Appendix A — 해석역학의 도구상자: 범함수·장의 Lagrangian·장의 정준양자화¶
지금까지의 줄거리:
제 24 장에서는, 장의 양자론의 틀에서 중력을 양자화하려 하면 "되맞춤 불가능"이라는 벽에 부딪힌다는 것을 확인하고, 끈이론으로의 다리를 놓았다. 여기서부터는 본편을 지탱하는 수학적 도구를 필요충분한 범위에서 정리하는 Appendix에 들어간다.
이 장의 목표
- 장의 양자론의 기초가 되는 "해석역학"의 도구 중에서, 장에 고유한 요소에 초점을 맞추어 정리한다
- 입자의 해석역학(Lagrangian·Hamiltonian·Poisson 괄호·정준양자화) 자체는, 읽기 순서를 따라온 독자에게는 양자역학 부록 D 에서 이미 배운 내용이므로, 여기서는 간결한 복습에 그치고, (1) 범함수와 범함수 미분, (2) 장의 Euler-Lagrange 방정식, (3) 장의 정준양자화, (4) 작용원리의 경로적분적 이해, 라는 QFT 고유의 4가지 포인트에 초점을 맞춘다
- 본편 제3~11장에서 반복적으로 사용된 도구의 출처를 명확히 한다
A.1 입자의 해석역학 (복습)¶
🟡 리나: 이 Appendix는 「양자역학」편 Appendix D「Lagrangian·Hamiltonian 형식과 정준양자화」를 이미 읽었다는 전제로 진행할게. 읽기 순서대로 오지 않은 분이나, 잊어버린 분은 먼저 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 를 읽어봐.
🔵 카이: 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에서 배운 게 뭐였죠?
🟡 리나: 요점은 이 하나의 표에 응축돼 있어.
표 A.1: 고전역학과 양자역학의 대응관계
| 고전역학 | 양자역학 |
|---|---|
| 물리량 \(A(q, p)\) (수) | 연산자 \(\hat{A}\) (Hilbert 공간 위) |
| Lagrangian \(L(q, \dot{q}) = T - V\) | — |
| 작용 \(S[q] = \int L\,dt\) (범함수) | 경로적분의 가중치 \(e^{iS/\hbar}\) |
| Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\) | — |
| 정준운동량 \(p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\) | 연산자 \(\hat{p}\) |
| Hamiltonian \(H(q,p) = p\dot{q} - L\) | 연산자 \(\hat{H}\) |
| Hamilton의 방정식 \(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\), \(\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}\) | Heisenberg 방정식 \(\frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A},\hat{H}]\) |
| Poisson 괄호 \(\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}\) | 교환자 \(\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\) |
| \(\{q, p\} = 1\) | \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\) |
| 정준양자화의 처방전 | \(\{A, B\} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\) |
🟡 리나: 표의 흐름을 위에서 아래로 따라가면——Lagrangian \(L = T - V\)에서 작용 \(S\)를 만들고, \(\delta S = 0\)에서 Euler-Lagrange 방정식이 나오고, \(H = p\dot{q} - L\)로 Hamiltonian 형식으로 넘어가고, Poisson 괄호를 교환관계로 바꿔서 양자화해.
⚪ 메이: 즉, 이 표가 입자역학의 전체상을 한 장에 정리한 것이네.
🟡 리나: 맞아. 이 Appendix에서는 이것을 장으로 확장하는 부분에만 집중할 거야. 우선 필요한 도구가, 범함수와 범함수 미분이야.
A.2 범함수 — "함수를 먹고 수를 돌려주는 기계"¶
🟡 리나: 먼저, "범함수 (functional)"라는 개념을 도입할게. 이것은 본편 제10~11장(경로적분)에서 중심적인 역할을 한 개념이야.
🔵 카이: "함수"와 뭐가 다른 건가요?
🟡 리나: 대비해서 정리하면 이렇게 돼.
표 A.2: 함수와 범함수의 비교
| 함수 (function) | 범함수 (functional) | |
|---|---|---|
| 입력 | 수 | 함수 |
| 출력 | 수 | 수 |
| 기호 | \(f(x)\) | \(F[f]\) |
함수는 "수를 넣으면 수가 돌아오는 기계". 범함수는 "함수를 통째로 넣으면 수가 돌아오는 기계"야.
🔵 카이: 함수를 통째로……? 구체적인 예가 필요해요.
🟡 리나: 몇 가지 보자.
예 1: 정적분은 범함수야.
여기에 \(f(x) = x^2\)를 넣으면 \(F[f] = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}\). \(f(x) = x^3\)을 넣으면 \(F[f] = \frac{1}{4}\). 넣는 함수가 다르면 돌아오는 수도 다르다——이것이 범함수야.
🔵 카이: 그렇군요, 함수의 "형태"가 바뀌면 수도 바뀌는 거네요.
🟡 리나: 예 2: 좀 더 복잡한 형태.
\(f(x) = x^2\)를 대입하면 \(G[f] = \int_0^a 5x^4\,dx = 5\cdot\frac{a^5}{5} = a^5\).
⚪ 메이: 기호의 약속으로서, 소괄호 \(F(x)\)는 "수 \(x\)를 넣었다", 대괄호 \(F[f]\)는 "함수 \(f\)를 넣었다"라는 뜻이네.
🟡 리나: 맞아. 이 약속은 본편에서도 일관되게 사용해 왔지.
🔵 카이: 본편의 제 10 장에서 나왔던 경로적분 \(\int \mathcal{D}\phi\,e^{iS[\phi]/\hbar}\)의 \(S[\phi]\)도 범함수죠. 장의 배위 \(\phi\)라는 "함수"를 넣으면, 작용이라는 "수"가 돌아온다. ……그런데 잠깐요, 경로적분의 \(\int \mathcal{D}\phi\)는 "모든 함수에 대해 합산한다"는 뜻이잖아요. 범함수를 더 나아가 적분한다는 게, 어떤 의미인가요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 하지만 그건 본편 제 10 장에서 자세히 다룬 이야기니까, 여기서는 깊이 들어가지 않을게. 지금은 "\(S[\phi]\)가 범함수이다"라는 점만 확인해 두면 충분해. 작용 \(S[\phi]\)는 장의 양자론에서 가장 중요한 범함수야.
✅ 이해도 체크: 함수와 범함수의 차이를, "입력"과 "출력"의 관점에서 설명해 보세요.
답
함수는 "수를 입력하면 수가 출력되는" 대응관계이다. 반면, 범함수는 "함수를 통째로 입력하면 수가 출력되는" 대응관계이다. 기호상으로는 함수를 \(f(x)\), 범함수를 \(F[f]\)처럼 대괄호로 구별한다.
예 3 (약간 특수): Dirac의 델타 함수를 사용하면, 함수의 "특정 점에서의 값을 뽑아내는" 범함수를 만들 수 있어.
🔵 카이: 델타 함수는 양자역학에서 많이 사용했죠. \(y = x\)인 곳에서만 "무한대"이고, 적분하면 1이 되는 것.
🟡 리나: 맞아. 델타 함수의 가장 중요한 성질을 다시 한번 확인해 둘게:
적분 안에서 \(f\)의 "\(x\)에서의 값"만 뽑아낸다. 이 성질은 앞으로 여러 번 사용하니까, 확실히 기억해 둬.
✅ 이해도 체크: Dirac의 델타 함수를 이용한 범함수 \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y - x)\,dy\)는, 입력된 함수 \(f\)에 대해 어떤 값을 돌려줄까요?
답
델타 함수의 "뽑아내기" 성질에 의해, \(F[f] = f(x)\)가 된다. 즉, 함수 \(f\)의 점 \(x\)에서의 값을 그대로 돌려주는 범함수이다.
✅ 이해도 체크: 범함수 \(M[f] = \int_0^2 [f(x)]^3\,dx\)에 \(f(x) = x\)를 대입했을 때, \(M[f]\)의 값은 얼마일까요?
답
\(M[f] = \int_0^2 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4\)
A.3 범함수 미분 — "함수를 살짝 밀었을 때 무엇이 일어나는가"¶
🟡 리나: 다음으로, 범함수의 "미분"을 정의할게. 보통의 미분과 대비해서 생각하자. 그림 A.1「통상적인 미분과 범함수 미분의 대비. 왼쪽」을 봐——왼쪽이 보통의 미분으로, 수 \(x\)를 미소량 밀었을 때의 함수값의 변화율(접선의 기울기). 오른쪽이 범함수 미분으로, 함수 \(f(x)\)를 특정 점 \(x_0\) 근방에서 미소하게 변형했을 때, 범함수 \(F[f]\)가 어떻게 응답하는지를 보고 있어.
그림 A.1: 통상적인 미분과 범함수 미분의 대비. 왼쪽 — 통상적인 미분: 수 \(x\)를 미소량 밀었을 때의 함수값 \(f(x)\)의 변화율(접선의 기울기). 오른쪽 — 범함수 미분: 함수 \(f(x)\)를 점 \(x_0\) 근방에서 미소하게 변형했을 때, 범함수 \(F[f]\)가 어떻게 응답하는가.
