제7장 계량 텐서와 Schwarzschild 계량의 도입¶
지난 이야기: 제 6 장에서는 곡선좌표(극좌표·구면좌표)와 Jacobi 행렬을 사용한 좌표변환의 구조를 배우고, 계량 텐서 \(g_{ij}\)를 도입했다. "거리의 공식"이 좌표에 따라 달라지지만, 거리 자체는 좌표 선택에 의존하지 않는다는 것을 확인했다. 그러나 핵심 질문인 "휘어진 시공간에서 두 점 사이의 '거리'를 어떻게 측정하는가?"에는 아직 답하지 않았다.
이 장의 목표
- 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}(x)\)가 휘어진 시공간에서의 "자"이며, 고유시간·고유길이·빛의 경로가 모두 이 하나의 대상으로부터 결정된다는 것을 이해한다
- 특수상대론의 Minkowski 계량을 일반화한 뒤, 구대칭인 별 주위의 시공간을 기술하는 Schwarzschild 계량을 결과만 제시하고, 중력에 의한 시간 지연과 공간의 늘어남을 "맛보기"한다
- 이로써 다음 장 이후에서 입자의 운동(측지선)을 논의할 토대가 갖추어진다
이 장의 단위계: 계량 성분의 물리적 의미를 명확히 하기 위해 주로 \(c\)를 명시하는 SI 단위계를 사용한다. 다만 식을 간결하게 하고 싶은 부분(Schwarzschild 계량 읽기 등)에서는 자연단위계 \(c = 1\)이나 기하학적 단위계 \(G = c = 1\)로 전환한다. 그때는 본문에서 명시한다. 변환 규칙은 Appendix D.6을 참조.
7.1 평탄한 시공간의 "거리"를 떠올려 보자¶
🟡 리나: 지난 장에서 "좌표는 점에 이름을 붙이는 것일 뿐"이라고 배웠지. 그렇다면 두 점이 얼마나 "떨어져 있는지"는 무엇으로 결정될까?
🔵 카이: 특수상대론에서는 \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\)이었잖아요.
🟡 리나: 맞아. 여기서는 계량의 구조를 보기 쉽게 하기 위해 \(c = 1\) 단위계로 쓸게.
이것이 Minkowski 계량의 선소(line element)야. 무한히 가까운 두 사건 사이의 "시공간 간격의 제곱"을 주는 식이지.
⚪ 메이: 보통 유클리드 공간이라면 \(ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\)으로 피타고라스 정리 그 자체인데, 시공간에서는 시간 항에 마이너스 부호가 붙는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이 마이너스 부호야말로 "시간"과 "공간"을 구별하는 열쇠야. 제 2 장에서 배운 Einstein 축약 규칙을 사용해서 (7.1) 식을 간결하게 써 보자.
여기서 \(\eta_{\alpha\beta}\)는
라는 \(4\times4\) 행렬이야. 이것이 Minkowski 계량이야.
🔵 카이: \(\eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\)에서, \(\alpha\)가 아래와 위에, \(\beta\)도 아래와 위에 있으니까, 둘 다 0부터 3까지 더하는 거죠. Einstein 축약 규칙.
🟡 리나: 맞아. 전개하면
그런데 Minkowski 계량은 대각행렬이니까, \(\alpha \neq \beta\)인 항은 모두 0이야. 남는 것은
으로 (7.1)에 돌아와.
⚪ 메이: 즉, \(\eta_{\alpha\beta}\)라는 행렬이 "시공간의 거리 측정법"을 전부 결정하고 있는 거네.
✅ 이해도 체크: Minkowski 계량의 선소 \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\)에서, 시간 방향 항에 마이너스 부호가 붙는 것의 물리적 의미는 무엇일까요?
답
마이너스 부호는 "시간"과 "공간"을 구별하는 역할을 한다. 이로 인해 시공간 간격 \(ds^2\)가 양(공간적)·음(시간적)·영(빛과 같은, 광적)의 3종류로 나뉘며, 인과 구조가 결정된다.
7.2 계량 텐서——휘어진 시공간의 "자"¶
🟡 리나: 여기서부터가 본론이야. 휘어진 시공간에서는, \(\eta_{\alpha\beta}\)처럼 전체 공간에서 상수인 행렬은 존재하지 않아. 대신 장소마다 값이 변하는 행렬 \(g_{\alpha\beta}(x)\)를 사용해.
이 \(g_{\alpha\beta}(x)\)를 계량 텐서(metric tensor), 또는 간단히 계량(metric)이라고 불러.
🔵 카이: 장소마다 "자의 눈금"이 변한다는 뜻인가요?
🟡 리나: 좋은 직관이야. 지구 표면을 떠올려 봐. 적도 부근에서는 경도 1도당 거리가 약 111 km인데, 북위 60도에서는 약 56 km가 돼. 같은 "경도 1도"인데 실제 거리가 다르지. 이것은 계량의 성분이 장소에 따라 변하고 있기 때문이야.
⚪ 메이: \(\alpha\)와 \(\beta\)가 0부터 3까지 달리니까 \(4\times4\) 행렬이라는 거지. 성분이 전부 제각각 값을 가질 수 있는 건가?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 사실 제약이 있어. \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\)의 우변에서 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 이름을 바꿔도 같은 값이 되니까, \(g_{\alpha\beta}\)와 \(g_{\beta\alpha}\)를 구별할 필요가 없어——즉 \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\)가 자연스럽게 성립해. 따라서 대칭행렬이지. 대칭성에 더해, 일반상대론에서 사용하는 계량에는 중요한 성질이 2가지 더 있어. 먼저 비퇴화(non-degenerate)——역행렬이 존재한다는 것. "행렬식이 0이 아니다"와 같은 의미야(행렬식은 고등학교에서 다루지 않지만, \(2\times2\) 행렬 \(\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\)이면 \(ad - bc\)인 것. 이것이 0이면 역행렬을 만들 수 없어).
🔵 카이: 행렬식이 0이면 역행렬을 만들 수 없다…… 즉 "자가 찌그러져서 거리를 측정할 수 없게 된다" 같은 이미지인가요?
🟡 리나: 맞아, 좋은 직관이야. 역행렬의 성분을 \(g^{\alpha\beta}\)(첨자를 위에 쓴다)로 표기해. 즉 \(g^{\alpha\gamma}g_{\gamma\beta} = \delta^\alpha{}_{\beta}\)가 성립해. 여기서 \(\delta^\alpha{}_{\beta}\)는 크로네커 델타——\(\alpha = \beta\)이면 1, \(\alpha \neq \beta\)이면 0인 양으로, 행렬로 쓰면 단위행렬의 성분이야. 즉 "계량행렬 × 역계량행렬 = 단위행렬"이라는 뜻이지. 이것은 나중에 "첨자를 올리기/내리기"라는 연산에 필요하게 돼.
🔵 카이: 대칭이고 역행렬이 존재한다. 여기까지는 알겠어요. 세 번째는 뭔가요?
✅ 이해도 체크: 계량 텐서가 "비퇴화"라는 것은 무슨 의미일까요? 또 역행렬의 성분은 어떻게 표기할까요?
답
비퇴화란 역행렬이 존재한다(행렬식이 0이 아니다)는 것. 역행렬의 성분은 첨자를 위에 써서 \(g^{\alpha\beta}\)로 표기하며, \(g^{\alpha\gamma}g_{\gamma\beta} = \delta^\alpha{}_\beta\)를 만족한다.
🔵 카이: 첨자가 아래면 계량 그 자체, 위면 역행렬이라는 거군요. 행렬식이 0이 아니니까 역행렬이 존재한다, 와.
🟡 리나: 맞아. 또 하나가 부호수(signature) \((-,+,+,+)\)야. Minkowski 계량이면 대각 성분이 \((-1, 1, 1, 1)\)이니까, 마이너스가 1개, 플러스가 3개——이것을 부호수 \((-,+,+,+)\)라고 써. 일반 계량은 대각행렬이 아닐 수 있지만, 어떤 한 점에서 적절히 좌표를 선택하면 대각 형태로 만들 수 있어——즉 대각 성분 이외를 모두 0으로 만들 수 있다는 거야. 이것을 "대각화"라고 불러. 실수 성분의 대칭행렬은 반드시 대각화할 수 있다는 선형대수 정리가 있어(고등학교에서는 다루지 않지만, 직관적으로는 "좌표축의 방향을 적절히 다시 선택하면, 서로 다른 방향 사이의 혼합항——예를 들어 \(dx\,dy\) 같은 항——을 모두 0으로 만들 수 있다"는 것. 2차원에서 \(x\)축과 \(y\)축을 회전시켜 타원의 주축에 맞추는 이미지야). 이것이 첫 번째 단계——비대각 성분을 0으로 만드는 조작이야.
두 번째 단계로, 대각화한 후에 각 좌표를 상수배하는 조작(스케일 변환)을 하면, 대각 성분을 \(+1\)이나 \(-1\)로 맞출 수도 있어. 이것은 좌표변환의 일종으로, 예를 들어 \(x' = ax\)처럼 좌표의 눈금을 확대·축소하는 조작이야.
🔵 카이: 대각 성분을 \(+1\)이나 \(-1\)로 맞춘다…… 구체적으로는 어떻게 하나요?
