프롤로그 — 이 여행에 오신 것을 환영합니다¶
양자역학 수업 풍경과 장의 목표.
시작하기 전에
아직 읽지 않았다면, 시작하며 — 4개의 여행을 떠나기 전에를 먼저 읽어주세요. 이 사이트 전체의 과학철학적 입장(모델은 가설이다 / 수식은 반증 가능성을 위한 도구)과, 4개의 여행 지도를 공유할 수 있어요.
이 프롤로그의 목표
이제 시작되는 전 28장의 여행에 대한 동기와 전체 지도를 손에 넣는다.
- 양자역학의 넓이를 조감한다 — 원자 스펙트럼·레이저·반도체·양자컴퓨터까지, 양자역학이 기술하는 현상의 폭을 한눈에 본다
- 핵심을 맛본다 — 여행의 중심 명제 「세계는 복소 확률진폭의 중첩으로 이루어져 있다」를 미리 맛본다
- Einstein의 이야기를 예고한다 — 양자론의 창시자이면서 최대의 비판자가 된 극적인 궤적을 예감한다
- 여행 전체의 전망을 얻는다 — 7개의 Part와 28장의 지도를 손에 두고, 앞으로 따라갈 수식의 위치를 확인한다
양자역학이라는 모델이, 원자에서 레이저, 반도체, 양자컴퓨터에 이르기까지 얼마나 넓은 현상을 기술하는지 둘러본다. 그리고 Einstein (아인슈타인)이 양자론의 「창시자 중 한 명」이면서도, 나중에 그 가장 날카로운 비판자가 되었다는 극적인 이야기를 예고한다. 수식은 최소한으로 줄이고, 제 1 장 이후에서 본격적인 논의를 시작한다.
왜 양자역학을 배우는가¶
🔵 카이: 애초에, 왜 양자역학을 배우는 건가요? 고등학교 물리로 충분하지 않나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 그럼 반대로 물어볼게, 카이는 오늘 아침에 스마트폰 썼어?
🔵 카이: 물론 썼죠……
🟡 리나: 스마트폰의 심장부는 반도체 칩이야. 반도체의 동작 원리는, 양자역학 없이는 한 줄도 설명할 수 없어. 고등학교 물리의 Newton 역학과 Maxwell 전자기학만으로는, 반도체가 왜 전기를 통하기도 하고 통하지 않기도 하는지 전혀 알 수 없거든.
⚪ 메이: 그러면, 양자역학이 없었다면 반도체도 존재하지 않고, 컴퓨터도 스마트폰도 없다는 거야?
🟡 리나: 맞아. 하지만 반도체는 아주 작은 한 가지 예에 불과해. 양자역학이 관여하는 현상과 기술을 대략 나열해볼게.
양자역학이 떠받치는 세계¶
🟡 리나: 양자역학이 기술하는 현상은, 원자 하나의 스케일에서 우주 전체에까지 미쳐. 먼저 가까운 것부터 살펴보자.
1. 원자 스펙트럼 — 물질의 「지문」¶
🟡 리나: 물질을 고온으로 가열하거나, 전기를 통하면, 특정한 색의 빛만이 방출돼. 나트륨의 불꽃은 선명한 노란색, 네온사인은 빨간색이나 주황색이지. 이렇게 방출된 빛을 파장(색)별로 분해한 분포를 스펙트럼이라고 불러. 백열전구의 빛을 분해하면 무지개처럼 연속적인 색이 보이는 반면, 원자에서 나오는 빛은 특정 파장의 가는 선(휘선)만 나타나——이것이 원자 스펙트럼(선 스펙트럼)의 정체야.
🔵 카이: 불꽃놀이의 색도 그런 건가요?
🟡 리나: 정확히 그래. 불꽃놀이에 스트론튬을 넣으면 빨간색, 바륨이면 초록색, 구리면 파란색. 원소마다 고유한 색——고유한 진동수의 빛——이 나와. 이건 물질의 「지문」 같은 것이어서, 태양 빛을 분석하면 태양에 어떤 원소가 포함되어 있는지 지구에서 알 수 있어. 헬륨(Helium)이라는 원소는, 태양의 스펙트럼 속에서 미지의 휘선이 발견된 것으로부터 발견됐어. 이름도 그리스어의 「헬리오스(태양)」에서 유래한 거야.
⚪ 메이: 그런데 왜 특정한 색만 나오는 거야? 연속적으로 모든 색이 나와도 될 것 같은데.
🟡 리나: 바로 그것이 19세기 말의 큰 문제였어. 답을 내려면 양자역학이 필요해. 제 1 장과 제 16 장에서 자세히 다루겠지만, 결론만 먼저 말하면, 원자 속의 전자가 취할 수 있는 에너지가 띄엄띄엄(이산적)이기 때문에, 방출되는 빛의 에너지도 띄엄띄엄이 돼. 띄엄띄엄의 에너지는 띄엄띄엄의 진동수에 대응하고, 띄엄띄엄의 진동수는 띄엄띄엄의 색에 대응해. 그래서 특정한 색만 나오는 거야.
🔵 카이: 에너지가 띄엄띄엄……. 계단 같은 건가요?
🟡 리나: 좋은 비유야. 멀리서 보면 매끄러운 경사면처럼 보이지만, 가까이 다가가면 한 단 한 단의 단차가 있어. 원자의 에너지는 「경사면」이 아니라 「계단」인 거야. 그림 0.1「에너지의 연속과 이산」를 봐——왼쪽이 고전적인 「경사면」, 오른쪽이 양자적인 「계단」이야. 다만 주의해줘——이 「계단」의 단차는 반드시 등간격은 아니야. 원자의 종류나 에너지의 높이에 따라 단차의 폭이 달라져.
⚪ 메이: 등간격이 아니구나. 원소마다 「지문」이 다른 건, 단차의 패턴이 다르기 때문이라는 거네.
🟡 리나: 정확해. 이 「계단」의 정체를 수식으로 추적하는 것이, 이 여행의 큰 테마 중 하나야.
그림 0.1: 에너지의 연속과 이산. 고전물리학에서는 에너지가 연속적으로 변화한다(왼쪽, 경사면). 양자론에서는 에너지가 띄엄띄엄의 값만 취할 수 있다(오른쪽, 계단). Planck가 흑체복사를 설명할 때 도입한 진동자의 에너지는 \(h\nu\)(\(h\): Planck 상수, \(\nu\): 진동수)의 정수배였지만, 일반적인 원자의 에너지 준위 간격은 등간격이라고는 할 수 없다.
2. 화학결합 — 왜 원자는 붙는가¶
🟡 리나: 물 분자 H₂O는, 수소 원자 2개와 산소 원자 1개가 붙어서 만들어져. 그런데 「왜 붙는지」를 Newton 역학으로 설명하려 해도, 잘 안 돼.
⚪ 메이: 전기적인 인력 아닌가? 플러스와 마이너스가 끌어당긴다든지.
🟡 리나: 그것만으로는 불충분해. 원자끼리 어떤 방향으로, 어느 정도의 거리에서 붙는지, 왜 수소는 2개로 안정한 분자 H₂를 만드는데 헬륨은 He₂를 만들지 않는지——이런 질문에 답하려면, 전자의 파동함수가 겹치는 방식을 계산해야 해. 파동함수란, 대략적으로 말하면 「전자가 어디에 어느 정도의 확률로 발견되는지를 알려주는 수학적 함수」야. 다만, 이 「대략적으로」라는 부분에는 좀 더 정밀한 이야기가 있어서, 그건 나중에 수정할게. 정식 정의는 제 7 장에서 할 테니까, 지금은 이 대략적인 이해로 앞으로 나아가자. 화학의 근저에는 양자역학이 있어.
🔵 카이: 화학까지 양자역학이라니! 그런데 고등학교 화학에서는 「공유결합은 전자를 공유한다」라고 배웠는데, 그것만으로는 안 되나요?
🟡 리나: 「전자를 공유한다」는 말은 맞지만, 왜 공유하면 안정해지는지, 왜 특정 방향으로 결합하는지는, 전자의 파동함수를 계산하지 않으면 알 수 없어. Dirac(디랙)이라는 물리학자는 1929년에 이렇게 썼어. 「물리학의 대부분과 화학 전체의 기초가 되는 물리 법칙은, 원리적으로는 모두 알려졌다」라고. 물론 실제로 계산하는 건 엄청나게 어렵지만, 기본 원리는 양자역학으로 주어져 있어.
🔵 카이: 「모두 알려졌다」니, 대단한 자신감이네요…… 정말 그런 건가요?
🟡 리나: 원리적으로는, 그래. 다만 「원리적으로 알고 있다」는 것과 「실제로 계산할 수 있다」는 건 별개의 문제야. 예를 들어 단백질은 수천 개의 원자로 이루어져 있어서, 그 접힘 방식을 양자역학의 방정식에서 직접 예측하는 건, 관여하는 전자의 수가 너무 많아서 현재의 슈퍼컴퓨터로도 어려워. 하지만 기본 법칙 자체는 양자역학으로 주어져 있다——Dirac은 그렇게 주장한 거야.