🔵 카이: 그림 A.1「통상적인 미분과 범함수 미분의 대비. 왼쪽」의 왼쪽은 익숙한 보통의 미분이네요. "입력의 수를 살짝 밀었을 때, 출력이 얼마나 변하는가"——접선의 기울기.
오른쪽은……함수의 그래프의 한 점만 톡 밀어 올리는 그림이네요. 그게 범함수 미분의 이미지인 거군요.
🟡 리나: 맞아. 범함수 미분 (functional derivative)은, "입력의 함수를 살짝 밀었을 때, 출력이 얼마나 변하는가"를 조사하는 거야. 정의를 쓰기 전에 기호의 약속을 해둘게. \(x\)는 "함수의 어떤 점을 변화시킬 것인가"를 지정하는 고정된 점, \(x'\)는 함수 \(f\)의 인수를 나타내는 변수야. 정의는 이래:
예를 들어 \(F[f] = \int g(f(x'))\,dx'\) 같은 적분형 범함수라면, \(x'\)는 적분 안을 달리는 더미 변수가 돼. 이미지로는, 함수 \(f\)의 그래프를 떠올리고, 가로축의 \(x\) 위치만 손가락으로 톡 밀어 올리는 느낌. 밀어 올리는 폭이 \(\epsilon\)이고, "그 점만" 밀기 위해 델타 함수를 사용하고 있어. 범함수의 값이 그 밀어올림에 어떻게 응답하는지를 보는 것이 범함수 미분이야.
🔵 카이: "손가락으로 톡 밀어 올린다"——직관적이네요. 그런데 왜 델타 함수로 밀어주는 건가요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. "점 \(x\)의 위치만" 밀고 싶기 때문이야. 델타 함수 \(\delta(x' - x)\)는 \(x' = x\)에서만 값을 가지니까, \(f(x')\)에 \(\epsilon\,\delta(x' - x)\)를 더하면, \(x' = x\) 근방만 변화해. 이렇게 함으로써 "함수의 어떤 점을 바꾸면 범함수의 값이 어떻게 반응하는가"를 알 수 있어. 보통의 미분과의 대응을 표로 정리해 둘게.
표 A.3: 보통의 미분과 범함수 미분의 대응
| 보통의 미분 | 범함수 미분 | |
|---|---|---|
| 입력 | 수 \(x\) | 함수 \(f(x)\) |
| 출력 | 수 \(f(x)\) | 수 \(F[f]\) |
| 밀어주는 방법 | \(x \to x + \epsilon\) | \(f(x') \to f(x') + \epsilon\,\delta(x'-x)\) |
| 기호 | \(\frac{df}{dx}\) | \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) |
⚪ 메이: 이렇게 나란히 놓으면, 구조가 완전히 대응되는 게 잘 보이네.
🟡 리나: 맞아. 그럼 구체적으로 계산해 보자.
✅ 이해도 체크: 범함수 미분의 정의에서, 입력 함수를 \(\epsilon\,\delta(x' - x)\)로 밀어주는 이유는 무엇일까요?
답
델타 함수 \(\delta(x' - x)\)는 \(x' = x\)에서만 값을 가지므로, \(\epsilon\,\delta(x' - x)\)를 더하면 함수의 "점 \(x\) 근방만" 변화한다. 이로써, 함수의 어떤 점을 바꿨을 때 범함수의 값이 어떻게 반응하는지를 점별로 조사할 수 있다.
계산 예 1¶
🟡 리나: \(I[f] = \int_{-1}^{1} f(y)\,dy\)의 범함수 미분을 구해보자.
정의에 따라, \(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\)로 치환해서 (\(y\)가 적분 변수, \(x\)가 "어떤 점을 바꿀 것인가"를 지정하는 고정점):
대괄호 안에서 \(\int f(y)\,dy\) 부분이 앞뒤로 상쇄되니까, 남는 것은:
⚪ 메이: 깔끔하게 \(\epsilon\)이 사라지네.
🟡 리나: 델타 함수의 적분은, \(x\)가 적분 범위 \([-1, 1]\) 안에 있으면 \(1\), 밖에 있으면 \(0\)이니까:
🔵 카이: 직관적으로도 이해가 돼요. \(I\)는 \([-1,1]\)에서 \(f\)를 적분한 것이니까, 이 범위 안에서 \(f\)를 살짝 바꾸면 \(I\)도 변하고, 범위 밖에서 바꿔도 영향이 없다.
계산 예 2¶
🟡 리나: 좀 더 실용적인 예를 해보자.
여기서 \(\varphi(y)\)는 어떤 정해진 함수(가중 함수)이고, \([a, b]\)는 적당한 구간(혹은 \((-\infty, \infty)\))이야.
🔵 카이: 계산 예 1에서는 적분 범위 \([-1, 1]\)이 결과에 영향을 미쳤잖아요. 이번에는 생략해도 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 이번에는 계산 도중에 피적분함수에 \(\delta(y-x)\)가 곱해지는 형태가 돼. 델타 함수의 "뽑아내기" 성질 \(\int f(y)\,\delta(y-x)\,dy = f(x)\)에 의해, \(y = x\)의 값만 뽑히고 나머지는 사라져. 그러니까 \(x\)가 적분 범위 안에 있기만 하면, 범위가 \([a, b]\)이든 \((-\infty, \infty)\)이든 답은 같아. 반대로 \(x\)가 범위 밖이면 결과는 \(0\)——계산 예 1과 같은 이치야. 이후로는 \(x\)가 적분 범위 안에 있다고 가정하고, 적분 범위를 생략해서 쓸게. 범함수 미분을 계산하자.
\(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\)로 놓으면:
\([f(y) + \epsilon\,\delta(y-x)]^p\)를 \(\epsilon\)의 1차까지 전개할게. \(g(\epsilon) = (a + \epsilon b)^p\)라는 함수를 \(\epsilon = 0\) 근처에서 Taylor 전개하면, \(g(0) = a^p\), \(g'(\epsilon) = p(a+\epsilon b)^{p-1}\cdot b\)이니까 \(g'(0) = pa^{p-1}b\). 따라서 1차까지 \(g(\epsilon) \approx a^p + pa^{p-1}\cdot b\cdot\epsilon\)이 돼. 고등학교에서 배운 \((1+x)^n \approx 1 + nx\) (\(|x| \ll 1\))와 같은 발상——미소량의 1차만 남기는 근사야.
🔵 카이: 여기서는 \(b = \delta(y-x)\)라는 좀 특수한 것이 들어가 있지만, 형식적으로 같은 전개를 하면 되는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 어디까지나 "\(\epsilon\)에 대한 형식적인 1차 전개"로서 계산하고 있어. 델타 함수는 단독으로는 보통의 수가 아니지만, 최종적으로 이 전개 결과는 적분 \(\int (\cdots)\,dy\) 안에 들어가. 그리고 적분 안에서는 \(p[f(y)]^{p-1}\cdot\epsilon\,\delta(y-x)\cdot\varphi(y)\)라는 형태가 되니까, 델타 함수의 "뽑아내기" 성질 \(\int g(y)\,\delta(y-x)\,dy = g(x)\)를 그대로 사용할 수 있어서, well-defined한 유한한 값 \(p[f(x)]^{p-1}\,\varphi(x)\cdot\epsilon\)이 얻어져. 즉, 도중의 각 단계에서는 형식적으로 보이더라도, 최종 결과는 수학적으로 제대로 의미를 가져——\(\epsilon\)의 1차 항을 추출하는 조작으로서 정당화되는 거야. 여기서 \(a = f(y)\), \(b = \delta(y-x)\)로 놓으면:
🔵 카이: 잠깐요. 2차 항에는 \(\epsilon^2[\delta(y-x)]^2\) 같은 것이 나오지 않나요? 델타 함수의 제곱이 의미가 있나요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 사실 \([\delta(y-x)]^2\)는 수학적으로는 엄밀한 의미를 갖지 않는 "병적인" 대상이야. 하지만 걱정하지 않아도 돼——범함수 미분의 정의를 다시 봐. \(\frac{\delta F}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon \to 0}\frac{F[f + \epsilon\delta] - F[f]}{\epsilon}\)이니까, 분자를 \(\epsilon\)으로 나눈 후 \(\epsilon \to 0\)으로 보내. 즉 \(\epsilon\)의 1차 계수만 살아남고, 2차 이상의 항(\(\epsilon^2[\delta]^2\) 등)은 \(\epsilon \to 0\)에서 사라져. 그러니까 "\([\delta]^2\)에 의미가 있는가"를 걱정할 필요가 없어——애초에 그 항은 최종 결과에 기여하지 않으니까.
대입해서 \([f(y)]^p\) 항을 상쇄하면:
마지막으로 델타 함수의 "뽑아내기" 성질을 사용하면:
⚪ 메이: 보통의 미분에서 \(\frac{d}{dx}x^p = px^{p-1}\)이 되는 것과 완전히 같은 패턴이네. "거듭제곱을 1 내리고 계수를 앞에 붙인다".
🟡 리나: 맞아! 범함수 미분은 "함수판 미분"이니까, 많은 계산 규칙이 보통의 미분과 같은 형태가 돼.