🟡 리나: 예를 들어 대각 성분이 \(+4\)라면, 그 방향의 좌표를 2배로 늘리면 \(+1\)이 돼. 구체적으로는 \(ds^2 = 4\,dx^2\)에서 \(x' = 2x\)로 놓으면 \(dx = dx'/2\)이므로 \(ds^2 = 4(dx'/2)^2 = dx'^2\)이 돼. 마찬가지로 대각 성분이 \(-9\)라면, \(ds^2 = -9\,dt^2\)에서 \(t' = 3t\)로 놓으면 \(dt = dt'/3\)이므로 \(ds^2 = -9(dt'/3)^2 = -dt'^2\)이 돼. 일반적으로, 대각 성분이 양수 \(a\)라면 \(\sqrt{a}\)배의 스케일 변환으로 \(+1\)로, 음수 \(-b\)라면 \(\sqrt{b}\)배로 \(-1\)로 만들 수 있어. 비퇴화(행렬식≠0)이므로 대각 성분에 0은 나타나지 않아——반드시 양수이거나 음수 중 하나야.
⚪ 메이: 그때 \(+1\)의 개수와 \(-1\)의 개수는, 좌표 선택에 상관없이 일정하게 되는 거야?
🟡 리나: 맞아. 여기까지의 두 단계——(1) 대각화하여 비대각 성분을 0으로 만들기, (2) 스케일 변환으로 대각 성분을 \(\pm 1\)로 맞추기——를 거치면, 어떤 한 점에서의 계량은 \(\mathrm{diag}(\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1)\) 형태로 만들 수 있어. 그러면 "\(+1\)의 개수와 \(-1\)의 개수가 좌표에 무관하게 일정"한 것은 왜일까. 직관적으로는, 좌표변환은 연속적인 조작이므로, 어떤 대각 성분이 플러스에서 마이너스로 바뀌려면 도중에 0을 지나야 해. 그런데 대각행렬의 행렬식은 대각 성분을 모두 곱한 것(\(4\times4\)라면 4개의 대각 성분의 곱)이야.
🔵 카이: 모두 곱한 것…… \(2\times2\)라면 \(ad - bc\)인데, 대각행렬에서는 \(b = c = 0\)이니까 \(a \times d\)이죠.
🟡 리나: 맞아. \(4\times4\)에서도 같은 구조로, 4개의 대각 성분의 곱이 돼. 따라서 대각 성분이 하나라도 0이 되면 행렬식도 0——즉 비퇴화(행렬식≠0)에 모순돼. 그러니까 0을 지날 수 없고, 부호는 바뀌지 않아(이 사실은 Sylvester의 관성법칙이라고 불리지만, 이름은 외울 필요 없어).
🔵 카이: 그렇군요, 부호가 바뀌려면 0을 지나야 하는데, 0이 되면 행렬식도 0이 되어 비퇴화에 모순이니까, 지날 수 없다…… 그래서 부호의 개수는 불변인 거군요.
🟡 리나: 맞아. 물리적으로 말하면, 좌표를 바꿔도 "시간 방향이 1개, 공간 방향이 3개"라는 시공간의 기본 구조는 변하지 않아야 해——부호수는 바로 그것을 수학적으로 보장하고 있어. 시공간의 계량에서는 "마이너스 1개, 플러스 3개"를 요구해. 마이너스 1개가 "시간 방향", 플러스 3개가 "공간 방향"에 대응해.
⚪ 메이: 정리하면, 계량 텐서의 성질은 3가지——대칭·비퇴화·부호수 \((-,+,+,+)\)이네.
표 7.1: 계량 텐서의 3가지 성질
| 성질 | 의미 | 수학적 표현 |
|---|---|---|
| 대칭 | 첨자를 교환해도 값이 변하지 않음 | \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\) |
| 비퇴화 | 역행렬이 존재함 | \(\det(g_{\alpha\beta}) \neq 0\) |
| 부호수 \((-,+,+,+)\) | 시간 1방향·공간 3방향 | 대각화했을 때 음이 1개, 양이 3개 |
🟡 리나: 맞아. 대칭이기 때문에 독립 성분의 수가 줄어. 세어 보자. \(4\times4\) 행렬은 전부 16개 성분이 있지만, \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\)이므로 상삼각 부분과 하삼각 부분은 같은 값——독립적인 것은 대각 성분 4개와, 대각 위의 성분 \(\frac{4\times3}{2} = 6\)개를 합쳐 10개야. 일반적으로 \(n \times n\)의 대칭행렬이라면 \(\frac{n(n+1)}{2}\)개로, \(n = 4\)이면 \(\frac{4 \times 5}{2} = 10\)개. 이 10개의 함수가 시공간의 기하학——즉 중력장——을 완전히 결정해.
🔵 카이: 10개의 함수로 중력장이 결정된다…… Newton 모델에서는 포텐셜 \(\Phi\) 하나였는데, 꽤 복잡하네요.
🟡 리나: 맞아. 하지만 그 대신, 시간 지연도 공간의 휘어짐도, 빛의 궤도도, 모두 이 10개로부터 도출돼. 하나의 대상으로 전부를 통일적으로 기술할 수 있어.
✅ 이해도 체크: 4차원 시공간의 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}\)의 독립 성분은 몇 개일까요? 왜 그 수가 될까요?
답
10개. \(4 \times 4\)의 대칭행렬(\(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\))이므로, 독립 성분은 \(4 \times 5 / 2 = 10\)개.
📝 연습문제:
- Minkowski 계량·계량 텐서 읽기 → 문제 B-1. Minkowski 계량에 의한 선소 계산과 시공 분류, 문제 B-2. 2차원 구면의 계량 텐서와 역계량, 문제 B-6. de Sitter 형 계량의 성분과 역계량, 문제 M-5. 계량 텐서의 독립 성분의 수
7.3 고유시간——"자기 시계"가 새기는 시간¶
🟡 리나: 계량에서 가장 중요한 물리량을 추출해 보자. 먼저 고유시간(proper time) \(d\tau\)부터.
🔵 카이: 고유시간이란, 제 5 장에서 나온 "움직이는 시계가 새기는 시간"이죠?
🟡 리나: 맞아. 어떤 입자가 시공간을 이동할 때, 그 입자가 갖고 있는 시계가 새기는 시간이 고유시간이야. 질량을 가진 입자는 빛보다 느리니까, 입자의 경로를 따른 미소 변위에서는 \(c^2 dt^2\)(시간 항)이 \(dx^2 + dy^2 + dz^2\)(공간 항)보다 커. 여기서 차원 이야기를 하기 위해 잠시 \(c\)를 명시한 SI 단위계로 돌아갈게. Minkowski 계량은 \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\)이고, 입자의 속력이 광속 미만이면 \(c^2 dt^2 > dx^2 + dy^2 + dz^2\)이므로 \(ds^2 < 0\)이 돼——이것이 "시간적 경로"야.
🔵 카이: \(ds^2\)가 음이 되나요? "제곱"인데 마이너스라니 이상한 느낌이에요.
🟡 리나: 그렇게 느낄 수 있지. \(ds^2\)라는 기호는 "무언가의 제곱"이 아니라, "시공간 간격"이라는 하나의 양의 이름이라고 생각해. 그리고 고유시간 \(d\tau\)는 "시계가 새기는 시간"이니까 양의 실수여야 해. 즉 \(d\tau^2\)는 양이어야 해. \(ds^2 < 0\)이면 \(-ds^2 > 0\)이니까, \(d\tau^2 = -ds^2\)로 정의하면 양이 돼. 다만 SI 단위계(\(c \neq 1\))에서는 차원도 맞춰야 해. SI 단위계에서의 선소는 \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\)로 "길이의 제곱" 차원을 가져. 반면 \(d\tau\)는 "시간"의 차원이니까, \(d\tau^2\)는 "시간의 제곱" 차원이야. 물리적으로는, 입자가 정지해 있는 계(\(dx = dy = dz = 0\))에서는 \(ds^2 = -c^2 dt^2\)가 돼. 제 4 장에서 \(c = 1\) 단위계로는 \(d\tau^2 = -ds^2\)라고 정의했었지. SI 단위계에서는 어떻게 되는지——Minkowski 시공간에서 입자가 정지해 있는 계에서는, 좌표 시계가 입자와 함께 정지해 있으므로 좌표시 \(dt\)가 그대로 입자의 고유시간 \(d\tau\)와 같아. 따라서 \(ds^2 = -c^2 d\tau^2\), 즉
가 돼. \(ds^2\)는 스칼라(좌표에 무관한 불변량)이고, \(d\tau\)도 "입자 자신의 시계가 새기는 시간"이라는 좌표계 선택에 의존하지 않는 물리량——즉 스칼라——이므로, 이 관계는 정지계에서만이 아니라 임의의 관성계에서 성립해. 왜냐하면 스칼라는 "어떤 좌표계에서 계산해도 같은 값이 되는 양"이므로, 좌변 \(c^2 d\tau^2\)도 우변 \(-ds^2\)도 좌표계를 바꿔도 값이 변하지 않아. 어떤 좌표계에서 "좌변 = 우변"이 성립하면, 다른 좌표계로 옮겨도 양변의 값은 각각 변하지 않으므로, 등식은 그대로 성립하는 거야.
🔵 카이: 아, 양변이 스칼라이니까, 하나의 좌표계에서 등식을 보이면 어떤 좌표계에서든 성립한다——잘 만들어져 있네요.