3. 반도체와 트랜지스터 — 현대 문명의 기반¶
🟡 리나: 아까 이야기한 스마트폰의 반도체 칩. 실리콘이라는 원소의 결정에, 미량의 불순물을 섞음으로써, 전기의 흐름을 정밀하게 제어할 수 있어. 이 「왜 불순물을 섞으면 전기적 성질이 변하는지」는, 양자역학의 밴드 이론으로 설명돼.
⚪ 메이: 트랜지스터도?
🟡 리나: 트랜지스터는 1947년에 Bell(벨) 연구소에서 발명됐지만, 그 동작 원리는 양자역학 그 자체야. 지금은 하나의 칩에 수백억 개의 트랜지스터가 들어가 있어. 양자역학 없이는, 현대의 컴퓨터도 인터넷도 존재하지 않아.
4. 레이저 — 빛을 정렬하다¶
🟡 리나: 레이저 포인터의 빛은, 왜 그렇게 곧고, 색이 균일한지 알아?
🔵 카이: 보통 빛과 뭐가 다른 건가요?
🟡 리나: 보통 빛——예를 들어 전구의 빛——은, 다양한 진동수의 빛이 제각각 방향으로 제각각 타이밍에 나와. 레이저는, 모든 광자가 같은 진동수·같은 방향·같은 타이밍(위상)으로 맞춰서 나와. 「위상」이란 파동의 마루와 골의 타이밍을 말하는 건데, 이 뒤에 좀 더 자세히 설명할게. 이 「정렬하는」 메커니즘의 열쇠가, Einstein이 1917년에 예언한 유도방출(stimulated emission)이라는 양자역학적 현상이야.
⚪ 메이: Einstein이 레이저의 원리를 예언했었구나.
🟡 리나: 그래. 레이저가 실제로 만들어진 건 1960년이니까, 예언에서 실현까지 40년 이상 걸렸어. 제 21 장에서 유도방출의 정량적 다룸——Einstein의 A·B 계수——을 배울 거야.
5. 초전도와 초유동 — 저항 제로의 세계¶
🟡 리나: 어떤 종류의 물질을 극저온으로 냉각하면, 전기저항이 완전히 제로가 돼. 이것이 초전도(superconductivity)야. MRI(자기공명영상법)의 강력한 자석이나, 자기부상열차의 부상에 사용되고 있어. 이 현상도, 양자역학 없이는 이해할 수 없어.
🔵 카이: 전기저항이 제로! 전기요금이 공짜가 되는……?
🟡 리나: 냉각하는 데 에너지가 드니까, 그렇게 단순하진 않지만. 하지만 초전도는, 양자역학적 효과가 거시적 스케일에서 나타나는 극적인 예야. 대략적으로 말하면, 전자가 쌍을 이루어 집단적으로 하나의 양자 상태에 「응축」되어, 산란되지 않게 돼. 자세한 건 제 18 장에서 동종입자의 통계를 배운 뒤에 전망이 서게 될 거야.
6. 양자 얽힘과 양자계산 — 21세기의 프런티어¶
🟡 리나: 그리고 마지막으로, 지금 바로 최전선에서 연구가 진행되고 있는 분야. 양자 얽힘(quantum entanglement)과 양자계산(quantum computation).
🔵 카이: 양자컴퓨터는 뉴스에서 자주 들어요.
🟡 리나: 양자 얽힘이란, 두 입자가 떨어져 있어도, 한쪽을 측정하면 다른 쪽의 상태가 즉시 결정되는, 고전물리학으로는 설명할 수 없는 상관관계를 말해. Einstein은 이것을 「기괴한 원격 작용(spooky action at a distance)」이라고 부르며 싫어했어. 하지만 실험은 이 「기괴한 상관」이 실재함을 보여주고 있어. 제 23 장과 제 24 장에서 자세히 다룰게.
🔵 카이: 그런데 그게, 한쪽을 측정하는 순간에 다른 쪽이 결정된다면, 빛보다 빠르게 정보를 보낼 수 있는 거 아닌가요? 상대론에 모순되지 않나요?
🟡 리나: 날카로운 질문이야. 결론만 말하면, 양자 얽힘으로는 정보가 광속을 넘어서 전달되지 않아. 「상관은 있지만 통신은 할 수 없다」——이 미묘한 구별은 제 24 장에서 정량적으로 확인할 거야. 어쨌든, SF가 아니라 실험으로 검증된 사실이야. 그리고 이 양자 얽힘을 계산 자원으로 활용하는 것이 양자컴퓨터야. 기존의 컴퓨터로는 몇만 년이 걸리는 계산을, 양자컴퓨터라면 짧은 시간에 할 수 있는 가능성이 있어.
🟡 리나: 여기까지의 이야기를 정리하면, 양자역학이 관여하는 현상과 기술은 이렇게 돼. 표 0.1「양자역학이 관여하는 현상·기술과 본서에서의 다룸」를 봐.
표 0.1: 양자역학이 관여하는 현상·기술과 본서에서의 다룸
| 현상·기술 | 양자역학의 관여 | 본서에서의 다룸 |
|---|---|---|
| 원자 스펙트럼 | 에너지의 이산성 | 제 1 장, 제 16 장 |
| 화학결합 | 파동함수의 겹침 | 제 7 장(파동함수의 도입), 제 18 장(Pauli 원리와 전자배치가 기초) |
| 반도체·트랜지스터 | 밴드 이론 | 제 9 장(기초) |
| 레이저 | 유도방출 | 제 6 장(메이저), 제 21 장(A·B 계수) |
| 초전도·초유동 | 거시적 양자효과 | 제 18 장(동종입자의 통계가 기초) |
| MRI | 핵스핀의 공명 | 제 6 장, 제 17 장 |
| 양자 얽힘 | 비국소적 상관 | 제 23 장, 제 24 장 |
| 양자컴퓨터 | 중첩·얽힘 | 제 24 장 |
🔵 카이: 이렇게 넓은 건가요……. 원자 하나부터 컴퓨터까지.
🟡 리나: 그래서 양자역학은 「20세기에서 가장 성공한 모델」이라고 불리는 거야. 100년 이상에 걸쳐, 그 적용 범위 안에서——즉 중력을 무시할 수 있는 상황에서——예언이 실험과 어긋난 사례는 단 하나도 없어. 놀라운 정밀도로 자연을 기술하고 있어.
⚪ 메이: 그래도 「가설」인 거죠.
🟡 리나: 맞아. 아무리 성공해도 가설이야. 실험으로 반증되면, 더 나은 모델로 대체돼. 실제로, 양자역학과 일반상대성이론——중력의 모델——은 서로 모순되어서, 극단적인 조건(블랙홀 중심이나 우주의 시작 등)에서는 둘 다 동시에 적용할 수 없어. 둘을 통합하는 「양자중력」의 모델은 아직 발견되지 않았어. 제 28 장에서 그 이야기를 할 거야.
✅ 이해도 체크: 원자 스펙트럼이 「특정한 색만」을 보이는 이유를, 양자역학의 관점에서 간결하게 설명해보세요.
답
원자 속의 전자가 취할 수 있는 에너지가 띄엄띄엄(이산적)이므로, 전자가 에너지 준위 사이를 전이할 때 방출되는 빛의 에너지도 띄엄띄엄이 된다. 에너지가 띄엄띄엄이라는 것은 진동수(색)도 띄엄띄엄이라는 뜻이며, 결과적으로 특정한 색의 빛만 방출된다.
✅ 이해도 체크: 양자역학이 관여하는 기술을 3가지 들고, 각각 양자역학의 어떤 성질이 관계하는지 간결하게 서술하세요.
답
예: (1) 반도체(전자의 파동적 성질과 밴드 구조), (2) 레이저(유도방출——광자가 같은 상태에 정렬되는 양자역학적 과정), (3) MRI(핵스핀의 양자역학적 공명 현상). 그 외에도 원자 스펙트럼(에너지의 이산성), 양자컴퓨터(중첩과 양자 얽힘) 등.
양자역학의 핵심 — 세계는 복소 확률진폭으로 이루어져 있다¶
🟡 리나: 자, 양자역학이 얼마나 넓은 현상을 다루는지는 알았지. 그러면, 그 핵심은 무엇인가. 한마디로 말하면 이거야.
세계는 복소 확률진폭의 중첩으로 이루어져 있다.
🔵 카이: ……전혀 모르겠어요. 「복소」도 「진폭」도 감이 안 와요.
🟡 리나: 괜찮아, 지금은 「맛보기」만. 「복소수」는 고등학교에서 배우는 \(i = \sqrt{-1}\)을 사용하는 수이고, 「진폭」은 파동의 높이 같은 것——다만 「확률진폭」은 물리적 파동의 높이가 아니라, 확률을 계산하기 위한 수학적 양이야. 여행 도중에 하나씩 정확한 의미를 알게 될 거야. 하지만, 출발 전에 지도 위에서 목적지를 확인해두는 건 중요하잖아?
🔵 카이: 뭐, 목적지만 봐두자는 거죠. 알겠어요.
🟡 리나: 먼저, 고등학교 물리의 세계를 떠올려봐. 공을 던지면, 공의 위치는 시각의 함수 \(x(t)\)로 정해져. 초기 조건——던진 위치와 속도——을 알면, 미래의 궤도는 완전히 예측할 수 있어. 이것이 고전역학의 세계관——결정론적 세계관이야.