✅ 이해도 체크: 범함수 \(K[f] = \int_0^1 [f(x)]^3\,dx\)의 범함수 미분 \(\frac{\delta K}{\delta f(x_0)}\) (\(0 \leq x_0 \leq 1\))을 구하세요.
답
계산 예 2에서 \(p = 3\), \(\varphi(y) = 1\)로 놓으면 된다. \(\frac{\delta K}{\delta f(x_0)} = 3[f(x_0)]^2\).
📝 연습문제:
- 범함수와 범함수 미분의 계산 연습 → 문제 B-4. 델타 함수를 이용한 범함수 미분
A.4 장의 Euler-Lagrange 방정식¶
🟡 리나: 입자의 Euler-Lagrange 방정식은 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에서 배운 대로:
여기서는, 이것을 "입자 \(q_i(t)\)"에서 "장 \(\phi(t, \mathbf{x})\)"로 확장하는 부분을 정리할게. 본편 제 3 장에서 Klein-Gordon 방정식을 유도했을 때 사용한 틀의 출처야.
A.4.1 입자 → 장으로의 대응¶
🟡 리나: 입자역학과 장의 이론의 대응관계를 표로 정리하면:
표 A.4: 입자역학에서 장의 이론으로의 대응
| 입자역학 | 장의 이론 |
|---|---|
| 일반화 좌표 \(q_i(t)\) (유한 개) | 장 \(\phi(t, \mathbf{x})\) (연속 무한 개) |
| Lagrangian \(L(q, \dot{q})\) | Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) |
| 작용 \(S = \int dt\,L\) | 작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) |
🔵 카이: 첨자 \(i\) (이산적)가 좌표 \(\mathbf{x}\) (연속적)로 바뀌고 있네요. 그런데, 왜 시간의 1계 미분 \(\dot{q}\)가 4차원 미분 \(\partial_\mu\phi\)가 되는 건가요? 시간뿐만 아니라 공간의 미분도 들어가 있잖아요.
🟡 리나: 좋은 질문이야. 두 가지 이유가 있어. 먼저 물리적으로는, 장은 공간에 퍼져 있으니까, "이웃한 점의 장의 값의 차이"가 에너지에 기여해——스프링으로 연결된 질점의 열을 떠올리면, 이웃끼리의 변위 차이가 스프링의 퍼텐셜 에너지를 만들잖아? 그것이 공간 미분 \(\nabla\phi\)로서 Lagrangian에 들어가는 이유야.
🔵 카이: 아, 연속체의 극한이라는 거군요. 이웃끼리의 스프링 늘어남이 공간 미분에 대응한다.
🟡 리나: 맞아. 그리고 또 하나, 특수상대론에서는 시간과 공간을 대등하게 다루니까, 시간 미분 \(\dot{\phi}\)와 공간 미분 \(\nabla\phi\)를 합쳐서 4차원 미분 \(\partial_\mu\phi\)라고 쓰는 거야. 그리고 작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\)는 장의 배위 \(\phi(x)\)라는 함수를 넣으면 수 \(S\)가 돌아오는——전형적인 범함수야.
A.4.2 변분과 장의 Euler-Lagrange 방정식¶
🟡 리나: 입자의 경우와 같은 순서를 밟을게. \(\delta\phi(x)\)는 "장 \(\phi\)의 각 시공간점에서의 값을 미소량만큼 바꾸는 것"을 나타내는 기호야——입자역학에서 \(q(t) \to q(t) + \delta q(t)\)로 한 것과 같아. 작용 \(S\)가 정류하는 조건 \(\delta S = 0\)을, 임의의 \(\delta\phi(x)\)에 대해 성립하게 해.
(여기서 \(\mu\)에 대해 \(0, 1, 2, 3\)의 합을 취하고 있어——Einstein의 축약 규칙이야. 본편 제 3 장에서 도입한 약속이지.)
먼저 \(\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)\)를 사용할게. 이것은 "변분 \(\delta\)와 미분 \(\partial_\mu\)의 순서는 교환할 수 있다"는 뜻이야.
🔵 카이: 잠깐요. 왜 순서를 바꿔도 되는 건가요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. \(\delta\phi\)는 "\(\phi\)를 \(\phi + \delta\phi\)로 바꿨을 때의 차분"이야. \(\partial_\mu(\phi + \delta\phi) - \partial_\mu\phi = \partial_\mu(\delta\phi)\)이니까, \(\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu(\delta\phi)\)가 돼. 여기서 사용한 것은 미분의 "선형성"——즉 \(\partial_\mu(A + B) = \partial_\mu A + \partial_\mu B\)라는 성질뿐이야. 차분을 취한 후 미분해도, 미분한 후 차분을 취해도 같아——입자역학에서 \(\delta\dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)\)로 한 것과 완전히 같은 이치야.
🔵 카이: 그렇군요, 미분의 선형성에서 오는 거네요. 다음은 부분적분인가요?
🟡 리나: 맞아. 입자역학에서는 \(\int \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\frac{d}{dt}(\delta q)\,dt\)를 부분적분해서 \(-\int \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\cdot\delta q\,dt\) (+경계항)으로 했잖아. 4차원에서도 같은 것을 해.
포인트는 2가지야.
- \(\int d^4x = \int dt\,dx\,dy\,dz\)는 다중적분이니까, 각 \(\mu\) 방향마다 1변수의 부분적분을 수행할 뿐이야——예를 들어 \(t\) 방향의 부분적분을 할 때, \(dx\,dy\,dz\)의 적분은 "바깥에 씌워져 있는" 것일 뿐 영향을 주지 않으니까, \(\int dx\,dy\,dz\left[\int dt\,(\cdots)\right]\)의 안쪽 \(\int dt\)에만 주목하면 돼
- 제2항에는 \(\mu\)에 대한 합 (\(\mu = 0, 1, 2, 3\))이 숨어 있으니까, 각 \(\mu\)의 항을 독립적으로 부분적분해
즉, 새로운 기법은 아무것도 없고, 고등학교에서 배운 1변수의 부분적분을 4방향에서 각각 한 번씩 수행하는 것뿐이야.
⚪ 메이: 다중적분에서도, 주목하는 변수 이외는 "바깥에서 기다리고 있을" 뿐이니까, 1변수의 조작으로 끝나는 거네.
🟡 리나: 구체적으로 \(\mu = 0\) (시간 방향)의 항을 꺼내 보자. \(\int d^4x = \int dt\,dx\,dy\,dz\)이니까, \(t\) 이외의 적분(\(dx\,dy\,dz\))은 그대로 남기고, \(t\) 방향에만 주목해. 제2항의 \(\mu = 0\)의 기여는 \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\,\delta(\partial_0\phi)\)이고, 앞서 확인한 \(\delta(\partial_0\phi) = \partial_0(\delta\phi) = \frac{\partial}{\partial t}(\delta\phi)\)를 사용하면, 피적분함수는 \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\cdot\frac{\partial}{\partial t}(\delta\phi)\)라는 형태가 돼. 이것은 "무언가 \(\times\) \(\delta\phi\)의 \(t\) 미분"이니까, 1변수의 부분적분을 그대로 사용할 수 있어:
\(\mu = 1\) (\(x\) 방향)에서도 완전히 같은 요령으로:
\(\mu = 2, 3\)도 마찬가지야. 4가지 방향에서 각각 부분적분한 결과를 나열하면:
- \(\mu = 0\): \(-\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\right)\delta\phi\)
- \(\mu = 1\): \(-\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_1\phi)}\right)\delta\phi\)
- \(\mu = 2, 3\)도 같은 형태
이들 4개의 항을 더한 것이, Einstein의 축약 규칙으로 \(\mu\)에 대해 합을 취한 형태:
에 다름 아니야.
🔵 카이: 오, 4방향 따로따로 부분적분해도, 마지막에는 \(\partial_\mu\) 하나로 정리되는군요. 축약 규칙의 위력이다.
🟡 리나: 맞아. 입자역학에서는 "시점과 종점을 고정한다" (\(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\))고 가정했잖아. 장의 이론에서도 같은 발상으로, "시공간의 무한 원방에서 장의 변분은 영" (\(\delta\phi \to 0\) as \(|x| \to \infty\))이라고 가정해. 물리적으로는, "무한히 먼 곳이나 무한한 미래·과거에서의 장의 값은 바꾸지 않는다"——즉, 장의 변화는 유한한 시공간 영역에 한정된다는 자연스러운 조건이야. 이 가정 아래서 경계항은 모두 사라지고:
\(\delta\phi\)는 시공간의 각 점에서 자유롭게 선택할 수 있는 임의의 함수이니까, 귀류법으로 생각해 보자. 만약 대괄호 안의 내용이 어떤 점 \(x_0\)에서 영이 아니라고 해보자. 대괄호의 내용은 \(\phi\)와 \(\mathcal{L}\)이 매끄러우면 연속함수이니까, \(x_0\) 바로 근처의 점에서도 갑자기 영이 되지는 않아——즉 \(x_0\)을 포함하는 작은 영역에서, 대괄호의 내용은 영이 아닌 값을 유지해. 그래서, 그 작은 영역 안에서만 \(\delta\phi \neq 0\), 그 외에서는 영인 \(\delta\phi\)를 선택해 봐. 그러면 적분 \(\int [\cdots]\delta\phi\,d^4x\)는, 대괄호의 내용이 영이 아닌 영역에서 \(\delta\phi\)도 영이 아니니까, 적분 결과는 영이 되지 않아——즉 \(\delta S \neq 0\)이 되어 버려. 이것은 "모든 \(\delta\phi\)에 대해 \(\delta S = 0\)"이라는 조건에 모순이야.