🟡 리나: 맞아. 차원을 확인하면, 좌변은 \([\text{속도}]^2 \times [\text{시간}]^2 = [\text{길이}]^2\)이고, 우변 \(-ds^2\)의 차원 "길이의 제곱"과 일치해.
여기서부터 다시 \(c = 1\) 단위계로 돌아갈게. \(c^2 = 1\)이므로 (7.5) 식은 단순히
⚪ 메이: \(ds^2 < 0\)일 때(시간적 간격)에만 \(d\tau\)가 실수가 되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그리고 빛처럼 \(ds^2 = 0\)이면 \(d\tau = 0\)——빛은 고유시간을 경험하지 않아.
🟡 리나: 유한한 경로를 따른 고유시간은, 경로를 따라 적분하면 돼. 먼저 "경로의 매개변수"를 설명할게. 입자가 시공간 속에서 A 지점에서 B 지점까지 이동할 때, 그 경로 위의 각 점에 \(\lambda = 0\)(출발)부터 \(\lambda = 1\)(도착)처럼 번호를 매긴다——이 번호가 "매개변수 \(\lambda\)"야. 번호 매기는 방법은 자유이고, 등간격이 아니어도 돼. 그러면 경로 위의 좌표는 \(\lambda\)의 함수 \(x^\alpha(\lambda)\)로 쓸 수 있어. \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\)는 "매개변수 \(\lambda\)가 조금 변할 때 좌표 \(x^\alpha\)가 얼마나 변하는가"——즉 경로의 접선 방향 성분이야.
여기서, 미소 고유시간 \(d\tau = \sqrt{-g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta}\)의 \(dx^\alpha\)를 \(dx^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\lambda}\,d\lambda\)로 바꿔 쓰면——이것은 "\(\lambda\)가 \(d\lambda\)만큼 변할 때, 좌표가 \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\,d\lambda\)만큼 변한다"는 미분의 정의 그 자체야. 대입하면 \(d\tau = \sqrt{-g_{\alpha\beta}\,\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\,\frac{dx^\beta}{d\lambda}}\;d\lambda\)가 돼. 이것을 A부터 B까지 더하면
여기서 \(\lambda_A\)는 출발점, \(\lambda_B\)는 도착점에 대응하는 매개변수 값이야(아까 예에서는 \(\lambda_A = 0\), \(\lambda_B = 1\)). 이 적분값은 매개변수 선택에 의존하지 않아——물리적으로 측정 가능한 양이니까 당연하지.
🔵 카이: 매개변수에 의존하지 않는다니, 왜 그런 건가요? 애초에 매개변수란 적분을 쓰기 위해 편의상 넣은 것이잖아요? 편의적인 것에 결과가 좌우되면 이상한 건 알겠는데, 정말 괜찮은 건지 궁금해요.
🟡 리나: 좋은 의문이야. 예를 들어 같은 경로를 "\(\lambda = 0\)부터 \(1\)까지 등간격으로 번호를 매기는 것"과 "\(\lambda' = 0\)부터 \(100\)까지 매기는 것"으로 계산되는 고유시간이 달라지면 곤란하잖아——같은 시계가 같은 경로를 지나고 있는데, 번호 매기는 방식으로 결과가 변한다면 물리적으로 말이 안 돼. 그래서 "어떤 매개변수를 사용해도 같은 값이 된다"는 것을 확인해 둘 필요가 있어. 직관적으로는 "길을 측정할 때, 걷는 속도를 바꿔도 거리 자체는 변하지 않는다"는 것과 같아——매개변수는 걷는 속도에 해당해. 아래에서 이것을 수식으로 확인할게.
보이고 싶은 것과 증명의 뼈대를 먼저 정리해 둘게.
- 보이고 싶은 것: \(\lambda\) 대신 다른 매개변수 \(\lambda'\)를 사용해도, 적분 (7.7)의 값이 같다
- 증명의 뼈대: 연쇄법칙으로 나오는 인자 \(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\)와, 치환적분으로 나오는 인자 \(\frac{d\lambda}{d\lambda'}\)가 역수 관계여서 서로 상쇄된다——그래서 적분값은 변하지 않는다
- 2단계: (i) 연쇄법칙으로 \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\)를 변환, (ii) 치환적분으로 적분변수를 \(\lambda'\)로 변경
단계 (i): 연쇄법칙으로 변환. \(\lambda\)를 다른 매개변수 \(\lambda'\)로 바꾼다는 것은 무슨 뜻일까. 경로 위의 각 점에는 \(\lambda\)라는 번호가 붙어 있는데, 같은 점에 \(\lambda'\)라는 다른 번호를 다시 붙일 수 있어. 그러면 \(\lambda'\)는 \(\lambda\)의 함수(\(\lambda' = \lambda'(\lambda)\))가 되고, 좌표 \(x^\alpha\)는 \(x^\alpha(\lambda'(\lambda))\)라는 합성함수가 돼. 고등학교에서 배운 합성함수의 미분(연쇄법칙) \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\)와 같은 구조로, \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda'}\cdot\frac{d\lambda'}{d\lambda}\)가 돼.
여기서 조건 하나가 필요해——매개변수의 "방향"을 맞추는 것. 즉 \(\lambda\)가 증가할 때 \(\lambda'\)도 증가하도록(\(\frac{d\lambda'}{d\lambda} > 0\)) 해야 해. 물리적으로는 "경로를 역방향으로 되돌아가지 않는다"는 자연스러운 조건이야. 왜 이것이 필요한지 설명하면, 루트 안에서 \(\left(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right)^2\)를 꺼낼 때 \(\sqrt{a^2} = |a|\)이므로 절대값이 붙어. \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} > 0\)이면 \(\left|\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right| = \frac{d\lambda'}{d\lambda}\)로 절대값을 벗길 수 있어(만약 음이면 마이너스가 나와서 고유시간이 음이 돼 버려——물리적으로 무의미해). 구체적인 예로 확인하면, \(\lambda = 0\)부터 \(1\) 대신 \(\lambda' = 2\lambda\)(즉 \(\lambda' = 0\)부터 \(2\))를 사용하는 경우, \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} = 2 > 0\)으로 방향은 같아. 이때 \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda'} \cdot 2\)이므로, 루트 안에 \(2^2 = 4\)가 들어가고, 밖으로 꺼내면 \(2\)가 돼. 한편, 치환적분으로 \(d\lambda = \frac{1}{2}d\lambda'\)이므로 \(2 \times \frac{1}{2} = 1\)로 상쇄돼——적분값은 변하지 않아.
이 조건 아래에서 연쇄법칙의 결과를 적분에 대입하면——\(\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda'}\cdot\frac{d\lambda'}{d\lambda}\)를 2군데(\(\alpha\)와 \(\beta\))에 사용하므로, 루트 안에 \(\left(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right)^2\)가 나타나:
🔵 카이: 아, \(\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\)와 \(\frac{dx^\beta}{d\lambda}\) 양쪽에 \(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\)가 곱해지니까, 제곱이 되어 루트 안에 들어가는 거군요. 그리고 \(\sqrt{\left(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right)^2} = \left|\frac{d\lambda'}{d\lambda}\right|\)인데, 방향을 맞췄으니 절대값을 벗겨서 그대로 꺼낼 수 있는 거네요.
🟡 리나: 맞아.
단계 (ii): 치환적분. 다음으로 적분변수를 \(\lambda\)에서 \(\lambda'\)로 바꾸고 싶어. 치환적분——고등학교에서 \(x = g(t)\)로 놓았을 때 \(dx = g'(t)\,dt\)로 바꿔 쓴 것 있지——그것과 같아서, \(d\lambda = \frac{d\lambda}{d\lambda'}\,d\lambda'\)야. \(\frac{d\lambda}{d\lambda'}\)는 \(\frac{d\lambda'}{d\lambda}\)의 역수이므로 \(\frac{1}{d\lambda'/d\lambda}\)와 같은 것. 방향 조건(\(\frac{d\lambda'}{d\lambda} > 0\))에서 \(\frac{d\lambda}{d\lambda'} > 0\)이기도 하므로, 치환적분에서 적분 방향이 바뀌지 않아.
단계 (i)의 결과에 \(d\lambda = \frac{d\lambda}{d\lambda'}\,d\lambda'\)를 대입하고, 적분 끝점도 \(\lambda = \lambda_A\)에 대응하는 \(\lambda' = \lambda'_A\), \(\lambda = \lambda_B\)에 대응하는 \(\lambda' = \lambda'_B\)로 변환하면:
우변에 \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{d\lambda'} = 1\)(역수끼리의 곱)이라는 인자가 나타났지. 이것은 1이므로 사라져서
이것은 \(\lambda'\)로 쓴 원래 적분과 같은 형태야. 그러니까 매개변수 선택에 의존하지 않는 거야.
🔵 카이: 만약 방향을 반대로 했다면——\(\lambda'\)가 감소하는 방향으로 번호를 매겼다면——어떻게 되나요?
🟡 리나: \(\frac{d\lambda'}{d\lambda} < 0\)이 되어, 루트에서 꺼낼 때 마이너스가 나와——결과적으로 적분값의 부호가 반전되어 "고유시간이 마이너스"가 돼 버려. 물리적으로 의미가 없으므로 배제하는 거야.