⚪ 메이: 초기 조건만 정해지면 미래가 하나로 정해진다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그런데 원자 스케일에서는, 이 세계관이 근본적으로 무너져. 전자가 어디에 있는지는, 측정하기 전에는 「정해져 있지 않아」. 정해져 있는 건, 측정했을 때 각 위치에서 전자가 발견될 확률뿐이야.
🔵 카이: 확률……. 주사위 같은 건가요?
🟡 리나: 주사위와는 결정적으로 다른 점이 있어. 주사위의 경우, 각 눈이 나올 확률은 \(1/6\)이고, 확률을 더하면 전체 확률이 나와. 하지만 양자역학에서는, 확률 자체를 더하는 게 아니라, 확률진폭이라는 복소수를 더한 다음, 그 절댓값의 제곱을 취해서 확률을 구해.
🟡 리나: Feynman(파인만)이라는 물리학자가, 이것을 가장 선명하게 이야기하고 있어. 총알과 파동과 전자의 실험을 비교하는 거야. 제 3 장에서 이중슬릿 실험을 자세히 다루겠지만, 여기서는 에센스만.
총알의 경우 — 확률의 덧셈¶
🟡 리나: 기관총에서 총알을 쏘아서, 2개의 구멍이 있는 벽 너머의 스크린에 맞히는 실험을 상상해봐. 구멍 1만 열었을 때 스크린의 위치 \(x\) 부근에 총알이 도달할 확률을 \(P_1(x)\), 구멍 2만 열었을 때의 확률을 \(P_2(x)\)라고 하자.
🔵 카이: \(P_1(x)\)의 \(x\)는, 스크린 위의 위치라는 뜻인가요?
🟡 리나: 맞아. 엄밀히는 「확률밀도」라고 불러야 하는 양이야——「위치 \(x\)의 아주 가까운 좁은 폭 \(\Delta x\)에 도달할 확률이, 대략 \(P(x) \times \Delta x\)가 된다」는 뜻이야. 하지만 지금은 단순히 「위치 \(x\)에 도달하기 쉬운 정도」라고 생각해주면 돼. 정식 정의는 제 7 장에서 할게.
🔵 카이: 「확률밀도」는 「확률」과 다른 건가요?
🟡 리나: 연속적인 양(위치 등)에서는, 취할 수 있는 값이 무한하니까, 어떤 하나의 값에 딱 맞는 확률은 0이 되어버려——다트 과녁에서 「수학적으로 정확히 이 한 점」에 맞을 확률이 0인 것과 같은 감각이야. 과녁의 면적은 유한한데, 점의 면적은 0이니까, 한 점에 맞을 확률도 0이야. 하지만 「이 근처」——예를 들어 과녁 중심에서 반경 1 cm 이내——라는 작은 영역에는 유한한 확률이 있어. 그래서 「폭 \(\Delta x\)의 작은 구간에 도달할 확률」을 생각하고, 그것을 \(\Delta x\)로 나눈 것이 확률밀도야. 지금은 깊이 들어가지 않아도 돼——「도달하기 쉬운 정도의 농도」 정도의 이미지로 OK야.
🔵 카이: 음, 「한 점의 확률이 0」이라니 좀 이상하긴 한데……. 「좁은 폭에 도달할 확률을 폭으로 나눈 것」이 확률밀도라는 거죠. 일단 그걸로 진행할게요. 그러면 본론으로 돌아가서——양쪽 구멍을 다 열면, 총알은 반드시 둘 중 하나의 구멍을 통과하니까, 양쪽의 확률을 더하면 되지 않나요?
🟡 리나: 맞아. 총알은 반드시 어느 한쪽의 구멍을 통과하니까,
이것이 고전적인 입자의 행동이야. 직관 그대로지. 그림 0.2「총알의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 기관총 S에서 발사된 총알이 구멍 1·구멍 2를 통과하여 스크린에 맞는다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12} = P_1 + P_2\)」를 봐——기관총 S에서 총알이 나와서, 벽의 구멍 1·구멍 2를 통과하고, 스크린에 맞는 모습이 그려져 있어.
🔵 카이: 그림을 보니 확실히 \(P_{12} = P_1 + P_2\)네요. 그런데 이건, 총알이 「반드시 한쪽만 통과한다」는 전제가 있으니까 성립하는 거죠? 만약 총알이 양쪽 구멍을 동시에 통과할 수 있다면, 이야기가 달라지나요?
🟡 리나: 바로 그 질문이, 이 뒤의 「전자의 경우」에서 효력을 발휘해. 전자에서는 그 전제가 무너지거든——기억해둬. 그림 0.2「총알의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 기관총 S에서 발사된 총알이 구멍 1·구멍 2를 통과하여 스크린에 맞는다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12} = P_1 + P_2\)」의 (c)를 보면, 스크린 위에서 2개의 구멍에 대응하는 봉우리가 단순히 겹칠 뿐이고, 간섭무늬는 나타나지 않는 걸 알 수 있지.
그림 0.2: 총알의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 기관총 S에서 발사된 총알이 구멍 1·구멍 2를 통과하여 스크린에 맞는다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12} = P_1 + P_2\)——간섭 없음.
파동의 경우 — 간섭¶
🟡 리나: 이번에는 수면파야. 파원에서 나온 파동이 2개의 구멍을 통과하여 스크린에 도달해. 파동의 세기(에너지에 비례하는 양)는 진폭——파동의 높이——의 제곱에 비례해. 왜 제곱이냐 하면, 파동의 에너지는 진동의 크기의 제곱으로 결정되기 때문이야. 예를 들어 고등학교에서 배운 용수철의 탄성 에너지 \(\frac{1}{2}kx^2\)가 변위 \(x\)의 제곱에 비례하잖아? 파동도 마찬가지로, 수면의 각 점이 위아래로 진동하는 용수철 같은 거라서, 진동이 클수록 에너지가 크고——게다가 그 관계는 제곱에 비례해. 음파도 마찬가지로, 소리의 크기(세기)는 공기 진동의 진폭의 제곱에 비례해. 지금은 「세기 ∝ 진폭²」이라는 규칙만 받아들여줘. 자, 파동을 기술하려면 진폭(파동의 크기)뿐만 아니라, 하나 더 중요한 양이 있어. 위상이야.
🔵 카이: 위상? 파동의 「어긋남」 같은 건가요?
🟡 리나: 바로 그 이미지야. 좀 더 정확하게 설명할게. 같은 진동수의 두 파동이라도, 마루와 골의 타이밍이 어긋나 있을 수 있어.
🔵 카이: 「어긋남」이란, 한쪽 파동이 약간 늦게 도달하는 것 같은 건가요?
🟡 리나: 맞아, 바로 그 이미지야. 파동은 반복 운동이니까, 진동의 「지금 어떤 단계에 있는가」를 각도로 나타낸 것을 위상이라고 불러. 예를 들어 진자로 생각하면, 오른쪽 끝에 있을 때를 0°, 가운데를 오른쪽에서 왼쪽으로 통과할 때를 90°, 왼쪽 끝을 180°, 가운데를 왼쪽에서 오른쪽으로 통과할 때를 270°——그리고 오른쪽 끝으로 돌아오면 360° = 0°로 돌아와. 1주기를 1바퀴(\(2\pi\) 라디안 = 360°)에 대응시키는 거야. 그리고 두 파동의 위상 차이——「얼마나 어긋나 있는가」——를 위상차라고 불러. 예를 들어 반주기만큼 어긋나 있으면 위상차는 \(\pi\)(180°), 전혀 어긋나지 않으면 \(0\)이야. 위상차가 \(0\)이면 마루와 마루가 딱 겹치고, \(\pi\)면 마루와 골이 겹쳐.
🔵 카이: 1주기를 360°에 대응시키는 건 알겠는데, 왜 도(°)가 아니라 라디안을 쓰는 건가요?
🟡 리나: 수식에서 \(\cos\)이나 \(\sin\)을 사용할 때, 라디안으로 재두면 공식이 간단해지거든. 예를 들어 \(\sin\theta\)를 미분하면 \(\cos\theta\)가 되는데——이건 라디안일 때만 성립하는 편리한 성질이야. 이 뒤에 나오는 \(e^{i\theta}\)의 \(\theta\)도 라디안이야. 물리에서는 각도를 거의 항상 라디안으로 쓴다고 생각해둬.
⚪ 메이: 위상차가 \(0\)이면 보강간섭, \(\pi\)면 상쇄간섭——여기까지는 알겠어. 그런데 두 파동을 실제로 더할 때, 진폭과 위상을 어떻게 다루면 되는 거야?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 두 파동을 합칠 때, 각각의 진폭(높이)뿐만 아니라 위상(타이밍의 어긋남)도 고려해야 하잖아. 예를 들어 구멍 1에서 스크린의 위치 \(x\)에 도달하는 파동은 \(a_1 \cos(\omega t + \theta_1)\) 같은 정현파로 쓸 수 있어——\(a_1\)이 진폭, \(\theta_1\)이 위상, \(\omega\)(오메가)는 각진동수로 진동의 빠르기를 나타내는 양이야. 두 정현파를 더해서 세기를 구하려면, 덧셈정리——\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\) 같은 식——을 전개해야 해서, 항이 계속 늘어나 복잡해져.
🔵 카이: 확실히 삼각함수의 덧셈정리는 계산이 귀찮았던 기억이……. 더 쉬운 방법이 있나요?
