 내부 해가 필요해요(슈바르츠실트는 구대칭인 경우 유일성이 있으며, 이것이 Birkhoff의 정리예요).

응용: 태양계의 행성 운동은 태양 외부이므로 슈바르츠실트로 기술할 수 있어요. 수성의 근일점 이동·빛의 편향·GPS의 시간 보정 모두가 이 진공 해로부터 나와요.

Medium（표준）

M-1. 편리한 작용과 구속 조건

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(a) Euler-Lagrange 방정식

풀이 방침: 라그랑지안 \(\mathcal{L} = g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu / 2\) 를 \(x^\sigma\) 로 변분해요.

계산:

\(\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma\) 로부터:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}^\sigma} = \frac{1}{2}\left(g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu + g_{\mu\sigma}\dot{x}^\mu\right) = g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu \]

(\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\) 와 더미 첨자의 재명명을 사용했어요.)

시간 미분:

\[ \frac{d}{d\tau}\left(g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu\right) = \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\,\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu + g_{\sigma\nu}\ddot{x}^\nu \]

\(\partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma\) 로부터:

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^\sigma} = \frac{1}{2}\partial_\sigma g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu \]

Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{d\tau}\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma - \partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma = 0\) 에 대입:

\[ g_{\sigma\nu}\ddot{x}^\nu + \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\,\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu - \frac{1}{2}\partial_\sigma g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 0 \]

가운데 항에서 \(\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu\) 의 대칭성으로부터 \(\alpha \leftrightarrow \nu\) 를 대칭화:

\[ \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu = \frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\alpha}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu \]

이를 대입하여 (\(\mu, \nu\) → \(\alpha, \beta\) 로 정리):

\[ g_{\sigma\beta}\ddot{x}^\beta + \frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0 \]

(b) 측지선 방정식으로의 변형

계산: 양변에 역계량 \(g^{\mu\sigma}\) 를 곱하고, \(g^{\mu\sigma}g_{\sigma\beta} = \delta^\mu{}_\beta\) 를 사용해요:

\[ \ddot{x}^\mu + \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0 \]

크리스토펠 기호를

\[ \boxed{\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)} \]

로 정의하면, 구하려는 측지선 방정식

\[ \boxed{\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0} \]

을 얻을 수 있어요.

(c) 구속 조건의 보존

논증: \(Q(\tau) \equiv g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) 를 \(\tau\) 로 미분해요:

\[ \frac{dQ}{d\tau} = \partial_\alpha g_{\mu\nu}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu + 2g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu\dot{x}^\nu \]

측지선 방정식 \(\ddot{x}^\mu = -\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta\) 를 대입하고, 크리스토펠 기호의 정의를 되돌려 계산을 정리하면 \(dQ/d\tau = 0\) 임을 보일 수 있어요 (\(g_{\mu\nu}\) 의 공변 미분이 0인 것과 동치).

따라서 초기 조건에서 \(Q(0) = -c^2\) 를 부과하면, \(\tau\) 의 모든 값에서 \(Q(\tau) = -c^2\) 가 유지돼요——구속 조건은 자동으로 보존돼요. 이것이 "\(\tau\) 를 고유 시간으로 선택할 수 있다"는 주장의 수학적 내용이에요.

검산: 평탄한 시공간 \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\) 에서는 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0\) 이고 \(\ddot{x}^\mu = 0\) 이에요. 등속 직선 운동이에요. \(\eta_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) 는 4원 속도의 규격화 조건 그 자체예요. ✓

M-2. 편리한 작용에서 끈의 작용으로

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(a) 기호의 대응

입자 (세계선, 1차원) 끈 (세계면, 2차원)
매개변수 \(\tau\) 매개변수 \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\)（\(a = 0, 1\)）
세계선 \(x^\mu(\tau)\) 세계면 \(X^\mu(\tau, \sigma)\)
미분 \(\dot{x}^\mu = dx^\mu/d\tau\) 편미분 \(\partial_a X^\mu\)
작용 = 세계선의 길이 \(\int d\tau\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}\) 작용 = 세계면의 넓이 \(\int d^2\sigma\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu)}\)
편리한 작용 \(\frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) Polyakov 작용 \(-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu\)
구속: \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) 구속: \(T_{ab} = 0\)（Virasoro 구속, 제 14 장）

(b) 끈 이론에서의 구속 조건

풀이 방침: Polyakov 작용 \(S_{\text{P}}\)를 보조 계량 \(h^{ab}\)로 변분해요.