⚪ 메이: 귀류법이네. "만약 한 점에서라도 영이 아니라면, 거기만 찌르는 \(\delta\phi\)를 만들 수 있으니까 모순된다"——입자의 경우와 같은 논법이야.
🟡 리나: 맞아 (이것은 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에서 입자의 경우에 사용한 것과 같은 논법이야). 따라서, 대괄호의 내용은 모든 점에서 영이어야 해:
항의 순서를 바꾸면 (\(A - B = 0\)은 \(B - A = 0\)과 같으니까), 입자역학의 Euler-Lagrange 방정식 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)과 같은 "미분항이 앞"인 형태가 돼. 교과서에서는 이쪽 형태로 쓰는 것이 관례야. 이것이 장의 Euler-Lagrange 방정식:
⚪ 메이: 입자역학의 "시간 미분 \(\frac{d}{dt}\)"가, 장의 이론에서는 "4차원 미분 \(\partial_\mu\)"로 바뀌는 거네. 시간과 공간이 대등해.
✅ 이해도 체크: 입자의 Euler-Lagrange 방정식과 장의 Euler-Lagrange 방정식의 주된 차이는 무엇일까요?
답
입자의 경우에는 시간에 관한 전미분 \(\frac{d}{dt}\)가 나타나는 반면, 장의 경우에는 시공간의 4차원 편미분 \(\partial_\mu\)가 나타난다. 이것은 특수상대론에서 시간과 공간을 대등하게 다루는 것에 대응한다. 또한, Lagrangian \(L\)이 Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L}\)로, 작용의 시간적분 \(\int dt\)가 시공간 적분 \(\int d^4x\)로 확장된다.
A.4.3 구체적 예: Klein-Gordon 방정식¶
🟡 리나: 본편 제 3 장에서 다룬 Klein-Gordon 장의 Lagrangian 밀도:
에 장의 Euler-Lagrange 방정식을 적용해 보자. 그 전에 기호를 확인해 두면, 여기서는 본편 제 2 장에서 도입한 QFT 식의 부호 규약(mostly-minus)을 사용하고 있어. \(\partial^\mu\phi \equiv \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\)는 Minkowski 계량 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)로 첨자를 "올린" 미분이야 (본편 제 3 장에서 도입 완료). 즉 \(\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\,\partial_\nu\phi = (\partial_0\phi)^2 - (\partial_1\phi)^2 - (\partial_2\phi)^2 - (\partial_3\phi)^2\)이야 (같은 첨자가 위아래에 나타나면 \(\mu = 0, 1, 2, 3\)에 대해 합을 취한다——Einstein의 축약 규칙이야. 본편 제 3 장에서 도입했지).
🔵 카이: 시간 성분만 플러스이고, 공간 성분이 마이너스인 거죠.
🟡 리나: 맞아. Euler-Lagrange 방정식에 필요한 \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\)를 구하기 위해, 이 \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\) 부분을 \(\partial_\mu\phi\)로 편미분해 보자. \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\)를 서로 독립적인 변수로 간주해——입자역학에서 \(q\)와 \(\dot{q}\)를 독립변수로 취급한 것과 같은 발상이야.
🔵 카이: 잠깐요. \(\phi\)가 정해지면 \(\partial_0\phi\)도 \(\partial_1\phi\)도 전부 정해지잖아요. 그런데 "독립적인 변수"로 취급해도 되는 건가요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 여기서의 "독립변수로 간주한다"는, Lagrangian 안에서의 편미분을 계산할 때만의 약속이야. 입자역학에서 \(L(q, \dot{q})\)를 \(\dot{q}\)로 편미분할 때, \(q\)와 \(\dot{q}\)는 "\(L\)의 인수로서 독립"하다고 취급하잖아? 실제로는 \(\dot{q} = \frac{dq}{dt}\)이니까 \(q(t)\)가 정해지면 \(\dot{q}\)도 정해지는데, 편미분 계산에서는 "다른 쪽을 고정하고 한쪽만 움직인다"고 생각해. 장의 이론에서도 완전히 같아서, \(\mathcal{L}(\phi, \partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\)의 각 인수를 편미분 계산상 독립적으로 취급해. 운동방정식을 유도한 후에 비로소, \(\phi\)와 \(\partial_\mu\phi\)의 관계가 동적으로 결정되는 거야.
🔵 카이: 입자역학의 \(q\)와 \(\dot{q}\)의 관계와 같은 거군요. ……그런데 좀 확인하게 해주세요. 입자역학에서는 \(q\)와 \(\dot{q}\)의 2개만 "독립"이었는데, 장의 이론에서는 \(\phi\)와 \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\)의 5개가 독립이라는 건가요? 변수의 수가 늘어나 있잖아요.
🟡 리나: 좋은 확인이야. 맞아——장의 Lagrangian 밀도는 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\)라는 5개의 독립적인 인수를 가져. 입자역학의 \(L(q, \dot{q})\)가 2인수였던 것에 비해, 시공간의 차원 수만큼 늘어나 있어. \(\partial_0\phi, \partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi\)를 독립변수로 취급하고 있으니까, 예를 들어 \(\partial_1\phi\)를 \(\partial_2\phi\)로 편미분하면 \(0\), \(\partial_1\phi\)를 \(\partial_1\phi\)로 편미분하면 \(1\)이지. 이것을 일반적으로 쓰면 \(\frac{\partial(\partial_\alpha\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\alpha^\mu\)가 돼. \(\delta_\alpha^\mu\)는 Kronecker 델타——\(\alpha = \mu\)일 때 \(1\), \(\alpha \neq \mu\)일 때 \(0\)을 돌려주는 기호야 (본편에서 여러 번 사용해 왔지). Dirac의 델타 함수 \(\delta(x)\)와는 이름이 비슷하지만 완전히 다른 대상이니까 혼동하지 마——Kronecker 델타는 이산 첨자용, Dirac 델타는 연속 변수용이야.
⚪ 메이: 즉 \(\frac{\partial(\partial_\alpha\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\alpha^\mu\)는, "5개의 독립변수 중 같은 것을 미분하면 1, 다른 것이면 0"이라는 당연한 것을 첨자로 쓴 것일 뿐이네.
🟡 리나: 맞아. 이것을 사용해서 \(\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\right)\)를 계산할게. \(\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi\)는 \(\partial_\alpha\phi\)와 \(\partial_\beta\phi\)의 "곱"이니까, 곱의 미분 법칙(\(\frac{\partial(AB)}{\partial C} = \frac{\partial A}{\partial C}\cdot B + A\cdot\frac{\partial B}{\partial C}\))으로 \(\alpha\) 쪽과 \(\beta\) 쪽에서 각각 1항씩 나와. 구체적으로는, \(\alpha\) 쪽을 미분하면 \(\frac{\partial(\partial_\alpha\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\alpha^\mu\)가 나오고, \(\beta\) 쪽을 미분하면 \(\frac{\partial(\partial_\beta\phi)}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \delta_\beta^\mu\)가 나와.
🔵 카이: 곱의 미분으로 2항 나오는 건 보통의 \(\frac{d}{dx}(fg) = f'g + fg'\)와 같네요.
🟡 리나: 맞아. 여기서 Kronecker 델타의 성질을 사용해. \(\eta^{\alpha\beta}\delta_\alpha^\mu\)에는 \(\alpha\)에 대해 \(0, 1, 2, 3\)의 합이 숨어 있어 (Einstein의 축약 규칙). \(\delta_\alpha^\mu\)는 "\(\alpha = \mu\)일 때만 1"이니까, 합 중에서 \(\alpha = \mu\)인 항만 살아남아. 즉 \(\sum_\alpha \eta^{\alpha\beta}\delta_\alpha^\mu = \eta^{\mu\beta}\)이야. 마찬가지로 \(\eta^{\alpha\beta}\delta_\beta^\mu = \eta^{\alpha\mu}\)이야.
🔵 카이: 좀 확인하게 해주세요. \(\eta^{\alpha\beta}\delta_\alpha^\mu\)에서 \(\alpha\)의 합을 취하면, \(\alpha = \mu\)인 항만 남아서 \(\eta^{\mu\beta}\)가 된다——이것은 "\(\delta\)가 첨자를 바꿔치기하는" 것 같은 역할을 하고 있는 거네요.