🟡 리나: 있어. 거기서, 진폭과 위상을 하나의 복소수로 패키지해버리는 거야. 구체적으로는, 파동 \(a\cos(\omega t + \theta)\)를 복소수 \(ae^{i\theta}\)로 대표시키는 거야——크기 \(a\), 각도 \(\theta\)의 복소수야. 「\(\omega t\) 부분은 어디로 갔지?」라고 생각할 수 있는데, 같은 진동수의 파동끼리 더할 때, \(\omega t\) 부분은 모두에게 공통이니까, 차이에 효과를 주는 건 위상 \(\theta\)의 차이뿐이야. 그래서 \(\omega t\)를 생략하고 \(ae^{i\theta}\)만으로 비교할 수 있는 거야. 이렇게 하면, 파동의 덧셈이 복소수의 덧셈이 되고, 세기의 계산은 「절댓값의 제곱을 취하기만 하면」 끝나. \(e^{i\theta}\)라는 표기법은 「크기 1이고 각도 \(\theta\)인 복소수」를 의미해.
여기서 복소평면을 설명해둘게. 가로축에 실부(보통의 수직선), 세로축에 허부(\(i\)의 배수)를 취한 평면이야. 예를 들어 \(1 + i\)는 가로 1·세로 1의 점, \(2i\)는 가로 0·세로 2의 점이야. 이 평면 위에서 \(e^{i\theta}\)는 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 원 위를 움직여——실축(가로축)에서 반시계 방향으로 각도 \(\theta\)인 점이야. 이것은 Euler(오일러)의 공식 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)에서 오는데——\(\cos\theta\)가 실부(가로 좌표), \(\sin\theta\)가 허부(세로 좌표)이니까, 원점으로부터의 거리는 \(\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1\)이어서 확실히 단위원 위에 있지. 그림 0.3「복소평면과 \(e^{i\theta}\)」에 그려놓았으니 확인해봐.
그림 0.3: 복소평면과 \(e^{i\theta}\). 가로축이 실부, 세로축이 허부. \(e^{i\theta}\)는 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 원(단위원) 위의 점으로, 실축에서 반시계 방향으로 각도 \(\theta\)의 위치에 있다.
🔵 카이: 잠깐만요. \(e\)는 2.718…인 그 \(e\)죠? 왜 지수함수와 \(\cos\), \(\sin\)이 연결되는 건가요?
🟡 리나: 아주 좋은 의문이야. 제대로 유도하면 Taylor 전개(함수를 무한급수로 나타내는 방법)를 사용해. 부록 A에서 정성껏 다루고 있으니까, 궁금하면 그쪽을 봐. 지금 단계에서는, \(e^{i\theta}\)를 「복소평면 위에서 원점으로부터 거리 1, 각도 \(\theta\)인 점을 나타내는 표기법」이라고 정의로 받아들여도 괜찮아. 실제로, 이 표기법의 편리함은 「곱셈이 각도의 덧셈이 된다」(\(e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}\))는 것에 있는데, 그건 이 뒤에 바로 사용하니까 실감할 수 있을 거야. 「진폭 \(a\)와 위상 \(\theta\)를 합쳐서 \(ae^{i\theta}\)라고 쓴다」는 규칙만 가져가줘. 아까 복소평면에서 확인했듯이, \(e^{i\theta}\)는 단위원 위의 점——크기 1이고 각도 \(\theta\)——이었지. 거기에 양의 실수 \(a\)를 곱하면, 크기가 \(a\)배로 늘어나서 「크기 \(a\), 각도 \(\theta\)」의 점이 돼. 즉 \(ae^{i\theta}\)는 복소평면 위에서 「원점으로부터의 거리가 \(a\)(= 파동의 크기), 각도가 \(\theta\)(= 위상)」를 나타내는 하나의 복소수야. 이 「진폭과 위상을 합친 복소수 \(ae^{i\theta}\)」를 복소진폭이라고 불러. 구멍 1에서 오는 파동의 복소진폭을 \(h_1 = a_1 e^{i\theta_1}\), 구멍 2에서 오는 파동을 \(h_2 = a_2 e^{i\theta_2}\)라고 쓸게(\(a_1, a_2\)는 양의 실수로 파동의 크기, \(\theta_1, \theta_2\)는 위상). 이때, 어떤 하나의 파동의 세기는 그 복소진폭의 절댓값의 제곱으로 주어져——예를 들어 구멍 1만 열려 있으면 세기는 \(|h_1|^2\), 구멍 2만이면 \(|h_2|^2\)야. 복소수의 「크기(절댓값)」란, \(z = a + bi\)에 대해 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)——복소평면 위에서 원점으로부터의 거리야. 따라서 \(|ae^{i\theta}|^2 = a^2 \cdot |e^{i\theta}|^2 = a^2 \cdot 1 = a^2\)이 되어, 아까 말한 「진폭의 제곱에 비례」와 일치해. 양쪽 구멍이 열려 있을 때, 파동의 복소진폭은 중첩되니까, 세기는
🟡 리나: 자, 이것이 단순히 \(|h_1|^2 + |h_2|^2\)가 된다고 생각해?
🔵 카이: 어? 안 되나요? 파동 1의 세기와 파동 2의 세기를 더하기만 하면……
🟡 리나: 실수에서도 \((a+b)^2\)은 \(a^2 + b^2\)이 안 되잖아? \(2ab\)가 여분으로 나오지. 복소수에서도 같은 일이 일어나.
🔵 카이: 아, 맞네……. \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)이니까, 복소수에서도 여분의 항이 나온다는 거죠.
🟡 리나: 맞아. 전개하면 최종적으로 이렇게 돼——지금은 결론만 먼저 보여줄게. 유도는 바로 뒤에 할 테니까, 외울 필요 없어.
\(\delta = \theta_1 - \theta_2\)는 두 파동의 위상차야.
🔵 카이: 잠깐만요. 결과는 알겠는데, \(\cos\delta\)는 어디서 나오는 건가요? 갑자기 나타난 느낌인데……
🟡 리나: 당연한 의문이야. 먼저 결론을 보여줄게. 예를 들어 \(h_1 = 1\), \(h_2 = e^{i\pi/3}\)일 때, \(|h_1 + h_2|^2\)를 계산하면 답은 \(3\)이 돼——단순히 \(|h_1|^2 + |h_2|^2 = 1 + 1 = 2\)는 안 되는 거야. 이 「\(2\)가 아니라 \(3\)」의 차이가 간섭항이야. 그러면, 왜 \(3\)이 되는 걸까. 아까 「세기는 복소진폭의 절댓값의 제곱 \(|h|^2\)으로 주어진다」고 했지. \(|h_1 + h_2|^2\)를 실제로 계산하려면, 「복소수의 절댓값의 제곱을 기계적으로 구하는 방법」이 필요해. 그 도구가 켤레복소수야. 하는 건 단순해——복소수 \(z = a + bi\)에 대해, 허부의 부호를 반전시킨 \(\bar{z} = a - bi\)를 켤레복소수라고 불러. 예를 들어 \(z = 3 + 2i\)면 \(\bar{z} = 3 - 2i\)야.
🔵 카이: 허부의 \(+\)를 \(-\)로 뒤집기만 하면 되나요? 그런데 그걸 곱하면 뭐가 좋은 건가요?
🟡 리나: 이 둘을 곱해보면 \(z\bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2\)——\(i^2 = -1\)이니까 마이너스가 사라지는 거야. 즉 \(|z|^2 = z\bar{z} = a^2 + b^2\). 「복소수의 크기의 제곱은, 자기 자신과 켤레복소수를 곱하면 얻을 수 있다」는 규칙이야.
⚪ 메이: 아, \((a + bi)(a - bi)\)는 고등학교에서 배운 \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)와 같은 형태네. \(b\) 대신에 \(bi\)가 들어가 있으니까 \(-b^2\)이 \(+b^2\)로 바뀌는 거구나.
🟡 리나: 완벽해. 아까의 공식 \(|z|^2 = z\bar{z}\)는, \(z\)가 어떤 복소수여도 성립해. 그러니까 \(z\) 대신에 \(h_1 + h_2\)를 통째로 넣어도 되는 거야. 여기까지 한꺼번에 새로운 도구가 나왔지만, 전부 지금 당장 외울 필요는 없어. 중요한 건 「더한 다음 제곱하면 여분의 항이 나온다」는 결론뿐이야. 복소수의 계산은 제 4 장 이후에서 여러 번 사용하니까, 자연스럽게 익숙해질 거야.
🔵 카이: 어? \(z\)는 하나의 복소수 아닌가요? \(h_1 + h_2\)는 두 복소수의 합인데……
🟡 리나: 좋은 질문이야. \(h_1 + h_2\)도, 더한 결과는 하나의 복소수잖아? 예를 들어 \(h_1 = 1+i\), \(h_2 = 2+3i\)면 \(h_1 + h_2 = 3+4i\)라는 하나의 복소수야. 그러니까 \(|z|^2 = z\bar{z}\)의 \(z\)에 무엇을 넣어도 성립하는 거야. 여기서 하나 보충——합의 켤레복소수는, 각 항의 켤레복소수의 합이 돼. 즉 \(\overline{h_1 + h_2} = \bar{h}_1 + \bar{h}_2\). 확인해봐: \(h_1 + h_2 = 3 + 4i\)의 켤레복소수는 \(3 - 4i\). 한편 \(\bar{h}_1 + \bar{h}_2 = (1-i) + (2-3i) = 3 - 4i\). 일치하지. 따라서 \(|h_1 + h_2|^2 = (h_1 + h_2)(\bar{h}_1 + \bar{h}_2)\)로 전개할 수 있고, \(|h_1|^2 + |h_2|^2\) 외에 「교차항」 \(h_1 \bar{h}_2 + \bar{h}_1 h_2\)가 나타나.