계산: \(h^{ab}\)는 Polyakov 작용 안에서 운동 방정식을 갖지 않는 보조장(Lagrange 승수의 역할)이에요. \(S_{\text{P}}\)를 \(h^{ab}\)로 변분하면,

\[ T_{ab} \equiv \partial_a X^\mu\,\partial_b X_\mu - \frac{1}{2}h_{ab}\,h^{cd}\partial_c X^\mu\,\partial_d X_\mu = 0 \]

이라는 조건이 나와요. 이것이 고전 끈의 구속 조건이며, 양자화하면 Virasoro 구속이 돼요.

입자의 경우 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\)는 단일한 구속이고, 끈의 경우는 세계면 위의 각 점에서 \(T_{ab} = 0\)이라는 3개의 독립 성분의 구속(\(T_{00}, T_{01}, T_{11}\) 중 대칭성과 조건으로 독립인 것은 2개)을 부과해요.

검산: 입자(1차원)에서는 구속이 1개 조건, 끈(2차원)에서는 구속이 증가해요—차원이 올라가면 구속이 늘어나는 것은 자연스러워요. ✓

(c) 3가지 공통 구조

  1. 계량 \(g_{\mu\nu}(X)\)의 역할: 점입자에서도 끈에서도, \(g_{\mu\nu}\)는 "외부에서 주어진 배경 시공간"으로서 같은 역할을 해요(끈이 움직이는 표적 공간의 계량).
  2. 매개변수화 불변성: 세계선의 \(\tau\)도 세계면의 \(\sigma^a\)도, 매개변수의 재설정(세계선의 재매개변수화 / 세계면의 미분동형사상)에 대해 작용은 불변이에요. 이것이 물리적 자유도와 게이지 자유도의 분리를 가능하게 해요.
  3. 제곱근의 제거: 둘 다 보조장(구속 조건 / \(h_{ab}\))을 도입함으로써 제곱근을 없애고, 계산·양자화를 가능하게 해요.

M-3. 약한 중력장에서의 시계 지연

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(a) 근사의 유도

\(|\Phi|/c^2 \ll 1\) 에서 \(\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \approx 1 + \Phi/c^2\) (\(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\))이에요. 따라서:

\[ \boxed{\frac{d\tau}{dt} \approx 1 + \frac{\Phi}{c^2}} \]

중력 퍼텐셜이 낮은 곳(\(|\Phi|\) 큼, \(\Phi < 0\))에서는 \(d\tau/dt < 1\)——시계가 느리게 가요. 높은 곳(\(\Phi\) 큼, 즉 \(|\Phi|\) 작음)에서는 상대적으로 빠르게 가요.

(b) GPS 위성과 지표면의 시계

지표면: \(r_{\text{지}} = R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m

\(\Phi_{\text{지}} = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus} = -\frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{6.37 \times 10^6} \approx -6.25 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

위성 (고도 \(h = 20000\) km \(= 2.0 \times 10^7\) m): \(r_{\text{위}} = R_\oplus + h \approx 2.637 \times 10^7\) m

\(\Phi_{\text{위}} = -\frac{GM_\oplus}{r_{\text{위}}} \approx -1.51 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

퍼텐셜 차이:

\(\Delta\Phi = \Phi_{\text{위}} - \Phi_{\text{지}} \approx -1.51 \times 10^7 - (-6.25 \times 10^7) = +4.74 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

고유시간의 비:

\[ \frac{d\tau_{\text{위}}}{d\tau_{\text{지}}} - 1 \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{4.74 \times 10^7}{8.99 \times 10^{16}} \approx 5.28 \times 10^{-10} \]

위성의 시계는 지표면의 시계보다 1초당 약 5.3 × 10⁻¹⁰초 빠르게 가요.

하루당 어긋남:

\(5.28 \times 10^{-10} \times 86400 \approx 4.6 \times 10^{-5}\ \mathrm{s} = 46\ \mu\mathrm{s}\)

\[ \boxed{\text{하루당 약 46 마이크로초의 어긋남}} \]

참고: 이것은 일반상대론 효과만 고려한 것이에요. GPS 위성은 고속으로 이동하고 있으므로, 특수상대론 효과(\(v \approx 3.87\) km/s에 의한 시간 지연, 하루당 약 \(-7\) μs)도 있어서, 전체적으로는 +38 μs/일 정도예요.