🟡 리나: 정확히 맞아. Kronecker 델타의 가장 중요한 역할은 "첨자의 바꿔치기"야. 결과는 \(\frac{1}{2}(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi + \eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi)\)가 돼. \(\eta^{\mu\beta}\partial_\beta\phi = \partial^\mu\phi\)이고, \(\eta^{\alpha\mu}\partial_\alpha\phi\)도 첨자 이름이 다를 뿐 마찬가지로 \(\partial^\mu\phi\). 그러니까 \(\frac{1}{2}(\partial^\mu\phi + \partial^\mu\phi) = \partial^\mu\phi\)가 돼. 즉 \(\frac{\partial(x^2)}{\partial x} = 2x\)에서 \(\frac{1}{2}\)과 상쇄되는 것과 같은 요령이야:
⚪ 메이: \(\frac{1}{2}\)과 곱의 미분의 2항이 딱 상쇄되어서, 깔끔하게 \(\partial^\mu\phi\)만 남는 거네.
🟡 리나: 이것을 장의 Euler-Lagrange 방정식 \(\partial_\mu\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\)에 대입하면, \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi) - (-m^2\phi) = 0\)이니까:
여기서 \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi)\)는 \(\partial_\mu\partial^\mu\phi\)로 써도 같아. 성분으로 쓰면 \(\partial_\mu\partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}\)이고, 이것이 본편 제 3 장에서 도입한 달랑베르 연산자 \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu\) 그 자체야 (QFT식의 mostly-minus 규약). 정리하면:
혹은 첨자를 명시해서 \((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0\)이라고도 써.
🔵 카이: Klein-Gordon 방정식이다. 본편 제 3 장에서 Lagrangian으로부터 유도한——그 유도의 문법을 여기서 확인하고 있는 거네요.
✅ 이해도 체크: Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4\)로부터 장의 운동방정식을 유도하세요.
답
\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3\), \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\). 운동방정식: \(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0\). (\(\phi^4\)를 \(\phi\)로 미분하면 \(4\phi^3\)이 나오고, \(\frac{1}{4!}\times 4 = \frac{1}{3!}\)이 된다.)
📝 연습문제:
- 다양한 Lagrangian으로부터의 Euler-Lagrange 방정식 유도 → 문제 B-5. Euler-Lagrange 방정식의 적용（1차원 조화진동자）
A.5 장의 정준양자화¶
🟡 리나: 입자의 정준양자화는 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 의 "3단계"로 정리했었지. Poisson 괄호를 교환관계로 바꾸는 레시피야. 여기서는 그것을 장으로 확장해. 본편 제 4 장에서 "스칼라장에 정준 교환관계를 부과하여 양자화한다"고 쓸 때의, 배후에 있는 구조야.
A.5.1 장의 정준운동량 밀도¶
🟡 리나: 입자의 정준운동량 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\)에 대응하는 것이, 장의 정준운동량 밀도 (canonical momentum density):
🔵 카이: 첨자 \(i\)가 공간좌표 \(\mathbf{x}\)로 바뀌고 있네요. "\(\mathbf{x}\) 번째 자유도의 운동량"이라는 느낌.
🟡 리나: 맞아. 예를 들어 Klein-Gordon 장에서는, A.4.3의 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2\)를 시간 성분과 공간 성분으로 나눠 보자. 계량 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\)를 사용하면 \(\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = (\partial_0\phi)^2 - (\partial_1\phi)^2 - (\partial_2\phi)^2 - (\partial_3\phi)^2 = \dot{\phi}^2 - (\nabla\phi)^2\)이니까, \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2\)가 돼. 여기서 \(\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = \dot{\phi}\)야.
A.5.2 Hamiltonian 밀도¶
🟡 리나: 입자의 Hamiltonian \(H = p\dot{q} - L\)에 대응하는 것이 Hamiltonian 밀도 (Hamiltonian density):
(여기서 \(\dot{\phi}\)를 \(\pi\)와 \(\phi\)의 관계식을 사용해서 소거하면, \(\mathcal{H}\)는 \(\phi, \pi, \nabla\phi\)의 함수가 돼.)
🟡 리나: "밀도"니까, 전체 Hamiltonian을 얻으려면 공간에서 적분해야 해:
$$ H = \int d^3\mathbf{x}\;\mathcal{H} $$ ⚪ 메이: 입자역학에서는 \(H\)가 그대로 에너지였는데, 장에서는 각 점의 에너지 밀도를 공간 전체에서 더하는 거네.
🟡 리나: Klein-Gordon 장의 경우, \(\pi = \dot{\phi}\)와 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2\)를 대입하면:
괄호를 풀 때, 마이너스가 전체에 걸리니까 각 항의 부호가 반전되어:
\(\pi = \dot{\phi}\)이니까 \(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 = \frac{1}{2}\pi^2\)로 바꿔 쓰면:
🔵 카이: 전부 제곱의 합——에너지 밀도가 반드시 \(0\) 이상이 되는 거네요. 안심이 돼요.
🟡 리나: 맞아, 전부 제곱 형태로 비음수——이것이 에너지 밀도가 양의 값임을 보여주고 있어.
A.5.3 장의 Poisson 괄호와 정준양자화¶
🟡 리나: 입자의 Poisson 괄호 \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\)에 대응하는 것이, 장의 Poisson 괄호야. A.4.1의 대응표에서 봤듯이, 입자역학의 이산 첨자 \(i\)가 장의 이론에서는 연속 좌표 \(\mathbf{x}\)로 바뀌어. 그러니까 "\(i\) 번째 자유도와 \(j\) 번째 자유도가 같은지 아닌지"를 나타내는 \(\delta_{ij}\)도, "점 \(\mathbf{x}\)와 점 \(\mathbf{y}\)가 같은지 아닌지"를 나타내는 연속 버전——\(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)——으로 바뀌어. 결론을 먼저 써두면, 장의 Poisson 괄호의 기본 관계식은:
이것들은 장의 Poisson 괄호의 정의로부터 유도되는 결과야——정의 자체는 바로 뒤에 보여줄게. 양변에 같은 시각 \(t\)가 들어가 있다는 점에 주목해. 이것들은 같은 시각 \(t\)에서 평가한 "등시각 Poisson 괄호" (equal-time Poisson bracket)야. Poisson 괄호는 고전역학의 도구이니까 \(\hbar\)는 포함되지 않아——\(\hbar\)가 등장하는 것은, 이 다음의 정준양자화에서 교환관계로 바꿀 때야. 다른 시각의 장 사이의 관계는, 운동방정식으로 결정돼.
⚪ 메이: Kronecker의 델타 \(\delta_{ij}\)가 Dirac의 델타 함수 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)로 바뀌고 있네.
🔵 카이: 어, 왜 Kronecker 델타면 안 되나요? 같은 점인지 아닌지를 판정하는 것뿐이라면 \(\delta_{ij}\)로도 될 것 같은데요.
🟡 리나: 좋은 의문이야. 이산적인 첨자 \(i, j\)가 연속적인 좌표 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)로 되니까, "\(i = j\)일 때만 1"인 Kronecker 델타로는 연속적인 좌표를 다룰 수 없어. 대신 "\(\mathbf{x} = \mathbf{y}\)인 곳에서만 날카로운 피크"를 가지는 Dirac 델타로 자연스럽게 바뀌는 거야. 여기서 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)는 3차원 버전의 Dirac 델타 함수——1차원의 \(\delta(x)\)를 3방향으로 확장한 것으로, \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) = \delta(x_1-y_1)\,\delta(x_2-y_2)\,\delta(x_3-y_3)\)로 쓸 수 있어. "뽑아내기" 성질도 자연스럽게 확장되어 \(\int f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y} = f(\mathbf{x})\)야.
🔵 카이: 이산 → 연속에서 \(\delta_{ij} \to \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\). ……그러면, 차원도 바뀌죠? \(\delta_{ij}\)는 무차원인데, \(\int \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y} = 1\)이 성립한다면, \(d^3\mathbf{y}\)가 \([L^3]\)이니까 \(\delta^{(3)}\)는 \([L^{-3}]\)의 차원을 가져야 해요. 교환관계의 양변의 차원은 맞나요?
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 결론부터 말하면, 제대로 맞아. 확인해 보자. 먼저 입자역학의 \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\)를 보면, 우변의 \(\delta_{ij}\)는 무차원이니까, 좌변도 무차원이어야 해. 실제로, Poisson 괄호의 정의 \(\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \cdots\)에서는 분모에 \(q\)와 \(p\)의 차원이 들어가니까, \(\{q, p\}\)는 \(\frac{[q]}{[q]}\cdot\frac{[p]}{[p]} = 1\) (무차원)이 되어 정합해.
장의 경우를 봐 보자. \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\} = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)의 우변은, \(\int \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\,d^3\mathbf{y} = 1\)에서 알 수 있듯이, 차원이 \([L^{-3}]\) (길이의 \(-3\)승)야. 좌변도 같은 차원을 가져야 하지.
🔵 카이: 입자의 경우에는 무차원이었는데, 장에서는 \([L^{-3}]\)이 되는 건가요? Poisson 괄호의 정의 자체가 바뀌는 건가요?