🔵 카이: 아까 선생님이 말씀하신 "걷는 속도를 바꿔도 거리는 변하지 않는다"는 비유가, 수식에서도 제대로 확인된 거네요. 그런데, 만약 경로 자체를 바꾸면——즉 다른 길을 가면——고유시간은 변하죠?
⚪ 메이: 그렇지. 매개변수 선택은 "같은 길을 어떻게 번호 매기느냐"의 문제이고, 길 자체를 바꾸면 고유시간은 변해——이전 장의 쌍둥이 역설이 바로 그랬잖아.
🟡 리나: 맞아. 쌍둥이가 재회했을 때 고유시간이 달랐던 것은, 두 사람이 시공간 속에서 서로 다른 경로를 지났기 때문이야. 매개변수 선택이 아니라, 경로 자체의 차이가 물리적 차이를 만들어.
✅ 이해도 체크: 고유시간 \(d\tau\)와 시공간 간격 \(ds^2\)의 관계를 식으로 써 주세요.
답
\(d\tau^2 = -ds^2\)(\(c = 1\) 단위계). \(ds^2 < 0\)(시간적 간격)일 때에만 고유시간이 실수로 정의된다. 빛(\(ds^2 = 0\))은 고유시간을 경험하지 않는다.
7.4 고유길이——"자기 자"가 측정하는 거리¶
🟡 리나: 다음은 고유길이(proper length) \(dL\)이야. 어떤 순간에 두 점 사이의 거리를 측정한다——즉 좌표시의 차이가 0(\(dt = 0\))이고 공간적 방향만의 간격(\(ds^2 > 0\))에 대해 정의해. "\(dt = 0\)"은 사용 중인 좌표계에서의 동시각을 의미해. \(dt = 0\)이라는 것은 \(dx^0 = 0\)(\(c = 1\) 단위계에서는 \(x^0 = t\)이니까)이야. 그러면 \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\) 안에서 \(\alpha = 0\) 또는 \(\beta = 0\)인 항은 모두 \(dx^0 = 0\)을 포함하므로 사라져(\(g_{00}(dx^0)^2\)는 물론, \(g_{0i}\,dx^0\,dx^i\)——여기서 \(i = 1, 2, 3\)은 공간 성분——같은 시간과 공간의 "혼합항"도 \(dx^0 = 0\)으로 0이 돼). 남는 것은 \(\alpha, \beta\)가 모두 1, 2, 3인 항뿐이야. 즉
여기서 \(i, j\)는 그리스 문자 \(\alpha, \beta\)(0~3)와 달리 공간의 3방향(1, 2, 3)만을 달리는 첨자야(제 4 장에서 도입한 "라틴 문자는 공간 성분만"이라는 규칙이지). 즉 \(g_{ij}\)는 \(4\times4\)의 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}\) 중 공간 부분(\(\alpha, \beta = 1, 2, 3\))을 추출한 것.
유한한 길이는 마찬가지로 적분으로 얻을 수 있어:
여기서도 \(i, j = 1, 2, 3\)은 공간 성분만((7.8) 식과 같은 이유로, \(dt = 0\)이므로 \(\alpha = 0\)이나 \(\beta = 0\)인 항은 사라졌어). "\(dt = 0\)의 경로"라는 것은, 어떤 한순간의 시각을 고정하고 공간 속에서만 움직이는 곡선——사진을 찍은 순간의 공간 안에 그은 선, 이라고 이미지하면 돼. 시간 방향 성분이 없으니까, 루트 안의 내용은 \(g_{ij}\)(공간 성분만의 계량)로 결정돼. 대각 계량(비대각 성분이 0인 경우——이 뒤에 바로 나오는 구면좌표의 계량이 그 예야)에서는, 루트 안의 내용은 \(g_{11}(dx^1/d\lambda)^2 + g_{22}(dx^2/d\lambda)^2 + g_{33}(dx^3/d\lambda)^2\)이 돼. \(g_{11}, g_{22}, g_{33}\)이 모두 양이고, \((dx^i/d\lambda)^2\)도 제곱이므로 양——따라서 루트 안의 내용은 양이 돼. 일반 계량에서도 부호수 \((-,+,+,+)\)와 \(dt = 0\) 조건으로부터, 공간 방향의 거리는 항상 양이 됨이 보장돼. 직관적으로는, 부호수 \((-,+,+,+)\)는 "마이너스는 시간 방향뿐"이라는 의미이므로, 시간 방향을 제외한 공간 부분은 모두 플러스——즉 공간 방향의 계량은 양정치(어떤 방향이든 거리가 양)가 돼. 엄밀한 증명은 선형대수 이야기가 되니까 지금은 생략할게.
🔵 카이: 고유시간은 \(-ds^2\)이고, 고유길이는 \(+ds^2\)인가. 부호가 반대군요.
🟡 리나: 맞아. 시간적 방향에서는 \(ds^2 < 0\)이므로 \(-ds^2 > 0\)이 되어 고유시간이 실수가 되고, 공간적 방향에서는 \(ds^2 > 0\)이므로 고유길이가 실수가 돼. 계량의 부호 \((-,+,+,+)\)가 이 구별을 자연스럽게 제공해 주는 거야.
🟡 리나: 고유시간은 \(ds^2 < 0\)인 영역, 고유길이는 \(ds^2 > 0\)인 영역에서 정의돼——이 3가지 영역을 광원뿔로 시각화하면 알기 쉬워. 그림 7.1「시공간 간격의 3분류와 광원뿔」를 봐. 광원뿔의 내부가 시간적 영역(고유시간이 정의됨), 외부가 공간적 영역(고유길이가 정의됨), 원뿔 위가 광적이야. 질량을 가진 입자의 세계선은 항상 광원뿔의 내부를 지나——빛보다 느리니까 당연하지.
그림 7.1: 시공간 간격의 3분류와 광원뿔. 광원뿔의 내부가 시간적 영역(\(ds^2 < 0\), 고유시간이 정의됨), 외부가 공간적 영역(\(ds^2 > 0\), 고유길이가 정의됨), 광원뿔 위가 광적(\(ds^2 = 0\)). 질량을 가진 입자의 세계선은 항상 광원뿔의 내부를 지난다.
⚪ 메이: 정리하면, 계량 텐서만 주어지면 고유시간과 고유길이를 계산할 수 있는 거네.
🔵 카이: 빛의 경우는 \(ds^2 = 0\)이니까 고유시간이 0이잖아요. 그러면 빛의 경로는 어떻게 결정되나요? 고유시간을 쓸 수 없다면 다른 조건이 필요하다는 거죠?
🟡 리나: 좋은 질문이야. \(ds^2 = 0\)을 만족하는 경로가 빛의 길이 돼. 고유시간이 0이라는 것은, 빛이 항상 \(ds^2 = 0\)인 면(광원뿔) 위를 달린다는 뜻——그래서 \(g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta = 0\)이라는 조건이 빛의 경로를 결정해. 표로 정리하면 이렇게 돼.
표 7.2: 계량 텐서로부터 정해지는 고유시간과 고유길이
| 물리량 | 정의 | 조건 |
|---|---|---|
| 고유시간 \(d\tau\) | \(d\tau^2 = -g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta\) | \(ds^2 < 0\)(시간적) |
| 고유길이 \(dL\) | \(dL^2 = g_{ij}\,dx^i dx^j\)(\(dt = 0\)) | \(dt = 0\)(공간적 간격, \(ds^2 > 0\)) |
| 빛의 경로 | \(0 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta\) | \(ds^2 = 0\)(광적) |
⚪ 메이: 이렇게 "어떤 사건이 빛으로 연결되는지"도 포함해서 전부 결정되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 빛으로 연결되는지 아닌지가 알려진다는 것은, "어떤 사건이 어떤 사건에 신호를 보낼 수 있는지"——즉 인과관계가 계량만으로 결정된다는 뜻이야. 계량은 정말로 시공간의 모든 정보를 담고 있어.
7.5 곡선좌표에서도 계량은 쓸 수 있다——평탄한 시공간의 극좌표¶
🟡 리나: 여기서 중요한 주의사항. 계량의 성분이 장소에 의존한다고 해서, 공간이 휘어져 있다고는 할 수 없어. 왜 계량의 성분이 장소에 의존하는지를 시각적으로 이해하기 위해, 좌표 기저의 이야기를 해 둘게. 그림 7.2「좌표 기저와 정규직교기저의 비교」를 봐. 제 6 장에서 배운 것처럼, 계량의 성분은 좌표 기저의 내적 \(g_{ij} = \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j\)였지. 그래서 \(g_{22} = |\mathbf{e}_\theta|^2 = r^2\), 즉 \(|\mathbf{e}_\theta| = r\)이고, \(\mathbf{e}_\theta\)의 길이가 \(r\)에 비례하여 장소마다 변해. "계량의 성분 \(g_{22} = r^2\)가 장소에 의존한다"는 것은, 이 기저 벡터의 길이가 변하는 것의 반영이야. 비교를 위해, 어느 점에서든 길이 1이고 서로 직교하도록 맞춘 "정규직교기저" \(\hat{\mathbf{e}}_r, \hat{\mathbf{e}}_\theta\)도 함께 그려져 있어. "정규"는 길이 1, "직교"는 서로 수직이라는 뜻이야.
그림 7.2: 좌표 기저와 정규직교기저의 비교. (a) 좌표 기저 \(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta\). \(|\mathbf{e}_r| = 1\)이지만 \(|\mathbf{e}_\theta| = r\)로 장소에 따라 길이가 변한다. (b) 정규직교기저 \(\hat{\mathbf{e}}_r, \hat{\mathbf{e}}_\theta\)는 어디서든 길이 1.