(c) 위치 정밀도에 대한 영향

1 마이크로초의 어긋남으로 빛이 진행하는 거리:

\(c \cdot 10^{-6}\ \mathrm{s} = 3 \times 10^8 \times 10^{-6} = 300\ \mathrm{m}\)

GPS 측위는 위성으로부터의 신호 전달 시간의 정밀 측정에 기반하므로, 시계의 어긋남이 그대로 거리 오차가 돼요. (b)의 46 μs/일 ≈ 14 km/일의 오차가 발생해요——보정 없이는 하루에 10 km 이상의 어긋남이 생겨요.

물리적 의의: 일반상대론은 일상 기술(스마트폰 GPS, 내비게이션, 측량, 항공 관제)에 필수적이에요. 보정 알고리즘에는 \(d\tau/dt = 1 + \Phi/c^2\) 가 직접 포함되어 있어요.

검산: 지구의 \(GM/R \sim c^2 \cdot 10^{-9}\) 으로 중력 퍼텐셜은 광속의 제곱보다 9자릿수 작아요. 약한 장 근사가 타당해요. ✓

Advanced（발전）

A-1. 특이점과 양자중력의 필요성

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(a) 양자중력이 작용하는 스케일

계산: \(K = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\) 를 \(r\)에 대해 풀어요:

\[ r^6 \sim 48 G^2 M^2 \ell_P^4/c^4 \]

\(r\)의 6제곱근을 취해요. 태양 질량 \(M = M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg으로 수치를 대입하면:

\(G M_\odot / c^2 \approx 1477\) m (Schwarzschild 반지름의 절반에 해당)

\(48 \cdot (G M_\odot)^2 / c^4 \approx 48 \cdot 1477^2 \approx 1.05 \times 10^8\ \mathrm{m^2}\)

\(\ell_P^4 \approx (1.6 \times 10^{-35})^4 \approx 6.6 \times 10^{-140}\ \mathrm{m^4}\)

\(r^6 \sim 1.05 \times 10^8 \times 6.6 \times 10^{-140} \approx 6.9 \times 10^{-132}\ \mathrm{m^6}\)

\[ r \sim (6.9 \times 10^{-132})^{1/6} \approx 10^{-22}\ \mathrm{m} \]

(b) Schwarzschild 반지름과의 비교

태양 질량 블랙홀의 Schwarzschild 반지름 \(r_s = 2GM_\odot/c^2 \approx 3\) km \(= 3 \times 10^3\) m이에요.

(a)에서 구한 \(r \sim 10^{-22}\) m은, \(r_s\)에 대해 \(10^{-22}/(3 \times 10^3) \sim 3 \times 10^{-26}\)의 비율——Schwarzschild 반지름 내부의 극히 깊은 영역에서만 양자중력이 작용해요. 사건의 지평면에서 중심까지, 대부분의 영역에서는 고전 일반상대론으로 충분한 정밀도로 기술할 수 있어요.

다만: 양자중력이 필요한 영역의 크기 자체는 \(10^{-22}\) m으로, Planck 길이 \(\ell_P \sim 10^{-35}\) m보다는 훨씬 커요. 여기는 "중력의 양자 효과를 무시할 수 없게 되기 시작하는 경계"이고, 진정한 Planck 스케일까지 가면 양자중력의 전모가 더욱 본격적으로 문제가 돼요.

(c) 반증 가능성과의 관계

일반상대론은 스스로의 적용 한계(특이점)를 내부에서 예언해요. 이것은:

  1. 모델은 완벽하지 않아요: 무한대가 나타나는 것은 현재 모델의 파탄을 의미해요. "법칙"이 아니라 "가설"이라는 것의 명확한 증거예요.
  2. 더 나은 모델이 필요해요: 양자중력 이론(끈 이론, 루프 양자중력 등)의 탐구가 물리학의 최첨단 과제인 이유예요.
  3. 반증 가능성의 진수: 일반상대론이 "어디서 파탄하는지"까지 명시적으로 보여줌으로써, 다음 모델이 무엇을 만족해야 하는지가 구체화돼요 (예: Planck 스케일에서 특이점이 해소된다, 블랙홀 정보 역설이 풀린다 등).

프롤로그에서 강조한 "모델은 가설"이라는 관점의 구체적인 예가 바로 여기에 있어요.