🟡 리나: 맞아, 정의가 바뀌어. 입자역학에서는 \(\{A, B\} = \sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)\)처럼, 전 자유도 \(i\)에 대해 합을 취했지. 여기서 \(A = q_k\), \(B = p_l\)을 대입하면 \(\{q_k, p_l\} = \sum_i\left(\frac{\partial q_k}{\partial q_i}\frac{\partial p_l}{\partial p_i} - 0\right) = \sum_i \delta_{ki}\delta_{li} = \delta_{kl}\)이라고 확인할 수 있어. 장의 이론에서는 자유도가 연속 좌표 \(\mathbf{z}\)로 라벨되니까, 이 합 \(\sum_i\)가 공간적분 \(\int d^3\mathbf{z}\)로 바뀌어. 그리고 편미분 \(\frac{\partial}{\partial q_i}\)도 범함수 미분 \(\frac{\delta}{\delta\phi(\mathbf{z})}\)로 바뀌어——입자역학에서는 "\(i\) 번째 좌표 \(q_i\)로 미분한다"였던 것이, 장의 이론에서는 "점 \(\mathbf{z}\)에서의 장의 값 \(\phi(\mathbf{z})\)로 미분한다"로 바뀌는 거야. A.3에서 배운 범함수 미분이 바로 그 조작이야.
⚪ 메이: \(\sum_i\)가 \(\int d^3\mathbf{z}\)로, 편미분이 범함수 미분으로——입자에서 장으로의 치환이 철저하네.
🟡 리나: 즉, 일반적인 범함수 \(A[\phi,\pi]\), \(B[\phi,\pi]\)에 대한 장의 Poisson 괄호는: $$ {A, B} = \int d^3\mathbf{z}\left[\frac{\delta A}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\mathbf{z})} - \frac{\delta A}{\delta\pi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta B}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\right] $$
로 정의돼. 여기에 \(A = \phi(t,\mathbf{x})\), \(B = \pi(t,\mathbf{y})\)를 대입하면: $$ {\phi(t, \mathbf{x}), \pi(t, \mathbf{y})} = \int d^3\mathbf{z}\left[\frac{\delta\phi(t,\mathbf{x})}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta\pi(t,\mathbf{y})}{\delta\pi(t,\mathbf{z})} - \frac{\delta\phi(t,\mathbf{x})}{\delta\pi(t,\mathbf{z})}\frac{\delta\pi(t,\mathbf{y})}{\delta\phi(t,\mathbf{z})}\right] $$
여기서 \(\sum_i \to \int d^3\mathbf{z}\)의 치환으로 \([L^3]\)의 차원이 들어가니까, 결과가 \([L^{-3}]\)이 되는 거야.
🔵 카이: 그렇구나, 합이 적분으로 바뀐 만큼 차원이 밀려나니까, 우변도 Dirac 델타가 되어 앞뒤가 맞는 거네요.
🟡 리나: 맞아. 실제로 계산해 보자. 여기서 좀 관점을 바꿀게. \(\phi(\mathbf{x})\)는 "장 \(\phi\)의 점 \(\mathbf{x}\)에서의 값"——즉 특정한 수야. 하지만 범함수 미분 \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})}\)를 계산하려면, \(\phi(\mathbf{x})\)를 "장의 배위 \(\phi\) 전체(즉 함수)를 입력으로 받아서, 그 중에서 점 \(\mathbf{x}\)에서의 값이라는 수를 돌려주는" 것으로 봐야 해.
🔵 카이: 어, \(\phi(\mathbf{x})\)는 "어떤 점에서의 장의 값"이잖아요? 그것이 범함수라고 하면 혼란스러운데요……
🟡 리나: 기분은 이해해. 비유로 생각해 봐. 반 전체 학생의 시험 점수가 나열된 표가 있다고 하자——이것이 "장의 배위 \(\phi\) 전체"에 대응해. "다로의 점수를 알려줘"라고 묻는 것은, 표 전체(함수)를 입력으로 받아서, 다로의 칸의 수치(수)를 돌려주는 조작——이것이 범함수야. \(\phi(\mathbf{x})\)는 "장의 배위 전체에서, 점 \(\mathbf{x}\)의 값을 뽑아내는" 조작이야. 이것은 범함수의 정의 그 자체야——A.2의 예 3을 떠올려 봐. 거기서 \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y-x)\,dy = f(x)\)였지. "함수 \(f\)를 넣으면, 점 \(x\)에서의 값 \(f(x)\)를 돌려주는" 범함수. 지금의 \(\phi(\mathbf{x})\)도 완전히 같은 구조야——3차원 버전으로 쓰면 \(\phi(\mathbf{x}) = \int \phi(\mathbf{z})\,\delta^{(3)}(\mathbf{z} - \mathbf{x})\,d^3\mathbf{z}\)야.
🔵 카이: 그렇구나, "표 전체를 보고 특정 칸을 읽는" 조작이 범함수……. 확실히 예 3과 같은 구조네요.
🟡 리나: 맞아. 그러니까 범함수 미분의 정의에 직접 대입해 보자. \(\phi(\mathbf{x}) = \int \phi(\mathbf{z})\,\delta^{(3)}(\mathbf{z} - \mathbf{x})\,d^3\mathbf{z}\)라는 형태는, A.3의 계산 예 2에서 \(p = 1\) (즉 \([f(y)]^1 = f(y)\)), 가중 함수 \(\varphi(y) = \delta^{(3)}(\mathbf{z} - \mathbf{x})\)로 한 경우에 대응해. 계산 예 2의 결과 \(\frac{\delta J}{\delta f(x)} = p[f(x)]^{p-1}\varphi(x)\)에서 \(p = 1\)로 하면 \(\varphi(x)\)가 그대로 남으니까, \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = 1 \times \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z})\)가 얻어져.
⚪ 메이: 앞에서 유도한 공식을 그대로 쓸 수 있네. 도구를 쌓아온 보람이 있어.
🟡 리나: 마찬가지로 \(\frac{\delta\pi(\mathbf{y})}{\delta\pi(\mathbf{z})} = \delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{z})\). 한편, \(\phi\)는 \(\pi\)에 의존하지 않으니까 \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\pi(\mathbf{z})} = 0\). 마찬가지로 \(\pi\)는 \(\phi\)에 의존하지 않으니까 \(\frac{\delta\pi(\mathbf{y})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = 0\). 따라서 제2항은 사라지고:
마지막 단계를 자세히 보자. 피적분함수에 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z})\)가 포함되어 있지. "뽑아내기" 성질 \(\int g(\mathbf{z})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{z})\,d^3\mathbf{z} = g(\mathbf{x})\)를 사용해. 여기서 \(g(\mathbf{z}) = \delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{z})\)로 보면, 적분 결과는 \(g(\mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x})\)가 돼. 그리고 \(\delta^{(3)}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) (델타 함수는 짝함수이니까). 이렇게 해서 우변의 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)가 자연스럽게 나와. 요컨대, 이산 → 연속의 이행에서 \(\delta_{ij}\) (무차원)가 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) (차원 \([L^{-3}]\))로 바뀌는 만큼, Poisson 괄호의 정의에도 공간적분이 들어가서 차원이 정합하는 거야.
🔵 카이: 좀 정리하게 해주세요. 입자역학에서는 \(\{q_i, p_j\}\)의 정의에 \(\sum_i\)가 있고, 결과는 무차원. 장의 이론에서는 \(\sum_i\)가 \(\int d^3\mathbf{z}\)로 바뀌니까, \([L^3]\)의 차원이 여분으로 들어가. 그만큼 우변도 \(\delta_{ij}\) (무차원)에서 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) (\([L^{-3}]\))로 바뀌어서 앞뒤가 맞는다——는 거네요. ……그런데, \(\phi\)와 \(\pi\)의 차원 자체는 어떻게 되나요? 입자의 \(q\)나 \(p\)와는 다르죠?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 자연단위계 (\(\hbar = c = 1\))에서는, 작용 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\)가 무차원이 되도록 설계해. 본편 제 2 장에서 배웠듯이, 자연단위계에서는 모든 물리량의 차원이 질량 \([M]\)의 거듭제곱으로 표현돼. 여기서 사용하는 대응만 복습해 두면: \(c = 1\)에서 길이와 시간이 같은 차원이 되어 \([L] = [T]\), 더 나아가 \(\hbar = 1\)에서 \([L] = [M^{-1}]\) (길이는 질량의 역수의 차원)이야. 마지막 관계는 \(\hbar = 1\)과 \(c = 1\)을 조합하면 나와——\(\hbar c\)는 "에너지 \(\times\) 길이"의 차원을 가지니까, \(\hbar c = 1\)로 하면 \([\text{길이}] = [\text{에너지}]^{-1} = [M]^{-1}\)이 돼. 직관적으로는, \(\hbar c \approx 200\,\text{MeV}\cdot\text{fm}\)이니까, \(\hbar = c = 1\)로 하면 "1 GeV\(^{-1}\) ≈ 0.2 fm"——즉 질량이 큰 입자일수록 작다 (짧은 파장을 가진다)는 대응이야. 잊은 사람은 제 2 장를 다시 봐.
🔵 카이: 왜 작용이 무차원인가요?