🟡 리나: 그림의 (a)가 좌표 기저——\(\mathbf{e}_\theta\)의 길이가 장소에 따라 변하는 것이 보이지. 그래서 계량의 성분 \(g_{22} = r^2\)가 장소에 의존하는 거야. 하지만 이것은 좌표 선택 때문이지, 공간 자체는 평탄해. 그림의 (b)가 정규직교기저——좌표 기저와 달리, 어느 점에서든 길이 1로 정규화되어 있어. 이 차이를 시각적으로 비교하기 위해 실었어. 정규직교기저는 이후 장에서도 등장하니까, 여기서 존재만 알아 둬.
🔵 카이: 에, 그러면 계량의 성분이 변해도 휘어져 있지 않은 경우가 있다는 건가요?
🟡 리나: 평탄한 시공간을 극좌표 \((t, r, \theta, \varphi)\)로 써 보자. 직교좌표와의 관계는
🟡 리나: 이것을 (7.1)에 대입하면——\(dz = \cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta\)처럼 전미분을 계산해서(제 6 장에서 했던 절차와 같아)——
🟡 리나: 여기서 계량의 성분을 읽어 봐. \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\)와 비교하면 알 수 있어.
⚪ 메이: \(dt^2\)의 계수가 \(g_{00} = -1\), \(dr^2\)의 계수가 \(g_{11} = 1\), \(d\theta^2\)의 계수가 \(g_{22} = r^2\), \(d\varphi^2\)의 계수가 \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)이네. 정리하면
\(g_{22} = r^2\)이나 \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)은 장소에 의존하네. 아까 선생님이 말한 "성분이 장소에 의존해도 휘어져 있다고는 할 수 없다"는 것이, 바로 이 경우라는 거지?
🟡 리나: 맞아. 이것은 좌표 선택 때문이고, 시공간 자체는 평탄한 채야.
🔵 카이: 그러면 "정말로 휘어져 있는" 것인지 아닌지는 어떻게 판정하나요?
🟡 리나: 계량의 2계 미분으로부터 만들어지는 리만 곡률 텐서(4개의 첨자를 가진 양으로, 공간의 휘어진 정도를 정량화하는 것)가 0이 아니면, 정말로 휘어져 있어. 1계 미분까지는 좌표변환으로 없앨 수 있지만, 2계 미분은 없앨 수 없어——이것이 국소 평탄성 정리(local flatness theorem)의 귀결이야. 구체적인 정의와 계산은 이후 장에서 자세히 하니까, 지금은 "휘어짐의 판정 기준이 존재한다"는 것만 기억해 둬.
🟡 리나: 맞아. 국소 평탄성 정리를 정확히 서술해 둘게. 아무리 휘어진 시공간이라도, 임의의 한 점에서 좌표변환에 의해 계량을 \(\eta_{\alpha\beta}\)(Minkowski 계량)로 만들고, 더불어 계량의 1계 미분을 0으로 만들 수 있다. 그러나 2계 미분은 일반적으로 0으로 만들 수 없다. 따라서 "휘어져 있다"는 것의 본질은 2계 미분에 있어. 이것은 이후 장에서 자세히 다룰게.
⚪ 메이: 즉, 계량의 성분이 장소에 의존하더라도, 그것이 "좌표 선택 때문"인지 "진짜 휘어짐"인지는 1계 미분만으로는 구별할 수 없다——2계 미분까지 봐야 비로소 판정할 수 있다는 거네.
✅ 이해도 체크: 계량의 성분이 장소에 의존하더라도 공간이 휘어져 있다고는 할 수 없다. "정말로 휘어져 있는지" 여부는 무엇으로 판정할까요?
답
계량의 2계 미분으로부터 만들어지는 리만 곡률 텐서가 0이 아니면 정말로 휘어져 있다. 1계 미분까지는 좌표변환으로 없앨 수 있지만, 2계 미분은 없앨 수 없다.
7.6 계량이 "자"인 구체적 예¶
🔵 카이: 계량의 성분이 장소에 의존하는 것이 "자의 눈금이 장소마다 변한다"는 걸, 좀 더 구체적으로 보고 싶어요.
🟡 리나: 좋은 질문이야. (7.11) 식에서, \(t, \theta, \varphi\)를 고정하고 \(r\)만 \(dr\) 변화시켰을 때,
\(r\) 방향의 고유길이는 좌표 변화량과 그대로 일치해. 다음으로, \(t, r, \varphi\)를 고정하고 \(\theta\)만 \(d\theta\) 변화시키면,
🔵 카이: 아, 호의 길이다! 반지름 \(r\)인 원에서 각도 \(d\theta\)만큼 갔으면, 호의 길이는 \(r\,d\theta\). 당연하네요.
🟡 리나: 맞아. 계량의 성분 \(g_{22} = r^2\)는 "\(\theta\) 방향의 좌표 1눈금당 실제 거리가 \(r\)배가 된다"는 것을 가르쳐 주고 있어. 마찬가지로 \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)는 "\(\varphi\) 방향의 1눈금당 실제 거리가 \(r\sin\theta\)배"라는 뜻이야.
✅ 이해도 체크: 평탄한 시공간의 구면좌표에서 \(r\) 방향으로 \(dr\)만큼 갔을 때의 고유길이는 얼마일까요? \(\theta\) 방향으로 \(d\theta\)만큼 갔을 때는 어떨까요?
답
\(r\) 방향은 \(dL = dr\)(\(g_{11} = 1\)이므로 좌표 변화량과 일치). \(\theta\) 방향은 \(dL = r\,d\theta\)(\(g_{22} = r^2\)이므로 반지름 \(r\)인 원의 호의 길이).
⚪ 메이: 지구 표면에서 생각하면, 적도(\(\theta = \pi/2\))에서는 경도 1도당 거리가 최대이고, 극(\(\theta = 0\))에 가까워지면 \(\sin\theta \to 0\)으로 거리가 0에 가까워져. 지도책에서 고위도의 경선이 좁아지는 것은 이것 때문이네.
✅ 이해도 체크: 계량의 성분 \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\)는 물리적으로 무엇을 의미할까요?
답
\(\varphi\) 방향의 좌표 1눈금당 실제 거리가 \(r\sin\theta\)임을 의미한다. 적도(\(\theta = \pi/2\))에서 최대이고, 극(\(\theta = 0\))에서 0이 된다.
📝 연습문제:
- 극좌표의 고유길이·곡선좌표의 계량 → 문제 B-3. 극좌표에서 \(\varphi\) 방향의 고유 길이, 문제 M-1. 구면의 넓이 계산, 문제 M-2. 적도 위의 원둘레 길이
7.7 Schwarzschild 계량——구대칭인 별 주위의 시공간¶
🟡 리나: 여기까지의 도구를 사용하면, 이제 진짜 "휘어진 시공간"의 계량을 읽어낼 수 있어. 1916년에 Karl Schwarzschild(카를 슈바르츠실트)가 발견한, 구대칭이고 정적인 질량 \(M\)의 바깥(진공 영역)의 시공간 선소를 결과만 제시할게. 별 내부에는 물질이 있으므로 다른 계량이 되지만, 바깥만이라면 이 형태로 쓸 수 있어.
여기서
는 Schwarzschild 반지름이라고 불리는 양으로, 질량 \(M\)에 고유한 길이 스케일이야. 차원을 확인하면, \(G\)의 차원은 \([\mathrm{m}^3\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}]\), \(M\)은 \([\mathrm{kg}]\), \(c^2\)는 \([\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-2}]\)이므로, \(GM/c^2\)의 차원은 \([\mathrm{m}]\)——제대로 길이가 돼. 태양이면 \(r_s \approx 3\,\mathrm{km}\)(태양 반지름 약 70만 km에 비해 극히 작다), 지구이면 \(r_s \approx 9\,\mathrm{mm}\)(지구 반지름 약 6400 km에 비해 극히 작다). 즉 통상의 천체에서는, Schwarzschild 반지름은 천체 내부 깊숙이 "묻혀" 있고, 천체 바깥에서는 \(r \gg r_s\)가 성립해.
\(c = 1\)에 더해 \(G = 1\)도 설정하는 단위계를 기하학적 단위계라고 불러. 왜 \(G = 1\)도 추가하냐면, Schwarzschild 계량에는 \(GM/c^2\)라는 조합이 계속 나오기 때문에, 이것을 단순히 \(M\)으로 쓸 수 있으면 식이 훨씬 깔끔해지거든. \(c = 1\)로 "시간과 길이를 같은 단위로 측정할 수 있게 한" 것과 마찬가지로, \(G = 1\)을 추가하면 "질량도 길이와 같은 단위로 측정할 수 있게" 돼. 이 단위계로 쓰면, \(r_s = 2GM/c^2\)의 \(G\)와 \(c^2\)가 1이 되므로 \(r_s = 2M\)이 돼. 이상하게 보일 수 있지만, 이것은 SI 단위계에서 \(\frac{G}{c^2} \approx 7.4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m/kg}\)라는 환산 계수를 질량에 곱해서 길이로 변환한 것과 같은 것이야. 예를 들어 태양의 질량 \(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}\)이면 \(GM_\odot/c^2 \approx 1.5\,\mathrm{km}\)이 돼(\(r_s = 2 \times 1.5\,\mathrm{km} = 3\,\mathrm{km}\)로 아까 값과 일치하지). 기하학적 단위계에서는 이 환산 계수가 1이 되므로, 질량 \(M\)이 그대로 길이의 차원을 가져. 예를 들어 태양이면 "\(M_\odot = 1.5\,\mathrm{km}\)"라고 쓸 수 있어(SI 단위계에서의 \(GM_\odot/c^2 \approx 1.5\,\mathrm{km}\)에 대응). 따라서 \(2M/r\)은 "길이 ÷ 길이"로 무차원 양이 돼——SI 단위계로 쓰면 \(2GM/(rc^2)\)인데, 이것도 "길이 ÷ 길이"로 무차원이지.