🔵 카이: 교차항……. 전개하면 나오는 「여분의 항」이네요.
🟡 리나: 맞아. 여기서 \(h_1 = a_1 e^{i\theta_1}\), \(h_2 = a_2 e^{i\theta_2}\)이니까, \(h_2\)의 켤레복소수는 \(\bar{h}_2 = a_2 e^{-i\theta_2}\)야. 왜냐하면, Euler의 공식에서 \(e^{i\theta_2} = \cos\theta_2 + i\sin\theta_2\)이니까, 허부의 부호를 반전하면 \(\cos\theta_2 - i\sin\theta_2 = e^{-i\theta_2}\)가 되거든.
🔵 카이: 켤레복소수를 취하면, 지수에서 \(i\) 앞의 부호가 반전되는 거군요.
🟡 리나: 맞아. \(e^{i\theta}\)의 켤레복소수는 \(e^{-i\theta}\)——이건 기억해두면 편리해. 자, \(h_1 \bar{h}_2\)를 계산하면, 지수법칙 \(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\)를 사용해서 \(h_1 \bar{h}_2 = a_1 a_2 e^{i\theta_1} e^{-i\theta_2} = a_1 a_2 e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = a_1 a_2 e^{i\delta}\). 마찬가지로 \(\bar{h}_1 h_2 = a_1 a_2 e^{-i\delta}\).
🔵 카이: 확인인데요——\(e^{i\theta_1} \cdot e^{-i\theta_2}\)에서 지수 부분을 더하면 \(i(\theta_1 - \theta_2) = i\delta\)가 된다는 거죠. \(e^{i\delta}\)와 \(e^{-i\delta}\) 두 개가 나오네요. 이것을 더하면?
🟡 리나: \(e^{i\delta} + e^{-i\delta}\)를 Euler의 공식으로 전개해봐. \(e^{i\delta} = \cos\delta + i\sin\delta\), \(e^{-i\delta} = \cos\delta - i\sin\delta\). 더하면?
⚪ 메이: \(i\sin\delta\)와 \(-i\sin\delta\)가 상쇄되어서, \(2\cos\delta\)만 남아.
🟡 리나: 완벽해. 그래서 교차항은 \(a_1 a_2 \times 2\cos\delta = 2|h_1||h_2|\cos\delta\)가 되는 거야. 위상차 \(\delta\)가 결과를 좌우하는 메커니즘이 보였지. 스크린 위의 장소마다 \(\delta\)가 변하니까, 어떤 장소에서는 \(\cos\delta > 0\)으로 보강간섭하고, 다른 장소에서는 \(\cos\delta < 0\)으로 상쇄간섭해——이렇게 밝고 어두운 줄무늬(간섭무늬)가 나타나는 거야. 총알 때의 그림 0.2「총알의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 기관총 S에서 발사된 총알이 구멍 1·구멍 2를 통과하여 스크린에 맞는다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12} = P_1 + P_2\)」 (c)와 비교하면, 파동의 경우에는 단순한 봉우리의 중첩이 아니라, 줄무늬가 된다는 점이 결정적으로 달라. 이 간섭무늬의 패턴은, 이 뒤의 그림 0.4「전자의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 전자총 S에서 발사된 전자가 하나씩 검출기에서 「딸깍」하고 관측된다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12}\)」 (c)에서 전자에 대해 보게 될 것과 본질적으로 같은 형태야. (수면파의 간섭 패턴 그림은 전자의 그림 그림 0.4「전자의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 전자총 S에서 발사된 전자가 하나씩 검출기에서 「딸깍」하고 관측된다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12}\)」 (c)와 같은 형태이니, 그쪽에서 확인해줘.) 구체적인 예로 확인해보자. \(h_1 = e^{i \cdot 0} = 1\), \(h_2 = e^{i\pi/3}\)이면, 위상차는 \(\delta = 0 - \pi/3 = -\pi/3\)이야. \(\cos\)은 짝함수이니까 \(\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2\). 공식에 대입하면 \(|1 + e^{i\pi/3}|^2 = 1 + 1 + 2\cos(\pi/3) = 2 + 2 \times \frac{1}{2} = 3\)——단순히 \(|h_1|^2 + |h_2|^2 = 1 + 1 = 2\)가 안 되지?
🔵 카이: 솔직히, 교차항에서 \(\cos\)이 나오는 부분은 아직 찜찜하긴 한데……구체적으로 말하면, \(e^{i\delta}\)와 \(e^{-i\delta}\)를 더하면 \(\cos\)이 된다는 게, 계산으로는 알겠는데 「왜 \(\cos\)이야?」라는 게 감각적으로 와닿지 않아요. 하지만 「더한 다음 제곱하면 여분의 항이 나온다」는 건 알겠어요. 단순히 더하면 \(1 + 1 = 2\)인데, 간섭항 때문에 \(3\)이 된다——구체적인 숫자로 보니 확실히 다르네요.
🟡 리나: 그 찜찜함은 건전한 거야. \(\cos\)이 나오는 이유를 한마디로 다시 말하면, 「\(e^{i\delta}\)와 \(e^{-i\delta}\)를 더하면 허부가 상쇄되어 실부만 남는다——그것이 \(2\cos\delta\)」라는 거야. 복소평면에서 보면, 각도 \(+\delta\)인 점과 각도 \(-\delta\)인 점은 실축에 대해 거울상 위치에 있으니까, 더하면 허부가 사라지는 건 도형적으로도 자연스럽지? 즉 \(\cos\)이 나오는 건 「거울상의 점을 더하면 실축 위로 떨어진다」는 복소평면의 기하학적 사실의 반영이야. 하지만 오늘 기억해야 할 건 메커니즘의 세부가 아니라, 결론뿐이야. 「두 파동을 더한 다음 제곱하면, 위상차 \(\delta\)에 따른 여분의 항(간섭항)이 나온다」——이것만이 오늘의 메시지야. 켤레복소수나 Euler의 공식은, 그 결론을 이끌어내기 위한 도구에 불과하니까, 지금 당장 전부 외우지 않아도 돼. 하나만 더 구체적 예를 보면, 만약 \(h_1 = 1\), \(h_2 = e^{i\pi} = -1\)이면 \(|1 + (-1)|^2 = 0\)——완전히 상쇄돼. 공식에 대입하면 \(1 + 1 + 2\cos\pi = 2 - 2 = 0\)으로 일치하지.
🔵 카이: 오오, 위상차가 \(\pi\)면 완전히 제로! 깔끔하게 사라지네요.
🟡 리나: 위상차가 \(0\)이면 보강간섭, \(\pi\)면 완전히 사라진다——\(\cos\)은 이 「보강↔상쇄」의 정도를 나타내고 있어. 이상을 정리하면, \(2|h_1||h_2|\cos\delta\)라는 간섭항 덕분에, 장소에 따라 파동이 보강되기도 하고 상쇄되기도 해. 그래서 \(I_{12} \neq I_1 + I_2\). 이것이 간섭이야.
전자의 경우 — 입자인데 간섭한다¶
🟡 리나: 자, 드디어 전자야. 아까 화학결합 부분에서 「파동함수는 전자가 있을 곳의 확률을 결정하는 함수」라고 했지. 이건 거짓은 아닌데, 좀 더 정확하게 다시 말해줄게. 파동함수란 각 위치 \(x\)에 대해 확률진폭(복소수)을 할당하는 함수야. 확률 자체를 직접 주는 게 아니라, 먼저 확률진폭을 주고, 그 절댓값의 제곱 \(|\psi(x)|^2\)이 「위치 \(x\)에서 전자가 발견될 확률」이 돼. 즉 「확률을 결정한다」는 것은, 「확률진폭을 경유해서 확률을 결정한다」는 의미였어——아까의 설명을 한 단계 정밀하게 한 것뿐이야.
🔵 카이: 아, 아까 수면파에서 「진폭의 제곱이 세기」였던 것과 같은 구조네요. 파동함수가 진폭이고, 그 제곱이 확률.
🟡 리나: 바로 그 대응이야. 정확한 정의는 제 7 장에 맡기고, 지금은 확률진폭 이야기에 집중하자. 전자총에서 전자를 하나씩 쏴. 스크린에 도달하면 「딸깍」하고 소리가 나——하나씩, 입자로서 검출돼. 여기까지는 총알과 같아.
🔵 카이: 하나씩 알갱이로 도달한다면, 총알과 같이 확률을 더하면 되는 거 아닌가요……
🟡 리나: 그런데, 많은 전자를 쏘아서 확률분포를 조사하면,
총알의 결과와는 달라. 게다가 놀랍게도, \(P_{12}\)의 분포 패턴은 수면파의 간섭 패턴과 꼭 닮았어.
🔵 카이: 어? 하나씩 알갱이로 도달하는데, 전체 패턴은 파동의 간섭이라고요?