🟡 리나: 양자역학에서 경로적분의 가중치가 \(e^{iS/\hbar}\)였잖아? 지수함수의 인수는 무차원이어야 하니까, \(S/\hbar\)가 무차원——즉 \(S\)는 \(\hbar\)와 같은 차원을 가져. 자연단위계에서는 \(\hbar = 1\) (무차원)이니까, \(S\)도 무차원이 되는 거야.
⚪ 메이: 지수 안이 무차원——거기서부터 모든 차원이 줄줄이 결정되는 거네.
🟡 리나: 이 단위계에서 차원을 추적해 보자. \([L] = [M^{-1}]\)이니까, \(d^4x\)는 "길이 4개분"으로 차원 \([M^{-1}]^4 = [M^{-4}]\)이야. \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\)가 무차원이 되려면 \(\mathcal{L}\)는 \([M^4]\)이어야 해. Klein-Gordon 장의 \(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2\)를 보면, \(\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}\)는 "길이로 나누는" 조작이니까 차원은 \([L^{-1}] = [M^1]\)이야. \(\mathcal{L}\)가 \([M^4]\)이고, \((\partial_\mu\phi)^2\)도 \([M^4]\)이어야 하니까, \(\partial_\mu\phi\)는 \([M^2]\). 즉 \(\phi\)는 \([M^{2-1}] = [M^1]\)이야. 그리고 \(\pi = \dot{\phi} = \partial_0\phi\)이니까, \(\pi\)의 차원은 \([\partial_0]\times[\phi] = [M^1]\times[M^1] = [M^2]\)야.
🔵 카이: 그렇군요. 그럼 Poisson 괄호의 차원도 확인할 수 있나요?
🟡 리나: 응. 여기서부터는 자연단위계 (\(\hbar = c = 1\), 길이의 차원이 \([M^{-1}]\))에서 확인할게. 이 단위계에서는 \([L^{-3}] = [M^3]\)이니까, 아까 "\(\delta^{(3)}\)의 차원은 \([L^{-3}]\)"라고 말한 것은 \([M^3]\)과 같은 거야. 아까 계산했듯이 \(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{z})\)이고, \(\delta^{(3)}\)의 차원은 \([M^3]\) (\(\int \delta^{(3)}\,d^3\mathbf{z} = 1\)이고 \(d^3\mathbf{z}\)가 \([M^{-3}]\)이니까). 마찬가지로 \(\frac{\delta\pi(\mathbf{y})}{\delta\pi(\mathbf{z})} = \delta^{(3)}(\mathbf{y}-\mathbf{z})\)도 \([M^3]\). \(\int d^3\mathbf{z}\)가 \([M^{-3}]\)이니까, 전체는 \([M^{-3}]\times[M^3]\times[M^3] = [M^3]\). 우변의 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)도 \([M^3]\)으로 정합해.
🔵 카이: 그렇군요, 작용이 무차원이라는 조건에서 전부 결정되는 거네요. ……그러면, 만약 작용에 \(\hbar\)를 남기는 단위계(SI 단위계 같은)로 쓰면, \(\phi\)나 \(\pi\)의 차원도 바뀌고, 교환관계의 우변에도 \(\hbar\)가 나타나는 건가요?
🟡 리나: 맞아. 자연단위계에서는 \(\hbar = 1\)이니까 교환관계는 \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\)로 쓸 수 있지만, \(\hbar\)를 남기는 단위계에서는 우변에 \(i\hbar\)가 명시적으로 나타나. 이 Appendix에서는 도중의 계산은 자연단위계로 간결하게 진행하고, 최종적인 boxed 식에서 \(i\hbar\)를 명시해 둘게.
⚪ 메이: 즉, 본편에서 \(\hbar = 1\)로 쓰고 있던 식의 "본래 모습"이 boxed 식으로 확인할 수 있는 거네.
✅ 이해도 체크: 입자의 정준양자화에서 Kronecker 델타 \(\delta_{ij}\)가 나타나는 곳이, 장의 정준양자화에서는 Dirac 델타 함수 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)로 바뀌는 이유를 설명해 보세요.
답
입자역학에서는 자유도가 이산적인 첨자 \(i, j\)로 라벨되므로, "같은 자유도인지 아닌지"를 Kronecker 델타 \(\delta_{ij}\)로 나타낸다. 장의 이론에서는 자유도가 연속적인 공간좌표 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)로 라벨되므로, "같은 공간점인지 아닌지"를 Dirac 델타 함수 \(\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})\)로 나타낼 필요가 있다.
🟡 리나: 그리고 정준양자화의 레시피——Poisson 괄호를 교환관계로 바꿀 때 \(\hbar\)가 등장해——\(\{\ ,\ \} \to \frac{1}{i\hbar}[\ ,\ ]\)를 적용하면:
이것이 본편 제 4 장의 출발점, 장의 등시각 교환관계야. 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에서 본 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\)의 장 버전. 본편 제 4 장에서는 자연단위계 \(\hbar = 1\)을 사용했으니까 \([\hat{\phi}, \hat{\pi}] = i\,\delta^{(3)}\)로 썼지만, 여기서는 \(\hbar\)를 명시해 둘게.
A.5.4 대응관계 정리¶
🟡 리나: 입자와 장의 대응을 일람으로 만들면:
표 A.5: 입자와 장의 정준양자화 대응 일람
| 입자역학 | 장의 이론 |
|---|---|
| 일반화 좌표 \(q_i(t)\) | 장 \(\phi(t, \mathbf{x})\) |
| Lagrangian \(L(q, \dot{q})\) | Lagrangian 밀도 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) |
| 정준운동량 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\) | 정준운동량 밀도 \(\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\) |
| Hamiltonian \(H = p_i\dot{q}_i - L\) | \(H = \int d^3\mathbf{x}\,\mathcal{H}\) (\(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\)) |
| \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\) | \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\} = \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) |
| 정준양자화: \([\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij}\) | \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) |
🔵 카이: 이렇게 나란히 놓으면, 입자역학에서 익힌 도구를 그대로 장에 사용할 수 있네요. ……그런데 반대로, 이 대응이 깨지는 경우도 있나요? 예를 들어 게이지장 같은 경우에.
🟡 리나: 좋은 착안점이야. 사실 게이지장에서는 "구속 조건"이 있기 때문에, 소박한 정준양자화를 그대로는 사용할 수 없어. 본편 제 7 장에서 "게이지 고정"이 필요했던 이유가 바로 그거야. 하지만 이 Appendix의 범위를 넘으니까, 여기서는 "스칼라장 같은 단순한 장에서는 이 대응이 그대로 성립한다"고 이해해 둬.
⚪ 메이: 이 Appendix의 핵심은 이 표야. 입자와 장에서, 도구의 구조가 전부 대응하고 있어——적어도 구속이 없는 장에 대해서는.
🟡 리나: 맞아. 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에서 배운 입자의 정준양자화를, 연속 무한 자유도로 확장한 것이 장의 양자론——도구는 같고, 적용하는 대상이 다를 뿐이야.
📝 연습문제:
- 장의 정준운동량과 Hamiltonian 밀도의 계산 → 문제 M-2. 장의 정준 운동량과 Hamiltonian 밀도
A.6 왜 자연은 작용원리에 따르는가?¶
🟡 리나: 마지막으로, 한 가지 깊은 물음에 대해 다뤄 둘게. "왜 입자(혹은 장)는 작용이 정류하는 경로(배위)를 선택하는가?"——이것은 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에서도 물음으로 제시했지만, 장의 양자론이 된 지금, 좀 더 깊이 들어가서 답할 수 있어.
🔵 카이: 고등학교에서 배운 페르마의 원리 때 느꼈던 "빛이 가장 빠른 경로를 알고 있다" 같은 신비로움이네요.
🟡 리나: 고전역학의 범위에서는, 이것은 "그런 원리니까"라고밖에 말할 수 없어. 하지만 양자역학·양자장론이 답을 줘.
본편 제10~11장에서 배운 Feynman의 경로적분을 떠올려 봐. 경로적분의 핵심은, 양자론에서는 입자(혹은 장)가 "모든 가능한 경로(배위)를 동시에 지나간다"고 생각하고, 각 경로에 작용 \(S\)로부터 결정되는 위상인자 \(e^{iS/\hbar}\)를 가중치로 붙여서, 모두를 더한다는 것이었지. 고전적 극한 (\(\hbar \to 0\))에서는, \(S\)가 정류하지 않는 경로는 위상 \(S/\hbar\)가 격렬하게 진동해서 서로 상쇄돼. \(S\)가 정류하는 경로의 근방만 살아남아——그래서 고전적인 입자는 \(\delta S = 0\)의 경로를 "선택하는" 것처럼 보이는 거야.
⚪ 메이: 즉 작용원리는, 양자론의 경로적분의 고전적 극한으로서 설명되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 페르마의 원리도 마찬가지야. 빛의 파동성을 생각하면, 위상이 맞는 (=광로 길이가 정류하는) 경로만 보강간섭으로 살아남아. 변분원리는 "파동의 간섭의 고전적 극한"인 거야.