🔵 카이: 질량이 길이의 차원을 가진다니…… 태양이 1.5 km라고 하면 머리가 터질 것 같아요. SI 단위계에서는 \(G/c^2\)라는 환산 계수를 곱해서 길이로 하는 거잖아요? 그걸 1로 해 버리면, \(G\)와 \(c\)의 정보가 식에서 사라지니까, 원래대로 되돌릴 때 헷갈릴 것 같아요.
🟡 리나: 좋은 우려야. 하지만 SI 단위계에서 "태양의 질량은 길이로 환산하면 1.5 km"라고 말하는 것과 같은 거야. 기하학적 단위계는 그 환산을 "1배"로 한 것뿐이야. 원래대로 되돌릴 때는 차원해석으로 \(G\)와 \(c\)를 복원하면 돼——실제로 아까 \(r_s = 2M\)을 \(r_s = 2GM/c^2\)로 되돌린 것이 그 예야. 익숙해지면 식이 훨씬 깔끔해져.
⚪ 메이: 즉 기하학적 단위계의 규칙은 "\(c = 1\)로 시간과 길이를 통일, \(G = 1\)로 질량과 길이도 통일"——SI로 돌아가고 싶을 때는 차원해석으로 \(G\)와 \(c\)를 보충하면 된다는 거네.
🟡 리나: 맞아. 이 단위계로 Schwarzschild 계량을 쓰면(\(c = 1\)이므로 \(c^2 dt^2 \to dt^2\), \(r_s = 2GM/c^2 \to 2M\)):
🔵 카이: 우와, (7.11)의 평탄한 시공간과 닮았는데, \(dt^2\)과 \(dr^2\) 앞에 \(\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\)가 붙어 있어!
🟡 리나: 맞아. 여기서 주의할 점은, 이 \(r\)이 "중심에서의 실제 거리"가 아니라는 거야. 휘어진 공간에서는 "중심에서 곧바로 측정한 거리"가 좌표만으로는 알 수 없어——계량을 통해 적분하지 않으면 구할 수 없어(그것이 (7.17) 식에서 볼 내용이야). 그러면 \(r\)은 무엇이냐면, "\(r\)이 일정한 구면의 면적이 \(4\pi r^2\)이 되도록" 정의된 좌표로, 면적좌표(areal coordinate)라고 불려.
🔵 카이: 에, 구면의 면적이 \(4\pi r^2\)라니, 보통 구와 같잖아요? 일부러 정의할 만한 건가요?
🟡 리나: 휘어진 공간에서는 "중심에서 구면까지의 실제 거리"와 "면적에서 역산한 반지름"이 일치하지 않아. 예를 들어 (7.17) 식에서 보듯이, \(r\) 방향의 실제 거리는 \(dr/\sqrt{1-2M/r}\)로 좌표차 \(dr\)보다 길어. 따라서 "면적이 \(4\pi r^2\)가 되는 \(r\)"과 "중심에서 측정한 실제 거리"는 별개——그것을 구별하기 위해 면적좌표라는 이름을 붙이는 거야. 면적이라면 구면 위의 계량(\(g_{22}\)와 \(g_{33}\))만으로 계산할 수 있으므로, \(r\) 방향의 휘어짐에 영향받지 않고 정의할 수 있어——왜냐하면, \(r\)을 고정한 구면 위에서는 \(r\)이 변하지 않으니까(\(dr = 0\)), 선소 \(ds^2\) 안에서 \(g_{11}\,dr^2\) 항이 0이 되어 사라지거든. 남는 것은 \(\theta\)와 \(\varphi\)의 항뿐이야.
⚪ 메이: 그렇구나, \(r\)을 고정하면 \(dr = 0\)으로 \(r\) 방향 항이 사라지니까, 구면 위의 기하는 \(g_{22}\)와 \(g_{33}\)만으로 결정되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 구체적으로는, \(r\)을 고정한 구면 위에서 미소면적을 생각해 볼게. \(\theta\) 방향의 고유길이는 \(\sqrt{g_{22}}\,d\theta = r\,d\theta\), \(\varphi\) 방향의 고유길이는 \(\sqrt{g_{33}}\,d\varphi = r\sin\theta\,d\varphi\)이므로, 이 두 변으로 둘러싸인 미소 영역은 거의 직사각형으로 볼 수 있어(\(d\theta\)와 \(d\varphi\)가 충분히 작으면 곡면의 휘어짐은 무시할 수 있으니까). 따라서 미소면적은 \(dA = r\,d\theta \times r\sin\theta\,d\varphi = r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\)야. 이것을 전체 구면에 걸쳐 더하면 면적 \(4\pi r^2\)가 나와. 여기서 "이중적분"——적분을 2번 반복하는 조작——이 나오지만, 하는 것은 단순해——"먼저 \(\varphi\)를 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 움직여서 하나의 띠의 면적을 구하고, 다음에 \(\theta\)를 \(0\)부터 \(\pi\)까지 움직여서 띠를 쌓아 올린다"는 2단계 덧셈이야. 구체적으로는, \(\varphi\)에 대해 \(0\)부터 \(2\pi\)까지 적분하면 \(\int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi\)가 나오고, 다음에 \(\theta\)에 대해 \(\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta\)를 계산해. \(\sin\theta\)의 원시함수는 \(-\cos\theta\)(\((\cos\theta)' = -\sin\theta\)이므로)이니까, \([-\cos\theta]_0^\pi = -\cos\pi -(-\cos 0) = -(-1)+1 = 2\)가 돼. 전부 곱하면 \(r^2 \times 2\pi \times 2 = 4\pi r^2\)가 돼. 식으로 쓰면 \(\int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta = 4\pi r^2\)야. 이 장의 (7.11) 식(또는 이전 장의 구면좌표 선소)에서 \(r\) 고정의 구면 위 계량 \(ds^2 = r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\)를 읽어내어, 각 방향의 고유길이로부터 미소면적을 조립하는 것과 같은 요령이야. Schwarzschild 계량에서도 구면 위의 계량은 평탄한 시공간과 같은 형태(\(r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\))이므로, 면적은 역시 \(4\pi r^2\)가 돼.
🔵 카이: 그렇구나, \(r\)은 "거리"가 아니라 "면적에서 정한 라벨"인 거네요.
🟡 리나: 맞아. 그러면 계량의 성분을 읽어보면
⚪ 메이: 평탄한 시공간 (7.12)과의 차이는 \(g_{00}\)(시간 성분)과 \(g_{11}\)(\(r\) 방향 성분)뿐이네. \(g_{22}\)와 \(g_{33}\)은 완전히 같은 형태야.
🔵 카이: 그러면 \(r\)이 아주 커지면 \(\frac{2M}{r}\)은 거의 0이니까, 평탄한 시공간으로 돌아가는 거 아닌가요?
🟡 리나: 맞아. 별에서 충분히 멀어지면 중력의 영향이 사라져서, Minkowski 계량으로 돌아가. 이것을 "점근적으로 평탄하다"고 말해. 물리적으로 당연하지——먼 별의 중력은 느끼지 않아야 하니까. 비교표로 정리해 둘게. "차이" 열에 쓴 물리적 의미는 바로 뒤에서 확인할 거야.
표 7.3: Schwarzschild 계량과 평탄한 시공간의 계량 성분 비교
| 성분 | 평탄한 시공간(구면좌표) | Schwarzschild 계량 | 차이 |
|---|---|---|---|
| \(g_{00}\) | \(-1\) | \(-(1 - 2M/r)\) | 중력에 의한 시간 지연 |
| \(g_{11}\) | \(+1\) | \((1 - 2M/r)^{-1}\) | 공간의 늘어남 |
| \(g_{22}\) | \(r^2\) | \(r^2\) | 동일 |
| \(g_{33}\) | \(r^2\sin^2\theta\) | \(r^2\sin^2\theta\) | 동일 |
Schwarzschild 계량이 알려주는 것¶
🟡 리나: 이 계량으로부터, 몇 가지 물리적 귀결을 바로 읽어낼 수 있어. 여기서는 "맛보기"로 요점만 확인하고, 자세한 논의는 제 9 장에서 하도록 할게.
(1) 중력에 의한 시간 지연¶
🟡 리나: \(r\) 일정, \(\theta\) 일정, \(\varphi\) 일정인 관측자(별 주위에 정지해 있는 사람)를 생각해 보자. \(dr = d\theta = d\varphi = 0\)이므로, 선소는 \(ds^2 = g_{00}\,dt^2\)만 남아. 고유시간의 정의 \(d\tau^2 = -ds^2\)를 사용하면
따라서
이것은 기하학적 단위계 \(c = G = 1\)에서의 표현이야. SI 단위계로 되돌리려면 \(2M/r\)을 \(r_s/r = 2GM/(rc^2)\)로 바꾸면 되고, \(d\tau = \sqrt{1 - r_s/r}\;dt = \sqrt{1 - 2GM/(rc^2)}\;dt\)가 돼.
