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제 5 장 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Basic（기초）

B-1. 광추 좌표의 계량

→ 문제로 돌아가기

풀이 방침: 광추 좌표의 정의로부터 \(dx^+ dx^-\)를 계산하고, \((dx^0)^2 - (dx^1)^2\)과의 관계를 구해요.

계산:

광추 좌표의 정의로부터

\[ dx^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 + dx^1), \qquad dx^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 - dx^1) \]

곱을 계산하면

\[ dx^+ dx^- = \frac{1}{2}(dx^0 + dx^1)(dx^0 - dx^1) = \frac{1}{2}\left[(dx^0)^2 - (dx^1)^2\right] \]

즉

\[ (dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+ dx^- \]

이를 \(ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\)에 대입하면:

\[ ds^2 = -[(dx^0)^2 - (dx^1)^2] + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]
\[ \boxed{ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2} \]

검산: \(dx^2 = dx^3 = 0\)이고 \(dx^0 = dx^1\)(\(x^1\) 양의 방향으로 진행하는 빛)이면 \(dx^- = 0\)이므로 \(ds^2 = 0\)이에요. ✓

B-2. 광추 계량의 행렬 표시

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풀이 방침: \((+,-)\) 블록은 \(2 \times 2\) 반대각행렬이에요. 여인자행렬의 정의로부터 역행렬을 계산하면, 원래 행렬과 일치한다는 것을 알 수 있어요. \((2,3)\) 블록은 단위행렬이므로 그대로예요.

계산:

\((+, -)\)의 \(2 \times 2\) 블록을

\[ M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

로 놓아요. \(2 \times 2\) 행렬 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)의 역행렬은 \(\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)이므로,

\[ M^{-1} = \frac{1}{(0)(0) - (-1)(-1)}\begin{pmatrix} 0 & -(-1) \\ -(-1) & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = M \]

즉 \(M\)은 자기역행렬(\(M^2 = I\)과 같은 것)이에요. \((2, 3)\) 블록은 단위행렬이므로 그대로예요. 따라서

\[ \boxed{\hat{\eta}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \hat{\eta}_{\mu\nu}} \]

성분으로 쓰면 \(\hat{\eta}^{+-} = \hat{\eta}^{-+} = -1\), \(\hat{\eta}^{22} = \hat{\eta}^{33} = +1\), 나머지는 0이에요.

\(\hat{\eta}^{\mu\lambda}\hat{\eta}_{\lambda\nu} = \delta^\mu{}_\nu\) 확인: 예를 들어 \((\mu, \nu) = (+, +)\)：

\[ \hat{\eta}^{+\lambda}\hat{\eta}_{\lambda+} = \hat{\eta}^{+-}\hat{\eta}_{-+} = (-1)(-1) = 1 = \delta^+{}_+ \quad \checkmark \]

\((\mu, \nu) = (+, -)\)：

\[ \hat{\eta}^{+\lambda}\hat{\eta}_{\lambda-} = \hat{\eta}^{+-}\hat{\eta}_{--} = (-1)(0) = 0 = \delta^+{}_- \quad \checkmark \]

다른 성분도 같은 방식으로 확인할 수 있어요.

주의: 광원뿔 좌표에서의 지표 올리기·내리기는, 통상적인 좌표와 달리 시간/공간의 부호 반전이 아니라 \(+\)와 \(-\)의 교환이 돼요: \(A_+ = -A^-\), \(A_- = -A^+\), \(A_i = A^i\) (\(i = 2, 3\)).