🔵 카이: "왜 자연은 최소 작용에 따르는가"라는 물음이, "모든 경로의 중첩"이라는 양자론의 구조에서 자연스럽게 나오는 거군요. 그런데 좀 확인하게 해주세요——"정류하지 않는 경로는 상쇄된다"는 게, 구체적으로는 어느 정도의 정밀도로 사라지나요? 완전히 영이 되는 건 아니죠?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 엄밀하게는 영이 되지 않아——\(\hbar\)가 유한하니까, 고전 경로 근방에 폭 \(\sim\sqrt{\hbar}\)의 "양자적 흐릿함"이 남아. 하지만 거시적인 물체에서는 \(S/\hbar\)가 천문학적으로 크니까, 정류점에서 조금만 벗어나도 위상이 맹렬하게 진동해서, 실질적으로 완전히 사라진다고 볼 수 있어.
🔵 카이: 그렇군요. 그럼 반대로 말하면, 경로적분이 없었던 시대의 물리학자들은 "왜 작용원리가 성립하는가"를 설명할 수 없었다는 건가요?
🟡 리나: 맞아. Euler나 Lagrange 시대에는, 작용원리를 "경험적으로 올바른 공리"로서 받아들일 수밖에 없었어. Feynman이 1948년에 경로적분을 정식화해서 비로소, "왜 자연은 작용을 정류시키는가"에 물리적인 설명이 붙은 거야. 그리고 장의 양자론에서도 완전히 같은 구조가 성립해. 장의 고전 운동방정식(Klein-Gordon, Maxwell, Einstein)은 모두, 대응하는 장의 양자론의 고전 극한으로서 이해할 수 있어. "왜 작용원리인가?"라는 물음은, "모든 가능한 장의 배위의 양자적 중첩의 고전 극한"으로서 자연스럽게 답해져.
🔵 카이: 공리라고 생각했던 것이, 더 깊은 이론의 귀결이었군요.
🟡 리나: 즉, 고전역학에서는 작용원리가 "공리"——증명 없이 받아들이는 출발점이었어. 하지만 양자론의 경로적분에서 보면, 그것은 "유도되는 결과"로 바뀌어. 공리의 수가 줄어들고, 더 적은 가정에서 많은 것이 설명될 수 있게 돼——이론이 깊어진다는 건 그런 거야.
⚪ 메이: 작용원리의 지위가 "가정"에서 "귀결"로 바뀌는 거네.
🔵 카이: 그렇다면, "왜"의 계층이 한 단계 내려간 것뿐이죠. 작용원리의 "왜"는 경로적분이 답했다——그런데, 그럼 경로적분 자체의 "왜"는? "왜 모든 경로를 중첩하는가"는, 더 깊은 이론이 답해주나요?
🟡 리나: 예리한 물음이야. 현 시점에서는 경로적분의 구조 자체가 양자론의 기본원리——즉 "공리"의 위치에 있어. 미래에 더 깊은 이론이 발견되면, 그것도 "유도되는" 것이 될 수 있을지도 몰라. 하지만 지금은 여기가 가장 깊은 층이야.
🔵 카이: 그런데 그렇게 되면, 경로적분의 가중치 \(e^{iS/\hbar}\)의 "\(S\)" 자체가 Lagrangian에서 만들어지잖아요. 순환하고 있는 건 아닌가요?
🟡 리나: 좋은 지적이야. 하지만 순환은 아니야. 경로적분에서는 \(S\)가 정류하는지 아닌지에 관계없이 모든 \(S\)의 값을 사용해——\(\delta S = 0\)을 가정하고 있지 않아. 결과적으로 고전 극한에서 \(\delta S = 0\)이 "나오는" 것이지, 입력으로 가정하고 있는 게 아니야.
🔵 카이: 그렇구나……입력은 "\(S\)의 정의"뿐이고, "\(\delta S = 0\)"은 출력인 거네요. 가정하지 않았는데 나온다——그건 확실히 순환이 아니네요.
⚪ 메이: 여기까지의 논리를 정리하면——경로적분은 "모든 배위에 \(e^{iS/\hbar}\)를 붙여서 더한다"는 것뿐이고, \(\delta S = 0\)은 가정하지 않아. 하지만 고전 극한에서 정류 위상만 살아남으니까, 결과적으로 \(\delta S = 0\)이 "나온다". 입력과 출력의 구별이 포인트야.
🔵 카이: 그런데 그렇게 되면, 다음 의문이 나와요. \(S\)의 형태를 결정하는 원리는 뭔가요?
🟡 리나: 대칭성(Lorentz 불변성이나 게이지 불변성)이 \(S\)의 형태를 강하게 제약해——본편 제 7 장에서 본 것처럼. 하지만 "왜 그 대칭성인가"는 더 깊은 물음이 되지.
🔵 카이: 결국 "왜"를 한 단계 파면, 또 새로운 "왜"가 나오는 거네요……. 하지만 적어도, 작용원리의 "왜"에는 경로적분이 답해 줬다. 그것만으로도 한 단계 깊어진 느낌이 들어요.
⚪ 메이: 좀 더 정리할게. 이 장에서 본 구조를 한마디로 요약하면——고전역학에서는 작용원리가 "공리", 양자론에서는 경로적분의 고전 극한으로서 "유도된다". 그리고 경로적분 자체는 현 시점에서는 공리. 즉 "더 깊은 이론이, 얕은 이론의 공리를 귀결로 바꾼다"는 계층구조야. Newton 역학이 상대론의 극한으로서 "유도되는" 것이 된 것과 같은 패턴.
🔵 카이: 물리학은 끝없는 계단 같네요. 하지만 그 계단을 한 칸 내려갈 때마다, 이전 칸이 "설명되는" 것으로 바뀌는 건 기분이 좋아요. ……만약 미래에 "경로적분의 왜"에 답하는 이론이 발견되면, 그때는 경로적분 자체가 "유도되는 것"으로 격하되는 거죠. 하지만 그렇게 되면, 그 새로운 이론에도 또 "왜"가 남는 건가요?
🟡 리나: 아마 그렇겠지. 하지만 그것은 물리학의 약점이 아니라 강점이야——항상 다음 물음이 남기 때문에, 탐구가 계속되는 거야.
✅ 이해도 체크: 경로적분의 관점에서, 고전적인 입자가 작용 \(S\)가 정류하는 경로를 "선택하는" 것처럼 보이는 이유를 설명해 보세요.
답
양자론에서는 모든 경로에 가중치 \(e^{iS/\hbar}\)가 붙는다. 고전적 극한 (\(\hbar \to 0\))에서는, 작용 \(S\)가 정류하지 않는 경로는 위상 \(S/\hbar\)가 격렬하게 진동하여 서로 상쇄된다. \(S\)가 정류하는 경로의 근방만 위상이 맞아서 살아남으므로, 고전적으로는 \(\delta S = 0\)의 경로만 실현되는 것처럼 보인다.
정리¶
🟡 리나: 이 Appendix에서 정리한 도구를 일람으로 해둘게.
표 A.6: 본 Appendix의 도구와 본편에서의 사용 위치
| 도구 | 정의·공식 | 본편에서의 사용 위치 |
|---|---|---|
| 범함수 | \(F[f]\): 함수 → 수 | 제3장 이후 전반 (특히 제10~11장의 경로적분) |
| 범함수 미분 | \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) | 제 11 장 (생성범함수) |
| 장의 Euler-Lagrange 방정식 | \(\partial_\mu\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\) | 제 3 장 (고전장의 이론) |
| 장의 정준운동량 밀도 | \(\pi = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\) | 제4~6장 (정준양자화) |
| Hamiltonian 밀도 | \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) | 제4~6장 |
| 장의 정준 교환관계 | \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) | 제4~6장 |
입자의 해석역학(Lagrangian·Hamiltonian·Poisson 괄호·정준양자화 자체)은 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D 에 맡기고, 장에 고유한 확장에 초점을 맞추었다. 이로써 본편의 제 3 장 이후에서 사용해 온 도구의 출처는, 모두 「양자역학」편 「양자역학」편 부록 D + 본 부록 A 로 추적할 수 있다.
다음 장 예고¶
Appendix B: Lorentz 군의 표현과 스피너 — 본 Appendix에서는 "장"을 양자화하는 틀을 정비했다. 다음은 "장이 어떤 표현 공간에 사는가"를 묻는다. Lorentz 변환 아래에서 장이 어떻게 변환되는가——스칼라, 벡터, 그리고 스피너——를 수학적으로 분류하고, 본편에서 Dirac 장이나 Weyl 스피너를 다룰 때의 "왜 4성분인가" "왜 \(\gamma\) 행렬이 필요한가"라는 물음에, 표현론의 언어로 답한다.
참고문헌¶
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제2장 "Lagrangian mechanics", 제6장 "A first stab at relativistic quantum mechanics"
- 場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして (사카모토 마히토, 쇼카보) 제9장 "解析力学の復習と場のラグランジアン形式"
- QM Appendix D "Lagrangian·Hamiltonian 형식과 정준양자화" (입자의 해석역학의 상세)
Feedback on this page
Let us know if something was unclear, incorrect, or could be improved.