🔵 카이: \(r\)이 작을수록(별에 가까울수록) \(\sqrt{1 - 2M/r}\)이 작아지니까, \(d\tau < dt\)…… 즉 별에 가까울수록 시간이 느리게 흐른다!
🟡 리나: 그림 7.3「중력에 의한 시간 지연」를 봐. 왼쪽 그래프는 시간 지연 인자 \(\sqrt{1 - 2M/r}\)가 \(r\)에 따라 어떻게 변하는지를 보여주고 있어. 오른쪽 이미지는 서로 다른 위치에 놓인 시계가 다른 속도로 흐르는 것을 나타내고 있어.
그림 7.3: 중력에 의한 시간 지연. 왼쪽: 시간 지연 인자 \(\sqrt{1 - 2M/r}\)의 그래프. \(r = 2M\)(사건의 지평면)에서 인자는 0이 되고, 먼 곳(\(r \to \infty\))에서 1에 가까워진다. 오른쪽: 질량 \(M\)으로부터의 거리가 다른 위치에 놓인 시계. 별에 가까울수록 시계의 진행이 느리다.
🟡 리나: GPS 위성의 시각 보정에 사용되는 것이 바로 이 효과야. 지상은 위성 궤도보다 지구에 가까우므로, 지상의 시계 쪽이 약간 느려.
🔵 카이: GPS는 위치를 전파의 도달 시간으로 측정하잖아요? 시계가 어긋나면 위치도 어긋나겠네…… 얼마나 보정이 필요한 건가요?
🟡 리나: 하루당 약 38마이크로초. 작게 들리지만, 광속을 곱하면 하루에 약 11 km의 오차가 돼. 보정하지 않으면 내비게이션을 쓸 수 없게 돼.
🔵 카이: 고작 38마이크로초에 11 km나 어긋나는 건가…… 일반상대론이 일상의 기술에도 직결되는 거군요.
⚪ 메이: \(r = 2M\)에서 \(g_{00} = 0\)이 돼. 거기서는 \(d\tau = 0\)이네.
🔵 카이: \(d\tau = 0\)이라니…… 시간이 멈춘다는 건가요?
🟡 리나: 정확히 말하면, 먼 곳의 관측자가 보기에 \(r = 2M\)에 가까워지는 물체의 시간이 완전히 멈춘 것처럼 보여. \(r = 2M\)은 사건의 지평면(event horizon)이라고 불리는 특별한 면이야. 이것에 대해서는 제 16 장에서 자세히 논의할게.
(2) 공간의 "늘어남"¶
🟡 리나: 다음으로, 어떤 순간(\(dt = 0\))에 \(r\) 방향으로 \(dr\)만큼 나아갔을 때의 고유길이는
🔵 카이: \(1 - 2M/r < 1\)이니까 \(\frac{1}{\sqrt{1-2M/r}} > 1\)…… 즉 고유길이 \(dL\)은 좌표차 \(dr\)보다 길다. 공간이 "늘어나고 있는" 거군요.
🟡 리나: 맞아. 별에 가까울수록, \(r\) 방향의 "실제 거리"는 좌표에서 보는 것보다 길어. 이것이 "공간이 휘어져 있다"는 것의 구체적인 나타남이야. 그림 7.4「Schwarzschild 계량에서의 \(r\) 방향의 공간의 늘어남」에서, 이 "늘어남"이 어느 정도인지를 시각화하고 있어.
그림 7.4: Schwarzschild 계량에서의 \(r\) 방향의 공간의 늘어남. 위: \(dL/dr = 1/\sqrt{1 - 2M/r}\)의 그래프. 고유길이는 항상 좌표차보다 길다(\(dL/dr > 1\)). 사건의 지평면(\(r = 2M\))에서 발산한다. 아래: 질량 \(M\)에 가까운 위치일수록 "자"가 늘어나는 이미지.
✅ 이해도 체크: Schwarzschild 계량에서 \(r\) 방향의 고유길이 \(dL\)이 좌표차 \(dr\)보다 길어지는 이유는 무엇일까요?
답
\(dL = dr/\sqrt{1-2M/r}\)이고, \(1-2M/r < 1\)이므로 \(1/\sqrt{1-2M/r} > 1\)이 된다. 따라서 고유길이는 좌표차보다 항상 길다. 이것은 중력에 의한 공간의 "늘어남"을 나타낸다.
(3) \(r \gg 2M\)에서의 근사¶
🟡 리나: \(r\)이 \(2M\)에 비해 충분히 클 때, \(\frac{2M}{r} \ll 1\)이므로 \((1-2M/r)^{-1} \approx 1 + 2M/r\)로 근사할 수 있어. 이것은 \(|x| \ll 1\)일 때 \(\frac{1}{1-x} \approx 1 + x\)라는 공식——\((1-x)(1+x) = 1 - x^2 \approx 1\)이므로 \(\frac{1}{1-x} \approx 1+x\)가 되는 거야. 그러면
여기서 \(c\)를 복원하면, \(g_{00} = -(1 - 2GM/(rc^2))\)인데, Newton의 중력 포텐셜 \(\Phi = -GM/r\)(제 1 장)을 사용하면 \(1 + 2\Phi/c^2 = 1 + 2(-GM/r)/c^2 = 1 - 2GM/(rc^2)\)이므로, \(g_{00} = -(1 + 2\Phi/c^2)\)로 쓸 수 있어. Schwarzschild 계량에서는 \(\Phi = -GM/r\)이 마침 Newton 포텐셜과 일치하므로, 이것은 \(\Phi\)의 정의를 대입한 것뿐인 치환이야——\(g_{00}\)에 관해서는 근사가 들어 있지 않아. 다만 주의할 점은, 이것이 Schwarzschild 계량의 \(g_{00}\)가 우연히 \(\Phi/c^2\)에 대해 선형인 형태(\(1 + 2\Phi/c^2\))를 하고 있기 덕분——즉 \(\Phi\)를 대입하기만 하면 Newton 포텐셜과의 대응이 보이는 특수한 경우라는 거야. 더 복잡한 시공간(예를 들어 회전하는 블랙홀 주위)에서는 \(g_{00}\)가 \(\Phi\)의 1차식이 아닐 수도 있으므로, \(g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)\)가 항상 정확히 성립하는 것은 아니야.
🔵 카이: 흠, \(g_{00}\) 쪽은 Newton 포텐셜을 그대로 대입한 것뿐이군요. 그러면 \(g_{11}\) 쪽은요?
🟡 리나: \(g_{11}\) 쪽은, \((1-2GM/(rc^2))^{-1} \approx 1 + 2GM/(rc^2)\)로 근사하고 있어(\(r \gg r_s\)를 사용). \(\Phi = -GM/r\)이므로 \(-2\Phi/c^2 = -2(-GM/r)/c^2 = +2GM/(rc^2)\)이니까, \(g_{11} \approx 1 - 2\Phi/c^2\)로도 쓸 수 있어. 즉 약한 중력 근사가 들어 있는 것은 \(g_{11}\) 쪽뿐이야. 그리고 약한 중력에서는 \(g_{00}\)의 효과가 지배적이고, 그것이 Newton의 이론에 대응해. 즉 Newton 모델은 "Schwarzschild 계량의 약한 중력 근사"가 되어 있어. 이것이 제 1 장에서 예고한 "Newton 모델은 Einstein 모델의 근사"의 수학적 내용이야.
🔵 카이: 잠깐만요. \(g_{00}\) 쪽은 "정확한 치환"이고, \(g_{11}\) 쪽만 "근사"라고요? 왜 한쪽만 근사가 들어가나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 포인트는 수학적 형태의 차이야.
- \(g_{00} = -(1 - 2GM/(rc^2))\): 이것은 \(\Phi = -GM/r\)을 대입하면 \(-(1 + 2\Phi/c^2)\)로 그대로 쓸 수 있어. \(1 - 2GM/(rc^2) = 1 + 2(-GM/r)/c^2 = 1 + 2\Phi/c^2\)이니까, 아무것도 버리지 않았어
- \(g_{11} = (1 - 2GM/(rc^2))^{-1}\): 이쪽은 역수 형태야. 먼저 \(\frac{1}{1-x} \approx 1+x\)로 \(g_{11} \approx 1 + 2GM/(rc^2)\)로 근사하고, 다음에 \(\Phi = -GM/r\)이므로 \(2GM/(rc^2) = -2\Phi/c^2\)를 사용하여 \(g_{11} \approx 1 - 2\Phi/c^2\)로 써
한쪽은 "그대로 대입", 다른 쪽은 "역수를 전개"——이 차이가 비대칭성의 이유야.
⚪ 메이: 즉 \(g_{00}\)과 \(g_{11}\)에서 \(\Phi\)와의 관계가 비대칭인 것은, 원래 식의 수학적 형태(한쪽은 1차식, 다른 쪽은 역수)가 다르기 때문이라는 거네.