B-3. 광추 좌표에서의 4원운동량과 \(p^-\)

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(a) 불변 노름의 광추 좌표 표시

계산:

통상적인 좌표에서

\[ p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \]

문제 5.1과 같은 계산으로 \((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2 p^+ p^-\) 이므로,

\[ \boxed{p^\mu p_\mu = -2\,p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2} \]

(b) \(p^-\) 의 도출

\(p^\mu p_\mu = -m^2\) 를 (a)에 대입하면:

\[ -2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -m^2 \]

\(p^-\) 에 대해 풀면:

\[ 2 p^+ p^- = (p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2 \]
\[ \boxed{p^- = \frac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2\,p^+}} \]

(c) 부호 모호성 소멸의 물리적 해석

통상적인 좌표: \(p^\mu p_\mu = -m^2\) 를 \(p^0\) 에 대해 풀면 \((p^0)^2 = |\vec{p}|^2 + m^2\) 의 2차 방정식이 되어, \(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\) 이 돼요. 양의 에너지 해와 음의 에너지 해가 모두 나타나요. QFT에서는 음의 에너지 해가 반입자로 물리적으로 해석되지만, 양자화 절차에서는 「어느 부호의 해를 어떻게 다룰 것인가」를 별도로 규정해야 해요.

광추 좌표: 한편, (a)의 \(p^\mu p_\mu = -2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\) 에는 \(p^-\) 가 1차로만 들어 있어요. 따라서 \(p^\mu p_\mu = -m^2\) 는 \(p^-\) 에 대해 1차식이 되어, (b)와 같이 \(p^-\) 가 \(p^+, p^2, p^3, m\) 으로부터 유일하게 결정돼요. 부호 모호성이 없어요. 물리적으로 의미 있는 「전방 광추 \(p^0 > 0\)」은 \(p^+ > 0\), \(p^- > 0\) 영역에 대응하며 (\(m^2 \geq 0\) 일 때 \(p^+ > 0\) 을 선택하면 (b)로부터 자동적으로 \(p^- > 0\)), 입자의 전파 방향 \(p^+ > 0\) 을 지정한 시점에서 양의 에너지 상태만이 자동적으로 선택돼요.

이것이 끈의 광원뿔 양자화（제 14 장）에서 반입자의 취급이나 음의 노름 상태 처리가 간단해지는 이유의 핵심이에요. 대가로 로렌츠 공변성이 명시적으로는 상실되지만 (\(p^+\) 를 특별히 취급하기 때문에), 물리적 결과는 불변이에요.

검산: \(m = 0\) (광자)일 때 \(p^- = [(p^2)^2 + (p^3)^2]/(2 p^+)\) 이에요. 특히 횡방향 운동량이 영 (\(p^2 = p^3 = 0\))인 광자라면 \(p^- = 0\), 즉 \(p^0 = p^1\) 로, 광속 \(c = 1\) 에서 \(x^1\) 양의 방향으로 진행하는 빛의 운동과 일치해요. ✓

Medium（표준）

M-1. 광원뿔 좌표에서의 내적

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풀이 방침: \(A^\mu B_\mu = -A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\) 을 다시 쓰는 거예요. 정의 \(A^\pm = (A^0 \pm A^1)/\sqrt{2}\) 를 역으로 풀면 \(A^0 = (A^+ + A^-)/\sqrt{2}\), \(A^1 = (A^+ - A^-)/\sqrt{2}\) 가 돼요. 이것을 대입해요 (\(B\) 도 마찬가지).

계산:

\(A^0 B^0\) 을 광추 성분으로 전개하면:

\[ A^0 B^0 = \frac{1}{2}(A^+ + A^-)(B^+ + B^-) = \frac{1}{2}(A^+ B^+ + A^+ B^- + A^- B^+ + A^- B^-) \]

마찬가지로 \(A^1 B^1\):

\[ A^1 B^1 = \frac{1}{2}(A^+ - A^-)(B^+ - B^-) = \frac{1}{2}(A^+ B^+ - A^+ B^- - A^- B^+ + A^- B^-) \]

차를 구하면, \(A^+ B^+\) 항과 \(A^- B^-\) 항이 상쇄되고 교차항만 남아요:

\[ -A^0 B^0 + A^1 B^1 = -(A^+ B^- + A^- B^+) \]