🟡 리나: 그림 0.4「전자의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 전자총 S에서 발사된 전자가 하나씩 검출기에서 「딸깍」하고 관측된다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12}\)」를 봐. 개개의 전자는 「딸깍」하고 한 점에 도달하는데, 많이 모으면 (c)처럼 줄무늬가 떠올라. 아까의 그림 0.2「총알의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 기관총 S에서 발사된 총알이 구멍 1·구멍 2를 통과하여 스크린에 맞는다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12} = P_1 + P_2\)」 (c)와 비교해봐——총알에서는 봉우리가 단순히 겹칠 뿐이었는데, 전자에서는 밝고 어두운 줄무늬가 나타나. 완전히 다른 패턴이지?
그림 0.4: 전자의 이중슬릿 실험 개념도. (a) 전자총 S에서 발사된 전자가 하나씩 검출기에서 「딸깍」하고 관측된다. (b) 각 구멍만 열었을 때의 확률분포 \(P_1\), \(P_2\). (c) 양쪽 다 열었을 때의 확률분포 \(P_{12}\)——총알과는 다르게 간섭무늬가 나타난다(\(P_{12} \neq P_1 + P_2\)).
🟡 리나: 맞아. 여기가 양자역학의 핵심이야. 수학적으로는 이렇게 쓸 수 있어. 전자가 구멍 1을 통과하여 위치 \(x\)에 도달하는 확률진폭을 \(\phi_1(x)\), 구멍 2를 통과하여 도달하는 확률진폭을 \(\phi_2(x)\)라고 하자——여기서 \(\phi\)(파이)는 「각 경로의 확률진폭」을 나타내는 기호야. 수면파에서는 복소진폭을 \(h\)로 썼지만, 전자의 경우에는 물리적 파동이 아니라 「확률을 계산하기 위한 수학적 양」이니까, 구별하기 위해 다른 기호 \(\phi\)를 사용해. 확률진폭은 복소수이고, 그 절댓값의 제곱이 확률을 줘:
수면파의 복소진폭 식과 완전히 같은 구조지.
⚪ 메이: 즉 수면파도 전자도, 수학적으로는 「복소수를 더한 다음 절댓값의 제곱」——같은 연산을 하고 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 확률을 직접 더하는 게 아니라, 확률진폭을 더한 다음 제곱한다. 그래서 간섭이 일어나는 거야.
⚪ 메이: 총알은 「확률의 덧셈」, 전자는 「진폭의 덧셈 → 제곱」. 그 차이가 간섭의 유무를 결정하는 거네.
🔵 카이: 잠깐만요. 전자는 하나씩 「딸깍」하고 도달하잖아요? 하나의 전자가 양쪽 구멍을 동시에 통과하고 있다는 건가요?
🟡 리나: 그 의문은 핵심을 찌르고 있어. 「하나의 전자가 어느 구멍을 통과했는지」를 확인하려고 하면, 간섭무늬가 사라져버려. 제 3 장에서 자세히 다룰 테니까, 지금은 「확률진폭을 더한다」는 규칙만 가져가줘. 그리고 이 확률진폭은 복소수여야 해. 실수만으로는 양자역학의 예언을 재현할 수 없어.
🔵 카이: 왜 복소수여야 하나요? 실수로는 안 되는 이유가 뭐예요?
🟡 리나: 아주 좋은 질문이야. 지금은 「실험이 그렇게 요구하고 있다」라고만 답해둘게. 제 4 장에서 Feynman의 확률진폭 규칙을 배우고, 제 5 장 이후에서 구체적인 2상태계를 계산하면, 복소수가 불가결하다는 것을 실감할 수 있게 될 거야.
🔵 카이: 알겠어요……솔직히 아직 찜찜하긴 한데. 하나만——아까 수면파에서도 \(\cos\)이 나와서 간섭했잖아요? 그건 실수의 계산으로도 할 수 있었을 텐데. 그런데 전자에서는 「복소수여야 한다」니, 뭐가 다른 건가요?
🟡 리나: 핵심을 찌르는 의문이야. 수면파의 경우, 진폭은 확실히 실수로도 기술할 수 있어. 하지만 전자의 확률진폭에는, 시간에 따라 \(e^{i\omega t}\)처럼 위상이 계속 회전하는 구조가 있어서, 이것은 실수로는 표현할 수 없어. 구체적으로 뭐가 다른지는 제 4 장에서 Feynman의 규칙을 배우면 명확해질 거야. 그 「찜찜함」을 기억해둬. 자, 이 여행의 축은 이거야.
세계는 복소 확률진폭의 중첩으로 이루어져 있다.
— 이것을 수식으로 따라가고, 스스로 판단한다. 그것이 이 여행의 축이야.
확률진폭이라는 복소수가, 양자역학의 모든 예언의 출발점이 돼. 이 여행에서는, 그 수식을 한 걸음씩 따라가며, 「왜 이렇게 쓸 수 있는지」 「무엇을 예언하는지」 「실험과 맞는지」를 자기 눈으로 확인해나갈 거야.
✅ 이해도 체크: 수면파의 간섭 식 \(|h_1 + h_2|^2 = |h_1|^2 + |h_2|^2 + 2|h_1||h_2|\cos\delta\)에서, 간섭항 \(2|h_1||h_2|\cos\delta\)는 어떤 효과를 만드나요?
답
위상차 \(\delta\)의 값에 따라, 파동이 보강되기도 하고(\(\cos\delta > 0\)) 상쇄되기도 한다(\(\cos\delta < 0\)). 이로 인해, 스크린 위의 장소마다 세기가 변화하여, 밝고 어두운 줄무늬(간섭무늬)가 생긴다.
✅ 이해도 체크: 총알의 이중슬릿 실험에서는 \(P_{12} = P_1 + P_2\)가 성립하는데, 전자에서는 성립하지 않는다. 이 차이를 만드는 수학적 메커니즘을 한 문장으로 서술하세요.
답
전자에서는 확률 자체가 아니라 확률진폭(복소수)을 더한 다음 그 절댓값의 제곱을 취하기 때문에, 간섭항이 나타나서 \(P_{12} \neq P_1 + P_2\)가 된다.
Einstein과 양자역학 — 창시자이자 최대의 비판자¶
🟡 리나: 여기서, 이 여행 내내 반복해서 등장할 인물의 이야기를 해둘게. Albert Einstein(알버트 아인슈타인)이야.
🔵 카이: Einstein은 상대성이론의 사람이잖아요? \(E = mc^2\)의.
🟡 리나: 맞아. 하지만 사실 Einstein은 양자론의 창시자 중 한 명이기도 해. 이건 잘 알려지지 않았지만, 매우 중요한 사실이야.
창시자로서의 Einstein¶
🟡 리나: 1905년, Einstein은 광양자 가설(light quantum hypothesis)을 제창했어. 당시, 빛이 파동이라는 것은 확립되어 있었어. Young(영)의 이중슬릿 실험에서 간섭무늬가 관측되는 것이, 빛이 파동이라는 가장 좋은 증거였으니까.
🟡 리나: 그런데 Einstein은, 광전효과——금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나오는 현상——를 설명하기 위해, 대담한 말을 했어.
빛은 진동수 \(\nu\)에 비례하는 에너지 \(E = h\nu\)를 가진 입자의 모임이다.
여기서 \(\nu\)(뉴)는 빛의 진동수——1초 동안 파동이 몇 번 진동하는지를 나타내는 양으로, 고등학교 물리의 \(f\)와 같은 것이야. 물리학에서는 전통적으로 그리스 문자 \(\nu\)를 사용하는 경우가 많아. 그리고 \(h\)는 Planck 상수——자연계에 존재하는 매우 작은 상수로, 「에너지의 최소 단위」를 결정하는 역할을 해. 구체적인 값과 의미는 제 1 장에서 자세히 다룰 테니까, 지금은 「진동수가 높을수록 에너지가 크다」는 비례관계만 잡아둬.
🔵 카이: 파동이라고 밝혀진 것을 「입자다」라고 했다니, 상당한 배짱이네요……
⚪ 메이: 게다가 당시에는 거의 아무도 받아들이지 않았겠죠?
🟡 리나: 맞아. 하지만 실험이 Einstein이 맞다는 것을 증명했어. Einstein이 노벨상을 받은 건, 상대성이론이 아니라, 이 광양자 가설——광전효과의 이론——에 대해서였어.
🟡 리나: 더 나아가 1917년, Einstein은 유도방출(stimulated emission)을 예언했어. 이것은 「이미 광자가 있는 상태에, 같은 진동수·같은 방향의 광자가 하나 더 가해지기 쉽다」는 현상으로, 아까 이야기한 레이저의 동작 원리 그 자체야.
🔵 카이: Einstein이 레이저의 원리까지!
🟡 리나: 그래. Planck(플랑크)가 1900년에 「에너지는 띄엄띄엄이다」라고 말하고, Einstein이 1905년에 「빛 자체가 알갱이다」라고 말하고, 1917년에 유도방출을 예언했어. Einstein은 틀림없이 양자론의 창시자 중 한 명이야.
비판자로서의 Einstein¶
🟡 리나: 그런데, 1920년대에 양자역학이 Heisenberg, Schrödinger, Dirac, Born(보른) 등에 의해 완성을 향해 나아가자, Einstein은 그 가장 날카로운 비판자가 됐어.