🔵 카이: 그렇구나…… 그러면 반대로, 만약 \(g_{00}\)가 더 복잡한 형태(예를 들어 \(r\)의 2차 이상)였다면, Newton 포텐셜과의 대응은 깔끔하게 되지 않는다는 건가요?
🟡 리나: 맞아. Schwarzschild 계량의 \(g_{00}\)가 우연히 \(\Phi/c^2\)의 1차식이기 때문에, Newton 포텐셜 \(\Phi = -GM/r\)과 딱 맞게 대응하는 거야. 일반 시공간에서는 더 복잡해질 수 있어.
⚪ 메이: 정리하면, Newton의 포텐셜은 계량의 \((0,0)\) 성분에 \(g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)\)로 들어 있고, 선생님이 말한 대로 약한 중력에서는 시간 성분이 지배적이므로 Newton의 이론에 대응한다——그리고 Schwarzschild 계량에서는 \(g_{00}\)가 마침 \(\Phi\)의 1차식이기 때문에 이 대응이 깔끔하게 성립한다는 거네.
✅ 이해도 체크: Schwarzschild 계량의 약한 중력 근사(\(r \gg 2M\))에서, Newton의 중력 포텐셜 \(\Phi = -GM/r\)은 계량의 어떤 성분에 어떻게 나타날까요?
답
\(g_{00} = -(1 + 2\Phi/c^2)\)로서 \((0,0)\) 성분에 나타난다(Schwarzschild 계량에서는 이것이 정확한 등식). 약한 중력에서는 시간 성분이 지배적이며, 이것이 Newton의 이론에 대응한다. Newton 모델은 Schwarzschild 계량의 약한 중력 근사가 되어 있다.
✅ 이해도 체크: Schwarzschild 계량에서 \(r\)이 작을수록(별에 가까울수록) 시간은 어떻게 될까요? 그 이유는?
답
시간이 느리게 흐른다. 고유시간은 \(d\tau = \sqrt{1 - 2M/r}\,dt\)이고, \(r\)이 작을수록 \(\sqrt{1 - 2M/r}\)이 작아지므로 \(d\tau < dt\)가 된다.
📝 연습문제:
- Schwarzschild 계량의 계산·중력 적색편이·GPS → 문제 B-4. Schwarzschild 계량에서 정지 관측자의 고유시간, 문제 B-5. Schwarzschild 계량의 \(r = 4M\) 에서의 성분, 문제 B-7. Schwarzschild 계량에서 \(\varphi\) 방향의 고유 길이, 문제 M-3. 중력 적색편이 유도 (Schwarzschild 계량으로부터의 완전한 유도), 문제 M-4. Schwarzschild 계량에서의 지름 방향 고유 길이, 문제 A-1. 일정 곡률 2차원 공간의 기하학, 문제 A-2. GPS와 중력 적색편이
왜 "결과만 제시"인가¶
🔵 카이: 그런데 선생님, 이 계량은 어디서 온 건가요? 갑자기 툭 나왔잖아요.
🟡 리나: 솔직히 말하면, 이 계량을 도출하려면 Einstein 방정식(제 14 장)을 풀어야 해. 지금 단계에서는 방정식을 아직 적지 않았으므로, "이런 형태가 된다"고 결과만 받아들여야 해. 하지만, 계량만 주어지면, 고유시간·고유길이·빛의 경로 같은 물리적 귀결은 이 장의 도구만으로 전부 계산할 수 있어. 먼저 계량을 "사용하는" 연습을 해 두고, 나중에 "도출하는" 방법을 배우는, 이런 순서야.
⚪ 메이: 그렇구나, 도출은 아직이라도, 지금의 도구로 물리적 결과는 전부 끌어낼 수 있는 거네.
🟡 리나: 맞아. 요리에 비유하면, 레시피(Einstein 방정식)를 배우기 전에, 완성된 요리(Schwarzschild 계량)를 맛보며 "어떤 물리가 들어 있는지"를 체험해 두는 단계야.
7.8 이 장의 정리¶
🟡 리나: 오늘 배운 것을 정리하자.
- 계량 텐서 \(g_{\alpha\beta}(x)\)는 휘어진 시공간에서의 "자". 10개의 독립 성분을 가진 대칭 텐서
- 선소 \(ds^2 = g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\)로부터, 고유시간(\(d\tau^2 = -ds^2\), 시간적 간격)과 고유길이(\(dL^2 = ds^2|_{dt=0}\), 공간적 간격)를 계산할 수 있다
- 계량의 성분이 장소에 의존하더라도, 그것만으로는 공간이 휘어져 있다고 할 수 없다(좌표 효과의 가능성이 있다)
- Schwarzschild 계량은 구대칭·정적인 질량 주위의 시공간을 기술한다. 중력에 의한 시간 지연·공간의 늘어남·약한 장 극한에서의 Newton 포텐셜 회복을 "맛보기"했다(상세는 제 9 장)
- \(r \to \infty\)에서 Minkowski 계량으로 돌아가며, 약한 중력 극한에서 Newton 모델을 재현한다
🔵 카이: Newton의 포텐셜 1개에서 10개의 함수로 확장됐지만, 그만큼 시간 지연이나 공간의 늘어남 같은 Newton으로는 설명할 수 없었던 현상이 전부 나와요. 하지만 거꾸로 말하면, 10개나 있는데 "구대칭"이라는 조건만으로 형태가 거의 결정돼 버리는 건 신기하네요.
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 대칭성이 강한 제약을 부과하기 때문에, 독립 성분이 대폭 줄어들어. 왜 그런지는 Einstein 방정식을 배운 후(제 14 장)에 명확해질 거야.
🔵 카이: 대칭성이란 강력하구나…… 그런데 "구대칭"이라는 조건만으로 정말 유일하게 결정되나요? 예를 들어 별이 맥동하거나, 폭발 도중이라도 같은 계량이 되나요?
🟡 리나: 사실, 진공이고 구대칭이라는 조건만으로——설령 별이 맥동하고 있더라도——바깥의 계량은 Schwarzschild 계량으로 유일하게 결정된다는 것이 증명되어 있어(Birkhoff의 정리). 정적이라는 조건조차 불필요해. 이것도 제 14 장 이후에서 다룰게.
🔵 카이: 에…… 맥동해도 바깥은 같은 계량이라니, 직관에 반하네요. 내부가 변동해도 바깥에 영향이 없다니, 왜 그런 건가요?
🟡 리나: 사실 Newton의 중력에서도 비슷한 이야기가 있어. 구대칭인 질량 분포의 바깥에서는, 질량이 중심에 모여 있는 것과 같은 중력장이 돼——Newton의 껍질 정리야. Birkhoff의 정리는 그것의 일반상대론판이라고 할 수 있어. 구대칭성이 "정보를 바깥으로 새지 못하게 할" 정도로 강한 제약을 부과하는 거야.
🔵 카이: 그렇구나. 그리고 하나 더 궁금한 게 있는데——이 장에서는 계량이 "자"이고, 시간 지연이나 공간의 늘어남을 읽어낼 수 있다는 건 알았어요. 하지만 입자가 어떻게 움직이는지는 별도로 정해야 하잖아요? 휘어진 시공간에서 "직진한다"는 게, 도대체 어떻게 정의되나요? 휘어져 있으면 "직진"이란 게 없을 것 같은데……
🟡 리나: 바로 그것이 다음 장의 주제야. 힌트만 말하면, "자"가 있으면 경로의 "길이"를 측정할 수 있어——그리고 "가장 효율적으로 나아가는 경로"를 선택하는 원리를 사용하는 거야. 휘어진 시공간에서의 "직진"——측지선——은 그렇게 정의돼.
🔵 카이: "가장 효율적으로 나아가는 경로"…… 제 1 장에서 했던 최소 작용 원리 같은 이야기인가요? 하지만 작용을 "최소"로 하는 것과 "최대"로 하는 건 다르잖아요? 고유시간을 최대로 하는 건지 최소로 하는 건지, 어느 쪽인지 궁금해요……
🟡 리나: 좋은 의문이야. "최소"인지 "최대"인지——그 답과 이유는 다음 장에서 차근차근 할게. 기대해.
⚪ 메이: 이 장에서 "자"(계량) → "시간과 거리의 측정법"(고유시간·고유길이) → "구체적 예"(Schwarzschild 계량)로 왔으니, 다음은 "그 시공간 속에서 어떻게 움직이는가"——측지선——이 오는 것은 논리적으로 자연스러운 흐름이네.
다음 장 예고¶
계량이 시공간의 "자"를 준다는 것은 알았다. 그러면, 그 휘어진 시공간 속에서 입자가 "직진한다"는 것은 무엇을 의미하는가? 제 8 장에서는, 고유시간을 극값으로 하는 경로로서 측지선 방정식을 도출한다. 자유낙하하는 입자의 운동이, Newton의 운동방정식을 대체하는 이 방정식으로 기술된다——일반상대론에서의 "운동의 모델"이 드디어 모습을 드러낸다.
참고문헌¶
- Hartle, J. B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Chapter 7. Addison-Wesley.
- Schutz, B. F. (2022). A First Course in General Relativity, 3rd ed., Chapter 7. Cambridge University Press.
- Tong, D. (2019). General Relativity (Cambridge lecture notes), Chapter 6.
- Lancaster, T. & Blundell, S. J. (2014). General Relativity for the Gifted Amateur, Chapter 3.
- 石井俊全 (2013). 『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』, 第 7 章「一般相対性理論」. ベレ出版.
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