따라서

\[ \boxed{A^\mu B_\mu = -(A^+ B^- + A^- B^+) + A^2 B^2 + A^3 B^3} \]

다른 표현: 광추 계량 \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\) 를 이용하여 \(A^\mu B_\mu = \hat{\eta}_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\) 를 전개하면, 0이 아닌 성분은 \(\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1\), \(\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = 1\) 이므로

\[ A^\mu B_\mu = \hat{\eta}_{+-}A^+ B^- + \hat{\eta}_{-+}A^- B^+ + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -A^+ B^- - A^- B^+ + A^2 B^2 + A^3 B^3 \]

같은 결과예요.

검산: \(A = B\) 로 놓으면 \(A^\mu A_\mu = -2 A^+ A^- + (A^2)^2 + (A^3)^2\) 이 되어 문제 5.1과 일치해요. ✓

M-2. 광추 좌표에서의 Lorentz 변환(boost)

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(a) 스케일 변환이 됨을 증명

계산:

라피디티 \(\varphi\) 에서의 \(x^1\) 방향 부스트는

\[ x^{0'} = \cosh\varphi\cdot x^0 - \sinh\varphi\cdot x^1 \]
\[ x^{1'} = -\sinh\varphi\cdot x^0 + \cosh\varphi\cdot x^1 \]

광원뿔 좌표로 변환하면:

\[ x^{+\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{0'} + x^{1'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\cosh\varphi - \sinh\varphi)x^0 + (\cosh\varphi - \sinh\varphi)x^1\right] \]
\[ = (\cosh\varphi - \sinh\varphi)\cdot\frac{x^0 + x^1}{\sqrt{2}} = e^{-\varphi}\,x^+ \]

여기서 \(\cosh\varphi - \sinh\varphi = e^{-\varphi}\) 를 사용했어요.

마찬가지로

\[ x^{-\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{0'} - x^{1'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\cosh\varphi + \sinh\varphi)x^0 - (\cosh\varphi + \sinh\varphi)x^1\right] \]
\[ = (\cosh\varphi + \sinh\varphi)\cdot\frac{x^0 - x^1}{\sqrt{2}} = e^{\varphi}\,x^- \]
\[ \boxed{x^{+\prime} = e^{-\varphi}\,x^+, \qquad x^{-\prime} = e^{\varphi}\,x^-} \]

(b) \(x^+ x^-\) 의 불변성

(a)로부터

\[ x^{+\prime}\,x^{-\prime} = (e^{-\varphi}\,x^+)(e^{\varphi}\,x^-) = e^{-\varphi + \varphi}\,x^+ x^- = x^+ x^- \]

따라서 \(x^+ x^-\) 는 \(x^1\) 방향 부스트에서 불변이에요.

\(ds^2\) 와의 정합성: 미분 형식에서도 마찬가지로 \(dx^{+\prime}\,dx^{-\prime} = dx^+ dx^-\) 이에요. 또한 \(x^2, x^3\) 은 \(x^1\) 부스트에서 변하지 않으므로 \((dx^{2\prime})^2 + (dx^{3\prime})^2 = (dx^2)^2 + (dx^3)^2\) 이에요. 따라서

\[ ds^{\prime 2} = -2\,dx^{+\prime}\,dx^{-\prime} + (dx^{2\prime})^2 + (dx^{3\prime})^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = ds^2 \]

시공간 간격의 불변성과 정합해요. ✓

기하학적 해석: 통상적인 \((x^0, x^1)\) 평면에서는 로렌츠 부스트가 쌍곡선 회전(\(\cosh, \sinh\))으로 나타났던 반면, \((x^+, x^-)\) 평면에서는 부스트가 축 방향의 스케일 변환이 돼요. 쌍곡선 정식화보다 직관적이고, 광원뿔 방향이 보존됨을 한눈에 알 수 있어요. 이것이 광원뿔 좌표의 또 다른 장점이에요.