🔵 카이: 자기가 시작했는데, 비판한다고요?
🟡 리나: 양자역학의 핵심은 「측정하기 전에는 물리량이 정해져 있지 않다」 「예언할 수 있는 건 확률뿐이다」라는 것이야. Einstein은 이것을 받아들이지 않았어. 유명한 말이 이거야.
「신은 주사위를 던지지 않는다.」
🟡 리나: Einstein은, 양자역학이 올바른 예언을 하지만 「불완전」하다고 생각했어. 더 깊은, 결정론적인 모델이 있을 것이라고. 1935년, Einstein은 Podolsky(포돌스키)와 Rosen(로젠)과 함께, 양자역학의 불완전성을 주장하는 논문을 발표했어. 이것이 EPR 역설이야. Bohr(보어)와의 격렬한 논쟁이 시작됐지.
🔵 카이: 그 논쟁, 어떻게 결론났나요?
🟡 리나: 1964년, Bell(벨)이 놀라운 정리를 증명했어. 「만약 Einstein의 말대로, 측정 전부터 물리량이 국소적으로 정해져 있다면, 어떤 부등식이 반드시 성립한다」고. 그리고 그 후의 실험에서, Bell의 부등식은 깨졌어. 자연은 Einstein이 바라던 대로 행동하지 않았어.
🔵 카이: Einstein이 틀렸다는 건가……
🟡 리나: 「틀렸다」기보다는, 「자연이 Einstein의 직감보다 기묘했다」고 말해야겠지. 그리고 Einstein의 비판이 있었기에, 양자역학의 이해가 깊어졌어. 비판자로서의 Einstein이 없었다면, Bell의 정리도 태어나지 않았을지 모르겠어.
✅ 이해도 체크: Einstein은 양자역학의 어떤 성질을 받아들이지 않았는가. 또한, 그 비판에 대해 실험은 어떤 결론을 보여주었는가.
답
Einstein은 「측정하기 전에는 물리량이 정해져 있지 않다(확률적으로만 예언할 수 있다)」는 양자역학의 성질을 받아들이지 않고, 더 깊은 결정론적 모델이 있을 것이라고 주장했다(EPR 역설). 그러나 Bell의 부등식을 검증하는 실험에 의해, 부등식이 깨져서, 자연은 Einstein이 바라던 국소적·결정론적 묘사에 따르지 않는다는 것이 보여졌다.
🟡 리나: 이 여행에서는, Einstein의 이야기를 네 단계로 따라갈 거야.
표 0.2: Einstein의 역할의 네 단계
| 단계 | 장 | Einstein의 역할 |
|---|---|---|
| 제1막 | 제 1 장 | 광양자 가설(1905)·유도방출(1917)로 양자론의 창시자로서 등장 |
| 제2막 | 제 21 장 | 유도방출의 정량화(A·B 계수)로 레이저의 원리를 회수 |
| 제3막 | 제 23 장 | EPR 역설(1935)로 비판자로서 재등장. Bell의 부등식으로 결착 |
| 종막 | 제 28 장 | 일반상대성이론과 양자역학의 양립 불가능(양자중력 문제) |
⚪ 메이: 창시자가 비판자가 되고, 그 비판이 새로운 발견을 낳는다. 드라마틱하네.
🟡 리나: 물리학의 역사는 이런 드라마의 연속이야. 자, 여행의 전체 지도를 펼쳐보자.
✅ 이해도 체크: Einstein이 양자론의 「창시자 중 한 명」이라고 할 수 있는 근거를 2가지 들어주세요.
답
(1) 1905년의 광양자 가설: 빛이 \(E = h\nu\)의 에너지를 가진 입자(광자)의 모임이라는 것을 제창하고, 광전효과를 설명했다. (2) 1917년의 유도방출 예언: 광자가 같은 상태의 광자를 유발하는 과정을 이론적으로 보여, 후의 레이저 원리가 되었다.
전 28장의 로드맵¶
🟡 리나: 이 여행은 전 28장, 7개의 파트로 나뉘어.
Part I(제1~3장): 고전물리의 붕괴 — 양자론이 탄생한 이유¶
🟡 리나: 먼저 제 1 장에서, 19세기 말에 고전물리학이 직면한 3가지 위기——흑체복사, 광전효과, 원자의 안정성——을 봐. 어느 것이나 「에너지는 연속적으로 변화한다」는 고전적 전제가 파탄나는 장면이야.
🔵 카이: 아까 이야기에 나온 「에너지의 계단」이네요.
🟡 리나: 제 2 장에서 de Broglie(드브로이)의 물질파 가설——「입자에도 파장이 있다」——을 배우고, 제 3 장에서 이중슬릿 실험을 철저히 분석해. 여기서 「결정론과 실재론의 붕괴」를 체험하게 돼.
Part II(제4~6장): 진폭의 세계 — 2상태계에서 양자역학을 조립하다¶
🟡 리나: 파동함수라는 만능 도구는 Part III에서 도입하는데, 그 전에 한 가지 쿠션을 둘 거야. Part II의 3장에서는, 전자 하나가 「오른쪽 방향이냐 왼쪽 방향이냐」의 2가지 상태만 취할 수 있는 계를 다뤄. 스핀 1/2과 Stern-Gerlach(슈테른-게를라흐) 실험이야. 양자역학의 핵심——확률진폭, 중첩, 시간발전, 측정——이 전부 2차원 행렬로 눈에 보이거든. 나중에 등장하는 수학적 도구——Hilbert 공간(상태가 사는 공간), 연산자(물리량을 나타내는 수학적 대상), 고유값 문제(측정에서 얻어지는 값을 구하는 절차)——도, 2×2 행렬이면 종이 위에서 전부 적어볼 수 있어. 지금은 이름만 기억해두면 충분해.
🔵 카이: 아, 먼저 작은 세계에서 도구 사용법을 익힌다는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 이걸 체감한 다음 Part III에서 무한차원으로 확장하면, 파동함수가 「하늘에서 내려온 도구」가 아니라 「2상태계를 연속 공간으로 확장한 것」으로서 납득이 돼.
🔵 카이: 그런데 작은 세계에서 보이지 않는 것이 있다면, 그게 뭔가요? 2×2로 전부 보인다면, Part III에 갔을 때 뭐가 달라지는 건가요?
🟡 리나: 좋은 물음이야. 2×2에서 보이지 않는 건 「위치의 연속성」이나 「공간적 퍼짐」——즉 파동함수의 세계야. 하지만 중첩도 측정도 시간발전도, 전부 2차원에서 체험할 수 있어. 거기서 골격을 잡은 다음 무한차원으로 확장한다——말하자면 소프트랜딩 전략이야.
🔵 카이: 확실히, 갑자기 「차원이 무한」이라고 하면 무섭죠. 그런데 반대로, 2×2에서 골격을 잡은 다음 무한차원에 갈 때, 「2×2일 때는 이랬는데, 무한차원에서는 여기가 달라진다」라는 게 제대로 알 수 있나요?
🟡 리나: 좋은 걱정이야. Part III 첫머리에서 「2상태계의 어디가 확장되는지」를 명시할 테니까 괜찮아. J. J. Sakurai(사쿠라이)도 같은 순서로 교과서를 썼고, Feynman(파인만)의 수업도 진폭의 법칙에서 시작해. 「양자역학」편은 그들의 접근법을 채택했어. 구체적으로는, 제 4 장에서 Feynman의 확률진폭 3가지 규칙, 제 5 장에서 Stern-Gerlach 실험에 의한 2상태계, 제 6 장에서 암모니아 메이저의 시간발전과 양자진동을 다뤄.
⚪ 메이: 즉 Part II는 「2×2 행렬로 양자역학의 골격을 체험하는 장」이고, Part III에서 그것을 연속 공간으로 확장한다——문법을 배운 다음 긴 문장을 쓴다, 그런 이단 구성이네.
🔵 카이: ……그런데 솔직히, 「2×2 행렬」이라고 해도 아직 감이 안 와요. 행렬의 곱셈은 고등학교에서 조금 했지만, 그게 물리량의 측정과 어떻게 연결되는지 전혀 상상이 안 돼요. 예를 들어 「전자의 스핀이 위쪽 방향」이라는 게 행렬의 어디에 들어가는 건가요? 그리고 행렬은 숫자를 네모로 배열한 것이잖아요——그게 「확률진폭의 중첩」과 어떤 관계인지도 궁금해요.
🟡 리나: 그 「감이 안 온다」는 건 정상이야. 딱 한마디만 예고하면, 「위쪽 방향」 「아래쪽 방향」의 2가지 상태의 확률진폭을 세로로 2개 나열한 것이 벡터이고, 그것을 다른 상태로 변환하는 조작이 2×2 행렬——그런 대응이 돼. 제 5 장에서 Stern-Gerlach 실험의 구체적 데이터를 보는 순간, 이 대응을 실감할 수 있으니까, 기대해둬.
✅ 이해도 체크: Part II(제4~6장)에서 파동함수가 아닌 2상태계부터 시작하는 이유를 서술하세요.
답
2상태계는 2개의 복소수만으로 기술할 수 있어, 수학적으로 가볍다. 그 때문에, 양자역학의 본질적 구조(확률진폭의 중첩, 측정의 확률, 시간발전)가 가장 명확하게 보인다. 파동함수(무한차원)로 나아가기 전에, 유한차원에서 골격을 잡음으로써, 이후의 학습이 원활해진다.
Part III(제7~10장): 파동함수와 1차원의 세계¶
🟡 리나: 제 7 장에서 파동함수와 Schrödinger(슈뢰딩거) 방정식을 도입하고, 제 8 장에서 기댓값·교환관계·불확정성 원리를 배워. 제 9 장에서 1차원의 구체적 문제——무한 우물, 조화진동자, 터널 효과——를 풀고, 제 10 장에서 운동량 표현과 Fourier(푸리에) 해석으로 나아가.
Part IV(제11~13장): 형식론 — Hilbert 공간·Dirac 기호법·측정¶
🟡 리나: 여기서 양자역학의 수학적 무대를 정비해. 제 11 장에서 Hilbert(힐베르트) 공간과 Dirac(디랙) 기호법, 제 12 장에서 관측량·측정·사영 공리, 제 13 장에서 시간발전의 3가지 묘사(Schrödinger 묘사, Heisenberg 묘사, 상호작용 묘사)를 다뤄. Part II와 Part III에서 구체적으로 사용해온 개념을, 추상적 틀로 정리하는 거야.
Part V(제14~18장): 3차원과 수소원자¶
🟡 리나: 1차원에서 3차원으로 확장하고, 고전적 양자역학의 클라이맥스——수소원자의 완전한 풀이——에 도달해. 제 14 장에서 3차원 Schrödinger 방정식, 제 15 장에서 각운동량의 대수, 제 16 장에서 수소원자, 제 17 장에서 스핀과 Pauli(파울리) 행렬, 제 18 장에서 동종입자와 Pauli 원리를 다뤄.
🔵 카이: 아까 이야기에 나온 원자 스펙트럼의 「띄엄띄엄의 색」이, 여기서 완전히 설명되는 거군요.
Part VI(제19~22장): 근사와 응용¶
🟡 리나: 엄밀하게 풀 수 없는 문제를 근사로 다루는 기법이야. 제 19 장에서 시간에 의존하지 않는 섭동론, 제 20 장에서 변분법과 WKB 근사, 제 21 장에서 시간에 의존하는 섭동론과 Fermi의 황금률——여기서 Einstein의 유도방출(A·B 계수)을 회수해——제 22 장에서 산란이론을 다뤄.
⚪ 메이: 양이 많네……
🟡 리나: 하지만 Part II에서 골격을 잡고 있으니까, Part V·VI의 각 장은 「Part II에서 배운 구조의, 더 복잡한 상황에의 적용」으로 이해할 수 있을 거야.
Part VII(제23~28장): 양자의 불가사의와 그 너머로¶
🟡 리나: 이 여행의 클라이맥스야. 제 23 장에서 EPR 역설과 Bell의 부등식——Einstein 대 Bohr의 논쟁에 결착을 짓고. 제 24 장에서 양자 얽힘과 양자정보, 제 25 장에서 측정 문제와 해석의 논의. 제 26 장에서 대칭성과 보존법칙, 제 27 장에서 장의 양자론으로의 전망, 제 28 장에서 양자중력 문제——양자역학과 일반상대성이론은 왜 사이가 나쁜지——로 여행을 마무리해.
⚪ 메이: 마지막은 「아직 해결되지 않은 문제」로 끝나는 거네.
🟡 리나: 물리학은 완성되지 않았으니까. 미해결 문제를 아는 것은, 「여기까지 알려져 있다」와 「여기부터는 알려져 있지 않다」의 경계를 아는 것이야. 그것이 과학적 태도야.
🟡 리나: 전체 지도를 정리해둘게.
전 28장의 로드맵
Part I: 고전물리의 붕괴(제1~3장)
Part II: 진폭의 세계 — 2상태계에서 양자역학을 조립하다(제4~6장)
Part III: 파동함수와 1차원의 세계(제7~10장)
Part IV: 형식론 — Hilbert 공간·Dirac 기호법·측정(제11~13장)
Part V: 3차원과 수소원자(제14~18장)
- 제 14 장 3차원의 Schrödinger 방정식
- 제 15 장 각운동량의 대수
- 제 16 장 수소원자
- 제 17 장 스핀과 Pauli 행렬
- 제 18 장 동종입자·Pauli 원리·다전자 원자
Part VI: 근사와 응용(제19~22장)
Part VII: 양자의 불가사의와 그 너머로(제23~28장)
- 제 23 장 EPR 역설과 Bell의 부등식
- 제 24 장 양자 얽힘과 양자정보
- 제 25 장 측정 문제와 양자론의 해석
- 제 26 장 대칭성과 보존법칙
- 제 27 장 QFT로의 전망
- 제 28 장 양자중력 문제
부록 A~D: 복소수, 선형대수, Fourier 해석, Lagrangian·Hamiltonian 형식(각 Part에서 필요할 때 참조)
🔵 카이: 긴 여행이네요. 그래도 지도가 있으니 안심이 돼요.
🟡 리나: 길을 잃으면 언제든 이 프롤로그로 돌아와. 지금 어디에 있는지, 다음에 어디로 향하는지 확인할 수 있으니까.
미시 세계는 「뭔가 다른 것」¶
🟡 리나: 마지막으로, 한 가지만 마음가짐을 전해둘게.
🟡 리나: 양자역학을 배울 때, 「전자는 파동인가 입자인가」라는 물음에 고민하는 사람이 많아. 답은——
전자는 파동도 입자도 아니다.
🔵 카이: 그러면 뭔데요?
🟡 리나: 전자는, 어떤 수학적 규칙——확률진폭의 규칙——을 따르는 「무언가」야. 그 규칙을 따르면, 때로는 파동과 비슷한 성질이 나타나고, 때로는 입자와 비슷한 성질이 나타나. 그뿐이야.
🔵 카이: 파동도 입자도 아니라면, 머릿속에서 어떻게 이미지를 그리면 되나요?
🟡 리나: 억지로 이미지를 그리지 않아도 돼. 「파동」이나 「입자」는 일상세계로부터의 유추에 불과하고, 미시 세계의 진짜 모습은 그 어느 쪽과도 달라. 수식이 알려주는 행동을 그대로 받아들인다——그것이 양자역학과 사귀는 방법이야.
⚪ 메이: 즉, 일상의 직감을 내려놓고, 수식의 예언과 실험결과만을 의지한다는 거네.
🟡 리나: 완벽한 정리야. Feynman은 이렇게 말했어.
「아무도 양자역학을 이해하지 못한다고 안전하게 말할 수 있다고 생각한다.」
🟡 리나: 이건 「양자역학은 너무 어려워서 이해불능이다」라는 의미가 아니야. 「일상의 직감으로 번역하려 해도 무리다」라는 의미야. 수식을 따라가고, 실험과 대조하면, 양자역학은 완벽하게 「사용할 수 있어」. 하지만 「왜 자연은 그렇게 되어 있는가」라는 물음에는, 지금으로서는 아무도 답할 수 없어.
🔵 카이: 좀 무섭긴 하지만……설레기도 해요.
🟡 리나: 그 기분이 중요해. 그럼, 여행을 시작하자. 제 1 장에서, 고전물리학이 직면한 3가지 위기에서 출발할 거야.
✅ 이해도 체크: 「전자는 파동도 입자도 아니다」란 어떤 의미인가요?
답
전자는 확률진폭의 규칙을 따르는 존재이며, 그 규칙의 결과로 파동과 비슷한 성질(간섭)이나 입자와 비슷한 성질(개별 검출)이 나타난다. 「파동」 「입자」는 일상세계로부터의 유추이며, 전자의 진짜 모습은 그 어느 쪽과도 다르다.
다음 장 예고¶
🟡 리나: 제 1 장에서는, 「고전물리의 3가지 위기」라는 제목으로, 19세기 말에 물리학자들을 당혹케 한 3가지 문제를 다뤄.
- 흑체복사 — 가열된 물체가 내보내는 빛의 에너지 분포. 고전물리학으로 계산하면 무한대로 발산해버린다(자외선 파탄). Planck가 「에너지는 띄엄띄엄이다」라는 가설로 해결.
- 광전효과 — 금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나온다. 빛의 세기가 아니라 색(진동수)이 결정적. Einstein의 광양자 가설로 설명.
- 원자의 안정성 — 고전 전자기학에서는, 전자가 전자기파를 방출하면서 나선을 그리며 원자핵으로 떨어져야 한다. 그런데 원자는 수십억 년이나 안정하게 존재하고 있다.
🔵 카이: 드디어 수식이 나오는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 하지만 무서워하지 않아도 돼. 하나씩, 「왜 이 식이 나오는지」를 확인하면서 나아갈 테니까. 가자.
참고문헌¶
- [1] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. III (Addison-Wesley, 1965), Ch. 1.
- [2] D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2018), Ch. 1.
- [3] 清水明『新版 量子論の基礎——その本質のやさしい理解のために』(サイエンス社, 2004), Ch. 1.
- [4] C. Rovelli, Reality Is Not What It Seems: The Journey to Quantum Gravity (Riverhead Books, 2017), Ch. 6.
- [5] 広江克彦『趣味で量子力学』(SB クリエイティブ, 2015), Ch. 1.
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